Koolikursuse mis tahes teemat uurides saate valida teatud miinimumi ülesandeid, olles omandanud nende lahendamise meetodid, saavad õpilased lahendada mis tahes ülesande õpitava teema programminõuete tasemel. Teen ettepaneku kaaluda ülesandeid, mis võimaldavad teil näha kooli matemaatikakursuse üksikute teemade vahelisi seoseid. Seetõttu on koostatud ülesannete süsteem tõhus vahend kordamine, üldistamine ja süstematiseerimine õppematerjalõpilaste eksamiks ettevalmistamisel.

Eksami sooritamine ei ole üleliigne Lisainformatsioon kolmnurga mõne elemendi kohta. Mõelge kolmnurga mediaani omadustele ja probleemidele, milles neid omadusi saab kasutada. Kavandatud ülesanded rakendavad tasemete eristamise põhimõtet. Kõik ülesanded on tinglikult jagatud tasemeteks (tase on märgitud iga ülesande järel sulgudes).

Tuletage meelde kolmnurga mediaani mõningaid omadusi

Vara 1. Tõesta, et kolmnurga mediaan ABC tõmmatud ülevalt A, vähem kui pool külgede summast AB Ja AC.

Tõestus

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Vara 2. Mediaan lõikab kolmnurga kaheks võrdseks alaks.

Tõestus

Joonistage kolmnurga ABC tipust B mediaan BD ja kõrgus BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Kuna segment BD on mediaan, siis

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Mediaan" align="left" width="196" height="75 src=">!} Vara 4. Kolmnurga mediaanid jagavad kolmnurga 6 võrdse pindalaga kolmnurgaks.

Tõestus

Tõestame, et iga kuue kolmnurga pindala, milleks mediaanid jagavad kolmnurga ABC, on võrdne kolmnurga ABC pindalaga. Selleks vaadeldakse näiteks kolmnurka AOF ja langetatakse risti AK tipust A sirgele BF .

Vara 2 tõttu

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Mediaan" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Vara 6. Mediaan tipust tõmmatud täisnurkses kolmnurgas täisnurk võrdne poolega hüpotenuusist.

Tõestus

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Mediaan" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Tagajärjed:1. Keskust kirjeldati umbes täisnurkne kolmnurk ring asub hüpotenuusi keskpunktis.

2. Kui kolmnurga mediaani pikkus võrdub poolega selle külje pikkusest, kuhu see on tõmmatud, siis on see kolmnurk täisnurkne kolmnurk.

ÜLESANDED

Iga järgneva probleemi lahendamisel kasutatakse tõestatud omadusi.

№1 Teemad: Mediaani kahekordistamine. Raskusaste: 2+

Rööpküliku tunnused ja omadused Klassid: 8,9

Seisund

Mediaani jätkumisel OLEN kolmnurk ABC punkti kohta M segment edasi lükatud MD, võrdne OLEN. Tõesta, et nelinurk ABDC- rööpkülik.

Lahendus

Kasutame üht rööpküliku märki. Nelinurga diagonaalid ABDC ristuvad punktis M ja jaga see pooleks, nii et nelinurk ABDC- rööpkülik.

Märge. Selles tunnis tutvustatakse teoreetilisi materjale ja geomeetria ülesannete lahendamist teemal "mediaan täisnurkses kolmnurgas". Kui teil on vaja lahendada geomeetria probleem, mida siin pole - kirjutage sellest foorumisse. Peaaegu kindlasti kursust laiendatakse.

Täisnurkse kolmnurga mediaani omadused

Mediaani määratlus

• Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis ja jagatakse selle punktiga kaheks osaks suhtega 2:1, lugedes nurga tipust. Nende ristumispunkti nimetatakse kolmnurga raskuskeskmeks (terminit "tsentroid" kasutatakse selle punkti tähistamiseks ülesannetes suhteliselt harva),
• Mediaan jagab kolmnurga kaheks võrdse pindalaga kolmnurgaks.
• Kolmnurk jagatakse kolme mediaaniga kuueks võrdse pindalaga kolmnurgaks.
• Kolmnurga pikem külg vastab väiksemale mediaanile.

Lahenduseks pakutud geomeetriaprobleemid kasutavad peamiselt järgmist täisnurkse kolmnurga mediaanomadused.

• Täisnurkse kolmnurga jalgadele langenud mediaanide ruutude summa on võrdne hüpotenuusile langenud mediaanide viie ruuduga (valem 1)
• Mediaan langes täisnurkse kolmnurga hüpotenuusini võrdne poolega hüpotenuusist(Vormel 2)
• Mediaan langes täisnurkse kolmnurga hüpotenuusini võrdne ümberpiiratud ringi raadiusega antud täisnurkne kolmnurk (vormel 2)
• Mediaan langes hüpotenuusini võrdub poolega jalgade ruutude summa ruutjuurest(Vormel 3)
• Hüpotenuusile langenud mediaan on võrdne jala pikkuse jagamisega vastasjala kahe siinusega teravnurk(Vormel 4)
• Hüpotenuusile langenud mediaan on võrdne jala pikkuse jagatisega kahe jalaga külgneva teravnurga koosinusega (valem 4)
• Täisnurkse kolmnurga külgede ruutude summa võrdub selle hüpotenuusile langenud mediaani kaheksa ruuduga (valem 5)

Sümbolid valemites:

a, b- täisnurkse kolmnurga jalad

c- täisnurkse kolmnurga hüpotenuus

Kui tähistame kolmnurka kui ABC, siis

Päike = A

(see on küljed a,b,c- on vastavate nurkade vastas)

m a- mediaan tõmmatud jalale a

m b- mediaan tõmmatud jalale b

m c - täisnurkse kolmnurga mediaan koos hüpotenuusile tõmmatud

α (alfa)- nurk CAB vastasküljel a

Ülesanne täisnurkse kolmnurga mediaani kohta

Jalgade külge tõmmatud täisnurkse kolmnurga mediaanid on vastavalt 3 cm ja 4 cm. Leidke kolmnurga hüpotenuus

Lahendus

Enne ülesande lahendamise alustamist pöörame tähelepanu täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi pikkuse ja sellele langetatud mediaani suhtele. Selleks pöördume valemite 2, 4, 5 poole täisnurkse kolmnurga mediaanomadused. Need valemid näitavad selgesõnaliselt hüpotenuusi ja mediaani suhet, mis on sellele langetatud 1:2. Seetõttu tulevaste arvutuste mugavuse huvides (mis ei mõjuta kuidagi lahenduse õigsust, kuid muudab selle paremaks mugav), tähistame jalgade AC ja BC pikkused läbi muutujate x ja y kui 2x ja 2y (mitte x ja y).

Mõelge täisnurksele kolmnurgale ADC. Nurk C on sirgjoon vastavalt ülesande seisukorrale, jalg AC on ühine kolmnurgaga ABC ja jalg CD on mediaani omaduste järgi võrdne poolega BC-st. Siis Pythagorase teoreemi järgi

AC 2 + CD 2 = AD 2

Kuna AC \u003d 2x, CD \u003d y (kuna mediaan jagab jala kaheks võrdseks osaks), siis
4x2 + y2 = 9

Samal ajal kaaluge täisnurkset kolmnurka EBC. Sellel on ka ülesande tingimuse järgi täisnurk C, haru BC on ühine algse kolmnurga ABC haruga BC ja külg EC mediaani omaduse järgi on võrdne poolega originaali harust AC kolmnurk ABC.
Pythagorase teoreemi järgi:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Kuna EC \u003d x (mediaan poolitab jala), BC \u003d 2 a, siis
x2 + 4y2 = 16

Kuna kolmnurgad ABC, EBC ja ADC on ühendatud ühiste külgedega, on mõlemad saadud võrrandid samuti ühendatud.
Lahendame saadud võrrandisüsteemi.
4x2 + y2 = 9
x2 + 4y2 = 16

Mediaan on lõik, mis on tõmmatud kolmnurga tipust vastaskülje keskele, st jagab selle lõikepunktiga pooleks. Punkti, kus mediaan lõikub vastasküljega, kust see väljub, nimetatakse baasiks. Läbi ühe punkti, mida nimetatakse lõikepunktiks, läbib kolmnurga iga mediaan. Selle pikkuse valemit saab väljendada mitmel viisil.

Mediaani pikkuse väljendamise valemid

• Sageli peavad õpilased geomeetria ülesannetes tegelema sellise lõiguga nagu kolmnurga mediaan. Selle pikkuse valem on väljendatud külgede kaudu:

kus a, b ja c on küljed. Lisaks on c külg, millele mediaan langeb. Nii on kõige rohkem lihtne valem. Mõnikord on abiarvutuste jaoks vaja kolmnurga mediaane. On ka teisi valemeid.

• Kui arvutuse käigus on teada kolmnurga kaks külge ja nende vahele jääv teatud nurk α, siis väljendatakse kolmnurga mediaani pikkust, mis on langetatud kolmandale küljele, järgmiselt.

Põhiomadused

• Kõigil mediaanidel on üks ühine punkt O ja selle lõikepunktid jagatakse suhtega kaks ühele, kui lugeda ülevalt. Seda punkti nimetatakse kolmnurga raskuskeskmeks.
• Mediaan jagab kolmnurga kaheks teiseks, mille pindalad on võrdsed. Selliseid kolmnurki nimetatakse võrdseteks kolmnurkadeks.
• Kui joonistada kõik mediaanid, jagatakse kolmnurk 6 võrdseks kujundiks, mis on samuti kolmnurgad.
• Kui kolmnurga kõik kolm külge on võrdsed, on selles iga mediaan ka kõrgus ja poolitaja, st risti selle küljega, millele see on tõmmatud, ja poolitab nurga, millest see väljub.
• Võrdhaarses kolmnurgas on mediaan, mis langeb ühegi teise külje vastas olevast tipust, kõrguseks ja poolitajaks. Teistest tippudest langenud mediaanid on võrdsed. See on ka võrdhaarsete jaoks vajalik ja piisav tingimus.
• Kui kolmnurk on alus õige püramiid, seejärel alandatakse kõrgust võrra antud maa, projitseeritakse kõigi mediaanide lõikepunkti.

• Täisnurkses kolmnurgas on pikima külje mediaan pool selle pikkusest.
• Olgu O kolmnurga mediaanide lõikepunkt. Allolev valem kehtib iga punkti M kohta.

• Teine omadus on kolmnurga mediaan. Selle pikkuse ruudu valem külgede ruutude järgi on esitatud allpool.

Nende külgede omadused, millele mediaan on tõmmatud

• Kui ühendate mis tahes kaks mediaanide lõikepunkti külgedega, millel need on langetatud, on saadud segment kolmnurga keskjoon ja pool selle kolmnurga küljest, millega sellel pole ühiseid punkte.
• Samal ringil asuvad kolmnurga kõrguste ja mediaanide alused, samuti kolmnurga tippe ja kõrguste lõikepunkti ühendavate lõikude keskpunktid.

Kokkuvõttes on loogiline öelda, et üks olulisemaid segmente on just kolmnurga mediaan. Selle valemit saab kasutada selle teiste külgede pikkuste leidmiseks.

Kolmnurk on kolme küljega hulknurk või kolme lüliga suletud katkendjoon või kujund, mis on moodustatud kolmest lõigust, mis ühendavad kolme punkti, mis ei asu ühel sirgel (vt joonis 1).

Kolmnurga abc põhielemendid

Tipud – punktid A, B ja C;

Peod – tippe ühendavad lõigud a = BC, b = AC ja c = AB;

nurgad – α , β, γ, mille moodustavad kolm külgede paari. Nurgad on sageli märgistatud samamoodi nagu tipud, tähtedega A, B ja C.

Kolmnurga külgede poolt moodustatud ja selle sees asuvat nurka nimetatakse sisenurgaks ja sellega külgnevat nurka kolmnurga külgnevaks nurgaks (2, lk 534).

Kolmnurga kõrgused, mediaanid, poolitajad ja keskjooned

Lisaks kolmnurga põhielementidele võetakse arvesse ka teisi segmente, millel on huvitavad omadused: kõrgused, mediaanid, poolitajad ja keskjooned.

Kõrgus

Kolmnurga kõrgused on kolmnurga tippudest vastaskülgedele langetatud ristid.

Kõrguse ehitamiseks tehke järgmist.

1) tõmmake sirgjoon, mis sisaldab kolmnurga ühte külge (kui kõrgus on tõmmatud nüri kolmnurga teravnurga tipust);

2) tõmmake tõmmatud joone vastas asuvast tipust punktist sellele sirgele lõik, moodustades sellega 90-kraadise nurga.

Kõrguse ja kolmnurga külje lõikepunkti nimetatakse kõrguse alus (vt joonis 2).

Kolmnurga kõrguse omadused

Täisnurkses kolmnurgas jagab täisnurga tipust tõmmatud kõrgus selle kaheks algse kolmnurgaga sarnaseks kolmnurgaks.

Teravas kolmnurgas lõikavad selle kaks kõrgust sellest sarnased kolmnurgad.

Kui kolmnurk on teravnurkne, siis kõik kõrguste alused kuuluvad kolmnurga külgedele ja nüri kolmnurga puhul langeb külgede pikendusele kaks kõrgust.

Kolm terava kolmnurga kõrgust lõikuvad ühes punktis ja seda punkti nimetatakse ortotsenter kolmnurk.

Mediaan

mediaanid(ladina keelest mediana - "keskmine") - need on segmendid, mis ühendavad kolmnurga tippe vastaskülgede keskpunktidega (vt joonis 3).

Mediaani koostamiseks tehke järgmist.

1) leida külje keskosa;

2) ühenda lõiguga punkt, mis on kolmnurga külje keskpunkt, vastastipuga.

Kolmnurga mediaanomadused

Mediaan jagab kolmnurga kaheks sama ala kolmnurgaks.

Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis jagab need ülevalt lugedes suhtega 2:1. Seda punkti nimetatakse raskuskese kolmnurk.

Kogu kolmnurk jagatakse selle mediaanide järgi kuueks võrdseks kolmnurgaks.

Poolitaja

poolitajad(Lat. bis - kaks korda "ja seko - ma lõikan") nimetavad kolmnurga sees olevaid sirgjoonte lõike, mis poolitavad selle nurki (vt joonis 4).

Poolitaja konstrueerimiseks peate tegema järgmised toimingud:

1) konstrueerida nurga tipust väljuv kiir, mis jagab selle kaheks võrdseks osaks (nurgapoolitaja);

2) leida kolmnurga nurga poolitaja lõikepunkt vastasküljega;

3) vali lõik, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje lõikepunktiga.

Kolmnurga poolitaja omadused

Kolmnurga nurgapoolitaja jagab vastaskülje suhtega, mis on võrdne kahe külgneva külje suhtega.

Kolmnurga sisenurkade poolitajad lõikuvad ühes punktis. Seda punkti nimetatakse sisse kirjutatud ringi keskpunktiks.

Sise- ja välisnurga poolitajad on risti.

Kui kolmnurga välisnurga poolitaja lõikub vastaskülje jätkuga, siis ADBD=ACBC.

Kolmnurga ühe sise- ja kahe välisnurga poolitajad ristuvad ühes punktis. See punkt on selle kolmnurga ühe kolmest ringjoonest keskpunkt.

Kolmnurga kahe sise- ja ühe välisnurga poolitajate alused asuvad samal sirgel, kui välisnurga poolitaja ei ole paralleelne kolmnurga vastasküljega.

Kui kolmnurga välisnurkade poolitajad ei ole paralleelsed vastaskülgedega, siis asuvad nende alused samal sirgel.