Tasapinna sirgjoone võrrand.
Suunavektor on sirge. Normaalvektor

Tasapinna sirgjoon on üks lihtsamaid geomeetrilised kujundid, mis on teile tuttav juba algklassidest ja täna õpime sellega toime tulema, kasutades analüütilise geomeetria meetodeid. Materjali valdamiseks on vaja ehitada sirgjoont; teada, milline võrrand määratleb sirge, eelkõige alguspunkti läbiva sirge ja koordinaattelgedega paralleelsed sirged. See informatsioon leiate juhendist Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused, lõin selle matani jaoks, kuid jaotis umbes lineaarne funktsioon osutus väga edukaks ja üksikasjalikuks. Seega, kallid teekannud, soojendage end kõigepealt seal. Lisaks peab sul olema põhiteadmised umbes vektorid vastasel juhul jääb materjalist arusaamine puudulik.

Selles õppetükis vaatleme viise, kuidas saate tasapinnal sirgjoone võrrandit kirjutada. Soovitan mitte jätta tähelepanuta praktilisi näiteid (isegi kui see tundub väga lihtne), kuna varustan neid elementaarsete ja olulised faktid, tehnilisi meetodeid, mida vajatakse tulevikus, sealhulgas teistes kõrgema matemaatika osades.

• Kuidas kirjutada kaldega sirge võrrandit?
• Kuidas ?
• Kuidas leida sirge üldvõrrandi järgi suunavektorit?
• Kuidas kirjutada sirgjoone võrrandit, kui on antud punkt ja normaalvektor?

ja alustame:

Joone võrrand kaldega

Tuntud sirgjoone võrrandi "kooli" vormi nimetatakse sirge võrrand kaldega. Näiteks kui sirge on antud võrrandiga , siis selle kalle: . Mõelge selle koefitsiendi geomeetrilisele tähendusele ja sellele, kuidas selle väärtus mõjutab joone asukohta:

Geomeetria käigus on tõestatud, et sirgjoone kalle on nurga puutuja positiivse telje suuna vahelja antud rida: , ja nurk keeratakse lahti vastupäeva.

Et joonist mitte segamini ajada, tõmbasin nurgad ainult kahele sirgele. Mõelge "punasele" sirgele ja selle kallele. Vastavalt ülaltoodule: (nurk "alfa" on tähistatud rohelise kaarega). "Sinise" sirge kaldega puhul kehtib võrdsus (nurk "beeta" on tähistatud pruuni kaarega). Ja kui nurga puutuja on teada, siis vajadusel on seda lihtne leida ja nurk kasutades pöördfunktsiooni - arctangens. Nagu öeldakse, trigonomeetriline tabel või kalkulaator käes. Sellel viisil, kalle iseloomustab sirge kalde astet x-telje suhtes.

Samas on see võimalik järgmistel juhtudel:

1) Kui kalle on negatiivne: , siis joon jämedalt öeldes läheb ülalt alla. Näited on joonisel "sinised" ja "karmiinpunased" sirgjooned.

2) Kui kalle on positiivne: , siis joon läheb alt üles. Näideteks on "must" ja "punane" sirgjoon joonisel.

3) Kui kalle on võrdne nulliga: , siis on võrrand kujul ja vastav sirge on paralleelne teljega. Näiteks on "kollane" joon.

4) Teljega paralleelsete sirgjoonte perekonna puhul (joonisel pole näidet, välja arvatud telg ise) on kalle ei eksisteeri (90 kraadi puutuja pole määratletud).

Mida suurem on kaldemoodul, seda järsemaks läheb joondiagramm.

Mõelge näiteks kahele sirgjoonele. Siin on sirgel järsem kalle. Tuletan meelde, et moodul võimaldab märki ignoreerida, meid huvitab ainult absoluutväärtused nurkkoefitsiendid.

Sirge on omakorda järsem kui sirged. .

Vastupidi: mida väiksem on kaldemoodul, seda sirge on laugem.

Sirgete joonte jaoks ebavõrdsus on tõsi, seega on sirgjoon rohkem kui varikatus. Laste liumägi, et mitte istutada sinikaid ja muhke.

Miks seda vaja on?

Pikendage piina Ülaltoodud faktide teadmine võimaldab teil kohe näha oma vigu, eriti vigu graafikute joonistamisel - kui joonisel selgus, et midagi on selgelt valesti. On soovitav, et sa kohe oli selge, et näiteks sirge on väga järsk ja läheb alt üles ja sirge on väga tasane, telje lähedal ja läheb ülevalt alla.

Geomeetriliste ülesannete puhul esineb sageli mitu sirget joont, mistõttu on mugav neid kuidagi tähistada.

Märge: sirgjooned on tähistatud väikeste ladina tähtedega: . Populaarne valik on sama tähe tähistamine loomulike alaindeksitega. Näiteks saab tähistada viit rida, mida just vaatlesime .

Kuna iga sirge on üheselt määratud kahe punktiga, saab seda tähistada järgmiste punktidega: jne. Tähistus viitab ilmselgelt sellele, et punktid kuuluvad joonele.

Aeg veidi lõdvestuda:

Kuidas kirjutada kaldega sirge võrrandit?

Kui on teada punkt, mis kuulub teatud sirgele, ja selle sirge kalle, siis väljendatakse selle sirge võrrandit valemiga:

Näide 1

Koostage kaldega sirge võrrand, kui on teada, et punkt kuulub sellele sirgele.

Lahendus: Koostame sirgjoone võrrandi valemi järgi . Sel juhul:

Vastus:

Läbivaatus elementaarselt sooritatud. Esiteks vaatame saadud võrrandit ja veendume, et meie kalle on omal kohal. Teiseks peavad punkti koordinaadid täitma antud võrrandit. Ühendame need võrrandisse:

Saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et punkt rahuldab saadud võrrandit.

Järeldus: võrrand leiti õigesti.

Keerulisem näide isetegemise lahendusest:

Näide 2

Kirjutage sirge võrrand, kui on teada, et selle kaldenurk telje positiivse suuna suhtes on , ja punkt kuulub sellele sirgele.

