Gaussi meetod on universaalne valem. Gaussi meetod (tundmatute järjestikune välistamine)

Kaht lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse samaväärseks, kui nende kõigi lahenduste hulk on sama.

Võrrandisüsteemi elementaarsed teisendused on järgmised:

1. Triviaalvõrrandisüsteemist kustutamine, s.o. need, mille kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga;
2. Mis tahes võrrandi korrutamine nullist erineva arvuga;
3. Mis tahes j-nda võrrandi mis tahes i-nda võrrandi liitmine, korrutatuna mis tahes arvuga.

Muutujat x i nimetatakse vabaks, kui see muutuja pole lubatud, ja lubatud on kogu võrrandisüsteem.

Teoreem. Elementaarsed teisendused muudavad võrrandisüsteemi samaväärseks.

Gaussi meetodi tähendus on algse võrrandisüsteemi teisendamine ja samaväärse lubatud või samaväärse ebajärjekindla süsteemi saamine.

Niisiis, Gaussi meetod koosneb järgmistest sammudest:

1. Mõelge esimesele võrrandile. Valime esimese nullist erineva koefitsiendi ja jagame sellega kogu võrrandi. Saame võrrandi, millesse mingi muutuja x i siseneb koefitsiendiga 1;
2. Lahutage see võrrand kõigist teistest, korrutades selle arvudega nii, et muutuja x i koefitsiendid ülejäänud võrrandites on nulliks. Saame süsteemi, mis on lahendatud muutuja x i suhtes ja on samaväärne algse süsteemiga;
3. Kui tekivad triviaalsed võrrandid (harva, aga juhtub; näiteks 0 = 0), kustutame need süsteemist. Selle tulemusena muutuvad võrrandid ühe võrra väiksemaks;
4. Kordame eelmisi samme mitte rohkem kui n korda, kus n on võrrandite arv süsteemis. Iga kord valime töötlemiseks uue muutuja. Kui tekivad vastuolulised võrrandid (näiteks 0 = 8), on süsteem ebajärjekindel.

Selle tulemusena saame mõne sammu järel kas lubatud süsteemi (võimalik, et vabade muutujatega) või ebajärjekindla süsteemi. Lubatud süsteemid jagunevad kaheks juhuks:

1. Muutujate arv on võrdne võrrandite arvuga. Seega on süsteem määratletud;
2. Muutujate arv on suurem kui võrrandite arv. Kogume kõik vabad muutujad paremale - saame lubatud muutujate valemid. Need valemid on vastuses kirjas.

See on kõik! Lineaarvõrrandi süsteem on lahendatud! See on üsna lihtne algoritm ja selle valdamiseks ei pea te matemaatikaõpetajaga ühendust võtma. Kaaluge näidet:

Ülesanne. Lahendage võrrandisüsteem:

Sammude kirjeldus:

1. Lahutame esimese võrrandi teisest ja kolmandast - saame lubatud muutuja x 1;
2. Korrutame teise võrrandi (-1) ja jagame kolmanda võrrandiga (-3) - saame kaks võrrandit, millesse muutuja x 2 siseneb koefitsiendiga 1;
3. Lisame teise võrrandi esimesele ja lahutame kolmandast. Võtame lubatud muutuja x 2 ;
4. Lõpuks lahutame esimesest kolmanda võrrandi - saame lubatud muutuja x 3 ;
5. Oleme saanud volitatud süsteemi, kirjutame vastuse kirja.

Lineaarvõrrandisüsteemi üldlahendus on uus, algse samaväärne süsteem, milles kõik lubatud muutujad on väljendatud vabadena.

Millal võib vaja minna üldist lahendust? Kui peate tegema vähem samme kui k (k on võrrandite arv kokku). Kuid põhjused, miks protsess mõnel etapil l lõpeb< k , может быть две:

1. Pärast l -ndat sammu saame süsteemi, mis ei sisalda võrrandit arvuga (l + 1). Tegelikult on see hea, sest. lahendatud süsteem saab nagunii kätte – isegi paar sammu varem.
2. Pärast l-ndat sammu saadakse võrrand, milles kõik muutujate koefitsiendid on võrdsed nulliga ja vaba koefitsient erineb nullist. See on ebajärjekindel võrrand ja seetõttu on süsteem ebajärjekindel.

Oluline on mõista, et ebajärjekindla võrrandi ilmumine Gaussi meetodil on piisav põhjus vastuoluks. Samas märgime, et l -nda sammu tulemusena ei saa jääda triviaalvõrrandid - kõik need kustutatakse protsessi käigus otse.

Sammude kirjeldus:

1. Lahutage esimene võrrand teisest korda 4. Ja lisage ka esimene võrrand kolmandale - saame lubatud muutuja x 1;
2. Lahutame teisest kolmanda võrrandi, mis on korrutatud 2-ga - saame vastuolulise võrrandi 0 = −5.

Seega on süsteem ebajärjekindel, kuna on leitud vastuoluline võrrand.

Ülesanne. Uurige ühilduvust ja leidke süsteemi üldine lahendus:

Sammude kirjeldus:

1. Lahutame esimese võrrandi teisest (pärast kahega korrutamist) ja kolmandast - saame lubatud muutuja x 1;
2. Lahutage teine ​​võrrand kolmandast. Kuna kõik nendes võrrandites olevad koefitsiendid on samad, muutub kolmas võrrand triviaalseks. Samal ajal korrutame teise võrrandi (-1);
3. Lahutame esimesest võrrandist teise võrrandi – saame lubatud muutuja x 2. Ka kogu võrrandisüsteem on nüüd lahendatud;
4. Kuna muutujad x 3 ja x 4 on vabad, nihutame need lubatud muutujate väljendamiseks paremale. See on vastus.

Seega on süsteem ühine ja määramatu, kuna on kaks lubatud muutujat (x 1 ja x 2) ja kaks vaba (x 3 ja x 4).

Gaussi meetod on lihtne! Miks? Kuulus saksa matemaatik Johann Carl Friedrich Gauss pälvis oma eluajal tunnustuse kui kõigi aegade suurimat matemaatikut, geeniust ja isegi hüüdnime "Matemaatika kuningas". Ja kõik geniaalne, nagu teate, on lihtne! Muide, raha sisse ei satu mitte ainult nõmedad, vaid ka geeniused - Gaussi portree uhkeldas 10 Saksa margasel arvel (enne euro kasutuselevõttu) ja Gauss naeratab sakslastele siiani salapäraselt tavalistelt postmarkidelt.

