Olgu antud kaks punkti M 1 (x 1, y 1) Ja M 2 (x 2, y 2). Kirjutame sirgjoone võrrandi kujul (5), kus k seni teadmata koefitsient:

Alates punktist M 2 kuulub antud reale, siis vastavad selle koordinaadid võrrandile (5): . Siit väljendades ja asendades selle võrrandiga (5), saame soovitud võrrandi:

Kui Selle võrrandi saab hõlpsamini meeldejääval kujul ümber kirjutada:

(6)

Näide. Kirjutage punkte M 1 (1,2) ja M 2 (-2,3) läbiva sirge võrrand.

Lahendus. . Kasutades proportsiooni omadust ja sooritades vajalikud teisendused, saame üldvõrrand otse:

Nurk kahe joone vahel

Mõelge kahele reale l 1 Ja l 2:

l 1: , , Ja

l 2: , ,

φ on nendevaheline nurk (). Joonisel 4 on näidatud: .

Siit , või

Valemi (7) abil saab määrata ühe joontevahelise nurga. Teine nurk on .

Näide. Kaks sirget on antud võrranditega y=2x+3 ja y=-3x+2. leida nende joonte vaheline nurk.

Lahendus. Võrranditest on näha, et k 1 \u003d 2 ja k 2 \u003d-3. asendades need väärtused valemiga (7), leiame

. Seega on nende joonte vaheline nurk .

Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused

Kui sirge l 1 Ja l 2 on siis paralleelsed φ=0 Ja tgφ=0. valemist (7) järeldub, et Kust k 2 \u003d k 1. Seega on kahe sirge paralleelsuse tingimuseks nende nõlvade võrdsus.

Kui sirge l 1 Ja l 2 siis risti φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Seega on kahe sirge risti asetsemise tingimuseks, et nende kalded on suuruselt vastastikused ja märgilt vastassuunalised.

Kaugus punktist jooneni

Teoreem. Kui on antud punkt M(x 0, y 0), siis kaugus sirgeni Ax + Vy + C \u003d 0 on määratletud kui

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1) punktist M antud sirgele langetatud risti alus. Seejärel punktide M ja M 1 vaheline kaugus:

Võrrandisüsteemi lahendusena võib leida koordinaadid x 1 ja y 1:

Süsteemi teine ​​võrrand on läbiva sirge võrrand antud punkt M 0 on antud sirgega risti.

Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

Näide. Määrake sirgete vaheline nurk: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2tgj= ; j = p/4.

Näide. Näidake, et sirged 3x - 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y - 3 = 0 on risti.

Leiame: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, seega on jooned risti.

Näide. Kolmnurga A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) tipud on antud. Leidke tipust C tõmmatud kõrguse võrrand.

Leiame külje AB võrrandi: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3a + 3 = 0;

Soovitud kõrgusvõrrand on: Ax + By + C = 0 või y = kx + b.

k= . Siis y = . Sest kõrgus läbib punkti C, siis selle koordinaadid vastavad sellele võrrandile: kust b \u003d 17. Kokku: .

Vastus: 3x + 2a - 34 = 0.

Punkti ja sirge kauguse määrab punktist joonele langenud risti pikkus.

Kui joon on paralleelne projektsioonitasandiga (h | | P 1), siis selleks, et määrata kaugus punktist A sirgeks h punktist on vaja risti langetada A horisontaalsele h.

Kaaluge rohkem keeruline näide kui liin on hõivatud üldine seisukoht. Olgu vaja määrata kaugus punktist M sirgeks Aüldine seisukoht.

Määratlege ülesanne paralleelsete joonte vahelised kaugused lahendatud sarnaselt eelmisele. Ühel sirgel võetakse punkt ja sellelt tõmmatakse risti teisele sirgele. Perpendikulaari pikkus võrdub paralleelsete sirgete vahelise kaugusega.

Teise järgu kõver on sirge, mis on määratletud teise astme võrrandiga kehtivate Descartes'i koordinaatide suhtes. Üldjuhul Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

kus A, B, C, D, E, F on reaalarvud ja vähemalt üks arvudest A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Ring

Ringi keskpunkt- see on punktide asukoht tasapinnal, mis on võrdsel kaugusel tasandi punktist C (a, b).

Ring on antud järgmise võrrandiga:

Kus x, y on ringi suvalise punkti koordinaadid, R on ringi raadius.

Ringjoone võrrandi märk

1. Terminit x, y ei ole

2. Koefitsiendid x 2 ja y 2 juures on võrdsed

Ellips

Ellips nimetatakse punktide asukohta tasapinnal, mille kummagi kauguste summat selle tasandi kahest etteantud punktist nimetatakse fookusteks (konstantseks väärtuseks).

