Õppetund sarjast "Geomeetrilised algoritmid"

Tere kallis lugeja!

Täna hakkame õppima geomeetriaga seotud algoritme. Tõsiasi on see, et arvutiteaduses on arvutusgeomeetriaga seotud olümpiaadiülesandeid päris palju ja selliste ülesannete lahendamine tekitab sageli raskusi.

Mõnes õppetükis käsitleme mitmeid elementaarseid alamülesandeid, millel põhineb enamiku arvutusgeomeetria ülesannete lahendamine.

Selles õppetükis kirjutame programmi sirgjoone võrrandi leidmine antud läbimine kaks punkti. Geomeetriliste ülesannete lahendamiseks vajame mõningaid teadmisi arvutusgeomeetriast. Osa tunnist pühendame nende tundmaõppimisele.

Teave arvutusgeomeetriast

Arvutusgeomeetria on arvutiteaduse haru, mis uurib geomeetriliste ülesannete lahendamise algoritme.

Selliste ülesannete lähteandmeteks võib olla punktide kogum tasapinnal, segmentide komplekt, hulknurk (antud näiteks selle tippude loendiga päripäeva) jne.

Tulemuseks võib olla kas vastus mõnele küsimusele (nt kas punkt kuulub lõiku, kas kaks lõiku ristuvad, ...) või mõni geomeetriline objekt (näiteks väikseim antud punkte ühendav kumer hulknurk, selle pindala hulknurk jne).

Arvutusgeomeetria probleeme käsitleme ainult tasapinnal ja ainult Descartes'i koordinaatsüsteemis.

Vektorid ja koordinaadid

Arvutusgeomeetria meetodite rakendamiseks on vaja tõlkida geomeetrilised kujutised arvude keelde. Eeldame, et tasapinnal on antud Descartes'i koordinaatsüsteem, milles pöörlemissuunda vastupäeva nimetatakse positiivseks.

Nüüd saavad geomeetrilised objektid analüütilise väljenduse. Niisiis, punkti määramiseks piisab selle koordinaatide määramisest: arvude paar (x; y). Lõigu saab määrata selle otste koordinaatide määramisega, sirge saab määrata selle punktide paari koordinaatidega.

Kuid peamine tööriist probleemide lahendamisel on vektorid. Seetõttu tuletan teile meelde mõningat teavet nende kohta.

Joonelõik AB, millel on mõte A peetakse algust (rakenduspunkti) ja punkti IN- lõppu nimetatakse vektoriks AB ja tähistatakse kas või näiteks paksu väikese tähega A .

Vektori pikkuse (st vastava segmendi pikkuse) tähistamiseks kasutame mooduli sümbolit (näiteks ).

Suvalise vektori koordinaadid on võrdsed selle lõpu ja alguse vastavate koordinaatide vahega:

,

täpid siin A Ja B on koordinaadid vastavalt.

Arvutuste tegemiseks kasutame kontseptsiooni orienteeritud nurk, see tähendab nurk, mis võtab arvesse vektorite suhtelist asukohta.

Orienteeritud nurk vektorite vahel a Ja b positiivne, kui pöörlemine on vektorist eemal a vektorile b tehakse positiivses suunas (vastupäeva) ja teisel juhul negatiivses suunas. Vaata joonist 1a, joonist 1b. Öeldakse ka, et vektorite paar a Ja b positiivselt (negatiivselt) orienteeritud.

Seega sõltub orienteeritud nurga väärtus vektorite loendamise järjekorrast ja võib võtta väärtusi intervallis .

Paljud arvutusgeomeetria probleemid kasutavad vektorite vektori (kalduvus- või pseudoskalaarkorrutise) mõistet.

Vektorite a ja b vektorkorrutis on nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga siinuse korrutis:

.

Vektorite korrutis koordinaatides:

Parempoolne avaldis on teist järku determinant:

Erinevalt analüütilises geomeetrias antud definitsioonist on see skalaar.

Ristkorrutise märk määrab vektorite asukoha üksteise suhtes:

a Ja b positiivselt orienteeritud.

