Keskmiste meetod

3.1 Keskmiste olemus ja tähendus statistikas. Keskmiste tüübid

Keskmine väärtus statistikas nimetatakse kvalitatiivselt homogeensete nähtuste ja protsesside üldistatud tunnust mõne varieeruva tunnuse järgi, mis näitab tunnuse taset, mis on seotud üldkogumi ühikuga. keskmine väärtus abstraktne, sest iseloomustab atribuudi väärtust populatsiooni mõne isikupäratu üksuse jaoks.Essents keskmise ulatusega seisneb selles, et üksikisiku ja juhusliku kaudu avaldub üldine ja vajalik, s.t massinähtuste arengu tendents ja seaduspärasus. Omadused, mis võtavad kokku keskmiste väärtuste, on omased kõigile elanikkonna üksustele. Seetõttu on keskmisel väärtusel suur tähtsus massinähtustele omaste ja populatsiooni üksikutes üksustes mitte märgatavate mustrite tuvastamisel.

Keskmiste kasutamise üldpõhimõtted:

vajalik on rahvastikuüksuse mõistlik valik, mille kohta keskmine väärtus arvutatakse;

keskmise väärtuse määramisel tuleb lähtuda keskmistatud tunnuse kvalitatiivsest sisust, arvestada uuritavate tunnuste seost, samuti arvutamiseks saadaolevaid andmeid;

keskmised väärtused tuleks arvutada kvalitatiivselt homogeensete agregaatide järgi, mis saadakse rühmitusmeetodil, mis hõlmab üldistavate näitajate süsteemi arvutamist;

üldkeskmisi tuleks toetada rühma keskmiste näitajatega.

Sõltuvalt algandmete olemusest, statistika ulatusest ja arvutusmeetodist eristatakse järgmist: peamised keskmiste tüübid:

1) võimsuse keskmised(aritmeetiline keskmine, harmooniline, geomeetriline, ruutkeskmine ja kuup);

2) struktuursed (mitteparameetrilised) keskmised(režiim ja mediaan).

Statistikas annab uuritava populatsiooni õige iseloomustuse igal üksikjuhul varieeruvate tunnuste alusel vaid täpselt määratletud keskmise tüüpi. Küsimus, millist tüüpi keskmist konkreetsel juhul rakendada, lahendatakse uuritava üldkogumi spetsiifilise analüüsiga, samuti lähtutakse tulemuste mõtestatuse põhimõttest summeerimisel või kaalumisel. Need ja teised põhimõtted väljenduvad statistikas keskmiste teooria.

Näiteks aritmeetilist keskmist ja harmoonilist keskmist kasutatakse uuritava populatsiooni muutuva tunnuse keskmise väärtuse iseloomustamiseks. Geomeetrilist keskmist kasutatakse ainult dünaamika keskmise kiiruse arvutamisel ja keskmist ruutu ainult variatsiooninäitajate arvutamisel.

Keskmiste väärtuste arvutamise valemid on toodud tabelis 3.1.

Tabel 3.1 – Keskmiste väärtuste arvutamise valemid

Keskmiste tüübid	Arvutusvalemid
	lihtne	kaalutud
1. Aritmeetiline keskmine
2. Keskmine harmooniline
3. Geomeetriline keskmine
4. Juure keskmine ruut

Nimetused:- kogused, mille kohta arvutatakse keskmine; - keskmine, kus ülaltoodud rida näitab, et üksikute väärtuste keskmistamine toimub; - sagedus (üksikute tunnuste väärtuste korratavus).

Ilmselgelt on tuletatud erinevad keskmised võimsuskeskmise üldvalem (3.1) :

, (3.1)

kui k = + 1 - aritmeetiline keskmine; k = -1 - harmooniline keskmine; k = 0 - geomeetriline keskmine; k = +2 – ruutkeskmine.

Keskmised on kas lihtsad või kaalutud. kaalutud keskmised nimetatakse väärtusi, mis võtavad arvesse, et atribuutide väärtuste mõnel variandil võivad olla erinevad numbrid; sellega seoses tuleb iga valik selle arvuga korrutada. "Kaalud" on antud juhul elanikkonna ühikute arv erinevad rühmad, st. iga valik on "kaalustatud" selle sagedusega. Sagedust f nimetatakse statistiline kaal või kaalu keskmine.

Lõpuks õige keskmise valik eeldab järgmist järjestust:

a) rahvastiku üldistava näitaja kehtestamine;

b) antud üldistava näitaja väärtuste matemaatilise suhte määramine;

c) üksikute väärtuste asendamine keskmiste väärtustega;

d) keskmise arvutamine vastava võrrandi abil.

3.2 Aritmeetiline keskmine ja selle omadused ning arvutustehnika. Keskmine harmooniline

Aritmeetiline keskmine- kõige levinum keskmise suurusega tüüp; see arvutatakse nendel juhtudel, kui keskmistatud atribuudi maht moodustatakse selle väärtuste summana uuritava statistilise üldkogumi üksikute üksuste kohta.

Aritmeetilise keskmise olulisemad omadused:

1. Keskmise ja sageduste summa korrutis on alati võrdne variandi (individuaalväärtuste) ja sageduste korrutiste summaga.

2. Kui igast valikust lahutatakse (liidetakse) suvaline arv, siis uus keskmine väheneb (suureneb) sama arvu võrra.

3. Kui iga variant korrutada (jagada) mingi suvalise arvuga, siis uus keskmine suureneb (väheneb) sama palju

4. Kui kõik sagedused (kaalud) jagada või korrutada suvalise arvuga, siis aritmeetiline keskmine sellest ei muutu.

5. Üksikute valikute aritmeetilisest keskmisest kõrvalekallete summa on alati null.

Kõigist atribuudi väärtustest on võimalik lahutada suvaline konstantne väärtus (parem on keskmise valiku või kõrgeima sagedusega valikute väärtus), vähendada saadud erinevusi ühise teguri võrra (eelistatavalt intervalli väärtuse võrra). ) ja väljendage sagedusi üksikasjades (protsentides) ja korrutage arvutatud keskmine ühisteguriga ja lisage suvaline konstantne väärtus. Seda aritmeetilise keskmise arvutamise meetodit nimetatakse tingimuslikust nullist arvutamise meetod .

Geomeetriline keskmine leiab selle rakenduse keskmise kasvukiiruse (keskmiste kasvumäärade) määramisel, kui tunnuse individuaalsed väärtused on esitatud suhteliste väärtustena. Seda kasutatakse ka siis, kui on vaja leida keskmine tunnuse minimaalse ja maksimaalse väärtuse vahel (näiteks vahemikus 100 kuni 1000000).

ruutkeskmine kasutatakse tunnuse varieerumise mõõtmiseks populatsioonis (standardhälbe arvutamine).

Statistikas see toimib Enamusreegel tähendab:

X kahju.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 Struktuurilised vahendid (režiim ja mediaan)

Rahvastiku struktuuri määramiseks kasutatakse erikeskmisi, mis sisaldavad mediaani ja moodust ehk nn struktuurseid keskmisi. Kui aritmeetiline keskmine arvutatakse kõigi atribuutide väärtuste variantide kasutamise põhjal, siis mediaan ja mood iseloomustavad selle variandi väärtust, mis on järjestatud variatsioonireas teatud keskmisel positsioonil.

Mood- tunnuse kõige tüüpilisem, kõige sagedamini esinev väärtus. Sest diskreetne seeria režiim on kõrgeima sagedusega. Moe määratlemiseks intervalli seeriad esmalt määrake modaalne intervall (kõrgeima sagedusega intervall). Seejärel leitakse selle intervalli sees funktsiooni väärtus, milleks võib olla režiim.

Konkreetse moeväärtuse leidmiseks intervalli seeriad, on vaja kasutada valemit (3.2)

(3.2)

kus X Mo on modaalintervalli alumine piir; i Mo - modaalintervalli väärtus; f Mo on modaalintervalli sagedus; f Mo-1 - modaalile eelneva intervalli sagedus; f Mo+1 - modaalile järgneva intervalli sagedus.

mood on laialdane kasutamine turundustegevuses tarbijanõudluse uurimisel, eelkõige rõivaste ja jalatsite populaarsemate suuruste määramisel, hinnapoliitika reguleerimisel.