Ellipsi kanooniline võrrand:

X ja y kuuluvad ellipsi alla.

a on ellipsi suurem pooltelg

b on ellipsi väike pooltelg

Ellipsil on 2 sümmeetriatelge OX ja OY. Ellipsi sümmeetriateljed on selle teljed, nende lõikepunktiks on ellipsi keskpunkt. Telge, millel fookused asuvad, nimetatakse fookustelg. Ellipsi lõikepunkt telgedega on ellipsi tipp.

Kokkusurumise (venitamise) suhe: ε = c/a- ekstsentrilisus (iseloomustab ellipsi kuju), mida väiksem see on, seda vähem pikeneb ellips piki fookustelge.

Kui ellipsi keskpunktid ei asu keskpunktis С(α, β)

Hüperbool

Hüperbool mida nimetatakse tasandi punktide asukohaks, vahekauguste absoluutväärtus, millest igaüks selle tasandi kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on nullist erinev konstantne väärtus.

Hüperbooli kanooniline võrrand

Hüperboolil on 2 sümmeetriatelge:

a - reaalne sümmeetria pooltelg

b - kujuteldav sümmeetria pooltelg

Hüperbooli asümptoodid:

Parabool

parabool on punktide asukoht antud punktist F võrdsel kaugusel asuval tasapinnal, mida nimetatakse fookuseks, ja antud sirgest, mida nimetatakse otsejooneks.

Kanooniline parabooli võrrand:

Y 2 \u003d 2px, kus p on kaugus fookusest suunani (parabooli parameeter)

Kui parabooli tipp on C (α, β), siis parabooli võrrand (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Kui y-teljeks võetakse fookustelg, on parabooli võrrand järgmisel kujul: x 2 \u003d 2qy

Kaht punkti läbiva sirge võrrand. Artiklis" " Lubasin teil analüüsida teist võimalust, kuidas lahendada tuletise leidmiseks esitatud probleeme, kasutades etteantud funktsioonigraafikut ja selle graafiku puutujat. Uurime seda meetodit artiklis , ära igatse! Miks järgmiseks?

Fakt on see, et seal kasutatakse sirgjoone võrrandi valemit. Muidugi võiks seda valemit lihtsalt näidata ja soovitada seda õppida. Kuid parem on selgitada, kust see tuleb (kuidas see tuletatakse). See on vajalik! Kui unustate selle, taastage see kiirestiei saa raske olema. Kõik on üksikasjalikult kirjeldatud allpool. Niisiis, meil on koordinaattasandil kaks punkti A(x 1; y 1) ja B (x 2; y 2) tõmmatakse läbi näidatud punktide sirgjoon:

Siin on otsene valem:

*See tähendab, et punktide konkreetsete koordinaatide asendamisel saame võrrandi kujul y=kx+b.

** Kui see valem on lihtsalt "pähe jäetud", on tõenäosus, et aetakse indeksitega segi, kui X. Lisaks saab indekseid tähistada erineval viisil, näiteks:

Sellepärast on oluline mõista tähendust.

Nüüd selle valemi tuletamine. Kõik on väga lihtne!

Kolmnurgad ABE ja ACF on sarnased terav nurk(esimene sarnasuse märk täisnurksed kolmnurgad). Sellest järeldub, et vastavate elementide suhted on võrdsed, see tähendab:

Nüüd väljendame neid segmente lihtsalt punktide koordinaatide erinevuse kaudu:

Loomulikult ei teki viga, kui kirjutate elementide seosed teises järjekorras (peamine on kirjavahetus):

Tulemuseks on sama sirgjoone võrrand. See on kõik!

See tähendab, et olenemata sellest, kuidas punktid ise (ja nende koordinaadid) on määratud, leiate sellest valemist aru saades alati sirgjoone võrrandi.

Valemit saab tuletada vektorite omaduste abil, kuid tuletamise põhimõte on sama, kuna me räägime nende koordinaatide proportsionaalsusest. Sel juhul töötab sama täisnurksete kolmnurkade sarnasus. Minu arvates on ülalkirjeldatud järeldus arusaadavam)).

Vaadake väljundit vektorkoordinaatide kaudu >>>

Kaht antud punkti A (x 1; y 1) ja B (x 2; y 2) läbivale koordinaattasandile konstrueerime sirge. Märgime suvalise punkti C sirgele koordinaatidega ( x; y). Samuti tähistame kahte vektorit:

On teada, et paralleelsetel joontel (või ühel sirgel) asuvate vektorite puhul on nende vastavad koordinaadid võrdelised, see tähendab:

- kirjutame vastavate koordinaatide suhete võrdsuse:

Kaaluge näidet:

Leidke kahte koordinaatidega (2;5) ja (7:3) punkti läbiva sirge võrrand.

Te ei saa isegi liini ise ehitada. Rakendame valemit:

Suhtarvu koostamisel on oluline kirjavahetust tabada. Sa ei saa eksida, kui kirjutad:

Vastus: y=-2/5x+29/5 mine y=-0,4x+5,8

Veendumaks, et saadud võrrand leitakse õigesti, kontrollige seda kindlasti - asendage andmekoordinaadid punktide seisundis. Peaksite saama õiged võrdsused.