Kui väärtus on , siis vektorite paar a Ja b negatiivselt orienteeritud.

Nullist erineva vektorite ristkorrutis on null siis ja ainult siis, kui need on kollineaarsed ( ). See tähendab, et need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel.

Vaatleme mõningaid lihtsaid ülesandeid, mis on vajalikud keerukamate lahendamiseks.

Määratleme sirge võrrandi kahe punkti koordinaatide järgi.

Kaht erinevat punkti läbiva sirge võrrand, mis on antud nende koordinaatidega.

Olgu sirgel antud kaks mittekattuvat punkti: koordinaatidega (x1;y1) ja koordinaatidega (x2; y2). Vastavalt sellele on vektoril, mille algus on punktis ja lõpp punktis, koordinaadid (x2-x1, y2-y1). Kui P(x, y) on suvaline punkt meie sirgel, siis on vektori koordinaadid (x-x1, y - y1).

Ristkorrutise abil saab vektorite kollineaarsuse tingimuse kirjutada järgmiselt:

Need. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1) (x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0

Kirjutame viimase võrrandi ümber järgmiselt:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Niisiis, sirge saab anda võrrandiga kujul (1).

Ülesanne 1. Antakse kahe punkti koordinaadid. Leidke selle esitus kujul ax + by + c = 0.

Selles tunnis tutvusime mõne arvutusgeomeetria infoga. Lahendasime sirge võrrandi leidmise ülesande kahe punkti koordinaatide järgi.

Järgmises tunnis kirjutame programmi, et leida meie võrranditega antud kahe sirge lõikepunkt.

Selles artiklis käsitleme tasapinna sirgjoone üldist võrrandit. Toome näiteid sirge üldvõrrandi koostamise kohta, kui on teada selle sirge kaks punkti või kui on teada selle sirge üks punkt ja normaalvektor. Toome välja meetodid võrrandi teisendamiseks üldine vaade kanoonilisteks ja parameetrilisteks vormideks.

Olgu antud suvaline Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxy. Mõelge esimese astme võrrandile või lineaarvõrrand:

Ax+By+C=0,

(1)

Kus A, B, C on mõned konstandid ja vähemalt üks elementidest A Ja B nullist erinev.

Näitame, et tasapinna lineaarvõrrand määratleb sirge. Tõestame järgmise teoreemi.

Teoreem 1. Tasapinnal asuvas suvalises Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis saab iga sirge anda lineaarvõrrandiga. Ja vastupidi, iga lineaarvõrrand (1) tasapinna suvalises Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis määrab sirge.

Tõestus. Piisab tõestada, et rida L on määratud lineaarvõrrandiga mis tahes ühe Descartes'i ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi jaoks, kuna siis määratakse see lineaarvõrrandiga ja mis tahes Descartes'i ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi valiku korral.

Olgu tasapinnal antud sirge L. Valime koordinaatsüsteemi nii, et telg Ox joondatud joonega L ja telg Oy oli sellega risti. Siis sirge võrrand L toimub järgmisel kujul:

y=0.

(2)

Kõik punktid joonel L rahuldab lineaarvõrrandit (2) ja kõik punktid väljaspool seda sirgjoont ei vasta võrrandile (2). Teoreemi esimene osa on tõestatud.

Olgu antud Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ja lineaarvõrrand (1), kus vähemalt üks elementidest A Ja B nullist erinev. Leidke nende punktide asukoht, mille koordinaadid vastavad võrrandile (1). Kuna vähemalt üks koefitsientidest A Ja B on nullist erinev, siis on võrrandil (1) vähemalt üks lahend M(x 0 ,y 0). (Näiteks millal A≠0, punkt M 0 (−C/A, 0) kuulub antud punktide asukohta). Asendades need koordinaadid punktiga (1), saame identiteedi

Ax 0 +Kõrval 0 +C=0.

(3)

Lahutame identiteedi (3) väärtusest (1):

A(x−x 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Ilmselt on võrrand (4) samaväärne võrrandiga (1). Seetõttu piisab, kui tõestada, et (4) defineerib mingi sirge.