Mediaan - muutuja atribuudi väärtus, mis jääb vahemiku üldkogumi keskele. Sest pingereas paaritu numbriga sariüksikud väärtused (näiteks 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) on mediaan väärtus, mis asub seeria keskel, st. neljas väärtus on 6. Sest pingereas paarisarvuga sari individuaalsed väärtused (näiteks 1, 5, 7, 10, 11, 14) on mediaan keskmine aritmeetiline väärtus, mis arvutatakse kahe kõrvuti asetseva suuruse järgi. Meie puhul on mediaan (7+10)/2= 8,5.

Seega on mediaani leidmiseks kõigepealt vaja valemite (3.3) abil määrata selle järgarv (positsioon järjestatud seerias):

(kui sagedusi pole)

N Mina =
(kui on sagedusi) (3.3)

kus n on ühikute arv üldkogumis.

Mediaani arvväärtus intervalli seeriad määratud akumuleeritud sagedustega diskreetses variatsioonireas. Selleks tuleb esmalt määrata jaotuse intervallreas mediaani leidmise intervall. Mediaan on esimene intervall, kus akumuleeritud sageduste summa ületab poole vaatluste koguarvust.

Mediaani arvväärtus määratakse tavaliselt valemiga (3.4)

(3.4)

kus x Me - mediaanintervalli alumine piir; iMe - intervalli väärtus; SMe -1 - mediaanile eelneva intervalli akumuleeritud sagedus; fMe on mediaanintervalli sagedus.

Leitud intervalli piires arvutatakse ka mediaan valemiga Me = xl e, kus teine ​​tegur võrrandi paremal küljel näitab mediaani asukohta mediaanintervalli sees ja x on selle intervalli pikkus. Mediaan jagab variatsioonirea sagedusega pooleks. Defineerige rohkem kvartiilid , mis jagavad variatsioonirea 4 tõenäosusega võrdse suurusega osaks ja detsiilid jagades seeria 10 võrdseks osaks.

Nüüd räägime sellest kuidas arvutada keskmist.
IN klassikaline vorm statistika üldteooria pakub meile ühe versiooni keskmise valiku reeglitest.
Kõigepealt peate keskmise väärtuse (LFS) arvutamiseks tegema õige loogilise valemi. Iga keskmise väärtuse jaoks on selle arvutamiseks alati ainult üks loogiline valem, seega on siin raske viga teha. Kuid me peame alati meeles pidama, et lugejas (see on see, mis asub murdosa peal) on kõigi nähtuste summa ja nimetajas (mis on murdosa allosas) on elementide koguarv.

Pärast loogilise valemi koostamist saate reegleid kasutada (arusaadavuse hõlbustamiseks lihtsustame ja vähendame neid):
1. Kui loogilise valemi nimetaja on esitatud algandmetes (määratud sagedusega), siis arvutatakse kaalutud aritmeetilise keskmise valemi järgi.
2. Kui lähteandmetes on loogilise valemi lugeja, siis arvutatakse harmoonilise kaalutud keskmise valemi järgi.
3. Kui ülesandes on korraga olemas nii loogilise valemi lugeja kui ka nimetaja (seda juhtub harva), siis arvutatakse selle valemi või lihtsa aritmeetilise keskmise valemi abil.
See on klassikaline idee keskmise väärtuse arvutamiseks õige valemi valimiseks. Järgmisena esitame keskmise väärtuse arvutamise ülesannete lahendamise toimingute jada.

Keskmise väärtuse arvutamise ülesannete lahendamise algoritm

A. Määrake keskmise väärtuse arvutamise meetod - lihtne või kaalutud . Kui andmed on esitatud tabelis, siis kasutame kaalutud meetodit, kui andmed esitatakse lihtsa loendamisega, siis kasutame lihtsat arvutusmeetodit.

B. Määratlege või korraldage konventsioonid – x - valik, f - sagedus . Variant on nähtus, mille keskmist väärtust soovite leida. Ülejäänud tabelis olevad andmed on sagedus.

B. Määrame keskmise väärtuse arvutamise vormi - aritmeetiline või harmooniline . Määratlus tehakse sageduse veerus. Aritmeetilist vormi kasutatakse juhul, kui sagedused on antud eksplitsiitse arvuga (tinglikult võib nende asemel asendada sõna tükid, elementide arv "tükid"). Harmoonilise vormi kasutatakse juhul, kui sagedused on antud mitte eksplitsiitse numbriga, vaid kompleksnäitaja (keskmise väärtuse ja sageduse korrutis).

Kõige keerulisem on arvata, kus ja kui palju antakse, eriti sellistes asjades kogenematu õpilase jaoks. Sellises olukorras võite kasutada ühte järgmistest meetoditest. Mõne (majandusliku) ülesande puhul sobib aastatepikkuse praktika jooksul välja töötatud väide (punkt B.1). Muudel juhtudel peate kasutama lõiku B.2.

C.1 Kui sagedus on määratud rahaühikutes (rublades), siis kasutatakse arvutamisel harmoonilist keskmist, selline väide on alati tõene, kui tuvastatud sagedus on seatud rahas, muudes olukordades see reegel ei kehti.

B.2 Kasutage selles artiklis ülaltoodud keskmise väärtuse valimise reegleid. Kui sagedus on antud keskmise väärtuse arvutamise loogilise valemi nimetajaga, siis arvutame aritmeetilise keskmise vormi järgi, kui sageduse annab keskmise väärtuse arvutamise loogilise valemi lugeja, siis arvutame harmooniline keskmine vorm.

Mõelge selle algoritmi kasutamise näidetele.

V. Kuna andmed esitatakse reas, kasutame lihtsat arvutusmeetodit.

B. V. Meil ​​on andmed ainult pensionide suuruse kohta ja need jäävadki meie versiooniks – x. Andmed esitatakse lihtarvuna (12 inimest), arvutamiseks kasutame lihtaritmeetilist keskmist.

Pensionäri keskmine pension on 9208,3 rubla.

B. Kuna on vaja leida keskmine suurus maksed lapse kohta, siis on valikud esimeses veerus, paneme sinna tähise x, teisest veerust saab automaatselt sagedus f.

C. Sagedus (laste arv) on antud selge numbriga (võite asendada sõnatükid lapsed, vene keele seisukohast on fraas vale, kuid tegelikult on see väga mugav kontroll), mis tähendab, et arvutamisel kasutatakse aritmeetilist kaalutud keskmist.

Moes on sama ülesanne lahendada mitte valemiga, vaid tabelina ehk sisestada kõik vahearvutuste andmed tabelisse.

Selle tulemusena tuleb praegu teha vaid kaks kogusummat õiges järjekorras eraldada.

Keskmine makse ühe lapse kohta kuus oli 1910 rubla.

V. Kuna andmed on esitatud tabelis, kasutame arvutamiseks kaalutud vormi.

B. Sagedus (väljundkulu) määratakse kaudse kogusega (sagedus on määratud rubla Algoritmi element B1), mis tähendab, et arvutamisel kasutatakse harmoonilist kaalutud keskmist. Üldiselt on tegelikult tootmiskulud keeruline näitaja, mis saadakse toote ühiku maksumuse korrutamisel selliste toodete arvuga, see on keskmise harmoonilise väärtuse olemus.

Selle ülesande lahendamiseks aritmeetilise keskmise valemi abil on vajalik, et tootmismaksumuse asemel oleks vastava maksumusega toodete arv.

Pange tähele, et pärast arvutusi 410 (120 + 80 + 210) saadud summa nimetajas on valmistatud toodete koguarv.

Toote keskmine ühikuhind oli 314,4 rubla.

V. Kuna andmed on esitatud tabelis, kasutame arvutamiseks kaalutud vormi.

B. Kuna on vaja leida keskmine ühikukulu, siis esimeses veerus on valikud, sinna paneme tähise x, teisest veerust saab automaatselt sagedus f.

B. Sagedus ( koguarv lüngad) on antud kaudse arvuga (see on kahe lünkade arvu ja sellise lünkade arvuga õpilaste arvu näitaja korrutis), mis tähendab, et arvutamisel kasutatakse harmoonilist kaalutud keskmist. Kasutame algoritmi B2 punkti.

Selle ülesande lahendamiseks aritmeetilise keskmise valemi abil on vajalik, et lünkade koguarvu asemel oleks õpilaste arv.

Teeme loogilise valemi keskmise läbimiste arvu arvutamiseks ühe õpilase kohta.

Sagedus vastavalt probleemi seisundile Läbimiste koguarv. Loogilises valemis on see näitaja lugejas, mis tähendab, et kasutame harmoonilise keskmise valemit.