See on kõik. Loodan, et materjal oli teile kasulik.

Lugupidamisega Aleksander.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Olgu antud kaks punkti M(X 1 ,Kell 1) ja N(X 2,y 2). Leiame neid punkte läbiva sirge võrrandi.

Kuna see sirge läbib punkti M, siis valemi (1.13) kohaselt on selle võrrandil vorm

Kell – Y 1 = K(X-x 1),

Kus K- teadmata kalle.

Selle koefitsiendi väärtus määratakse tingimusel, et soovitud sirge läbib punkti N, mis tähendab, et selle koordinaadid vastavad võrrandile (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Siit leiate selle joone kalde:

,

Või pärast konversiooni

(1.14)

Valem (1.14) defineerib Kaht punkti läbiva sirge võrrand M(X 1, Y 1) ja N(X 2, Y 2).

Erijuhtudel, kui punktid M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, asub koordinaattelgedel, võrrand (1.14) on lihtsamal kujul

Võrrand (1.15) helistas Segmentides sirgjoone võrrand, Siin A Ja B tähistavad telgedel sirgjoonega ära lõigatud segmente (joonis 1.6).

Joonis 1.6

Näide 1.10. Kirjutage punkte läbiva sirge võrrand M(1, 2) ja B(3, –1).

. Vastavalt (1.14) on soovitud sirge võrrandil kuju

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Kõigi liikmete ülekandmine vasak pool, saame lõpuks nõutava võrrandi

3X + 2Y – 7 = 0.

Näide 1.11. Kirjutage võrrand punkti läbivale sirgele M(2, 1) ja sirgete lõikepunkti X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Sirgete lõikepunkti koordinaadid leiame neid võrrandeid koos lahendades

Kui liidame need võrrandid termini kaupa, saame 2 X+ 1 = 0, kust . Leitud väärtuse asendamine mis tahes võrrandiga, leida väärtus ordinaadid Kell:

Nüüd kirjutame üles punkte (2, 1) läbiva sirge võrrandi ja :

või .

Seega või -5( Y – 1) = X – 2.

Lõpuks saame vormis soovitud sirge võrrandi X + 5Y – 7 = 0.

Näide 1.12. Leidke punkte läbiva sirge võrrand M(2.1) ja N(2,3).

Valemi (1.14) abil saame võrrandi

Sellel pole mõtet, sest teine ​​nimetaja on null. Ülesande tingimusest on näha, et mõlema punkti abstsissid on sama väärtusega. Seega on vajalik joon teljega paralleelne OY ja selle võrrand on: x = 2.

Kommenteeri . Kui valemi (1.14) järgi sirgjoone võrrandit kirjutades osutub üks nimetajatest võrdseks nulliga, siis saab soovitud võrrandi saada vastava lugeja võrdsustamisega nulliga.

Vaatleme teisi võimalusi tasapinna sirgjoone seadmiseks.

1. Olgu nullist erinev vektor antud sirgega risti L, ja punkt M 0(X 0, Y 0) asub sellel joonel (joonis 1.7).

Joonis 1.7

Tähistage M(X, Y) suvaline punkt joonel L. Vektorid ja Ortogonaalne. Kasutades nende vektorite ortogonaalsuse tingimusi, saame või A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Oleme saanud punkti läbiva sirge võrrandi M 0 on risti vektoriga . Seda vektorit nimetatakse Normaalvektor sirgjoonele L. Saadud võrrandi saab ümber kirjutada kujul

Oh + Wu + KOOS= 0, kus KOOS = –(AX 0 + Kõrval 0), (1.16),

Kus A Ja IN on normaalvektori koordinaadid.

Saame sirge üldvõrrandi parameetrilisel kujul.

2. Tasapinna sirget saab defineerida järgmiselt: olgu nullist erinev vektor antud sirgega paralleelne L ja punkt M 0(X 0, Y 0) asub sellel real. Jällegi võtke suvaline punkt M(X, y) sirgjoonel (joonis 1.8).

Joonis 1.8

Vektorid ja kollineaarne.

Kirjutame üles nende vektorite kollineaarsuse tingimus: , kus T on suvaline arv, mida nimetatakse parameetriks. Kirjutame selle võrdsuse koordinaatidesse:

Neid võrrandeid nimetatakse Parameetrilised võrrandid Otse. Jätame nendest võrranditest välja parameetri T:

Neid võrrandeid saab kirjutada kujul

. (1.18)

Saadud võrrandit nimetatakse Sirge kanooniline võrrand. Vektorkõne Suunavektor sirge .

Kommenteeri . On lihtne näha, et if on joone normaalvektor L, siis selle suunavektor võib olla vektor , kuna , s.t.