Kuna me käsitleme Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi, järeldub võrdsusest (4), et vektor komponentidega ( x−x 0 , y-y 0 ) on vektori suhtes ortogonaalne n koordinaatidega ( A,B}.

Mõelge mõnele reale L punkti läbimine M 0 (x 0 , y 0) ja risti vektoriga n(Joonis 1). Olgu punkt M(x,y) kuulub reale L. Siis vektor koordinaatidega x−x 0 , y-y 0 risti n ja võrrand (4) on täidetud (vektorite skalaarkorrutis). n ja võrdub nulliga). Ja vastupidi, kui punkt M(x,y) ei asu joonel L, siis vektor koordinaatidega x−x 0 , y-y 0 ei ole vektori suhtes ortogonaalne n ja võrrand (4) ei ole täidetud. Teoreem on tõestatud.

Tõestus. Kuna jooned (5) ja (6) määratlevad sama sirge, siis normaalvektorid n 1 ={A 1 ,B 1) ja n 2 ={A 2 ,B 2) on kollineaarsed. Kuna vektorid n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, siis on arv λ , Mida n 2 =n 1 λ . Seega on meil: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Tõestame seda C 2 =C 1 λ . On ilmne, et kattuvatel joontel on ühine punkt M 0 (x 0 , y 0). Võrrandi (5) korrutamine λ ja lahutades sellest võrrandi (6), saame:

Kuna avaldistest (7) on täidetud kaks esimest võrdsust, siis C 1 λ −C 2=0. Need. C 2 =C 1 λ . Märkus on tõestatud.

Pange tähele, et võrrand (4) määratleb punkti läbiva sirge võrrandi M 0 (x 0 , y 0) ja millel on normaalvektor n={A,B). Seega, kui sirge normaalvektor ja sellele sirgele kuuluv punkt on teada, siis saab võrrandi (4) abil konstrueerida sirge üldvõrrandi.

Näide 1. Sirge läbib punkti M=(4,−1) ja sellel on normaalvektor n=(3, 5). Koostage sirge üldvõrrand.

Lahendus. Meil on: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Sirge üldvõrrandi koostamiseks asendame need väärtused võrrandiga (4):

Vastus:

Vektoriga paralleelne vektor L ja seega on sirge normaalvektoriga risti L. Koostame normaaljoonvektori L, arvestades seda skalaarkorrutis vektorid n ja on võrdne nulliga. Võime kirjutada näiteks n={1,−3}.

Sirge üldvõrrandi koostamiseks kasutame valemit (4). Asendame punkti koordinaadid (4). M 1 (võime võtta ka punkti koordinaadid M 2) ja normaalvektor n:

Punktide koordinaatide asendamine M 1 ja M 2 punktis (9) saame veenduda, et võrrandiga (9) antud sirge läbib neid punkte.

Vastus:

Lahutage (10) väärtusest (1):

Oleme saanud sirge kanoonilise võrrandi. Vektor q={−B, A) on sirge (12) suunavektor.

Vaadake pöördteisendust.

Näide 3. Tasapinnal olev sirgjoon on esitatud järgmise üldvõrrandiga:

Liigutage teist liiget paremale ja jagage võrrandi mõlemad pooled 25-ga.

Sirge omadused eukleidilises geomeetrias.

Seal on lõpmatult palju jooni, mida saab tõmmata läbi mis tahes punkti.

Kahe mittekattuvat punkti kaudu on ainult üks sirgjoon.

Kaks tasapinnal olevat mittekattuvat sirget kas lõikuvad ühes punktis või on

paralleelne (järgneb eelmisest).

Kolmemõõtmelises ruumis on kahe joone suhtelise asukoha jaoks kolm võimalust:

• jooned ristuvad;

• sirgjooned on paralleelsed;

• sirgjooned ristuvad.

Otse rida- esimest järku algebraline kõver: Descartes'i koordinaatsüsteemis sirge

on antud tasapinnal esimese astme võrrandiga (lineaarvõrrand).