Kui teil on raskusi, lugege teoreetiline materjal uuesti läbi. Täpsemalt, asjalikumalt, tunnen puudust paljudest tõestustest.

helises viimane kutse, lõpupidu on vaibunud ja meie kodukooli värava taga ootab meid tegelikult analüütiline geomeetria. Naljad on läbi... Võib-olla see alles algab =)

Nostalgiliselt vehime käepidemega tuttavale ja tutvume sirge üldvõrrandiga. Kuna analüütilises geomeetrias on kasutusel just see:

Sirge üldvõrrandil on vorm: , kus on mõned numbrid. Samal ajal koefitsiendid samaaegselt ei ole võrdsed nulliga, kuna võrrand kaotab oma tähenduse.

Riietume ülikonda ja seome kaldega võrrandi. Esiteks kanname kõik tingimused üle vasak pool:

Mõiste "x" tuleb asetada esikohale:

Põhimõtteliselt on võrrandil juba vorm , kuid matemaatilise etiketi reeglite kohaselt peab esimese liikme koefitsient (antud juhul ) olema positiivne. Märgid muutuvad:

Pidage meeles seda tehnilist funktsiooni! Teeme esimese koefitsiendi (kõige sagedamini ) positiivseks!

Analüütilises geomeetrias esitatakse sirgjoone võrrand peaaegu alati üldisel kujul. Noh, vajadusel on lihtne viia kaldega “kooli” vormi (erandiks on y-teljega paralleelsed sirged).

Küsigem endalt, mida piisav kas oskate sirgjoont ehitada? Kaks punkti. Aga selle lapsepõlve juhtumi kohta hiljem, nüüd jääb noolte reegel. Igal sirgel on täpselt määratletud kalle, millega on lihtne "kohaneda" vektor.

Vektorit, mis on joonega paralleelne, nimetatakse selle sirge suunavektoriks.. Ilmselgelt on igal sirgel lõpmatult palju suunavektoreid ja kõik need on kollineaarsed (kaassuunatud või mitte – vahet pole).

Tähistan suunavektorit järgmiselt: .

Kuid sirge ehitamiseks ühest vektorist ei piisa, vektor on vaba ja ei ole kinnitatud ühegi tasandi punktiga. Seetõttu on lisaks vaja teada mõnda punkti, mis joonele kuulub.

Kuidas kirjutada sirgjoone võrrandit, kui on antud punkt ja suunavektor?

Kui teatud sirgele kuuluv punkt ja selle sirge suunav vektor on teada, saab selle sirge võrrandi koostada valemiga:

Mõnikord nimetatakse seda sirge kanooniline võrrand .

Mida teha millal üks koordinaatidest on null, vaatleme allpool praktilisi näiteid. Muide, pange tähele - mõlemad korraga koordinaadid ei saa olla nullid, kuna nullvektor ei määra konkreetset suunda.

Näide 3

Kirjutage sirge võrrand, millel on punkt ja suunavektor

Lahendus: Koostame sirgjoone võrrandi valemi järgi. Sel juhul:

Kasutades proportsiooni omadusi, vabaneme murdosadest:

Ja me toome võrrandi juurde üldine vaade:

Vastus:

Selliste näidete joonistamine pole reeglina vajalik, kuid mõistmise huvides:

Joonisel näeme alguspunkti, algset suunavektorit (seda saab edasi lükata igast tasapinna punktist) ja konstrueeritud joont. Muide, paljudel juhtudel on sirgjoone ehitamine kõige mugavam kaldevõrrandi abil. Meie võrrandit on lihtne vormile teisendada ja sirge loomiseks saate probleemideta veel ühe punkti üles võtta.

Nagu lõigu alguses märgitud, on sirgel lõpmatult palju suunavektoreid ja need kõik on kollineaarsed. Näiteks joonistasin kolm sellist vektorit: . Ükskõik millise suunavektori me valime, on tulemuseks alati sama sirge võrrand.

Koostame sirgjoone võrrandi punkti ja suunavektori järgi:

Proportsioonide jagamine:

Jagage mõlemad pooled -2-ga ja saate tuttava võrrandi:

Soovijad saavad samamoodi vektoreid testida või mõni muu kollineaarne vektor.

Nüüd lahendame pöördülesande:

Kuidas leida sirge üldvõrrandi järgi suunavektorit?

Väga lihtne:

Kui sirge on antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis üldvõrrandiga, siis on vektor selle sirge suunavektor.

Näited sirgjoonte suunavektorite leidmiseks:

Väide võimaldab meil leida lõpmatust hulgast ainult ühe suunavektori, kuid me ei vaja rohkem. Kuigi mõnel juhul on soovitatav suunavektorite koordinaate vähendada:

Seega määrab võrrand sirge, mis on teljega paralleelne ja saadud juhtimisvektori koordinaadid jagatakse mugavalt -2-ga, saades juhtimisvektoriks täpselt baasvektori. Loogiliselt.

Samamoodi defineerib võrrand teljega paralleelse sirge ja jagades vektori koordinaadid 5-ga, saame suunavektoriks ort.

Nüüd teostame kontrolli näide 3. Näide tõusis üles, nii et tuletan teile meelde, et selles lõime sirgjoone võrrandi punkti ja suunavektori abil

Esiteks, vastavalt sirgjoone võrrandile taastame selle suunava vektori: - kõik on korras, saime algse vektori (mõnel juhul võib see osutuda algvektoriga kollineaarseks ja seda on tavaliselt vastavate koordinaatide proportsionaalsuse järgi lihtne näha).

Teiseks, peavad punkti koordinaadid täitma võrrandit . Asendame need võrrandisse:

Õige võrdsus on saavutatud, millega oleme väga rahul.

Järeldus: Töö on õigesti lõpetatud.

Näide 4

Kirjutage sirge võrrand, millel on punkt ja suunavektor

See on tee-seda-ise näide. Lahendus ja vastus tunni lõpus. Väga soovitav on teha kontroll just vaadeldud algoritmi järgi. Proovige alati (võimaluse korral) mustandit kontrollida. Rumal on teha vigu seal, kus neid saab 100% vältida.

