Lase
(1)
on muutuja x diferentseeruv funktsioon. Esiteks käsitleme seda väärtuste komplektis x, mille jaoks y võtab positiivsed väärtused: . Järgnevalt näitame, et kõik saadud tulemused kehtivad ka negatiivsete väärtuste korral.

Mõnel juhul on funktsiooni (1) tuletise leidmiseks mugav seda eelnevalt logaritmida
,
ja seejärel arvutage tuletis. Seejärel, vastavalt keeruka funktsiooni diferentseerimise reeglile,
.
Siit
(2) .

Funktsiooni logaritmi tuletist nimetatakse logaritmiliseks tuletiseks:
.

Funktsiooni y = logaritmiline tuletis f(x) on selle funktsiooni naturaallogaritmi tuletis: (ln f(x))′.

Negatiivsete y väärtuste juhtum

Mõelge nüüd juhtumile, kui muutuja võib võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Sel juhul võtke mooduli logaritm ja leidke selle tuletis:
.
Siit
(3) .
See tähendab, sisse üldine juhtum, peate leidma funktsiooni mooduli logaritmi tuletise.

Võrreldes (2) ja (3) saame:
.
See tähendab, et logaritmilise tuletise arvutamise formaalne tulemus ei sõltu sellest, kas võtsime mooduli või mitte. Seetõttu ei pea me logaritmilise tuletise arvutamisel muretsema, mis märgiga funktsioonil on.

Seda olukorda saab selgitada kompleksarvude abil. Olgu mõne x väärtuse korral negatiivne: . Kui arvestada ainult reaalarve, siis on funktsioon määratlemata. Kui aga võtame arvesse kompleksarvusid, saame järgmise:
.
See tähendab, et funktsioonid ja erinevad komplekskonstandi poolest:
.
Kuna konstandi tuletis on null, siis
.

Logaritmilise tuletise omadus

Sellisest kaalutlusest järeldub, et logaritmiline tuletis ei muutu, kui korrutate funktsiooni suvalise konstandiga :
.
Tõepoolest, kasutades logaritmi omadused, valemid tuletissumma Ja konstandi tuletis, meil on:

.

Logaritmilise tuletise rakendamine

Logaritmilist tuletist on mugav kasutada juhtudel, kui algfunktsioon koosneb korrutisest astme või eksponentsiaalsed funktsioonid. Sel juhul muudab logaritmi tehe funktsioonide korrutise nende summaks. See lihtsustab tuletise arvutamist.

Näide 1

Leia funktsiooni tuletis:
.

Lahendus

Logaritme algse funktsiooni:
.

Diferentseerime muutuja x suhtes.
Tuletisinstrumentide tabelist leiame:
.
Rakendame keeruliste funktsioonide diferentseerimise reeglit.
;
;
;
;
(A1.1) .
Korruta:

.

Niisiis, leidsime logaritmilise tuletise:
.
Siit leiame algse funktsiooni tuletise:
.

Märge

Kui tahame kasutada ainult reaalarve, siis tuleks võtta algfunktsiooni mooduli logaritm:
.
Siis
;
.
Ja saime valemi (A1.1). Seetõttu pole tulemus muutunud.

Vastus

Näide 2

Kasutades logaritmilist tuletist, leia funktsiooni tuletis
.

Lahendus

Võtame logaritmid:
(A2.1) .
Eristage muutuja x suhtes:
;
;

;
;
;
.

Korruta:
.
Siit saame logaritmilise tuletise:
.

Algfunktsiooni tuletis:
.

Märge

Siin on algne funktsioon mittenegatiivne: . See on määratletud aadressil . Kui me ei eelda, et argumendi negatiivsete väärtuste jaoks saab defineerida logaritmi, tuleks valem (A2.1) kirjutada järgmiselt:
.
Kuna

Ja
,
see ei mõjuta lõpptulemust.

Vastus

Näide 3

Leia tuletis
.

Lahendus

Diferentseerimise teostame logaritmilise tuletise abil. Võtame logaritmi, võttes arvesse järgmist:
(A3.1) .

Diferentseerides saame logaritmilise tuletise.
;
;
;
(A3.2) .

Sellest ajast

.

Märge

Teeme arvutused ilma eelduseta, et argumendi negatiivsete väärtuste jaoks saab defineerida logaritmi. Selleks võtke algfunktsiooni mooduli logaritm:
.
Siis on meil (A3.1) asemel:
;

.
Võrreldes (A3.2) näeme, et tulemus ei ole muutunud.