Gaussi meetod on selle poolest lihtne, et selle valdamiseks PIISAB VIIENDA KLASSI ÕPILASE TEADMISEST. Peab oskama liita ja korrutada! Pole juhus, et kooli matemaatika valikainete õpetajad kaaluvad sageli tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetodit. See on paradoksaalne, kuid Gaussi meetod tekitab õpilastele kõige suuremaid raskusi. Pole midagi üllatavat – see kõik puudutab metoodikat ja ma püüan ligipääsetaval kujul rääkida meetodi algoritmist.

Esiteks süstematiseerime veidi teadmisi lineaarvõrrandisüsteemide kohta. Lineaarvõrrandisüsteem võib:

1) omage ainulaadset lahendust.
2) teil on lõpmatult palju lahendusi.
3) Sul pole lahendusi (ole Sobimatu).

Gaussi meetod on kõige võimsam ja mitmekülgsem vahend lahenduse leidmiseks ükskõik milline lineaarvõrrandisüsteemid. Nagu me mäletame Crameri reegel ja maatriksmeetod ei sobi juhtudel, kui süsteemil on lõpmatult palju lahendusi või see on ebaühtlane. Tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod igatahes vii meid vastuseni! Selles õppetükis käsitleme taas Gaussi meetodit juhtumi nr 1 jaoks (süsteemi ainus lahendus), artikkel on reserveeritud punktide nr 2-3 olukordade jaoks. Märgin, et meetodi algoritm ise töötab kõigil kolmel juhul ühtemoodi.

Tuleme õppetunnist tagasi kõige lihtsama süsteemi juurde Kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteemi?
ja lahendage see Gaussi meetodil.

Esimene samm on kirjutada laiendatud maatrikssüsteem:
. Millise põhimõtte järgi koefitsiente registreeritakse, seda näevad vist kõik. Maatriksi sees olev vertikaalne joon ei oma matemaatilist tähendust – see on lihtsalt läbikriipsutamine disaini hõlbustamiseks.

Viide :Soovitan meeles pidada tingimustele Lineaaralgebra. Süsteemi maatriks on maatriks, mis koosneb ainult tundmatute kordajatest, selles näites on süsteemi maatriks: . Laiendatud süsteemimaatriks on sama süsteemi maatriks pluss vabade terminite veerg, antud juhul: . Mis tahes maatriksit võib lühiduse huvides nimetada lihtsalt maatriksiks.

Pärast süsteemi laiendatud maatriksi kirjutamist on vaja sellega teha mõned toimingud, mida nimetatakse ka elementaarsed teisendused.

Seal on järgmised elementaarsed teisendused:

1) Stringid maatriksid saab ümber paigutama kohad. Näiteks vaadeldavas maatriksis saate esimese ja teise rea ohutult ümber korraldada:

2) Kui maatriksis on (või ilmusid) proportsionaalsed (erijuhtumina - identsed) read, siis järeldub sellest kustutada maatriksist kõik need read peale ühe. Mõelge näiteks maatriksile . Selles maatriksis on kolm viimast rida proportsionaalsed, nii et piisab, kui jätta neist ainult üks: .

3) Kui teisenduste käigus tekkis maatriksisse null rida, siis sellest ka järeldub kustutada. Ma muidugi ei tõmba, nulljoon on joon, milles ainult nullid.

4) Maatriksi rida võib olla korrutama (jagama) mis tahes numbri jaoks nullist erinev. Vaatleme näiteks maatriksit . Siin on soovitatav esimene rida jagada -3-ga ja teine ​​​​rida korrutada 2-ga: . See toiming on väga kasulik, kuna see lihtsustab maatriksi edasisi teisendusi.

5) See transformatsioon tekitab kõige rohkem raskusi, kuid tegelikult pole ka midagi keerulist. Maatriksi reale saate lisage veel üks string, mis on korrutatud arvuga, erineb nullist. Mõelge meie maatriksile praktilise näite põhjal: . Esiteks kirjeldan ümberkujundamist väga üksikasjalikult. Korrutage esimene rida -2-ga: ja teisele reale lisame esimese rea korrutatuna -2-ga: . Nüüd saab esimese rea "tagasi" jagada -2-ga: . Nagu näete, rida, mis on LISATUD LI – pole muutunud. On alati rida muudetakse, MILLELE LISATUD TÜ.

Praktikas nad muidugi nii detailselt ei maali, vaid kirjutavad lühemalt:

Veel kord: teisele reale lisati esimene rida korrutatuna -2-ga. Rida korrutatakse tavaliselt suuliselt või mustandil, samal ajal kui arvutuste mõttekäik on umbes selline:

"Kirjutan maatriksi ümber ja kirjutan esimese rea ümber: »

Esimene veerg kõigepealt. Allpool pean saama nulli. Seetõttu korrutan ülaltoodud ühiku -2:-ga ja lisan esimese teise reale: 2 + (-2) = 0. Tulemuse kirjutan teisele reale: »

"Nüüd teine ​​veerg. Üle -1 korda -2: . Esimese lisan teisele reale: 1 + 2 = 3. Kirjutan tulemuse teisele reale: »

"Ja kolmas veerg. Üle -5 korda -2: . Teisele reale lisan esimese rea: -7 + 10 = 3. Tulemuse kirjutan teisele reale: »

Palun mõelge see näide hoolega läbi ja saage aru järjestikuse arvutuse algoritmist, kui sellest aru saate, siis on Gaussi meetod praktiliselt "taskus". Kuid loomulikult me ​​töötame selle ümberkujundamise kallal endiselt.

Elementaarteisendused võrrandisüsteemi lahendust ei muuda

! TÄHELEPANU: kaalutletud manipulatsioonid ei saa kasutada, kui sulle pakutakse ülesannet, kus maatriksid antakse "iseenesest". Näiteks "klassikaline" maatriksid mitte mingil juhul ei tohi maatriksite sees midagi ümber korraldada!

Tuleme tagasi oma süsteemi juurde. Ta on praktiliselt tükkideks murtud.

Kirjutame süsteemi liitmaatriksi ja taandame elementaarteisenduste abil selle väärtuseks astmeline vaade:

(1) Esimene rida lisati teisele reale, korrutatuna -2-ga. Ja veel: miks me korrutame esimese rea -2-ga? Selleks, et saada allosas null, mis tähendab teises reas ühest muutujast vabanemist.

(2) Jagage teine ​​rida 3-ga.