Kui üks suunavektori koordinaatidest on null, on seda väga lihtne teha:

Näide 5

Lahendus: valem on kehtetu, kuna paremal pool olev nimetaja on null. Väljapääs on olemas! Kasutades proportsiooni omadusi, kirjutame valemi ümber kujul , ja ülejäänud veeretatakse mööda sügavat roopa:

Vastus:

Läbivaatus:

1) Taastage sirge suunavektor:
– saadud vektor on kollineaarne algse suunavektoriga.

2) Asendage võrrandi punkti koordinaadid:

Saavutatakse õige võrdsus

Järeldus: töö on õigesti tehtud

Tekib küsimus, miks peaks valemiga vaeva nägema, kui on olemas universaalne versioon, mis töötab nagunii? Põhjuseid on kaks. Esiteks murdosa valem palju parem meeles pidada. Teiseks miinus universaalne valem on see märkimisväärselt suurenenud segiajamise oht koordinaatide asendamisel.

Näide 6

Koostage sirge võrrand punkti ja suunavektoriga.

See on tee-seda-ise näide.

Tuleme tagasi üldlevinud kahe punkti juurde:

Kuidas kirjutada kahe punktiga sirge võrrandit?

Kui on teada kaks punkti, saab neid punkte läbiva sirge võrrandi koostada järgmise valemi abil:

Tegelikult on see omamoodi valem ja siin on põhjus: kui on teada kaks punkti, on vektor selle sirge suunavektor. Õppetunnis Mannekeenide vektorid käsitlesime lihtsaimat ülesannet – kuidas leida kahest punktist vektori koordinaate. Selle ülesande kohaselt on suunavektori koordinaadid:

Märge : punkte saab "vahetada" ja kasutada valemit . Selline otsus oleks võrdne.

Näide 7

Kirjutage kahest punktist sirgjoone võrrand .

Lahendus: Kasutage valemit:

Kammime nimetajaid:

Ja segage tekki:

Nüüd on aeg vabaneda murdarvud. Sel juhul peate mõlemad osad korrutama 6-ga:

Avage sulud ja tooge võrrand meelde:

Vastus:

Läbivaatus on ilmne - algpunktide koordinaadid peavad vastama saadud võrrandile:

1) Asendage punkti koordinaadid:

Tõeline võrdsus.

2) Asendage punkti koordinaadid:

Tõeline võrdsus.

Järeldus: sirgjoone võrrand on õige.

Kui a vähemalt üks punktidest ei rahulda võrrandit, otsige viga.

Väärib märkimist, et graafiline kontrollimine on sel juhul keeruline, kuna joont tuleb ehitada ja vaadata, kas punktid kuuluvad sellele. , mitte nii lihtne.

Märgin ära paar tehnilist punkti lahendusest. Võib-olla on selles probleemis kasulikum kasutada peegelvalemit ja samade punktide jaoks tee võrrand:

Murdeid on vähem. Soovi korral võid lahenduse lõpuni täita, tulemuseks peaks olema sama võrrand.

Teine punkt on vaadata lõplikku vastust ja vaadata, kas seda saab veelgi lihtsustada? Näiteks kui saadakse võrrand, siis on soovitatav seda kahe võrra vähendada: - võrrand seab sama sirge. See on aga juba jututeema sirgjoonte vastastikune paigutus.

Saanud vastuse Näites 7 kontrollisin igaks juhuks, kas võrrandi KÕIK koefitsiendid jaguvad 2, 3 või 7-ga. Kuigi enamasti tehakse selliseid taandusi lahendamise käigus.

Näide 8

Kirjutage punkte läbiva sirge võrrand .

See on näide iseseisva lahenduse jaoks, mis võimaldab teil lihtsalt arvutustehnikat paremini mõista ja välja töötada.

Sarnaselt eelmise lõiguga: kui valemis üks nimetajatest (suunavektori koordinaat) kaob, siis kirjutame selle ümber kujul . Ja jälle pange tähele, kui kohmetu ja segaduses ta välja nägi. Ma ei näe eriline tähendus sõita praktilisi näiteid, kuna oleme sellise probleemi juba tegelikult lahendanud (vt nr 5, 6).

Sirge normaalvektor (normaalvektor)

Mis on normaalne? Lihtsate sõnadega, normaalne on risti. See tähendab, et sirge normaalvektor on antud sirgega risti. On ilmne, et igal sirgel on neid lõpmatu arv (nagu ka suunavektoreid) ja kõik sirge normaalvektorid on kollineaarsed (ühissuunalised või mitte - vahet pole).

Nendega tegelemine on veelgi lihtsam kui suunavektoritega:

Kui sirge on antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis üldvõrrandiga, siis on vektor selle sirge normaalvektor.

Kui suunavektori koordinaadid tuleb võrrandist ettevaatlikult “välja tõmmata”, siis võib normaalvektori koordinaadid lihtsalt “eemaldada”.

Normaalvektor on alati sirge suunavektoriga ortogonaalne. Kontrollime nende vektorite ortogonaalsust kasutades punktitoode:

Toon näiteid samade võrranditega nagu suunavektori puhul:

Kas on võimalik kirjutada sirge võrrandit, teades üht punkti ja normaalvektorit? Tundub, et see on võimalik. Kui normaalvektor on teada, määratakse ka kõige sirgema joone suund üheselt - see on "jäik struktuur", mille nurk on 90 kraadi.

Kuidas kirjutada sirgjoone võrrandit, kui on antud punkt ja normaalvektor?

Kui on teada mõni sirgele kuuluv punkt ja selle sirge normaalvektor, siis väljendatakse selle sirge võrrandit valemiga:

Siin läks kõik ilma murdude ja muude üllatusteta. Selline on meie normaalvektor. Armastan seda. Ja austus =)

Näide 9

Koostage punkti ja normaalvektoriga sirge võrrand. Leia sirge suunavektor.

Lahendus: Kasutage valemit:

Saadakse sirge üldvõrrand, kontrollime:

1) "Eemaldage" võrrandist normaalvektori koordinaadid: - jah, tõepoolest, algvektor saadakse tingimusest (või vektor peaks olema algvektoriga kollineaarne).

2) Kontrollige, kas punkt vastab võrrandile:

Tõeline võrdsus.

