Kuidas jagada murdarvu. Erinevate nimetajatega liht- ja segamurdude korrutamine

) ja nimetaja nimetaja järgi (saame korrutise nimetaja).

Murru korrutamise valem:

Näiteks:

Enne lugejate ja nimetajate korrutamist on vaja kontrollida murdarvu vähendamise võimalust. Kui teil õnnestub murdosa vähendada, on teil lihtsam arvutuste tegemist jätkata.

Hariliku murru jagamine murdosaga.

Naturaalarvu hõlmavate murdude jagamine.

See pole nii hirmutav, kui tundub. Nagu liitmise puhul, teisendame täisarvu murduks, mille nimetajas on ühik. Näiteks:

Segamurdude korrutamine.

Murdude (segatud) korrutamise reeglid:

• teisendada segafraktsioonid sobimatuteks;
• korrutada murdude lugejad ja nimetajad;
• vähendame murdosa;
• kui saame valemurru, siis teisendame valemurru segamurruks.

Märge! Segamurru korrutamiseks teise segamurruga peate need esmalt viima valede murdude kujule ja seejärel korrutama vastavalt tavaliste murdude korrutamise reeglile.

Teine viis murdosa korrutamiseks naturaalarvuga.

Mugavam on kasutada teist meetodit hariliku murru arvuga korrutamiseks.

Märge! Murru korrutamiseks naturaalarvuga on vaja murdosa nimetaja selle arvuga jagada ja lugeja jätta muutmata.

Ülaltoodud näitest on selge, et seda valikut on mugavam kasutada, kui murdosa nimetaja jagatakse ilma jäägita naturaalarvuga.

Mitmetasandilised murrud.

Keskkoolis leitakse sageli kolmekorruselisi (või enamaid) murde. Näide:

Sellise murru tavapärasele kujule viimiseks kasutatakse jagamist 2 punktiga:

Märge! Murdude jagamisel on jagamise järjekord väga oluline. Olge ettevaatlik, siin on lihtne segadusse sattuda.

Märge, Näiteks:

Kui jagate ühe mis tahes murdosaga, on tulemuseks sama murd, ainult ümberpööratud:

Praktilised näpunäited murdude korrutamiseks ja jagamiseks:

1. Murdlausetega töötamisel on kõige olulisem täpsus ja tähelepanelikkus. Tehke kõik arvutused hoolikalt ja täpselt, kontsentreeritult ja selgelt. Parem on mustandisse paar lisarida kirja panna, kui peas arvutustes segadusse sattuda.

2. Ülesannetes koos erinevad tüübid murrud - mine tavaliste murdude kujule.

3. Vähendame kõiki murde, kuni redutseerimine pole enam võimalik.

4. Toome mitmetasandilised murdavaldised tavalisteks, kasutades jagamist läbi 2 punkti.

5. Me jagame ühiku mõttes murdosa, lihtsalt murru ümber pöörates.

Eelmisel korral õppisime murdude liitmist ja lahutamist (vt õppetükki "Murdude liitmine ja lahutamine"). Nende tegevuste kõige raskem hetk oli murdude ühise nimetajani viimine.

Nüüd on aeg tegeleda korrutamise ja jagamisega. Hea uudis on see, et need toimingud on isegi lihtsamad kui liitmine ja lahutamine. Alustuseks kaaluge kõige lihtsam juhtum, kui on kaks positiivset murdu ilma eristatava täisarvuta.

Kahe murru korrutamiseks peate nende lugejad ja nimetajad eraldi korrutama. Esimene number on uue murru lugeja ja teine ​​on nimetaja.

Kahe murdosa jagamiseks peate korrutama esimese murdosa "ümberpööratud" teisega.

Määramine:

Definitsioonist järeldub, et murdude jagamine taandatakse korrutamiseks. Murru ümberpööramiseks vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Seetõttu käsitleme kogu õppetundi peamiselt korrutamist.

Korrutamise tulemusena võib tekkida (ja sageli tekibki) vähenenud murdosa – loomulikult tuleb seda vähendada. Kui pärast kõiki vähendamisi osutus murdosa valeks, tuleks selles eristada kogu osa. Mida aga korrutamisega täpselt ei juhtu, on taandamine ühisele nimetajale: ei mingeid ristimeetodeid, maksimumtegureid ja väikseimaid ühiskordajaid.