Üldvõrrand otse.

Definitsioon. Mis tahes tasapinna sirge saab esitada esimest järku võrrandiga

Ah + Wu + C = 0,

ja pidev A, B ei võrdu samal ajal nulliga. Seda esimest järku võrrandit nimetatakse üldine

sirgjoone võrrand. Sõltuvalt konstantide väärtustest A, B Ja KOOS Võimalikud on järgmised erijuhud:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- joon läbib alguspunkti

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( + C = 0)- teljega paralleelne sirgjoon Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- teljega paralleelne sirgjoon OU

. B = C = 0, A ≠ 0- joon langeb kokku teljega OU

. A = C = 0, B ≠ 0- joon langeb kokku teljega Oh

Sirge võrrandit saab esitada erineval kujul, olenevalt antud olukorrast

esialgsed tingimused.

Punkti ja normaalvektori sirgjoone võrrand.

Definitsioon. Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis vektor komponentidega (A, B)

võrrandiga antud sirgega risti

Ah + Wu + C = 0.

Näide. Leidke punkti läbiva sirge võrrand A(1, 2) vektoriga risti (3, -1).

Lahendus. Koostame punktides A \u003d 3 ja B \u003d -1 sirgjoone võrrandi: 3x - y + C \u003d 0. Koefitsiendi C leidmiseks

asendame saadud avaldisesse antud punkti A koordinaadid. Saame: 3 - 2 + C = 0, seega

C = -1. Kokku: soovitud võrrand: 3x - y - 1 \u003d 0.

Kaht punkti läbiva sirge võrrand.

Olgu ruumis antud kaks punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) Ja M2 (x 2, y 2, z 2), Siis sirgjoone võrrand,

läbides neid punkte:

Kui mõni nimetajatest on võrdne nulliga, tuleb vastav lugeja määrata nulliga. Peal

tasapinnal on ülal kirjutatud sirgjoone võrrand lihtsustatud:

Kui x 1 ≠ x 2 Ja x = x 1, Kui x 1 = x 2 .

Murd = k helistas kaldetegur otse.

Näide. Leidke punkte A(1, 2) ja B(3, 4) läbiva sirge võrrand.

Lahendus. Ülaltoodud valemit rakendades saame:

Sirge võrrand punkti ja kaldega.

Kui sirge üldvõrrand Ah + Wu + C = 0 vii vormile:

ja määrata , siis nimetatakse saadud võrrandit

sirge võrrand kaldega k.

Punkti sirge ja suunava vektori võrrand.

Analoogiliselt punktiga, mis võtab arvesse normaalvektorit läbiva sirge võrrandit, saate ülesande sisestada

punkti läbiv sirge ja sirge suunavektor.

Definitsioon. Iga nullist erinev vektor (α 1 , α 2), mille komponendid vastavad tingimusele

Aα 1 + Bα 2 = 0 helistas sirgjoone suunavektor.

Ah + Wu + C = 0.

Näide. Leidke sirge võrrand suunavektoriga (1, -1) ja läbib punkti A(1, 2).

Lahendus. Otsime soovitud sirge võrrandit kujul: Ax + By + C = 0. Definitsiooni järgi,

koefitsiendid peavad vastama järgmistele tingimustele:

1 * A + (-1) * B = 0, st. A = B.

Siis on sirgjoone võrrandil järgmine kuju: Ax + Ay + C = 0, või x + y + C / A = 0.

juures x = 1, y = 2 saame C/A = -3, st. soovitud võrrand:

x + y - 3 = 0

Segmentides sirgjoone võrrand.

Kui sirge Ah + Wu + C = 0 C≠0 üldvõrrandis, siis -C-ga jagades saame:

või, kus

Koefitsientide geomeetriline tähendus on see, et koefitsient a on lõikepunkti koordinaat

teljega sirge Oh, A b- sirge ja telje lõikepunkti koordinaat OU.

Näide. Sirge üldvõrrand on antud x - y + 1 = 0. Leidke selle sirge võrrand segmentides.

C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.

Sirge normaalvõrrand.