Elementaarteisenduste eesmärk – teisendage maatriks astmeliseks vormiks: . Ülesande kujundamisel joonistavad nad lihtsa pliiatsiga otse välja “redeli” ja ringlevad ka “astmetel” asuvad numbrid. Mõiste "astmeline vaade" ise ei ole täiesti teoreetiline, teadus- ja õppekirjanduses nimetatakse seda sageli nn. trapetsikujuline vaade või kolmnurkne vaade.

Elementaarsete teisenduste tulemusena oleme saanud samaväärne algne võrrandisüsteem:

Nüüd tuleb süsteem "lahti keerata" vastupidises suunas - alt üles, seda protsessi nimetatakse vastupidine Gaussi meetod.

Alumises võrrandis on meil juba valmis tulemus: .

Mõelge süsteemi esimesele võrrandile ja asendage sellega juba teadaolev "y" väärtus:

Vaatleme kõige tavalisemat olukorda, kus kolme tundmatuga kolme lineaarvõrrandi süsteemi lahendamiseks on vaja Gaussi meetodit.

Näide 1

Lahendage võrrandisüsteem Gaussi meetodi abil:

Kirjutame süsteemi liitmaatriksi:

Nüüd joonistan kohe tulemuse, milleni lahenduse käigus jõuame:

Ja kordan, meie eesmärk on viia maatriks astmelisele kujule, kasutades elementaarseid teisendusi. Kust alustada tegutsemist?

Esiteks vaadake ülemist vasakpoolset numbrit:

Peaks peaaegu alati siin olema üksus. Üldjuhul sobivad ka -1 (ja vahel ka teised numbrid), aga millegipärast on traditsiooniliselt juhtunud, et sinna pannakse tavaliselt ühik. Kuidas üksust organiseerida? Vaatame esimest veergu - meil on valmis üksus! Esimene teisendus: vahetage esimene ja kolmas rida:

Nüüd jääb esimene rida muutumatuks kuni lahenduse lõpuni. Nüüd hästi.

Üleval vasakul asuv üksus on organiseeritud. Nüüd peate nendes kohtades saama nullid:

Nullid saadakse lihtsalt "raske" teisenduse abil. Esiteks tegeleme teise reaga (2, -1, 3, 13). Mida tuleb teha, et esikohale null saada? Vaja teisele reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -2-ga. Vaimselt või mustandi põhjal korrutame esimese rea -2-ga: (-2, -4, 2, -18). Ja me teostame järjekindlalt (taas vaimselt või mustandi alusel) lisamist, teisele reale lisame esimese rea, mis on juba korrutatud -2-ga:

Tulemus kirjutatakse teisele reale:

Samamoodi käsitleme kolmandat rida (3, 2, -5, -1). Esimesel positsioonil nulli saamiseks peate kolmandale reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -3-ga. Vaimselt või mustandi põhjal korrutame esimese rea -3-ga: (-3, -6, 3, -27). Ja kolmandale reale lisame esimese rea korrutatuna -3-ga:

Tulemus kirjutatakse kolmandale reale:

Praktikas tehakse need toimingud tavaliselt suuliselt ja pannakse kirja ühes etapis:

Pole vaja kõike korraga ja samal ajal lugeda. Arvutuste järjekord ja tulemuste "sisestamine". järjekindel ja tavaliselt nii: kõigepealt kirjutame esimese rea ümber ja pahvime end vaikselt - JÄÄKSELT ja HOOLIKALT:


Ja arvutuste enda mõttelist kulgu olen juba eespool käsitlenud.

Selles näites on seda lihtne teha, jagame teise rea -5-ga (kuna kõik seal olevad arvud jaguvad 5-ga ilma jäägita). Samal ajal jagame kolmanda rea ​​-2-ga, sest mida väiksem arv, seda lihtsam on lahendus:

Elementaarsete teisenduste viimases etapis tuleb siin saada veel üks null:

Selle jaoks kolmandale reale lisame teise rea, korrutatuna -2-ga:


Proovige seda toimingut ise sõeluda - korrutage teine ​​rida mõtteliselt -2-ga ja viige läbi liitmine.

Viimane toiming on tulemuse soeng, jagage kolmas rida 3-ga.

Elementaarteisenduste tulemusena saadi ekvivalentne algne lineaarvõrrandisüsteem:

Lahe.

Nüüd tuleb mängu Gaussi meetodi vastupidine kulg. Võrrandid "kerivad lahti" alt üles.

Kolmandas võrrandis on meil juba valmis tulemus:

Vaatame teist võrrandit: . "z" tähendus on juba teada, seega:

Ja lõpuks esimene võrrand: . "Y" ja "Z" on teada, asi on väike:

Vastus:

Nagu korduvalt märgitud, on iga võrrandisüsteemi puhul võimalik ja vajalik leitud lahendust kontrollida, õnneks pole see keeruline ja kiire.

Näide 2

See on näide ise lahendamiseks, viimistlusnäidis ja vastus õppetunni lõpus.

Tuleb märkida, et teie tegevussuund ei pruugi kattuda minu tegevusega, ja see on Gaussi meetodi tunnusjoon. Aga vastused peavad olema samad!

Näide 3

Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem

Kirjutame süsteemi laiendatud maatriksi ja viime elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

Vaatame vasakpoolset ülemist "sammu". Seal peaks meil üksus olema. Probleem on selles, et esimeses veerus pole üldse kedagi, nii et ridade ümberpaigutamise abil ei saa midagi lahendada. Sellistel juhtudel tuleb üksus organiseerida elementaarse teisenduse abil. Tavaliselt saab seda teha mitmel viisil. Ma tegin seda:
(1) Esimesele reale lisame teise rea, korrutatuna -1-ga. See tähendab, et me korrutasime mõtteliselt teise rea -1-ga ja lisasime esimese ja teise rea, samas kui teine ​​rida ei muutunud.

Nüüd üleval vasakul "miinus üks", mis sobib meile suurepäraselt. Kes soovib saada +1, saab teha täiendava liigutuse: korrutage esimene rida -1-ga (muutke selle märki).

(2) Esimene rida, mis on korrutatud 5-ga, lisati teisele reale. Esimene rida, mis on korrutatud 3-ga, lisati kolmandale reale.

(3) Esimene rida korrutati -1-ga, põhimõtteliselt on see ilu jaoks. Ka kolmanda rea ​​märk muudeti ja viidi teisele kohale, seega oli meil teisel “sammul” soovitud üksus.

(4) 2-ga korrutatud teine ​​rida lisati kolmandale reale.

(5) Kolmas rida jagati 3-ga.

Halb märk, mis näitab arvutusviga (harvemini kirjaviga), on "halb" lõpptulemus. See tähendab, et kui me saame midagi sellist, nagu allpool, ja vastavalt , siis võib suure tõenäosusega väita, et elementaarteisenduste käigus tehti viga.

Laestame vastupidise liikumise, näidete kujundamisel ei kirjutata sageli süsteemi ennast ümber ja võrrandid on “otse antud maatriksist võetud”. Tuletan teile meelde, et vastupidine käik toimib alt üles. Jah, siin on kingitus:

Vastus: .

Näide 4

Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem

See on näide iseseisva lahenduse jaoks, see on mõnevõrra keerulisem. Pole hullu, kui keegi segadusse läheb. Täislahendus ja kujundusnäidis tunni lõpus. Teie lahendus võib minu omast erineda.

Viimases osas käsitleme mõnda Gaussi algoritmi omadust.
Esimene omadus on see, et mõnikord puuduvad süsteemi võrrandites mõned muutujad, näiteks:

Kuidas õigesti kirjutada süsteemi liitmaatriksit? Sellest hetkest rääkisin juba tunnis. Crameri reegel. Maatriksmeetod. Süsteemi laiendatud maatriksis paneme puuduvate muutujate asemele nullid:

Muide, see on üsna lihtne näide, kuna esimeses veerus on juba üks null ja elementaarseid teisendusi tuleb teha vähem.

Teine omadus on see. Kõigis vaadeldavates näidetes panime “astmetele” kas –1 või +1. Kas võib olla muid numbreid? Mõnel juhul saavad nad. Mõelge süsteemile: .

Siin üleval vasakpoolsel "astmel" on meil kaksik. Kuid märkame tõsiasja, et kõik esimeses veerus olevad numbrid jaguvad 2-ga ilma jäägita - ja veel kahe ja kuuega. Ja meile sobib üleval vasakus olev deuce! Esimeses etapis peate tegema järgmised teisendused: lisage teisele reale esimene rida korrutatuna -1-ga; kolmandale reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -3-ga. Seega saame esimeses veerus soovitud nullid.

Või veel üks hüpoteetiline näide: . Siin sobib meile ka teise “restangu” kolmik, kuna 12 (koht, kus peame nulli saama) jagub 3-ga ilma jäägita. On vaja läbi viia järgmine teisendus: kolmandale reale lisage teine ​​rida, korrutatuna -4-ga, mille tulemusena saadakse vajalik null.

Gaussi meetod on universaalne, kuid sellel on üks eripära. Saate julgelt õppida lahendama süsteeme teiste meetoditega (Crameri meetod, maatriksmeetod) sõna otseses mõttes esimesest korrast - seal on väga jäik algoritm. Kuid selleks, et end Gaussi meetodis kindlalt tunda, peaksite "käe täitma" ja lahendama vähemalt 5-10 süsteemi. Seetõttu võib alguses esineda segadust, arvutusvigu ning selles pole midagi ebatavalist ega traagilist.

Vihmane sügisilm akna taga .... Seega kõigile keerulisem näide iseseisvaks lahenduseks:

Näide 5

Lahendage Gaussi meetodil neljast lineaarsest võrrandist koosnev süsteem nelja tundmatuga.

Selline ülesanne praktikas pole nii haruldane. Arvan, et isegi teekann, kes on seda lehte põhjalikult uurinud, mõistab sellise süsteemi lahendamise algoritmi intuitiivselt. Põhimõtteliselt sama – lihtsalt rohkem tegevust.

Juhtumeid, kus süsteemil pole lahendusi (ebajärjekindlad) või on lahendusi lõpmatult palju, käsitletakse õppetükis Ühildumatud süsteemid ja üldlahendusega süsteemid. Seal saate parandada Gaussi meetodi vaadeldud algoritmi.

Soovin teile edu!

Lahendused ja vastused:

Näide 2: Lahendus : Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime elementaarteisenduste abil astmelisele kujule.


Teostatud elementaarsed teisendused:
(1) Esimene rida lisati teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga. Tähelepanu! Siin võib olla kiusatus lahutada esimene kolmandast reast, ma ei soovita kindlasti lahutada - eksimise oht suureneb oluliselt. Me lihtsalt foldime!
(2) Teise rea märk muudeti (korrutatud -1-ga). Teine ja kolmas rida on vahetatud. Märge et "sammudel" oleme rahul mitte ainult ühega, vaid ka -1-ga, mis on veelgi mugavam.
(3) Lisage kolmandale reale teine ​​rida, korrutatuna 5-ga.
(4) Teise rea märk muudeti (korrutatud -1-ga). Kolmas rida jagati 14-ga.

Tagurpidi liikumine:

Vastus: .

Näide 4: Lahendus : Kirjutame süsteemi laiendatud maatriksi ja viime elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

Teostatud konversioonid:
(1) Esimesele reale lisati teine ​​rida. Seega on soovitud üksus korraldatud vasakpoolses ülanurgas.
(2) Esimene rida, mis on korrutatud 7-ga, lisati teisele reale. Esimene rida, mis on korrutatud 6-ga, lisati kolmandale reale.

Teise "sammuga" on kõik hullem , on selle "kandidaadid" numbrid 17 ja 23 ning vajame kas ühte või -1. Teisendused (3) ja (4) on suunatud soovitud ühiku saamiseks

(3) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga.
(4) Teisele reale lisati kolmas rida, mis on korrutatud -3-ga.
(3) Kolmandale reale lisati teine ​​rida, mis on korrutatud 4-ga. Neljandale reale lisati teine ​​rida, mis on korrutatud -1-ga.
(4) Teise rea märk on muudetud. Neljas rida jagati 3-ga ja asetati kolmanda rea ​​asemele.
(5) Kolmas rida lisati neljandale reale, korrutatuna -5-ga.

Tagurpidi liikumine:

Üks lihtsamaid viise lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks on meetod, mis põhineb determinantide ( Crameri reegel). Selle eeliseks on see, et see võimaldab lahenduse kohe salvestada, see on eriti mugav juhtudel, kui süsteemi koefitsiendid ei ole numbrid, vaid mingid parameetrid. Selle miinuseks on arvutuste kohmakus suure arvu võrrandite korral, pealegi ei ole Crameri reegel otseselt rakendatav süsteemidele, milles võrrandite arv ei lange kokku tundmatute arvuga. Sellistel juhtudel kasutatakse seda tavaliselt Gaussi meetod.

