eksponentsiaalvõrrandid. Eksponentfunktsioon – omadused, graafikud, valemid

Võrratusi nimetatakse eksponentsiaalseteks, kui eksponendis sisaldub tundmatu. Lihtsaim eksponentsiaalvõrrand on kujul: a x \u003d a b, kus a> 0 ja 1, x on tundmatu.

Kraadide põhiomadused, mille abil eksponentsiaalvõrrandid: a>0, b>0.

Eksponentvõrrandite lahendamisel kasutatakse ka järgmisi eksponentsiaalfunktsiooni omadusi: y = a x , a > 0, a1:

Arvu esitamiseks astmena kasutatakse põhilogaritmilist identiteeti: b = , a > 0, a1, b > 0.

Ülesanded ja testid teemal "Eksponentvõrrandid"

• eksponentsiaalvõrrandid

  Tunnid: 4 Ülesanded: 21 Kontrolltööd: 1

• eksponentsiaalvõrrandid - Olulised teemad matemaatika eksami kordamiseks

  Ülesanded: 14

• Eksponent- ja logaritmvõrrandite süsteemid - Eksponent- ja logaritmfunktsioonid 11. klass

  Tunnid: 1 Ülesanded: 15 Kontrolltööd: 1

• §2.1. Eksponentvõrrandite lahendus

  Tunnid: 1 Ülesanded: 27

• §7 Eksponent- ja logaritmvõrrandid ja võrratused - 5. jagu. Eksponent- ja logaritmfunktsioonid 10. klass

  Tunnid: 1 Ülesanded: 17

Eksponentvõrrandite edukaks lahendamiseks peate teadma astmete põhiomadusi, eksponentsiaalfunktsiooni omadusi ja põhilist logaritmilist identiteeti.

Eksponentvõrrandite lahendamisel kasutatakse kahte peamist meetodit:

1. üleminek võrrandist a f(x) = a g(x) võrrandile f(x) = g(x);
2. uute liinide kasutuselevõtt.

Näited.

1. Lihtsaima taandamise võrrandid. Need lahendatakse, viies võrrandi mõlemad pooled sama alusega astmeni.

3x \u003d 9x - 2.

Lahendus:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

Vastus: 4.

2. Võrrandid, mis on lahendatud ühisteguri sulgudes.

Lahendus:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

Vastus: 3.

3. Muutuja muutmise teel lahendatavad võrrandid.

Lahendus:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Tähistame 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = -4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4. Võrrandil pole lahendeid, sest 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3; x = log 2 3.

Vastus: logi 2 3.

4. Võrrandid, mis sisaldavad kahe erineva (teisele mitte taandatava) alusega astmeid.

3 × 2 × + 1 - 2 × 5 × - 2 \u003d 5 × + 2 × - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x–2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

Vastus: 2.

5. Võrrandid, mis on a x ja b x suhtes homogeensed.

Üldine vorm: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .

Lahendus:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Tähistame (3/2) x = y.
y 2 - 2,5 a + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

Vastus: log 3/2 2; - log 3/2 2.

Eksponentvõrrandite lahendus. Näited.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

Mida eksponentsiaalvõrrand? See on võrrand, milles on tundmatud (x) ja nendega seotud avaldised näitajad mõned kraadid. Ja ainult seal! See on tähtis.

Seal sa oled eksponentsiaalvõrrandi näited:

3 x 2 x = 8 x + 3

Märge! Kraadide alustes (allpool) - ainult numbrid. AT näitajad kraadid (ülal) – lai valik x-iga avaldisi. Kui võrrandis ilmub äkitselt mujal peale indikaatori x, näiteks:

see on võrrand segatüüpi. Sellistel võrranditel pole selgeid lahendamise reegleid. Me ei võta neid praegu arvesse. Siin me tegeleme eksponentsiaalvõrrandite lahendus kõige puhtamal kujul.

Tegelikult pole isegi puhtad eksponentsiaalvõrrandid alati selgelt lahendatud. Kuid on teatud tüüpi eksponentsiaalvõrrandeid, mida saab ja tuleks lahendada. Need on tüübid, mida me vaatame.

Lihtsaimate eksponentsiaalvõrrandite lahendus.

Alustame millestki väga põhilisest. Näiteks:

Isegi ilma igasuguse teooriata on lihtsa valikuga selge, et x = 2. Ei midagi enamat, eks!? Muid x väärtusi ei veereta. Ja nüüd vaatame selle keerulise eksponentsiaalvõrrandi lahendust:

Mida me oleme teinud? Meie tegelikult viskasime just samad põhjad (kolmikud) välja. Täiesti välja visatud. Ja mis meeldib, tabage märki!

Tõepoolest, kui eksponentsiaalvõrrandis vasakul ja paremal on sama numbreid mis tahes astmes, saab neid numbreid eemaldada ja võrdsustada eksponente. Matemaatika lubab. Jääb lahendada palju lihtsam võrrand. See on hea, eks?)

Siiski meenutagem irooniliselt: aluseid saate eemaldada ainult siis, kui vasak- ja parempoolsed põhinumbrid on sees uhke üksindus! Ilma igasuguste naabrite ja koefitsientideta. Ütleme võrrandites:

2 x +2 x + 1 = 2 3 või

Sa ei saa topelt eemaldada!

Noh, me saime kõige olulisema asja selgeks. Kuidas liikuda kurjade eksponentsiaalsete avaldiste juurest lihtsamate võrrandite juurde.

"Siin on need ajad!" - sa ütled. "Kes küll kontroll- ja eksamitel nii primitiivi annab!?"

Sunnitud leppima. Keegi ei tee seda. Kuid nüüd teate, kuhu segaste näidete lahendamisel pöörduda. Seda on vaja meelde tuletada, kui sama põhinumber on vasakul - paremal. Siis on kõik lihtsam. Tegelikult on see matemaatika klassika. Võtame algse näite ja teisendame selle soovitud kujul meie meelt. Matemaatika reeglite järgi muidugi.

