Murd- arv, mis koosneb täisarvust ühiku murdudest ja on esitatud kujul: a/b

Murru (a) lugeja- murrujoone kohal asuv number, mis näitab aktsiate arvu, milleks osak jagunes.

Murru nimetaja (b)- murrujoone all asuv arv, mis näitab, mitmeks osaks ühik on jagatud.

2. Murdude taandamine ühisele nimetajale

3. Aritmeetilised tehted harilike murrudega

3.1. Lisand tavalised murrud

3.2. Murdude lahutamine

3.3. Harilike murdude korrutamine

3.4. Murrude jagamine

4. Vastastikused numbrid

5. Kümnendkohad

6. Aritmeetilised toimingud kümnendkohtadega

6.1. Kümnendkohtade lisamine

6.2. Kümnendkohtade lahutamine

6.3. Kümnendkohtade korrutamine

6.4. Kümnendjaotus

#1. Murru põhiomadus

Kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada või jagada sama arvuga, mis ei ole võrdne nulliga, saad murru, mis on võrdne antud ühega.

3/7=3*3/7*3=9/21, see tähendab, 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - nii näeb välja murdosa põhiomadus.

Teisisõnu saame antud murdu, korrutades või jagades algse murru lugeja ja nimetaja sama naturaalarvuga.

Kui ad=bc, siis kaks murdosa a/b =c /d loetakse võrdseteks.

Näiteks murrud 3/5 ja 9/15 on võrdsed, kuna 3*15=5*9, st 45=45

Murdosa vähendamine on murru asendamise protsess, milles uus murd on võrdne algse murdosaga, kuid väiksema lugeja ja nimetajaga.

Tavaks on murdude taandamine murru põhiomaduse alusel.

Näiteks, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (lugeja ja nimetaja jagatakse arvuga 3, 5-ga ja 15-ga).

Taandumatu murdosa on vormi murdosa 3/4 ​ ​ , kus lugeja ja nimetaja on vastastikused algarvud. Murru vähendamise peamine eesmärk on muuta murd taandamatuks.

2. Murdude taandamine ühisele nimetajale

Kahe murru ühise nimetaja ühendamiseks peate:

1) korrutab iga murru nimetaja algteguriteks;

2) korrutage esimese murru lugeja ja nimetaja puuduvatega

tegurid teise nimetaja laienemisest;

3) korrutage teise murru lugeja ja nimetaja esimesest laiendusest puuduvate teguritega.

Näited: vähendage murde ühise nimetajani.

Jaotame nimetajad lihtsateks teguriteks: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Korrutage murdosa lugeja ja nimetaja teisest laiendusest puuduva teguriga 5.

murdu lugeja ja nimetaja esimesest laiendusest puuduvateks teguriteks 3 ja 2.

= , 90 – murdude ühisnimetaja.

3. Aritmeetilised tehted harilike murrudega

3.1. Tavaliste murdude lisamine

a) Kui nimetajad on samad, lisatakse esimese murru lugeja teise murru lugejale, jättes nimetaja samaks. Nagu näete näites:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

b) Erinevate nimetajate puhul taandatakse murrud esmalt ühiseks nimetajaks ja seejärel liidetakse lugejad vastavalt reeglile a:

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Murdude lahutamine

a) Kui nimetajad on samad, lahutage esimese murru lugejast teise murru lugeja, jättes nimetaja samaks:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

b) Kui murdude nimetajad on erinevad, siis esmalt tuuakse murrud ühisele nimetajale ja seejärel korratakse toiminguid nagu punktis a).

3.3. Harilike murdude korrutamine

Murdude korrutamine järgib järgmist reeglit:

a/b*c/d=a*c/b*d,

see tähendab, et nad korrutavad lugejad ja nimetajad eraldi.

Näiteks:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Murrude jagamine

Fraktsioonid jagatakse järgmiselt:

a/b:c/d=a*d/b*c,

see tähendab, et murd a/b korrutatakse antud murru pöördmurruga ehk korrutatakse d/c-ga.

Näide: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Vastastikused numbrid

Kui a*b=1, siis on arv b vastastikune number numbri a jaoks.

Näide: arvu 9 puhul on pöördväärtus 1/9 ​ ​ , alates 9*1/9 = 1 , numbri 5 puhul - pöördarv 1/5 ​ ​ , sest 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Kümnendkohad

Kümnend on õige murd, mille nimetaja on võrdne 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

Näiteks: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Valed nimetajaga kirjutatakse samamoodi 10^n või seganumbrid.

Näiteks: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Iga harilik murd, mille nimetaja on teatud astme 10 jagaja, esitatakse kümnendmurruna.

muutja, mis on arvu 10 teatud astme jagaja.

Näide: 5 on 100 jagaja, seega on see murd 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Aritmeetilised tehted kümnendkohtadega

6.1. Kümnendkohtade lisamine

Kahe kümnendmurru liitmiseks tuleb need järjestada nii, et üksteise all on identsed numbrid ja koma all koma, ning seejärel liita murrud nagu tavaarvud.

6.2. Kümnendkohtade lahutamine

See viiakse läbi samamoodi nagu lisamine.

6.3. Kümnendkohtade korrutamine

Kümnendarvude korrutamisel piisab etteantud arvude korrutamisest, jättes tähelepanu komadele (nagu naturaalarvud) ja saadud vastuses eraldab koma paremal nii palju numbreid, kui mõlemas teguris on pärast koma. kokku.

Korrutame 2,7 1,3-ga. Meil on 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Parempoolsed kaks numbrit eraldame komaga (esimesel ja teisel numbril on üks koht pärast koma; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). Selle tulemusena saame 2,7\cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Kui saadud tulemus sisaldab vähem numbreid, kui on vaja komaga eraldada, siis kirjutatakse ette puuduvad nullid, näiteks:

10, 100, 1000-ga korrutamiseks peate nihutama koma 1, 2, 3 numbrit paremale (vajadusel määratakse teatud arv nulle paremale).

Näiteks: 1,47\cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Kümnendjaotus

Kümnendmurru jagamine naturaalarvuga toimub samamoodi nagu naturaalarvu jagamine naturaalarvuga. Koma jagatis pannakse pärast kogu osa jagamise lõpetamist.

Kui dividendi täisarvuline osa on väiksem kui jagaja, siis on vastuseks null täisarvu, näiteks:

Vaatame kümnendkoha jagamist kümnendkohaga. Oletame, et peame 2,576 jagama 1,12-ga. Kõigepealt korrutame murdosa dividendi ja jagaja 100-ga, see tähendab, et nihutame koma dividendis paremale ja jagame nii paljude numbritega, kui palju on jagajas pärast koma (antud näites kaks). Seejärel peate jagama murdosa 257,6 naturaalarvuga 112, see tähendab, et probleem taandatakse juba käsitletud juhtumile:

Juhtub, et ühe arvu jagamisel teisega ei saada alati lõplikku kümnendmurdu. Tulemuseks on lõpmatu kümnendmurd. Sellistel juhtudel liigume edasi harilike murdude juurde.

Näiteks 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

See jaotis hõlmab tehteid tavaliste murdudega. Kui on vaja sooritada matemaatiline tehe segaarvudega, siis piisab, kui segamurd teisendada erakorraliseks murruks, viia läbi vajalikud toimingud ja vajadusel esitada lõpptulemus uuesti seganumbrina. See operatsioon kirjeldatakse allpool.

Murdosa vähendamine

Matemaatiline tehe. Murdosa vähendamine

Murru \frac(m)(n) vähendamiseks peate leidma selle lugeja ja nimetaja suurima ühisjagaja: gcd(m,n) ning seejärel jagama murdosa lugeja ja nimetaja selle arvuga. Kui GCD(m,n)=1, siis murdu ei saa vähendada. Näide: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Tavaliselt on suurim ühisjagaja kohe lihtne leida väljakutseid pakkuv ülesanne ja praktikas vähendatakse murdosa mitmes etapis, eraldades lugejast ja nimetajast ilmsed ühised tegurid samm-sammult. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Murdude taandamine ühisele nimetajale

Matemaatiline tehe. Murdude taandamine ühisele nimetajale

Kahe murru \frac(a)(b) ja \frac(c)(d) ühise nimetaja ühendamiseks vajate:

• leida nimetajate vähim ühiskordne: M=LMK(b,d);
• korrutage esimese murru lugeja ja nimetaja M/b-ga (mille järel murru nimetaja võrdub arvuga M);
• korrutage teise murru lugeja ja nimetaja M/d-ga (mille järel murru nimetaja võrdub arvuga M).

Seega teisendame algsed murrud samade nimetajatega murdudeks (mis võrdub arvuga M).

Näiteks murdude \frac(5)(6) ja \frac(4)(9) LCM(6,9) = 18. Seejärel: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Seega on saadud murdudel ühine nimetaja.

Praktikas ei ole nimetajate vähima ühiskordse (LCM) leidmine alati lihtne ülesanne. Seetõttu valitakse ühiseks nimetajaks arv, mis võrdub algsete murdude nimetajate korrutisega. Näiteks murrud \frac(5)(6) ja \frac(4)(9) taandatakse ühiseks nimetajaks N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Murdude võrdlus

Matemaatiline tehe. Murdude võrdlus

Kahe tavalise murdosa võrdlemiseks vajate:

• võrrelda saadud murdude lugejaid; suurema lugejaga murd on suurem.

Näiteks \frac(9)(14)

Murdude võrdlemisel on mitu erijuhtu:

1. Kahest fraktsioonist samade nimetajatega Mida suurem on murdosa, mille lugeja on suurem. Näiteks \frac(3)(15)
2. Kahest fraktsioonist samade lugejatega Mida suurem on murd, mille nimetaja on väiksem. Näiteks \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. See murdosa, mis üheaegselt suurem lugeja ja väiksem nimetaja, rohkem. Näiteks \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Tähelepanu! Reegel 1 kehtib kõigi murdude kohta, kui nende ühiseks nimetajaks on positiivne arv. Reeglid 2 ja 3 kehtivad positiivsete murdude kohta (nende, mille lugeja ja nimetaja on nullist suuremad).

Murdude liitmine ja lahutamine

Matemaatiline tehe. Murdude liitmine ja lahutamine

Kahe fraktsiooni lisamiseks vajate:

• tuua need ühisele nimetajale;
• lisage nende lugejad ja jätke nimetaja muutmata.

Näide: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Ühest murdosast teise lahutamiseks vajate:

• taandada murded ühise nimetajani;
• Lahutage esimese murru lugejast teise murru lugeja ja jätke nimetaja muutmata.

Näide: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Kui algsetel murdudel on algselt ühine nimetaja, siis 1. samm (ühisnimetajasse taandamine) jäetakse vahele.

Segaarvu teisendamine valeks murruks ja vastupidi

Matemaatiline tehe. Segaarvu teisendamine valeks murruks ja vastupidi

Segamurru teisendamiseks valeks fraktsiooniks lihtsalt liitke kogu segafraktsiooni osa murdosaga. Sellise summa tulemuseks on vale murd, mille lugeja on võrdne kogu osa korrutise summaga murru nimetaja ja segamurru lugejaga ja nimetaja jääb samaks. Näiteks 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Vale murru teisendamiseks segaarvuks:

• jaga murru lugeja nimetajaga;
• kirjuta jagamise jääk lugejasse ja jäta nimetaja samaks;
• kirjuta jagamise tulemus täisarvulise osana.

Näiteks murdosa \frac(23)(4) . Jagades 23:4=5,75 ehk siis terve osa on 5, jagamise jääk on 23-5*4=3. Seejärel kirjutatakse segaarv: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Kümnendarvu teisendamine murdarvuks

Matemaatiline tehe. Kümnendarvu teisendamine murdarvuks

Kümnendmurru teisendamiseks harilikuks murruks peate:

1. võta nimetajaks kümne n-s aste (siin on n kümnendkohtade arv);
2. Lugejaks võta arv pärast koma (kui täisarvu osa algne number ei ole võrdne nulliga, siis võta ka kõik esinullid);
3. nullist erinev täisarvu osa kirjutatakse lugejasse kohe alguses; null täisarvu osa jäetakse välja.

Näide 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (seal on 4 kohta pärast koma, seega on nimetaja 10 4 =10000, kuna täisarvuline osa on 0, siis lugeja sisaldab arvu pärast koma ilma eesolevate nullideta)

Näide 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (lugejasse kirjutame arvu pärast koma kõigi nullidega: “0109” ja siis enne seda lisame kogu osa algsest arvust “31”)

Kui kümnendmurru kogu osa on nullist erinev, saab selle teisendada segamurruks. Selleks teisendame arvu tavaliseks murruks nii, nagu oleks kogu osa võrdne nulliga (punktid 1 ja 2) ja kirjutame lihtsalt kogu osa murru ette - see on segaarvu terve osa . Näide:

3,014=3\frac(14)(100)

Murru kümnendkohaks teisendamiseks jagage lihtsalt lugeja nimetajaga. Mõnikord jõuate lõpmatu kümnendkohani. Sel juhul tuleb ümardada soovitud kümnendkohani. Näited:

\frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\umbes 0,6667

Murdude korrutamine ja jagamine

Matemaatiline tehe. Murdude korrutamine ja jagamine

Kahe hariliku murru korrutamiseks peate korrutama murdude lugejad ja nimetajad.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Ühe hariliku murru teisega jagamiseks peate korrutama esimese murru teise pöördarvuga ( pöördmurd- murd, milles lugeja ja nimetaja on vahetatud.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Kui üks murdudest on naturaalarv, siis jäävad kehtima ülaltoodud korrutamise ja jagamise reeglid. Peate lihtsalt arvestama, et täisarv on sama murd, mille nimetaja on võrdne ühega. Näiteks: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Murrud

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Murrud ei ole keskkoolis eriti häirivad. Praeguseks. Kuni kohtate ratsionaalsete eksponentide ja logaritmidega võimsusi. Ja seal... Vajutate ja vajutate kalkulaatorit ning see kuvab mõned numbrid täisekraanil. Peaga tuleb mõelda nagu kolmandas klassis.

Mõelgem lõpuks välja murdarvud! No kui palju saab nendes segadusse minna!? Pealegi on see kõik lihtne ja loogiline. Niisiis, millised on murdude tüübid?

Murdude tüübid. Transformatsioonid.

On murrud kolme tüüpi.

1. Harilikud murded , Näiteks:

Mõnikord panevad nad horisontaaljoone asemel kaldkriipsu: 1/2, 3/4, 19/5, hästi jne. Siin kasutame sageli seda kirjaviisi. Ülemine number helistatakse lugeja, madalam - nimetaja. Kui ajate neid nimesid pidevalt segamini (juhtub ...), öelge endale fraas: " Zzzzz jäta meelde! Zzzzz nimetaja – vaata zzzzz uh!" Vaata, kõik jääb zzzz meelde.)

Kriips, kas horisontaalne või kaldu, tähendab jaotusülemisest numbrist (lugeja) kuni alumiseni (nimetaja). See on kõik! Kriipsu asemel on täiesti võimalik panna jagamismärk - kaks punkti.

Kui täielik jagamine on võimalik, tuleb seda teha. Nii et murdosa “32/8” asemel on palju meeldivam kirjutada number “4”. Need. 32 jagatakse lihtsalt 8-ga.

32/8 = 32: 8 = 4

Ma ei räägi isegi murdosast "4/1". Mis on samuti lihtsalt "4". Ja kui see pole täielikult jagatav, jätame selle murdosaks. Mõnikord peate tegema vastupidise toimingu. Teisendage täisarv murruks. Aga sellest pikemalt hiljem.

2. Kümnendkohad , Näiteks:

Sellel kujul peate üles kirjutama ülesannete “B” vastused.

3. Seganumbrid , Näiteks:

Seganumbreid gümnaasiumis praktiliselt ei kasutata. Nendega töötamiseks tuleb need teisendada tavalisteks murdudeks. Aga sa pead seda kindlasti suutma! Muidu tuled probleemis sellise numbri peale ja tardud... Eikusagilt. Kuid me jätame selle protseduuri meelde! Natuke madalam.

Kõige mitmekülgsem harilikud murded. Alustame nendega. Muide, kui murd sisaldab igasuguseid logaritme, siinusi ja muid tähti, ei muuda see midagi. Selles mõttes, et kõik murdosaavaldistega toimingud ei erine tavaliste murdudega toimingutest!

Murru põhiomadus.

Nii et lähme! Alustuseks üllatan teid. Kogu murruteisenduste mitmekesisus pakub üks omadus! Nii seda nimetatakse murdosa peamine omadus. Pidage meeles: Kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada (jagada) sama arvuga, siis murd ei muutu. Need:

Selge see, et kirjutamist võib jätkata kuni näost siniseks jäämiseni. Ärge laske siinustel ja logaritmidel end segadusse ajada, me tegeleme nendega edasi. Peaasi on mõista, et kõik need erinevad väljendid on sama murdosa . 2/3.

Kas me vajame seda, kõiki neid muutusi? Ja kuidas! Nüüd näete ise. Alustuseks kasutame murdosa põhiomadust for redutseerivad fraktsioonid. See tunduks elementaarne asi. Jaga lugeja ja nimetaja sama arvuga ja ongi kõik! Viga on võimatu teha! Aga... inimene on loov olend. Viga võib teha igal pool! Eriti kui pead vähendama mitte murdu nagu 5/10, vaid murdosavaldist kõikvõimalike tähtedega.

Kuidas õigesti ja kiiresti murde vähendada ilma lisatööd tegemata, saab lugeda spetsiaalsest jaotisest 555.

Tavaline õpilane ei viitsi lugejat ja nimetajat sama arvuga (või avaldisega) jagada! Ta lihtsalt kriipsutab maha kõik, mis on ülalt ja alt sama! Siin varitseb tüüpiline viga, kui soovite, eksitus.

Näiteks peate avaldist lihtsustama:

Siin pole midagi mõelda, kriipsutage maha täht "a" ülevalt ja kaks alt! Saame:

Kõik on õige. Aga tegelikult sa jagasid kõik lugeja ja kõik nimetaja on "a". Kui oled harjunud lihtsalt läbi kriipsutama, siis kiirustades võid avaldises “a” maha kriipsutada

ja võta see uuesti

Mis oleks kategooriliselt vale. Sest siin kõik lugeja "a" peal on juba olemas pole jagatud! Seda osa ei saa vähendada. Muide, selline vähendamine on õpetajale tõsine väljakutse. Seda ei andestata! Kas sa mäletad? Vähendamisel peate jagama kõik lugeja ja kõik nimetaja!

Murdude vähendamine muudab elu palju lihtsamaks. Kuskilt saad murdosa, näiteks 375/1000. Kuidas ma saan nüüd temaga koostööd jätkata? Ilma kalkulaatorita? Korruta, ütle, liita, ruut!? Ja kui te pole liiga laisk, siis vähendage seda ettevaatlikult viie võrra ja veel viie võrra ja isegi ... lühidalt, kui seda lühendatakse. Võtame 3/8! Palju ilusam, eks?

Murru põhiomadus võimaldab teisendada tavalised murrud kümnendkohtadeks ja vastupidi ilma kalkulaatorita! See on ühtse riigieksami jaoks oluline, eks?

Kuidas teisendada murde ühest tüübist teise.

Kümnendmurdudega on kõik lihtne. Nii nagu kuuldakse, nii kirjutatakse! Oletame, et 0,25. See on null koma kakskümmend viis sajandikku. Nii et me kirjutame: 25/100. Vähendame (jagame lugeja ja nimetaja 25-ga), saame tavalise murdosa: 1/4. Kõik. See juhtub ja midagi ei vähene. Nagu 0,3. See on kolm kümnendikku, s.o. 3/10.

Mis siis, kui täisarvud ei ole nullid? See on korras. Kirjutame kogu murdosa üles ilma ühegi komata lugejas ja nimetajas - kuuldu. Näiteks: 3.17. See on kolm koma seitseteist sajandikku. Lugejasse kirjutame 317 ja nimetajasse 100 Saame 317/100. Midagi ei vähendata, see tähendab kõike. See on vastus. Elementaarne Watson! Kõigest öeldust on kasulik järeldus: mis tahes kümnendmurru saab teisendada harilikuks murruks .

Kuid mõned inimesed ei saa ilma kalkulaatorita tavalisest kümnendkohani vastupidist teisendada. Ja see on vajalik! Kuidas ühtse riigieksami vastuse kirja panete!? Lugege hoolikalt läbi ja omandage see protsess.

Mis on kümnendmurru tunnusjoon? Tema nimetaja on Alati maksab 10 või 100 või 1000 või 10 000 ja nii edasi. Kui teie harilikul murul on selline nimetaja, pole probleemi. Näiteks 4/10 = 0,4. Või 7/100 = 0,07. Või 12/10 = 1,2. Mis siis, kui jaotise “B” ülesande vastuseks osutus 1/2? Mida me vastuseks kirjutame? Kümakohad on kohustuslikud...

Jätame meelde murdosa peamine omadus ! Matemaatika võimaldab soodsalt korrutada lugeja ja nimetaja sama arvuga. Mida iganes, muide! Välja arvatud muidugi null. Nii et kasutame seda kinnisvara enda huvides! Millega saab nimetaja korrutada, s.t. 2, et sellest saaks 10, 100 või 1000 (väiksem on muidugi parem...)? Ilmselgelt kell 5. Korrutage nimetaja vabalt (see on meie vajalik) 5-ga. Aga siis tuleb lugeja ka 5-ga korrutada. See juba on matemaatika nõuab! Saame 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. See on kõik.

Igasuguseid nimetajaid tuleb aga ette. Näete näiteks murdosa 3/16. Proovige välja mõelda, millega korrutada 16, et saada 100 või 1000... Kas see ei tööta? Siis saate lihtsalt jagada 3 16-ga. Kalkulaatori puudumisel peate jagama nurgaga, paberil, nagu algkoolis õpetati. Saame 0,1875.

Ja on ka väga halbu nimetajaid. Näiteks murdu 1/3 ei saa kuidagi muuta heaks kümnendkohaks. Nii kalkulaatoril kui paberil saame 0,3333333... See tähendab, et 1/3 on täpne kümnendmurd ei tõlgi. Sama mis 1/7, 5/6 ja nii edasi. Neid on palju, tõlkimatud. See viib meid veel ühe kasuliku järelduseni. Iga murdosa ei saa teisendada kümnendkohaks !

Muide, see kasulikku teavet enesetesti jaoks. Jaotises "B" tuleb vastusesse kirjutada kümnendmurd. Ja sa said näiteks 4/3. Seda murdosa ei teisendata kümnendkohaks. See tähendab, et tegite kuskil vea! Minge tagasi ja kontrollige lahendust.

Niisiis, me arvasime välja tavalised ja kümnendmurrud. Jääb vaid tegeleda seganumbritega. Nendega töötamiseks tuleb need teisendada tavalisteks murdudeks. Kuidas seda teha? Saate kuuenda klassi õpilase kinni püüda ja temalt küsida. Kuid kuuenda klassi õpilane ei ole alati käepärast... Peate seda ise tegema. See ei ole raske. Murdosa nimetaja tuleb korrutada terve osaga ja lisada murdosa lugeja. See on hariliku murru lugeja. Aga nimetaja? Nimetaja jääb samaks. See kõlab keeruliselt, kuid tegelikult on kõik lihtne. Vaatame näidet.

Oletame, et nägite probleemis olevat numbrit kohkudes:

Rahulikult, ilma paanikata, mõtleme. Kogu osa on 1. Ühik. Murdosa on 3/7. Seetõttu on murdosa nimetaja 7. See nimetaja on hariliku murru nimetaja. Me loendame lugeja. Korrutame 7 1-ga (täisarvuline osa) ja liidame 3 (murruosa lugeja). Saame 10. See on hariliku murru lugeja. See on kõik. Matemaatilises tähistuses tundub see veelgi lihtsam:

Kas on selge? Seejärel kindlustage oma edu! Teisenda tavalisteks murdudeks. Peaksite saama 10/7, 7/2, 23/10 ja 21/4.

Pöördtehte – vale murdu teisendamine segaarvuks – on keskkoolis harva nõutav. Noh, kui nii... Ja kui te ei käi keskkoolis, võite uurida spetsiaalset jaotist 555. Muide, sealt saate teada ka ebaõigete murdude kohta.

Noh, see on praktiliselt kõik. Sa mäletasid murdude tüüpe ja said aru Kuidas kandke need ühest tüübist teise. Küsimus jääb: Milleks tee seda? Kus ja millal neid sügavaid teadmisi rakendada?

Ma vastan. Iga näide ütleb teile vajalikud toimingud. Kui näites segatakse kokku tavalised murrud, kümnendkohad ja isegi segaarvud, teisendame kõik tavalisteks murdudeks. Seda saab alati teha. Noh, kui see ütleb midagi nagu 0,8 + 0,3, siis me arvestame seda nii, ilma igasuguse tõlketa. Miks me vajame lisatööd? Valime sobiva lahenduse meie !

Kui ülesanne on täielikult kümnendkohad, aga ee... mõned kurjad, minge tavaliste juurde, proovige neid! Vaata, kõik saab korda. Näiteks peate ruudu 0,125. See pole nii lihtne, kui te pole kalkulaatoriga harjunud! Sa ei pea mitte ainult veerus olevaid numbreid korrutama, vaid pead ka mõtlema, kuhu koma sisestada! See ei tööta kindlasti teie peas! Mis siis, kui liigume edasi hariliku murru juurde?

0,125 = 125/1000. Vähendame seda 5 võrra (see on mõeldud algajatele). Saame 25/200. Taaskord 5-ks. Saame 5/40. Oh, see kahaneb ikka veel! Tagasi 5 juurde! Saame 1/8. Me saame selle hõlpsalt ruudukujuliseks (meeles!) ja saame 1/64. Kõik!

Teeme selle õppetunni kokkuvõtte.

1. Murdu on kolme tüüpi. Ühised, kümnend- ja seganumbrid.

2. Kümnend- ja segaarvud Alati saab teisendada tavalisteks murdudeks. Vastupidine ülekanne mitte alati saadaval.

3. Ülesandega töötavate murdude tüübi valik sõltub ülesandest endast. juuresolekul erinevad tüübid murrud ühes ülesandes, kõige usaldusväärsem on liikuda edasi tavaliste murdude juurde.

Nüüd saate harjutada. Esmalt teisendage need kümnendmurrud tavalisteks murdudeks:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Peaksite saama sellised vastused (segaduses!):

Lõpetame siin. Selles tunnis värskendasime oma mälu võtmepunktid murdude kaupa. Juhtub aga nii, et polegi midagi erilist värskendada...) Kui keegi on täiesti unustanud, või pole veel selgeks saanud... Siis saab minna spetsiaalsesse Sektsiooni 555. Kõik põhitõed on seal üksikasjalikult käsitletud. Paljud äkki mõista kõike algavad. Ja nad lahendavad murde käigu pealt).

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Murrud on tavalised arvud ja neid saab ka liita ja lahutada. Kuid tänu sellele, et need sisaldavad nimetajat, on rohkem keerulised reeglid kui täisarvude puhul.

Vaatleme kõige lihtsamat juhtumit, kui on kaks samade nimetajatega murdu. Seejärel:

Samade nimetajatega murdude liitmiseks tuleb lisada nende lugejad ja nimetaja muutmata jätta.

Samade nimetajatega murdude lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise lugeja ja jätma nimetaja jälle muutmata.

Igas avaldises on murdude nimetajad võrdsed. Murdude liitmise ja lahutamise määratluse järgi saame:

Nagu näete, pole see midagi keerulist: lihtsalt liidame või lahutame lugejad ja kõik.

Kuid isegi sellises lihtsad toimingud inimestel õnnestub vigu teha. Kõige sagedamini unustatakse ära, et nimetaja ei muutu. Näiteks nende lisamisel hakkavad need ka kokku tulema ja see on põhimõtteliselt vale.

Lahti saama halb harjumus Nimetajate lisamine on üsna lihtne. Proovige sama asja lahutamisel. Selle tulemusena on nimetaja null ja murd (äkki!) kaotab oma tähenduse.

Seetõttu pidage kindlasti meeles: liitmisel ja lahutamisel nimetaja ei muutu!

Paljud inimesed teevad vigu ka mitme negatiivse murru lisamisel. Märkidega on segadus: kuhu panna miinus ja kuhu pluss.

Seda probleemi on ka väga lihtne lahendada. Piisab meeles pidada, et miinuse enne murdosa märki saab alati üle kanda lugejasse - ja vastupidi. Ja muidugi ärge unustage kahte lihtsat reeglit:

1. Pluss miinusega annab miinuse;
2. Kaks negatiivset teevad jaatava.

Vaatame seda kõike konkreetsete näidetega:

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Esimesel juhul on kõik lihtne, kuid teisel lisame murdude lugejatele miinused:

Mida teha, kui nimetajad on erinevad

Erinevate nimetajatega murde ei saa otse lisada. Vähemalt see meetod on mulle tundmatu. Algseid murde saab aga alati ümber kirjutada, et nimetajad muutuksid samaks.

Murdude teisendamiseks on palju viise. Neist kolme käsitletakse õppetükis “Murdude taandamine ühisnimetajale”, mistõttu me siinkohal neil pikemalt ei peatu. Vaatame mõnda näidet:

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Esimesel juhul taandame murrud ühise nimetajani, kasutades “risti” meetodit. Teises otsime NOC-i. Pange tähele, et 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Nende laienduste viimased tegurid on võrdsed ja esimesed on suhteliselt esmased. Seetõttu LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Mida teha, kui murd sisaldab täisarvu

Võin teile meeldida: erinevad nimetajad murdarvudes pole just kõige suurem pahe. palju rohkem vigu tekib siis, kui täisarvu osa on murdosades eraldatud.

Loomulikult on selliste murdude jaoks olemas oma liitmis- ja lahutamisalgoritmid, kuid need on üsna keerulised ja nõuavad pikka uurimist. Parem kasutada lihtne diagramm, toodud allpool:

1. Teisendage kõik täisarvu sisaldavad murrud ebaõigeteks murdudeks. Saame normaalterminid (isegi erinevate nimetajatega), mis arvutatakse eelpool käsitletud reeglite järgi;
2. Tegelikult arvutage saadud murdude summa või erinevus. Selle tulemusena leiame praktiliselt vastuse;
3. Kui see on kõik, mida ülesandes nõuti, teostame pöördteisendust, s.o. Vabaneme valest murdest, tõstes esile kogu osa.

Vale murdude juurde liikumise ja kogu osa esiletõstmise reegleid kirjeldatakse üksikasjalikult õppetükis “Mis on numbriline murd”. Kui te ei mäleta, korrake seda kindlasti. Näited:

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Siin on kõik lihtne. Iga avaldise sees olevad nimetajad on võrdsed, seega jääb üle vaid teisendada kõik murrud valedeks ja lugeda. Meil on:

Arvutuste lihtsustamiseks jätsin viimastes näidetes mõned ilmsed sammud vahele.

Väike märkus kahe viimase näite kohta, kus lahutatakse murrud, millel on esile tõstetud täisarvuline osa. Miinus enne teist murdu tähendab, et lahutatakse kogu murd, mitte ainult selle osa.

Lugege see lause uuesti läbi, vaadake näiteid – ja mõelge selle üle. See on koht, kus algajad teevad tohutul hulgal vigu. Neile meeldib selliseid ülesandeid anda testid. Samuti kohtate neid mitu korda selle õppetunni testides, mis avaldatakse peagi.

Kokkuvõte: üldine arvutusskeem

Kokkuvõtteks annan üldise algoritmi, mis aitab teil leida kahe või enama murru summa või erinevuse:

1. Kui ühel või mitmel murdul on täisarvuline osa, teisendage need murdudeks ebaõigeteks;
2. Viige kõik murrud teile sobival viisil ühisele nimetajale (muidugi, kui probleemide kirjutajad seda ei teinud);
3. Saadud arvud liita või lahutada vastavalt sarnaste nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise reeglitele;
4. Kui võimalik, lühendage tulemust. Kui murdosa on vale, valige kogu osa.

Pidage meeles, et parem on kogu osa esile tõsta ülesande lõpus, vahetult enne vastuse kirja panemist.

Üks olulisemaid teadusi, mille rakendamist võib näha sellistes distsipliinides nagu keemia, füüsika ja isegi bioloogia, on matemaatika. Selle teaduse õppimine võimaldab teil arendada mõningaid vaimseid omadusi ja parandada keskendumisvõimet. Üks teema, mis matemaatika kursusel erilist tähelepanu väärib, on murdude liitmine ja lahutamine. Paljudel õpilastel on raske õppida. Võib-olla aitab meie artikkel teil seda teemat paremini mõista.

Kuidas lahutada murde, mille nimetajad on samad

Murrud on samad numbrid, millega saate teha erinevaid toiminguid. Nende erinevus täisarvudest seisneb nimetaja olemasolus. Sellepärast peate murdosadega toimingute tegemisel uurima mõningaid nende omadusi ja reegleid. Enamik lihtne juhtum on harilike murdude lahutamine, mille nimetajad on esitatud sama arvuna. Selle toimingu tegemine ei ole keeruline, kui teate lihtsat reeglit:

• Ühest murrust sekundi lahutamiseks on vaja taandatava murru lugejast lahutada lahutatud murru lugeja. Kirjutame selle arvu erinevuse lugejasse ja nimetaja jätame samaks: k/m - b/m = (k-b)/m.

Näited murdude lahutamisest, mille nimetajad on samad

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Murru “7” lugejast lahutame lahutatava murru “3” lugeja, saame “4”. Kirjutame selle numbri vastuse lugejasse ja nimetajasse paneme sama numbri, mis oli esimese ja teise murru nimetajates - “19”.

Alloleval pildil on veel mitu sarnast näidet.

Vaatleme keerukamat näidet, kus sarnaste nimetajatega murrud lahutatakse:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Murru “29” lugejast taandatakse, lahutades omakorda kõigi järgnevate murdude lugejad - “3”, “8”, “2”, “7”. Selle tulemusena saame tulemuse “9”, mille kirjutame vastuse lugejasse ja nimetajasse kirjutame üles arvu, mis on kõigi nende murdude nimetajates - “47”.

Sama nimetajaga murdude lisamine

Harilike murdude liitmine ja lahutamine toimub samal põhimõttel.

• Samade nimetajatega murdude liitmiseks tuleb lisada lugejad. Saadud arv on summa lugeja ja nimetaja jääb samaks: k/m + b/m = (k + b)/m.

Vaatame näite abil, kuidas see välja näeb:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Murru esimese liikme lugejale - "1" - lisage murdosa teise liikme lugeja - "2". Tulemus - "3" - kirjutatakse summa lugejasse ja nimetaja jäetakse samaks, mis on murdudes - "4".

Erinevate nimetajatega murrud ja nende lahutamine

Oleme juba käsitlenud tehteid murdudega, millel on sama nimetaja. Nagu näeme, teades lihtsad reeglid, on selliste näidete lahendamine üsna lihtne. Aga mis siis, kui teil on vaja teha tehte murdudega, millel on erinevad nimetajad? Paljud keskkooliõpilased on sellistest näidetest segaduses. Kuid isegi siin, kui teate lahenduse põhimõtet, pole näited teile enam rasked. Siin on ka reegel, ilma milleta on selliste murdude lahendamine lihtsalt võimatu.

Erinevate nimetajatega murdude lahutamiseks tuleb need taandada samale väikseimale nimetajale.



Sellest, kuidas seda teha, räägime üksikasjalikumalt.

Murru omadus

Selleks, et viia mitu murdosa samale nimetajale, tuleb lahenduses kasutada murru põhiomadust: pärast lugeja ja nimetaja jagamist või korrutamist sama arvuga saad murru, mis on võrdne etteantuga.

Näiteks võib murdarvul 2/3 olla nimetajaid, nagu "6", "9", "12" jne, see tähendab, et sellel võib olla mis tahes arv, mis on "3" kordne. Pärast lugeja ja nimetaja korrutamist 2-ga saame murdosa 4/6. Pärast algmurru lugeja ja nimetaja korrutamist 3-ga saame 6/9 ja kui sarnane tegevus toota numbriga “4”, saame 8/12. Ühe võrdsuse saab kirjutada järgmiselt:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Kuidas teisendada mitu murdosa samale nimetajale

Vaatame, kuidas taandada mitut murdu samale nimetajale. Näiteks võtame alloleval pildil näidatud murded. Kõigepealt peate kindlaks määrama, milline number võib saada nende kõigi nimetajaks. Asjade lihtsustamiseks faktoreerime olemasolevad nimetajad.

Murru 1/2 ja murdosa 2/3 nimetajat ei saa faktoriseerida. Nimetaja 7/9 on kaks tegurit 7/9 = 7/(3 x 3), murdosa 5/6 nimetaja = 5/(2 x 3). Nüüd peame kindlaks määrama, millised tegurid on kõigi nende nelja fraktsiooni puhul väikseimad. Kuna esimese murru nimetajas on arv “2”, tähendab see, et murdes 7/9 on kaks kolmikut, mis tähendab, et nimetajas peavad olema ka mõlemad. Eespool öeldut arvesse võttes määrame, et nimetaja koosneb kolmest tegurist: 3, 2, 3 ja on võrdne 3 x 2 x 3 = 18.



Vaatleme esimest murdosa - 1/2. Selle nimetajas on "2", kuid seal pole ühtegi numbrit "3", vaid peaks olema kaks. Selleks korrutame nimetaja kahe kolmikuga, kuid vastavalt murdosa omadusele peame korrutama lugeja kahe kolmekordsega:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Ülejäänud fraktsioonidega teeme samu toiminguid.

• 2/3 - nimetajas puuduvad üks kolm ja üks kaks:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 või 7/(3 x 3) – nimetajast puudub kaks:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 või 5/(2 x 3) – nimetajast puudub kolm:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Kõik kokku näeb see välja selline:



Kuidas lahutada ja liita murde, millel on erinevad nimetajad

Nagu eespool mainitud, tuleb erinevate nimetajatega murdude liitmiseks või lahutamiseks need taandada samale nimetajale ja seejärel kasutada sama nimetajaga murdude lahutamise reegleid, millest on juba juttu olnud.

Vaatame seda näitena: 4/18 - 3/15.

Arvude 18 ja 15 kordse leidmine:

• Arv 18 koosneb 3 x 2 x 3-st.
• Arv 15 koosneb 5 x 3-st.
• Ühiskordaja on järgmised tegurid: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Pärast nimetaja leidmist on vaja arvutada iga murdosa jaoks erinev tegur, st arv, millega on vaja korrutada mitte ainult nimetaja, vaid ka lugeja. Selleks jagage leitud arv (ühiskordne) selle murdosa nimetajaga, mille jaoks tuleb määrata täiendavad tegurid.

• 90 jagatud 15-ga. Saadud arv “6” on 3/15 kordaja.
• 90 jagatud 18-ga. Saadud arv “5” on 4/18 kordaja.

Meie lahenduse järgmine etapp on iga murdosa taandamine nimetajaks "90".

Oleme juba rääkinud, kuidas seda tehakse. Vaatame, kuidas see näites on kirjutatud:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Kui murdude arvud on väikesed, saate määrata ühise nimetaja, nagu alloleval pildil näidatud näites.



Sama kehtib nende kohta, kellel on erinevad nimetajad.

Lahutamine ja täisarvuliste osade omamine

Oleme juba üksikasjalikult arutanud murdude lahutamist ja nende liitmist. Aga kuidas lahutada, kui murd sisaldab täisarvu? Jällegi kasutame mõnda reeglit:

• Teisendage kõik täisarvuga murrud ebaõigeteks murdudeks. Rääkimine lihtsate sõnadega, eemaldage kogu osa. Selleks korrutage täisarvulise osa arv murdosa nimetajaga ja lisage saadud korrutis lugejale. Arv, mis ilmub pärast neid toiminguid, on vale murru lugeja. Nimetaja jääb muutumatuks.
• Kui murdudel on erinevad nimetajad, tuleks need taandada samale nimetajale.
• Tehke liitmine või lahutamine samade nimetajatega.
• Vale murdu saamisel valige kogu osa.



Tervete osadega murdude liitmiseks ja lahutamiseks on veel üks viis. Selleks tehakse toimingud eraldi tervete osadega ja toimingud murdosadega eraldi ning tulemused registreeritakse koos.



Antud näide koosneb murdosadest, millel on sama nimetaja. Kui nimetajad on erinevad, tuleb need viia samale väärtusele ja seejärel teha näites näidatud toimingud.

Täisarvudest murdude lahutamine

Teist tüüpi tehte murdudega on juhtum, kui murdosast tuleb lahutada Esmapilgul selline näide tundub raskesti lahendatav. Siin on aga kõik üsna lihtne. Selle lahendamiseks peate täisarvu teisendama murdarvuks ja sama nimetajaga, mis on lahutatud murrus. Järgmisena teostame identsete nimetajatega lahutamisele sarnase lahutamise. Näites näeb see välja selline:

7 - 4/9 = (7 x 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Käesolevas artiklis toodud murdude (6. hinne) lahutamine on aluseks rohkema lahendamiseks keerulised näited, mida arutatakse järgmistes tundides. Selle teema teadmisi kasutatakse hiljem funktsioonide, tuletiste jms lahendamiseks. Seetõttu on väga oluline mõista ja mõista eespool käsitletud tehteid murdudega.