kordaja meetodLagrange(ingliskeelses kirjanduses "LaGrange'i määramata kordajate meetod") ˗ see on numbriline lahendusmeetod optimeerimisprobleemid, mis võimaldab määrata sihtfunktsiooni "tingliku" äärmuse (minimaalne või maksimaalne väärtus)

selle muutujatele antud piirangute olemasolul võrduste kujul (st lubatud väärtuste vahemik on määratletud)

˗ need on funktsiooni argumendi väärtused (kontrollitud parameetrid) reaalalal, kus funktsiooni väärtus kaldub äärmusesse. Nimetuse "tingimuslik" ekstreemum kasutamine tuleneb asjaolust, et muutujatele on kehtestatud lisatingimus, mis piirab funktsiooni ekstreemumi otsimisel lubatud väärtuste ala.

Lagrange'i kordaja meetod võimaldab lubatavate väärtuste hulgast sihtfunktsiooni tingimusliku ekstreemumi leidmise probleemi teisendada probleemiks. tingimusteta optimeerimine funktsioonid.

Kui funktsioonid ja on pidevad koos nende osatuletistega, siis on muutujad λ, mis ei ole samaaegselt võrdsed nulliga, mille korral on täidetud järgmine tingimus:

Seega koostan vastavalt Lagrange'i kordajate meetodile sihtfunktsiooni ekstreemumi otsimiseks lubatavate väärtuste hulgast Lagrange'i funktsiooni L(x, λ), mida optimeeritakse veelgi:

kus λ ˗ on täiendavate muutujate vektor, mida nimetatakse määramatuteks Lagrange'i kordajateks.

Seega on funktsiooni f(x) tingimusliku ekstreemumi leidmise probleem taandatud funktsiooni L(x, λ) tingimusteta ekstreemumi leidmise probleemiks.

ja

Lagrange'i funktsiooni ekstreemumi vajalik tingimus on antud võrrandisüsteemiga (süsteem koosneb "n + m" võrranditest):

Selle võrrandisüsteemi lahendus võimaldab määrata funktsiooni (X) argumendid, mille juures funktsiooni väärtus L(x, λ), samuti sihtfunktsiooni väärtus f(x) vastavad äärmus.

Lagrange'i kordajate (λ) väärtus pakub praktilist huvi, kui piirangud esitatakse võrrandi vaba liikmega (konstant) kujul. Sel juhul saame sihtfunktsiooni väärtust edasi kaaluda (suurendada/vähendada), muutes võrrandisüsteemis konstandi väärtust . Seega iseloomustab Lagrange'i kordaja sihtfunktsiooni maksimumi muutumise kiirust piirava konstandi muutumisega.

Saadud funktsiooni ekstreemumi olemuse määramiseks on mitu võimalust:

Esimene viis: Olgu - äärmuspunkti koordinaadid ja - sihtfunktsiooni vastav väärtus. Võetakse punkt, mis on punktile lähedal, ja arvutatakse sihtfunktsiooni väärtus:

Kui a , siis on punktis maksimum.

Kui a , siis on punktis miinimum.

Teine viis: Piisav tingimus, mille põhjal saab määrata ekstreemumi olemuse, on Lagrange'i funktsiooni teise diferentsiaali märk. Lagrange'i funktsiooni teine ​​diferentsiaal on defineeritud järgmiselt:

Kui sisse antud punkt miinimum, kui , siis on sihtfunktsioonil f(x) tingimuslik maksimaalselt.

Kolmas viis: Samuti saab funktsiooni ekstreemumi olemuse leida, võttes arvesse Lagrange'i funktsiooni Hessi. Hesseni maatriks on sümmeetriline ruutmaatriks funktsiooni teised osatuletised punktis, kus maatriksi elemendid on põhidiagonaali suhtes sümmeetrilised.

Ekstreemumi tüübi (funktsiooni maksimum või miinimum) määramiseks võite kasutada Sylvesteri reeglit:

1. Et Lagrange'i funktsiooni teine ​​diferentsiaal oleks positiivse märgiga on vajalik, et funktsiooni nurkmollid oleksid positiivsed. Sellistel tingimustel on sellel hetkel funktsioonil miinimum.