Mõelge näidetele, mis nõuavad täiendavaid jõupingutusi, et viia need kõige lihtsamateni. Helistame neile lihtsad eksponentsiaalvõrrandid.

Lihtsate eksponentsiaalvõrrandite lahendus. Näited.

Eksponentvõrrandite lahendamisel on põhireeglid volitustega tegusid. Ilma nende toimingute teadmata ei tööta midagi.

Kraadidega tegudele tuleb lisada isiklik tähelepanelikkus ja leidlikkus. Kas vajame samu baasnumbreid? Seega otsime neid näites selgesõnaliselt või krüptitud kujul.

Vaatame, kuidas seda praktikas tehakse?

Toome näite:

2 2x - 8 x+1 = 0

Esimene pilk põhjustel. Nad... Nad on erinevad! Kaks ja kaheksa. Kuid on liiga vara end heidutada. On aeg seda meeles pidada

Kaks ja kaheksa on astmes sugulased.) On täiesti võimalik üles kirjutada:

8 x+1 = (2 3) x+1

Kui tuletame meelde valemit volitustega tegudest:

(a n) m = a nm,

üldiselt töötab see suurepäraselt:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Algne näide näeb välja selline:

2 2x - 2 3 (x+1) = 0

Teeme üle 2 3 (x+1) paremale (keegi ei tühistanud matemaatika elementaarseid toiminguid!), saame:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

See on praktiliselt kõik. Aluste eemaldamine:

Me lahendame selle koletise ja saame

See on õige vastus.

Selles näites aitas meid välja kahe jõudude teadmine. Meie tuvastatud kaheksas, krüpteeritud deuce. See tehnika (ühiste aluste krüpteerimine erinevad numbrid) on eksponentsiaalvõrrandites väga populaarne tehnika! Jah, isegi logaritmides. Teiste arvude astmeid tuleb osata arvudes ära tunda. See on eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel äärmiselt oluline.

Fakt on see, et mis tahes arvu suurendamine mis tahes astmeni ei ole probleem. Korrutage, kasvõi paberil, ja ongi kõik. Näiteks võib igaüks tõsta 3 viienda astmeni. 243 selgub, kui teate korrutustabelit.) Kuid eksponentsiaalvõrrandites on palju sagedamini vaja mitte tõsta astmeni, vaid vastupidi ... mis number millisel määral peidab end numbri 243 või, ütleme, 343 taha... Siin ei aita sind ükski kalkulaator.

Sa pead teadma mõne arvu võimeid nägemise järgi, jah... Kas me harjutame?

Määrake, millised astmed ja millised arvud on numbrid:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Vastused (muidugi segaduses!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Kui vaatate tähelepanelikult, näete kummaline fakt. Vastuseid on rohkem kui küsimusi! Noh, juhtub... Näiteks 2 6 , 4 3 , 8 2 on kõik 64.

Oletame, et olete teadmiseks võtnud info numbritega tutvumise kohta.) Tuletan meelde, et eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel rakendame tervik matemaatiliste teadmiste varu. Sealhulgas madalamast keskklassist. Sa ei läinud ju otse keskkooli?

Näiteks eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel aitab väga sageli ühisteguri sulgudest välja panemine (tere 7. klassile!). Vaatame näidet:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Ja jälle esimene pilk – platsil! Kraadide alused on erinevad ... Kolm ja üheksa. Ja me tahame, et need oleksid samad. Noh, sel juhul on soov üsna teostatav!) Sest:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Vastavalt samadele reeglitele kraadidega toimingute kohta:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

See on suurepärane, võite kirjutada:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Samadel põhjustel tõime näite. Niisiis, mis saab edasi!? Kolmekesi ei saa välja visata ... Ummik?

Üldse mitte. Meenutades kõige universaalsemat ja võimsamat otsustusreeglit kõik matemaatika ülesanded:

Kui te ei tea, mida teha, tehke seda, mida saate!

Vaatad, kõik moodustub).

Mis on selles eksponentsiaalvõrrandis saab teha? Jah, vasak pool küsib otse sulgusid! Ühine tegur 3 2x viitab sellele selgelt. Proovime ja siis näeme:

3 2x (3 4–11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Eeskuju läheb aina paremaks ja paremaks!

Tuletame meelde, et aluste kõrvaldamiseks vajame puhast kraadi, ilma koefitsientideta. Number 70 häirib meid. Seega jagame võrrandi mõlemad pooled 70-ga, saame:

Op-pa! Kõik on olnud hästi!

See on lõplik vastus.

Juhtub aga nii, et saadakse samadel alustel välja ruleerimine, aga nende likvideerimine mitte. See juhtub teist tüüpi eksponentsiaalvõrrandite puhul. Võtame selle tüübi.

Muutuja muutumine eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel. Näited.

Lahendame võrrandi:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Esiteks - nagu tavaliselt. Liigume edasi baasi. Kahekesi juurde.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Saame võrrandi:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ja siin me riputame. Eelmised nipid ei tööta, ükskõik kuidas sa seda keerad. Peame hankima veel ühe võimsa ja universaalne viis. Seda nimetatakse muutuv asendus.

Meetodi olemus on üllatavalt lihtne. Ühe keeruka ikooni (meie puhul 2 x) asemel kirjutame teise, lihtsama (näiteks t). Selline näiliselt mõttetu asendus viib hämmastavate tulemusteni!) Kõik saab lihtsalt selgeks ja arusaadavaks!