Definitsiooni järgi on meil:

Murdude korrutamine täisarvu ja negatiivsete murdudega

Kui murdudes on täisarvuline osa, tuleb need teisendada sobimatuteks osadeks ja alles seejärel korrutada vastavalt ülaltoodud skeemidele.

Kui murdu lugejas, nimetajas või selle ees on miinus, saab selle korrutamise piiridest välja võtta või üldse eemaldada järgmiste reeglite järgi:

1. Pluss korda miinus annab miinuse;
2. Kaks negatiivset teevad jaatava.

Seni on neid reegleid kohanud vaid negatiivsete murdude liitmisel ja lahutamisel, kui oli vaja tervest osast lahti saada. Toote puhul saab neid üldistada, et “põletada” mitu miinust korraga:

1. Kriipsutame miinused paarikaupa läbi, kuni need täielikult kaovad. Äärmuslikul juhul võib ellu jääda üks miinus - see, kes ei leidnud vastet;
2. Kui miinuseid ei jää, on toiming lõpetatud - võite hakata korrutama. Kui viimast miinust ei kriipsutata läbi, kuna see ei leidnud paari, siis võtame selle korrutamise piiridest välja. Saate negatiivse murdosa.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Tõlgime kõik murrud valedeks ja eemaldame siis miinused väljaspool korrutamise piire. See, mis jääb, korrutatakse tavaliste reeglite kohaselt. Saame:

Lubage mul veel kord meelde tuletada, et esiletõstetud täisarvu osaga murdu ette tulev miinus viitab konkreetselt kogu murrule, mitte ainult selle täisarvu osale (see kehtib kahe viimase näite kohta).

Pöörake tähelepanu ka negatiivsetele arvudele: korrutamisel on need sulgudes. Seda tehakse selleks, et eraldada miinused korrutusmärkidest ja muuta kogu tähistus täpsemaks.

Murdude vähendamine lennult

Korrutamine on väga töömahukas toiming. Siin on arvud üsna suured ja ülesande lihtsustamiseks võite proovida murdosa veelgi vähendada enne korrutamist. Tõepoolest, sisuliselt on murdude lugejad ja nimetajad tavalised tegurid ja seetõttu saab neid taandada, kasutades murdosa põhiomadust. Heitke pilk näidetele:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Definitsiooni järgi on meil:

Kõikides näidetes on punasega märgitud numbrid, mida on vähendatud ja mis neist alles on.

Pange tähele: esimesel juhul vähendati kordajaid täielikult. Ühikud jäid oma kohale, mille võib üldiselt ära jätta. Teise näite puhul ei olnud võimalik saavutada täielikku vähendamist, kuid arvutuste kogusumma siiski vähenes.

Kuid ärge mingil juhul kasutage seda tehnikat murdude liitmisel ja lahutamisel! Jah, mõnikord on sarnaseid numbreid, mida soovite lihtsalt vähendada. Vaata siit:

Sa ei saa seda teha!

Viga tuleneb asjaolust, et murdosa lisamisel kuvatakse murdosa lugejas summa, mitte arvude korrutis. Seetõttu on murdosa peamist omadust võimatu rakendada, kuna selles omaduses me räägime See puudutab arvude korrutamist.

Lihtsalt pole muud põhjust murdude vähendamiseks, nii et õige lahendus eelmine ülesanne näeb välja selline:

Õige lahendus:

Nagu näha, osutus õige vastus mitte nii ilus. Üldiselt olge ettevaatlik.

Tunni sisu

Samade nimetajatega murdude liitmine

Murdude lisamist on kahte tüüpi:

1. Samade nimetajatega murdude liitmine
2. Murdude lisamine koos erinevad nimetajad

Alustame samade nimetajatega murdude liitmisest. Siin on kõik lihtne. Samade nimetajatega murdude lisamiseks peate lisama nende lugejad ja jätma nimetaja muutmata. Näiteks liidame murrud ja . Lisame lugejad ja jätame nimetaja muutmata:

Seda näidet on lihtne mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lisate pitsale pitsa, saate pizza:

Näide 2 Lisage fraktsioonid ja .

Vastus on vale murd. Kui ülesande lõpp saabub, siis on kombeks valedest murdudest lahti saada. Ebaõigest murdosast vabanemiseks peate valima selles kogu osa. Meie puhul eraldatakse täisarvuline osa lihtsalt - kaks jagatud kahega võrdub ühega:

Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud kaheks osaks. Kui lisad pitsale rohkem pitsasid, saad ühe terve pitsa:

Näide 3. Lisage fraktsioonid ja .