2. Et Lagrange'i funktsiooni teine ​​diferentsiaal oleks märginegatiivne , on vajalik, et funktsiooni nurkmollid vahelduksid ja maatriksi esimene element peab olema negatiivne sv . Sellistel tingimustel on funktsioonil antud hetkel maksimum.

Nurkmoll on moll, mis asub algmaatriksi esimeses k reas ja k veerus.

Lagrange'i meetodi peamine praktiline tähtsus seisneb selles, et see võimaldab teil liikuda tingimuslikult optimeerimiselt tingimusteta ja vastavalt laiendada arsenali. kättesaadavad meetodid probleemi lahendamine. Kuid võrrandisüsteemi lahendamise ülesanne, millele seda meetodit, sisse üldine juhtum ei ole lihtsam kui algne ekstreemumi leidmise probleem. Selliseid meetodeid nimetatakse kaudseteks. Nende kasutamine on seletatav vajadusega saada äärmuslikule probleemile lahendus analüütilises vormis (näiteks teatud teoreetiliste arvutuste jaoks). Konkreetsete praktiliste probleemide lahendamisel kasutatakse tavaliselt otseseid meetodeid, mis põhinevad optimeeritavate funktsioonide väärtuste arvutamise ja võrdlemise iteratiivsetel protsessidel.

Arvutusmeetod

1 samm: Määrame Lagrange'i funktsiooni antud sihtfunktsioonist ja piirangute süsteemist:

Edasi

Artiklile kommentaari lisamiseks registreeruge saidil.

Harjutus. Teatud toote valmistamiseks on kaks võimalust. Iga meetodi tootmiskulud sõltuvad toodangust x 1 ja juures 2 järgmiselt: g( x 1)= 9x 1 + x 1 2 , g( x 2)=6x 2 + x 2 2 . Kuus on vaja toota 3 × 50 ühikut toodangut, jaotades selle kahe meetodi vahel, et minimeerida. kogukulud(lahendamisel kasutada Lagrange'i kordajate teenindusmeetodit).

Lahendus. Leia funktsiooni F(X) = 9 x 1 +x 1 2 +6 x 2 +x 2 2 ekstreemum, kasutades Lagrange'i funktsiooni:

kus
on vektori sihtfunktsioon .
- kaudsed piirangud (i=1..n)
Selles ülesandes optimeeritav eesmärkfunktsioon on funktsioon:
F(X) = 9 x 1 + x 1 2 + 6 x 2 + x 2 2
Kirjutame ülesande piirangu kaudsel kujul ümber:

Koostame Lagrange'i abifunktsiooni:
= 9 x 1 + x 1 2 + 6 x 2 + x 2 2 + λ (x 1 + x 2 -150)
Lagrange'i funktsiooni ekstreemumi vajalik tingimus on selle osatuletiste võrdsus nulliga muutujate x i ja määramatu teguri λ suhtes.
Loome süsteemi:
∂L/∂x 1 = 2 x 1 +λ+9 = 0
∂L/∂x 2 = λ+2 x 2 +6 = 0
∂F/∂λ = x 1 + x 2 -150 = 0
Lahendame süsteemi Gaussi meetodil või kasutades Crameri valemeid.

Kirjutame süsteemi kujul:

Arvutuste hõlbustamiseks vahetame read:

Lisame 2. rea esimesele:

Korrutage 2. rida arvuga (2). Korrutage 3. rida arvuga (-1). Liidame 3. rea teisele:

Korrutage 2. rida arvuga (-1). Lisame 2. rea esimesele:

Alates 1. realt väljendame x 3

2. realt väljendame x 2

Alates 3. realt väljendame x 1

Seega selleks, et tootmise kogukulu oleks minimaalne, on vaja toota x 1 = 74,25; x2 = 75,75.

Harjutus. Tootmisplaani kohaselt on ettevõttel vaja toota 50 toodet. Neid tooteid saab valmistada kahel tehnoloogilisel viisil. X 1 - toodete valmistamisel 1. meetodil on kulud 3x 1 + x 1 2 (tonnrubla) ja x 2 - toodete valmistamisel 2. meetodil on need 5x 2 + x 2 2 (tonn rubla) . Määrake, mitu toodet tuleb iga meetodiga selleks teha kogukulud tootmiseks olid minimaalsed.

Lahendus: koostage eesmärgifunktsioon ja piirangud:
F(X) = 3 x 1 + x 1 2 + 5 x 2 + x 2 2 → min
x 1 + x 2 = 50

Tingimusliku ekstreemumi määramise meetod algab Lagrange'i abifunktsiooni konstrueerimisega, mis saavutab teostatavate lahenduste piirkonnas maksimumi samade muutujate väärtuste korral x 1 , x 2 , ..., x n , mis on sihtfunktsioon z . Olgu probleemiks funktsiooni tingimusliku ekstreemumi määramine z=f(X) piirangute all φ i ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Koostage funktsioon

mida nimetatakse Lagrange'i funktsioon. X , - konstantsed tegurid ( Lagrange'i kordajad). Pange tähele, et Lagrange'i kordajatele võib anda majandusliku tähenduse. Kui a f(x 1 , x 2 , ..., x n ) - tulu vastavalt plaanile X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) ja funktsioon φ i (x 1 , x 2 , ..., x n ) on sellele plaanile vastava i-nda ressursi kulud, siis X , - i-nda ressursi hind (hinnang), mis iseloomustab sihtfunktsiooni äärmise väärtuse muutust sõltuvalt i-nda ressursi suuruse muutusest (marginaalne hinnang). L(X) - funktsioon n+m muutujad (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Selle funktsiooni statsionaarsete punktide määramine viib võrrandisüsteemi lahendamiseni

Seda on lihtne näha . Seega funktsiooni tingliku ekstreemumi leidmise probleem z=f(X) taandub funktsiooni lokaalse ekstreemumi leidmisele L(X) . Kui leitakse statsionaarne punkt, siis lahendatakse küsimus ekstreemumi olemasolust kõige lihtsamatel juhtudel ekstreemumi piisavate tingimuste alusel - teise diferentsiaali märgi uurimine. d 2 L(X) statsionaarses punktis tingimusel, et muutuja suureneb Δx i - seotud suhetega

mis saadakse piiranguvõrrandite diferentseerimisel.

Kahe tundmatuga mittelineaarsete võrrandite süsteemi lahendamine Solver tööriista abil

Seadistamine Lahenduse leidmine võimaldab leida süsteemile lahenduse mittelineaarsed võrrandid kahe tundmatuga:

kus
- muutujate mittelineaarne funktsioon x ja y ,
on suvaline konstant.

On teada, et paar x , y ) on võrrandisüsteemi (10) lahend siis ja ainult siis, kui see on järgmise võrrandi lahend kahes tundmatus:

FROM teisest küljest on süsteemi (10) lahendus kahe kõvera lõikepunktid: f ] (x, y) = C ja f 2 (x, y) = C 2 pinnal XOY.

Sellest tuleneb meetod süsteemi juurte leidmiseks. mittelineaarsed võrrandid:

Määrake (vähemalt ligikaudne) võrrandisüsteemi (10) või võrrandi (11) lahendi olemasolu intervall. Siin tuleb arvesse võtta süsteemis sisalduvate võrrandite tüüpi, nende iga võrrandi definitsioonipiirkonda jne. Mõnikord kasutatakse lahenduse esialgse lähenduse valikut;

Koostage valitud intervallil muutujate x ja y võrrandi (11) lahendus või koostage funktsioonide graafikud f 1 (x, y) = C ja f 2 (x, y) = C 2 (süsteem(10)).

Lokaliseerige võrrandisüsteemi oletatavad juured - leidke võrrandi (11) juurte tabelitabelist mitu miinimumväärtust või määrake süsteemi (10) sisalduvate kõverate lõikepunktid.

4. Leidke lisandmooduli abil võrrandisüsteemi (10) juured Otsige lahendust.

Lagrange'i kordajate meetod on klassikaline meetod matemaatilise programmeerimise (eriti kumerate) probleemide lahendamiseks. Kahjuks kl praktilise rakendamise Meetod võib tekitada suuri arvutusraskusi, mis kitsendab selle kasutusala. Siin käsitleme Lagrange'i meetodit peamiselt seetõttu, et see on aparaat, mida kasutatakse aktiivselt erinevate kaasaegsete ja praktikas laialdaselt kasutatavate numbriliste meetodite õigustamiseks. Mis puudutab Lagrange'i funktsiooni ja Lagrange'i kordajaid, siis neil on sõltumatu ja äärmiselt oluline roll mitte ainult matemaatilise programmeerimise teoorias ja rakendustes.

Mõelge klassikalisele optimeerimisprobleemile

max (min) z=f(x) (7,20)

Seda ülesannet eristab ülesandest (7.18), (7.19) asjaolu, et piirangute (7.21) hulgas ei ole ebavõrdsust, puuduvad tingimused muutujate mittenegatiivsuse, nende diskreetsuse ja funktsioonide f(x) jaoks. ) on mõlemad pidevad ja neil on vähemalt teist järku osatuletised.

Klassikaline lähenemine ülesande lahendamisele (7.20), (7.21) annab võrrandisüsteemi (vajalikud tingimused), mida peab rahuldama punkt x*, mis annab funktsioonile f(x) punktide hulgal lokaalse ekstreemumi. piirangute (7.21) rahuldamine (kumera programmeerimise ülesande puhul on leitud punkt x* vastavalt teoreemile 7.6 ka globaalne äärmuspunkt).

Oletame, et punktis x* on funktsioonil (7.20) lokaalne tingimuslik ekstreemum ja maatriksi auaste on. Seejärel saab vajalikud tingimused kirjutada järgmiselt:

(7.22)

on Lagrange'i funktsioon; on Lagrange'i kordajad.

Samuti on piisavalt tingimusi, mille korral võrrandisüsteemi (7.22) lahend määrab funktsiooni f(x) äärmuspunkti. See küsimus on lahendatud Lagrange'i funktsiooni teise diferentsiaali märgi uurimise põhjal. Peamiselt pakuvad aga teoreetiliselt huvi piisavad tingimused.

Probleemi (7.20), (7.21) lahendamiseks saab Lagrange'i kordaja meetodil näidata järgmist protseduuri:

1) koostada Lagrange'i funktsioon (7.23);

2) leida Lagrange'i funktsiooni osatuletised kõigi muutujate suhtes ja võrdsusta need nulliga. Seega saadakse võrranditest koosnev süsteem (7.22). Lahendage saadud süsteem (kui see osutub võimalikuks!) ja leidke sel viisil kõik Lagrange'i funktsiooni statsionaarsed punktid;

3) vali koordinaatideta statsionaarsetest punktidest punktid, milles funktsioonil f(x) on piirangute (7.21) olemasolul tinglikud lokaalsed ekstreemumid. See valik tehakse näiteks kohaliku ekstreemumi jaoks piisavaid tingimusi kasutades. Sageli lihtsustatakse uuringut, kui kasutatakse probleemi konkreetseid tingimusi.

Näide 7.3. Leidke piiratud ressursi optimaalne jaotus ühikutes. n tarbija vahel, kui j-ndale tarbijale ressursi x j ühiku jaotamisel saadud kasum arvutatakse valemiga .

Lahendus.Ülesande matemaatilisel mudelil on järgmine vaade:

Koostame Lagrange'i funktsiooni:

.

Leiame Lagrange'i funktsiooni osatuletised ja võrdsustage need nulliga:

Selle võrrandisüsteemi lahendamisel saame:

Seega, kui j-ndale tarbijale eraldatakse ühik. ressurss, siis saavutab kogukasum maksimaalse väärtuse ja ulatub den. ühikut

Oleme käsitlenud Lagrange'i meetodit kui klassikalise optimeerimise probleemi rakendamist. Seda meetodit on võimalik üldistada juhuks, kui muutujad on mittenegatiivsed ja mõned piirangud on antud ebavõrdsuse kujul. See üldistus on aga valdavalt teoreetiline ega too kaasa konkreetseid arvutusalgoritme.

Kokkuvõtteks anname Lagrange'i kordajatele majandusliku tõlgenduse. Selleks pöördume lihtsaima klassikalise optimeerimisülesande poole

max (min) z=f(x 1 , X 2); (7.24)

𝜑(x 1, x 2)=b. (7.25)

Oletame, et tingimuslik ekstreemum saavutatakse punktis . Funktsiooni vastav äärmuslik väärtus f(x)

Oletame, et piirangutes (7.25) on kogus b võib muutuda, siis äärmuspunkti koordinaadid ja seega ka äärmuslik väärtus f* funktsioonid f(x) muutuvad koguseks sõltuvalt b, st. ,ja seega ka funktsiooni (7.24) tuletis

• õpetus

Kõik head päeva. Selles artiklis tahan näidata üht graafilise ehitusmeetodit matemaatilised mudelid dünaamiliste süsteemide jaoks, mida nimetatakse sidemete graafik("side" - ühendused, "graafik" - graafik). Vene kirjandusest leidsin selle meetodi kirjeldusi ainult Tomski Polütehnilise Ülikooli õpikust A.V. Voronin "MEHHATROONILISTE SÜSTEEMIDE MODELLEERIMINE" 2008. Näidake ka klassikalist meetodit läbi Lagrange'i võrrandi 2. tüüpi.

Lagrange'i meetod

Teooriat ma maalima ei hakka, näitan arvutuste etappe ja paari kommentaariga. Mulle isiklikult on lihtsam näidetest õppida, kui teooriat 10 korda läbi lugeda. Mulle tundus, et vene kirjanduses on selle meetodi ja tõepoolest ka matemaatika või füüsika seletused väga täis keerulisi valemeid, mis vastavalt nõuab tõsist matemaatilist tausta. Lagrange’i meetodit õppides (õppides Itaalias Torino Polütehnilises Ülikoolis) õppisin arvutusmeetodite võrdlemiseks vene kirjandust ja selle meetodi lahendamise edenemist oli mul raske jälgida. Isegi Harkovi Lennuinstituudi modelleerimiskursusi meenutades oli selliste meetodite tuletamine väga tülikas ja keegi ei vaevunud sellest küsimusest aru saama. Selle otsustasin kirjutada, Lagrange'i järgi mattide mudelite ehitamise juhendi, nagu selgus, pole see sugugi keeruline, piisab, kui teada, kuidas arvutada ajatuletisi ja osatuletisi. Keerulisemate mudelite jaoks on lisatud rotatsioonimaatriksid, kuid ka neis pole midagi keerulist.

Modelleerimismeetodite omadused:

• Newton Euler: dünaamilisel tasakaalul põhinevad vektorvõrrandid jõud (jõud) ja hetked
• Lagrange: skalaarvõrrandid, mis põhinevad kineetika ja potentsiaaliga seotud olekufunktsioonidel energiat
• sidemete graafik: voolupõhine meetod võimsus (võimsus) süsteemi elementide vahel

Alustame sellest lihtne näide. Kaal koos vedru ja siibriga. Jätame tähelepanuta gravitatsioonijõu.

Joonis 1. Kaal koos vedru ja siibriga

Kõigepealt määratleme:

• esialgne koordinaatsüsteem(NSK) või fikseeritud sk R0(i0,j0,k0). Kuhu? Võite näpuga taevasse pista, kuid ajus olevate neuronite otste tõmblemisel läheb mõte panna NSC M1 keha liikumisjoonele.
• iga massiga keha koordinaatsüsteemid(meil on M1 R1(i1,j1,k1)), orientatsioon võib olla meelevaldne, kuid milleks oma elu keerulisemaks teha, me määrame selle minimaalse erinevusega NSC-st
• üldistatud koordinaadid q_i (minimaalne kogus muutujad, mis võivad liikumist kirjeldada), selles näites üks üldistatud koordinaat, liikumine ainult piki j-telge

Joonis 2. Koordinaatsüsteemide ja üldistatud koordinaatide ülespanemine

Joonis 3. Keha asend ja kiirus M1

Pärast seda, kui leiame siibri kineetilise (C) ja potentsiaalse (P) energia ning dissipatiivse funktsiooni (D) vastavalt valemitele:

Joonis 4. Kineetilise energia täielik valem

Meie näites pole pöörlemist, teine ​​komponent on 0.

Joonis 5. Kineetilise, potentsiaalse energia ja dissipatiivse funktsiooni arvutamine

Lagrange'i võrrandil on järgmine vorm:

Joonis 6. Lagrange'i võrrand ja Lagrange'i võrrand

Delta W_i see on virtuaalne töö, mida teevad rakendatud jõud ja hetked. Leiame selle üles:

Joonis 7. Virtuaalse töö arvutamine

Kus delta q_1 virtuaalne liikumine.

Asendame kõik Lagrange'i võrrandisse:

Joonis 8. Saadud massimudel vedru ja siibriga

Siin lõppes Lagrange'i meetod. Nagu näete, pole see nii keeruline, kuid see on siiski väga lihtne näide, mille jaoks Newton-Euleri meetod oleks suure tõenäosusega isegi lihtsam. Keerulisemate süsteemide puhul, kus mitu keha on pööratud üksteise suhtes erinevate nurkade all, on Lagrange'i meetod lihtsam.

Bond graafiku meetod

Näitan teile kohe, kuidas mudel välja näeb sidegraafikul, näiteks vedru ja siibri massiga:

Joonis 9. Ühendusgraafiku mass vedru ja siibriga

Siin tuleb rääkida veidi teooriat, mille ehitamiseks piisab lihtsad mudelid. Kui kedagi huvitab, võib raamatut lugeda ( Bond Graafi metoodika) või ( Voronin A.V. Mehhatrooniliste süsteemide modelleerimine: õpetus. - Tomsk: Tomski Polütehnilise Ülikooli kirjastus, 2008).

Esmalt defineerime, et keerulised süsteemid koosnevad mitmest domeenist. Näiteks koosneb elektrimootor elektrilistest ja mehaanilistest osadest või domeenidest.

sidemete graafik põhineb nende domeenide, alamsüsteemide vahelisel energiavahetusel. Pange tähele, et mis tahes vormis elektrivahetus määratakse alati kahe muutujaga ( muutuv võimsus), mille abil saame uurida erinevate alamsüsteemide vastasmõju dünaamilise süsteemi osana (vt tabel).

Nagu tabelist näha, on võimsuse väljendus kõikjal peaaegu sama. Kokkuvõttes, Võimsus- See töö " vool - f" peal " jõupingutused – e».

Pingutus(Inglise) pingutus) elektrivaldkonnas on see pinge (e), mehaanilises valdkonnas on see jõud (F) või moment (T), hüdraulikas on see rõhk (p).

Voolu(Inglise) voolu) elektrilises valdkonnas on see vool (i), mehaanilises valdkonnas on see kiirus (v) või nurkkiirus (oomega), hüdraulikas on see vool või vedeliku vool (Q).

Võttes need tähistused, saame võimsuse avaldise:

Joonis 10. Võimsuse valem võimsuse muutujatena

Seostegraafiku keeles on kahe võimsust vahetava alamsüsteemi vaheline seos kujutatud sidemega. võlakiri). Sellepärast nimetatakse seda meetodit sidemete graafik või g raf-ühendused, ühendatud graafik. Kaaluge plokkskeem sidemed elektrimootoriga mudelis (see pole veel sidegraafik):

Joonis 11. Domeenidevahelise võimsusvoo plokkskeem

Kui meil on pingeallikas, siis vastavalt genereerib see pinge ja annab selle tagasikerimiseks mootorile (seetõttu on nool suunatud mootori poole), olenevalt mähise takistusest tekib Ohmi seaduse järgi vool (suunatud mootor allikani). Sellest lähtuvalt on üks muutuja alamsüsteemi sisend ja teine ​​peab olema vajalik. tee välja allsüsteemist. Siin on pinge ( pingutus) – sisend, vool ( voolu) – väljumine.

Kui kasutate vooluallikat, kuidas diagramm muutub? Õigesti. Vool suunatakse mootorisse ja pinge allikasse. Siis praegune ( voolu) - Sisendpinge ( pingutus) – väljumine.

Vaatleme mehaanika näidet. Massile mõjuv jõud.

Joonis 12. Massile rakendatud jõud

Plokkskeem on järgmine:

Joonis 13. plokkskeem

Selles näites Strength ( pingutus) on massi sisendmuutuja. (massile rakendatud jõud)
Newtoni teise seaduse järgi:

Mass reageerib kiirusega:

Selles näites, kui üks muutuja ( tugevus - pingutus) on sissepääs mehaanilisse domeeni, seejärel teise võimsusmuutuja ( kiirust - voolu) - muutub automaatselt tee välja.

Et eristada, kus on sisend ja kus on väljund, kasutatakse elementide vahel noole (ühenduse) lõpus vertikaalset joont, seda joont nimetatakse põhjuslikkuse märk või põhjuslikkus (põhjuslikkus). Selgub: rakendatav jõud on põhjus ja kiirus on tagajärg. See märk on väga oluline õige ehitus süsteemsed mudelid, kuna põhjuslikkus on kahe alamsüsteemi füüsilise käitumise ja jõuvahetuse tagajärg, mistõttu ei saa põhjuslikkuse märgi asukoha valik olla meelevaldne.

Joonis 14. Põhjuslikkuse märkimine

See vertikaalne joon näitab, milline alamsüsteem võtab vastu jõudu ( pingutus) ja selle tulemusena tekitavad voolu ( voolu). Massinäites näeks see välja järgmine:

Joonis 14. Massile mõjuva jõu põhjuslikkus

Noole järgi on selge, et massi sisend - tugevus, ja väljund on kiirust. Seda tehakse selleks, et mitte risustada näidishoone skeemi ja süstematiseerimist nooltega.

Edasi oluline punkt. Üldine hoog(liikumise hulk) ja liigub(energia muutujad).

Võimsuse ja energia muutujate tabel erinevates valdkondades

Ülaltoodud tabelis on toodud kaks täiendavat füüsikalist suurust, mida kasutatakse sidegraafiku meetodil. Neid kutsutakse üldistatud hoog (R) ja üldine nihe (q) või energiamuutujaid ning neid saab saada võimsusmuutujate integreerimisel aja jooksul:

Joonis 15. Võimsuse ja energia muutujate vaheline seos

Elektrivaldkonnas :

Faraday seaduse järgi Pinge juhi otstes on võrdne seda juhti läbiva magnetvoo tuletisega.

AGA Praegune tugevus - füüsiline kogus, mis on võrdne mõne aja t läbi juhi ristlõike läbinud laengu Q ja selle ajaintervalli väärtuse suhtega.

Mehaaniline domeen:

Newtoni 2. seadusest, Tugevus on impulsi aja tuletis

Ja vastavalt kiirust- nihke aja tuletis:

Teeme üldistuse:

Põhielemendid

Kõik dünaamiliste süsteemide elemendid võib jagada kahe- ja neljapooluselisteks komponentideks.
Kaaluge bipolaarsed komponendid:

Allikad
Allikad on nii pingutus kui ka vool. Analoogia elektrivaldkonnas: pingutuste allikas – pingeallikas, vooluallikas – praegune allikas. Allikate põhjuslikud märgid peaksid olema ainult sellised.

Joonis 16. Põhjuslikud seosed ja allikate määramine

R komponent – dissipatiivne element

Komponent I - inertsiaalne element

Komponent C - mahtuvuslik element

Nagu joonistelt näha, erinevaid elementeüks tüüp R,C,I kirjeldatakse samade võrranditega. Erinevus on AINULT elektrilise mahtuvuse osas, see tuleb lihtsalt meeles pidada!

