Olgu funktsioon antud parameetriliselt:
(1)
kus on mingi muutuja nimega parameetri. Ja lase funktsioonidel ja on tuletised mingis muutuja väärtuses. Lisaks on funktsioonil punkti mõnes naabruses ka pöördfunktsioon. Siis on funktsioonil (1) punktis tuletis, mis parameetrilisel kujul määratakse valemitega:
(2)

Siin ja on tuletised funktsioonidest ja muutuja (parameetri) suhtes. Sageli kirjutatakse need järgmisel kujul:
;
.

Seejärel saab süsteemi (2) kirjutada järgmiselt:

Tõestus

Tingimuse järgi on funktsioonil pöördfunktsioon. Tähistame seda kui
.
Seejärel saab algfunktsiooni esitada kompleksfunktsioonina:
.
Leiame selle tuletise, rakendades keerukate ja pöördfunktsioonide diferentseerimise reegleid:
.

Reegel on tõestatud.

Tõestus teisel viisil

Leiame tuletise teisel viisil, lähtudes funktsiooni tuletise definitsioonist punktis :
.
Tutvustame tähistust:
.
Siis on eelmine valem järgmine:
.

Kasutame seda, et funktsioonil on punkti läheduses pöördfunktsioon.
Tutvustame tähistust:
; ;
; .
Jagage murdosa lugeja ja nimetaja järgmisega:
.
Kell , . Siis
.

Reegel on tõestatud.

Kõrgemate tellimuste tuletisväärtpaberid

Kõrgema järgu tuletiste leidmiseks on vaja mitu korda läbi viia diferentseerimine. Oletame, et peame leidma parameetrilisel viisil antud funktsiooni teise tuletise järgmisel kujul:
(1)

Valemi (2) järgi leiame esimese tuletise, mis määratakse samuti parameetriliselt:
(2)

Tähistage esimest tuletist muutujaga:
.
Seejärel, et leida funktsiooni teine ​​tuletis muutuja suhtes, peate leidma funktsiooni esimese tuletise muutuja suhtes. Parameetriliselt määratakse ka muutuja sõltuvus muutujast:
(3)
Võrreldes (3) valemitega (1) ja (2), leiame:

Nüüd väljendame tulemust funktsioonide ja . Selleks asendame ja rakendame murdosa tuletise valemit:
.
Siis
.

Siit saame funktsiooni teise tuletise muutuja suhtes:

See on antud ka parameetrilisel kujul. Pange tähele, et esimest rida saab kirjutada ka järgmiselt:
.

Protsessi jätkates on võimalik saada funktsioonide tuletisi kolmandat ja kõrgemat järku muutujast.

Pange tähele, et tuletise tähistust on võimalik mitte kasutusele võtta. Selle võib kirjutada nii:
;
.

Näide 1

Leidke parameetrilisel viisil antud funktsiooni tuletis:

Lahendus

Leiame tuletised ja suhtes .
Tuletisinstrumentide tabelist leiame:
;
.
Rakendame:

.
siin .

.
siin .

Soovitud tuletis:
.

Vastus

Näide 2

Leidke parameetri kaudu väljendatud funktsiooni tuletis:

Lahendus

Avame sulud võimsusfunktsioonide ja juurte valemite abil:
.

Leiame tuletise:

.

Leiame tuletise. Selleks võtame kasutusele muutuja ja rakendame kompleksfunktsiooni tuletise valemit.

.

Leiame soovitud tuletise:
.

Vastus

Näide 3

Leidke näites 1 parameetriliselt antud funktsiooni teine ​​ja kolmas tuletis:

Lahendus

Näites 1 leidsime esimest järku tuletise:

Tutvustame tähistust. Siis on funktsioon tuletis . See on seatud parameetriliselt:

Teise tuletise leidmiseks suhtes, peame leidma esimese tuletise suhtes .

Me eristame .
.
Tuletise leidsime näites 1:
.
Teist järku tuletis võrdub esimest järku tuletisega järgmise suhtes:
.