Kui peame diferentseerima eksponentsiaalselt toitefunktsioon kujul y = (f (x)) g (x) või tülika avaldise teisendamiseks murdosadega, võite kasutada logaritmilist tuletist. Selle materjali osana toome mitu näidet selle valemi rakendamisest.

Selle teema mõistmiseks peate teadma, kuidas kasutada tuletiste tabelit, olema tuttav diferentseerimise põhireeglitega ja mõistma, mis on kompleksfunktsiooni tuletis.

Kuidas tuletada logaritmilise tuletise valem

Selle valemi saamiseks peate esmalt võtma logaritmi baasiks e ja seejärel lihtsustama saadud funktsiooni, rakendades logaritmi põhiomadusi. Pärast seda peate arvutama kaudselt määratud funktsiooni tuletise:

y = f (x) ln y = ln (f (x)) (ln y) " = (ln (f (x))) " 1 y y " = (ln (f (x))) " ⇒ y "= y (ln(f(x)))"

Näited valemi kasutamisest

Näitame näitega, kuidas seda tehakse.

Näide 1

Arvutage muutuja x eksponentsiaalse võimsusfunktsiooni tuletis x astmega.

Lahendus

Teostame logaritmeerimise määratud baasi kasutades ja saame ln y = ln x x. Võttes arvesse logaritmi omadusi, saab seda väljendada ln y = x · ln x. Nüüd eristame võrdsuse vasakut ja paremat poolt ning saame tulemuse:

ln y = x ln x ln y " = x ln x " 1 y y " = x " ln x + ln x " ⇒ y " = y 1 ln x + x 1 x = y (ln x + 1) = x x (ln x + 1)

Vastus: x x " = x x (ln x + 1)

Seda ülesannet saab lahendada muul viisil, ilma logaritmilise tuletiseta. Kõigepealt peame teisendama algse avaldise, et liikuda eksponentsiaalse võimsusfunktsiooni diferentseerimiselt keeruka funktsiooni tuletise arvutamisele, näiteks:

y = x x = e ln x x = e x · ln x ⇒ y " = (e x · ln x) " = e x · ln x · x · ln x " = x x · x " · ln x + x · (ln x) " = = x x · 1 · ln x + x · 1 x = x x · ln x + 1

Vaatleme veel üht probleemi.

Näide 2

Arvutage funktsiooni y = x 2 + 1 3 x 3 · sin x tuletis.

Lahendus

Algne funktsioon on esitatud murdarvuna, mis tähendab, et saame probleemi lahendada diferentseerimise abil. See funktsioon on aga üsna keeruline, mis tähendab, et vaja on palju teisendusi. Seega on parem kasutada siin logaritmilist tuletist y " = y ln (f (x))" . Selgitame, miks see arvutus on mugavam.

Alustame ln(f(x)) leidmisega. Edasiseks teisendamiseks vajame logaritmi järgmisi omadusi:

• murdosa logaritmi saab esitada logaritmide erinevusena;
• korrutise logaritmi saab esitada summana;
• kui logaritmi all oleval avaldisel on võimsus, saame selle koefitsiendina välja võtta.

Teisendame väljendit:

ln (f (x)) = ln (x 2 + 1) 1 3 x 3 sin x 1 2 = ln (x 2 + 1) 1 3 - ln (x 3 sin x) 1 2 = = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x

Selle tulemusena saime üsna lihtsa avaldise, mille tuletist on lihtne arvutada:

(ln (f (x))) " = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x " = = 1 3 ln (x 2 + 1) " - 3 2 ln x " - 1 2 ln sin x " = = 1 3 (ln (x 2 + 1)) " - 3 2 (ln x) " - 1 2 (ln sin x) " = = 1 3 1 x 2 + 1 x 2 + 1 "- 3 2 1 x - 1 2 1 sin x (sin x)" = = 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

Nüüd tuleb see, mis meil on, asendada logaritmilise tuletise valemiga.

Vastus: y " = y ln (f (x))" = x 2 + 1 3 x 3 sin x 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 sin x

Materjali tugevdamiseks uurige veel paari järgmist näidet. Siin esitatakse ainult arvutused minimaalse kommentaariga.

Näide 3

Antud eksponentsiaalne võimsusfunktsioon y = (x 2 + x + 1) x 3 . Arvutage selle tuletis.