Lisage uuesti lugejad ja jätke nimetaja muutmata:

Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsasid, saate pitsad:

Näide 4 Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Lugejad tuleb lisada ja nimetaja jätta muutmata:

Proovime oma lahendust pildi abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsad ja lisate rohkem pitsasid, saate 1 terve pitsa ja rohkem pitsasid.

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude lisamine keeruline. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

1. Sama nimetajaga murdude lisamiseks peate lisama nende lugejad ja jätma nimetaja muutmata;

Erinevate nimetajatega murdude liitmine

Nüüd õpime, kuidas liita erinevate nimetajatega murde. Murdude liitmisel peavad nende murdude nimetajad olema samad. Kuid need ei ole alati ühesugused.

Näiteks võib murde lisada, kuna neil on samad nimetajad.

Kuid murde ei saa korraga lisada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.

Murdude samale nimetajale taandamiseks on mitu võimalust. Täna käsitleme neist ainult ühte, kuna ülejäänud meetodid võivad algajale tunduda keerulised.

Selle meetodi olemus seisneb selles, et mõlema murru nimetajatest otsitakse esimest (LCM). Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga ja saadakse esimene lisategur. Nad teevad sama ka teise murdosaga – LCM jagatakse teise murdosa nimetajaga ja saadakse teine ​​lisategur.

Seejärel korrutatakse murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusel muutuvad erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada.

Näide 1. Lisage fraktsioonid ja

Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate väikseima ühiskordse. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 2. Nende arvude vähim ühiskordne on 6

LCM (2 ja 3) = 6

Nüüd tagasi murdude ja . Esiteks jagame LCM-i esimese murru nimetajaga ja saame esimese lisateguri. LCM on arv 6 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 6 3-ga, saame 2.

Saadud arv 2 on esimene lisategur. Kirjutame selle esimese murruni. Selleks teeme murdosa kohale väikese kaldjoone ja kirjutame selle kohale leitud lisateguri:

Teeme sama teise murdosaga. Jagame LCM-i teise murru nimetajaga ja saame teise lisateguri. LCM on arv 6 ja teise murdosa nimetaja on arv 2. Jagage 6 2-ga, saame 3.

Saadud arv 3 on teine ​​lisategur. Kirjutame selle teise murdossa. Jällegi teeme teise murru kohale väikese kaldus joone ja kirjutame selle kohale leitud lisateguri:

Nüüd oleme kõik valmis lisama. Jääb üle korrutada murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:

Vaadake tähelepanelikult, milleni oleme jõudnud. Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada. Lõpetame selle näite lõpuni:

Sellega näide lõpeb. Lisamiseks selgub.

Proovime oma lahendust pildi abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsad, saate ühe terve pitsa ja veel kuuendiku pitsast:

Murdude taandamist samale (ühis)nimetajale saab kujutada ka pildi abil. Tuues murrud ja ühise nimetaja, saame murrud ja . Neid kahte fraktsiooni esindavad samad pitsalõigud. Ainus erinevus seisneb selles, et seekord jagatakse need võrdseteks osadeks (vähendatud samale nimetajale).

Esimesel joonisel on kujutatud murdosa (neli tükki kuuest) ja teisel pildil murdosa (kolm tükki kuuest). Neid tükke kokku pannes saame (seitse tükki kuuest). See murd on vale, seetõttu oleme selles täisarvu osa esile tõstnud. Tulemus oli (üks terve pitsa ja teine ​​kuues pitsa).

Pange tähele, et oleme selle näite liiga üksikasjalikult maalinud. Haridusasutustes pole kombeks nii detailselt kirjutada. Peate suutma kiiresti leida mõlema nimetaja ja nende lisategurite LCM-i, samuti kiiresti korrutama lugejate ja nimetajate abil leitud lisategurid. Koolis olles peaksime selle näite kirjutama järgmiselt:

Kuid on ka mündi teine ​​pool. Kui matemaatika õppimise esimestel etappidel üksikasjalikke märkmeid ei tehta, siis sedalaadi küsimused “Kust see arv tuleb?”, “Miks muutuvad murrud järsku täiesti erinevateks murdudeks? «.