Niisiis, leidsime parameetrilise vormi suhtes teist järku tuletise:

Nüüd leiame kolmanda järgu tuletise. Tutvustame tähistust. Seejärel peame leidma funktsiooni parameetri esimese tuletise, mis on antud parameetrilisel viisil:

Leiame tuletise suhtes . Selleks kirjutame ümber samaväärsel kujul:
.
Alates
.

Kolmandat järku tuletis võrdub esimese järgu tuletisega:
.

Kommenteeri

Muutujaid ja , mis on vastavalt ja tuletised, on võimalik mitte sisse viia. Siis saate selle kirjutada nii:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Vastus

Parameetrilises esituses on teist järku tuletis järgmine vaade:

Kolmanda järgu tuletis.

Funktsiooni saab defineerida mitmel viisil. See sõltub reeglist, mida selle seadistamisel kasutatakse. Funktsiooni definitsiooni selgesõnaline vorm on y = f (x) . On juhtumeid, kui selle kirjeldamine on võimatu või ebamugav. Kui on hulk paare (x; y), mis tuleb arvutada parameetri t jaoks intervalli (a; b) jooksul. Süsteemi x = 3 lahendamiseks cos t y = 3 sin t kui 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Parameetrilise funktsiooni määratlus

Seega on meil, et x = φ (t) , y = ψ (t) on defineeritud t ∈ (a ; b) jaoks ja neil on pöördfunktsioon t = Θ (x) x = φ (t) korral, siis kõnealune kujuga y = ψ (Θ (x)) funktsiooni parameetrilise võrrandi seadmise kohta.

On juhtumeid, kus funktsiooni uurimiseks tuleb otsida tuletist x suhtes. Vaatleme parameetriliselt antud funktsiooni kujul y x " = ψ " (t) φ " (t) tuletise valemit, räägime 2. ja n-ndat järku tuletisest.

Parameetriliselt etteantud funktsiooni tuletise valemi tuletamine

Meil on, et x = φ (t) , y = ψ (t) , defineeritud ja diferentseeruv t ∈ a korral; b , kus x t " = φ " (t) ≠ 0 ja x = φ (t) , siis on olemas pöördfunktsioon kujul t = Θ (x) .

Alustuseks peaksite liikuma parameetrilisest ülesandest selgesõnalisele ülesandele. Selleks on vaja saada kompleksfunktsioon kujul y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) , kus on argument x .

Lähtudes kompleksfunktsiooni tuletise leidmise reeglist, saame, et y "x \u003d ψ Θ (x) \u003d ψ " Θ x Θ" x.

See näitab, et t = Θ (x) ja x = φ (t) on pöördfunktsioonid pöördfunktsiooni valemist Θ "(x) = 1 φ" (t) , siis y "x = ψ" Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Liigume edasi mitme näite lahendamise kaalumisele, kasutades tuletiste tabelit vastavalt diferentseerimisreeglile.

Näide 1

Leia funktsiooni x = t 2 + 1 y = t tuletis.

Lahendus

Tingimuse järgi saame, et φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, seega saame, et φ "(t) = t 2 + 1" , ψ "(t) = t" = 1. On vaja kasutada tuletatud valemit ja kirjutada vastus kujul:

y "x = ψ" (t) φ "(t) = 1 2 t

Vastus: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Funktsiooni tuletisega töötamisel määrab parameeter t argumendi x avaldise sama parameetri t kaudu, et mitte kaotada seost tuletise väärtuste ja parameetriliselt määratud funktsiooni vahel argumendiga, millele need väärtused vastavad.

Parameetriliselt antud funktsiooni teist järku tuletise määramiseks peate saadud funktsioonil kasutama esimest järku tuletise valemit, siis saame selle

y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t) φ"(t) - ψ"(t) φ""(t)φ"(t) 2 φ "(t) = ψ "" (t) φ "(t) - ψ "(t) φ "" (t) φ "(t) 3 .