Nimetatakse lineaarvõrrandisüsteeme, millel on sama lahenduskomplekt samaväärne. Ilmselgelt lineaarse süsteemi lahenduste hulk ei muutu, kui ühtki võrrandit vahetada või kui üks võrranditest korrutatakse mõne nullist erineva arvuga või kui üks võrrand liidetakse teisele.

Gaussi meetod (Tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod) seisneb selles, et elementaarteisenduste abil taandatakse süsteem samaväärseks astmeliseks süsteemiks. Esiteks, 1. võrrandi abil x 1 kõigist süsteemi järgnevatest võrranditest. Seejärel, kasutades 2. võrrandit, elimineerime x 2 3. võrrandist ja kõik järgnevad võrrandid. Seda protsessi nimetatakse otsene Gaussi meetod, jätkub seni, kuni viimase võrrandi vasakule küljele jääb ainult üks tundmatu x n. Pärast seda valmistatakse Gaussi tagurpidi– lahendades viimase võrrandi, leiame x n; pärast seda, kasutades seda väärtust, arvutame eelviimasest võrrandist x n-1 jne. Viimasena leiame x 1 esimesest võrrandist.

Gaussi teisendusi on mugav teostada, tehes teisendusi mitte võrrandite endi, vaid nende koefitsientide maatriksitega. Mõelge maatriksile:

helistas laiendatud maatrikssüsteem, sest lisaks süsteemi põhimaatriksile sisaldab see vabaliikmete veergu. Gaussi meetod põhineb süsteemi põhimaatriksi viimisel kolmnurksele kujule (mitteruuduliste süsteemide puhul trapetsikujulisele kujule), kasutades süsteemi laiendatud maatriksi elementaarrea teisendusi (!).

Näide 5.1. Lahendage süsteem Gaussi meetodil:

Lahendus. Kirjutame välja süsteemi liitmaatriksi ja esimese rea abil seame ülejäänud elemendid nulliks:

saame nullid esimese veeru 2., 3. ja 4. real:

Nüüd peame kõik 2. rea all oleva teise veeru elemendid olema võrdsed nulliga. Selleks saab teise rea korrutada -4/7-ga ja liita 3. reale. Et aga mitte murdudega tegeleda, loome teise veeru 2. reale ühiku ja ainult

Nüüd peate kolmnurkmaatriksi saamiseks nullima 3. veeru neljanda rea ​​elemendi, selleks saate kolmanda rea ​​korrutada 8/54-ga ja lisada selle neljandale. Et aga mitte murdudega tegeleda, vahetame 3. ja 4. rea ning 3. ja 4. veeru ning alles pärast seda lähtestame määratud elemendi. Pange tähele, et veergude ümberpaigutamisel vahetatakse vastavad muutujad ja seda tuleb meeles pidada; muid elementaarteisendusi veergudega (liitmine ja arvuga korrutamine) teha ei saa!

Viimane lihtsustatud maatriks vastab võrrandisüsteemile, mis on samaväärne algse maatriksiga:

Siit, kasutades Gaussi meetodi pöördkäiku, leiame neljandast võrrandist x 3 = -1; kolmandast x 4 = -2, teisest x 2 = 2 ja esimesest võrrandist x 1 = 1. Maatriksi kujul kirjutatakse vastus kujul

Oleme käsitlenud juhtumit, kui süsteem on kindel, s.t. kui on ainult üks lahendus. Vaatame, mis juhtub, kui süsteem on ebaühtlane või ebamäärane.

Näide 5.2. Uurige süsteemi Gaussi meetodi abil:

Lahendus. Kirjutame välja ja teisendame süsteemi liitmaatriksi

Kirjutame lihtsustatud võrrandisüsteemi:

Siin viimases võrrandis selgus, et 0=4, s.o. vastuolu. Seetõttu pole süsteemil lahendust, s.t. ta on Sobimatu. à

Näide 5.3. Uurige ja lahendage süsteemi Gaussi meetodil:

Lahendus. Kirjutame välja ja teisendame süsteemi laiendatud maatriksi:

Teisenduste tulemusena saadi viimasel real ainult nullid. See tähendab, et võrrandite arv on vähenenud ühe võrra:

Seega jääb peale lihtsustusi kaks võrrandit ning neli tundmatut, s.o. kaks tundmatut "lisa". Olgu "üleliigne" või, nagu öeldakse, vabad muutujad, tahe x 3 ja x neli . Siis

Eeldusel x 3 = 2a ja x 4 = b, saame x 2 = 1–a ja x 1 = 2b–a; või maatriksi kujul

Sel viisil kirjutatud lahendust nimetatakse üldine, kuna, andes parameetrid a ja b erinevaid väärtusi, on võimalik kirjeldada kõiki süsteemi võimalikke lahendusi. a

Täna käsitleme Gaussi meetodit lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks. Mida need süsteemid endast kujutavad, saate lugeda eelmisest artiklist, mis oli pühendatud sama SLAE lahendamisele Crameri meetodil. Gaussi meetod ei nõua mingeid spetsiifilisi teadmisi, vaja on vaid hoolt ja järjepidevust. Hoolimata asjaolust, et matemaatika seisukohalt piisab selle rakendamiseks kooli ettevalmistusest, tekitab selle meetodi valdamine õpilastele sageli raskusi. Selles artiklis püüame need nulli viia!

Gaussi meetod

M Gaussi meetod on kõige universaalsem meetod SLAE lahendamiseks (erandiks on väga suured süsteemid). Erinevalt varem käsitletust ei sobi see mitte ainult süsteemidele, millel on unikaalne lahendus, vaid ka süsteemidele, millel on lõpmatu arv lahendusi. Siin on kolm võimalust.

1. Süsteemil on unikaalne lahendus (süsteemi põhimaatriksi determinant ei ole võrdne nulliga);
2. Süsteemil on lõpmatu arv lahendusi;
3. Lahendusi pole, süsteem on ebaühtlane.

Niisiis, meil on süsteem (olgu sellel üks lahendus) ja me lahendame selle Gaussi meetodil. Kuidas see töötab?

Gaussi meetod koosneb kahest etapist - otsene ja pöördvõrdeline.

Otsene Gaussi meetod

Esiteks kirjutame süsteemi liitmaatriksi. Selleks lisame põhimaatriksisse vabade liikmete veeru.

Gaussi meetodi kogu olemus seisneb selles, et antud maatriks viiakse elementaarteisenduste abil astmelisele (või nagu öeldakse kolmnurksele) kujule. Sellisel kujul peaksid maatriksi põhidiagonaali all (või üle selle) olema ainult nullid.

Mida saaks teha:

1. Saate maatriksi ridu ümber paigutada;
2. Kui maatriksis on identsed (või proportsionaalsed) read, saate need kõik peale ühe kustutada;
3. Saate stringi korrutada või jagada mis tahes arvuga (v.a null);
4. Nulljooned eemaldatakse;
5. Saate stringile lisada stringi, mis on korrutatud nullist erineva arvuga.

Vastupidine Gaussi meetod

Pärast süsteemi sellisel viisil muutmist on üks tundmatu xn saab teada ja on võimalik leida kõik ülejäänud tundmatud vastupidises järjekorras, asendades süsteemi võrrandites juba teadaolevad x-id kuni esimeseni välja.

Kui Internet on alati käepärast, saate võrrandisüsteemi lahendada Gaussi meetodil võrgus. Kõik, mida pead tegema, on sisestada koefitsiendid veebikalkulaatorisse. Kuid peate tunnistama, et palju meeldivam on tõdeda, et näidet ei lahendanud mitte arvutiprogramm, vaid teie enda aju.

Näide võrrandisüsteemi lahendamisest Gaussi meetodil

Ja nüüd - näide, et kõik saaks selgeks ja arusaadavaks. Olgu antud lineaarvõrrandisüsteem ja see tuleb lahendada Gaussi meetodil:

Kõigepealt kirjutame suurendatud maatriksi:

Vaatame nüüd ümberkujundamisi. Pidage meeles, et peame saavutama maatriksi kolmnurkse kuju. Korrutage esimene rida (3-ga). Korrutage 2. rida arvuga (-1). Lisame 2. rea esimesele ja saame:

Seejärel korrutage 3. rida arvuga (-1). Liidame 3. rea teisele:

Korrutage esimene rida (6-ga). Korrutage 2. rida arvuga (13). Lisame 2. rea esimesele:

Voila - süsteem viiakse sobivasse vormi. Jääb üle leida tundmatud:

Selle näite süsteemil on ainulaadne lahendus. Lõpmatu hulga lahendustega süsteemide lahendust käsitleme eraldi artiklis. Võib-olla algul ei teagi, kust maatriksiteisendustega alustada, kuid pärast asjakohast harjutamist saad asjale pihta ja vajutad Gaussi SLAE-d nagu pähklid. Ja kui satute ootamatult kokku SLAU-ga, mis osutub liiga kõvaks pähkliks, võtke ühendust meie autoritega! saate jättes avalduse kirjavahetusse. Koos lahendame kõik probleemid!

Gaussi meetod, mida nimetatakse ka tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetodiks, koosneb järgmisest. Elementaarteisenduste abil viiakse lineaarvõrrandisüsteem sellisele kujule, et selle koefitsientide maatriks osutub trapetsikujuline (sama, mis kolmnurkne või astmeline) või trapetsi lähedal (Gaussi meetodi otsene kulg, siis - lihtsalt otsene käik). Sellise süsteemi ja selle lahenduse näide on näidatud ülaltoodud joonisel.

Sellises süsteemis sisaldab viimane võrrand ainult ühte muutujat ja selle väärtust saab üheselt leida. Seejärel asendatakse selle muutuja väärtus eelmise võrrandiga ( Gaussi tagurpidi , siis - lihtsalt vastupidine liigutus), millest leitakse eelmine muutuja jne.

Trapetsikujulises (kolmnurkses) süsteemis, nagu näeme, ei sisalda kolmas võrrand enam muutujaid y ja x, ja teine ​​võrrand - muutuja x .

Pärast seda, kui süsteemi maatriks on saanud trapetsikujulise kuju, ei ole enam keeruline süsteemi ühilduvuse küsimust välja selgitada, lahenduste arvu määrata ja lahendusi ise leida.

Meetodi eelised:

1. rohkem kui kolme võrrandiga ja tundmatutega lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel ei ole Gaussi meetod nii tülikas kui Crameri meetod, kuna Gaussi meetodi lahendamisel on vaja vähem arvutusi;
2. Gaussi meetodi abil saate lahendada ebamääraseid lineaarvõrrandisüsteeme, see tähendab, et neil on ühine lahendus (ja analüüsime neid selles õppetükis) ja Crameri meetodi abil saate ainult väita, et süsteem on ebakindel;
3. saate lahendada lineaarvõrrandisüsteeme, milles tundmatute arv ei võrdu võrrandite arvuga (neid analüüsime ka selles õppetükis);
4. meetod põhineb algklasside (kooli)meetoditel - tundmatute asendamise meetodil ja võrrandite liitmise meetodil, mida puudutasime vastavas artiklis.

Selleks, et kõik oleksid läbi imbunud trapetsikujuliste (kolmnurksete, astmeliste) lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise lihtsusest, esitame sellise süsteemi lahenduse, kasutades pöördkäiku. Selle süsteemi kiirlahendust näidati tunni alguses oleval pildil.

Näide 1 Lahendage lineaarvõrrandisüsteem, kasutades pöördliikumist:

Lahendus. Selles trapetsikujulises süsteemis on muutuja z on ainulaadselt leitud kolmandast võrrandist. Asendame selle väärtuse teise võrrandiga ja saame muutuja väärtuse y:

Nüüd teame kahe muutuja väärtusi - z ja y. Asendame need esimesse võrrandisse ja saame muutuja väärtuse x:

Eelnevatest sammudest kirjutame välja võrrandisüsteemi lahenduse:

Sellise trapetsikujulise lineaarvõrrandisüsteemi saamiseks, mille lahendasime väga lihtsalt, on vaja rakendada lineaarvõrrandisüsteemi elementaarsete teisendustega seotud otseliikumist. See pole ka väga raske.

Lineaarvõrrandisüsteemi elementaarteisendused

Süsteemi võrrandite algebralise liitmise koolimeetodit korrates saime teada, et süsteemi ühele võrrandile saab lisada veel ühe süsteemi võrrandi ning iga võrrandi saab korrutada mõne arvuga. Selle tulemusena saame lineaarvõrrandisüsteemi, mis on võrdne etteantud süsteemiga. Selles sisaldas üks võrrand juba ainult ühte muutujat, mille väärtuse asendamisel teiste võrranditega jõuame lahenduseni. Selline lisamine on üks süsteemi elementaarse teisendamise tüüpe. Gaussi meetodi kasutamisel saame kasutada mitut tüüpi teisendusi.

Ülaltoodud animatsioon näitab, kuidas võrrandisüsteem muutub järk-järgult trapetsikujuliseks. See tähendab, see, mida nägite kohe esimesel animatsioonil ja veendusite, et sellest on lihtne leida kõigi tundmatute väärtusi. Sellest, kuidas sellist teisendust läbi viia, ja muidugi näiteid, arutatakse edasi.

Mis tahes arvu võrrandite ja tundmatutega lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel võrrandisüsteemis ja süsteemi laiendatud maatriksis saab:

1. ridade vahetamine (seda mainiti selle artikli alguses);
2. kui muude teisenduste tulemusena tekkisid võrdsed või võrdelised read, saab need kustutada, välja arvatud üks;
3. kustutada "null" read, kus kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga;
4. korrutage või jagage mis tahes string mõne arvuga;
5. lisage mis tahes reale mõni rida, mis on korrutatud mõne arvuga.

Teisenduste tulemusena saame lineaarvõrrandisüsteemi, mis on ekvivalentne etteantud süsteemiga.

Algoritm ja näited süsteemi ruutmaatriksiga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisest Gaussi meetodil

Vaatleme esmalt lineaarvõrrandisüsteemide lahendust, milles tundmatute arv on võrdne võrrandite arvuga. Sellise süsteemi maatriks on ruut, see tähendab, et ridade arv selles võrdub veergude arvuga.

Näide 2 Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem

Lineaarvõrrandisüsteeme koolimeetodite abil lahendades korrutasime liikme kaupa ühe võrrandi teatud arvuga, nii et kahe võrrandi esimese muutuja koefitsiendid olid vastandarvud. Võrrandite lisamisel see muutuja elimineeritakse. Gaussi meetod töötab sarnaselt.

Lahenduse välimuse lihtsustamiseks koostada süsteemi liitmaatriks:

Selles maatriksis asuvad tundmatute koefitsiendid vasakul enne vertikaalset riba ja vabad liikmed on paremal pärast vertikaalset riba.

Muutujate koefitsientide jagamise mugavuse huvides (ühega jagamise saamiseks) vahetage süsteemimaatriksi esimene ja teine ​​rida. Saame antud süsteemiga samaväärse süsteemi, kuna lineaarvõrrandisüsteemis saab võrrandeid ümber paigutada:

Uue esimese võrrandiga muutuja kõrvaldada x teisest ja kõigist järgnevatest võrranditest. Selleks lisage maatriksi teisele reale esimene rida, mis on korrutatud (meie puhul ) -ga, ja esimene rida, mis on korrutatud (meie puhul ) -ga, kolmandale reale.

See on võimalik, kuna

Kui meie süsteemis oli rohkem kui kolm võrrandit, tuleks esimene rida lisada kõikidele järgnevatele võrranditele, korrutades vastavate koefitsientide suhtega, võttes miinusmärgiga.

Selle tulemusena saame uue võrrandisüsteemi antud süsteemiga ekvivalentse maatriksi, milles kõik võrrandid, alates teisest ei sisalda muutujat x :

Saadud süsteemi teise rea lihtsustamiseks korrutame selle ja saame uuesti selle süsteemiga samaväärse võrrandisüsteemi maatriksi:

Nüüd, jättes saadud süsteemi esimese võrrandi muutmata, kasutades teist võrrandit, elimineerime muutuja y kõigist järgnevatest võrranditest. Selleks lisage süsteemimaatriksi kolmandale reale teine ​​rida, mis on korrutatud arvuga (meie puhul -ga).

Kui meie süsteemis oli rohkem kui kolm võrrandit, siis tuleks kõikidele järgnevatele võrranditele lisada teine ​​rida, korrutades vastavate koefitsientide suhtega, võttes miinusmärgiga.

Selle tulemusel saame taas antud lineaarvõrrandisüsteemiga ekvivalentse süsteemi maatriksi:

Oleme saanud trapetsikujulise lineaarvõrrandisüsteemi, mis on võrdne antud ühega:

Kui võrrandite ja muutujate arv on suurem kui meie näites, siis jätkub muutujate järjestikuse elimineerimise protsess, kuni süsteemimaatriks muutub trapetsikujuliseks, nagu meie demonäites.

Leiame lahenduse "lõpust" - vastupidi. Selle jaoks viimasest võrrandist, mille me määrame z:
.
Asendades selle väärtuse eelmise võrrandiga, leida y:

Esimesest võrrandist leida x:

Vastus: selle võrrandisüsteemi lahendus - .

: sel juhul antakse sama vastus, kui süsteemil on unikaalne lahendus. Kui süsteemil on lõpmatu arv lahendusi, siis on ka vastus ja see on selle õppetunni viienda osa teema.

Lahendage ise Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem ja seejärel vaadake lahendust

Meie ees on taas näide järjekindlast ja kindlast lineaarvõrrandisüsteemist, milles võrrandite arv on võrdne tundmatute arvuga. Erinevus meie demo näitest algoritmist seisneb selles, et seal on juba neli võrrandit ja neli tundmatut.

Näide 4 Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem:

Nüüd peate kasutama teist võrrandit, et välistada muutuja järgmistest võrranditest. Teeme ettevalmistustööd. Koefitsientide suhte mugavamaks muutmiseks peate teise rea teises veerus saama ühiku. Selleks lahutage teisest reast kolmas rida ja korrutage saadud teine ​​rida -1-ga.

Teeme nüüd muutuja tegeliku elimineerimise kolmandast ja neljandast võrrandist. Selleks lisage kolmandale reale teine, mis on korrutatud , ja teine, korrutatuna -ga, neljandale.

Nüüd, kasutades kolmandat võrrandit, eemaldame muutuja neljandast võrrandist. Selleks lisage neljandale reale kolmas, korrutatuna . Saame trapetsikujulise laiendatud maatriksi.

Oleme saanud võrrandisüsteemi, mis on samaväärne antud süsteemiga:

Seetõttu on saadud ja antud süsteemid järjepidevad ja kindlad. Leiame lõpliku lahenduse "lõpust". Neljandast võrrandist saame otseselt väljendada muutuja "x neljas" väärtust:

Asendame selle väärtuse süsteemi kolmanda võrrandiga ja saame

,

,

Lõpuks väärtuste asendamine

Esimeses võrrandis annab

,

kus leiame "x first":

Vastus: Sellel võrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus. .