Pange tähele, et nimetajas olev summa pärast 31 (18+8+5) arvutamist on õpilaste koguarv.

Keskmine puudumiste arv õpilase kohta on 13,8 päeva.

keskmine väärtus- see on üldistav näitaja, mis iseloomustab kvalitatiivselt homogeenset populatsiooni teatud kvantitatiivse tunnuse järgi. Näiteks, keskmine vanus varguses süüdi mõistetud isikud.

Kohtustatistikas kasutatakse keskmisi iseloomustamiseks:

Selle kategooria juhtumite keskmised läbivaatamise tähtajad;

Keskmise suurusega nõue;

keskmine süüdistatavate arv kohtuasjas;

Keskmine kahju suurus;

Kohtunike keskmine töökoormus jne.

Keskmine väärtus on alati nimega ja sellel on sama mõõde kui üldkogumi eraldi üksuse atribuudil. Iga keskmine väärtus iseloomustab uuritavat populatsiooni mis tahes muutuva atribuudi järgi, seetõttu on iga keskmise taga selle populatsiooni ühikute jaotus vastavalt uuritavale atribuudile. Keskmise tüübi valiku määravad näitaja sisu ja keskmise arvutamise lähteandmed.

Kõik statistilistes uuringutes kasutatavad keskmised jagunevad kahte kategooriasse:

1) võimsuse keskmised;

2) struktuursed keskmised.

Esimene keskmiste kategooria sisaldab: aritmeetiline keskmine, harmooniline keskmine, geomeetriline keskmine Ja ruutkeskmine . Teine kategooria on mood Ja mediaan. Lisaks võib igal loetletud võimsuse keskmise tüübil olla kaks vormi: lihtne Ja kaalutud . lihtne vorm keskväärtust kasutatakse uuritava tunnuse keskmise väärtuse saamiseks, kui arvutatakse rühmitamata statistiliste andmete põhjal või kui iga variant populatsioonis esineb ainult üks kord. Kaalutud keskmisi nimetatakse väärtusteks, mis võtavad arvesse, et funktsiooni väärtuste valikutel võivad olla erinevad numbrid ja seetõttu tuleb iga valik korrutada vastava sagedusega. Teisisõnu, iga võimalust "kaalub" selle sagedus. Sagedust nimetatakse statistiliseks kaaluks.

lihtne aritmeetiline keskmine- levinuim kandja tüüp. See võrdub individuaalsete iseloomulike väärtuste summaga, mis on jagatud nende väärtuste koguarvuga:

Kus x 1, x 2, …, x N- muutuja atribuudi (valikud) individuaalsed väärtused ja N - elanikkonna ühikute arv.

Aritmeetiline kaalutud keskmine kasutatakse siis, kui andmed esitatakse jaotusridade või rühmadena. See arvutatakse optsioonide ja neile vastavate sageduste korrutiste summana, mis on jagatud kõigi optsioonide sageduste summaga:

Kus x i- tähendus i tunnuse -ndad variandid; fi- sagedus i valikuid.

Seega on iga variandi väärtus kaalutud selle sagedusega, mistõttu nimetatakse sagedusi mõnikord ka statistilisteks kaaludeks.

Kommenteeri. Millal me räägime aritmeetilise keskmise kohta ilma selle tüüpi täpsustamata peetakse silmas lihtsat aritmeetilist keskmist.

Tabel 12

Lahendus. Arvutamiseks kasutame aritmeetilise kaalutud keskmise valemit:

Seega on ühe kriminaalasja kohta keskmiselt kaks süüdistatavat.

Kui keskmise väärtuse arvutamine toimub intervalljaotuse seeriate kujul rühmitatud andmete järgi, peate esmalt määrama iga intervalli x "i mediaanväärtused, seejärel arvutama kaalutud väärtuse abil keskmise väärtuse. aritmeetilise keskmise valem, milles x i asemel on x" i.

Näide. Andmed varguse eest süüdi mõistetud kurjategijate vanuse kohta on toodud tabelis:

Tabel 13

Määrake varguse eest süüdi mõistetud kurjategijate keskmine vanus.

Lahendus. Intervallide variatsioonirea põhjal kurjategijate keskmise vanuse määramiseks tuleb esmalt leida intervallide mediaanväärtused. Kuna meile on antud intervalliseeria kõigepealt lahti ja viimased intervallid, siis võetakse nende intervallide väärtused võrdseks külgnevate suletud intervallide väärtustega. Meie puhul on esimese ja viimase intervalli väärtus 10.

Nüüd leiame kurjategijate keskmise vanuse kaalutud aritmeetilise keskmise valemi abil:

Seega on varguste eest süüdi mõistetud kurjategijate keskmine vanus ligikaudu 27 aastat.

Keskmine harmooniline lihtne on atribuudi vastastikuste väärtuste aritmeetilise keskmise pöördväärtus:

kus 1/ x i on valikute pöördväärtused ja N on rahvastiku ühikute arv.

Näide. Ringkonnakohtu kohtunike aasta keskmise töökoormuse väljaselgitamiseks kriminaalasjade arutamisel viidi läbi küsitlus selle kohtu 5 kohtuniku töökoormuse kohta. Keskmine ühele kriminaalasjale kulunud aeg iga küsitletud kohtuniku kohta osutus võrdseks (päevades): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Leia ühele keskmised kulud. kriminaalasja ja selle ringkonnakohtu kohtunike keskmisest aastast töökoormust kriminaalasjade arutamisel.

Lahendus.Ühele kriminaalasjale kulutatud keskmise aja määramiseks kasutame harmoonilist lihtsat valemit:

Näites toodud arvutuste lihtsustamiseks võtame päevade arvuks aastas 365, sealhulgas nädalavahetused (see ei mõjuta arvutusmeetodit ja praktikas sarnase näitaja arvutamisel on vaja asendada tööpäevade arv päeva konkreetsel aastal 365 päeva asemel). Siis on selle ringkonnakohtu kohtunike keskmine aastane töökoormus kriminaalasjade arutamisel: 365 (päeva): 5,56 ≈ 65,6 (asjad).

Kui kasutaksime ühe kriminaalasja lahendamise keskmise aja määramiseks lihtsa aritmeetilise keskmise valemit, saaksime:

365 (päevad): 5,64 ≈ 64,7 (juhud), s.o. kohtunike keskmine töökoormus oli väiksem.

Kontrollime selle lähenemisviisi paikapidavust. Selleks kasutame andmeid iga kohtuniku kohta ühele kriminaalasjale kulutatud aja kohta ja arvutame igaühe poolt läbivaadatud kriminaalasjade arvu aastas.

Saame vastavalt:

365 (päevad): 6 ≈ 61 (juhtum), 365 (päevad): 5,6 ≈ 65,2 (juhtum), 365 (päevad): 6,3 ≈ 58 (juhtum),

365 (päevad): 4,9 ≈ 74,5 (juhtumid), 365 (päevad): 5,4 ≈ 68 (juhtumid).

Nüüd arvutame selle ringkonnakohtu kohtunike keskmise aastase töökoormuse kriminaalasjade arutamisel:

Need. aasta keskmine koormus on sama, mis harmoonilise keskmise kasutamisel.

Seega on aritmeetilise keskmise kasutamine antud juhul ebaseaduslik.

Kui tunnuse variandid on teada, nende mahuväärtused (variantide korrutis sagedusega), kuid sagedused ise on teadmata, kasutatakse harmoonilise kaalutud keskmise valemit:

,

Kus x i on tunnuse valikute väärtused ja w i on valikute mahulised väärtused ( w i = x i f i).

Näide. Andmed karistussüsteemi erinevate asutuste toodetud sama liiki kauba ühiku hinna ja selle rakendamise mahu kohta on toodud tabelis 14.

Tabel 14

Leidke toote keskmine müügihind.

Lahendus. Keskmise hinna arvutamisel peame kasutama müüdud koguse ja müüdud ühikute arvu suhet. Me ei tea müüdud ühikute arvu, kuid me teame kauba müügimahtu. Seetõttu kasutame müüdud kaupade keskmise hinna leidmiseks harmoonilise kaalutud keskmise valemit. Saame

Kui kasutate siin aritmeetilise keskmise valemit, saate keskmise hinna, mis on ebareaalne:

Geomeetriline keskmine arvutatakse N-astme juure eraldamisel tunnusvariantide kõigi väärtuste korrutisest:

,

Kus x 1, x 2, …, x N- muutuja tunnuse individuaalsed väärtused (valikud) ja

N- rahvastikuüksuste arv.