Näide 1.13. Kirjutage punkti läbiva sirge võrrand M 0(1, 1) paralleelselt joonega 3 X + 2Kell– 8 = 0.

Lahendus . Vektor on antud ja soovitud joonte normaalvektor. Kasutame punkti läbiva sirge võrrandit M 0 antud normaalvektoriga 3( X –1) + 2(Kell– 1) = 0 või 3 X + 2a- 5 \u003d 0. Saime soovitud sirge võrrandi.

Ruumi sirgjoone kanoonilised võrrandid on võrrandid, mis määratlevad sirge, mis läbib antud punkti kollineaarselt suunavektoriga.

Olgu antud punkt ja suunavektor. Suvaline punkt asub sirgel l ainult siis, kui vektorid ja on kollineaarsed, st nad vastavad tingimusele:

.

Ülaltoodud võrrandid on sirge kanoonilised võrrandid.

Numbrid m , n Ja lk on suunavektori projektsioonid koordinaattelgedele. Kuna vektor on nullist erinev, siis kõik arvud m , n Ja lk ei saa olla samal ajal null. Kuid üks või kaks neist võib olla null. Näiteks analüütilises geomeetrias on lubatud järgmised tähistused:

,

mis tähendab, et vektori projektsioonid telgedel Oy Ja Oz on võrdsed nulliga. Seetõttu on nii kanooniliste võrranditega antud vektor kui ka sirgjoon telgedega risti Oy Ja Oz, st lennukid yOz .

Näide 1 Koostage tasandiga risti oleva ruumi sirgjoone võrrandid ja läbides selle tasandi ja telje lõikepunkti Oz .

Lahendus. Leia antud tasandi lõikepunkt teljega Oz. Kuna mis tahes punkti teljel Oz, on koordinaadid , siis eeldades tasapinna antud võrrandis x=y= 0, saame 4 z- 8 = 0 või z= 2. Seetõttu antud tasandi lõikepunkt teljega Oz on koordinaadid (0; 0; 2) . Kuna soovitud sirge on tasapinnaga risti, on see paralleelne oma normaalvektoriga. Seetõttu võib normaalvektor olla sirge suunav vektor antud lennuk.

Nüüd kirjutame punkti läbiva sirge soovitud võrrandid A= (0; 0; 2) vektori suunas:

Kaht antud punkti läbiva sirge võrrandid

Sirge saab määratleda kahe sellel asuva punktiga Ja Sel juhul võib sirge suunav vektor olla vektor . Siis saavad sirge kanoonilised võrrandid kuju

.

Ülaltoodud võrrandid määratlevad sirge, mis läbib kahte antud punkti.

Näide 2 Kirjutage võrrand sirge ruumis läbib punkte ja .

Lahendus. Kirjutame soovitud sirge võrrandid ülaltoodud kujul teoreetilises viites:

.

Kuna , siis on soovitud joon teljega risti Oy .

Sirge nagu tasandite lõikejoon

Ruumisirget saab defineerida kahe mitteparalleelse tasandi lõikejoonena ja punktide kogumina, mis rahuldab kahe lineaarvõrrandi süsteemi.

Süsteemi võrrandeid nimetatakse ka ruumi sirgjoone üldvõrranditeks.

Näide 3 Koostage sirge kanoonilised võrrandid üldvõrranditega antud ruumis

Lahendus. Sirge kanooniliste võrrandite või, mis on sama, kahte etteantud punkti läbiva sirge võrrandi kirjutamiseks peate leidma sirge mis tahes kahe punkti koordinaadid. Need võivad olla näiteks sirge ja mis tahes kahe koordinaattasandi lõikepunktid yOz Ja xOz .

Sirge ja tasapinna lõikepunkt yOz on abstsiss x= 0. Seega, eeldades selles võrrandisüsteemis x= 0 , saame kahe muutujaga süsteemi:

Tema otsus y = 2 , z= 6 koos x= 0 määrab punkti A(0; 2; 6) soovitud realt. Eeldusel siis antud võrrandisüsteemis y= 0 , saame süsteemi

Tema otsus x = -2 , z= 0 koos y= 0 määrab punkti B(-2; 0; 0) sirge lõikekoht tasapinnaga xOz .

Nüüd kirjutame punkte läbiva sirge võrrandid A(0; 2; 6) ja B (-2; 0; 0) :

,

või pärast nimetajate jagamist -2-ga:

,

Tasapinna sirgjoone võrrand.
Suunavektor on sirge. Normaalvektor

Tasapinna sirgjoon on üks lihtsamaid geomeetrilised kujundid, mis on teile tuttav juba algklassidest ja täna õpime sellega toime tulema, kasutades analüütilise geomeetria meetodeid. Materjali valdamiseks on vaja ehitada sirgjoont; teada, milline võrrand määratleb sirge, eelkõige alguspunkti läbiva sirge ja koordinaattelgedega paralleelsed sirged. See informatsioon leiate juhendist Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused, lõin selle matani jaoks, kuid jaotis umbes lineaarne funktsioon osutus väga edukaks ja üksikasjalikuks. Seega, kallid teekannud, soojendage end kõigepealt seal. Lisaks peab sul olema põhiteadmised O vektorid vastasel juhul jääb materjalist arusaamine puudulik.