Erinevate nimetajatega murdude lisamise hõlbustamiseks võite kasutada järgmisi samm-sammulisi juhiseid.

1. Leia murdude nimetajate LCM;
2. Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks täiendav kordaja;
3. Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega;
4. Lisa murrud, millel on samad nimetajad;
5. Kui vastus osutus valeks murdarvuks, valige selle osa;

Näide 2 Leidke avaldise väärtus .

Kasutame ülaltoodud juhiseid.

Samm 1. Leidke murdude nimetajate LCM

Leidke mõlema murru nimetajate LCM. Murdude nimetajad on numbrid 2, 3 ja 4

2. samm. Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks täiendav kordaja

Jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 2. Jagage 12 2-ga, saame 6. Saime esimese lisateguri 6. Kirjutame selle esimese murru peale:

Nüüd jagame LCM-i teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Saime teise lisateguri 4. Kirjutame selle teise murru peale:

Nüüd jagame LCM-i kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja kolmanda murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Saime kolmanda lisateguri 3. Kirjutame selle kolmanda murru peale:

3. samm. Korrutage murdude lugejad ja nimetajad lisateguritega

Korrutame lugejad ja nimetajad meie lisateguritega:

4. samm. Lisage samade nimetajatega murrud

Jõudsime järeldusele, et murrud, millel olid erinevad nimetajad, muutusid murdudeks, millel on samad (ühised) nimetajad. Jääb need fraktsioonid lisada. Kokku liitma:

Lisand ei mahtunud ühele reale, nii et teisaldasime ülejäänud avaldise järgmisele reale. See on matemaatikas lubatud. Kui avaldis ühele reale ei mahu, kantakse see üle järgmisele reale ning esimese rea lõppu ja uue rea algusesse tuleb panna võrdusmärk (=). Võrdsusmärk teisel real näitab, et see on esimesel real olnud avaldise jätk.

Samm 5. Kui vastus osutus valeks murdeks, siis valige selles kogu osa

Meie vastus on vale murd. Peame välja tooma kogu selle osa. Toome esile:

Sai vastuse

Samade nimetajatega murdude lahutamine

Murdarvu lahutamist on kahte tüüpi:

1. Samade nimetajatega murdude lahutamine
2. Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Esiteks õpime, kuidas lahutada samade nimetajatega murde. Siin on kõik lihtne. Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja samaks.

Näiteks leiame avaldise väärtuse. Selle näite lahendamiseks on vaja esimese murru lugejast lahutada teise murru lugeja ja nimetaja jätta muutmata. Teeme ära:

Seda näidet on lihtne mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 2 Leidke avaldise väärtus.

Jällegi lahutage esimese murru lugejast teise murru lugeja ja jätke nimetaja muutmata:

Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 3 Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Esimese murru lugejast peate lahutama ülejäänud murdude lugejad:

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude lahutamisel midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

1. Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja muutmata;
2. Kui vastus osutus valeks murdarvuks, peate valima selles kogu osa.

Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Näiteks võib murdosast lahutada murdosa, kuna nendel murdudel on samad nimetajad. Kuid murdosa ei saa murdosast lahutada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.

Ühine nimetaja leitakse sama põhimõtte järgi, mida kasutasime erinevate nimetajatega murdude liitmisel. Kõigepealt leidke mõlema murru nimetajate LCM. Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga ja saadakse esimene lisategur, mis kirjutatakse üle esimese murru. Samamoodi jagatakse LCM teise murru nimetajaga ja saadakse teine ​​lisategur, mis kirjutatakse teise murru peale.

Seejärel korrutatakse fraktsioonid nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusel muutuvad erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada.

Näide 1 Leidke avaldise väärtus:

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, seega peate need viima sama (ühise) nimetaja juurde.

Esiteks leiame mõlema murru nimetajate LCM-i. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 4. Nende arvude vähim ühiskordne on 12

LCM (3 ja 4) = 12

Nüüd tagasi murdude ja

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. Selleks jagame LCM-i esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Kirjutame nelja esimese murru peale:

Teeme sama teise murdosaga. Jagame LCM-i teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Kirjutage teise murru kohale kolmik:

Nüüd oleme kõik lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Lõpetame selle näite lõpuni:

Sai vastuse

Proovime oma lahendust pildi abil kujutada. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad.