Näide 2

Leia antud funktsiooni x = cos (2 t) y = t 2 2. ja 2. järku tuletis.

Lahendus

Tingimuse järgi saame, et φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Siis pärast ümberkujundamist

φ "(t) \u003d cos (2 t)" \u003d - sin (2 t) 2 t "\u003d - 2 sin (2 t) ψ (t) \u003d t 2 "\u003d 2 t

Sellest järeldub, et y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Saame, et 1. järku tuletise kuju on x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Selle lahendamiseks peate rakendama teist järku tuletisvalemit. Saame väljendi nagu

y x "" \u003d - t sin (2 t) φ "t \u003d - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Seejärel määrake 2. järku tuletis kasutades parameetriline funktsioon

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Sarnase lahenduse saab lahendada mõne muu meetodiga. Siis

φ "t \u003d (cos (2 t)) " \u003d - sin (2 t) 2 t " \u003d - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t \u003d - 2 sin (2 t) " \u003d - 2 sin (2 t) "= - 2 cos (2 t) (2 t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Seetõttu saame selle kätte

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 \u003d \u003d sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Vastus: y "" x \u003d sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Samamoodi leitakse kõrgemat järku tuletisi parameetriliselt määratud funktsioonidega.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Ärge pingutage, ka selles lõigus on kõik üsna lihtne. Parameetriliselt antud funktsiooni üldvalemi saab kirja panna, aga selguse huvides panen kohe kirja konkreetne näide. Parameetrilisel kujul on funktsioon antud kahe võrrandiga: . Sageli ei kirjutata võrrandeid mitte lokkis sulgude alla, vaid järjestikku:,.

Muutujat nimetatakse parameetriks ja see võib võtta väärtusi vahemikus "miinus lõpmatus" kuni "pluss lõpmatus". Mõelge näiteks väärtusele ja asendage see mõlema võrrandiga: . Või inimlikult: "kui x on võrdne neljaga, siis y on võrdne ühega." Saate märkida punkti koordinaattasandil ja see punkt vastab parameetri väärtusele. Samamoodi võite leida punkti parameetri "te" mis tahes väärtuse jaoks. Mis puutub "tavalisse" funktsiooni, siis parameetriliselt antud funktsiooni Ameerika indiaanlastel on samuti kõik õigused austatud: saab joonistada graafikut, leida tuletisi jne. Muide, kui on vaja koostada parameetriliselt antud funktsiooni graafik, laadige lehelt alla minu geomeetriline programm Matemaatilised valemid ja tabelid.

Lihtsamatel juhtudel on võimalik funktsiooni eksplitsiitselt esitada. Avaldame parameetri esimesest võrrandist: ja asendage see teise võrrandiga: . Tulemuseks on tavaline kuupfunktsioon.

"Raskematel" juhtudel selline nipp ei tööta. Kuid sellel pole tähtsust, sest parameetrilise funktsiooni tuletise leidmiseks on olemas valem:

Leiame tuletise "mängija muutuja te suhtes":

Kõik diferentseerimisreeglid ja tuletiste tabel kehtivad loomulikult tähe jaoks, seega tuletiste leidmise protsessis pole uudsust. Lihtsalt asenda vaimselt kõik tabelis olevad "x" tähega "te".

Leiame "x" tuletise muutuja te suhtes:

Nüüd jääb üle vaid leitud tuletised meie valemiga asendada:

Valmis. Tuletis, nagu funktsioon ise, sõltub samuti parameetrist .

Mis puutub märgetesse, siis valemis kirjutamise asemel võiks selle lihtsalt kirjutada ilma alaindeksita, kuna see on “tavaline” tuletis “x-ga”. Aga kirjanduses on alati mingi variant, nii et standardist ma kõrvale ei kaldu.