Seda tüüpi keskmist kasutatakse aegridade keskmiste kasvumäärade arvutamiseks.

ruutkeskmine kasutatakse keskmise arvutamiseks standardhälve, mis on variatsiooni indikaator ja mida arutatakse allpool.

Rahvastiku struktuuri määramiseks kasutatakse spetsiaalseid keskmisi, mille hulka kuuluvad mediaan Ja mood ehk nn struktuursed keskmised. Kui aritmeetiline keskmine arvutatakse kõigi atribuutide väärtuste variantide kasutamise põhjal, siis mediaan ja mood iseloomustavad reastatud (järjestatud) seerias teatud keskmise positsiooni hõivava variandi väärtust. Statistilise üldkogumi ühikute järjestamine võib toimuda uuritava tunnuse variantide kasvavas või kahanevas järjekorras.

Mediaan (mina) on väärtus, mis vastab reastatud seeria keskel olevale variandile. Seega on mediaan järjestatud seeria variant, mille mõlemal poolel peaks selles seerias olema võrdne arv rahvastikuühikuid.

Mediaani leidmiseks peate esmalt määrama selle järjestatud seeria seerianumbri, kasutades valemit:

kus N on rea maht (rahvastiku ühikute arv).

Kui seeria koosneb paaritust arvust liikmetest, siis on mediaan võrdne variandiga, mille arv on N Me . Kui seeria koosneb paarisarvust liikmetest, siis mediaan on defineeritud kahe keskel paikneva kõrvuti asetseva valiku aritmeetilise keskmisena.

Näide. Antud on järjestatud seeria 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Seeria maht on N = 9, mis tähendab N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Seetõttu Me = 6, st. viies variant. Kui reale on antud 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, s.o. seeria paarisarvuga liikmetega (N = 8), siis N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Seega on mediaan võrdne poolega neljanda ja viienda variandi summast, s.o. Mina = (9 + 11) / 2 = 10.

Diskreetsete variatsioonide seerias määratakse mediaan akumuleeritud sageduste järgi. Variantsagedused, alustades esimesest, summeeritakse, kuni mediaanarv on ületatud. Viimaste summeeritud valikute väärtus on mediaan.

Näide. Leidke süüdistatavate mediaanarv kriminaalasja kohta, kasutades tabeli 12 andmeid.

Lahendus. Sel juhul on variatsioonirea maht N = 154, seega N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Esimese ja teise variandi sagedused kokku võttes saame: 75 + 43 = 118, s.o. oleme ületanud mediaanarvu. Seega mina = 2.

Jaotuse intervalli variatsioonireas märkige esmalt intervall, milles mediaan asub. Teda kutsutakse mediaan . See on esimene intervall, mille kumulatiivne sagedus ületab poole intervalli variatsioonirea mahust. Seejärel määratakse mediaani arvväärtus järgmise valemiga:

Kus x Mina- mediaanintervalli alumine piir; i - mediaanintervalli väärtus; S Mina-1- mediaanile eelneva intervalli akumuleeritud sagedus; f Mina- mediaanintervalli sagedus.

Näide. Leidke tabelis 13 toodud statistika põhjal varguse eest süüdi mõistetud õigusrikkujate mediaanvanus.

Lahendus. Statistilised andmed esitatakse intervallide kaupa variatsiooniline seeria, seega määrame esmalt mediaanintervalli. Populatsiooni maht N = 162, seega on mediaanintervall intervall 18-28, sest see on esimene intervall, mille akumuleeritud sagedus (15 + 90 = 105) ületab poole intervalli variatsioonirea mahust (162: 2 = 81). Nüüd määratakse mediaani arvväärtus ülaltoodud valemiga:

Seega on pooled varguses süüdimõistetutest alla 25-aastased.

Mood (E) nimeta atribuudi väärtus, mida leidub kõige sagedamini üldkogumi ühikutes. Moodi kasutatakse selle tunnuse väärtuse tuvastamiseks, millel on suurim levik. Diskreetsete seeriate puhul on režiimiks kõrgeima sagedusega variant. Näiteks tabelis 3 esitatud diskreetse seeria jaoks Mo= 1, kuna see valikute väärtus vastab kõrgeimale sagedusele - 75. Intervalli seeria režiimi määramiseks määrake esmalt modaalne intervall (kõrgeima sagedusega intervall). Seejärel leitakse selle intervalli sees funktsiooni väärtus, milleks võib olla režiim.

Selle väärtus leitakse järgmise valemi abil:

Kus x Mo- modaalintervalli alumine piir; i - modaalintervalli väärtus; f Mo- modaalse intervalli sagedus; f Mo-1- modaalile eelneva intervalli sagedus; f Mo+1- modaalile järgneva intervalli sagedus.

Näide. Leidke varguse eest süüdi mõistetud kurjategijate vanuserežiim, mille andmed on toodud tabelis 13.

Lahendus. Kõrgeim sagedus vastab intervallile 18-28, seetõttu peab režiim olema selles intervallis. Selle väärtus määratakse ülaltoodud valemiga:

Seega suurim arv varguses süüdi mõistetud kurjategija on 24-aastane.

Keskmine väärtus annab uuritava nähtuse terviku üldistava tunnuse. Kaks samade keskmiste väärtustega populatsiooni võivad aga uuritava tunnuse väärtuse kõikumise (variatsiooni) astme poolest üksteisest oluliselt erineda. Näiteks ühes kohtus määrati järgmised kuupäevad vangistus: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 aastat ja teises - 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 aastat. Mõlemal juhul on aritmeetiline keskmine 6,7 aastat. Need koondnäitajad erinevad aga üksteisest oluliselt määratud vangistuse individuaalsete väärtuste jaotuse poolest keskmise väärtuse suhtes.

Ja esimese kohtu jaoks, kus see kõikumine on üsna suur, ei kajasta keskmine vangistus kogu elanikkonda hästi. Seega, kui atribuudi individuaalsed väärtused erinevad üksteisest vähe, on aritmeetiline keskmine selle populatsiooni omaduste üsna indikatiivne omadus. Vastasel juhul on aritmeetiline keskmine selle populatsiooni ebausaldusväärne tunnus ja selle rakendamine praktikas on ebaefektiivne. Seetõttu on vaja arvestada uuritava tunnuse väärtuste kõikumist.

Variatsioon- need on tunnuse väärtuste erinevused antud populatsiooni erinevates ühikutes samal perioodil või ajahetkel. Mõiste "variatsioon" on ladina päritolu - variatio, mis tähendab erinevust, muutust, kõikumist. See tuleneb asjaolust, et atribuudi individuaalsed väärtused moodustuvad erinevate tegurite (tingimuste) koosmõjul, mis kombineeritakse igal üksikjuhul erineval viisil. Tunnuse varieerumise mõõtmiseks kasutatakse erinevaid absoluutseid ja suhtelisi näitajaid.

Peamised variatsiooninäitajad on järgmised:

1) variatsiooni ulatus;

2) keskmine lineaarhälve;

3) dispersioon;

4) standardhälve;

5) variatsioonikoefitsient.

Peatugem lühidalt igaühel neist.

Laiuse variatsioon R on arvutamise lihtsuse mõttes kõige juurdepääsetavam absoluutnäitaja, mida määratletakse kui erinevust selle üldkogumi ühikute atribuudi suurima ja väikseima väärtuse vahel:

Variatsioonivahemik (kõikumiste vahemik) on tunnuse muutlikkuse oluline näitaja, kuid see võimaldab näha ainult äärmuslikke kõrvalekaldeid, mis piirab selle ulatust. Tunnuse variatsiooni täpsemaks iseloomustamiseks selle kõikumise põhjal kasutatakse muid näitajaid.

Keskmine lineaarne hälve tähistab tunnuse üksikute väärtuste keskmisest kõrvalekallete absoluutväärtuste aritmeetilist keskmist ja määratakse valemitega:

1) Sest rühmitamata andmed

2) Sest variatsiooni seeria

Kõige laialdasemalt kasutatav variatsioonimõõt on aga dispersioon . See iseloomustab uuritava tunnuse väärtuste leviku mõõtmist selle keskmise väärtuse suhtes. Dispersioon on defineeritud kui hälvete keskmine ruudus.

lihtne dispersioon rühmitamata andmete jaoks:

.