Kui võrrandi mõlemad pooled Ah + Wu + C = 0 arvuga jagada , mida nimetatakse

normaliseeriv tegur, siis saame

xcosφ + ysinφ - p = 0 -sirge normaalvõrrand.

Normaliseeriva teguri märk ± tuleb valida nii, et μ * C< 0.

R- ristnurga pikkus, mis on langenud lähtepunktist jooneni,

A φ - nurk, mille see risti moodustab telje positiivse suunaga Oh.

Näide. Antud sirgjoone üldvõrrand 12x - 5a - 65 = 0. Kirjutamiseks kohustuslik Erinevat tüüpi võrrandid

see sirgjoon.

Selle sirge võrrand segmentides:

Selle sirge võrrand kaldega: (jaga 5-ga)

Sirge võrrand:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Tuleb märkida, et mitte iga sirget ei saa esitada võrrandiga segmentides, näiteks sirged,

paralleelselt telgedega või läbides alguspunkti.

Tasapinna joonte vaheline nurk.

Definitsioon. Kui on antud kaks rida y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, See terav nurk nende ridade vahel

määratletakse kui

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2. Kaks joont on risti

Kui k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teoreem.

Otsene Ah + Wu + C = 0 Ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 on paralleelsed, kui koefitsiendid on proportsionaalsed

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Kui ka С 1 \u003d λС, siis jooned langevad kokku. Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid

on leitud nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena.

Läbiva sirge võrrand antud punkt selle joonega risti.

Definitsioon. Punkti läbiv sirge M 1 (x 1, y 1) ja joonega risti y = kx + b

mida esindab võrrand:

Kaugus punktist jooneni.

Teoreem. Kui punkt antakse M(x 0, y 0), siis kaugus joonest Ah + Wu + C = 0 defineeritud kui:

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1)- perpendikulaari alus langes punktist M antud jaoks

otsene. Seejärel punktide vaheline kaugus M Ja M 1:

(1)

Koordinaadid x 1 Ja 1 võib leida võrrandisüsteemi lahendusena:

Süsteemi teine ​​võrrand on läbiva sirge võrrand antud punkt M 0 risti

antud rida. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

Sirge üldvõrrand:

Sirge üldvõrrandi erijuhud:

ja kui C= 0, on võrrandil (2) vorm

Ax + Kõrval = 0,

ja selle võrrandiga määratletud sirge läbib alguspunkti, kuna lähtepunkti koordinaadid x = 0, y= 0 vastavad sellele võrrandile.

b) Kui sirge (2) üldvõrrandis B= 0, siis võtab võrrand kuju

Ax + KOOS= 0 või .

Võrrand ei sisalda muutujat y, ja selle võrrandiga määratletud sirgjoon on paralleelne teljega Oy.

c) Kui sirge (2) üldvõrrandis A= 0, siis võtab see võrrand kuju

Kõrval + KOOS= 0 või ;

võrrand ei sisalda muutujat x, ja sellega määratletud sirgjoon on paralleelne teljega Ox.

Tuleb meeles pidada: kui sirgjoon on paralleelne mis tahes koordinaatteljega, siis selle võrrand ei sisalda terminit, mis sisaldab selle teljega samanimelist koordinaati.

d) Millal C= 0 ja A= 0 võrrand (2) saab kuju Kõrval= 0 või y = 0.

See on telje võrrand Ox.

e) Millal C= 0 ja B= 0 võrrandi (2) saab kirjutada kujul Ax= 0 või x = 0.

See on telje võrrand Oy.

Vastastikune korraldus sirgjooned tasapinnal. Tasapinna joonte vaheline nurk. Paralleelsete joonte seisund. Joonte perpendikulaarsuse tingimus.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vektoreid S 1 ja S 2 nimetatakse nende sirgete juhikuteks.

Sirgete l 1 ja l 2 vaheline nurk määratakse suunavektorite vahelise nurga järgi.
1. teoreem: cos nurk vahemikus l 1 ja l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d

2. teoreem: Selleks, et 2 rida oleks võrdsed, on vajalik ja piisav:

3. teoreem: et 2 joont oleks risti, on vajalik ja piisav:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Tasapinna ja selle erijuhtude üldvõrrand. Tasapinna võrrand segmentides.