Süsteemi lahendust saab kontrollida ka kalkulaatorilt, mis lahendab Crameri meetodil: sel juhul antakse sama vastus, kui süsteemil on unikaalne lahendus.

Rakendusülesannete lahendamine Gaussi meetodil sulamite ülesande näitel

Lineaarvõrrandisüsteeme kasutatakse füüsilise maailma reaalsete objektide modelleerimiseks. Lahendame ühe neist probleemidest - sulamite jaoks. Sarnased ülesanded - ülesanded segudele, üksikute kaupade maksumus või erikaal kaubagrupis jms.

Näide 5 Kolme sulamitüki kogumass on 150 kg. Esimene sulam sisaldab 60% vaske, teine ​​- 30%, kolmas - 10%. Samas on teises ja kolmandas sulamis kokku võttes vaske 28,4 kg vähem kui esimeses ja kolmandas sulamis 6,2 kg vähem kui teises. Leidke iga sulamitüki mass.

Lahendus. Koostame lineaarvõrrandisüsteemi:

Korrutades teise ja kolmanda võrrandi 10-ga, saame samaväärse lineaarvõrrandisüsteemi:

Koostame süsteemi laiendatud maatriksi:

Tähelepanu, otsene liikumine. Lisades (meie puhul lahutades) ühe rea, korrutatuna arvuga (rakendame seda kaks korda), toimuvad süsteemi laiendatud maatriksiga järgmised teisendused:

Otsejooks on läbi. Saime trapetsikujulise laiendatud maatriksi.

Kasutame vastupidist. Leiame lahenduse lõpust. Me näeme seda.

Teisest võrrandist leiame

Kolmandast võrrandist -

Süsteemi lahendust saab kontrollida ka kalkulaatorilt, mis lahendab Crameri meetodil: sel juhul antakse sama vastus, kui süsteemil on unikaalne lahendus.

Gaussi meetodi lihtsusest annab tunnistust tõsiasi, et saksa matemaatikul Carl Friedrich Gaussil kulus selle leiutamiseks vaid 15 minutit. Lisaks tema nimelisele meetodile on Gaussi töödest pärit ütlus "Me ei tohiks segi ajada seda, mis tundub meile uskumatu ja ebaloomulik, absoluutselt võimatuga" omamoodi põgus juhis avastuste tegemiseks.

Paljudes rakendusülesannetes ei pruugi olla kolmandat piirangut ehk siis kolmandat võrrandit, siis tuleb Gaussi meetodil lahendada kahest võrrandist koosnev kolme tundmatuga võrrandi süsteem või vastupidi, tundmatuid on vähem kui võrrandeid. Nüüd hakkame selliseid võrrandisüsteeme lahendama.

Gaussi meetodi abil saate määrata, kas süsteem on järjekindel või ebaühtlane n lineaarvõrrandid n muutujad.

Gaussi meetod ja lõpmatu arvu lahendustega lineaarvõrrandisüsteemid

Järgmine näide on järjekindel, kuid ebamäärane lineaarvõrrandisüsteem, see tähendab, et sellel on lõpmatu arv lahendusi.

Pärast teisenduste sooritamist süsteemi laiendatud maatriksis (ridade permuteerimine, ridade korrutamine ja jagamine teatud arvuga, ühe rea lisamine teisele) vormi read

Kui kõigis võrrandites on vorm

Vabaliikmed on võrdsed nulliga, see tähendab, et süsteem on määramatu, see tähendab, et sellel on lõpmatu arv lahendeid ja seda tüüpi võrrandid on "üleliigsed" ja jäetakse süsteemist välja.

Näide 6

Lahendus. Koostame süsteemi laiendatud maatriksi. Seejärel, kasutades esimest võrrandit, eemaldame muutuja järgmistest võrranditest. Selleks lisage teisele, kolmandale ja neljandale reale esimene, korrutatuna vastavalt:

Nüüd lisame teise rea kolmandale ja neljandale.

Selle tulemusena jõuame süsteemini

Kaks viimast võrrandit on muutunud võrranditeks kujul . Need võrrandid on täidetud mis tahes tundmatute väärtuste korral ja need võib kõrvale jätta.

Teise võrrandi rahuldamiseks saame ja jaoks valida suvalised väärtused, siis määratakse väärtus üheselt: . Esimesest võrrandist leitakse unikaalselt ka väärtus: .

Nii antud kui ka viimane süsteem on ühilduvad, kuid ebamäärased, ja valemid

meelevaldseks ja anna meile kõik antud süsteemi lahendused.

Gaussi meetod ja lineaarvõrrandisüsteemid, millel pole lahendusi

Järgmine näide on ebajärjekindel lineaarvõrrandisüsteem, see tähendab, et sellel pole lahendusi. Vastus sellistele probleemidele on sõnastatud järgmiselt: süsteemil pole lahendusi.

Nagu esimese näitega seoses juba mainitud, pärast teisenduste sooritamist süsteemi laiendatud maatriksis vormi read

mis vastab vormi võrrandile

Kui nende hulgas on vähemalt üks nullist erineva vaba liikmega võrrand (st ), siis on see võrrandisüsteem ebajärjekindel, see tähendab, et tal pole lahendeid ja see lõpetab selle lahenduse.

Näide 7 Lahendage lineaarvõrrandisüsteem Gaussi meetodil:

Lahendus. Koostame süsteemi laiendatud maatriksi. Kasutades esimest võrrandit, jätame muutuja järgmistest võrranditest välja. Selleks lisage esimene, mis on korrutatud, teisele reale, esimene korrutatuna kolmandale reale ja esimene, mis on korrutatud neljanda reaga.

Nüüd peate kasutama teist võrrandit, et välistada muutuja järgmistest võrranditest. Koefitsientide täisarvude suhete saamiseks vahetame süsteemi laiendatud maatriksi teise ja kolmanda rea.

Kolmandast ja neljandast võrrandist väljajätmiseks lisage kolmandale reale teine, korrutatuna , ja neljandale reale teine, korrutatud .

Nüüd, kasutades kolmandat võrrandit, eemaldame muutuja neljandast võrrandist. Selleks lisage neljandale reale kolmas, korrutatuna .

Antud süsteem on seega samaväärne järgmisega:

Saadud süsteem on ebajärjekindel, kuna selle viimast võrrandit ei saa rahuldada ühegi tundmatu väärtusega. Seetõttu pole sellel süsteemil lahendusi.