Näide 6

Me kasutame valemit

Sel juhul:

Seega:

Parameetrilise funktsiooni tuletise leidmise tunnuseks on asjaolu, et igal etapil on kasulik tulemust nii palju kui võimalik lihtsustada. Nii et vaadeldavas näites avasin leidmisel juure all olevad sulgud (kuigi ma poleks seda võib-olla teinud). On suur võimalus, et asendamisel ja valemisse sisenemisel vähenevad paljud asjad hästi. Kuigi kohmakate vastustega näiteid on muidugi ka.

Näide 7

Leia parameetriliselt antud funktsiooni tuletis

See on tee-seda-ise näide.

Artiklis Lihtsamad tüüpilised ülesanded tuletisega käsitlesime näiteid, milles oli vaja leida funktsiooni teine ​​tuletis. Parameetriliselt antud funktsiooni jaoks võib leida ka teise tuletise ja see leitakse järgmise valemiga: . On üsna ilmne, et teise tuletise leidmiseks tuleb esmalt leida esimene tuletis.

Näide 8

Leia parameetriliselt antud funktsiooni esimene ja teine ​​tuletis

Leiame kõigepealt esimese tuletise.
Me kasutame valemit

Sel juhul:

Asendab leitud tuletised valemis. Lihtsuse huvides kasutame trigonomeetrilist valemit:

Märkasin, et parameetrilise funktsiooni tuletise leidmise ülesandes tuleb üsna sageli lihtsustamiseks kasutada trigonomeetrilised valemid . Pidage need meeles või hoidke käepärast ning ärge jätke kasutamata võimalust iga vahetulemust ja vastust lihtsustada. Milleks? Nüüd peame võtma tuletise ja see on selgelt parem kui tuletise leidmine.

Leiame teise tuletise.
Kasutame valemit:.

Vaatame oma valemit. Nimetaja on juba eelmises etapis leitud. Jääb alles leida lugeja - esimese tuletise tuletis muutuja "te" suhtes:

Jääb üle kasutada valemit:

Materjali koondamiseks pakun iseseisva lahenduse jaoks veel paar näidet.

Näide 9

Näide 10

Leia ja parameetriliselt määratletud funktsiooni jaoks

Soovin teile edu!

Loodan, et see õppetund oli kasulik ja nüüd saate hõlpsasti leida kaudsete funktsioonide ja parameetriliste funktsioonide tuletisi

Lahendused ja vastused:

Näide 3: Lahendus:






Seega:

Seni oleme arvestanud tasapinnal olevate joonte võrrandeid, mis seovad otseselt nende sirgete punktide hetkekoordinaate. Tihti kasutatakse aga joone täpsustamiseks teist viisi, mille puhul praeguseid koordinaate käsitletakse kolmanda muutuja funktsioonidena.

Olgu antud muutuja kaks funktsiooni

arvestatakse samade t väärtustega. Siis vastab ükskõik milline neist t väärtustest teatud väärtusele ja y teatud väärtusele ning järelikult ka teatud punktile. Kui muutuja t jookseb läbi kõigi funktsioonipiirkonna (73) väärtuste, kirjeldab punkt mingit tasandi sirget C. Võrrandid (73) nimetatakse parameetrilised võrrandid see rida ja muutuja on parameeter.

Oletame, et funktsioonil on pöördfunktsioon Asendades selle funktsiooni teise võrrandiga (73), saame võrrandi

y väljendamine funktsioonina

Lepime kokku, et see funktsioon on antud parameetriliselt võrranditega (73). Üleminekut nendelt võrranditelt võrrandile (74) nimetatakse parameetri elimineerimiseks. Arvestades parameetriliselt määratletud funktsioone, ei ole parameetri väljajätmine mitte ainult vajalik, vaid ka mitte alati praktiliselt võimalik.

Paljudel juhtudel on palju mugavam küsida erinevad tähendused parameeter, siis arvutage valemite (73) abil argumendi ja funktsiooni y vastavad väärtused.

Kaaluge näiteid.