Üldtasandi võrrand:

Ax + By + Cz + D = 0

Erijuhtumid:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - tasapind läbib alguspunkti

2. С=0 Ax+By+D = 0 – tasapind || oz

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – tasapind || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – tasapind || HÄRG

5. A=0 ja D=0 By+Cz = 0 - tasapind läbib OX-i

6. B=0 ja D=0 Ax+Cz = 0 - tasapind läbib OY

7. C=0 ja D=0 Ax+By = 0 - tasapind läbib OZ-i

Tasapindade ja sirgjoonte vastastikune paigutus ruumis:

1. Ruumi sirgete vaheline nurk on nurk nende suunavektorite vahel.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Tasapindade vaheline nurk määratakse nende normaalvektorite vahelise nurga kaudu.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Sirge ja tasandi vahelise nurga koosinus on leitav sirge suunavektori ja tasandi normaalvektori vahelise nurga sini kaudu.

4. 2 rida || ruumis, kui nende || vektorjuhised

5. 2 lennukit || millal || normaalvektorid

6. Sarnaselt tutvustatakse sirgete ja tasandite perpendikulaarsuse mõisteid.

Küsimus nr 14

Erinevad liigid tasapinna sirgjoone võrrandid (lõikude, kaldega jne sirge võrrand)

Segmentide sirgjoone võrrand:
Oletame, et sirge üldvõrrandis:

1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - sirgjoon läbib alguspunkti.

2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d

3. in \u003d 0 Ax + C \u003d 0 x \u003d

4. v \u003d C \u003d 0 Ax \u003d 0 x \u003d 0

5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0

Kaldjoonega sirge võrrand:

Iga sirge, mis ei ole võrdne y-teljega (B mitte = 0), saab kirjutada järgnevalt. vorm:

k = tgα α on nurk sirge ja positiivselt suunatud sirge ОХ vahel

b - sirgjoone ja OS-i telje lõikepunkt

Doc-in:

Ax+By+C = 0

Wu \u003d -Ax-C |: B

Kahe punkti sirgjoone võrrand:

Küsimus nr 16

Funktsiooni lõplik piir punktis ja x→∞ jaoks

Lõpppiir punktis x 0:

Arvu A nimetatakse funktsiooni y \u003d f (x) piirväärtuseks x → x 0 korral, kui mis tahes E > 0 korral on b > 0, nii et x ≠ x 0 korral, rahuldades võrratuse |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Piirang on tähistatud: = A

Lõpppiir punktis +∞:

Arvu A nimetatakse funktsiooni y = f(x) piiriks x jaoks → + ∞ , kui mis tahes E > 0 korral on olemas C > 0, nii et x > C korral on võrratus |f(x) - A|< Е

Piirang on tähistatud: = A

Lõpppiir punktis -∞:

Arvu A nimetatakse funktsiooni y = f(x) piiriks x→-∞, kui mõne E puhul< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Antud punkti antud suunas läbiva sirge võrrand. Kaht etteantud punkti läbiva sirge võrrand. Nurk kahe joone vahel. Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimus. Kahe sirge lõikepunkti määramine

1. Antud punkti läbiva sirge võrrand A(x 1 , y 1) etteantud suunas, mille määrab kalle k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

See võrrand määratleb punkti läbivate joonte pliiatsi A(x 1 , y 1), mida nimetatakse kiire keskpunktiks.

2. Kahte punkti läbiva sirge võrrand: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2) on kirjutatud nii:

Kaht etteantud punkti läbiva sirge kalle määratakse valemiga

3. Sirgete vaheline nurk A Ja B on nurk, mille võrra tuleb esimest sirget pöörata Aümber nende joonte lõikepunkti vastupäeva, kuni see langeb kokku teise sirgega B. Kui kaldevõrranditega on antud kaks sirget

y = k 1 x + B 1 ,