Neljapooluse komponendid:

Mõelge kahele komponendile: trafo ja güraator.

Viimased olulised komponendid sidegraafiku meetodi puhul on ühendused. Sõlme on kahte tüüpi:

See on komponentide lõpp.

Peamised sammud põhjuslike seoste tuvastamiseks pärast sidegraafiku koostamist:

1. Pange kõigele põhjuslikkus allikatest
2. Käige läbi kõik sõlmed ja pange pärast punkti 1 üles põhjuslikud seosed
3. Sest komponendid I määrata sisend põhjuslikkus (pingutus sisaldub selles komponendis), jaoks komponendid C määrata väljundi põhjuslik seos (pingutus tuleb sellest komponendist)
4. Korrake punkti 2
5. Joonistage põhjuslikud seosed R komponendid

Sellega on teooria minikursus lõpetatud. Nüüd on meil olemas kõik, mida vajame mudelite ehitamiseks.
Lahendame paar näidet. Alustame elektriahelast, mõistame paremini sidegraafiku koostamise analoogiat.

Näide 1

Alustame pingeallikast sidegraafiku koostamist. Lihtsalt kirjuta Se ja pane nool.

Näete, et kõik on lihtne! Vaatame edasi, R ja L on ühendatud järjestikku, mis tähendab, et neis voolab sama vool, kui rääkida võimsusmuutujatest - sama vool. Millises sõlmes on sama voog? Õige vastus on 1-sõlm. 1-sõlme külge kinnitame allika, takistuse (komponent - R) ja induktiivsuse (komponent - I).

Järgmisena on meil mahtuvus ja takistus paralleelselt, mis tähendab, et neil on sama pinge või jõud. 0-sõlm sobib nagu ükski teine. Ühendame mahtuvuse (komponent C) ja takistuse (komponent R) 0-sõlmega.

Sõlmed 1 ja 0 on samuti omavahel ühendatud. Noolte suund valitakse meelevaldselt, ühenduse suund mõjutab ainult märki võrrandites.

Hankige järgmine linkide graafik:

Nüüd peame põhjuslikud seosed maha panema. Järgides nende kinnitamise järjestuse juhiseid, alustame allikast.

1. Meil on stressi (pingutuse) allikas, sellisel allikal on ainult üks põhjuslikkuse variant – väljund. Panime.
2. Siis on I komponent, vaatame, mida soovitatakse. Panime
3. Panime maha 1-sõlme jaoks. Seal on
4. 0-sõlmel peab olema üks sisend ja kõik väljundi põhjuslikud seosed. Meil on üks vaba päev. Otsime komponente C või I. Leitud. Panime
5. Näitab, mis on alles

See on kõik. Ehitatud sidegraafik. Hurraa, seltsimehed!

Ainus asi, mida teha, on kirjutada meie süsteemi kirjeldavad võrrandid. Selleks loome 3 veeruga tabeli. Esimene sisaldab kõiki süsteemi komponente, teine ​​sisaldab iga elemendi sisendmuutujat ja kolmas sisaldab sama komponendi väljundmuutujat. Oleme sisse- ja väljapääsu juba põhjusliku seose järgi määranud. Nii et probleeme ei tohiks olla.

Võrrandite kirjutamise mugavuse huvides nummerdame iga ühenduse. Võtame iga elemendi võrrandid komponentide C, R, I loendist.

Pärast tabeli koostamist defineerime olekumuutujad, selles näites on 2, p3 ja q5. Järgmisena peate kirjutama olekuvõrrandid:

See on kõik, mudel on valmis.

Näide 2. Tahan lihtsalt vabandada foto kvaliteedi pärast, peaasi, et lugeda oskad

Lahendame veel ühe mehaanilise süsteemi näite, sama, mille lahendasime Lagrange'i meetodil. Näitan lahendust ilma kommentaarideta. Kontrollime, milline neist meetoditest on lihtsam, lihtsam.

Matipallis koostati mõlemad matimudelid samade parameetritega, mis saadi Lagrange'i meetodi ja sidegraafiku abil. Tulemus allpool: lisage sildid