Kaalutud dispersioon variatsiooniseeria jaoks:

Kommenteeri. Praktikas on dispersiooni arvutamiseks parem kasutada järgmisi valemeid:

Lihtsa dispersiooni jaoks

.

Kaalutud dispersiooni jaoks

Standardhälve on dispersiooni ruutjuur:

Standardhälve on keskmise usaldusväärsuse mõõt. Mida väiksem on standardhälve, seda homogeensem on üldkogum ja seda paremini kajastab aritmeetiline keskmine kogu üldkogumit.

Eelpool vaadeldud dispersiooninäitajad (variatsioonivahemik, dispersioon, standardhälve) on absoluutnäitajad, mille järgi ei ole alati võimalik hinnata tunnuse kõikumise astet. Mõnes probleemis on vaja kasutada suhtelisi hajumise indekseid, millest üks on variatsioonikoefitsient.

Variatsioonikoefitsient– väljendatud protsendina standardhälbe ja aritmeetilise keskmise suhtest:

Variatsioonikoefitsienti ei kasutata mitte ainult variatsiooni võrdlevaks hindamiseks erinevad märgid või sama tunnust erinevates populatsioonides, vaid ka populatsiooni homogeensuse iseloomustamiseks. Statistilist üldkogumit loetakse kvantitatiivselt homogeenseks, kui variatsioonikordaja ei ületa 33% (normaaljaotusele lähedased jaotused).

Näide. Karistussüsteemi parandusasutuses kohtu poolt mõistetud karistust kandma toimetatud 50 süüdimõistetu vangistuse tähtaegade kohta on järgmised andmed: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Koostage jaotusseeria vangistuse mõistete järgi.

2. Leidke keskmine, dispersioon ja standardhälve.

3. Arvutage variatsioonikordaja ja tehke järeldus uuritava populatsiooni homogeensuse või heterogeensuse kohta.

Lahendus. Diskreetse jaotusseeria koostamiseks on vaja määrata variandid ja sagedused. Selle probleemi variandiks on vangistuse tähtaeg ja sageduseks üksikute variantide arv. Pärast sageduste arvutamist saame järgmised diskreetsed jaotusread:

Leidke keskmine ja dispersioon. Kuna statistilisi andmeid esitatakse diskreetsete variatsioonireana, kasutame nende arvutamiseks aritmeetilise kaalutud keskmise ja dispersiooni valemeid. Saame:

= = 4,1;

= 5,21.

Nüüd arvutame standardhälbe:

Leiame variatsioonikoefitsiendi:

Järelikult on statistiline üldkogum kvantitatiivselt heterogeenne.

Teema: Statistika

Valik number 2

Statistikas kasutatavad keskmised väärtused

Sissejuhatus……………………………………………………………………………….3

Teoreetiline ülesanne

Keskmine väärtus statistikas, selle olemus ja rakendustingimused.

1.1. Keskmise väärtuse olemus ja kasutustingimused………….4

1.2. Keskmiste väärtuste tüübid…………………………………………………8

Praktiline ülesanne

Ülesanne 1,2,3…………………………………………………………………………14

Järeldus……………………………………………………………………………….21

Kasutatud kirjanduse loetelu……………………………………………………23

Sissejuhatus

See test koosneb kahest osast – teoreetilisest ja praktilisest. Teoreetilises osas käsitletakse üksikasjalikult sellist olulist statistilist kategooriat nagu keskmine väärtus, et teha kindlaks selle olemus ja kasutustingimused, samuti teha kindlaks keskmiste tüübid ja nende arvutamise meetodid.

Statistika uurib, nagu teate, massilisi sotsiaal-majanduslikke nähtusi. Kõigil neil nähtustel võib olla sama tunnuse erinev kvantitatiivne väljendus. Näiteks sama eriala töötajate palgad või sama toote turuhinnad jne. Keskmised väärtused iseloomustavad kvaliteedinäitajaid äritegevus: turustuskulud, kasum, tasuvus jne.

Mis tahes populatsiooni uurimiseks vastavalt erinevatele (kvantitatiivselt muutuvatele) omadustele kasutab statistika keskmisi.

Keskmine essents

Keskmine väärtus on üldistav kvantitatiivne tunnus sama tüüpi nähtuste kogumile vastavalt ühele muutuvale tunnusele. Majanduspraktikas kasutatakse laia valikut näitajaid, mis arvutatakse keskmistena.

Kõige olulisem vara keskmine väärtus seisneb selles, et see esindab teatud tunnuse väärtust kogu populatsioonis ühe arvuna, vaatamata selle kvantitatiivsetele erinevustele populatsiooni üksikutes üksustes, ja väljendab ühist asja, mis on omane kõigile üldkogumi üksustele. Uuring. Seega iseloomustab see rahvastiku ühiku tunnuse kaudu kogu populatsiooni tervikuna.

Keskmised väärtused on seotud seadusega suured numbrid. Selle seose olemus seisneb selles, et üksikute väärtuste juhuslike kõrvalekallete keskmistamisel suurte arvude seaduse toimimise tõttu need üksteist välistavad ja keskmises ilmneb peamine arengusuund, vajalikkus, korrapärasus. Keskmised väärtused võimaldavad võrrelda erineva ühikute arvuga populatsioonidega seotud näitajaid.

IN kaasaegsed tingimused turusuhete areng majanduses, keskmised on abivahendiks sotsiaal-majanduslike nähtuste objektiivsete mustrite uurimisel. Majandusanalüüs ei tohiks aga piirduda ainult keskmiste näitajatega, sest üldised soodsad keskmised võivad varjata nii üksikute majandusüksuste tegevuse suuri kui tõsiseid puudujääke ning uue, progressiivse võsu. Näiteks rahvastiku jaotus sissetulekute järgi võimaldab tuvastada uute sotsiaalsete rühmade teket. Seetõttu on keskmiste statistiliste andmete kõrval vaja arvestada ka rahvastiku üksikute üksuste tunnuseid.

Keskmine väärtus on kõigi uuritavat nähtust mõjutavate tegurite tulemus. See tähendab, et keskmiste väärtuste arvutamisel tühistab juhuslike (häirivate, individuaalsete) tegurite mõju üksteist ja seega on võimalik kindlaks teha uuritavale nähtusele omane muster. Adolf Quetelet rõhutas, et keskmiste meetodi olulisus seisneb ülemineku võimaluses ainsuselt üldisele, juhuslikult regulaarsele ning keskmiste olemasolu on objektiivse reaalsuse kategooria.

Statistika uurib massinähtusi ja -protsesse. Igal neist nähtustest on nii kogu komplektile ühised kui ka erilised individuaalsed omadused. Üksikute nähtuste erinevust nimetatakse variatsiooniks. Teine massinähtuste omadus on nende olemuslik lähedus üksikute nähtuste omadustele. Seega viib komplekti elementide vastastikmõju vähemalt osa nende omaduste varieerumise piiramiseni. See suundumus eksisteerib objektiivselt. Keskmiste väärtuste praktikas ja teoreetiliselt laialdasema rakendamise põhjus on selle objektiivsus.

Statistika keskmine väärtus on üldistav näitaja, mis iseloomustab nähtuse tüüpilist taset konkreetsetes koha- ja ajatingimustes, peegeldades muutuva atribuudi suurust kvalitatiivselt homogeense populatsiooni ühiku kohta.

Majanduspraktikas kasutatakse laia valikut näitajaid, mis arvutatakse keskmistena.

Keskmiste meetodi abil lahendab statistika palju probleeme.

Keskmiste põhiväärtus on nende üldistav funktsioon, st tunnuse paljude erinevate individuaalsete väärtuste asendamine keskmise väärtusega, mis iseloomustab kogu nähtuste kogumit.

Kui keskmine väärtus üldistab tunnuse kvalitatiivselt homogeenseid väärtusi, siis on see tunnuse tüüpiline tunnus antud populatsioonis.

Siiski on vale vähendada keskmiste väärtuste rolli ainult tunnuste tüüpiliste väärtuste iseloomustamiseks populatsioonides, mis on selle tunnuse poolest homogeensed. Praktikas kasutab kaasaegne statistika palju sagedamini keskmisi, mis üldistavad selgelt homogeenseid nähtusi.

Keskmine rahvatulu elaniku kohta, keskmine põllukultuuride saagikus üle riigi, keskmine tarbimine erinevaid tooteid toitumine - need on riigi kui ühtse majandussüsteemi tunnused, need on nn süsteemi keskmised.