Kui oleme veendunud, et võrrand on õige, täidame ülesande teise, lihtsama osa. Tõmbame välja sirgjoone suunavektori:

Vastus:

Joonisel on olukord järgmine:

Koolituse jaoks sarnane ülesanne iseseisva lahenduse jaoks:

Näide 10

Koostage punkti ja normaalvektoriga sirge võrrand. Leia sirge suunavektor.

Tunni viimane osa on pühendatud vähem levinud, aga ka olulised liigid tasapinna sirgjoone võrrandid

Segmentides sirgjoone võrrand.
Sirge võrrand parameetrilisel kujul

Segmentide sirgjoone võrrand on kujul , kus on nullist erinevad konstandid. Teatud tüüpi võrrandeid ei saa sellisel kujul esitada, näiteks otsest proportsionaalsust (kuna vaba liige on null ja paremale poolele ei saa ühte).

See on piltlikult öeldes "tehnilist" tüüpi võrrand. Tavaline ülesanne on üldvõrrand kujutavad sirget sirgjoone võrrandina segmentides . Miks see on mugav? Sirge võrrand lõikudes võimaldab kiiresti leida sirge lõikepunktid koordinaattelgedega, mis on mõne kõrgema matemaatika ülesande puhul väga oluline.

Leidke sirge ja telje lõikepunkt. Lähtestame "y" ja võrrand võtab kuju . Soovitud punkt saadakse automaatselt: .

Sama teljega on punkt, kus joon lõikub y-teljega.

Sirge omadused eukleidilises geomeetrias.

Seal on lõpmatult palju jooni, mida saab tõmmata läbi mis tahes punkti.

Kahe mittekattuvat punkti kaudu on ainult üks sirgjoon.

Kaks tasapinnal olevat mittekattuvat sirget kas lõikuvad ühes punktis või on

paralleelne (järgneb eelmisest).

3D-ruumis on kolm võimalust. suhteline positsioon kaks sirget joont:

• jooned ristuvad;

• sirgjooned on paralleelsed;

• sirgjooned ristuvad.

Otse rida- esimest järku algebraline kõver: Descartes'i koordinaatsüsteemis sirge

on antud tasapinnal esimese astme võrrandiga (lineaarvõrrand).

Sirge üldvõrrand.

Definitsioon. Mis tahes tasapinna sirge saab esitada esimest järku võrrandiga

Ah + Wu + C = 0,

ja pidev A, B ei võrdu samal ajal nulliga. Seda esimest järku võrrandit nimetatakse üldine

sirgjoone võrrand. Sõltuvalt konstantide väärtustest A, B ja FROM Võimalikud on järgmised erijuhud:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- joon läbib alguspunkti

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( + C = 0)- teljega paralleelne sirgjoon Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- teljega paralleelne sirgjoon OU

. B = C = 0, A ≠ 0- joon langeb kokku teljega OU

. A = C = 0, B ≠ 0- joon langeb kokku teljega Oh

Sirge võrrandit saab esitada kujul erinevaid vorme olenevalt ükskõik millisest antud

esialgsed tingimused.

Punkti ja normaalvektori sirgjoone võrrand.

Definitsioon. Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis vektor komponentidega (A, B)

võrrandiga antud sirgega risti

Ah + Wu + C = 0.

Näide. Leidke punkti läbiva sirge võrrand A(1, 2) vektoriga risti (3, -1).

Lahendus. Koostame punktides A \u003d 3 ja B \u003d -1 sirgjoone võrrandi: 3x - y + C \u003d 0. Koefitsiendi C leidmiseks

asendame saadud avaldisesse antud punkti A koordinaadid. Saame: 3 - 2 + C = 0, seega

C = -1. Kokku: soovitud võrrand: 3x - y - 1 \u003d 0.

Kaht punkti läbiva sirge võrrand.

Olgu ruumis antud kaks punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M2 (x 2, y 2, z 2), siis sirgjoone võrrand,

läbides neid punkte:

Kui mõni nimetajatest on võrdne nulliga, tuleb vastav lugeja määrata nulliga. peal

tasapinnal on ülal kirjutatud sirgjoone võrrand lihtsustatud:

kui x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, kui x 1 = x 2 .

Murd = k helistas kaldetegur otse.

Näide. Leidke punkte A(1, 2) ja B(3, 4) läbiva sirge võrrand.

Lahendus. Ülaltoodud valemit rakendades saame:

Sirge võrrand punkti ja kaldega.

Kui sirge üldvõrrand Ah + Wu + C = 0 vii vormile:

ja määrata , siis nimetatakse saadud võrrandit

sirge võrrand kaldega k.

Punkti sirge ja suunava vektori võrrand.

Analoogiliselt punktiga, mis võtab arvesse normaalvektorit läbiva sirge võrrandit, saate ülesande sisestada

punkti läbiv sirge ja sirge suunavektor.

Definitsioon. Iga nullist erinev vektor (α 1 , α 2), mille komponendid vastavad tingimusele

Aα 1 + Bα 2 = 0 helistas sirgjoone suunavektor.

Ah + Wu + C = 0.

Näide. Leidke sirge võrrand suunavektoriga (1, -1) ja läbib punkti A(1, 2).

Lahendus. Otsime soovitud sirge võrrandit kujul: Ax + By + C = 0. Definitsiooni järgi,

koefitsiendid peavad vastama järgmistele tingimustele:

1 * A + (-1) * B = 0, st. A = B.

Siis on sirgjoone võrrandil järgmine kuju: Ax + Ay + C = 0, või x + y + C / A = 0.

juures x = 1, y = 2 saame C/A = -3, st. soovitud võrrand:

x + y - 3 = 0

Segmentides sirgjoone võrrand.

Kui sirge Ah + Wu + C = 0 C≠0 üldvõrrandis, siis -C-ga jagades saame:

või, kus

Koefitsientide geomeetriline tähendus on see, et koefitsient a on lõikepunkti koordinaat

teljega sirge Oh, a b- sirge ja telje lõikepunkti koordinaat OU.

Näide. Sirge üldvõrrand on antud x - y + 1 = 0. Leidke selle sirge võrrand segmentides.

C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.

Sirge normaalvõrrand.

Kui võrrandi mõlemad pooled Ah + Wu + C = 0 arvuga jagada , mida nimetatakse

normaliseeriv tegur, siis saame

xcosφ + ysinφ - p = 0 -sirge normaalvõrrand.

Normaliseeriva teguri märk ± tuleb valida nii, et μ * C< 0.

R- ristnurga pikkus, mis on langenud lähtepunktist jooneni,

a φ - nurk, mille see risti moodustab telje positiivse suunaga Oh.

Näide. Antud sirgjoone üldvõrrand 12x - 5a - 65 = 0. Kirjutamiseks kohustuslik erinevad tüübid võrrandid

see sirgjoon.

Selle sirge võrrand segmentides:

Selle sirge võrrand kaldega: (jaga 5-ga)

Sirge võrrand:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Tuleb märkida, et mitte iga sirget ei saa esitada võrrandiga segmentides, näiteks sirged,

paralleelselt telgedega või läbides alguspunkti.

Tasapinna joonte vaheline nurk.

Definitsioon. Kui on antud kaks rida y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, siis terav nurk nende ridade vahel

määratletakse kui

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2. Kaks joont on risti

kui k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teoreem.

Otsene Ah + Wu + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 on paralleelsed, kui koefitsiendid on proportsionaalsed

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Kui ka С 1 \u003d λС, siis jooned langevad kokku. Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid

on leitud nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena.

Läbiva sirge võrrand antud punkt selle joonega risti.

Definitsioon. Punkti läbiv sirge M 1 (x 1, y 1) ja joonega risti y = kx + b

mida esindab võrrand:

Kaugus punktist jooneni.

Teoreem. Kui punkt antakse M(x 0, y 0), siis kaugus joonest Ah + Wu + C = 0 defineeritud kui:

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1)- perpendikulaari alus langes punktist M antud jaoks

otsene. Seejärel punktide vaheline kaugus M ja M 1:

(1)

Koordinaadid x 1 ja 1 võib leida võrrandisüsteemi lahendusena:

Süsteemi teine ​​võrrand on läbiva sirge võrrand antud punkt M 0 risti

antud rida. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

Laske sirgel läbida punkte M 1 (x 1; y 1) ja M 2 (x 2; y 2). Punkti M 1 läbiva sirge võrrand on kujul y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

kus k - siiani teadmata koefitsient.

Kuna sirge läbib punkti M 2 (x 2 y 2), peavad selle punkti koordinaadid vastama võrrandile (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Siit leiame Leitud väärtuse asendamise k võrrandisse (10.6) saame punkte M 1 ja M 2 läbiva sirge võrrandi:

Eeldatakse, et selles võrrandis x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Kui x 1 \u003d x 2, siis on punkte M 1 (x 1, y I) ja M 2 (x 2, y 2) läbiv sirgjoon y-teljega paralleelne. Selle võrrand on x = x 1 .

Kui y 2 \u003d y I, siis saab sirgjoone võrrandi kirjutada kui y \u003d y 1, sirge M 1 M 2 on paralleelne x-teljega.

Segmentides sirgjoone võrrand

Olgu sirgjoon Ox teljega punktis M 1 (a; 0) ja Oy teljega punktis M 2 (0; b). Võrrand saab kujul:
need.
. Seda võrrandit nimetatakse sirgjoone võrrand lõikudes, sest numbrid a ja b näitavad, millised lõigud sirge koordinaattelgedel ära lõikab.

Antud punkti läbiva sirge võrrand, mis on risti antud vektoriga

Leiame sirge võrrandi, mis läbib antud punkti Mo (x O; y o), mis on risti antud nullist erineva vektoriga n = (A; B).

Võtame sirge suvalise punkti M(x; y) ja vaatleme vektorit M 0 M (x - x 0; y - y o) (vt joonis 1). Kuna vektorid n ja M o M on risti, on nende skalaarkorrutis võrdne nulliga: see tähendab,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Nimetatakse võrrandit (10.8). sirge võrrand, mis läbib antud punkti, mis on risti antud vektoriga .

Sirgega risti olevat vektorit n = (A; B) nimetatakse normaalseks selle sirge normaalvektor .

Võrrandi (10.8) saab ümber kirjutada kujul Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kus A ja B on normaalvektori koordinaadid, C \u003d -Ax o - Vu o - vaba liige. Võrrand (10.9) on sirgjoone üldvõrrand(vt joonis 2).

Joon.1 Joon.2

Sirge kanoonilised võrrandid

,

Kus
on selle punkti koordinaadid, mida joon läbib, ja
- suunavektor.

Teist järku ringi kõverad

Ringjoon on antud punktist võrdsel kaugusel asuva tasapinna kõigi punktide hulk, mida nimetatakse keskpunktiks.

Raadiusringi kanooniline võrrand R keskendunud punktile
:

Täpsemalt, kui panuse keskpunkt langeb kokku lähtepunktiga, näeb võrrand välja järgmine:

Ellips

Ellips on punktide kogum tasapinnal, kauguste summa neist igaühest kahe antud punktini ja , mida nimetatakse fookusteks, on konstantne väärtus
, suurem kui fookuste vaheline kaugus
.

Ellipsi kanoonilisel võrrandil, mille fookused asuvad Härg-teljel ja mille alguspunkt asub fookuste vahel keskel, on vorm
G de a suurema pooltelje pikkus; b on väiksema pooltelje pikkus (joonis 2).

Punkti K(x 0; y 0) läbiv sirge y = kx + a paralleelne sirge leitakse valemiga:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Kus k on sirge kalle.

Alternatiivne valem:
Punkti M 1 (x 1 ; y 1) läbiv sirge Ax+By+C=0 paralleelne sirge esitatakse võrrandiga

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

Kirjutage punkti K() läbiva sirge võrrand ;) paralleelne sirgega y = x + .

Näide nr 1. Koostage punkti M 0 (-2,1) läbiva sirge võrrand ja samal ajal:
a) paralleelselt sirgega 2x+3y -7 = 0;
b) risti sirgega 2x+3y -7 = 0.
Lahendus . Esitame kaldevõrrandit kujul y = kx + a . Selleks kanname kõik väärtused, välja arvatud y, üle parem pool: 3a = -2x + 7 . Seejärel jagame parema poole koefitsiendiga 3 . Saame: y = -2/3x + 7/3
Leidke võrrand NK, mis läbib punkti K(-2;1), mis on paralleelne sirgega y = -2 / 3 x + 7 / 3
Asendades x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1, saame:
y-1 = -2/3 (x-(-2))
või
y = -2/3 x -1/3 või 3a + 2x +1 = 0

Näide nr 2. Kirjutage sirgjoonega paralleelse sirge võrrand 2x + 5y = 0 ja moodustades koos koordinaattelgedega kolmnurga, mille pindala on 5.
Lahendus . Kuna sirged on paralleelsed, on vajaliku sirge võrrand 2x + 5y + C = 0. Pindala täisnurkne kolmnurk, kus a ja b on selle jalad. Leidke soovitud sirge ja koordinaattelgede lõikepunktid:
;
.
Niisiis, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Asendage ala valemis: . Saame kaks lahendit: 2x + 5y + 10 = 0 ja 2x + 5y - 10 = 0 .

Näide nr 3. Kirjutage punkti (-2; 5) läbiva sirge ja paralleelse sirge võrrand 5x-7y-4=0 .
Lahendus. Seda sirget saab esitada võrrandiga y = 5/7 x – 4/7 (siin a = 5/7). Soovitud sirge võrrand on y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), s.o. 7(y-5)=5(x+2) või 5x-7y+45=0.

Näide nr 4. Lahendades näite 3 (A=5, B=-7) valemi (2) abil, leiame 5(x+2)-7(y-5)=0.

Näide number 5. Kirjutage punkti (-2;5) läbiva sirge ja paralleelse sirge võrrand 7x+10=0.
Lahendus. Siin A=7, B=0. Valem (2) annab 7(x+2)=0, st. x+2=0. Valem (1) ei ole rakendatav, kuna seda võrrandit ei saa lahendada y suhtes (see sirgjoon on paralleelne y-teljega).

See artikkel jätkab tasapinna sirgjoone võrrandi teemat: vaatleme sellist tüüpi võrrandit kui sirge üldvõrrandit. Defineerime teoreemi ja esitame selle tõestuse; Mõelgem välja, mis on sirge mittetäielik üldvõrrand ja kuidas teha üleminekuid üldvõrrandilt teist tüüpi sirge võrranditele. Kinnitame kogu teooria illustratsioonide ja praktiliste ülesannete lahendamisega.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Olgu tasapinnal antud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem O x y.

1. teoreem

Iga esimese astme võrrand, mille kuju on A x + B y + C \u003d 0, kus A, B, C on mõned reaalarvud (A ja B ei ole samal ajal võrdsed nulliga), määrab sirge ristkülikukujuline koordinaatsüsteem tasapinnal. Mis tahes tasapinnalise ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi sirge määratakse omakorda võrrandiga, mille vorm on A x + B y + C = 0 teatud väärtuste komplekti A, B, C jaoks.

Tõestus

See teoreem koosneb kahest punktist, me tõestame neist igaüks.

1. Tõestame, et võrrand A x + B y + C = 0 määrab tasapinna sirge.

Olgu mingi punkt M 0 (x 0 , y 0), mille koordinaadid vastavad võrrandile A x + B y + C = 0 . Seega: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Lahutage võrrandite A x + B y + C \u003d 0 vasak ja parem pool võrrandi A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 vasak ja parem pool, saame uue võrrandi, mis näeb välja nagu A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. See on ekvivalentne A x + B y + C = 0 .

Saadud võrrand A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 on vajalik ja piisav tingimus vektorite n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x) perpendikulaarsuse jaoks 0, y - y 0) . Seega määrab punktide hulk M (x, y) ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis sirge, mis on risti vektori suunaga n → = (A, B) . Võib eeldada, et see nii ei ole, kuid siis ei oleks vektorid n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) risti ja võrdus A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ei vastaks tõele.

Seetõttu määrab võrrand A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 tasapinna ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis mõne sirge ja seetõttu defineerib samaväärne võrrand A x + B y + C \u003d 0 sama rida. Seega oleme tõestanud teoreemi esimese osa.

1. Tõestame, et iga tasapinnalise ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi sirge saab esitada esimese astme võrrandiga A x + B y + C = 0 .

Seame tasapinnale ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis sirge a; punkt M 0 (x 0 , y 0), mida see sirge läbib, samuti selle sirge normaalvektor n → = (A , B) .

Olgu olemas ka mingi punkt M (x , y) - sirge ujukoma. Sel juhul on vektorid n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) üksteisega risti ja nende skalaarkorrutis on null:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Kirjutame ümber võrrandi A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, defineerime C: C = - A x 0 - B y 0 ja lõpuks saame võrrandi A x + B y + C = 0 .

Niisiis, me oleme tõestanud teoreemi teise osa ja oleme tõestanud kogu teoreemi tervikuna.

Definitsioon 1

Võrrand, mis näeb välja selline A x + B y + C = 0 - see on sirge üldvõrrand tasapinnal ristkülikukujulises koordinaatsüsteemisO x y .

Tõestatud teoreemile tuginedes võime järeldada, et fikseeritud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnal antud sirge ja selle üldvõrrand on lahutamatult seotud. Teisisõnu, algne rida vastab selle üldvõrrandile; sirge üldvõrrand vastab antud sirgele.

Samuti tuleneb teoreemi tõestusest, et muutujate x ja y koefitsiendid A ja B on sirge normaalvektori koordinaadid, mis on antud sirge üldvõrrandiga A x + B y + C = 0.

Kaaluge konkreetne näide sirge üldvõrrand.

Olgu antud võrrand 2 x + 3 y - 2 = 0, mis vastab sirgele antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Selle sirge normaalvektor on vektor n → = (2 , 3) ​​. Joonistage joonisel etteantud sirgjoon.

Võib väita ka järgmist: sirge, mida me joonisel näeme, määrab üldvõrrand 2 x + 3 y - 2 = 0, kuna antud sirge kõigi punktide koordinaadid vastavad sellele võrrandile.

Võrrandi λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 saame, kui korrutame üldise sirge võrrandi mõlemad pooled nullist erineva arvuga λ. Saadud võrrand on võrdne algse üldvõrrandiga, seetõttu kirjeldab see tasapinnal sama sirget.

2. definitsioon

Täielik sirge üldvõrrand- selline rea A x + B y + C \u003d 0 üldvõrrand, milles arvud A, B, C on nullist erinevad. Vastasel juhul on võrrand mittetäielik.

Analüüsime kõiki sirge mittetäieliku üldvõrrandi variatsioone.

1. Kui A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, muutub üldvõrrandiks B y + C \u003d 0. Selline mittetäielik üldvõrrand määratleb sirge ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis O x y, mis on paralleelne O x teljega, kuna iga x reaalväärtuse korral omandab muutuja y väärtuse - C B . Teisisõnu määratleb sirge A x + B y + C \u003d 0 üldvõrrand, kui A \u003d 0, B ≠ 0, punktide (x, y) asukoha, mille koordinaadid on võrdsed sama arvuga. - C B .
2. Kui A = 0, B ≠ 0, C = 0, saab üldvõrrandiks y = 0. Selline mittetäielik võrrand defineerib x-telje O x .
3. Kui A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, saame mittetäieliku üldvõrrandi A x + C \u003d 0, mis määratleb y-teljega paralleelse sirge.
4. Olgu A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, siis on mittetäielik üldvõrrand kujul x \u003d 0 ja see on koordinaatjoone O y võrrand.
5. Lõpuks, kui A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, on mittetäielik üldvõrrand kujul A x + B y \u003d 0. Ja see võrrand kirjeldab sirget, mis läbib alguspunkti. Tõepoolest, arvupaar (0, 0) vastab võrdsusele A x + B y = 0, kuna A · 0 + B · 0 = 0 .

Illustreerime graafiliselt kõiki ülaltoodud mittetäieliku sirge üldvõrrandi tüüpe.

Näide 1

Teatavasti on antud sirge paralleelne y-teljega ja läbib punkti 2 7 , - 11 . On vaja kirja panna antud sirge üldvõrrand.

Lahendus

Y-teljega paralleelne sirgjoon saadakse võrrandiga kujul A x + C \u003d 0, milles A ≠ 0. Tingimus määrab ka punkti koordinaadid, mida joon läbib, ja selle punkti koordinaadid vastavad mittetäieliku üldvõrrandi A x + C = 0 tingimustele, s.t. võrdsus on õige:

A 2 7 + C = 0

Sellest on võimalik määrata C, kui anda A-le mingi nullist erinev väärtus, näiteks A = 7 . Sel juhul saame: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Teame mõlemad koefitsiendid A ja C, asendame need võrrandiga A x + C = 0 ja saame rea nõutava võrrandi: 7 x - 2 = 0

Vastus: 7 x - 2 = 0

Näide 2

Joonisel on kujutatud sirgjoont, selle võrrand on vaja üles kirjutada.

Lahendus

Antud joonis võimaldab hõlpsasti võtta lähteandmed ülesande lahendamiseks. Joonisel näeme, et antud joon on paralleelne O x teljega ja läbib punkti (0 , 3) ​​.

Abstsissiga paralleelne sirgjoon määratakse mittetäieliku üldvõrrandiga B y + С = 0. Leidke B ja C väärtused. Punkti koordinaadid (0, 3), kuna antud sirge seda läbib, rahuldavad sirge võrrandi B y + С = 0, siis kehtib võrdus: В · 3 + С = 0. Seadke B väärtuseks mõni muu väärtus kui null. Oletame, et B \u003d 1, sel juhul leiame võrrandist B · 3 + C \u003d 0 C: C \u003d - 3. Me kasutame teadaolevad väärtused B ja C, saame sirge nõutava võrrandi: y - 3 = 0.

Vastus: y-3 = 0.

Tasapinna antud punkti läbiva sirge üldvõrrand

Laske antud sirgel läbida punkti M 0 (x 0, y 0), siis vastavad selle koordinaadid sirge üldvõrrandile, s.t. võrdus on tõene: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Lahutage selle võrrandi vasak ja parem külg sirgjoone üldise täisvõrrandi vasakust ja paremast küljest. Saame: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, see võrrand on samaväärne algse üldisega, läbib punkti M 0 (x 0, y 0) ja sellel on normaalvektor n → \u003d (A, B) .

Saadud tulemus võimaldab kirjutada sirge üldvõrrandi sirge normaalvektori teadaolevate koordinaatide ja selle sirge teatud punkti koordinaatide jaoks.

Näide 3

Antud on punkt M 0 (- 3, 4), mida sirge läbib, ja selle sirge normaalvektor n → = (1 , - 2) . On vaja kirja panna etteantud sirge võrrand.

Lahendus

Algtingimused võimaldavad meil saada võrrandi koostamiseks vajalikud andmed: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Seejärel:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - ( - 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Probleemi oleks saanud teisiti lahendada. Sirge üldvõrrand on kujul A x + B y + C = 0 . Antud normaalvektor võimaldab teil saada koefitsientide A ja B väärtused, siis:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Nüüd leida väärtus C, kasutades ülesande tingimusega antud punkti M 0 (- 3, 4), mida sirge läbib. Selle punkti koordinaadid vastavad võrrandile x - 2 · y + C = 0 , st. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Seega C = 11. Nõutav sirge võrrand on järgmisel kujul: x - 2 · y + 11 = 0 .

Vastus: x - 2 y + 11 = 0 .

Näide 4

Antud sirge 2 3 x - y - 1 2 = 0 ja sellel sirgel paiknev punkt M 0. Teada on ainult selle punkti abstsiss ja see võrdub -3-ga. On vaja määrata antud punkti ordinaat.

Lahendus

Määrame punkti M 0 koordinaatide tähiseks x 0 ja y 0 . Algandmed näitavad, et x 0 \u003d - 3. Kuna punkt kuulub antud sirgele, siis vastavad selle koordinaadid selle sirge üldvõrrandile. Siis on tõene järgmine võrdsus:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Defineerige y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Vastus: - 5 2

Üleminek sirge üldvõrrandilt teist tüüpi sirge võrranditele ja vastupidi

Nagu me teame, on tasapinnal mitut tüüpi sama sirge võrrandit. Võrrandi tüübi valik sõltub ülesande tingimustest; on võimalik valida selle lahenduse jaoks mugavam. Siin tuleb väga kasuks oskus üht tüüpi võrrandit teist tüüpi võrrandiks teisendada.