Näide 1. Olgu suvaline ringjoone punkt, mille keskpunkt on alguspunkti ja raadiusega R. Selle punkti Descartes'i koordinaadid x ja y on väljendatud polaarraadiuse ja polaarnurga all, mida tähistame siin t-ga järgmiselt ( vt I peatükk, § 3, punkt 3):

Võrrandeid (75) nimetatakse ringi parameetrilisteks võrranditeks. Nendes olev parameeter on polaarnurk, mis varieerub vahemikus 0 kuni.

Kui võrrandid (75) ruudustatakse ja liidetakse termini haaval, siis parameeter identsuse tõttu elimineeritakse ja saadakse ringjoone võrrand Descartes'i koordinaatsüsteemis, mis määrab kaks elementaarfunktsiooni:

Kõik need funktsioonid on parameetriliselt määratletud võrranditega (75), kuid nende funktsioonide parameetrite variatsioonivahemikud on erinevad. Esimese jaoks; selle funktsiooni graafik on ülemine poolring. Teise funktsiooni puhul on selle graafik alumine poolring.

Näide 2. Vaatleme samal ajal ellipsi

ja ring, mille keskpunkt on lähtepunktis ja raadiuses a (joonis 138).

Iga ellipsi punktiga M seostame ringi punkti N, millel on sama abstsiss kui punktil M ja mis asub sellega samal pool Hrja telge. Punkti N ja seega ka punkti M asukoha määrab täielikult punkti polaarnurk t. Sel juhul saame nende ühise abstsissi jaoks järgmise avaldise: x \u003d a. Leiame ellipsi võrrandist punktis M oleva ordinaadi:

Märk valitakse seetõttu, et punktis M oleval ordinaatil ja punktis N asuval ordinaatil peavad olema samad märgid.

Seega saadakse ellipsi jaoks järgmised parameetrilised võrrandid:

Siin muutub parameeter t 0-st .

Näide 3. Vaatleme ringi, mille keskpunkt on punktis a) ja raadius a, mis ilmselgelt puudutab lähtepunktis x-telge (joonis 139). Oletame, et see ring veereb mööda x-telge libisemata. Seejärel kirjeldab ringjoone punkt M, mis langes algmomendil alguspunktiga kokku, sirget, mida nimetatakse tsükloidiks.

Tuletame tsükloidi parameetrilised võrrandid, võttes parameetriks t ringi MSW pöördenurga selle fikseeritud punkti nihutamisel positsioonist O asendisse M. Seejärel saame punkti M koordinaatide ja y jaoks järgmised avaldised:

Tänu sellele, et ring veereb mööda telge libisemata, on lõigu OB pikkus võrdne kaare VM pikkusega. Kuna VM kaare pikkus võrdub raadiuse a ja kesknurga t korrutisega, siis . Sellepärast . Kuid seetõttu

Need võrrandid on tsükloidi parameetrilised võrrandid. Parameetri t muutmisel 0-lt ringile teeb ühe täispöörde. Punkt M kirjeldab tsükloidi üht kaarejoont.

Parameetri t väljajätmine toob siin kaasa tülikaid väljendeid ja on praktiliselt ebapraktiline.

Eriti sageli kasutatakse joonte parameetrilist määratlust mehaanikas ja parameetri rolli mängib aeg.

Näide 4. Määrame relvast tulistatud mürsu trajektoori algkiirusega horisondi suhtes nurga a all. Õhutakistus ja mürsu mõõtmed, pidades seda materiaalseks punktiks, jäetakse tähelepanuta.

Valime koordinaatsüsteemi. Koordinaatide lähtepunktiks võtame mürsu lähtepunkti koonust. Suuname Ox telje horisontaalselt ja Oy telje vertikaalselt, asetades need püstoli koonuga samale tasapinnale. Kui gravitatsioonijõudu poleks, siis mürsk liiguks mööda sirgjoont, moodustades Ox-teljega nurga a ja oleks hetkeks t läbinud tee. Mürsu koordinaadid ajahetkel t oleksid vastavalt võrdsed: . Maa raskusjõu tõttu peab mürsk selleks hetkeks vertikaalselt mingi väärtuse võrra laskuma, mistõttu tegelikkuses on hetkel t mürsu koordinaadid määratud valemitega:

Need võrrandid on konstandid. Kui t muutub, muutuvad ka mürsu trajektooripunkti koordinaadid. Võrrandid on mürsu trajektoori parameetrilised võrrandid, milles parameetriks on aeg

Väljendades esimesest võrrandist ja asendades selle võrrandiga

teine ​​võrrand, saame mürsu trajektoori võrrandi kujul See on parabooli võrrand.