Selles õppetükis vaatleme viise, kuidas saate tasapinnal sirgjoone võrrandit kirjutada. Soovitan mitte jätta tähelepanuta praktilisi näiteid (isegi kui see tundub väga lihtne), kuna varustan neid elementaarsete ja olulised faktid, tehnilisi meetodeid, mida vajatakse tulevikus, sealhulgas teistes kõrgema matemaatika osades.

• Kuidas kirjutada kaldega sirge võrrandit?
• Kuidas ?
• Kuidas leida sirge üldvõrrandi järgi suunavektorit?
• Kuidas kirjutada sirgjoone võrrandit, kui on antud punkt ja normaalvektor?

ja alustame:

Joone võrrand kaldega

Tuntud sirgjoone võrrandi "kooli" vormi nimetatakse sirge võrrand kaldega. Näiteks kui võrrandiga on antud sirge, siis selle kalle: . Mõelge selle koefitsiendi geomeetrilisele tähendusele ja sellele, kuidas selle väärtus mõjutab joone asukohta:

Geomeetria käigus on tõestatud, et sirgjoone kalle on nurga puutuja positiivse telje suuna vahelja antud rida: , ja nurk keeratakse lahti vastupäeva.

Et joonist mitte segamini ajada, tõmbasin nurgad ainult kahele sirgele. Mõelge "punasele" sirgele ja selle kallele. Vastavalt ülaltoodule: (nurk "alfa" on tähistatud rohelise kaarega). "Sinise" sirge kaldega puhul kehtib võrdsus (nurk "beeta" on tähistatud pruuni kaarega). Ja kui nurga puutuja on teada, siis vajadusel on seda lihtne leida ja nurk kasutades pöördfunktsiooni - arctangens. Nagu öeldakse, trigonomeetriline tabel või kalkulaator käes. Seega kalle iseloomustab sirge kalde astet x-telje suhtes.

Samas on see võimalik järgmistel juhtudel:

1) Kui kalle on negatiivne: , siis joon jämedalt öeldes läheb ülalt alla. Näited on joonisel "sinised" ja "karmiinpunased" sirgjooned.

2) Kui kalle on positiivne: , siis joon läheb alt üles. Näideteks on "must" ja "punane" sirgjoon joonisel.

3) Kui kalle on võrdne nulliga: , siis on võrrand kujul ja vastav sirge on paralleelne teljega. Näiteks on "kollane" joon.

4) Teljega paralleelsete sirgjoonte perekonna puhul (joonisel pole näidet, välja arvatud telg ise) on kalle ei eksisteeri (90 kraadi puutuja pole määratletud).

Mida suurem on kaldemoodul, seda järsemaks läheb joondiagramm.

Mõelge näiteks kahele sirgjoonele. Siin on sirgel järsem kalle. Tuletan meelde, et moodul võimaldab märki ignoreerida, meid huvitab ainult absoluutväärtused nurkkoefitsiendid.

Sirge on omakorda järsem kui sirged. .

Vastupidi: mida väiksem on kaldemoodul, seda sirge on laugem.

Sirgete joonte jaoks ebavõrdsus on tõsi, seega on sirgjoon rohkem kui varikatus. Laste liumägi, et mitte istutada sinikaid ja muhke.

Miks seda vaja on?

Pikendage piina Ülaltoodud faktide teadmine võimaldab teil kohe näha oma vigu, eriti vigu graafikute joonistamisel - kui joonisel selgus, et midagi on selgelt valesti. On soovitav, et te kohe oli selge, et näiteks sirge on väga järsk ja läheb alt üles ja sirge on väga tasane, telje lähedal ja läheb ülevalt alla.

Geomeetriliste ülesannete puhul esineb sageli mitu sirget joont, mistõttu on mugav neid kuidagi tähistada.

Märge: sirgjooned on tähistatud väikeste ladina tähtedega: . Populaarne valik on sama tähe tähistamine loomulike alaindeksitega. Näiteks saab tähistada viit rida, mida just vaatlesime .

Kuna iga sirge on üheselt määratud kahe punktiga, saab seda tähistada järgmiste punktidega: jne. Tähistus viitab ilmselgelt sellele, et punktid kuuluvad joonele.

Aeg veidi lõdvestuda:

Kuidas kirjutada kaldega sirge võrrandit?

Kui on teada punkt, mis kuulub teatud sirgele, ja selle sirge kalle, siis väljendatakse selle sirge võrrandit valemiga:

Näide 1

Koostage kaldega sirge võrrand, kui on teada, et punkt kuulub sellele sirgele.

Lahendus: Koostame sirgjoone võrrandi valemi järgi . Sel juhul:

Vastus:

Läbivaatus elementaarselt sooritatud. Esiteks vaatame saadud võrrandit ja veendume, et meie kalle on omal kohal. Teiseks peavad punkti koordinaadid täitma antud võrrandit. Ühendame need võrrandisse:

Saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et punkt rahuldab saadud võrrandit.

Järeldus: võrrand leiti õigesti.

Keerulisem näide isetegemise lahendusest:

Näide 2

Kirjutage sirge võrrand, kui on teada, et selle kaldenurk telje positiivse suuna suhtes on , ja punkt kuulub sellele sirgele.

Kui teil on raskusi, lugege teoreetiline materjal uuesti läbi. Täpsemalt, asjalikumalt, tunnen puudust paljudest tõestustest.

helises viimane kutse, lõpupidu on vaibunud ja meie kodukooli värava taga ootab meid tegelikult analüütiline geomeetria. Naljad on läbi... Võib-olla see alles algab =)

Nostalgiliselt vehime käepidemega tuttavale ja tutvume sirge üldvõrrandiga. Kuna analüütilises geomeetrias on kasutusel just see:

Sirge üldvõrrandil on vorm: , kus on mõned numbrid. Samal ajal koefitsiendid samaaegselt ei ole võrdsed nulliga, kuna võrrand kaotab oma tähenduse.

Riietume ülikonda ja seome kaldega võrrandi. Esiteks liigutame kõik terminid vasakule küljele:

Mõiste "x" tuleb asetada esikohale:

Põhimõtteliselt on võrrandil juba vorm , kuid matemaatilise etiketi reeglite kohaselt peab esimese liikme koefitsient (antud juhul ) olema positiivne. Märgid muutuvad:

Pidage meeles seda tehnilist funktsiooni! Teeme esimese koefitsiendi (kõige sagedamini ) positiivseks!

Analüütilises geomeetrias esitatakse sirgjoone võrrand peaaegu alati üldisel kujul. Noh, vajadusel on lihtne viia kaldega “kooli” vormi (erandiks on y-teljega paralleelsed sirged).

Küsigem endalt, mida piisav kas oskate sirgjoont ehitada? Kaks punkti. Aga selle lapsepõlve juhtumi kohta hiljem, nüüd jääb noolte reegel. Igal sirgel on täpselt määratletud kalle, millega on lihtne "kohaneda" vektor.

Vektorit, mis on joonega paralleelne, nimetatakse selle sirge suunavektoriks.. Ilmselgelt on igal sirgel lõpmatult palju suunavektoreid ja kõik need on kollineaarsed (kaassuunatud või mitte – vahet pole).

Tähistan suunavektorit järgmiselt: .

Kuid sirge ehitamiseks ühest vektorist ei piisa, vektor on vaba ja ei ole kinnitatud ühegi tasandi punktiga. Seetõttu on lisaks vaja teada mõnda punkti, mis joonele kuulub.

Kuidas kirjutada sirgjoone võrrandit, kui on antud punkt ja suunavektor?

Kui teatud sirgele kuuluv punkt ja selle sirge suunav vektor on teada, saab selle sirge võrrandi koostada valemiga:

Mõnikord nimetatakse seda sirge kanooniline võrrand .

Mida teha millal üks koordinaatidest on null, vaatleme allpool praktilisi näiteid. Muide, pange tähele - mõlemad korraga koordinaadid ei saa olla nullid, kuna nullvektor ei määra konkreetset suunda.

Näide 3

Kirjutage sirge võrrand, millel on punkt ja suunavektor

Lahendus: Koostame sirgjoone võrrandi valemi järgi. Sel juhul:

Kasutades proportsiooni omadusi, vabaneme murdosadest:

Ja me toome võrrandi juurde üldine vaade:

Vastus:

Selliste näidete joonistamine pole reeglina vajalik, kuid mõistmise huvides:

Joonisel näeme alguspunkti, algset suunavektorit (seda saab edasi lükata igast tasapinna punktist) ja konstrueeritud joont. Muide, paljudel juhtudel on sirgjoone ehitamine kõige mugavam kaldevõrrandi abil. Meie võrrandit on lihtne vormile teisendada ja sirge loomiseks saate probleemideta veel ühe punkti üles võtta.

Nagu lõigu alguses märgitud, on sirgel lõpmatult palju suunavektoreid ja need kõik on kollineaarsed. Näiteks joonistasin kolm sellist vektorit: . Ükskõik millise suunavektori me valime, on tulemuseks alati sama sirge võrrand.

Koostame sirgjoone võrrandi punkti ja suunavektori järgi:

Proportsioonide jagamine:

Jagage mõlemad pooled -2-ga ja saate tuttava võrrandi:

Soovijad saavad samamoodi vektoreid testida või mõni muu kollineaarne vektor.

Nüüd lahendame pöördülesande:

Kuidas leida sirge üldvõrrandi järgi suunavektorit?

Väga lihtne:

Kui sirge on antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis üldvõrrandiga, siis on vektor selle sirge suunavektor.

Näited sirgjoonte suunavektorite leidmiseks:

Väide võimaldab meil leida lõpmatust hulgast ainult ühe suunavektori, kuid me ei vaja rohkem. Kuigi mõnel juhul on soovitatav suunavektorite koordinaate vähendada:

Seega määrab võrrand sirge, mis on teljega paralleelne ja saadud juhtimisvektori koordinaadid jagatakse mugavalt -2-ga, saades juhtimisvektoriks täpselt baasvektori. Loogiliselt.

Samamoodi defineerib võrrand teljega paralleelse sirge ja jagades vektori koordinaadid 5-ga, saame suunavektoriks ort.

Nüüd teostame kontrolli näide 3. Näide tõusis üles, nii et tuletan teile meelde, et selles lõime sirgjoone võrrandi punkti ja suunavektori abil

Esiteks, vastavalt sirgjoone võrrandile taastame selle suunava vektori: - kõik on korras, saime algse vektori (mõnel juhul võib see osutuda algvektoriga kollineaarseks ja seda on tavaliselt vastavate koordinaatide proportsionaalsuse järgi lihtne näha).

Teiseks, peavad punkti koordinaadid täitma võrrandit . Asendame need võrrandisse:

Õige võrdsus on saavutatud, millega oleme väga rahul.

Järeldus: Töö on õigesti lõpetatud.

Näide 4

Kirjutage sirge võrrand, millel on punkt ja suunavektor

See on tee-seda-ise näide. Lahendus ja vastus tunni lõpus. Väga soovitav on teha kontroll just vaadeldud algoritmi järgi. Proovige alati (võimaluse korral) mustandit kontrollida. Rumal on teha vigu seal, kus neid saab 100% vältida.

Kui üks suunavektori koordinaatidest on null, on seda väga lihtne teha:

Näide 5

Lahendus: valem on kehtetu, kuna paremal pool olev nimetaja on null. Väljapääs on olemas! Kasutades proportsiooni omadusi, kirjutame valemi ümber kujul , ja ülejäänud veeretatakse mööda sügavat roopa:

Vastus:

Läbivaatus:

1) Taastage sirge suunavektor:
– saadud vektor on kollineaarne algse suunavektoriga.

2) Asendage võrrandi punkti koordinaadid:

Saavutatakse õige võrdsus

Järeldus: töö on õigesti tehtud

Tekib küsimus, miks peaks valemiga vaeva nägema, kui on olemas universaalne versioon, mis töötab nagunii? Põhjuseid on kaks. Esiteks murdosa valem palju parem meeles pidada. Teiseks miinus universaalne valem on see märkimisväärselt suurenenud segiajamise oht koordinaatide asendamisel.

Näide 6

Koostage sirge võrrand punkti ja suunavektoriga.

See on tee-seda-ise näide.

Tuleme tagasi üldlevinud kahe punkti juurde:

Kuidas kirjutada kahe punktiga sirge võrrandit?

Kui on teada kaks punkti, saab neid punkte läbiva sirge võrrandi koostada järgmise valemi abil:

Tegelikult on see omamoodi valem ja siin on põhjus: kui on teada kaks punkti, on vektor selle sirge suunavektor. Õppetunnis Mannekeenide vektorid käsitlesime lihtsaimat ülesannet – kuidas leida kahest punktist vektori koordinaate. Selle ülesande kohaselt on suunavektori koordinaadid:

Märge : punkte saab "vahetada" ja kasutada valemit . Selline otsus oleks võrdne.

Näide 7

Kirjutage kahest punktist sirgjoone võrrand .

Lahendus: Kasutage valemit:

Kammime nimetajaid:

Ja segage tekki:

Nüüd on aeg vabaneda murdarvud. Sel juhul peate mõlemad osad korrutama 6-ga:

Avage sulud ja tooge võrrand meelde:

Vastus:

Läbivaatus on ilmne - algpunktide koordinaadid peavad vastama saadud võrrandile:

1) Asendage punkti koordinaadid:

Tõeline võrdsus.

2) Asendage punkti koordinaadid:

Tõeline võrdsus.

Järeldus: sirgjoone võrrand on õige.

Kui vähemalt üks punktidest ei rahulda võrrandit, otsige viga.

Väärib märkimist, et graafiline kontrollimine on sel juhul keeruline, kuna joont tuleb ehitada ja vaadata, kas punktid kuuluvad sellele. , mitte nii lihtne.

Märgin ära paar tehnilist punkti lahendusest. Võib-olla on selles probleemis kasulikum kasutada peegelvalemit ja samade punktide jaoks tee võrrand:

Murdeid on vähem. Soovi korral võid lahenduse lõpuni täita, tulemuseks peaks olema sama võrrand.

Teine punkt on vaadata lõplikku vastust ja vaadata, kas seda saab veelgi lihtsustada? Näiteks kui saadakse võrrand, siis on soovitatav seda kahe võrra vähendada: - võrrand seab sama sirge. See on aga juba jututeema sirgjoonte vastastikune paigutus.

Saanud vastuse Näites 7 kontrollisin igaks juhuks, kas võrrandi KÕIK koefitsiendid jaguvad 2, 3 või 7-ga. Kuigi enamasti tehakse selliseid taandusi lahendamise käigus.

Näide 8

Kirjutage punkte läbiva sirge võrrand .

See on näide iseseisva lahenduse jaoks, mis võimaldab teil lihtsalt arvutustehnikat paremini mõista ja välja töötada.

Sarnaselt eelmise lõiguga: kui valemis üks nimetajatest (suunavektori koordinaat) kaob, siis kirjutame selle ümber kujul . Ja jälle pange tähele, kui kohmetu ja segaduses ta välja nägi. Ma ei näe eriline tähendus sõita praktilisi näiteid, kuna oleme sellise probleemi juba tegelikult lahendanud (vt nr 5, 6).

Sirge normaalvektor (normaalvektor)

Mis on normaalne? Lihtsate sõnadega, normaalne on risti. See tähendab, et sirge normaalvektor on antud sirgega risti. On ilmne, et igal sirgel on neid lõpmatu arv (nagu ka suunavektoreid) ja kõik sirge normaalvektorid on kollineaarsed (ühissuunalised või mitte - vahet pole).

Nendega tegelemine on veelgi lihtsam kui suunavektoritega:

Kui sirge on antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis üldvõrrandiga, siis on vektor selle sirge normaalvektor.

Kui suunavektori koordinaadid tuleb võrrandist ettevaatlikult “välja tõmmata”, siis võib normaalvektori koordinaadid lihtsalt “eemaldada”.

Normaalvektor on alati sirge suunavektoriga ortogonaalne. Kontrollime nende vektorite ortogonaalsust kasutades dot toode:

Toon näiteid samade võrranditega nagu suunavektori puhul:

Kas on võimalik kirjutada sirge võrrandit, teades üht punkti ja normaalvektorit? Tundub, et see on võimalik. Kui normaalvektor on teada, määratakse ka kõige sirgema joone suund üheselt - see on "jäik struktuur", mille nurk on 90 kraadi.

Kuidas kirjutada sirgjoone võrrandit, kui on antud punkt ja normaalvektor?

Kui on teada mõni sirgele kuuluv punkt ja selle sirge normaalvektor, siis väljendatakse selle sirge võrrandit valemiga:

Siin läks kõik ilma murdude ja muude üllatusteta. Selline on meie normaalvektor. Armastan seda. Ja austus =)

Näide 9

Koostage punkti ja normaalvektoriga sirge võrrand. Leia sirge suunavektor.

Lahendus: Kasutage valemit:

Saadakse sirge üldvõrrand, kontrollime:

1) "Eemaldage" võrrandist normaalvektori koordinaadid: - jah, tõepoolest, algvektor saadakse tingimusest (või vektor peaks olema algvektoriga kollineaarne).

2) Kontrollige, kas punkt vastab võrrandile:

Tõeline võrdsus.

Kui oleme veendunud, et võrrand on õige, täidame ülesande teise, lihtsama osa. Tõmbame välja sirgjoone suunavektori:

Vastus:

Joonisel on olukord järgmine:

Koolituse jaoks sarnane ülesanne iseseisva lahenduse jaoks:

Näide 10

Koostage punkti ja normaalvektoriga sirge võrrand. Leia sirge suunavektor.

Tunni viimane osa on pühendatud vähem levinud, aga ka olulised liigid tasapinna sirgjoone võrrandid

Segmentides sirgjoone võrrand.
Sirge võrrand parameetrilisel kujul

Segmentide sirgjoone võrrand on kujul , kus on nullist erinevad konstandid. Teatud tüüpi võrrandeid ei saa sellisel kujul esitada, näiteks otsest proportsionaalsust (kuna vaba liige on null ja paremale poolele ei saa ühte).

See on piltlikult öeldes "tehnilist" tüüpi võrrand. Tavaline ülesanne on kujutada sirge üldvõrrandit sirge võrrandina segmentides. Miks see mugav on? Sirge võrrand lõikudes võimaldab kiiresti leida sirge lõikepunktid koordinaattelgedega, mis on mõne kõrgema matemaatika ülesande puhul väga oluline.

Leidke sirge ja telje lõikepunkt. Lähtestame "y" ja võrrand võtab kuju . Soovitud punkt saadakse automaatselt: .

Sama teljega on punkt, kus joon lõikub y-teljega.