Lahendus:

y " = y · (ln (f (x))) " = (x 2 + x + 1) x 3 · ln (x 2 + x + 1) x 3 " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 " ln (x 2 + x + 1) + x 3 ln (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 1 x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 2 x + 1 x 2 + x + 1 = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) ) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1

Vastus: y " = y · (ln (f (x))) " = (x 2 + x + 1) x 3 · 3 x 2 · ln (x 2 + x + 1) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x+1

Näide 4

Arvutage avaldise y = x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 tuletis.

Lahendus

Rakendame logaritmilise tuletise valemit.

y " = y · ln x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 " = = y · ln x 2 + 1 3 + ln x + 1 + ln x 3 + 1 4 - ln x 2 + 2 x + 2 " = = y 1 3 ln (x 2 + 1) + 1 2 ln x + 1 + 1 4 ln (x 3 + 1) - 1 2 ln (x 2 + 2 x + 2) " = = y · (x 2 + 1) " 3 (x 2 + 1) + x + 1 " 2 (x + 1) + (x 3 + 1) " 4 x 3 + 1 - x 2 + 2 x + 2 " 2 x 2 + 2 x + 2 = = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2)

Vastus:

y" = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) ) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2) .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Kas sulle tundub, et eksamini on veel palju aega? Kas see on kuu? Kaks? Aasta? Praktika näitab, et õpilane tuleb eksamiga kõige paremini toime, kui ta hakkab selleks eelnevalt valmistuma. Ühtsel riigieksamil on palju keerulisi ülesandeid, mis takistavad kooliõpilasi ja tulevasi kõrgeimate punktisummade saavutamist. Peate õppima neid takistusi ületama ja pealegi pole seda raske teha. Peate mõistma piletitest erinevate ülesannetega töötamise põhimõtet. Siis pole uutega probleeme.

Logaritmid tunduvad esmapilgul uskumatult keerulised, kuid üksikasjaliku analüüsiga muutub olukord palju lihtsamaks. Kui soovite sooritada ühtse riigieksami kõrgeima punktisummaga, peaksite mõistma kõnealust mõistet, mida me selles artiklis teha soovitame.

Esiteks eraldame need määratlused. Mis on logaritm (logaritm)? See on eksponent, mille saamiseks tuleb baasi tõsta määratud number. Kui see pole selge, vaatame elementaarset näidet.

Sel juhul tuleb numbri 4 saamiseks tõsta allosas olev alus teise astmeni.

Vaatame nüüd teist kontseptsiooni. Funktsiooni tuletis mis tahes kujul on mõiste, mis iseloomustab funktsiooni muutumist antud punktis. Siiski, see kooli programm, ja kui teil on nende mõistetega eraldi probleeme, tasub teemat korrata.

Logaritmi tuletis

IN Ühtse riigieksami ülesanded Selle teema kohta võib näidetena tuua mitmeid probleeme. Alustuseks lihtsaim logaritmiline tuletis. On vaja leida järgmise funktsiooni tuletis.

Peame leidma järgmise tuletise

On olemas spetsiaalne valem.

Sel juhul x=u, log3x=v. Asendame oma funktsiooni väärtused valemisse.

X tuletis on võrdne ühega. Logaritm on veidi keerulisem. Kuid põhimõttest saate aru, kui lihtsalt asendate väärtused. Tuletame meelde, et lg x tuletis on kümnendlogaritmi tuletis ja ln x tuletis on naturaallogaritmi tuletis (e alusel).

Nüüd lihtsalt ühendage saadud väärtused valemiga. Proovige ise, siis kontrollime vastust.

Mis võib siin mõne jaoks probleem olla? Võtsime kasutusele naturaallogaritmi mõiste. Räägime sellest ja mõtleme samal ajal välja, kuidas sellega probleeme lahendada. Te ei näe midagi keerulist, eriti kui mõistate selle toimimise põhimõtet. Peaksite sellega harjuma, kuna seda kasutatakse sageli matemaatikas (kõrgkoolides veelgi enam).

Naturaallogaritmi tuletis

Oma tuumaks on see logaritmi tuletis baasist e (mis on irratsionaalne arv, mis on ligikaudu 2,7). Tegelikult on ln väga lihtne, seetõttu kasutatakse seda sageli matemaatikas üldiselt. Tegelikult ei ole probleemi lahendamine ka probleemiks. Tasub meeles pidada, et naturaallogaritmi tuletis baasist e võrdub ühega, mis on jagatud x-ga. Järgmise näite lahendus on kõige paljastavam.

Kujutagem seda ette keeruka funktsioonina, mis koosneb kahest lihtsast.

Piisab teisendamiseks

Otsime u tuletist x suhtes

Komplekssed tuletised. Logaritmiline tuletis.
Võimsuse eksponentsiaalfunktsiooni tuletis

Jätkame oma eristamistehnika täiustamist. Selles õppetükis koondame käsitletud materjali, vaatame keerukamaid tuletisi ning tutvume ka uute võtete ja nippidega tuletise leidmiseks, eelkõige logaritmilise tuletise puhul.

Neile lugejatele, kellel on madal tase ettevalmistamisel peaksite lugema artiklit Kuidas tuletist leida? Näited lahendustest, mis võimaldab teil oma oskusi peaaegu nullist tõsta. Järgmisena peate lehte hoolikalt uurima Kompleksfunktsiooni tuletis, mõista ja lahenda Kõik minu toodud näited. See õppetund on loogiliselt järjekorras kolmas ja pärast selle omandamist eristate enesekindlalt üsna keerulisi funktsioone. Ei ole soovitav võtta seisukoht “Kus veel? Jah, sellest piisab ”, kuna kõik näited ja lahendused on võetud päriselt testid ja neid kohtab praktikas sageli.

Alustame kordamisega. Õppetunnis Kompleksfunktsiooni tuletis Vaatasime mitmeid näiteid koos üksikasjalike kommentaaridega. Diferentsiaalarvutuse ja teiste matemaatilise analüüsi harude õppimise käigus peate väga sageli eristama ning näidete üksikasjalik kirjeldamine pole alati mugav (ja mitte alati vajalik). Seetõttu harjutame tuletisinstrumentide leidmist suuliselt. Kõige sobivamad "kandidaadid" on kõige lihtsamate ja keerukate funktsioonide tuletised, näiteks:

Vastavalt keeruliste funktsioonide diferentseerimise reeglile :

Tulevikus muude matan teemade õppimisel ei ole enamasti nii üksikasjalikku kirjet vaja eeldada, et õpilane oskab selliseid tuletisi autopiloodil leida. Kujutame ette, et kell 3 öösel oli a telefonikõne, ja meeldiv hääl küsis: "Mis on kahe X-i puutuja tuletis?" Sellele peaks järgnema peaaegu kohene ja viisakas vastus: .

Esimene näide on kohe mõeldud iseseisvaks lahenduseks.

Näide 1

Leia suuliselt, ühes toimingus, näiteks järgmised tuletised: . Ülesande täitmiseks peate kasutama ainult elementaarfunktsioonide tuletiste tabel(kui te pole seda veel mäletanud). Kui teil on raskusi, soovitan õppetund uuesti läbi lugeda Kompleksfunktsiooni tuletis.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Vastused tunni lõpus

Komplekssed tuletised

Pärast esialgset suurtükiväe ettevalmistust on 3-4-5 funktsioonide pesastusega näited vähem hirmutavad. Järgmised kaks näidet võivad mõnele tunduda keerulised, aga kui neist aru saada (keegi kannatab), siis peaaegu kõik muu diferentsiaalarvutuses tundub lapse naljana.

Näide 2

Leia funktsiooni tuletis

Nagu juba märgitud, on kompleksfunktsiooni tuletise leidmisel kõigepealt vajalik Õige SAage aru oma investeeringutest. Kahtluste korral tuletan teile meelde kasulik nipp: võtame näiteks "x" eksperimentaalse tähenduse ja proovime (vaimselt või mustandis) selle tähenduse asendada "kohutava väljendiga".

1) Esmalt peame arvutama avaldise, mis tähendab, et summa on sügavaim manustamine.

2) Seejärel peate arvutama logaritmi:

4) Seejärel lõigake koosinus kuubikuks:

5) Viiendas etapis on erinevus järgmine:

6) Ja lõpuks, kõige rohkem väline funktsioon- See Ruutjuur:

Valem keeruka funktsiooni eristamiseks rakendatakse vastupidises järjekorras, alates välimisest funktsioonist kuni sisemiseni. Otsustame:

Tundub, et vigu pole...

(1) Võtke ruutjuure tuletis.

(2) Võtame erinevuse tuletise reegli abil

(3) Kolmiku tuletis on null. Teise liikmena võtame astme (kuubi) tuletise.

(4) Võtke koosinuse tuletis.

(5) Võtke logaritmi tuletis.

(6) Ja lõpuks võtame kõige sügavama manustamise tuletise.

See võib tunduda liiga raske, kuid see pole just kõige jõhkram näide. Võtke näiteks Kuznetsovi kollektsioon ja hindate analüüsitud tuletise kogu ilu ja lihtsust. Märkasin, et neile meeldib eksamil anda sarnast asja, et kontrollida, kas õpilane saab aru, kuidas keerulise funktsiooni tuletist leida või ei saa aru.

Järgmine näide on teie jaoks iseseisvaks lahendamiseks.

Näide 3

Leia funktsiooni tuletis

Vihje: Esmalt rakendame lineaarsuse reegleid ja toodete eristamise reeglit

Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

On aeg liikuda edasi millegi väiksema ja toredama juurde.
Pole harvad juhud, kui näide näitab mitte kahe, vaid kolme funktsiooni korrutist. Kuidas leida kolme teguri korrutise tuletist?

Näide 4

Leia funktsiooni tuletis

Kõigepealt vaatame, kas kolme funktsiooni korrutist on võimalik muuta kahe funktsiooni korrutiseks? Näiteks kui meil oleks tootes kaks polünoomi, siis saaksime sulud avada. Kuid vaadeldavas näites on kõik funktsioonid erinevad: aste, eksponent ja logaritm.

Sellistel juhtudel on see vajalik järjestikku kohaldada toodete eristamise reeglit kaks korda

Nipp seisneb selles, et y-ga tähistame kahe funktsiooni korrutist: , ja ve-ga logaritmi: . Miks saab seda teha? Kas tõesti – see ei ole kahe teguri tulemus ja reegel ei tööta?! Midagi keerulist pole:

Nüüd jääb üle reeglit teist korda rakendada sulgudesse:

Võite ka väänata ja midagi sulgudest välja panna, kuid sel juhul on parem jätta vastus täpselt sellisele kujule - seda on lihtsam kontrollida.

Vaadeldava näite saab lahendada teisel viisil:

Mõlemad lahendused on absoluutselt samaväärsed.

Näide 5

Leia funktsiooni tuletis

See on näide sõltumatu lahenduse kohta, mis on proovis lahendatud esimese meetodi abil.

Vaatame sarnaseid näiteid murdarvudega.

Näide 6

Leia funktsiooni tuletis

Siin on mitu võimalust:

Või niimoodi:

Lahendus kirjutatakse aga kompaktsemalt, kui kasutame esmalt jagatise diferentseerimise reeglit , võttes kogu lugeja jaoks:

Põhimõtteliselt on näide lahendatud ja kui see jätta nii, siis pole see viga. Kuid kui teil on aega, on alati soovitatav vaadata mustandit, et näha, kas vastust saab lihtsustada? Tahandagem lugeja avaldis ühiseks nimetajaks ja vabaneme kolmekorruselisest murrust:

Täiendavate lihtsustuste puuduseks on oht eksida mitte tuletise leidmisel, vaid banaalsete kooliteisenduste käigus. Teisest küljest lükkavad õpetajad sageli ülesande tagasi ja paluvad tuletise "meelde tuua".

Lihtsam näide iseseisvaks lahendamiseks:

Näide 7

Leia funktsiooni tuletis

Jätkame tuletise leidmise meetodite valdamist ja nüüd käsitleme tüüpilist juhtumit, kui eristamiseks pakutakse välja “kohutav” logaritm

Näide 8

Leia funktsiooni tuletis

Siin saate minna kaugele, kasutades keeruka funktsiooni eristamise reeglit:

Kuid juba esimene samm sukeldab teid kohe meeleheitesse - peate võtma ebameeldiva tuletise murdarvust ja seejärel ka murdosast.

Sellepärast enne kuidas võtta "keeruka" logaritmi tuletist, lihtsustatakse seda kõigepealt tuntud kooliomaduste abil:

! Kui teil on käepärast praktikamärkmik, kopeerige need valemid otse sinna. Kui teil pole märkmikku, kopeerige need paberile, kuna ülejäänud õppetunni näited keerlevad nende valemite ümber.

Lahenduse enda saab kirjutada umbes nii:

Teisendame funktsiooni:

Tuletise leidmine:

Funktsiooni enda eelkonverteerimine lihtsustas oluliselt lahendust. Seega, kui eristamiseks pakutakse välja sarnane logaritm, on alati soovitatav see "lahtistada".

Ja nüüd paar lihtsaid näiteid sõltumatu lahenduse jaoks:

Näide 9

Leia funktsiooni tuletis

Näide 10

Leia funktsiooni tuletis

Kõik teisendused ja vastused on tunni lõpus.

Logaritmiline tuletis

Kui logaritmide tuletis on nii magus muusika, siis tekib küsimus: kas mõnel juhul on võimalik logaritmi kunstlikult korrastada? Saab! Ja isegi vajalik.

Näide 11

Leia funktsiooni tuletis

Vaatasime hiljuti sarnaseid näiteid. Mida teha? Saate järjestikku rakendada jagatise diferentseerimise reeglit ja seejärel korrutise eristamise reeglit. Selle meetodi puuduseks on see, et saate tohutu kolmekorruselise murdosa, millega te ei taha üldse tegeleda.

Kuid teoorias ja praktikas on selline imeline asi nagu logaritmiline tuletis. Logaritme saab kunstlikult korraldada, "riputades" need mõlemale küljele:

Märge : sest funktsioon võib võtta negatiivseid väärtusi, siis üldiselt peate kasutama mooduleid: , mis diferentseerumise tagajärjel kaob. Samas on vastuvõetav ka praegune disain, kus vaikimisi sellega arvestatakse keeruline tähendusi. Aga kui täie rangusega, siis mõlemal juhul tuleks teha reservatsioon, et.

Nüüd peate parema külje logaritmi võimalikult palju "lõhkuma" (valemid teie silme ees?). Kirjeldan seda protsessi üksikasjalikult:

Alustame diferentseerimisest.
Lõpetame mõlemad osad prime'i all:

Parema poole tuletis on üsna lihtne, ma ei kommenteeri seda, sest kui sa seda teksti loed, siis peaksid sellega enesekindlalt hakkama saama.

Aga vasak pool?

Vasakul pool on meil keeruline funktsioon. Ma näen ette küsimust: "Miks, kas logaritmi all on üks täht "Y"?"

Fakt on see, et see "ühe tähe mäng" - ON ISE FUNKTSIOON(kui see pole väga selge, vaadake artiklit Kaudselt määratud funktsiooni tuletis). Seetõttu on logaritm väline funktsioon ja "y" on sisemine funktsioon. Ja me kasutame reeglit keeruka funktsiooni eristamiseks :

Vasakul pool nagu võluväel võlukepp meil on tuletis. Järgmisena kanname vastavalt proportsioonireeglile "y" vasaku külje nimetajast parema külje ülaossa:

Ja nüüd meenutagem, millisest "mängija" funktsioonist me eristamise ajal rääkisime? Vaatame seisukorda:

Lõplik vastus:

Näide 12

Leia funktsiooni tuletis

See on näide, mille saate ise lahendada. Disaini näide seda tüüpi tunni lõpus.

Logaritmilise tuletise abil oli võimalik lahendada ükskõik milline näidetest nr 4-7, teine ​​asi on see, et seal on funktsioonid lihtsamad ja võib-olla ei ole logaritmilise tuletise kasutamine eriti põhjendatud.

Võimsuse eksponentsiaalfunktsiooni tuletis

See funktsioon Me pole seda veel vaadanud. Võimsuse eksponentsiaalfunktsioon on funktsioon, mille jaoks nii aste kui ka baas sõltuvad x-st. Klassikaline näide, mis antakse teile igas õpikus või loengus:

Kuidas leida astme eksponentsiaalfunktsiooni tuletist?

On vaja kasutada äsja käsitletud tehnikat – logaritmilist tuletist. Me riputame logaritmid mõlemale küljele:

Reeglina võetakse paremal pool logaritmi alt kraad välja:

Selle tulemusena on paremal pool kahe funktsiooni korrutis, mis eristatakse standardvalemi järgi .

Leiame selleks tuletise, lisame mõlemad osad joonte alla:

Edasised toimingud on lihtsad:

Lõpuks:

Kui mõni teisendus pole täiesti selge, lugege uuesti hoolikalt näite nr 11 selgitusi.

Praktilistes ülesannetes on võimsuseksponentsiaalne funktsioon alati keerulisem kui käsitletud loengunäide.

Näide 13

Leia funktsiooni tuletis

Kasutame logaritmilist tuletist.

Paremal pool on konstant ja kahe teguri korrutis - “x” ja “logaritmi x logaritm” (logaritmi alla on pesastatud teine ​​​​logaritm). Diferentseerimisel, nagu mäletame, on parem konstant kohe tuletismärgist välja nihutada, et see teele ei jääks; ja loomulikult rakendame tuttavat reeglit :