See on lahenduse üksikasjalik versioon. Koolis olles peaksime selle näite lühemalt lahendama. Selline lahendus näeks välja järgmine:

Murdude ja ühisnimetaja taandamist saab kujutada ka pildi abil. Viies need murrud ühise nimetaja juurde, saame murrud ja . Neid murde esindavad samad pitsaviilud, kuid seekord jagatakse need samadeks murdudeks (vähendatud samale nimetajale):

Esimesel joonisel on kujutatud murdosa (kaheksa tükki kaheteistkümnest) ja teisel pildil murdosa (kolm tükki kaheteistkümnest). Kaheksast tükist kolm tükki ära lõigates saame kaheteistkümnest viis tükki. Murd kirjeldab neid viit tükki.

Näide 2 Leidke avaldise väärtus

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, seega peate need esmalt viima sama (ühise) nimetajani.

Leidke nende murdude nimetajate LCM.

Murdude nimetajateks on arvud 10, 3 ja 5. Nende arvude vähim ühiskordne on 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nüüd leiame iga murdosa jaoks täiendavaid tegureid. Selleks jagame LCM-i iga murdosa nimetajaga.

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. LCM on arv 30 ja esimese murru nimetaja on arv 10. Jagage 30 10-ga, saame esimese lisateguri 3. Kirjutame selle esimese murru peale:

Nüüd leiame teise murru jaoks lisateguri. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 30 3-ga, saame teise lisateguri 10. Kirjutame selle teise murru peale:

Nüüd leiame kolmanda murru jaoks lisateguri. Jagage LCM kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja kolmanda murru nimetaja on arv 5. Jagage 30 5-ga, saame kolmanda lisateguri 6. Kirjutame selle kolmanda murru peale:

Nüüd on kõik lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et murrud, millel olid erinevad nimetajad, muutusid murdudeks, millel on samad (ühised) nimetajad. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Lõpetame selle näite.

Näite jätk ei mahu ühele reale, seega liigume jätku järgmisele reale. Ärge unustage uuel real võrdusmärki (=):

Vastus osutus õigeks murdarvuks ja meile tundub, et kõik sobib, kuid see on liiga tülikas ja kole. Peaksime selle lihtsamaks tegema. Mida saaks teha? Saate seda osa vähendada.

Murru vähendamiseks peate jagama selle lugeja ja nimetaja (gcd) arvudega 20 ja 30.

Niisiis, leiame numbrite 20 ja 30 GCD:

Nüüd pöördume tagasi oma näite juurde ja jagame murdosa lugeja ja nimetaja leitud GCD-ga, see tähendab 10-ga

Sai vastuse

Murru korrutamine arvuga

Murru korrutamiseks arvuga peate korrutama antud murru lugeja selle arvuga ja jätma nimetaja samaks.

Näide 1. Korrutage murdarvuga 1.

Korrutage murdosa lugeja arvuga 1

Sisenemist võib mõista nii, et see võtab pool 1 korda. Näiteks kui võtate pizza 1 kord, saate pizza

Korrutamise seadustest teame, et kui kordajat ja kordajat vahetada, siis korrutis ei muutu. Kui avaldis on kirjutatud kujul , on korrutis ikkagi võrdne . Jällegi töötab täisarvu ja murdarvu korrutamise reegel:

Seda kirjet võib mõista nii, et see võtab poole ühikust. Näiteks kui on 1 terve pitsa ja me võtame sellest poole, siis saame pitsa:

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage murdosa lugeja 4-ga

Vastus on vale murd. Võtame sellest terve osa:

Väljendit võib mõista nii, et see võtab kaks veerandit 4 korda. Näiteks kui võtate pitsasid 4 korda, saate kaks tervet pitsat.

Ja kui vahetame kordaja ja kordaja kohad, saame avaldise. See on samuti võrdne 2-ga. Seda väljendit võib mõista nii, et neljast tervest pitsast võetakse kaks pitsat:

Murdude korrutamine

Murdude korrutamiseks peate korrutama nende lugejad ja nimetajad. Kui vastus on vale murd, peate valima selles kogu osa.

Näide 1 Leidke avaldise väärtus.

Sai vastuse. Soovitav on seda fraktsiooni vähendada. Fraktsiooni saab vähendada 2 võrra. Seejärel saab lõpplahus järgmise kuju:

Väljendit võib mõista kui pizza võtmist poole pitsa pealt. Oletame, et meil on pool pitsat:

Kuidas sellest poolest kaks kolmandikku võtta? Kõigepealt peate selle poole jagama kolmeks võrdseks osaks:

Ja võtke nendest kolmest tükist kaks:

Toome pitsa. Pidage meeles, kuidas pitsa välja näeb, jagatud kolmeks osaks:

Üks viil sellest pitsast ja kahel meie võetud viilul on samad mõõtmed:

Teisisõnu, me räägime samast pitsa suurusest. Seetõttu on avaldise väärtus

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:

Vastus on vale murd. Võtame sellest terve osa:

Näide 3 Leidke avaldise väärtus

Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:

Vastus osutus õigeks murdarvuks, kuid on hea, kui seda vähendada. Selle murdosa vähendamiseks peate jagama selle murru lugeja ja nimetaja arvude 105 ja 450 suurima ühisjagajaga (GCD).

Niisiis, leiame numbrite 105 ja 450 GCD:

Jagame nüüd leitud GCD vastuse lugeja ja nimetaja, st 15-ga

Täisarvu esitamine murruna

Mis tahes täisarvu saab esitada murdarvuna. Näiteks numbrit 5 saab esitada kui . Sellest alates ei muuda viis selle tähendust, kuna väljend tähendab "arv viis jagatud ühega" ja see, nagu teate, võrdub viiega:

Tagurpidi numbrid

Nüüd tutvume väga huvitava matemaatika teemaga. Seda nimetatakse "tagurpidi numbriteks".

Definitsioon. Tagurpidi numbrilea on arv, mis korrutatunaa annab ühiku.

Asendame selles definitsioonis muutuja asemel a number 5 ja proovige definitsiooni lugeda:

Tagurpidi numbrile 5 on arv, mis korrutatuna 5 annab ühiku.

Kas on võimalik leida arvu, mis 5-ga korrutades annab ühe? Selgub, et saate. Esitame viit murruna:

Seejärel korrutage see murdosa iseendaga, vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Teisisõnu, korrutame murdosa iseendaga, ainult ümberpööratult:

Mis on selle tulemus? Kui jätkame selle näite lahendamist, saame ühe:

See tähendab, et arvu 5 pöördväärtus on arv, sest kui 5 korrutada ühega, saadakse üks.

Pöördarvu võib leida ka mis tahes muu täisarvu jaoks.

Samuti saate leida pöördarvu mis tahes muu murru jaoks. Selleks piisab selle ümberpööramisest.

Murru jagamine arvuga

Oletame, et meil on pool pitsat:

Jagame selle kahe vahel võrdselt. Mitu pitsat igaüks saab?

On näha, et peale poole pitsa poolitamist saadi kaks võrdset tükki, millest igaüks moodustab pitsa. Nii et igaüks saab pitsa.

Murdude jagamine toimub pöördarvude abil. Pöördarvud võimaldavad asendada jagamise korrutamisega.

Murru jagamiseks arvuga peate selle murdosa korrutama jagaja pöördarvuga.

Seda reeglit kasutades paneme kirja meie poole pitsa jagamise kaheks osaks.

Seega peate murdosa jagama arvuga 2. Siin on dividend murdosa ja jagaja on 2.

Murru jagamiseks arvuga 2 peate selle murdosa korrutama jagaja 2 pöördarvuga. Jagaja 2 pöördarvuks on murd. Nii et peate korrutama

Tavalised murdarvud kohtuvad koolilastega esmakordselt 5. klassis ja saadavad neid kogu elu, kuna igapäevaelus on sageli vaja mõnda objekti käsitleda või kasutada mitte täielikult, vaid eraldi tükkidena. Selle teema uurimise algus - jaga. Aktsiad on võrdsed osad milleks objekt on jagatud. Alati ei ole ju võimalik näiteks toote pikkust või hinda täisarvuna väljendada, arvesse tuleks võtta mis tahes mõõdu osasid või osasid. Moodustati tegusõnast "purustama" - osadeks jagama ja millel on araabia juured, ilmus VIII sajandil vene keeles sõna "fraktsioon".

Murdlauseid on pikka aega peetud matemaatika kõige raskemaks osaks. 17. sajandil, kui ilmusid esimesed matemaatikaõpikud, hakati neid nimetama "katkiseteks numbriteks", mida oli inimeste arusaamises väga raske kuvada.

moodne välimus Lihtsad fraktsioonijäägid, mille osad on eraldatud täpselt horisontaalse joonega, panustati esmakordselt Fibonacci - Leonardo of Pisa. Tema kirjutised pärinevad aastast 1202. Kuid selle artikli eesmärk on lihtsalt ja selgelt selgitada lugejale, kuidas toimub erinevate nimetajatega segamurdude korrutamine.

Erinevate nimetajatega murdude korrutamine

Esialgu on vaja kindlaks teha murdude sordid:

• õige;
• vale;
• segatud.

Järgmiseks peate meeles pidama, kuidas samade nimetajatega murdarvud korrutatakse. Selle protsessi reeglit on lihtne iseseisvalt sõnastada: samade nimetajatega lihtmurdude korrutamise tulemus on murdosa avaldis, mille lugeja on lugejate korrutis ja nimetaja on nende murdude nimetajate korrutis. . See tähendab, et tegelikult on uus nimetaja esialgu ühe olemasoleva nimetaja ruut.

Korrutamisel lihtmurrud erinevate nimetajatega kahe või enama teguri puhul reegel ei muutu:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Ainus erinevus on see, et murruriba all moodustatud arv on erinevate arvude korrutis ja loomulikult ei saa seda nimetada ühe arvavaldise ruuduks.

Tasub kaaluda erinevate nimetajatega murdude korrutamist näidete abil:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Näidetes kasutatakse võimalusi murdavaldiste vähendamiseks. Nimetaja numbritega saab vähendada ainult lugeja numbreid, murdvarba kohal või all olevaid külgnevaid tegureid ei saa vähendada.

Lihtsate murdarvude kõrval on ka segamurdude mõiste. Segaarv koosneb täisarvust ja murdosast, see tähendab, et see on nende arvude summa:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kuidas korrutamine toimib?

Kaalumiseks on toodud mitu näidet.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Näites kasutatakse arvu korrutamist tavaline murdosa, saate selle toimingu reegli valemiga üles kirjutada:

* b/c = a*b /c.

Tegelikult on selline korrutis identsete murdjääkide summa ja terminite arv näitab seda naturaalarvu. erijuhtum:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Arvu murdosa jäägiga korrutamise lahendamiseks on veel üks võimalus. Lihtsalt jagage nimetaja selle arvuga:

d* e/f = e/f: d.

Seda tehnikat on kasulik kasutada siis, kui nimetaja jagatakse naturaalarvuga ilma jäägita või, nagu öeldakse, täielikult.

Teisendage segaarvud valedeks murdudeks ja hankige korrutis eelnevalt kirjeldatud viisil:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

See näide hõlmab viisi, kuidas segamurdu esitada vale murdena, seda saab esitada ka üldvalemina:

a bc = a*b+ c / c, kus uue murdosa nimetaja moodustatakse, korrutades täisarvu nimetajaga ja lisades selle algse murdosa lugejale ning nimetaja jääb samaks.

See protsess toimib ka vastupidiselt. Täisarvulise osa ja murdosa valimiseks peate vale murdu lugeja jagama selle nimetajaga nurgaga.

Vale murdude korrutamine toodetakse tavapärasel viisil. Kui kirje läheb ühe murrurea alla, peate vajadusel murde vähendama, et seda meetodit kasutades arvusid vähendada ja tulemust on lihtsam arvutada.

Internetis on palju abilisi ka keeruliste probleemide lahendamiseks. matemaatika ülesandeid erinevates programmides. Piisav kogus sellised teenused pakuvad abi murdarvude korrutamise loendamisel erinevad numbrid nimetajates - nn võrgukalkulaatorid murdude arvutamiseks. Nad on võimelised mitte ainult korrutama, vaid ka tegema kõiki muid lihtsaid aritmeetilisi tehteid tavalised murrud Ja seganumbrid. Sellega töötamine pole keeruline, saidi lehel täidetakse vastavad väljad, valitakse matemaatilise toimingu märk ja vajutatakse “arvuta”. Programm loeb automaatselt.

Murdarvudega aritmeetiliste tehteteema on aktuaalne kogu kesk- ja vanema kooliõpilase hariduses. Keskkoolis ei arvestata enam kõige lihtsamate liikidega, vaid täisarvu murdosa avaldised, kuid varem saadud teadmisi teisendus- ja arvutusreeglitest rakendatakse algsel kujul. hästi seeditav põhiteadmised annab täieliku kindlustunde kõige edukama lahenduse vastu väljakutseid pakkuvad ülesanded.