Süsteemi keskmised võivad iseloomustada nii ruumilisi kui ka objektisüsteeme, mis eksisteerivad samaaegselt (riik, tööstus, piirkond, planeet Maa jne) ja dünaamilised süsteemid ajaliselt pikendatud (aasta, kümnend, aastaaeg jne).

Keskmise väärtuse kõige olulisem omadus on see, et see peegeldab ühist, mis on omane kõigile uuritava populatsiooni üksustele. Rahvastiku üksikute üksuste atribuudi väärtused kõiguvad ühes või teises suunas paljude tegurite mõjul, mille hulgas võib olla nii põhilisi kui ka juhuslikke. Näiteks ettevõtte kui terviku aktsiahinna määrab tema finantsseisund. Samas võib teatud päevadel ja teatud börsidel, tulenevalt valitsevatest oludest, neid aktsiaid müüa kõrgema või madalama kursiga. Keskmise olemus seisneb selles, et see tühistab populatsiooni üksikute ühikute atribuudi väärtuste kõrvalekalded juhuslike tegurite mõjul ja võtab arvesse muutusi, mis on põhjustatud elanikkonna tegevusest. peamised tegurid. See võimaldab keskmisel kajastada funktsiooni tüüpilist taset ja sellest abstraktselt võtta individuaalsed omadused omane üksikutele üksustele.

Keskmise arvutamine on üks levinud üldistustehnika; keskmine näitaja peegeldab üldist, mis on tüüpiline (tüüpiline) uuritava üldkogumi kõikidele üksustele, samas eirab üksikute üksuste erinevusi. Igas nähtuses ja selle arengus on kombinatsioon juhusest ja vajadusest.

Keskmine on kokkuvõtlik iseloomustus protsessi seaduspärasustest tingimustes, milles see kulgeb.

Iga keskmine iseloomustab uuritavat populatsiooni mis tahes ühe tunnuse järgi, kuid mis tahes populatsiooni iseloomustamiseks, selle tüüpiliste tunnuste ja kvalitatiivsete tunnuste kirjeldamiseks on vaja keskmiste näitajate süsteemi. Seetõttu arvutatakse sotsiaal-majanduslike nähtuste uurimiseks siseriikliku statistika praktikas reeglina keskmiste näitajate süsteem. Nii näiteks keskmine palgad hinnatakse koos keskmise toodangu, kapitali ja tööjõu suhte ning võimsuse ja tööjõu suhte, töö mehhaniseerituse ja automatiseerituse astme näitajatega jne.

Keskmine tuleks arvutada, võttes arvesse uuritava näitaja majanduslikku sisu. Seetõttu saab konkreetse sotsiaal-majanduslikus analüüsis kasutatava näitaja kohta teaduslikul arvutusmeetodil välja arvutada ainult ühe keskmise tegeliku väärtuse.

Keskmine väärtus on üks olulisemaid üldistavaid statistilisi näitajaid, mis iseloomustab sama tüüpi nähtuste kogumit mõne kvantitatiivselt muutuva tunnuse järgi. Statistikas on keskmised üldistavad näitajad, sotsiaalsete nähtuste tüüpilisi iseloomulikke dimensioone väljendavad numbrid ühe kvantitatiivselt muutuva tunnuse järgi.

Keskmiste tüübid

Keskmiste väärtuste tüübid erinevad peamiselt selle poolest, millist omadust, millist tunnuse individuaalsete väärtuste algse muutuva massi parameetrit tuleks muutmata jätta.

Aritmeetiline keskmine

Aritmeetiline keskmine on tunnuse selline keskmine väärtus, mille arvutamisel jääb tunnuse kogumaht agregaadis muutumatuks. Vastasel juhul võime öelda, et aritmeetiline keskmine on keskmine liitmine. Kui see on arvutatud, jaotatakse atribuudi kogumaht vaimselt võrdselt kõigi populatsiooni üksuste vahel.

Aritmeetilist keskmist kasutatakse juhul, kui on teada keskmistatud tunnuse väärtused (x) ja teatud tunnusväärtusega populatsiooniüksuste arv (f).

Aritmeetiline keskmine võib olla lihtne ja kaalutud.

lihtne aritmeetiline keskmine

Lihtsat kasutatakse juhul, kui iga tunnuse väärtus x esineb üks kord, s.t. iga x puhul on tunnuse väärtus f=1 või kui algandmed ei ole järjestatud ja pole teada, mitmel ühikul on teatud tunnusväärtused.

Lihtne aritmeetilise keskmise valem on:

kus on keskmine väärtus; x on keskmistatud tunnuse (variandi) väärtus, on uuritava üldkogumi ühikute arv.

Aritmeetiline kaalutud keskmine

Erinevalt lihtkeskmisest rakendatakse aritmeetilist kaalutud keskmist juhul, kui atribuudi x iga väärtus esineb mitu korda, s.t. iga tunnuse väärtuse kohta f≠1. Seda keskmist kasutatakse laialdaselt keskmise arvutamisel diskreetse jaotusrea alusel:

kus on rühmade arv, x on keskmistatud tunnuse väärtus, f on tunnuse väärtuse kaal (sagedus, kui f on populatsiooni ühikute arv; sagedus, kui f on ühikute osakaal valikuga x kogurahvastik).

Keskmine harmooniline

Statistika kasutab koos aritmeetilise keskmisega harmoonilist keskmist, atribuudi vastastikuste väärtuste aritmeetilise keskmise pöördarvu. Nagu aritmeetiline keskmine, võib see olla lihtne ja kaalutud. Seda kasutatakse siis, kui algandmetes vajalikud kaalud (f i) ei ole otseselt määratud, vaid sisalduvad tegurina mõnes olemasolevas näitajas (st kui keskmise algsuhte lugeja on teada, kuid selle nimetaja on teadmata).

Keskmine harmooniline kaalutud

Korrutis xf annab ühikute komplekti keskmistatud tunnuse x mahu ja seda tähistatakse w-ga. Kui lähteandmed sisaldavad keskmistatud tunnuse x väärtusi ja keskmistatud tunnuse w mahtu, kasutatakse keskmise arvutamiseks harmoonilist kaalutud väärtust:

kus x on keskmistatud tunnuse x väärtus (valikuline); w on variantide x kaal, keskmistatud tunnuse maht.

Harmooniline keskmine kaalumata (lihtne)

Sellel keskmisel kujul, mida kasutatakse palju harvemini, on järgmine vaade:

kus x on keskmistatud tunnuse väärtus; n on x väärtuste arv.

Need. see on tunnuse vastastikuste väärtuste lihtsa aritmeetilise keskmise pöördväärtus.

Praktikas kasutatakse harmoonilist lihtkeskmist harva juhtudel, kui rahvastikuühikute w väärtused on võrdsed.

Ruutjuur ja keskmine kuup

Mõnel juhul on majanduspraktikas vaja arvutada objekti keskmine suurus, väljendatuna ruut- või kuupühikutes. Seejärel kasutatakse keskmist ruutu (näiteks külje ja ruutlõike keskmise suuruse, torude, tüvede jne keskmiste läbimõõtude arvutamiseks) ja keskmist kuupmeetrit (näiteks külje ja ristlõike keskmise pikkuse määramisel). kuubikud).

Kui tunnuse üksikute väärtuste asendamisel keskmise väärtusega on vaja jätta algsete väärtuste ruutude summa muutumatuks, siis on keskmine ruutkeskmine, lihtne või kaalutud.

Keskmine ruut lihtne

Lihtsat kasutatakse juhul, kui iga tunnuse x väärtus esineb üks kord, üldiselt näeb see välja järgmine:

kus on keskmistatud tunnuse väärtuste ruut; - rahvastikuüksuste arv.

Kaalutud keskmine ruut

Kaalutud keskmist ruutu rakendatakse, kui iga keskmistatud tunnuse x väärtus esineb f korda:

,

kus f on valikute x kaal.

Keskmine kuupmeetriline lihtne ja kaalutud

Keskmine lihtkuup on üksikute tunnuste väärtuste kuubikute summa jagatise kuupjuur:

kus on tunnuse väärtused, n on nende arv.

Keskmine kaalutud kuup:

,

kus f on x valiku kaal.

Ruutkeskmine ja kuupkeskmine on statistika praktikas piiratud kasutusega. Ruutkeskmise statistikat kasutatakse laialdaselt, kuid mitte variantidest x endist , ja nende kõrvalekalletest keskmisest variatsiooninäitajate arvutamisel.

Keskmist saab arvutada mitte kõigi, vaid mõne osa rahvastikuüksuste kohta. Sellise keskmise näiteks võib ühe erakeskmisena olla progresseeruv keskmine, mida ei arvutata mitte kõigile, vaid ainult "parimatele" (näiteks individuaalsetest keskmistest kõrgemate või madalamate näitajate puhul).

Geomeetriline keskmine

Kui keskmise atribuudi väärtused on üksteisest oluliselt eraldatud või on antud koefitsientide (kasvumäärad, hinnaindeksid) abil, kasutatakse arvutamisel geomeetrilist keskmist.

Geomeetriline keskmine arvutatakse astme juure ja üksikute väärtuste korrutistest - tunnuse variandid X:

kus n on valikute arv; P on töö märk.

Enamik lai rakendus geomeetriline keskmine saadi aegridade keskmise muutumiskiiruse määramiseks, samuti jaotusreas.

Keskmised väärtused on üldistavad näitajad, milles leitakse tegevusväljendeid üldtingimused, uuritava nähtuse regulaarsus. Statistilised keskmised arvutatakse õigesti statistiliselt korraldatud massivaatluse (pideva või valimi) massiandmete põhjal. Statistiline keskmine on aga objektiivne ja tüüpiline, kui see arvutatakse kvalitatiivselt homogeense populatsiooni (massinähtused) massiandmete põhjal. Keskmiste kasutamine peaks lähtuma üldise ja indiviidi, massi ja indiviidi kategooriate dialektilisest mõistmisest.

Üldvahendite kombineerimine rühmavahenditega võimaldab piirata kvalitatiivselt homogeenseid populatsioone. Selle või teise keeruka nähtuse moodustavate objektide massi jagamine sisemiselt homogeenseteks, kuid kvalitatiivselt erinevad rühmad Iseloomustades iga rühma selle keskmisega, on võimalik esile tuua tekkiva uue kvaliteedi protsessi tagavarad. Näiteks rahvastiku jaotus sissetulekute järgi võimaldab tuvastada uute sotsiaalsete rühmade teket. Analüütilises osas käsitlesime konkreetset näidet keskmise väärtuse kasutamisest. Kokkuvõtvalt võib öelda, et keskmiste ulatus ja kasutus statistikas on üsna lai.

Praktiline ülesanne

Ülesanne nr 1

Määrake keskmine ostukurss ja keskmine müügimäär üks ja USA dollar

Keskmine ostumäär

Keskmine müügimäär

Ülesanne nr 2

Omatoodangu mahu dünaamika Toitlustamine Tšeljabinski piirkond 1996-2004 on tabelis esitatud võrreldavates hindades (miljonit rubla)

Tehke seeriate A ja B sulgemine. Valmistoodete tootmise dünaamika seeria analüüsimiseks arvutage:

1. Absoluutne kasv, kasv ja kasvumäärad, ahel ja põhi

2. Valmistoodete keskmine aastane toodang

3. Ettevõtte toodete keskmine aastane kasvutempo ja juurdekasv

4. Tehke dünaamika ridade analüütiline joondus ja arvutage prognoos 2005. aastaks

5. Kujutage graafiliselt dünaamika seeriat

6. Tee dünaamika tulemuste põhjal järeldus

1) yi B = yi-y1 yi C = yi-y1

y2 B = 2,175 – 2,04 y2 C = 2,175 – 2,04 = 0,135

y3B = 2,505 – 2,04 y3 C = 2,505 – 2,175 = 0,33

y4 B = 2,73 - 2,04 y4 C = 2,73 - 2,505 = 0,225

y5 B = 1,5–2,04 y5 C = 1,5–2,73 = 1,23

y6 B = 3,34 - 2,04 y6 C = 3, 34 - 1,5 = 1,84

y7 B = 3,6 3 – 2,04 y7 C = 3,6 3 – 3,34 = 0,29

y8 B = 3,96–2,04 y8 C = 3,96–3,63 = 0,33

y9 B = 4,41–2,04 y9 C = 4, 41–3,96 = 0,45

Tr B2 Tr C2

Tr B3 Tr C3

Tr B4 Tr C4

Tr B5 Tr C5

Tr B6 Tr C6

Tr B7 Tr C7

Tr B8 Tr C8

Tr B9 Tr C9

Tr B = (TprB * 100%) – 100%

Tr B2 \u003d (1,066 * 100%) - 100% \u003d 6,6%

Tr C3 \u003d (1,151 * 100%) - 100% \u003d 15,1%

2) a miljonit rubla - keskmine toote tootlikkus

2,921 + 0,294*(-4) = 2,921-1,176 = 1,745

2,921 + 0,294*(-3) = 2,921-0,882 = 2,039

(yt-y) = (1,745-2,04) = 0,087

(yt-yt) = (1,745-2,921) = 1,382

(y-yt) = (2,04-2,921) = 0,776

Tp

Kõrval

2005 = 2,921+1,496*4=2,921+5,984=8,905

8,905+2,306*1,496=12,354

8,905-2,306*1,496=5,456

5,456 2005 12,354

Ülesanne nr 3

Toidu- ja esmatarbekaupade hulgitarnete ning piirkonna jaekaubandusvõrgu statistilised andmed aastatel 2003 ja 2004 on toodud vastavatel graafikutel.