Kõigepealt vaatleme üleminekut üldvõrrandilt kujul A x + B y + C = 0 kanoonilisele võrrandile x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Kui A ≠ 0, siis kanname liikme B y üldvõrrandi paremale poole. Vasakul küljel võtame sulgudest välja A. Selle tulemusena saame: A x + C A = - B y .

Selle võrdsuse saab kirjutada proportsioonina: x + C A - B = y A .

Kui B ≠ 0, jätame üldvõrrandi vasakule küljele ainult termini A x, ülejäänud kanname paremale poole, saame: A x \u003d - B y - C. Võtame sulgudest välja - B, seejärel: A x \u003d - B y + C B.

Kirjutame võrdsuse ümber proportsioonina: x - B = y + C B A .

Loomulikult ei ole vaja saadud valemeid pähe õppida. Piisab teada toimingute algoritmi üleminekul üldvõrrandilt kanoonilisele.

Näide 5

Antud on sirge 3 y - 4 = 0 üldvõrrand. See tuleb teisendada kanooniliseks võrrandiks.

Lahendus

Kirjutame algse võrrandi 3 y - 4 = 0 . Edasi tegutseme vastavalt algoritmile: termin 0 x jääb vasakule poole; ja paremal küljel võtame välja - 3 sulgudest välja; saame: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Kirjutame saadud võrrandi proportsioonina: x - 3 = y - 4 3 0 . Seega oleme saanud kanoonilise vormi võrrandi.

Vastus: x - 3 = y - 4 3 0.

Sirge üldvõrrandi parameetrilisteks muutmiseks viiakse kõigepealt läbi üleminek kanoonilisele vormile ja seejärel üleminek sirgjoone kanoonilisest võrrandist parameetrilistele võrranditele.

Näide 6

Sirge on antud võrrandiga 2 x - 5 y - 1 = 0 . Kirjutage üles selle sirge parameetrilised võrrandid.

Lahendus

Teeme ülemineku üldvõrrandilt kanoonilisele:

2 x - 5 a - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 a + 1 ⇔ 2 x = 5 a + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nüüd võtame saadud kanoonilise võrrandi mõlemad osad võrdseks λ-ga, siis:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Vastus:x = 5 λ y = -1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Üldvõrrandi saab teisendada sirgjooneliseks võrrandiks kaldega y = k x + b, kuid ainult siis, kui B ≠ 0. Vasakpoolseks üleminekuks jätame termini B y , ülejäänud kantakse üle paremale. Saame: B y = - A x - C . Jagame saadud võrrandi mõlemad osad B , mis erineb nullist: y = - A B x - C B .

Näide 7

Sirge üldvõrrand on antud: 2 x + 7 y = 0 . Peate selle võrrandi teisendama kaldevõrrandiks.

Lahendus

Toodame vajalikud toimingud algoritmi järgi:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Vastus: y = - 2 7 x .

Sirge üldvõrrandist piisab, kui lihtsalt saada võrrand segmentides kujul x a + y b \u003d 1. Sellise ülemineku tegemiseks kanname arvu C võrrandi paremale poolele, jagame saadud võrdsuse mõlemad osad - С-ga ja lõpuks kanname muutujate x ja y koefitsiendid nimetajatesse:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Näide 8

On vaja teisendada sirge üldvõrrand x - 7 y + 1 2 = 0 lõikudes sirge võrrandiks.

Lahendus

Liigume 1 2 paremale poole: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Jagage võrrandi mõlemad pooled -1/2-ga: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Vastus: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Üldiselt on ka vastupidine üleminek lihtne: teist tüüpi võrranditelt üldisele.

Segmentide sirgjoone võrrandi ja kaldega võrrandi saab hõlpsasti teisendada üldiseks, kogudes lihtsalt kõik võrrandi vasakul küljel olevad terminid:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanooniline võrrand teisendatakse üldiseks vastavalt järgmisele skeemile:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parameetriliselt üleminekuks viiakse esmalt üle kanoonilisele ja seejärel üldisele:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Näide 9

Antud on sirge x = - 1 + 2 · λ y = 4 parameetrilised võrrandid. Selle sirge üldvõrrand on vaja üles kirjutada.

Lahendus

Teeme ülemineku alates parameetrilised võrrandid kanooniliseks:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Liigume kanooniliselt üldisele:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Vastus: y - 4 = 0

Näide 10

Antud on sirge võrrand lõikudes x 3 + y 1 2 = 1. On vaja läbi viia üleminek võrrandi üldkujule.

Lahendus:

Kirjutame võrrandi lihtsalt nõutud kujul ümber:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Vastus: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Sirge üldvõrrandi koostamine

Eespool ütlesime, et üldvõrrandi saab kirjutada normaalvektori teadaolevate koordinaatidega ja selle punkti koordinaatidega, mida joon läbib. Selline sirgjoon on defineeritud võrrandiga A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Samas kohas analüüsisime vastavat näidet.

Nüüd vaatame rohkem keerulised näited, milles on kõigepealt vaja määrata normaalvektori koordinaadid.

Näide 11

Antud sirgega paralleelne sirge 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Tuntud on ka punkt M 0 (4 , 1), mida antud sirge läbib. On vaja kirja panna etteantud sirge võrrand.

Lahendus

Algtingimused ütlevad meile, et sirged on paralleelsed, samas kui sirge, mille võrrand tuleb kirjutada, normaalvektorina võtame sirge n → \u003d (2, - 3) suunavektori: 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Nüüd teame kõiki vajalikke andmeid sirgjoone üldvõrrandi koostamiseks:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Vastus: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Näide 12

Antud sirge läbib alguspunkti risti sirgega x - 2 3 = y + 4 5 . On vaja kirjutada antud sirge üldvõrrand.

Lahendus

Antud sirge normaalvektor on sirge x - 2 3 = y + 4 5 suunav vektor .

Siis n → = (3 , 5) . Sirge läbib alguspunkti, s.o. läbi punkti O (0, 0) . Koostame antud sirge üldvõrrandi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Vastus: 3 x + 5 y = 0 .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter