Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon võrgus. §7

Tõenäosusteoorias tuleb tegeleda juhuslike muutujatega, mille kõiki väärtusi ei saa välja sorteerida. Näiteks on võimatu võtta ja "sortida" kõiki juhusliku suuruse $X$ väärtusi - kellaaega, kuna aega saab mõõta tundides, minutites, sekundites, millisekundites jne. Saate määrata ainult teatud intervalli, mille sees juhusliku suuruse väärtused asuvad.

Pidev juhuslik muutuja on juhuslik muutuja, mille väärtused täidavad täielikult teatud intervalli.

Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon

Kuna pideva juhusliku suuruse kõiki väärtusi ei ole võimalik sorteerida, saab seda määrata jaotusfunktsiooni abil.

jaotusfunktsioon juhuslik muutuja $X$ on funktsioon $F\left(x\right)$, mis määrab tõenäosuse, et juhusliku muutuja $X$ väärtus on väiksem kui mingi fikseeritud väärtus $x$, st $F\left(x\ parem)$ )=P\vasak(X< x\right)$.

Jaotusfunktsiooni omadused:

1 . $0\le F\left(x\right)\le 1$.

2 . Tõenäosus, et juhuslik muutuja $X$ võtab väärtused vahemikust $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ on võrdne jaotusfunktsiooni väärtuste erinevusega selle intervalli lõpus : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ – mittekahanev.

4 . $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Näide 1
0,\ x\le 0\\
x,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(maatriks)\right.$. Tõenäosuse, et juhuslik muutuja $X$ langeb intervalli $\left(0.3;0.7\right)$, võib leida jaotusfunktsiooni $F\left(x\right)$ väärtuste erinevusest selle intervalli lõpud, st:

$$P\left(0,3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Tõenäosuse tihedus

Funktsiooni $f\left(x\right)=(F)"(x)$ nimetatakse tõenäosusjaotuse tiheduseks, see tähendab, et see on esimest järku tuletis, mis on võetud jaotusfunktsioonist $F\left(x\right) $ ise.

Funktsiooni $f\left(x\right)$ omadused.

1 . $f\left(x\right)\ge 0$.

2 . $\int^x_(-\infty )(f\left(t\right)dt)=F\left(x\right)$.

3 . Tõenäosus, et juhuslik muutuja $X$ võtab väärtused vahemikust $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ on $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right))=1$.

Näide 2 . Pideva juhusliku muutuja $X$ annab järgmine jaotusfunktsioon $F(x)=\left\(\begin(maatriks)
0,\ x\le 0\\
x,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(maatriks)\right.$. Siis tihedusfunktsioon $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(maatriks)
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\x>1
\end(maatriks)\right.$

Pideva juhusliku suuruse matemaatiline ootus

Pideva juhusliku suuruse $X$ matemaatiline ootus arvutatakse valemiga

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)dx).$$

Näide 3 . Leidke näitest $2$ juhusliku muutuja $X$ jaoks $M\left(X\right)$.

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\üle (2))\bigg|_0^1=((1)\üle (2)).$$

Pideva juhusliku suuruse dispersioon

Pideva juhusliku suuruse $X$ dispersioon arvutatakse valemiga

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2.$$

Näide 4 . Leiame näitest $2$ juhusliku muutuja $X$ jaoks väärtuse $D\left(X\right)$.

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\left(((1)\üle (2))\parem))^2=((x^3)\üle (3))\bigg|_0^1-( (1)\üle (4))=((1)\üle (3))-((1)\üle (4))=((1)\üle (12)).$$

Juhuslik muutuja nimetatakse muutujat, mis iga testi tulemusena omandab ühe senitundmatu väärtuse, olenevalt juhuslikest põhjustest. Juhuslikud muutujad on tähistatud suurte ladina tähtedega: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Juhuslikud muutujad võivad nende tüübi järgi olla diskreetne ja pidev.

Diskreetne juhuslik suurus- see on selline juhuslik suurus, mille väärtused ei saa olla rohkem kui loendatavad, st kas lõplikud või loendatavad. Loendatavus tähendab, et juhusliku suuruse väärtusi saab loendada.

Näide 1 . Toome näiteid diskreetsete juhuslike muutujate kohta:

a) tabamuste arv sihtmärgile $n$ lasuga, siin on võimalikud väärtused $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) mündi viskamisel välja kukkunud vappide arv, siin on võimalikud väärtused $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) pardale saabunud laevade arv (loendatav väärtuste kogum).

d) keskjaama saabunud kõnede arv (loendatav väärtuste kogum).

1. Diskreetse juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse seadus.

Diskreetne juhuslik muutuja $X$ võib võtta väärtused $x_1,\dots ,\ x_n$ tõenäosustega $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Nende väärtuste ja nende tõenäosuste vahelist vastavust nimetatakse diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadus. Reeglina määratakse see vastavus tabeli abil, mille esimesel real on näidatud väärtused $x_1,\dots ,\ x_n$ ja teisel real on nendele väärtustele vastavad tõenäosused $ p_1,\punktid ,\ p_n$.

$\begin(massiivi)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(massiiv)$

Näide 2 . Olgu juhuslik suurus $X$ täringu viskamisel veeretud punktide arv. Selline juhuslik muutuja $X$ võib võtta järgmisi väärtusi: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Kõigi nende väärtuste tõenäosus on võrdne $ 1/6 $. Seejärel juhusliku muutuja $X$ tõenäosusjaotuse seadus:

$\begin(massiivi)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(massiiv)$

Kommenteeri. Kuna sündmused $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ moodustavad diskreetse juhusliku muutuja $X$ jaotusseaduses tervikliku sündmuste rühma, peab tõenäosuste summa olema võrdne ühega, st $\sum( p_i)=1$.

2. Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus.

Juhusliku suuruse matemaatiline ootus määrab selle "keskse" väärtuse. Diskreetse juhusliku suuruse puhul arvutatakse matemaatiline ootus väärtuste $x_1,\dots ,\ x_n$ ja nendele väärtustele vastavate tõenäosuste $p_1,\dots ,\ p_n$ korrutiste summana, st: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Ingliskeelses kirjanduses kasutatakse teist tähistust $E\left(X\right)$.

Ootuste omadused$M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ on juhusliku muutuja $X$ väikseima ja suurima väärtuse vahel.
2. Konstandi matemaatiline ootus on võrdne konstandi endaga, s.t. $M\left(C\right)=C$.
3. Ootusmärgist saab konstantse teguri välja võtta: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Juhuslike suuruste summa matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste summaga: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Sõltumatute juhuslike muutujate korrutise matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Näide 3 . Leiame näitest $2$ juhusliku suuruse $X$ matemaatilise ootuse.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\üle (6))+2\cdot ((1)\üle (6) )+3\cpunkt ((1)\üle (6))+4\cpunkt ((1)\üle (6))+5\cpunkt ((1)\üle (6))+6\cpunkt ((1) )\üle (6))=3,5.$$

Märkame, et $M\left(X\right)$ on juhusliku muutuja $X$ väikseima ($1$) ja suurima ($6$) väärtuse vahel.

Näide 4 . On teada, et juhusliku suuruse $X$ matemaatiline ootus on võrdne $M\left(X\right)=2$. Leidke juhusliku suuruse $3X+5$ matemaatiline ootus.

Kasutades ülaltoodud omadusi, saame $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5 = 11 $.

Näide 5 . On teada, et juhusliku suuruse $X$ matemaatiline ootus on võrdne $M\left(X\right)=4$. Leidke juhusliku suuruse $2X-9$ matemaatiline ootus.

Kasutades ülaltoodud omadusi, saame $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Diskreetse juhusliku suuruse dispersioon.

Võrdsete matemaatiliste ootustega juhuslike suuruste võimalikud väärtused võivad nende keskmiste väärtuste ümber hajuda erinevalt. Näiteks kahes õpilaste rühmas osutus tõenäosusteooria eksami keskmiseks hindeks 4, kuid ühes grupis osutusid kõik tublideks õpilasteks ja teises rühmas - ainult C-õpilased ja suurepärased õpilased. Seetõttu on vajadus sellise juhusliku suuruse arvulise karakteristiku järele, mis näitaks juhusliku suuruse väärtuste levikut selle matemaatilise ootuse ümber. See omadus on dispersioon.

Diskreetse juhusliku suuruse dispersioon$X$ on:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Ingliskeelses kirjanduses kasutatakse tähistust $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Väga sageli arvutatakse dispersioon $D\left(X\right)$ valemiga $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) vasak(X \parem)\parem))^2$.

Dispersiooniomadused$D\left(X\right)$:

1. Dispersioon on alati suurem või võrdne nulliga, s.t. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Dispersioon konstandist on võrdne nulliga, s.o. $D\left(C\right)=0$.
3. Konstantteguri saab dispersioonimärgist välja võtta eeldusel, et see on ruudus, s.t. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Sõltumatute juhuslike suuruste summa dispersioon on võrdne nende dispersioonide summaga, s.o. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Sõltumatute juhuslike suuruste erinevuse dispersioon on võrdne nende dispersioonide summaga, s.o. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Näide 6 . Arvutame juhusliku suuruse $X$ dispersiooni näitest $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\vasak(1-3,5\parem))^2+((1)\üle (6))\cdot (\vasak(2-3,5\parem))^2+ \punktid +((1)\üle (6))\cdot (\vasak(6-3,5\parem))^2=((35)\üle (12))\umbes 2.92.$$

Näide 7 . On teada, et juhusliku suuruse $X$ dispersioon on võrdne $D\left(X\right)=2$. Leidke juhusliku suuruse dispersioon $4X+1$.

Kasutades ülaltoodud omadusi, leiame $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ vasak(X\parem)=16\cdot 2=32$.

Näide 8 . On teada, et $X$ dispersioon on võrdne $D\left(X\right)=3$. Leidke juhusliku suuruse dispersioon $3-2X$.

Kasutades ülaltoodud omadusi, leiame $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ vasak(X\parem)=4\cdot 3=12$.

4. Diskreetse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon.

Diskreetse juhusliku suuruse jaotusreana kujul esitamise meetod ei ole ainus ja mis kõige tähtsam, see pole universaalne, kuna pidevat juhuslikku muutujat ei saa jaotusrea abil täpsustada. Juhusliku muutuja esitamiseks on veel üks viis – jaotusfunktsioon.

jaotusfunktsioon juhuslik muutuja $X$ on funktsioon $F\left(x\right)$, mis määrab tõenäosuse, et juhusliku muutuja $X$ väärtus on väiksem kui mingi fikseeritud väärtus $x$, st $F\left(x\ parem)$ )=P\vasak(X< x\right)$

Jaotusfunktsiooni omadused:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Tõenäosus, et juhuslik muutuja $X$ võtab väärtused vahemikust $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ on võrdne jaotusfunktsiooni väärtuste erinevusega selle intervalli lõpus : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ – mittekahanev.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Näide 9 . Leiame näitest $2$ diskreetse juhusliku muutuja $X$ jaotusseaduse jaotusfunktsiooni $F\left(x\right)$.

$\begin(massiivi)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(massiiv)$

Kui $x\le 1$, siis ilmselt $F\left(x\right)=0$ (sh $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Kui 1 dollar< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Kui 2 dollarit< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Kui 3 dollarit< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Kui 4 dollarit< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Kui 5 dollarit< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Kui $x > 6 $, siis $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\vasak(X=4\parem)+P\vasak(X=5\parem)+P\vasak(X=6\parem)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Seega $F(x)=\left\(\begin(maatriks)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, kell \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, kell \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ kell \ 4< x\le 5,\\
1,\ \ x > 6 jaoks.
\end(maatriks)\right.$

JUHUSLIKUD VÄÄRTUSED

Näide 2.1. Juhuslik väärtus X annab jaotusfunktsioon

Leidke tõenäosus, et testi tulemusena X võtab väärtused vahemikus (2,5; 3,6).

Lahendus: X intervallis (2,5; 3,6) saab määrata kahel viisil:

Näide 2.2. Millistel parameetrite väärtustel AGA ja AT funktsiooni F(x) = A + Be - x võib olla juhusliku muutuja mittenegatiivsete väärtuste jaotusfunktsioon X.

Lahendus: Kuna kõik võimalikud juhusliku suuruse väärtused X kuuluvad intervalli , siis selleks, et funktsioon oleks jaotusfunktsioon jaoks X, peaks vara kuuluma:

.

Vastus: .

Näide 2.3. Juhusliku suuruse X annab jaotusfunktsioon

Leidke tõenäosus, et nelja sõltumatu katse tulemusena saavutatakse väärtus X täpselt 3 korda võtab intervallile kuuluva väärtuse (0,25; 0,75).

Lahendus: Väärtuse tabamise tõenäosus X intervallis (0,25; 0,75) leiame valemiga:

Näide 2.4. Tõenäosus, et pall ühel viskel korvi tabab, on 0,3. Koostage tabamuste arvu jaotumise seadus kolmel viskel.

Lahendus: Juhuslik väärtus X- tabamuste arv korvis kolme viskega - võib võtta väärtused: 0, 1, 2, 3. Tõenäosused, et X

X:

Näide 2.5. Kaks laskurit sooritavad ühe lasu märklauda. Esimese laskuri tabamise tõenäosus on 0,5, teise - 0,4. Kirjutage üles sihtmärgi tabamuste arvu jaotuse seadus.

Lahendus: Leia diskreetse juhusliku suuruse jaotuse seadus X- sihtmärgi tabamuste arv. Olgu sündmuseks tabamus sihtmärgile esimese laskuri poolt ja - teise laskuri tabamus ja - vastavalt nende möödalaskmised.

Koostame SV tõenäosusjaotuse seaduse X:

Näide 2.6. Testitud on 3 elementi, mis töötavad üksteisest sõltumatult. Elementide rikkevaba töö ajal (tundides) on jaotustiheduse funktsioonid: esimene: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, teiseks: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, kolmandaks: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Leidke tõenäosus, et ajavahemikus 0 kuni 5 tundi: ainult üks element ebaõnnestub; ainult kaks elementi ebaõnnestuvad; kõik kolm elementi ebaõnnestuvad.

Lahendus: Kasutame tõenäosuste genereeriva funktsiooni definitsiooni:

Tõenäosus, et sõltumatutes katsetes, millest esimeses sündmuse toimumise tõenäosus AGA võrdub , teises jne sündmusega AGA ilmub täpselt üks kord, on võrdne genereeriva funktsiooni laienduskoefitsiendiga astmetes . Leiame vastavalt esimese, teise ja kolmanda elemendi ebaõnnestumise ja mittetõrke tõenäosused ajavahemikus 0 kuni 5 tundi:

Loome genereeriva funktsiooni:

Koefitsient at on võrdne tõenäosusega, et sündmus AGA ilmub täpselt kolm korda, see tähendab kõigi kolme elemendi ebaõnnestumise tõenäosust; koefitsient at on võrdne tõenäosusega, et täpselt kaks elementi ebaõnnestuvad; koefitsient at on võrdne tõenäosusega, et ainult üks element ebaõnnestub.

Näide 2.7. Arvestades tõenäosustihedust f(x) juhuslik suurus X:

Leidke jaotusfunktsioon F(x).

Lahendus: Kasutame valemit:

.

Seega on jaotusfunktsioonil vorm:

Näide 2.8. Seade koosneb kolmest iseseisvalt töötavast elemendist. Iga elemendi ebaõnnestumise tõenäosus ühes katses on 0,1. Koostage ühes katses ebaõnnestunud elementide arvu jaotusseadus.

Lahendus: Juhuslik väärtus X- elementide arv, mis ühes katses ebaõnnestusid - võib võtta väärtused: 0, 1, 2, 3. Tõenäosused, et X võtab need väärtused, leiame Bernoulli valemiga:

Seega saame järgmise juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse seaduse X:

Näide 2.9. Seal on 4 standardosa 6 osast. Juhuslikult valiti välja 3 eset. Koostage standardosade arvu jaotumise seadus valitud osade vahel.

Lahendus: Juhuslik väärtus X- standardosade arv valitud osade hulgas - võib võtta väärtusi: 1, 2, 3 ja sellel on hüpergeomeetriline jaotus. Tõenäosused, et X

kus -- osade arv partiis;

-- standardosade arv partiis;

– valitud osade arv;

-- standardosade arv valitud hulgas.

.

.

.

Näide 2.10. Juhuslikul suurusel on jaotustihedus

kus ja ei ole teada, kuid , a ja . Otsige üles ja.

Lahendus: Sel juhul juhuslik suurus X on kolmnurkjaotus (Simpsoni jaotus) vahemikus [ a, b]. Numbrilised omadused X:

Järelikult . Selle süsteemi lahendamisel saame kaks väärtuste paari: . Kuna vastavalt probleemi seisukorrale on meil lõpuks: .

Vastus: .

Näide 2.11. Keskmiselt 10% lepingute puhul maksab kindlustusselts kindlustussummasid seoses kindlustusjuhtumi toimumisega. Arvutage selliste lepingute arvu matemaatiline ootus ja dispersioon nelja juhuslikult valitud lepingu vahel.

Lahendus: Matemaatilise ootuse ja dispersiooni saab leida valemite abil:

.

SV võimalikud väärtused (lepingute arv (neljast) kindlustusjuhtumi toimumisega): 0, 1, 2, 3, 4.

Arvutame Bernoulli valemi abil erineva arvu lepingute (neljast) tõenäosuse, mille eest kindlustussummad maksti:

.

CV jaotusseeria (kindlustusjuhtumi toimumisega lepingute arv) on kujul:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Vastus: ,.

Näide 2.12. Viiest roosist kaks on valged. Kirjutage juhusliku suuruse jaotusseadus, mis väljendab valgete rooside arvu kahe samaaegselt võetud roosi hulgas.

Lahendus: Kahest roosist koosnevas proovis ei pruugi valget roosi olla või võib olla üks või kaks valget roosi. Seetõttu juhuslik muutuja X võib võtta väärtusi: 0, 1, 2. Tõenäosused, et X võtab need väärtused, leiame valemiga:

kus -- rooside arv;

-- valgete rooside arv;

– samaaegselt võetud rooside arv;

-- valgete rooside arv võetud rooside hulgas.

.

.

.

Siis on juhusliku suuruse jaotuse seadus järgmine:

Näide 2.13. 15 kokkupandud seadme hulgast vajavad 6 täiendavat määrimist. Koostage lisamäärimist vajavate ühikute arvu jaotusseadus viie juhuslikult valitud ühiku hulgast.

Lahendus: Juhuslik väärtus X- täiendavat määrimist vajavate ühikute arv viie valitud hulgast - võib võtta väärtusi: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ja sellel on hüpergeomeetriline jaotus. Tõenäosused, et X võtab need väärtused, leiame valemiga:

kus -- kokkupandud üksuste arv;

-- täiendavat määrimist vajavate üksuste arv;

– valitud agregaatide arv;

-- täiendavat määrimist vajavate ühikute arv valitud hulgast.

.

.

.

.

.

.

Siis on juhusliku suuruse jaotuse seadus järgmine:

Näide 2.14. Remondi saabunud 10-st kellast 7 vajavad mehhanismi üldist puhastust. Kellasid ei sorteerita remondi tüübi järgi. Meister, soovides leida puhastamist vajavat käekella, uurib neid ükshaaval ja olles sellise kella leidnud, lõpetab edasise vaatamise. Leidke vaadatud tundide arvu matemaatiline ootus ja dispersioon.

Lahendus: Juhuslik väärtus X- täiendavat määrimist vajavate seadmete arv viie valitud hulgast - võib võtta järgmisi väärtusi: 1, 2, 3, 4. Tõenäosused, et X võtab need väärtused, leiame valemiga:

.

.

.

.

Siis on juhusliku suuruse jaotuse seadus järgmine:

Nüüd arvutame koguse numbrilised omadused:

Vastus: ,.

Näide 2.15. Tellija on unustanud vajaliku telefoninumbri viimase numbri, kuid mäletab, et see on paaritu. Leidke enne soovitud numbri tabamist tehtud valimiste arvu matemaatiline ootus ja dispersioon, kui ta valib viimase numbri juhuslikult ega vali edaspidi valitud numbrit.

Lahendus: Juhuslik muutuja võib võtta järgmisi väärtusi: . Kuna abonent ei vali tulevikus valitud numbrit, on nende väärtuste tõenäosused võrdsed.

Koostame juhusliku suuruse jaotusseeria:

	0,2

Arvutame välja valimiskatsete arvu matemaatilise ootuse ja dispersiooni:

Vastus: ,.

Näide 2.16. Rikke tõenäosus töökindlustestide ajal iga seeria seadme puhul on võrdne lk. Määrake testimise korral ebaõnnestunud seadmete arvu matemaatiline ootus N seadmed.

Lahendus: Diskreetne juhuslik muutuja X on rikkis olevate seadmete arv N sõltumatud testid, millest igaühe ebaõnnestumise tõenäosus on võrdne p, jagatud binoomseaduse järgi. Binoomjaotuse matemaatiline ootus on võrdne katsete arvu ja sündmuse toimumise tõenäosuse korrutisega ühes katses:

Näide 2.17. Diskreetne juhuslik suurus X võtab 3 võimalikku väärtust: tõenäosusega ; tõenäosusega ja tõenäosusega . Leidke ja teades, et M( X) = 8.

Lahendus: Kasutame matemaatilise ootuse määratlusi ja diskreetse juhusliku suuruse jaotuse seadust:

Leiame:.

Näide 2.18. Tehnilise kontrolli osakond kontrollib toodete standardsust. Tõenäosus, et toode on standardne, on 0,9. Iga partii sisaldab 5 eset. Leidke juhusliku suuruse matemaatiline ootus X- partiide arv, millest igaüks sisaldab täpselt 4 standardtoodet, kui kontrollitakse 50 partiid.

Lahendus: Sel juhul on kõik läbiviidud katsed sõltumatud ja tõenäosus, et iga partii sisaldab täpselt 4 standardtoodet, on sama, seetõttu saab matemaatilise ootuse määrata valemiga:

,

kus on osapoolte arv;

Tõenäosus, et partii sisaldab täpselt 4 standardartiklit.

Leiame tõenäosuse Bernoulli valemi abil:

Vastus: .

Näide 2.19. Leidke juhusliku suuruse dispersioon X– sündmuse esinemiste arv A kahes sõltumatus katses, kui sündmuse toimumise tõenäosus nendes katsetes on sama ja on teada, et M(X) = 0,9.

Lahendus: Probleemi saab lahendada kahel viisil.

1) Võimalikud CB väärtused X: 0, 1, 2. Bernoulli valemi abil määrame nende sündmuste tõenäosused:

, , .

Siis levitamise seadus X tundub, et:

Matemaatilise ootuse definitsiooni põhjal määrame tõenäosuse:

Leiame SW dispersiooni X:

.

2) Võite kasutada valemit:

.

Vastus: .

Näide 2.20. Normaaljaotusega juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja standardhälve X on vastavalt 20 ja 5. Leidke tõenäosus, et testi tulemusena X võtab intervallis (15; 25) sisalduva väärtuse.

Lahendus: Tavalise juhusliku muutuja tabamise tõenäosus X lõigul alates kuni väljendatakse Laplace'i funktsiooniga:

Näide 2.21. Antud funktsioon:

Millise parameetri väärtuse juures C see funktsioon on mingi pideva juhusliku suuruse jaotustihedus X? Leidke juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon X.

Lahendus: Selleks, et funktsioon oleks mõne juhusliku suuruse jaotustihedus, peab see olema mittenegatiivne ja rahuldama omadust:

.

Järelikult:

Arvutage matemaatiline ootus järgmise valemi abil:

.

Arvutage dispersioon järgmise valemi abil:

T on lk. On vaja leida selle juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon.

Lahendus: Diskreetse juhusliku suuruse X jaotusseadust - sündmuse esinemiste arvu sõltumatutes katsetes, milles igaühes sündmuse toimumise tõenäosus on , nimetatakse binoomseks. Binoomjaotuse matemaatiline ootus on võrdne katsete arvu ja sündmuse A esinemise tõenäosuse korrutisega ühes katses:

.

Näide 2.25. Sihtmärki tehakse kolm iseseisvat lasku. Iga löögi tabamise tõenäosus on 0,25. Määrake kolme löögiga tabamuste arvu standardhälve.

Lahendus: Kuna sooritatakse kolm sõltumatut katset ja sündmuse A (tabamus) esinemise tõenäosus igas katses on sama, siis eeldame, et diskreetne juhuslik suurus X – sihtmärgi tabamuste arv – jaotub binoomväärtuse järgi. seadus.

Binoomjaotuse dispersioon võrdub katsete arvu ja sündmuse toimumise ja mittetoimumise tõenäosuste korrutisega ühes katses:

Näide 2.26. Keskmine 10 minuti jooksul kindlustusseltsi külastavate klientide arv on kolm. Leidke tõenäosus, et järgmise 5 minuti jooksul saabub vähemalt üks klient.

Keskmine 5 minutiga saabuvate klientide arv: . .

Näide 2.29. Rakenduse ooteaeg protsessori järjekorras järgib eksponentsiaalset jaotusseadust, mille keskmine väärtus on 20 sekundit. Leia tõenäosus, et järgmine (suvaline) päring ootab protsessorit rohkem kui 35 sekundit.

Lahendus: Selles näites ootus ja ebaõnnestumiste määr on .

Siis on soovitud tõenäosus:

Näide 2.30. 15-liikmeline õpilasrühm peab koosolekut saalis, kus on 20 rida, millest igaühes on 10 istekohta. Iga õpilane võtab saalis istet juhuslikult. Kui suur on tõenäosus, et järjestikusel seitsmendal kohal ei ole rohkem kui kolm inimest?

Lahendus:

Näide 2.31.

Siis vastavalt tõenäosuse klassikalisele määratlusele:

kus -- osade arv partiis;

-- mittestandardsete osade arv partiis;

– valitud osade arv;

-- mittestandardsete osade arv valitud osade hulgas.

Siis on juhusliku suuruse jaotusseadus järgmine.

Juhuslik muutuja on muutuja, mis võib sõltuvalt erinevatest asjaoludest omandada teatud väärtused ja juhuslikku muutujat nimetatakse pidevaks , kui see võib võtta mis tahes väärtuse mõnest piiratud või piiramata intervallist. Pideva juhusliku muutuja puhul on võimatu näidata kõiki võimalikke väärtusi, seetõttu on tähistatud nende väärtuste intervallid, mis on seotud teatud tõenäosustega.

Pidevate juhuslike suuruste näited on: etteantud suurusele pööratud detaili läbimõõt, inimese kõrgus, mürsu ulatus jne.

Kuna pidevate juhuslike muutujate puhul on funktsioon F(x), Erinevalt diskreetsed juhuslikud muutujad, ei ole kuskil hüppeid, siis on pideva juhusliku suuruse mis tahes üksiku väärtuse tõenäosus võrdne nulliga.

See tähendab, et pideva juhusliku muutuja puhul pole mõtet rääkida tõenäosusjaotusest selle väärtuste vahel: igaühel neist on nulltõenäosus. Kuid teatud mõttes on pideva juhusliku muutuja väärtuste hulgas "rohkem ja vähem tõenäolisi". Näiteks on ebatõenäoline, et keegi kahtleks selles, et juhusliku suuruse väärtus - juhuslikult kohatud inimese pikkus - 170 cm - on tõenäolisem kui 220 cm, kuigi praktikas võib kohata üht ja teist väärtust.

Pideva juhusliku suuruse jaotuse funktsioon ja tõenäosustihedus

Jaotusseadusena, millel on mõte ainult pidevate juhuslike suuruste puhul, võetakse kasutusele jaotustiheduse ehk tõenäosustiheduse mõiste. Läheneme sellele, võrreldes jaotusfunktsiooni tähendust pideva juhusliku suuruse ja diskreetse juhusliku suuruse korral.

Niisiis, juhusliku suuruse (nii diskreetse kui pideva) jaotusfunktsioon või lahutamatu funktsioon nimetatakse funktsiooniks, mis määrab tõenäosuse, et juhusliku suuruse väärtus X väiksem või võrdne piirväärtusega X.

Diskreetse juhusliku muutuja jaoks selle väärtuste punktides x1 , x 2 , ..., x mina,... tõenäosuste kontsentreeritud massid lk1 , lk 2 , ..., lk mina,..., ja kõigi masside summa on võrdne 1-ga. Viime selle tõlgenduse üle pideva juhusliku suuruse puhul. Kujutage ette, et 1-ga võrdne mass ei koondu eraldi punktidesse, vaid seda "määrdub" pidevalt piki x-telge Ox teatud ebaühtlase tihedusega. Juhusliku muutuja tabamise tõenäosus mis tahes saidil Δ x tõlgendatakse sellele lõigule omistatava massina ja selle lõigu keskmist tihedust massi ja pikkuse suhtena. Oleme just tutvustanud tõenäosusteoorias olulist mõistet: jaotustihedus.

Tõenäosuse tihedus f(x) pideva juhusliku suuruse kohta on selle jaotusfunktsiooni tuletis:

.

Teades tihedusfunktsiooni, saame leida tõenäosuse, et pideva juhusliku suuruse väärtus kuulub suletud intervalli [ a; b]:

tõenäosus, et pidev juhuslik muutuja X võtab mis tahes väärtuse vahemikust [ a; b], on võrdne selle tõenäosustiheduse teatud integraaliga vahemikus alates a enne b:

.

Sel juhul funktsiooni üldvalem F(x) pideva juhusliku suuruse tõenäosusjaotus, mida saab kasutada, kui tihedusfunktsioon on teada f(x) :

.

Pideva juhusliku suuruse tõenäosustiheduse graafikut nimetatakse selle jaotuskõveraks (joonis allpool).

Joonise pindala (joonisel varjutatud), mis on piiratud kõveraga, punktidest tõmmatud sirged a ja b risti abstsissteljega ja teljega Oh, näitab graafiliselt tõenäosust, et pideva juhusliku muutuja väärtus X on vahemikus a enne b.

Pideva juhusliku suuruse tõenäosustihedusfunktsiooni omadused

1. Tõenäosus, et juhuslik suurus võtab intervallist (ja joonise pindalalt, mis on piiratud funktsiooni graafikuga) mis tahes väärtuse f(x) ja telg Oh) on võrdne ühega:

2. Tõenäosuse tiheduse funktsioon ei saa võtta negatiivseid väärtusi:

ja väljaspool jaotuse olemasolu on selle väärtus null

Jaotustihedus f(x), samuti jaotusfunktsioon F(x), on üks jaotusseaduse vorme, kuid erinevalt jaotusfunktsioonist ei ole see universaalne: jaotustihedus eksisteerib ainult pidevate juhuslike muutujate korral.

Nimetagem kahte praktikas kõige olulisemat pideva juhusliku suuruse jaotuse tüüpi.

Kui jaotustiheduse funktsioon f(x) pidev juhuslik suurus mingis lõplikus intervallis [ a; b] võtab konstantse väärtuse C, ja väljaspool intervalli saab väärtuse, mis on võrdne nulliga, siis see jaotust nimetatakse ühtlaseks .

Kui jaotustiheduse funktsiooni graafik on keskpunkti suhtes sümmeetriline, koonduvad keskmised väärtused keskpunkti lähedale ja tsentrist eemaldudes kogutakse keskmistest rohkem erinevaid (funktsiooni graafik meenutab lõiku kelluke), siis see jaotust nimetatakse normaalseks .

Näide 1 Pideva juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse funktsioon on teada:

Leidke funktsioon f(x) pideva juhusliku suuruse tõenäosustihedus. Joonistage mõlema funktsiooni graafikud. Leidke tõenäosus, et pidev juhuslik muutuja saab mis tahes väärtuse vahemikus 4 kuni 8: .

Lahendus. Tõenäosuse tihedusfunktsiooni saame, leides tõenäosusjaotuse funktsiooni tuletise:

Funktsioonigraafik F(x) – parabool:

Funktsioonigraafik f(x) - sirgjoon:

Leiame tõenäosuse, et pidev juhuslik muutuja saab mis tahes väärtuse vahemikus 4 kuni 8:

Näide 2 Pideva juhusliku suuruse tõenäosustiheduse funktsioon on esitatud järgmiselt:

Arvutage tegur C. Leidke funktsioon F(x) pideva juhusliku suuruse tõenäosusjaotus. Joonistage mõlema funktsiooni graafikud. Leidke tõenäosus, et pidev juhuslik muutuja saab mis tahes väärtuse vahemikus 0 kuni 5: .

Lahendus. Koefitsient C leiame tõenäosustiheduse funktsiooni omadust 1 kasutades:

Seega on pideva juhusliku suuruse tõenäosustiheduse funktsioon:

Integreerides leiame funktsiooni F(x) tõenäosusjaotused. Kui a x < 0 , то F(x) = 0. Kui 0< x < 10 , то

.

x> 10, siis F(x) = 1 .

Seega on tõenäosusjaotuse funktsiooni täielik kirje:

Funktsioonigraafik f(x) :

Funktsioonigraafik F(x) :

Leiame tõenäosuse, et pidev juhuslik muutuja saab mis tahes väärtuse vahemikus 0 kuni 5:

Näide 3 Pideva juhusliku suuruse tõenäosustihedus X on antud võrdsusega , samas kui . Leia koefitsient AGA, tõenäosus, et pidev juhuslik muutuja X võtab mingi väärtuse intervallist ]0, 5[, pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioonist X.

Lahendus. Tingimuse järgi jõuame võrdsuseni

Seega, kust . Niisiis,

.

Nüüd leiame tõenäosuse, et pidev juhuslik muutuja X võtab mis tahes väärtuse vahemikust ]0, 5[:

Nüüd saame selle juhusliku muutuja jaotusfunktsiooni:

Näide 4 Leidke pideva juhusliku suuruse tõenäosustihedus X, mis võtab ainult mittenegatiivseid väärtusi ja selle jaotusfunktsiooni .

Jaotustihedus tõenäosused X helistage funktsioonile f(x) on jaotusfunktsiooni esimene tuletis F(x):

Juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse tiheduse mõiste X diskreetse koguse jaoks ei kohaldata.

Tõenäosuse tihedus f(x) nimetatakse diferentsiaaljaotuse funktsiooniks:

Vara 1. Jaotustihedus on mittenegatiivne väärtus:

Vara 2. Jaotustiheduse vale integraal vahemikus kuni on võrdne ühega:

Näide 1.25. Arvestades pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni X:

f(x).

Lahendus: Jaotustihedus on võrdne jaotusfunktsiooni esimese tuletisega:

1. Arvestades pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni X:

Leidke jaotustihedus.

2. On antud pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon X:

Leidke jaotustihedus f(x).

1.3. Pideva juhuslikkuse arvkarakteristikud

kogused

Oodatud väärtus pidev juhuslik suurus X, mille võimalikud väärtused kuuluvad kogu teljele Oh, määratakse võrdsusega:

Eeldatakse, et integraal koondub absoluutselt.

a,b), siis:

f(x) on juhusliku suuruse jaotustihedus.

Dispersioon pidev juhuslik suurus X, mille võimalikud väärtused kuuluvad kogu teljele, määratakse võrdsusega:

Erijuhtum. Kui juhusliku suuruse väärtused kuuluvad intervalli ( a,b), siis:

Tõenäosus, et X võtab väärtusi, mis kuuluvad intervalli ( a,b), on määratletud võrdsusega:

.

Näide 1.26. Pidev juhuslik muutuja X

Leidke juhusliku suuruse matemaatiline ootus, dispersioon ja tõenäosus X intervallis (0; 0,7).

Lahendus: Juhuslik suurus jaotatakse intervalli (0,1) peale. Määratleme pideva juhusliku suuruse jaotustiheduse X:

a) Matemaatiline ootus :

b) Dispersioon

sisse)

Tööülesanded iseseisvaks tööks:

1. Juhuslik muutuja X annab jaotusfunktsioon:

M(x);

b) dispersioon D(x);

X intervalli (2,3).

2. Juhuslik muutuja X

Leia: a) matemaatiline ootus M(x);

b) dispersioon D(x);

c) määrab juhusliku suuruse tabamise tõenäosuse X intervallis (1; 1,5).

3. Juhuslik väärtus X on antud integraaljaotusfunktsiooniga:

Leia: a) matemaatiline ootus M(x);

b) dispersioon D(x);

c) määrab juhusliku suuruse tabamise tõenäosuse X intervallis.

1.4. Pideva juhusliku suuruse jaotuse seadused

1.4.1. Ühtlane jaotus

Pidev juhuslik muutuja X on ühtlane jaotus intervallil [ a,b], kui sellel segmendil on juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse tihedus konstantne ja väljaspool seda on võrdne nulliga, st:

Riis. neli.

; ; .

Näide 1.27. Mingi marsruudi buss liigub ühtlaselt 5-minutilise intervalliga. Leidke tõenäosus, et ühtlaselt jaotatud juhuslik suurus X– bussi ooteaeg jääb alla 3 minuti.

Lahendus: Juhuslik väärtus X- ühtlaselt jaotatud intervalli peale.

Tõenäosuse tihedus: .

Selleks, et ooteaeg ei ületaks 3 minutit, peab reisija jõudma bussipeatusse 2 kuni 5 minuti jooksul pärast eelmise bussi väljumist, s.o. juhuslik väärtus X peab jääma intervalli (2;5). See. soovitud tõenäosus:

Tööülesanded iseseisvaks tööks:

1. a) leida juhusliku suuruse matemaatiline ootus Xühtlaselt jaotunud intervallis (2; 8);

b) leida juhusliku suuruse dispersioon ja standardhälve X, jaotunud ühtlaselt intervallis (2;8).

2. Elektrikella minutiosuti hüppab iga minuti lõpus. Leia tõenäosus, et antud hetkel näitab kell kellaaega, mis erineb tegelikust mitte rohkem kui 20 sekundit.

1.4.2. Eksponentsiaalne (eksponentsiaalne) jaotus

Pidev juhuslik muutuja X on eksponentsiaalselt jaotunud, kui selle tõenäosustihedus on kujul:

kus on eksponentsiaaljaotuse parameeter.

Sellel viisil

Riis. 5.

Numbrilised omadused:

Näide 1.28. Juhuslik väärtus X- lambipirni tööaeg - on eksponentsiaalse jaotusega. Määrake tõenäosus, et lamp peab vastu vähemalt 600 tundi, kui lambi keskmine eluiga on 400 tundi.

Lahendus: Vastavalt ülesande tingimusele juhusliku suuruse matemaatiline ootus X võrdub 400 tunniga, seega:

;

Soovitud tõenäosus , kus

Lõpuks:

Tööülesanded iseseisvaks tööks:

1. Kirjutage eksponentsiaalseaduse tihedus- ja jaotusfunktsioon, kui parameeter .

2. Juhuslik muutuja X

Leidke suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon X.

3. Juhuslik väärtus X antud tõenäosusjaotuse funktsiooniga:

Leidke juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja standardhälve.

1.4.3. Normaaljaotus

normaalne nimetatakse pideva juhusliku suuruse tõenäosusjaotuseks X, mille tihedus on kujul:

kus a– matemaatiline ootus, – standardhälve X.

Tõenäosus, et X võtab intervallile kuuluva väärtuse:

, kus

on Laplace'i funktsioon.

Jaotus, millel on ; , st. tõenäosustihedusega nimetatakse standardiks.

Riis. 6.

Tõenäosus, et hälbe absoluutväärtus on väiksem kui positiivne arv:

.

Eelkõige siis, kui a= 0 võrdsus on tõsi:

Näide 1.29. Juhuslik väärtus X normaalselt jaotatud. Standardhälve. Leidke tõenäosus, et juhusliku suuruse kõrvalekalle tema matemaatilisest ootusest absoluutväärtuses on väiksem kui 0,3.

Lahendus: .

Tööülesanded iseseisvaks tööks:

1. Kirjutage juhusliku suuruse normaaljaotuse tõenäosustihedus X, teades seda M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Normaaljaotusega juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja standardhälve X on vastavalt 20 ja 5. Leidke tõenäosus, et testi tulemusena X võtab intervallis (15;20) sisalduva väärtuse.

3. Juhuslikud mõõtmisvead alluvad normaalseadusele standardhälbe mm ja matemaatilise ootusega a= 0. Leidke tõenäosus, et 3 sõltumatust mõõtmisest vähemalt ühe viga ei ületa absoluutväärtuses 4 mm.

4. Mõnda ainet kaalutakse ilma süstemaatiliste vigadeta. Juhuslikud kaalumisvead alluvad tavaseadusele standardhälbega r. Leidke tõenäosus, et kaalumine toimub veaga, mis absoluutväärtuses ei ületa 10 g.