Vastavalt tabelitele 1 ja 2 on see nõutav

1. Leidke ühine indeks hulgimüügi tarne toiduained tegelike hindadega;

2. Leida toiduvarude tegeliku mahu üldindeks;

3. Võrrelge levinud indekseid ja tehke asjakohane järeldus;

4. Leidke mittetoidukaupade pakkumise üldindeks tegelikes hindades;

5. Leidke toiduks mittekasutatavate kaupade tarnimise füüsilise mahu üldindeks;

6. Võrrelge saadud indekseid ja tehke järeldus toiduks mittekasutatavate toodete kohta;

7. Leia koondpakkumise üldindeksid kogu kaubamassi kohta tegelikes hindades;

8. Leidke füüsilise mahu konsolideeritud üldindeks (kogu kaubamassi kohta);

9. Võrrelge saadud liitindekseid ja tehke vastav järeldus.

	Baasperiood			Aruandeperiood (2004)			Aruandeperioodi tarned baasperioodi hindadega
			1,291-0,681=0,61= - 39 Järeldus Kokkuvõtteks teeme kokkuvõtte. Keskmised väärtused on üldistavad näitajad, milles väljendatakse üldtingimuste toimet, uuritava nähtuse regulaarsust. Statistilised keskmised arvutatakse õigesti statistiliselt korraldatud massivaatluse (pideva või valimi) massiandmete põhjal. Statistiline keskmine on aga objektiivne ja tüüpiline, kui see arvutatakse kvalitatiivselt homogeense populatsiooni (massinähtused) massiandmete põhjal. Keskmiste kasutamine peaks lähtuma üldise ja indiviidi, massi ja indiviidi kategooriate dialektilisest mõistmisest. Keskmine peegeldab üldist, mis moodustub igas üksikus üksikus objektis, tänu sellele saab keskmine suur tähtsus massile omaste mustrite tuvastamiseks sotsiaalsed nähtused ja üksikutes nähtustes hoomamatu. Indiviidi kõrvalekaldumine üldisest on arenguprotsessi ilming. Üksikutel üksikjuhtudel saab paigaldada uue, täiustatud elemente. Sel juhul iseloomustab arenguprotsessi konkreetne tegur keskmiste väärtuste taustal. Seetõttu peegeldab keskmine uuritavate nähtuste iseloomulikku, tüüpilist, tegelikku taset. Nende tasemete omadused ja nende muutused ajas ja ruumis on keskmiste üks põhiprobleeme. Nii avaldub näiteks keskmiste kaudu see, mis on omane teatud majandusarengu etapis ettevõtetele; elanikkonna heaolu muutus kajastub keskmises palgas, pere sissetulekutes tervikuna ja üksikute sotsiaalsete rühmade lõikes, toodete, kaupade ja teenuste tarbimise tasemes. Keskmine- see väärtus on tüüpiline (tavaline, normaalne, üldiselt valitsev), kuid see on selline, kuna see moodustub normaalses, vivo konkreetse massinähtuse olemasolu tervikuna vaadeldes. Keskmine peegeldab nähtuse objektiivset omadust. Tegelikkuses eksisteerivad sageli ainult hälbivad nähtused ja keskmist kui nähtust ei pruugi olla, kuigi nähtuse tüüpilisuse mõiste on laenatud tegelikkusest. Keskmine väärtus peegeldab uuritava tunnuse väärtust ja seetõttu mõõdetakse seda selle tunnusega samas mõõdus. Siiski on erinevaid viise rahvastiku leviku taseme ligikaudne määramine koondtunnuste, mis ei ole omavahel otseselt võrreldavad, võrdlemiseks, näiteks keskmine rahvaarv territooriumi suhtes (keskmine asustustihedus). Vastavalt sellele, milline tegur on vaja kõrvaldada, leitakse ka keskmise sisu. Üldvahendite kombineerimine rühmavahenditega võimaldab piirata kvalitatiivselt homogeenseid populatsioone. Jagades selle või teise kompleksse nähtuse moodustavate objektide massi sisemiselt homogeenseteks, kuid kvalitatiivselt erinevateks rühmadeks, iseloomustades iga rühma selle keskmisega, saab paljastada tekkiva uue kvaliteedi protsessi tagavarad. Näiteks rahvastiku jaotus sissetulekute järgi võimaldab tuvastada uute sotsiaalsete rühmade teket. Analüütilises osas käsitlesime konkreetset näidet keskmise väärtuse kasutamisest. Kokkuvõtvalt võib öelda, et keskmiste ulatus ja kasutus statistikas on üsna lai. Bibliograafia 1. Gusarov, V.M. Kvaliteedistatistika teooria [Tekst]: õpik. toetus / V.M. Gusarovi käsiraamat ülikoolidele. - M., 1998 2. Edronova, N.N. Statistika üldteooria [Tekst]: õpik / Toim. N.N. Edronova - M.: Rahandus ja statistika 2001 - 648 lk. 3. Elisejeva I.I., Juzbašev M.M. Statistika üldteooria [Tekst]: Õpik / Toim. vastav liige RAS I.I. Eliseeva. – 4. väljaanne, muudetud. ja täiendav - M.: Rahandus ja statistika, 1999. - 480.: ill. 4. Efimova M.R., Petrova E.V., Rumjantsev V.N. Statistika üldteooria: [Tekst]: Õpik. - M.: INFRA-M, 1996. - 416s. 5. Rjauzova, N.N. Statistika üldteooria [Tekst]: õpik / Toim. N.N. Rjauzova - M.: Rahandus ja statistika, 1984. Gusarov V.M. Statistika teooria: õpik. Toetus ülikoolidele. - M., 1998.-S.60. Eliseeva I.I., Juzbašev M.M. Statistika üldteooria. - M., 1999.-S.76. Gusarov V.M. Statistika teooria: õpik. Toetus ülikoolidele. -M., 1998.-S.61.

Aritmeetiline keskmine – statistiline näitaja, mis näitab antud andmemassiivi keskmist väärtust. Selline indikaator arvutatakse murdarvuna, mille lugeja on kõigi massiivi väärtuste summa ja nimetaja on nende arv. Aritmeetiline keskmine on oluline koefitsient, mida kasutatakse leibkonna arvutustes.

Koefitsiendi tähendus

Aritmeetiline keskmine on elementaarne näitaja andmete võrdlemiseks ja vastuvõetava väärtuse arvutamiseks. Näiteks müüakse erinevates poodides konkreetse tootja õllepurki. Kuid ühes poes maksab see 67 rubla, teises - 70 rubla, kolmandas - 65 rubla ja viimases - 62 rubla. Üsna suur hinnavahemik, seega ostjal on huvi keskmine maksumus pangad, et toodet ostes saaks ta oma kulusid võrrelda. Keskmiselt on õllepurgil linnas hind:

Keskmine hind = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubla.

Teades keskmist hinda, on lihtne kindlaks teha, kus on kasulik kaupu osta ja kus peate rohkem maksma.

Aritmeetilist keskmist kasutatakse pidevalt statistilistes arvutustes juhtudel, kui analüüsitakse homogeenset andmekogumit. Ülaltoodud näites on see sama kaubamärgi õllepurgi hind. Samas ei saa me võrrelda erinevate tootjate õlle ega õlle ja limonaadi hindu, kuna sel juhul on väärtuste levik suurem, keskmine hind on hägune ja ebausaldusväärne ning arvutuste sisu moondub karikatuurseks "keskmine temperatuur haiglas". Heterogeensete andmemassiivide arvutamiseks kasutatakse aritmeetilist kaalutud keskmist, kui iga väärtus saab oma kaaluteguri.

Aritmeetilise keskmise arvutamine

Arvutuste valem on äärmiselt lihtne:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

kus an on suuruse väärtus, n on väärtuste koguarv.

Milleks saab kasutada see näitaja? Selle esimene ja ilmne kasutus on statistikas. Peaaegu igas statistilises uuringus kasutatakse aritmeetilist keskmist. See võib olla keskmine abiellumisvanus Venemaal, õpilase keskmine hinne aines või keskmine toidukulu päevas. Nagu eespool mainitud, võib kaalusid arvesse võtmata keskmiste arvutamine anda kummalisi või absurdseid väärtusi.

Näiteks president Venemaa Föderatsioon tegi avalduse, et statistika järgi on venelase keskmine palk 27 000 rubla. Enamiku inimeste jaoks Venemaal tundus selline palgatase absurdne. Pole üllatav, kui arvutamisel võetakse arvesse ühelt poolt oligarhide, tööstusettevõtete juhtide, suurpankurite sissetulekuid ning teisalt õpetajate, koristajate ja müüjate palku. Isegi keskmised palgad ühel erialal, näiteks raamatupidajal, on Moskvas, Kostromas ja Jekaterinburgis tõsised.

Kuidas arvutada heterogeensete andmete keskmisi

Palgaarvestuse olukordades on oluline arvestada iga väärtuse kaaluga. See tähendab, et oligarhide ja pankurite palkadele antaks kaal näiteks 0,00001, müügiinimeste palgad aga 0,12. Need on numbrid laest, kuid need illustreerivad umbkaudu oligarhide ja müügimeeste levikut Venemaa ühiskonnas.

Seega on keskmiste keskmise või heterogeenses andmemassiivis keskmise väärtuse arvutamiseks vaja kasutada aritmeetilist kaalutud keskmist. Vastasel juhul saate Venemaal keskmist palka 27 000 rubla tasemel. Kui soovite teada oma keskmine hinne matemaatikas või valitud hokimängija löödud väravate keskmises arvus, siis sobib sulle aritmeetilise keskmise kalkulaator.

Meie programm on lihtne ja mugav kalkulaator aritmeetilise keskmise arvutamiseks. Arvutuste tegemiseks peate sisestama ainult parameetrite väärtused.

Vaatame paari näidet

Keskmise hinde arvutamine

Paljud õpetajad kasutavad aine aastahinde määramiseks aritmeetilise keskmise meetodit. Kujutagem ette, et laps saab matemaatikas järgmised veerandihinded: 3, 3, 5, 4. Millise aastahinde paneb õpetaja talle? Kasutame kalkulaatorit ja arvutame aritmeetilise keskmise. Esmalt valige sobiv arv välju ja sisestage kuvatavatesse lahtritesse hinnete väärtused:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Õpetaja ümardab väärtuse õpilase kasuks ja õpilane saab aasta eest korraliku nelja.

Söödud maiustuste arvutus

Illustreerime aritmeetilise keskmise absurdsust. Kujutage ette, et Mašal ja Vova said 10 maiustust. Maša sõi 8 kommi ja Vova ainult 2. Mitu kommi sõi iga laps keskmiselt? Kalkulaatori abil on lihtne välja arvutada, et lapsed sõid keskmiselt 5 maiustust, mis on täiesti vale ja terve mõistus. See näide näitab, et aritmeetiline keskmine on tähenduslike andmekogumite jaoks oluline.

Järeldus

Aritmeetilise keskmise arvutamist kasutatakse laialdaselt paljudes teadusvaldkondades. See näitaja on populaarne mitte ainult statistilistes arvutustes, vaid ka füüsikas, mehaanikas, majanduses, meditsiinis või rahanduses. Kasutage meie kalkulaatoreid abimehena aritmeetiliste keskmiste ülesannete lahendamisel.