Funktsiooni x tuletis on võrdne. Positiivse funktsiooni tuletis (astmed ja juured)

Definitsioon. Olgu funktsioon \(y = f(x) \) defineeritud mingis intervallis, mille sees on punkt \(x_0 \). Suurendame \(\Delta x \) argumendiks, et sellest intervallist mitte lahkuda. Leidke funktsiooni \(\Delta y \) vastav juurdekasv (punktist \(x_0 \) punktist \(x_0 + \Delta x \) liikumisel) ja koostage seos \(\frac(\Delta y) )(\Delta x) \). Kui \(\Delta x \paremnool 0 \ \) on selle seose piir, nimetatakse näidatud piirväärtust tuletisfunktsioon\(y=f(x) \) punktis \(x_0 \) ja tähistab \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Tuletise tähistamiseks kasutatakse sageli sümbolit y. Pange tähele, et y" = f(x) on uus funktsioon, kuid loomulikult seotud funktsiooniga y = f(x), mis on defineeritud kõigis punktides x, kus ülaltoodud piir on olemas. Seda funktsiooni nimetatakse järgmiselt: funktsiooni y \u003d f (x) tuletis.

Tuletise geomeetriline tähendus koosneb järgmisest. Kui funktsiooni y \u003d f (x) graafikule saab tõmmata puutuja, mis ei ole y-teljega paralleelne punktis, mille abstsiss on x \u003d a, siis f (a) väljendab puutuja kalle:
\(k = f"(a)\)

Kuna \(k = tg(a) \), on võrdus \(f"(a) = tg(a) \) tõene.

Ja nüüd tõlgendame tuletise määratlust ligikaudsete võrdsuste kaudu. Olgu funktsioonil \(y = f(x) \) tuletis konkreetses punktis \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
See tähendab, et punkti x lähedal on ligikaudne võrdsus \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), st \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Saadud ligikaudse võrdsuse tähenduslik tähendus on järgmine: funktsiooni juurdekasv on "peaaegu proportsionaalne" argumendi juurdekasvuga ja proportsionaalsuskoefitsient on tuletise väärtus antud punkt X. Näiteks funktsiooni \(y = x^2 \) puhul kehtib ligikaudne võrdus \(\Delta y \umbes 2x \cdot \Delta x \). Kui tuletise definitsiooni hoolikalt analüüsime, leiame, et see sisaldab selle leidmise algoritmi.

Sõnastame selle.

Kuidas leida funktsiooni y \u003d f (x) tuletist?

1. Parandage väärtus \(x \), leidke \(f(x) \)
2. Suurendage argumenti \(x \) \(\Delta x \), liikuge uude punkti \(x+ \Delta x \), leidke \(f(x+ \Delta x) \)
3. Leidke funktsiooni juurdekasv: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Koostage seos \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Arvutage $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
See piirväärtus on funktsiooni x tuletis.

Kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x, siis nimetatakse seda punktis x diferentseeruvaks. Kutsutakse välja protseduur funktsiooni y \u003d f (x) tuletise leidmiseks eristamist funktsioonid y = f(x).

Arutleme järgmise küsimuse üle: kuidas on seotud funktsiooni pidevus ja diferentseeritavus punktis?

Olgu funktsioon y = f(x) punktis x diferentseeruv. Seejärel saab funktsiooni graafikule punktis M (x; f (x)) tõmmata puutuja ja meenutage, puutuja kalle on võrdne f "(x). Selline graafik ei saa "katkeneda" punktis punkt M, st funktsioon peab olema pidev punktis x.

See oli arutluskäik "näppude peal". Esitagem rangem argument. Kui funktsioon y = f(x) on punktis x diferentseeruv, siis kehtib ligikaudne võrdus \(\Delta y \umbes f"(x) \cdot \Delta x \). null, siis \(\Delta y \ ) kipub samuti olema null ja see on funktsiooni järjepidevuse tingimus punktis.

Niisiis, kui funktsioon on punktis x diferentseeruv, siis on ta ka selles punktis pidev.

Vastupidine ei vasta tõele. Näiteks: funktsioon y = |x| on pidev kõikjal, eriti punktis x = 0, kuid funktsiooni graafiku puutujat "ühendpunktis" (0; 0) ei eksisteeri. Kui mingil hetkel ei ole võimalik funktsioonigraafikule puutujat joonistada, siis selles punktis tuletist ei ole.

Üks näide veel. Funktsioon \(y=\sqrt(x) \) on pidev kogu arvteljel, sealhulgas punktis x = 0. Ja funktsiooni graafiku puutuja eksisteerib igas punktis, sealhulgas punktis x = 0 Kuid sellel hetkel langeb puutuja kokku y-teljega, see tähendab, et see on abstsissteljega risti, selle võrrandi kuju on x \u003d 0. Kalle sellist rida pole, mis tähendab, et ka \(f"(0) \) pole olemas

Niisiis tutvusime funktsiooni uue omadusega - diferentseeritavusega. Kuidas teha kindlaks, kas funktsioon on funktsiooni graafikust eristatav?

Vastus on tegelikult antud eespool. Kui funktsiooni graafikule saab mingil hetkel tõmmata puutuja, mis ei ole risti x-teljega, siis selles punktis on funktsioon diferentseeritav. Kui mingil hetkel funktsiooni graafiku puutujat ei eksisteeri või see on risti x-teljega, siis selles punktis funktsioon ei ole diferentseeruv.

Eristamise reeglid

Tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse eristamist. Selle toimingu tegemisel peate sageli töötama jagatistega, summade, funktsioonide korrutistega, aga ka "funktsioonide funktsioonidega", see tähendab keerukate funktsioonidega. Tuletise definitsiooni põhjal saame tuletada seda tööd hõlbustavad diferentseerimisreeglid. Kui C on konstantne arv ja f=f(x), g=g(x) on mõned diferentseeruvad funktsioonid, siis on tõesed järgmised diferentseerimisreeglid:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Liitfunktsiooni tuletis:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Mõnede funktsioonide tuletiste tabel

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Kui järgime definitsiooni, siis funktsiooni tuletis punktis on funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir y argumendi Δ juurdekasvuni x:

Kõik näib olevat selge. Kuid proovige arvutada selle valemiga, ütleme, funktsiooni tuletis f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x patt x. Kui teete kõike definitsiooni järgi, siis pärast paari lehekülge arvutusi jääte lihtsalt magama. Seetõttu on lihtsamaid ja tõhusamaid viise.

Alustuseks märgime, et nn elementaarfunktsioone saab eristada kõigist funktsioonidest. Need on suhteliselt lihtsad avaldised, mille tuletised on juba ammu arvutatud ja tabelisse kantud. Selliseid funktsioone on piisavalt lihtne meeles pidada koos nende tuletistega.

Elementaarfunktsioonide tuletised

Elementaarsed funktsioonid on kõik allpool loetletud. Nende funktsioonide tuletised peavad olema peast teada. Pealegi pole neid raske pähe õppida – seepärast on need elementaarsed.

Niisiis, elementaarfunktsioonide tuletised:

Nimi	Funktsioon	Tuletis
Püsiv	f(x) = C, C ∈ R	0 (jah, jah, null!)
Kraad ratsionaalse astendajaga	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = patt x	cos x
Koosinus	f(x) = cos x	− patt x(miinus siinus)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangent	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
naturaallogaritm	f(x) = log x	1/x
Suvaline logaritm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Eksponentfunktsioon	f(x) = e x	e x(midagi ei muutunud)

Kui elementaarfunktsiooni korrutada suvalise konstandiga, on ka uue funktsiooni tuletis kergesti arvutatav:

(C · f)’ = C · f ’.

Üldjuhul saab konstandid tuletise märgist välja võtta. Näiteks:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Ilmselgelt saab elementaarfunktsioone omavahel liita, korrutada, jagada ja palju muud. Nii tekivad uued funktsioonid, mis pole enam väga elementaarsed, vaid ka teatud reeglite järgi eristatavad. Neid reegleid käsitletakse allpool.

Summa ja vahe tuletis

Laske funktsioonidel f(x) Ja g(x), mille tuletised on meile teada. Näiteks võite võtta ülalpool käsitletud elementaarfunktsioonid. Seejärel leiate nende funktsioonide summa ja erinevuse tuletise:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Seega on kahe funktsiooni summa (erinevus) tuletis võrdne tuletiste summaga (erinevus). Tingimusi võib olla rohkem. Näiteks, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Rangelt võttes pole algebras "lahutamise" mõistet. On olemas mõiste "negatiivne element". Seetõttu erinevus f − g saab summaks ümber kirjutada f+ (-1) g, ja siis jääb järele ainult üks valem - summa tuletis.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funktsioon f(x) on kahe elementaarfunktsiooni summa, seega:

f ’(x) = (x 2+ patt x)’ = (x 2)' + (patt x)’ = 2x+ cosx;

Me vaidleme funktsiooni kohta sarnaselt g(x). Ainult seal on juba kolm terminit (algebra seisukohalt):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Vastus:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Toote tuletis

Matemaatika on loogikateadus, nii et paljud inimesed usuvad, et kui summa tuletis on võrdne tuletiste summaga, siis korrutise tuletis streikima"\u003e võrdne tuletisinstrumentide korrutisega. Aga teile viigimarjad! Toote tuletis arvutatakse täiesti erineva valemi abil. Nimelt:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Valem on lihtne, kuid sageli unustatakse. Ja mitte ainult kooliõpilased, vaid ka üliõpilased. Tulemuseks on valesti lahendatud probleemid.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .

Funktsioon f(x) on kahe elementaarfunktsiooni korrutis, seega on kõik lihtne:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (maks x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-sin x) = x 2 (3 cos x − x patt x)

Funktsioon g(x) esimene kordaja on natuke keerulisem, kuid üldine skeem see ei muutu. Ilmselgelt funktsiooni esimene kordaja g(x) on polünoom ja selle tuletis on summa tuletis. Meil on:

g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x– 7)" · e x + (x 2 + 7x– 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Vastus:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x patt x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Pange tähele, et viimases etapis on tuletis faktoriseeritud. Formaalselt pole see vajalik, kuid enamik tuletisi ei arvutata iseseisvalt, vaid funktsiooni uurimiseks. See tähendab, et edaspidi võrdsustatakse tuletis nulliga, selgitatakse välja selle märgid ja nii edasi. Sellisel juhul on parem, kui avaldis on jagatud teguriteks.

Kui on kaks funktsiooni f(x) Ja g(x) ja g(x) ≠ 0 meid huvitaval hulgal, saame defineerida uue funktsiooni h(x) = f(x)/g(x). Sellise funktsiooni jaoks leiate ka tuletise:

Pole nõrk, eks? Kust tuli miinus? Miks g 2? Ja niimoodi! See on üks keerulisemaid valemeid - ilma pudelita ei saa te sellest aru. Seetõttu on parem seda uurida konkreetseid näiteid.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised:

Iga murdosa lugejas ja nimetajas on elementaarfunktsioonid, seega vajame ainult jagatise tuletise valemit:

Traditsiooniliselt arvestame lugeja tegurite hulka - see lihtsustab vastust oluliselt:

Keeruline funktsioon ei pruugi olla poole kilomeetri pikkune valem. Näiteks piisab funktsiooni võtmisest f(x) = patt x ja asendada muutuja x, ütleme, edasi x 2+ln x. Selgub f(x) = patt ( x 2+ln x) on keeruline funktsioon. Tal on ka tuletis, kuid selle leidmine ülalkirjeldatud reeglite järgi ei tööta.

Kuidas olla? Sellistel juhtudel aitab muutuja asendamine ja kompleksfunktsiooni tuletise valem:

f ’(x) = f ’(t) · t', Kui x asendatakse t(x).

Reeglina on olukord selle valemi mõistmisega veelgi kurvem kui jagatise tuletisega. Seetõttu on parem seda ka konkreetsete näidetega selgitada, koos Täpsem kirjeldus igal sammul.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = patt ( x 2+ln x)

Pange tähele, et kui funktsioonis f(x) avaldise 2 asemel x+3 saab olema lihtne x, siis see toimib elementaarne funktsioon f(x) = e x. Seetõttu teeme asendused: olgu 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Otsime kompleksfunktsiooni tuletist valemiga:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Ja nüüd - tähelepanu! Pöördasenduse teostamine: t = 2x+ 3. Saame:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Nüüd vaatame funktsiooni g(x). Ilmselgelt tuleb välja vahetada. x 2+ln x = t. Meil on:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (patt t)’ · t' = cos t · t ’

Vastupidine asendamine: t = x 2+ln x. Seejärel:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

See on kõik! Nagu viimasest avaldisest näha, on kogu probleem taandatud summa tuletise arvutamisele.

Vastus:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos( x 2+ln x).

Väga sageli kasutan oma tundides termini "tuletis" asemel sõna "insult". Näiteks summa löök on võrdne löökide summaga. Kas see on selgem? See on hea.

Seega taandub tuletise arvutamine just nendest löökidest vabanemisele vastavalt ülalkirjeldatud reeglitele. Viimase näitena pöördume tagasi ratsionaalse astendajaga tuletusastme juurde:

(x n)’ = n · x n − 1

Seda teavad rollis vähesed n võib hästi tegutseda murdarv. Näiteks juur on x 0,5 . Aga mis siis, kui juure all on midagi keerulist? Jällegi selgub keeruline funktsioon - neile meeldib selliseid konstruktsioone edasi anda kontrolltööd ja eksamid.

Ülesanne. Leia funktsiooni tuletis:

Esmalt kirjutame juure ümber ratsionaalse astendajaga astmeks:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nüüd teeme asendus: las x 2 + 8x − 7 = t. Leiame tuletise valemiga:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)" t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Teeme pöördasenduse: t = x 2 + 8x− 7. Meil ​​on:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x– 7) –0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Lõpuks tagasi juurte juurde:

Tabeli kõige esimese valemi tuletamisel lähtume funktsiooni tuletise definitsioonist punktis. Võtame kuhu x- mis tahes reaalarv, see tähendab x– suvaline arv funktsiooni määratlusalast . Kirjutame funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks :

Tuleb märkida, et piirimärgi all saadakse avaldis, mis ei ole nulliga jagatud nulli määramatus, kuna lugeja ei sisalda lõpmata väikest väärtust, vaid täpselt nulli. Teisisõnu, konstantse funktsiooni juurdekasv on alati null.

Seega konstantse funktsiooni tuletison võrdne nulliga kogu määratluspiirkonnas.

Võimsusfunktsiooni tuletis.

Tuletisvalem toitefunktsioon on vorm , kus eksponent lk on suvaline reaalarv.

Tõestame esmalt naturaalse astendaja valemit, see tähendab for p = 1, 2, 3, ...

Kasutame tuletise määratlust. Kirjutame võimsusfunktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiri:

Lugeja avaldise lihtsustamiseks pöördume Newtoni binoomvalemi poole:

Seega

See tõestab loomuliku astendaja astmefunktsiooni tuletise valemit.

Eksponentfunktsiooni tuletis.

Tuletame tuletisvalemi definitsiooni põhjal:

Jõudis ebakindluseni. Selle laiendamiseks tutvustame uut muutujat ja jaoks. Siis . Viimases üleminekus kasutasime logaritmi uuele alusele ülemineku valemit.

Tehkem asendus algses limiidis:

Kui meenutada teist tähelepanuväärset piiri, siis jõuame eksponentsiaalfunktsiooni tuletise valemini:

Logaritmilise funktsiooni tuletis.

Tõestame logaritmilise funktsiooni tuletise valemit kõigi jaoks x ulatusest ja kõigist kehtivatest baasväärtustest a logaritm. Tuletise definitsiooni järgi on meil:

Nagu märkasite, viidi tõestuses teisendused läbi logaritmi omadusi kasutades. Võrdsus kehtib teise tähelepanuväärse limiidi tõttu.

Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised.

Trigonomeetriliste funktsioonide tuletiste valemite tuletamiseks peame meelde tuletama mõned trigonomeetria valemid ja ka esimese tähelepanuväärse piiri.

Siinusfunktsiooni tuletise definitsiooni järgi on meil .

Siinuste erinevuse jaoks kasutame valemit:

Jääb üle pöörduda esimese tähelepanuväärse piiri poole:

Seega funktsiooni tuletis sin x Seal on cos x.

Koosinustuletise valem on tõestatud täpselt samal viisil.

Seega funktsiooni tuletis cos x Seal on – sin x.

Tangensi ja kotangensi tuletiste tabeli valemite tuletamine toimub tõestatud diferentseerimisreeglite (murru tuletis) abil.

Hüperboolsete funktsioonide tuletised.

Diferentseerimisreeglid ja eksponentsiaalfunktsiooni tuletise valem tuletiste tabelist võimaldavad tuletada hüperboolse siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tuletisi valemeid.

Pöördfunktsiooni tuletis.

Et esitluses segadust ei tekiks, tähistame alumises indeksis selle funktsiooni argumendi, mille järgi diferentseerimist teostatakse ehk see on funktsiooni tuletis f(x) Kõrval x.

Nüüd sõnastame pöördfunktsiooni tuletise leidmise reegel.

Laske funktsioonidel y = f(x) Ja x = g(y) vastastikku pöördvõrdeline, määratletud vastavalt intervallidel ja. Kui mingis punktis eksisteerib funktsiooni lõplik nullist erinev tuletis f(x), siis punktis eksisteerib pöördfunktsiooni lõplik tuletis g(y) ja . Teises sissekandes .

Seda reeglit saab mis tahes jaoks ümber sõnastada x intervallist , siis saame .

Kontrollime nende valemite kehtivust.

Leiame naturaallogaritmi pöördfunktsiooni (Siin y on funktsioon ja x- argument). Selle võrrandi lahendamine jaoks x, saame (siin x on funktsioon ja y tema argument). See on, ja vastastikku pöördfunktsioonid.

Tuletisinstrumentide tabelist näeme seda Ja .

Veenduge, et pöördfunktsiooni tuletiste leidmise valemid viivad meid samadele tulemustele:

Rakendus

Saidi tuletise lahendus õpilaste ja kooliõpilaste käsitletava materjali koondamiseks. Funktsiooni tuletise arvutamine mõne sekundiga pole keeruline, kui kasutate meie veebipõhist probleemilahendusteenust. Andke üksikasjalik analüüs põhjalikule uuringule praktiline tund iga kolmas õpilane saab. Sageli pöördub meie poole vastava osakonna osakond matemaatika edendamiseks riigi haridusasutustes. Sel juhul, kuidas mitte mainida tuletise lahendust võrgus suletud ruumi jaoks numbrijadad. Paljudel jõukatel inimestel lubatakse oma hämmeldust väljendada. Aga matemaatikud ei istu vahepeal paigal ja pingutavad. Sisendparameetrite muutuse vastavalt lineaarsetele karakteristikutele aktsepteerib tuletiskalkulaator peamiselt kuubikute kahanevate positsioonide ülimuslikkuse tõttu. Tulemus on pinnana paratamatu. Algandmetena välistab veebipõhine tuletis vajaduse mittevajalike sammude tegemiseks. Välja arvatud fiktiivsed kodutööd. Lisaks sellele, et tuletisinstrumentide lahendus internetis on vajalik ja oluline aspekt matemaatikat õppides ei mäleta õpilased sageli varasemaid ülesandeid. Õpilane, nagu laisk olend, saab sellest aru. Aga õpilased naljakad inimesed! Kas teha seda vastavalt reeglitele või funktsiooni tuletis kaldtasandil võib anda materiaalsele punktile kiirenduse. Suuname laskuva ruumikiire vektori kuhugi. Soovitud vastuses tundub tuletise leidmine abstraktne teoreetiline suund ebastabiilsuse tõttu matemaatiline süsteem. Mõelge arvude suhtele kui kasutamata valikute jadale. Sidekanalit täiendati viienda joonega mööda laskuvat vektorit kuubi suletud hargnemispunktist. Kumerate ruumide tasapinnal viib tuletise võrgus lahendamine meid järeldusele, mis pani eelmisel sajandil mõtlema planeedi suurimad mõistused. Matemaatika valdkonna sündmuste käigus toodi avalikule arutelule viis põhimõtteliselt olulist muutuja valiku positsiooni paranemist soodustavat tegurit. Seega ütleb punktiseadus, et veebituletist ei arvutata igal juhul detailselt välja, erandiks võib olla vaid lojaalselt kulgev hetk. Prognoos tõi meid uuele arendusringile. Me vajame tulemust. Pinna alt läbitud matemaatilise kalde joonel on režiimi tuletiste kalkulaator painutuskomplektil olevate toodete ristumiskoha piirkonnas. Jääb analüüsida funktsiooni diferentseerumist selle sõltumatus punktis epsiloni naabruskonna lähedal. Seda näeb praktikas igaüks. Selle tulemusena on programmeerimise järgmises etapis midagi otsustada. Õpilane vajab veebipõhist tuletist nagu alati, olenemata praktiseeritavatest kujuteldavatest õpingutest. Selgub, et konstandiga korrutatud tuletisfunktsiooni võrgulahendus ei muuda materiaalse punkti üldist liikumissuunda, vaid iseloomustab kiiruse suurenemist sirgjoonel. Selles mõttes on kasulik rakendada meie tuletiskalkulaatorit ja arvutada funktsiooni kõik väärtused kogu selle määratluse komplektis. Pole lihtsalt vaja uurida gravitatsioonivälja jõulaineid. Mitte mingil juhul ei näita tuletislahendused võrgus väljuva kiire kallet, vaid ainult sisse harvad juhud kui seda tõesti vaja on, võivad ülikooli tudengid seda ette kujutada. Uurime direktorit. Väikseima rootori väärtus on etteaimatav. Kandke tulemusele parempoolsed jooned, mis kirjeldavad palli, kuid Interneti-kalkulaator tuletised, see on erilise tugevusega ja mittelineaarse sõltuvusega arvude aluseks. Matemaatika projekti aruanne on valmis. Isikuomadused väikseimate arvude erinevus ja funktsiooni tuletis piki y-telge toob sama funktsiooni nõgususe kõrgusele. On suund – on järeldus. Teooriat on lihtsam praktikas rakendada. Õpilastelt on ettepanek õppetöö alguse aja kohta. Vajaks õpetaja vastust. Jällegi, nagu ka eelmises positsioonis, ei ole matemaatilist süsteemi reguleeritud tegevuse alusel, mis aitab tuletist leida. Sarnaselt madalamale poollineaarsele versioonile näitab online tuletis üksikasjalikult lahenduse identifitseerimist vastavalt mandunud tingimusseadus. Esitage lihtsalt valemite arvutamise idee. Funktsiooni lineaarne diferentseerimine lükkab tagasi lahenduse tõesuse, lihtsalt esitades ebaolulised positiivsed variatsioonid. Võrdlusmärkide tähtsust käsitletakse funktsiooni pideva katkemisena piki telge. See on õpilase sõnul kõige teadlikuma järelduse tähtsus, milles võrgutuletis on midagi muud kui matemaatilise analüüsi lojaalne näide. Kumera ringi raadius eukleidilises ruumis, vastupidi, andis tuletisarvutile loomuliku esituse otsustavate probleemide vahetusest stabiilsuse vastu. parim meetod leitud. Lihtsam oli ülesannet tasandada. Laske sõltumatu erinevuse proportsiooni rakendatavus viia tuletisi online-lahenduseni. Lahendus pöörleb ümber x-telje, kirjeldades ringikuju. Väljapääs on olemas ja see põhineb ülikooli üliõpilaste teoreetiliselt toetatud uurimistööl, millest kõik õpivad ja isegi neil ajahetkedel on funktsiooni tuletis. Leidsime tee edasiminekuks ja õpilased kinnitasid seda. Saame endale lubada tuletise leidmist, ilma et läheksime kaugemale matemaatilise süsteemi muutmise ebaloomulikust lähenemisest. Vasakpoolne proportsionaalmärk kasvab eksponentsiaalselt võrgutuletiskalkulaatori matemaatilise esitusena, kuna lõpmatul y-teljel on lineaarsed tegurid. Matemaatikud üle kogu maailma on tõestanud tootmisprotsessi eksklusiivsust. Sööma vähim ruut ringi sees vastavalt teooria kirjeldusele. Jällegi täpsustab veebipõhine tuletis meie oletust selle kohta, mis võis teoreetiliselt rafineeritud arvamust üldse mõjutada. Arvamused olid teistsugused kui meie analüüsitud aruanne. Eraldi tähelepanu ei pruugi juhtuda meie teaduskondade üliõpilastega, vaid mitte ainult tarkade ja edasijõudnud matemaatikutega, kelle jaoks funktsiooni eristamine on vaid ettekääne. Tuletise mehaaniline tähendus on väga lihtne. Tõstejõud arvutatakse ajas allapoole kalduvate ühtlaste ruumide võrgutuletisena. Ilmselgelt on tuletiskalkulaator range protsess kunstliku teisenduse kui amorfse keha degeneratsiooni probleemi kirjeldamiseks. Esimene tuletis räägib materiaalse punkti liikumise muutumisest. Kolmemõõtmelist ruumi vaadeldakse ilmselgelt spetsiaalselt väljaõppinud tehnoloogiate kontekstis tuletisi Internetis lahendamiseks, tegelikult on see igas matemaatilise distsipliini teemalises kollokviumis. Teine tuletis iseloomustab materiaalse punkti kiiruse muutumist ja määrab kiirenduse. Afiinse teisenduse kasutamisel põhinev meridiaanilähenemine toob kaasa uus tase funktsiooni tuletis punktis selle funktsiooni domeenist. Tuletiste veebikalkulaator ei saa mõnel juhul õige täitmishetke järgi ilma numbriteta ja sümboolse tähiseta, välja arvatud ülesande asjade teisendatav paigutus. Üllataval kombel toimub materiaalse punkti teine ​​kiirendus, see iseloomustabki kiirenduse muutumist. Lühikese aja pärast hakkame tuletise lahendust veebis uurima, kuid niipea, kui teadmistes on saavutatud teatud verstapost, peatab meie õpilane selle protsessi. Parim abinõu võrgustik on otsesuhtlus matemaatika teema. On põhimõtteid, mida ei tohi mingil juhul rikkuda, olgu ülesanne kui tahes raske. Kasulik on leida tuletis Internetist õigeaegselt ja vigadeta. See toob kaasa matemaatilise avaldise uue positsiooni. Süsteem on stabiilne. Tuletise füüsiline tähendus pole nii populaarne kui mehaaniline. Vaevalt, et keegi mäletab, kuidas võrgutuletis tuletas tasapinnal üksikasjalikult funktsiooni joonte piirjooned x-teljega külgnevast kolmnurgast. Inimene väärib suurt rolli möödunud sajandi uurimistöös. Tehkem kolmes elementaarses etapis funktsiooni diferentseerimine punktides, nii definitsioonipiirkonnast kui ka lõpmatusest. Kirjutatakse ainult õppevaldkonnas, kuid võib matemaatikas ja arvuteoorias asendada peamise vektoriga, niipea kui juhtunu seob veebipõhise tuletiskalkulaatori probleemiga. Põhjust oleks, aga oleks põhjust võrrandi koostamiseks. Väga oluline on meeles pidada kõiki sisendparameetreid. Alati ei võeta parimat otsmikusse, selle taga on kolossaalne tööjõud parimad meeled kes teadis, kuidas võrgutuletist ruumis arvutatakse. Sellest ajast alates on kumerust peetud omaduseks pidev funktsioon. Siiski on parem tuletisinstrumentide võrgus lahendamise probleem esmalt seada niipea kui võimalik. Seega on lahendus täielik. Lisaks täitmata normidele ei peeta seda piisavaks. Esialgu teeb peaaegu iga õpilane ettepaneku esitada lihtne meetod selle kohta, kuidas funktsiooni tuletis põhjustab vastuolulise kasvualgoritmi. Tõusva kiire suunas. See on mõttekas nagu üldine seisukoht. Kui varem tähistasid need konkreetse matemaatilise toimingu lõpetamise algust, siis täna on see vastupidi. Ehk tõstatab tuletise lahendus võrgus taas teema üles ja leiame õpetajate koosoleku arutelul ühise arvamuse selle säilitamise kohta. Loodame koosolekul osalejate kõigi poolte mõistvale suhtumisele. Loogiline tähendus sisaldub tuletiste kalkulaatori kirjelduses arvude resonantsis probleemi mõtte esitamise jada kohta, millele eelmisel sajandil vastasid maailma suured teadlased. See aitab teisendatud avaldisest eraldada keeruka muutuja ja leida võrgust tuletise sama tüüpi massiivse toimingu sooritamiseks. Tõde on palju parem kui oletus. Madalaim väärtus trendis. Unikaalset teenust kasutades ei lase tulemus kaua oodata kõige täpsem leid, mille kohta on üksikasjalikult olemas veebipõhine tuletis. Kaudselt, aga asja juurde, nagu üks tark mees ütles, loodi paljude liidu erinevatest linnadest pärit üliõpilaste tellimusel veebipõhine tuletisinstrumentide kalkulaator. Kui on vahe, siis milleks otsustada kaks korda. Antud vektor asub tavalisega samal küljel. Möödunud sajandi keskel ei tajutud funktsiooni diferentseerumist sugugi nii, nagu praegu. Tänu käimasolevale arendusele on ilmunud online-matemaatika. Aja jooksul unustavad õpilased matemaatikadistsipliinidele tunnustust anda. Tuletise lahendus võrgus esitab väljakutse meie väitekirjale, mis põhineb õigustatult teooria rakendamisel, mida toetab praktilisi teadmisi. Läheb esitusteguri olemasolevast väärtusest kaugemale ja kirjutab valemi funktsiooni jaoks selgel kujul. Juhtub, et peate kohe veebist tuletise leidma ilma kalkulaatorit kasutamata, kuid võite alati kasutada õpilase nippi ja kasutada sellist teenust endiselt veebisaidina. Nii säästab õpilane palju aega näidete kopeerimisel vihiku mustandist lõplikule vormile. Kui vastuolusid pole, kasutage selliste keeruliste näidete jaoks samm-sammult lahendusteenust.

Tuletise arvutamine on sageli leitud KASUTADA ülesandeid. Sellel lehel on tuletisinstrumentide leidmise valemite loend.

Eristamise reeglid

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Kompleksfunktsiooni tuletis. Kui y=F(u) ja u=u(x), siis funktsiooni y=f(x)=F(u(x)) nimetatakse x kompleksfunktsiooniks. võrdub y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Implitsiitse funktsiooni tuletis. Funktsiooni y=f(x) nimetatakse kaudseks funktsiooniks, mille annab seos F(x,y)=0, kui F(x,f(x))≡0.
6. Pöördfunktsiooni tuletis. Kui g(f(x))=x, siis funktsiooni g(x) nimetatakse funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks.
7. Parameetriliselt etteantud funktsiooni tuletis. Olgu x ja y antud muutuja t funktsioonidena: x=x(t), y=y(t). Nad ütlevad, et y=y(x) parameetriliselt antud funktsioon intervallil x∈ (a;b), kui sellel intervallil saab võrrandit x=x(t) väljendada kujul t=t(x) ja funktsiooni y=y(t(x))=y(x) saab määratleda.
8. Võimu tuletis- eksponentsiaalne funktsioon. See leitakse, võttes logaritmi naturaallogaritmi alusele.

Soovitame link salvestada, kuna seda tabelit võib vaja minna veel mitu korda.