Nii et las

Siis 2 2x \u003d 2 x 2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Asendame oma võrrandis kõik astmed x-idega t-ga:

Noh, see koidab?) Kas te pole ruutvõrrandid veel unustanud? Lahendame diskriminandi kaudu, saame:

Siin on peamine asi mitte peatuda, kuna see juhtub ... See pole veel vastus, vajame x-i, mitte t. Pöördume tagasi X-ide juurde, st. asendust tehes. Esiteks t 1 jaoks:

See on,

Leiti üks juur. Otsime teist, alates t 2:

Ee... Vasak 2 x, parem 1... Haak? Jah, üldse mitte! Piisab meeles pidada (kraadidega tegudest, jah ...), et ühtsus on ükskõik milline number nullini. Ükskõik milline. Mida iganes vajate, me paneme selle. Meil on vaja kahte. Tähendab:

Nüüd on kõik. Sain 2 juurt:

See on vastus.

Kell eksponentsiaalvõrrandite lahendamine lõpus saadakse mõnikord mõni ebamugav väljend. Tüüp:

Alates seitsmest, kahest läbi lihtne kraad ei tööta. Nad ei ole sugulased... Kuidas ma saan siin olla? Keegi võib olla segaduses ... Aga inimene, kes luges sellel saidil teemat "Mis on logaritm?" , naerata lihtsalt säästlikult ja kirjuta üles kindla käega täiesti õige vastus:

Eksami ülesannetes "B" sellist vastust olla ei saa. Nõutav on konkreetne number. Kuid ülesannetes "C" - lihtsalt.

See õppetund annab näiteid kõige levinumate eksponentsiaalvõrrandite lahendamisest. Toome välja peamise.

Praktilised näpunäited:

1. Kõigepealt vaatame põhjustel kraadid. Vaatame, kas neid ei saa teha sama. Proovime seda teha aktiivselt kasutades volitustega tegusid.Ärge unustage, et ka ilma x-ita numbreid saab muuta astmeteks!

2. Püüame viia eksponentsiaalvõrrandi vormile, kui vasak ja parem on sama numbreid mis tahes määral. Me kasutame volitustega tegusid ja faktoriseerimine. Mida saab arvudes üles lugeda - me loeme.

3. Kui teine ​​nõuanne ei töötanud, proovime rakendada muutuja asendust. Tulemuseks võib olla võrrand, mida on lihtne lahendada. Kõige sagedamini - ruut. Või murdosa, mis samuti taandub ruuduks.

4. Eksponentvõrrandite edukaks lahendamiseks peate teadma mõne arvu astmeid "pilgu järgi".

Nagu tavaliselt, palutakse tunni lõpus veidi lahendada.) Omal käel. Lihtsast keerukani.

Lahendage eksponentsiaalvõrrandid:

Keerulisem:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Leia juurte toode:

2 3-x + 2 x = 9

Juhtus?

No siis raskeim näide(otsustasin siiski mõttes ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Mis on huvitavam? Siis siin on teile halb näide. Suurenenud raskusega tõmbamine. Annan vihje, et selles näites päästab leidlikkus ja kõigi matemaatiliste ülesannete lahendamise universaalsem reegel.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Näide on lihtsam, lõõgastumiseks):

9 2 x - 4 3 x = 0

Ja magustoiduks. Leidke võrrandi juurte summa:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Jah Jah! See on segatüüpi võrrand! Mida me selles õppetükis ei käsitlenud. Ja mida nendega arvestada, need tuleb lahendada!) See õppetund on võrrandi lahendamiseks täiesti piisav. No leidlikkust on vaja ... Ja jah, seitsmes klass aitab teid (see on vihje!).

Vastused (segi, eraldatud semikooloniga):

üks; 2; 3; neli; lahendusi pole; 2; -2; -5; neli; 0.

Kas kõik on õnnestunud? Suurepärane.

Kas on probleem? Pole probleemi! Spetsiaalses jaotises 555 on kõik need eksponentsiaalvõrrandid lahendatud üksikasjalike selgitustega. Mida, miks ja miks. Ja loomulikult on väärtuslikku lisateavet igasuguste eksponentsiaalvõrranditega töötamise kohta. Mitte ainult nendega.)

Viimane lõbus küsimus, mida kaaluda. Selles õppetükis töötasime eksponentsiaalvõrranditega. Miks ma ODZ-st siin sõnagi ei rääkinud? Muide, võrrandites on see väga oluline asi ...

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Enamuse otsus matemaatika ülesandeid kuidagi seotud numbriliste, algebraliste või funktsionaalsete avaldiste teisendamisega. See kehtib eriti lahenduse kohta. Matemaatika USE variantides sisaldab seda tüüpi ülesanne eelkõige ülesannet C3. C3 ülesannete lahendamise õppimine on oluline mitte ainult eksami edukaks sooritamiseks, vaid ka seetõttu, et see oskus tuleb kasuks kõrgkoolis matemaatikakursust õppides.

Täites ülesandeid C3, peate otsustama erinevat tüüpi võrrandid ja võrratused. Nende hulgas on ratsionaalsed, irratsionaalsed, eksponentsiaalsed, logaritmilised, trigonomeetrilised, sisaldavad mooduleid (absoluutväärtusi), aga ka kombineeritud. Selles artiklis käsitletakse eksponentsiaalvõrrandite ja ebavõrdsuse peamisi tüüpe, samuti erinevaid meetodeid nende otsuseid. Lugege muud tüüpi võrrandite ja võrratuste lahendamise kohta rubriigis "" artiklites, mis on pühendatud matemaatika USE variantide C3-ülesannete lahendamise meetoditele.

Enne konkreetse analüüsi juurde asumist eksponentsiaalvõrrandid ja võrratused, matemaatika juhendajana soovitan teil täiendada mõnda teoreetilise materjali, mida meil vaja läheb.

Eksponentfunktsioon

Mis on eksponentsiaalne funktsioon?

Vaatamise funktsioon y = a x, kus a> 0 ja a≠ 1, kutsuti eksponentsiaalne funktsioon.

Peamine eksponentsiaalfunktsiooni omadused y = a x:

Eksponentfunktsiooni graafik

Eksponentfunktsiooni graafik on eksponenti:

Eksponentfunktsioonide (eksponentide) graafikud

Eksponentvõrrandite lahendus

soovituslik nimetatakse võrranditeks, milles tundmatu muutuja leidub ainult mis tahes astmete eksponentides.

Lahenduste jaoks eksponentsiaalvõrrandid peate teadma ja oskama kasutada järgmist lihtsat teoreemi:

1. teoreem. eksponentsiaalvõrrand a f(x) = a g(x) (kus a > 0, a≠ 1) on võrdne võrrandiga f(x) = g(x).

Lisaks on kasulik meeles pidada põhivalemeid ja -toiminguid kraadidega:

Title="(!LANG: Renderdab QuickLaTeX.com">!}

Näide 1 Lahendage võrrand:

Lahendus: kasutage ülaltoodud valemeid ja asendusi:

Võrrand muutub siis:

Saadud ruutvõrrandi diskriminant on positiivne:

Title="(!LANG: Renderdab QuickLaTeX.com">!}

See tähendab, et sellel võrrandil on kaks juurt. Leiame need:

Asenduse juurde tagasi tulles saame:

Teisel võrrandil pole juuri, kuna eksponentsiaalne funktsioon on kogu määratlusvaldkonnas rangelt positiivne. Lahendame teise:

Võttes arvesse teoreemis 1 öeldut, liigume samaväärse võrrandi juurde: x= 3. See on ülesande vastus.

Vastus: x = 3.

Näide 2 Lahendage võrrand:

Lahendus: võrrandil ei ole lubatud väärtuste ala suhtes piiranguid, kuna radikaalavaldis on mõistlik mis tahes väärtuse jaoks x(eksponentsiaalne funktsioon y = 9 4 -x positiivne ja ei ole võrdne nulliga).

Lahendame võrrandi samaväärsete teisendustega, kasutades korrutamise ja astmete jagamise reegleid:

Viimane üleminek viidi läbi vastavalt teoreemile 1.

Vastus:x= 6.

Näide 3 Lahendage võrrand:

Lahendus: algse võrrandi mõlemad pooled saab jagada 0,2-ga x. See üleminek on samaväärne, kuna see avaldis on mis tahes väärtuse korral suurem kui null x(eksponentfunktsioon on oma domeenis rangelt positiivne). Siis saab võrrand järgmise kuju:

Vastus: x = 0.

Näide 4 Lahendage võrrand:

Lahendus: lihtsustame võrrandit elementaarvõrrandiks samaväärsete teisendustega, kasutades artikli alguses toodud astmete jagamise ja korrutamise reegleid:

Võrrandi mõlema poole jagamine 4-ga x, nagu eelmises näites, on samaväärne teisendus, kuna see avaldis ei ole ühegi väärtuse puhul võrdne nulliga x.

Vastus: x = 0.

Näide 5 Lahendage võrrand:

Lahendus: funktsiooni y = 3x, mis seisab võrrandi vasakul küljel, kasvab. Funktsioon y = —x-2/3, mis seisab võrrandi paremal küljel, väheneb. See tähendab, et kui nende funktsioonide graafikud ristuvad, siis maksimaalselt ühes punktis. Sel juhul on lihtne ära arvata, et graafikud punktis ristuvad x= -1. Muid juuri ei tule.

Vastus: x = -1.

Näide 6 Lahendage võrrand:

Lahendus: me lihtsustame võrrandit samaväärsete teisendustega, pidades igal pool meeles, et eksponentsiaalfunktsioon on mis tahes väärtuse korral rangelt suurem kui null x ja kasutades artikli alguses toodud toote ja osavõimsuste arvutamise reegleid:

Vastus: x = 2.

Eksponentsiaalse ebavõrdsuse lahendamine

soovituslik nimetatakse ebavõrdsusteks, milles tundmatu muutuja sisaldub ainult mõne astme eksponentides.

Lahenduste jaoks eksponentsiaalne ebavõrdsus nõutakse järgmise teoreemi tundmist:

2. teoreem. Kui a a> 1, siis ebavõrdsus a f(x) > a g(x) võrdub samatähendusliku ebavõrdsusega: f(x) > g(x). Kui 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) on samaväärne vastupidise tähendusega ebavõrdsusega: f(x) < g(x).

Näide 7 Lahendage ebavõrdsus:

Lahendus: esindavad algset ebavõrdsust kujul:

Jagage selle võrratuse mõlemad osad 3 2-ga x, ja (funktsiooni positiivsuse tõttu y= 3 2x) ebavõrdsuse märk ei muutu:

Kasutame asendust:

Siis võtab ebavõrdsus kuju:

Seega on ebavõrdsuse lahendus intervall:

pöördasendusele üle minnes saame:

Vasakpoolne ebavõrdsus, mis tuleneb eksponentsiaalfunktsiooni positiivsusest, täidetakse automaatselt. Kasutades hästi tuntud logaritmi omadust, liigume ekvivalentsele ebavõrdsusele:

Kuna astme alus on ühest suurem arv, on samaväärne (teoreemi 2 järgi) üleminek järgmisele ebavõrdsusele:

Nii et lõpuks saame vastus:

Näide 8 Lahendage ebavõrdsus:

Lahendus: astmete korrutamise ja jagamise omadusi kasutades kirjutame ebavõrdsuse ümber kujul:

Tutvustame uut muutujat:

Selle asendusega on ebavõrdsus järgmine:

Korrutage murdosa lugeja ja nimetaja 7-ga, saame järgmise samaväärse ebavõrdsuse:

Seega on ebavõrdsus täidetud muutuja järgmiste väärtustega t:

Seejärel, naastes asendamise juurde, saame:

Kuna astme baas on siin suurem kui üks, on samaväärne (teoreemi 2 järgi) üleminek ebavõrdsusele:

Lõpuks saame vastus:

Näide 9 Lahendage ebavõrdsus:

Lahendus:

Jagame ebavõrdsuse mõlemad pooled avaldisega:

See on alati suurem kui null (kuna eksponentsiaalfunktsioon on positiivne), seega ei pea ebavõrdsusmärki muutma. Saame:

t , mis on vahemikus:

Pööratud asendusele üle minnes leiame, et algne ebavõrdsus jaguneb kaheks juhtumiks:

Esimesel võrratusel pole eksponentsiaalfunktsiooni positiivsuse tõttu lahendusi. Lahendame teise:

Näide 10 Lahendage ebavõrdsus:

Lahendus:

Parabooli oksad y = 2x+2-x 2 on suunatud allapoole, seega on see ülalt piiratud väärtusega, milleni see oma tipus jõuab:

Parabooli oksad y = x 2 -2x Näidikus olevad +2 on suunatud ülespoole, mis tähendab, et see on altpoolt piiratud väärtusega, milleni see ülaosas jõuab:

Samal ajal osutub funktsioon altpoolt piiratuks y = 3 x 2 -2x+2 võrrandi paremal küljel. Ta jõuab temani väikseim väärtus samas punktis kui parabool eksponendis ja see väärtus on 3 1 = 3. Seega saab algne võrratus olla tõene ainult siis, kui vasakpoolne funktsioon ja parempoolne funktsioon võtavad ühes punktis väärtuse 3 (by nende funktsioonide vahemike ületamine on ainult see arv). See tingimus on täidetud ühes punktis x = 1.

Vastus: x= 1.

Et õppida, kuidas lahendada eksponentsiaalvõrrandid ja võrratused, peate pidevalt treenima nende lahendust. Selles keerulises küsimuses mitmesugused õppevahendid, algmatemaatika ülesannete raamatud, võistlusülesannete kogumikud, matemaatikatunnid koolis, samuti individuaaltunnid professionaalse juhendajaga. Soovin teile siiralt edu ettevalmistamisel ja säravaid tulemusi eksamil.

Sergei Valerijevitš

P.S. Kallid külalised! Palun ärge kirjutage kommentaaridesse oma võrrandite lahendamise taotlusi. Kahjuks pole mul selleks üldse aega. Sellised sõnumid kustutatakse. Palun lugege artiklit. Võib-olla leiate sellest vastused küsimustele, mis ei võimaldanud teil oma ülesannet iseseisvalt lahendada.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Võime avaldada teie kohta teavet ka siis, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muu avalikkuse jaoks. tähtsaid sündmusi.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

See õppetund on mõeldud neile, kes alles hakkavad eksponentsiaalvõrrandeid õppima. Nagu alati, alustame määratluse ja lihtsate näidetega.

Kui loete seda õppetundi, siis ma kahtlustan, et teil on juba vähemalt minimaalne arusaam kõige lihtsamatest võrranditest - lineaarne ja ruut: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ jne. Taoliste konstruktsioonide lahendamise oskus on hädavajalik, et mitte "riputada" teemas, millest nüüd juttu tuleb.

Niisiis, eksponentsiaalvõrrandid. Toon paar näidet:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Mõned neist võivad teile tunduda keerulisemad, mõned neist on vastupidi liiga lihtsad. Kuid üks asi ühendab neid kõiki oluline omadus: nende tähistuses on eksponentsiaalne funktsioon $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Seega tutvustame määratlust:

Eksponentvõrrand on igasugune võrrand, mis sisaldab eksponentsiaalfunktsiooni, s.t. avaldis kujul $((a)^(x))$. Lisaks määratud funktsioonile võivad sellised võrrandid sisaldada mis tahes muid algebralisi konstruktsioone - polünoomid, juured, trigonomeetria, logaritmid jne.

Olgu siis. Sai definitsioonist aru. Nüüd on küsimus: kuidas kogu seda jama lahendada? Vastus on samaaegselt lihtne ja keeruline.

Alustame heade uudistega: oma kogemuse põhjal paljude õpilastega võin öelda, et enamiku jaoks on eksponentsiaalvõrrandid palju lihtsamad kui samad logaritmid ja veelgi enam trigonomeetria.

Kuid on ka halbu uudiseid: mõnikord külastab kõikvõimalike õpikute ja eksamite ülesannete koostajaid "inspiratsioon" ja nende uimastipõletiku aju hakkab tootma nii jõhkraid võrrandeid, et nende lahendamine muutub problemaatiliseks mitte ainult õpilastel - isegi paljud õpetajad jäävad selliste probleemidega jänni.

Siiski, ärme räägi kurbadest asjadest. Ja tuleme tagasi nende kolme võrrandi juurde, mis olid antud loo alguses. Proovime igaüks neist lahendada.

Esimene võrrand: $((2)^(x))=4$. Noh, millise astmeni tuleb number 2 tõsta, et saada number 4? Võib-olla teine? $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — ja olemegi saanud õige arvulise võrdsuse, s.t. tõepoolest $x=2$. Tänan, kork, aga see võrrand oli nii lihtne, et isegi minu kass sai selle lahendada. :)

Vaatame järgmist võrrandit:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Kuid siin on see veidi keerulisem. Paljud õpilased teavad, et $((5)^(2))=25$ on korrutustabel. Mõned kahtlustavad ka, et $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ on sisuliselt negatiivsete eksponentide definitsioon (sarnaselt valemiga $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Lõpuks arvavad vaid vähesed, et neid fakte saab kombineerida ja tulemuseks on järgmine tulemus:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Seega kirjutatakse meie algne võrrand ümber järgmiselt:

\[(5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Paremnool ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ja nüüd on see juba täielikult lahendatud! Võrrandi vasakul küljel on eksponentsiaalfunktsioon, võrrandi paremal küljel eksponentsiaalfunktsioon, mujal pole peale nende midagi. Seetõttu on võimalik alused “ära visata” ja indikaatorid rumalalt võrdsustada:

Saime lihtsaima lineaarvõrrandi, mida iga õpilane suudab vaid paari reaga lahendada. Olgu, neljas reas:

\[\begin(joona)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(joonda)\]

Kui te ei saanud aru, mis viimasel neljal real toimus, naaske kindlasti teema juurde " lineaarvõrrandid' ja korda seda. Sest ilma selle teema selge assimilatsioonita on teil liiga vara eksponentsiaalvõrrandeid võtta.

\[((9)^(x))=-3\]

No kuidas sa otsustad? Esimene mõte: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, seega saab algse võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Seejärel tuletame meelde, et kraadi tõstmisel astmeni korrutatakse näitajad:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Paremnool ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(joona)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(joonda)\]

Ja sellise otsuse eest saame ausalt ära teenitud kahekesi. Sest meie, Pokémoni meelekindlusega, saatsime miinusmärgi kolme ees just selle kolme võimsusel. Ja sa ei saa seda teha. Ja sellepärast. Heida pilk peale erinevad kraadid kolmikud:

\[\begin(maatriks) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(maatriks)\]

Seda tahvelarvutit koostades ei vääratanud ma niipea, kui tegin: arvestasin positiivseid ja negatiivseid kraade ja isegi murdosa ... noh, kus on siin vähemalt üks negatiivne arv? Ta ei ole! Ja see ei saa olla, sest eksponentsiaalne funktsioon $y=((a)^(x))$ võtab esiteks alati ainult positiivseid väärtusi (ükskõik kui palju ühe korrutate või kahega jagate, jääb see ikkagi positiivne arv) ja teiseks, sellise funktsiooni alus, arv $a$, on definitsiooni järgi positiivne arv!

Kuidas siis lahendada võrrand $((9)^(x))=-3$? Ei, juuri pole. Ja selles mõttes on eksponentsiaalvõrrandid väga sarnased ruutvõrranditega – juured võivad samuti puududa. Aga kui sisse ruutvõrrandid juurte arvu määrab diskriminant (diskriminant on positiivne - 2 juurt, negatiivne - juurteta), siis eksponentsiaalides sõltub kõik sellest, mis on võrdusmärgist paremal.

Seega sõnastame peamise järelduse: lihtsaimal eksponentsiaalvõrrandil kujul $((a)^(x))=b$ on juur siis ja ainult siis, kui $b>0$. Seda lihtsat fakti teades saate hõlpsalt kindlaks teha, kas teile pakutud võrrandil on juured või mitte. Need. kas tasub üldse lahendada või kohe kirja panna, et juuri pole.

Need teadmised aitavad meid rohkem kui üks kord, kui peame rohkem otsustama väljakutseid pakkuvad ülesanded. Seniks aga piisavalt laulutekste – on aeg uurida eksponentsiaalvõrrandite lahendamise põhialgoritmi.

Kuidas lahendada eksponentsiaalvõrrandeid

Niisiis, sõnastame probleemi. On vaja lahendada eksponentsiaalvõrrand:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Varem kasutatud "naiivse" algoritmi kohaselt on vaja arvu $b$ esitada arvu $a$ astmena:

Lisaks, kui muutuja $x$ asemel on mingi avaldis, saame uue võrrandi, mille saab juba lahendada. Näiteks:

\[\begin(joona)& ((2)^(x))=8\Paremnool ((2)^(x))=((2)^(3))\Paremnool x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Paremnool ((3)^(-x))=((3)^(4))\Paremnool -x=4\Paremnool x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Paremnool ((5)^(2x))=((5)^(3))\Paremnool 2x=3\Paremnool x=\frac(3)( 2). \\\lõpp(joonda)\]

Kummalisel kombel töötab see skeem umbes 90% juhtudest. Aga ülejäänud 10% siis? Ülejäänud 10% on kergelt "skisofreenilised" eksponentsiaalvõrrandid kujul:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Millise võimsusega peate 2 tõstma, et saada 3? Esimesel? Aga ei: $((2)^(1))=2$ ei piisa. Teises? Kumbki: $((2)^(2))=4$ on liiga palju. Mis siis?

Teadlikud õpilased on ilmselt juba aimanud: sellistel juhtudel, kui pole võimalik "kaunilt" lahendada, on juhtumiga ühendatud "raskekahurvägi" - logaritmid. Lubage mul teile meelde tuletada, et logaritme kasutades saab iga positiivse arvu esitada mis tahes muu positiivse arvu astmena (välja arvatud üks):

Kas mäletate seda valemit? Kui ma räägin oma õpilastele logaritmidest, hoiatan teid alati: see valem (see on ka logaritmi põhiidentiteet või, kui soovite, logaritmi definitsioon) jääb teid kummitama väga pikka aega ja "tekib esile" kõige rohkem. ootamatud kohad. Noh, ta kerkis pinnale. Vaatame oma võrrandit ja seda valemit:

\[\begin(joona)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(joonda) \]

Kui eeldame, et $a=3$ on meie algne number, mis seisab paremal ja $b=2$ on eksponentsiaalfunktsiooni põhi, millele me nii väga tahame taandada parem pool, siis saame järgmise:

\[\begin(joona)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Paremnool 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Paremnool ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Paremnool x=( (\log )_(2))3. \\\lõpp(joonda)\]

Saime veidi kummalise vastuse: $x=((\log )_(2))3$. Mõnes teises ülesandes kahtleksid paljud sellise vastuse korral ja hakkaksid oma lahendust üle kontrollima: mis siis, kui kuskil on viga? Kiirustan teile meeldima: siin pole viga ja eksponentsiaalvõrrandite juurtes olevad logaritmid on üsna tüüpiline olukord. Nii et harjuge ära. :)

Nüüd lahendame analoogia põhjal ülejäänud kaks võrrandit:

\[\begin(joona)& ((5)^(x))=15\Paremnool ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Paremnool x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Paremnool ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Paremnool 2x=( (\log )_(4))11\Paremnool x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\lõpp(joonda)\]

See on kõik! Muide, viimase vastuse saab kirjutada erinevalt:

Just meie tõime logaritmi argumenti kordaja. Kuid keegi ei takista meil seda tegurit baasile lisamast:

Sel juhul on kõik kolm võimalust õiged – see on lihtsalt erinevad vormid sama numbriga kirjed. Milline neist valida ja sellesse otsusesse kirja panna, on teie enda otsustada.

Seega oleme õppinud lahendama mis tahes eksponentsiaalvõrrandeid kujul $((a)^(x))=b$, kus arvud $a$ ja $b$ on rangelt positiivsed. Meie maailma karm reaalsus on aga selline, et selline lihtsad ülesanded kohtub sinuga väga-väga harva. Sagedamini kohtate midagi sellist:

\[\begin(joona)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(joonda)\]

No kuidas sa otsustad? Kas seda saab üldse lahendada? Ja kui jah, siis kuidas?

Ei mingit paanikat. Kõik need võrrandid taandatakse kiiresti ja lihtsalt väärtusele lihtsad valemid mida oleme juba kaalunud. Peate lihtsalt teadma, et meeles pidada paar nippi algebra kursusest. Ja loomulikult pole siin kraadidega töötamiseks reegleid. Ma räägin sellest kõigest nüüd. :)

Eksponentvõrrandite teisendus

Kõigepealt tuleb meeles pidada, et iga eksponentsiaalvõrrand, olenemata sellest, kui keeruline see ka poleks, tuleb ühel või teisel viisil taandada kõige lihtsamateks võrranditeks – nendeks, mida oleme juba kaalunud ja mida me teame lahendada. Teisisõnu näeb mis tahes eksponentsiaalvõrrandi lahendamise skeem välja järgmine:

1. Kirjutage üles algne võrrand. Näiteks: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Tee lolli juttu. Või isegi mingi jama nimega "teisenda võrrand";
3. Väljundis hankige kõige lihtsamad avaldised nagu $((4)^(x))=4$ või midagi muud taolist. Pealegi võib üks algvõrrand anda mitu sellist avaldist korraga.

Esimese punktiga on kõik selge – isegi minu kass oskab võrrandi lehele kirjutada. Tundub, et ka kolmanda punktiga on see enam-vähem selge - eespool oleme juba terve hunniku selliseid võrrandeid lahendanud.

Aga kuidas on lood teise punktiga? Millised on transformatsioonid? Mida milleks teisendada? Ja kuidas?

Noh, mõtleme välja. Kõigepealt tahaksin juhtida tähelepanu järgmisele. Kõik eksponentsiaalvõrrandid jagunevad kahte tüüpi:

1. Võrrand koosneb sama alusega eksponentsiaalfunktsioonidest. Näide: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Valem sisaldab erinevate alustega eksponentsiaalfunktsioone. Näited: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ ja $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 $.

Alustame esimest tüüpi võrranditest – neid on kõige lihtsam lahendada. Ja nende lahenduses aitab meid selline tehnika nagu stabiilsete väljendite valik.

Stabiilse väljendi esiletõstmine

Vaatame seda võrrandit uuesti:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Mida me näeme? Neli on tõstetud erineval määral. Kuid kõik need astmed on muutuja $x$ lihtsad summad teiste arvudega. Seetõttu on vaja meeles pidada kraadidega töötamise reegleid:

\[\begin(joona)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\lõpp(joonda)\]

Lihtsamalt öeldes saab eksponentide liitmise teisendada astmete korrutiseks ja lahutamise saab hõlpsasti teisendada jagamiseks. Proovime rakendada neid valemeid meie võrrandi astmete jaoks:

\[\begin(joona)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cpunkt 4. \ \\lõpp(joonda)\]

Kirjutame seda asjaolu arvesse võttes algse võrrandi ümber ja seejärel kogume kõik vasakul olevad terminid:

\[\begin(joona)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 - üksteist; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cpunkt \frac(1)(4)-((4)^(x))\cpunkt 4+11=0. \\\lõpp(joonda)\]

Esimesed neli terminit sisaldavad elementi $((4)^(x))$ — võtame selle sulust välja:

\[\begin(joona)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\lõpp(joonda)\]

Jääb üle jagada mõlemad võrrandi osad murdosaga $-\frac(11)(4)$, s.o. sisuliselt korrutada pöördmurruga - $-\frac(4)(11)$. Saame:

\[\begin(joona)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\lõpp(joonda)\]

See on kõik! Tahandasime algse võrrandi lihtsaimaks ja saime lõpliku vastuse.

Samal ajal avastasime (ja isegi võtsime sulust välja) ühise teguri $((4)^(x))$ - see on stabiilne avaldis. Seda saab määrata uueks muutujaks või lihtsalt väljendada seda täpselt ja saada vastuse. Igal juhul on lahenduse põhiprintsiip järgmine:

Leidke algses võrrandis stabiilne avaldis, mis sisaldab muutujat, mis on kergesti eristatav kõigist eksponentsiaalfunktsioonidest.

Hea uudis on see, et peaaegu iga eksponentsiaalvõrrand lubab sellist stabiilset avaldist.

Kuid on ka halbu uudiseid: sellised väljendid võivad olla väga keerulised ja nende eristamine võib olla üsna keeruline. Vaatame siis teist probleemi:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Võib-olla tekib kellelgi nüüd küsimus: “Paša, kas sa oled kividega loobitud? Siin on erinevad alused - 5 ja 0,2. Kuid proovime teisendada võimsuse baasiga 0,2. Näiteks loobume kümnendmurdust, viies selle tavapäraseks:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \parem))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Nagu näha, ilmus ikkagi number 5, kuigi nimetajas. Samal ajal kirjutati näitaja ümber negatiivseks. Ja nüüd meenutame ühte neist olulised reeglid töö kraadidega:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Paremnool ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Siin ma muidugi natuke petsin. Sest täielikuks mõistmiseks tuli negatiivsetest näitajatest vabanemise valem kirjutada järgmiselt:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Paremnool ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ paremal))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Teisest küljest ei takistanud miski meil töötamast ainult ühe murdosaga:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ parem))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Aga sel juhul peab saama kraadi tõsta teise kraadini (tuletan meelde: sel juhul liidetakse näitajad kokku). Kuid ma ei pidanud murde ümber pöörama - võib-olla on see kellegi jaoks lihtsam. :)

Igal juhul kirjutatakse algne eksponentsiaalvõrrand ümber järgmiselt:

\[\begin(joona)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\lõpp(joonda)\]

Nii selgub, et algset võrrandit on veelgi lihtsam lahendada kui varem käsitletut: siin pole vaja isegi stabiilset avaldist välja tuua - kõik on iseenesest taandatud. Jääb vaid meeles pidada, et $1=((5)^(0))$, kust saame:

\[\begin(joona)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\lõpp(joonda)\]

See on kogu lahendus! Saime lõpliku vastuse: $x=-2$. Samal ajal tahaksin märkida ühte nippi, mis meie jaoks kõiki arvutusi oluliselt lihtsustas:

Eksponentvõrrandite puhul tuleb kindlasti lahti saada kümnendmurrud, teisendage need tavaliseks. See võimaldab teil näha samu kraadide aluseid ja oluliselt lihtsustada lahendust.

Liigume nüüd edasi keerukamate võrrandite juurde, milles on erinevad alused, mis üldjuhul ei ole astmete abil üksteisele taandatavad.

Eksponent omaduse kasutamine

Lubage mul teile meelde tuletada, et meil on kaks eriti karmimat võrrandit:

\[\begin(joona)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\lõpp(joonda)\]

Peamine raskus seisneb siin selles, et pole selge, mida ja mis alusele viia. Kus on fikseeritud väljendid? Kus on ühised alused? Sellest pole midagi.

Kuid proovime minna teist teed. Kui pole valmis samad alused, võite proovida neid leida olemasolevate baaside faktoorika abil.

Alustame esimese võrrandiga:

\[\begin(joona)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\lõpp(joonda)\]

Kuid lõppude lõpuks saate teha ka vastupidist - moodustage number 21 numbritest 7 ja 3. Eriti lihtne on seda teha vasakul, kuna mõlema astme näitajad on samad:

\[\begin(joona)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\lõpp(joonda)\]

See on kõik! Võtsid korrutisest välja eksponendi ja said kohe ilusa võrrandi, mida saab paari reaga lahendada.

Nüüd käsitleme teist võrrandit. Siin on kõik palju keerulisem:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Sel juhul osutusid murrud taandamatuteks, aga kui midagi vähemaks sai, siis vähenda kindlasti. Selle tulemuseks on sageli huvitavad põhjused, millega saate juba töötada.

Kahjuks pole me midagi välja mõelnud. Kuid näeme, et toote vasakpoolsed eksponendid on vastupidised:

Tuletan teile meelde: astendaja miinusmärgist vabanemiseks peate lihtsalt murdosa ümber pöörama. Kirjutame siis algse võrrandi ümber:

\[\begin(joona)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\lõpp(joonda)\]

Teises reas võtsime lihtsalt välja koguskoor sulgkorrutisest vastavalt reeglile $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$, ja viimases korrutas arvu 100 lihtsalt murdosaga.

Pange tähele, et numbrid vasakul (alusel) ja paremal on mõnevõrra sarnased. Kuidas? Jah, ilmselgelt: need on sama arvu võimsused! Meil on:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \parem))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \paremal))^(2)). \\\lõpp(joonda)\]

Seega kirjutatakse meie võrrand ümber järgmiselt:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \parem))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \parem)^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \parem))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \parem))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Samas saab paremalt ka sama alusega kraadi, mille jaoks piisab vaid murdosa “keeramisest”:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Lõpuks on meie võrrand järgmine:

\[\begin(joona)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\lõpp(joonda)\]

See on kogu lahendus. Tema põhiidee on, et isegi kui erinevatel alustel me püüame konksu või kelmusega taandada need põhjused üheks ja samaks. See aitab meid elementaarsed teisendused võrrandid ja reeglid astmetega töötamiseks.

Aga milliseid reegleid ja millal kasutada? Kuidas mõista, et ühes võrrandis peate mõlemad pooled millegagi jagama ja teises - eksponentsiaalfunktsiooni aluse lagundama teguriteks?

Vastus sellele küsimusele tuleb kogemusega. Proovige esmalt kätt lihtsate võrrandite kallal ja seejärel tehke ülesandeid järk-järgult keerulisemaks - ja varsti piisab teie oskustest, et lahendada mis tahes eksponentsiaalvõrrand sama KASUTUSE või mis tahes sõltumatu / testtööga.

Ja selleks, et aidata teid selles keerulises ülesandes, soovitan iseseisva lahenduse jaoks oma veebisaidilt alla laadida võrrandite komplekti. Kõigil võrranditel on vastused, nii et saate alati ennast kontrollida.