Kokkuvõtteks on mõttekas tsiteerida Lev Tolstoi sõnu, kes kirjutas: “Inimene on murdosa. Inimese võimuses ei ole suurendada oma lugejat - oma teeneid, kuid igaüks võib vähendada oma nimetajat - oma arvamust iseendast ja jõuda selle vähenemisega lähemale oma täiuslikkusele.

Varem või hiljem hakkavad kõik koolis käivad lapsed õppima murde: nende liitmist, jagamist, korrutamist ja kõike muud võimalikud toimingud, mida on võimalik sooritada ainult murdudega. Lapse õigeks abistamiseks ei tohiks vanemad ise unustada, kuidas täisarvud murdudeks jagunevad, vastasel juhul ei saa te teda kuidagi aidata, vaid ainult segadusse ajada. Kui teil on vaja seda toimingut meeles pidada, kuid te ei saa kogu oma peas olevat teavet ühte reeglisse koondada, siis aitab see artikkel teid: saate teada, kuidas jagada arv murdosaga ja vaadata illustreerivaid näiteid.

Kuidas jagada arv murdarvuks

Kirjutage oma näide mustandile, et saaksite teha märkmeid ja blotte. Pidage meeles, et täisarv kirjutatakse lahtrite, nende ristumiskohas, ja murdarvude vahele – igaüks oma lahtrisse.

• IN seda meetodit peate murdosa tagurpidi pöörama, st kirjutama nimetaja lugejasse ja lugeja nimetajasse.
• Jagamise märk tuleb muuta korrutamiseks.
• Nüüd tuleb lihtsalt korrutada juba uuritud reeglite järgi: lugeja korrutatakse täisarvuga ja nimetajat ei puudutata.

Loomulikult saate sellise tegevuse tulemusena väga suur number lugejas. Sellesse olekusse on võimatu jätta murdosa - õpetaja lihtsalt ei aktsepteeri seda vastust. Vähendage murdosa, jagades lugeja nimetajaga. Kirjutage saadud täisarv lahtrite keskel olevast murrust vasakule ja ülejäänud osa on uus lugeja. Nimetaja jääb muutumatuks.

See algoritm on isegi lapse jaoks üsna lihtne. Pärast seda, kui see on viis või kuus korda läbitud, jääb beebile protseduur meelde ja ta saab seda rakendada mis tahes fraktsioonidele.

Kuidas jagada arvu kümnendkohaga

On ka teist tüüpi murde – kümnendkohti. Nendeks jagamine toimub täiesti erineva algoritmi järgi. Kui seisate silmitsi sellise näitega, järgige juhiseid:

• Esiteks muutke mõlemad numbrid kümnendkohad. Seda on lihtne teha: teie jagaja on juba esitatud murdena ja eraldate jagatav naturaalarv komaga, saades kümnendmurru. See tähendab, et kui dividend oli number 5, saate murdosa 5,0. Arv tuleb eraldada nii paljude numbritega, kui palju see on pärast koma ja jagajat.
• Pärast seda peate tegema mõlemad kümnendmurrud naturaalarvud. Alguses võib see teile veidi segadust tekitada, kuid see on kõige rohkem kiire tee jaotus, mis võtab teil pärast mõnda treeningut sekundit. 5,0 murdosast saab number 50, murdosa 6,23 on 623.
• Tehke jaotus. Kui numbrid osutusid suureks või jagamine toimub jäägiga, tehke see veerus. Nii näete selgelt kõiki selle näite toiminguid. Te ei pea spetsiaalselt koma panema, kuna see ilmub ise veergudeks jagamisel.

Selline jagamine tundub esialgu liiga segane, kuna peate dividendi ja jagaja muutma murdarvuks ja seejärel tagasi täisarvud. Kuid pärast lühikest koolitust hakkate kohe nägema neid numbreid, mille peate lihtsalt üksteisega jagama.

Pidage meeles, et oskus murdude ja täisarvude nendeks õigesti jagada võib olla kasulik rohkem kui üks kord elus, seetõttu teadke neid reegleid ja lihtsad põhimõtted laps vajab ideaalis, et vanemates klassides ei saaks ta komistuskiviks, mille tõttu ei saa laps keerulisemaid probleeme lahendada.