Kaudselt antud funktsiooni tuletis.
Parameetriliselt määratletud funktsiooni tuletis

Selles artiklis vaatleme veel kahte tüüpilised ülesanded, mida sageli leidub kontrolltööd Kõrval kõrgem matemaatika. Materjali edukaks valdamiseks on vaja osata leida tuletisi vähemalt keskmisel tasemel. Saate õppida tuletisinstrumentide leidmist praktiliselt nullist kahes põhitunnis ja Kompleksfunktsiooni tuletis. Kui eristamisoskusega on kõik korras, siis las käia.

Kaudselt defineeritud funktsiooni tuletis

Või lühidalt kaudse funktsiooni tuletis. Mis on kaudne funktsioon? Tuletagem kõigepealt meelde ühe muutuja funktsiooni määratlust:

Ühe muutuja funktsioon on reegel, et iga sõltumatu muutuja väärtus vastab funktsiooni ühele ja ainult ühele väärtusele.

Muutujat nimetatakse sõltumatu muutuja või argument.
Muutujat nimetatakse sõltuv muutuja või funktsiooni .

Siiani oleme arvestanud funktsioonidega, mis on määratletud selgesõnaline vormi. Mida see tähendab? Korraldame arutelu konkreetsete näidete kohta.

Mõelge funktsioonile

Näeme, et vasakul on meil üksik "y" ja paremal - ainult x-id. See tähendab, funktsioon selgesõnaliselt väljendatuna sõltumatu muutuja kaudu .

Vaatleme veel ühte funktsiooni:

Siin on muutujad ja "segatud". Ja kuidagi võimatu väljendage "Y" ainult "X" kaudu. Mis need meetodid on? Mõistete ülekandmine osast osasse koos märgi muutmisega, sulud, visketegurid vastavalt proportsioonireeglile jne. Kirjutage võrdsus ümber ja proovige "y" selgesõnaliselt väljendada:. Võid võrrandit tunde väänata, aga see ei õnnestu.

Lubage mul tutvustada: - näidet kaudne funktsioon.

Matemaatilise analüüsi käigus tõestati, et kaudne funktsioon on olemas(kuid mitte alati) on sellel graafik (nagu "tavalisel" funktsioonil). See kehtib ka kaudse funktsiooni kohta. on olemas esimene tuletis, teine ​​tuletis jne. Nagu öeldakse, austatakse kõiki seksuaalvähemuste õigusi.

Ja selles õppetükis õpime, kuidas leida kaudselt antud funktsiooni tuletist. See pole nii raske! Kõik diferentseerimisreeglid, tuletiste tabel elementaarsed funktsioonid jäävad kehtima. Erinevus on ühes omapärases punktis, mida me praegu kaalume.

Jah, ja ma ütlen teile hea uudise - allpool käsitletavad ülesanded täidetakse üsna jäiga ja selge algoritmi järgi, ilma kivita kolme raja ees.

Näide 1

1) Esimeses etapis riputame mõlemale osale löögid:

2) Kasutame tuletise lineaarsuse reegleid (tunni kaks esimest reeglit Kuidas tuletist leida? Lahendusnäited):

3) Otsene eristamine.
Kuidas eristada ja täiesti arusaadav. Mida teha seal, kus löökide all on “mängud”?

- lihtsalt häbiks, funktsiooni tuletis on võrdne selle tuletisega: .

Kuidas eristada
Siin meil on keeruline funktsioon. Miks? Tundub, et siinuse all on ainult üks täht "Y". Kuid fakt on see, et ainult üks täht "y" - ON ISE FUNKTSIOON(vt definitsiooni tunni alguses). Nii et siinus on välimine funktsioon, – sisemine funktsioon. Kasutame kompleksfunktsiooni diferentseerimise reeglit :

Toode on tavapärase reegli järgi eristatav :

Pange tähele, et see on ka keeruline funktsioon, iga "keeratav mänguasi" on keeruline funktsioon:

Lahenduse enda disain peaks välja nägema umbes selline:


Kui sulgudes on, avage need:

4) Vasakusse serva kogume terminid, milles on kriipsuga “y”. IN parem pool- edastame kõik muu:

5) Vasakul küljel võtame sulgudest tuletise välja:

6) Ja vastavalt proportsioonireeglile kukutame need sulud parema külje nimetajasse:

Tuletis on leitud. Valmis.

Huvitav on märkida, et iga funktsiooni saab kaudselt ümber kirjutada. Näiteks funktsioon saab ümber kirjutada nii: . Ja eristage seda äsja vaadeldud algoritmi järgi. Tegelikult erinevad fraasid "kaudne funktsioon" ja "implitsiitne funktsioon" ühe semantilise nüansi poolest. Väljend "kaudselt määratletud funktsioon" on üldisem ja õigem, - see funktsioon on antud kaudselt, kuid siin saate väljendada "y" ja esitada funktsiooni eksplitsiitselt. Väljend "kaudne funktsioon" tähendab "klassikalist" kaudset funktsiooni, kui "y"-d ei saa väljendada.

Teine lahendus

Tähelepanu! Teise meetodiga saate tutvuda ainult siis, kui teate, kuidas enesekindlalt leida osatuletised. Calculus algajad ja mannekeenid palun ära loe ja jäta see lõik vahele, muidu läheb pea täitsa sassi.

Leidke kaudse funktsiooni tuletis teisel viisil.

Anname kõik tingimused üle vasak pool:

Ja kaaluge kahe muutuja funktsiooni:

Siis saab meie tuletise leida valemiga
Leiame osatuletised:

Seega:

Teine lahendus võimaldab teil kontrollida. Kuid pole soovitav koostada talle ülesande lõplikku versiooni, kuna osatuletisi omandatakse hiljem ja teemat “Ühe muutuja funktsiooni tuletis” õppiv õpilane ei peaks osatuletisi teadma.

Vaatame veel paar näidet.

Näide 2

Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis

Me riputame löögid mõlemale osale:

Kasutame lineaarsuse reegleid:

Tuletisinstrumentide leidmine:

Kõigi sulgude laiendamine:

Me kanname kõik terminid vasakule küljele, ülejäänud - paremale küljele:

Lõplik vastus:

Näide 3

Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis

Täislahendus ja kujundusnäidis tunni lõpus.

Pole harvad juhud, kui pärast diferentseerumist tekivad fraktsioonid. Sellistel juhtudel tuleb fraktsioonid ära visata. Vaatame veel kahte näidet.

Näide 4

Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis

Lõpetame mõlemad osad tõmmetega ja kasutame lineaarsusreeglit:

Diferentseerime kasutades kompleksfunktsiooni diferentseerimisreeglit ja jagatise diferentseerimise reegel :

Sulgude laiendamine:

Nüüd peame murdosast lahti saama. Seda saab teha hiljem, kuid ratsionaalsem on seda teha kohe. Murru nimetaja on . Korrutada peal . Üksikasjalikult näeb see välja järgmine:

Mõnikord pärast diferentseerumist ilmub 2-3 fraktsiooni. Kui meil oleks näiteks üks murdosa rohkem, siis tuleks toimingut korrata – korrutada iga osa iga termin peal

Vasakul küljel paneme selle sulgudest välja:

Lõplik vastus:

Näide 5

Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis

See on tee-seda-ise näide. Ainus asi selles, enne murdosast vabanemist peate kõigepealt vabanema murdosa enda kolmekorruselisest struktuurist. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Parameetriliselt määratletud funktsiooni tuletis

Ärge pingutage, ka selles lõigus on kõik üsna lihtne. Parameetriliselt etteantud funktsiooni üldvalemi saab kirja panna, aga selle arusaadavuse huvides panen kohe kirja konkreetse näite. Parameetrilisel kujul on funktsioon antud kahe võrrandiga: . Sageli ei kirjutata võrrandeid mitte lokkis sulgude alla, vaid järjestikku:,.

Muutujat nimetatakse parameetriks ja võib võtta väärtusi "miinus lõpmatusest" kuni "pluss lõpmatuseni". Mõelge näiteks väärtusele ja asendage see mõlema võrrandiga: . Või inimlikult: "kui x on võrdne neljaga, siis y on võrdne ühega." Saate märkida punkti koordinaattasandil ja see punkt vastab parameetri väärtusele. Samamoodi võite leida punkti parameetri "te" mis tahes väärtuse jaoks. Mis puutub "tavalisse" funktsiooni, siis parameetriliselt antud funktsiooni Ameerika indiaanlastel on samuti kõik õigused austatud: saab joonistada graafikut, leida tuletisi jne. Muide, kui on vaja koostada parameetriliselt antud funktsioonist graafik, võid kasutada minu programmi.

Lihtsamatel juhtudel on võimalik funktsiooni eksplitsiitselt esitada. Avaldame parameetri esimesest võrrandist: ja asendage see teise võrrandiga: . Tulemuseks on tavaline kuupfunktsioon.

"Raskematel" juhtudel selline nipp ei tööta. Kuid sellel pole tähtsust, sest parameetrilise funktsiooni tuletise leidmiseks on olemas valem:

Leiame tuletise "mängija muutuja te suhtes":

Kõik diferentseerimisreeglid ja tuletiste tabel kehtivad loomulikult tähe jaoks, seega tuletiste leidmise protsessis pole uudsust. Lihtsalt asenda vaimselt kõik tabelis olevad "x" tähega "te".

Leiame "x" tuletise muutuja te suhtes:

Nüüd jääb üle vaid leitud tuletised meie valemiga asendada:

Valmis. Tuletis, nagu funktsioon ise, sõltub samuti parameetrist .

Mis puutub märgetesse, siis valemis kirjutamise asemel võiks selle lihtsalt kirjutada ilma alaindeksita, kuna see on “tavaline” tuletis “x-ga”. Aga kirjanduses on alati mingi variant, nii et standardist ma kõrvale ei kaldu.

Näide 6

Me kasutame valemit

Sel juhul:

Seega:

Parameetrilise funktsiooni tuletise leidmise tunnuseks on asjaolu, et igal etapil on kasulik tulemust nii palju kui võimalik lihtsustada. Nii et vaadeldavas näites avasin leidmisel juure all olevad sulgud (kuigi ma poleks seda võib-olla teinud). On suur võimalus, et asendamisel ja valemisse sisenemisel vähenevad paljud asjad hästi. Kuigi kohmakate vastustega näiteid on muidugi ka.

Näide 7

Leia parameetriliselt antud funktsiooni tuletis

See on tee-seda-ise näide.

Artiklis Lihtsamad tüüpilised ülesanded tuletisega käsitlesime näiteid, milles oli vaja leida funktsiooni teine ​​tuletis. Parameetriliselt antud funktsiooni jaoks võib leida ka teise tuletise ja see leitakse järgmise valemiga: . On üsna ilmne, et teise tuletise leidmiseks tuleb esmalt leida esimene tuletis.

Näide 8

Leia parameetriliselt antud funktsiooni esimene ja teine ​​tuletis

Leiame kõigepealt esimese tuletise.
Me kasutame valemit

Sel juhul:

Asendame leitud tuletised valemiga. Lihtsuse huvides kasutame trigonomeetrilist valemit: