Kuidas leida suurendatud maatriksi auastet. Maatriksi järgu arvutamine elementaarteisenduste abil

Maatriksi auastme arvutamiseks võite kasutada alaealiste piiritlemise meetodit või Gaussi meetodit. Mõelge Gaussi meetodile või elementaarteisenduste meetodile.

Maatriksi auaste on selle alaealiste maksimaalne järjekord, mille hulgas on vähemalt üks, mis ei ole võrdne nulliga.

Ridade (veergude) süsteemi järjestus on selle süsteemi lineaarselt sõltumatute ridade (veergude) maksimaalne arv.

Algoritm maatriksi auastme leidmiseks alaealiste ääristamise meetodil:

1. Alaealine M järjekord ei ole null.
2. Kui ääristada alaealisi alaealistele M (k+1)-th järjekorras, on võimatu koostada (st maatriks sisaldab k read või k veerud), siis on maatriksi auaste k. Kui piirnevad alaealised on olemas ja kõik on nullid, on auaste k. Kui piirnevate alaealiste hulgas on vähemalt üks, mis ei võrdu nulliga, siis proovime koostada uue molli k+2 jne.

Analüüsime algoritmi üksikasjalikumalt. Esiteks kaaluge maatriksi esimest järku minoorseid (maatriksielemente). A. Kui need kõik on nullid, siis auaste A = 0. Kui on esimest järku minoorseid elemente (maatriksielemente), mis ei võrdu nulliga M1 ≠ 0, siis auaste A ≥ 1.

M1. Kui selliseid alaealisi on, siis on nad teist järku alaealised. Kui kõik alaealised piirnevad alaealisega M1 on siis võrdsed nulliga auaste A = 1. Kui on vähemalt üks teist järku moll, mis ei võrdu nulliga M2 ≠ 0, siis auaste vahemik A ≥ 2.

Kontrollige, kas alaealise jaoks on alaealised M2. Kui selliseid alaealisi on, siis on nad kolmandat järku alaealised. Kui kõik alaealised piirnevad alaealisega M2 on siis võrdsed nulliga auaste A = 2. Kui on vähemalt üks kolmanda järgu moll, mis ei ole võrdne nulliga M3 ≠ 0, siis auaste helitugevus A ≥ 3.

Kontrollige, kas alaealise jaoks on alaealised M3. Kui selliseid alaealisi on, siis on nad neljandat järku alaealised. Kui kõik alaealised piirnevad alaealisega M3 on siis võrdsed nulliga auaste A = 3. Kui on vähemalt üks neljandat järku moll, mis ei ole võrdne nulliga M4 ≠ 0, siis auaste helitugevus A ≥ 4.

Kontrollimine, kas alaealise jaoks on piiriäärne alaealine M4, ja nii edasi. Algoritm peatub, kui mingil etapil on piirnevad mollid võrdsed nulliga või ääristavat molli pole võimalik saada (maatriksis pole ridu ega veerge). Nullist erineva molli järjekord, mis meil õnnestus koostada, on maatriksi auaste.

Näide

Kaaluge seda meetodit Näiteks. Arvestades 4x5 maatriksit:

Selle maatriksi auaste ei saa olla suurem kui 4. Samuti on sellel maatriksil nullist erinevad elemendid (esimest järku kõrval), mis tähendab, et maatriksi auaste on ≥ 1.

Teeme molli 2 tellida. Alustame nurgast.

Kuna determinant on võrdne nulliga, koostame teise minoori.

Leidke selle molli määraja.

Määrake antud moll -2 . Seega maatriksi auaste ≥ 2 .

Kui see alaealine oleks võrdne 0-ga, siis lisanduks teised alaealised. Kuni lõpuni oleks kõik alaealised loositud 1. ja 2. reale. Seejärel ridadel 1 ja 3, ridadel 2 ja 3, ridadel 2 ja 4, kuni nad leiavad näiteks minoori, mis ei ole 0-ga võrdne:

Kui kõik teist järku mollid on 0, siis oleks maatriksi auaste 1. Lahenduse võiks peatada.

3 tellida.

Alaealine osutus mitte nulliks. tähendab maatriksi auastet ≥ 3 .

Kui see alaealine oleks null, siis tuleks teisi alaealisi komponeerida. Näiteks:

Kui kõik kolmandat järku mollid on 0, siis oleks maatriksi auaste 2. Lahenduse võiks peatada.

Jätkame maatriksi auastme otsimist. Teeme molli 4 tellida.

Leiame selle alaealise määraja.

Alaealise määraja osutus võrdseks 0 . Ehitame veel ühe molli.

Leiame selle alaealise määraja.

Alaealine osutus võrdseks 0 .

Ehitage alaealine 5 järjekord ei tööta, selles maatriksis pole selle jaoks rida. Viimane nullist erinev moll oli 3 järjekorras, seega on maatriksi auaste 3 .

Ja kaaluge ka teema olulist praktilist rakendust: süsteemiuuringud lineaarvõrrandidühilduvuse huvides.

Mis on maatriksi auaste?

Artikli humoorikas epigraaf sisaldab palju tõtt. Sõna "auaste" ise on tavaliselt seotud mingisuguse hierarhiaga, kõige sagedamini karjääriredeliga. Mida rohkem teadmisi, kogemusi, võimeid, sidemeid jne on inimesel. - mida kõrgem on tema positsioon ja võimaluste hulk. Noorte mõistes viitab auaste üldisele "sitkuse astmele".

Ja meie matemaatilised vennad elavad samade põhimõtete järgi. Jalutame mõned meelevaldsed nullmaatriksid:

Mõelgem kas maatriksis ainult nullid, siis millisest auastmest saame rääkida? Igaüks on tuttav mitteametliku väljendiga "täielik null". Maatriksühiskonnas on kõik täpselt sama:

Nullmaatriksi asteiga suurus on null.

Märge : nullmaatriks on tähistatud Kreeka kiri"teeta"

Maatriksi järjestuse paremaks mõistmiseks lähtun edaspidi materjalidest analüütiline geomeetria. Arvesta nulliga vektor meie kolmemõõtmelisest ruumist, mis ei määra kindlat suunda ja on ehitamiseks kasutu afiinne alus. Algebralisest vaatenurgast on antud vektori koordinaadid sisse kirjutatud maatriks"üks-kolm" ja loogiline (määratud geomeetrilises tähenduses) eeldame, et selle maatriksi aste on null.

Vaatame nüüd mõnda nullist erinev veeruvektorid Ja rea vektorid:


Igal eksemplaril on vähemalt üks mitte-null element ja see on midagi!

Iga nullist erineva reavektori (veeruvektor) auaste on võrdne ühega

Ja üldiselt - kui maatriksis suvalised suurused sisaldab vähemalt ühte nullist erinevat elementi, siis selle auaste mitte vähemühikut.

Algebralised rea- ja veeruvektorid on teatud määral abstraktsed, seega pöördume uuesti geomeetrilise seostamise poole. nullist erinev vektor määrab ruumis täpselt määratletud suuna ja sobib konstrueerimiseks alus, seega eeldatakse, et maatriksi auaste on võrdne ühega.

Teoreetiline viide : lineaaralgebras on vektor vektorruumi element (määratletud 8 aksioomi kaudu), mis võib olla reaalarvude järjestatud rida (või veerg) reaalarvuga liitmise ja korrutamise operatsioonidega. neile. Rohkemaga detailne info vektorite kohta leiate artiklist Lineaarsed teisendused.

lineaarselt sõltuv(väljendatakse üksteise kaudu). Geomeetrilisest vaatenurgast sisaldab teine ​​rida kollineaarse vektori koordinaate , mis ei viinud asja ehitamisel edasi kolmemõõtmeline alus, olles selles mõttes üleliigne. Seega on selle maatriksi auaste ka võrdne ühega.

Kirjutame vektorite koordinaadid veergudesse ( maatriksi transponeerimiseks):

Mis on auastme osas muutunud? Mitte midagi. Veerud on proportsionaalsed, mis tähendab, et auaste on võrdne ühega. Muide, pange tähele, et kõik kolm rida on ka proportsionaalsed. Neid saab koordinaatide abil tuvastada kolm tasapinna kollineaarsed vektorid, millest ainult üks kasulik "tasase" aluse ehitamiseks. Ja see on täielikult kooskõlas meie geomeetrilise auastmetajuga.

Ülaltoodud näitest tuleneb oluline väide:

Maatriksi järjestus ridade järgi on võrdne maatriksi auastmega veergude järgi. Mainisin seda juba veidi tõhususe õppetunnis determinandi arvutamise meetodid.

Märge : ridade lineaarne sõltuvus toob kaasa veergude lineaarse sõltuvuse (ja vastupidi). Kuid aja säästmiseks ja harjumusest räägin ma peaaegu alati stringide lineaarsest sõltuvusest.

Jätkame oma armastatud lemmiklooma koolitamist. Lisage kolmanda rea ​​maatriksile teise kollineaarse vektori koordinaadid :

Kas ta aitas meid kolmemõõtmelise aluse loomisel? Muidugi mitte. Kõik kolm vektorit kõnnivad mööda sama rada edasi-tagasi ja maatriksi auaste on üks. Võite võtta nii palju kollineaarseid vektoreid kui soovite, näiteks 100, panna nende koordinaadid maatriksisse 100 x 3 ja sellise pilvelõhkuja auaste jääb ikkagi üheks.

Tutvume maatriksiga, mille read lineaarselt sõltumatu. Kolmemõõtmelise aluse konstrueerimiseks sobib paar mittekollineaarset vektorit. Selle maatriksi auaste on kaks.

Mis on maatriksi auaste? Jooned ei tundu olevat proportsionaalsed ... nii et teoreetiliselt kolm. Kuid selle maatriksi auaste on samuti võrdne kahega. Lisasin kaks esimest rida ja kirjutasin tulemuse alla, st. lineaarselt väljendatud kolmas rida läbi kahe esimese. Geomeetriliselt vastavad maatriksi read kolme koordinaatidele koplanaarsed vektorid, ja selle kolmiku hulgas on paar mittekollineaarset kamraadi.

Nagu sa näed lineaarne sõltuvus vaadeldavas maatriksis pole ilmne ja täna õpime lihtsalt, kuidas see "puhtasse vette" viia.

Ma arvan, et paljud inimesed arvavad, mis on maatriksi auaste!

Vaatleme maatriksit, mille read lineaarselt sõltumatu. Vektorid moodustuvad afiinne alus ja selle maatriksi auaste on kolm.

Nagu teate, väljendatakse kolmemõõtmelise ruumi mis tahes neljandat, viiendat, kümnendat vektorit lineaarselt baasvektorites. Seega, kui maatriksile lisada suvaline arv ridu, siis selle järjestus saab ikka kolm.

Samasuguseid arutlusi saab läbi viia ka maatriksite puhul suuremad suurused(ilmselgelt juba ilma geomeetrilise mõtteta).

Definitsioon : maatriksi aste on lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalne arv. Või: maatriksi järjestus on lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalne arv. Jah, need sobivad alati kokku.

Ülaltoodust tuleneb oluline praktiline juhend: maatriksi aste ei ületa selle miinimummõõdet. Näiteks maatriksis neli rida ja viis veergu. Minimaalne mõõde on neli, seetõttu ei ületa selle maatriksi aste kindlasti 4.

Märge: maailma teoorias ja praktikas pole maatriksi auastme määramiseks üldtunnustatud standardit, kõige levinum võib leida: - nagu öeldakse, inglane kirjutab üht, sakslane teist. Seetõttu tähistagem tuntud anekdoodi põhjal Ameerika ja Venemaa põrgust maatriksi auaste emakeelse sõnaga. Näiteks: . Ja kui maatriks on "nimetu", mida on palju, võite lihtsalt kirjutada .

Kuidas leida alaealiste abil maatriksi auastet?

Kui meie vanaemal oli maatriksis viies veerg, siis oleks tulnud arvestada veel 4. järku molli (“sinine”, “vaarikas” + 5. veerg).

Järeldus: nullist erineva molli maksimaalne järjekord on kolm, seega .

Võib-olla ei saanud kõik sellest fraasist täielikult aru: 4. järku alaealine on võrdne nulliga, kuid 3. järku alaealiste hulgas oli nullist erinev üks - seega maksimaalne järjekord nullist erinev väike ja võrdne kolmega.

Tekib küsimus, miks mitte kohe determinant välja arvutada? Esiteks, enamiku ülesannete puhul ei ole maatriks ruudukujuline ja teiseks, isegi kui saate nullist erineva väärtuse, siis ülesanne suure tõenäosusega lükatakse tagasi, kuna see tähendab tavaliselt standardset alt-üles lahendust. Ja vaadeldavas näites võimaldab 4. järgu nulldeterminant isegi väita, et maatriksi auaste on väiksem kui neli.

Pean tunnistama, et mõtlesin analüüsitud probleemile ise välja, et alaealiste piiritlemise meetodit paremini selgitada. IN tõeline praktika see on lihtsam:

Näide 2

Leia maatriksi auaste alaealiste ääristamise meetodil

Lahendus ja vastus tunni lõpus.

Millal töötab algoritm kõige kiiremini? Läheme tagasi sama neli korda nelja maatriksi juurde . Ilmselgelt on "hea" puhul lahendus lühim nurga alaealised:

Ja kui , siis , muidu - .

Mõtlemine pole sugugi hüpoteetiline – on palju näiteid, kus kogu asi piirdub ainult nurgeliste alaealistega.

Kuid mõnel juhul on mõni muu meetod tõhusam ja eelistatavam:

Kuidas leida maatriksi auastet Gaussi meetodi abil?

See jaotis on mõeldud lugejatele, kes on sellega juba tuttavad Gaussi meetod ja vähehaaval said nad käed külge.

KOOS tehniline punkt Meetod ei ole uus:

1) elementaarteisenduste abil viime maatriksi astmelisele kujule;

2) maatriksi järjestus võrdub ridade arvuga.

See on täiesti selge Gaussi meetodi kasutamine ei muuda maatriksi järjestust, ja olemus on siin äärmiselt lihtne: vastavalt algoritmile tuvastatakse ja eemaldatakse elementaarsete teisenduste käigus kõik mittevajalikud proportsionaalsed (lineaarselt sõltuvad) jooned, mille tulemusena jääb alles "kuiv jääk" - maksimaalne arv lineaarselt sõltumatud jooned.

Teisendame vana tuttava maatriksi kolme kollineaarse vektori koordinaatidega:

(1) Esimene rida lisati teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale.

(2) Nullridad jäetakse välja.

Seega on jäänud üks rida, seega . Ütlematagi selge, et see on palju kiirem, kui arvutada 2. järku üheksa null-molli ja alles seejärel teha järeldus.

Tuletan teile seda iseenesest meelde algebraline maatriks midagi muuta ei saa ja teisendusi tehakse ainult auastme väljaselgitamise eesmärgil! Muide, peatume veel kord küsimusel, miks mitte? Allikamaatriks kannab teavet, mis erineb põhimõtteliselt maatriksi- ja reainfost. Mõnes matemaatilised mudelid(ilma liialdamata) võib ühe numbri erinevus olla elu ja surma küsimus. ...tuleb meelde kooli õpetajad alg- ja keskklassi matemaatikud, kes pisimagi ebatäpsuse või algoritmist kõrvalekaldumise eest hinnet halastamatult 1-2 punkti võrra maha lõikavad. Ja oli kohutav pettumus, kui näiliselt garanteeritud "viie" asemel sai "hea" või veelgi hullem. Arusaam tuli palju hiljem – kuidas muidu usaldada inimesele satelliite, tuumalõhkepäid ja elektrijaamu? Aga ärge muretsege, ma ei tööta nendel aladel =)

Liigume edasi sisukamate ülesannete juurde, kus muuhulgas tutvume oluliste arvutustehnikatega Gaussi meetod:

Näide 3

Leidke maatriksi auaste elementaarteisenduste abil

Lahendus: antud neli korda viis maatriksit, mis tähendab, et selle aste ei ole kindlasti suurem kui 4.

Esimeses veerus ei ole 1 ega -1, seetõttu on vähemalt ühe ühiku saamiseks vaja täiendavaid samme. Kogu saidi olemasolu jooksul on mulle korduvalt küsitud küsimust: "Kas elementaarsete teisenduste ajal on võimalik veerge ümber paigutada?". Siin - esimene või teine ​​veerg ümber paigutatud ja kõik on korras! Enamikus ülesannetes, kus Gaussi meetod, saab veerge tõesti ümber paigutada. AGA ÄRA. Ja mõte pole isegi mitte võimalikus segiajamises muutujatega, asi on selles, et klassikalises õppesuunas kõrgem matemaatika seda tegevust traditsiooniliselt ei arvestata, seetõttu vaadatakse sellisele ropendajale VÄGA viltu (või sunnitakse isegi kõike ümber tegema).

Teine punkt puudutab numbreid. Otsuse tegemisel on kasulik juhinduda järgmisest rusikareeglist: elementaarteisendused peaksid võimalusel vähendama maatriksi arve. Tõepoolest, üks-kaks-kolmega on palju lihtsam töötada kui näiteks 23, 45 ja 97-ga. Ja esimene toiming ei ole suunatud mitte ainult esimeses veerus oleva ühiku hankimisele, vaid ka numbrite kõrvaldamisele. 7 ja 11.

Kõigepealt täislahendus, seejärel kommentaarid:

(1) Esimene rida lisati teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -3-ga. Ja kuhja juurde: 1. rida, korrutatuna -1-ga, lisati 4. reale.

(2) Kolm viimast rida on võrdelised. Kustutati 3. ja 4. rida, teine ​​rida viidi esimesele kohale.

(3) Esimene rida lisati teisele reale, korrutatuna -3-ga.

Astmeliseks vormiks taandatud maatriksil on kaks rida.

Vastus:

Nüüd on teie kord neli korda neli maatriksit piinata:

Näide 4

Leidke maatriksi auaste Gaussi meetodi abil

Tuletan teile seda meelde Gaussi meetod ei tähenda ühemõttelist jäikust ja teie lahendus erineb tõenäoliselt minu lahendusest. Ülesande lühinäidis õppetunni lõpus.

Millist meetodit kasutada maatriksi auastme leidmiseks?

Praktikas ei öelda sageli üldse, millist meetodit auastme leidmiseks kasutada. Sellises olukorras tuleks analüüsida tingimust - mõne maatriksi jaoks on ratsionaalsem lahendus läbi viia alaealiste kaudu, samas kui teiste jaoks on palju tulusam rakendada elementaarseid teisendusi:

Näide 5

Leidke maatriksi auaste

Lahendus: esimene viis kaob kuidagi kohe ära =)

Natuke kõrgemal soovitasin maatriksi veerge mitte puudutada, kuid kui on null veerg või proportsionaalsed / sobivad veerud, siis tasub ikkagi amputeerida:

(1) Viies veerg on null, eemaldame selle maatriksist. Seega on maatriksi auaste maksimaalselt neli. Esimene rida korrutatakse -1-ga. See on Gaussi meetodi teine ​​patenteeritud omadus, mis pöördub järgmine tegevus mõnusaks jalutuskäiguks

(2) Kõigile ridadele, alustades teisest, lisati esimene rida.

(3) Esimene rida korrutati -1-ga, kolmas rida jagati 2-ga, neljas rida jagati 3-ga. Viiendale reale liideti teine ​​rida, mis on korrutatud -1-ga.

(4) Kolmas rida lisati viiendale reale, korrutatuna -2-ga.

(5) Kaks viimast rida on proportsionaalsed, viienda kustutame.

Tulemuseks on 4 rida.

Vastus:

Standardne viiekorruseline hoone iseseisvaks uurimiseks:

Näide 6

Leidke maatriksi auaste

Lühilahendus ja vastus tunni lõpus.

Tuleb märkida, et fraas "maatriksi auaste" pole praktikas nii levinud ja enamiku probleemide puhul saate ilma selleta hakkama. Kuid on üks ülesanne, kus vaadeldav kontseptsioon on peamine. näitleja, ja artikli lõpus vaatleme seda praktilist rakendust:

Kuidas uurida lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvust?

Sageli lisaks lahendamisele lineaarvõrrandisüsteemid tingimuse kohaselt tuleb esmalt kontrollida selle ühilduvust, st tõestada, et lahendus on üldse olemas. võtmeroll mängib sellises testis Kroneckeri-Capelli teoreem, mille sõnastan sisse nõutav vorm:

Kui auaste süsteemsed maatriksid võrdne auastmega laiendatud maatrikssüsteem, siis on süsteem järjekindel ja kui antud arv langeb kokku tundmatute arvuga, siis on lahendus kordumatu.

Seega on süsteemi ühilduvuse uurimiseks vaja kontrollida võrdsust , Kus - süsteemi maatriks(pidage meeles tunni terminoloogiat Gaussi meetod), A - laiendatud maatrikssüsteem(st maatriks koefitsientidega muutujate juures + vabade terminite veerg).

Olgu A maatriks mõõtmetega m\ korda n ja k on naturaalarv, mitte üle m ja n : k\leqslant\min\(m;n\). Väike k-s järjekord maatriks A on maatriksi A suvaliselt valitud k rea ja k veeru ristumiskohas elementide moodustatud k-ndat järku maatriksi determinant. Alaealisi tähistades tähistatakse valitud ridade numbreid ülemiste ja valitud veergude numbreid madalamate indeksitega, järjestades need kasvavas järjekorras.

Näide 3.4. Kirjutage erineva maatriksi järjekorra alaealisi

A=\begin(pmaatriks)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmaatriks)\!.

Lahendus. Maatriksi A mõõtmed on 3\ korda4. Sellel on: 12 I järgu alaealist, näiteks alaealist M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 alaealist 2. järku näiteks M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 alaealist 3. järku näiteks

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

M\x n maatriksis A kutsutakse r-ndat järku minoori põhilised, kui see on nullist erinev ja kõik järgu minoorsed (r + 1)-ro on võrdsed nulliga või neid pole üldse olemas.

Maatriksi auaste nimetatakse põhimolli järjekorraks. Nullmaatriksis puudub alusmoll. Seetõttu eeldatakse, et nullmaatriksi aste on definitsiooni järgi null. Maatriksi A aste on tähistatud \operaatorinimi(rg)A.

Näide 3.5. Leia kõik põhimollid ja maatriksi auaste

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Lahendus. Kõik selle maatriksi kolmandat järku minoorsed väärtused on võrdsed nulliga, kuna nende determinantide kolmas rida on null. Seetõttu saab põhiline olla ainult maatriksi kahes esimeses reas asuv teist järku moll. Läbides 6 võimalikku alaealist, valime nullist erineva

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmaatriks)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmaatriks) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Kõik need viis alaealist on põhilised. Seetõttu on maatriksi auaste 2.

Märkused 3.2

1. Kui maatriksis on kõik k-ndat järku minoorsed võrdsed nulliga, siis on need nulliga ja minoorsed on rohkem kui kõrge järjekord. Tõepoolest, laiendades (k + 1)-ro järgu molli suvalisele reale, saame selle rea elementide korrutiste summa k-ndat järku kõrvaltähtedega ja need on võrdsed nulliga.

2. Maatriksi järk on võrdne selle maatriksi nullist erineva minoori suurima järguga.

3. Kui ruutmaatriks on mitte-mandunud, siis on selle auaste võrdne selle järjestusega. Kui ruutmaatriks on degenereerunud, on selle aste väiksem kui selle järjestus.

4. Nimetusi kasutatakse ka auastme jaoks \operaatorinimi(Rg)A,~ \operaatorinimi(aste)A,~ \operaatorinimi(aste)A.

5. Block Matrix Rank on defineeritud kui tavalise (numbrilise) maatriksi auaste, st. sõltumata selle ploki struktuurist. Sel juhul ei ole plokimaatriksi järjestus väiksem kui selle plokkide auaste: \operaatorinimi(rg)(A\mid B)\geqslant\operaatorinimi(rg)A Ja \operaatorinimi(rg)(A\mid B)\geqslant\operaatorinimi(rg)B, kuna kõik maatriksi A (või B ) minoorsed on ka plokkmaatriksi (A\mid B) minoorsed .

Teoreemid molli ja maatriksi auastme alusel

Vaatleme peamisi teoreeme, mis väljendavad maatriksi veergude (ridade) lineaarse sõltuvuse ja lineaarse sõltumatuse omadusi.

Teoreem 3.1 põhimolli kohta. Suvalises maatriksis A on iga veerg (rida) lineaarne kombinatsioon veergudest (ridadest), milles asub põhimoll.

Tõepoolest, ilma üldistust kaotamata eeldame, et m\times n maatriksis A asub alusmoll esimeses r reas ja esimeses r veerus. Mõelge determinandile

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmaatriks),

mis saadakse maatriksi A alusmollile omistades vastava elemendid s-th rida ja k-s veerg. Pange tähele, et mis tahes 1\leqslant s\leqslant m ja see determinant on null. Kui s\leqslant r või k\leqslant r , siis determinant D sisaldab kahte identset rida või kahte identset veergu. Kui s>r ja k>r , siis on determinant D võrdne nulliga, kuna see on (r+l)-ro järgu moll. Laiendades determinandi üle viimase rea, saame

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

kus D_(r+1\,j) on viimase rea elementide algebralised täiendid. Pange tähele, et D_(r+1\,r+1)\ne0 , kuna see on põhimoll. Sellepärast

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Kus \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Kirjutades viimase võrrandi s=1,2,\ldots,m , saame

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

need. k-s veerg (mis tahes 1\leqslant k\leqslant n) on põhimolli veergude lineaarne kombinatsioon, mida tuli tõestada.

Põhiteoreem on mõeldud järgmiste oluliste teoreemide tõestamiseks.

Tingimus, et determinand on võrdne nulliga

Teoreem 3.2 (vajalik ja piisav tingimus, et determinant oleks võrdne nulliga). Et determinant oleks võrdne nulliga, on vajalik ja piisav, et üks selle veergudest (üks selle ridadest) oleks ülejäänud veergude (ridade) lineaarne kombinatsioon.

Tõepoolest, vajalikkus tuleneb põhimolloori teoreemist. Kui n-ndat järku ruutmaatriksi determinant on võrdne nulliga, siis on selle aste väiksem kui n, s.o. vähemalt üks veerg ei kuulu alus-minoori hulka. Seejärel on see teoreemi 3.1 järgi valitud veerg põhimolli sisaldavate veergude lineaarne kombinatsioon. Lisades sellele kombinatsioonile vajadusel muid nullkoefitsientidega veerge, saame, et valitud veerg on maatriksi ülejäänud veergude lineaarne kombinatsioon. Determinandi omadustest tuleneb piisavus. Kui näiteks determinandi viimane veerg A_n \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) lineaarselt väljendatuna ülejäänud osas

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

seejärel lisades A_n veeru A_1 korrutisega (-\lambda_1) , seejärel veeru A_2 korrutisega (-\lambda_2) ja nii edasi. veerg A_(n-1) korrutatuna (-\lambda_(n-1)) , saame determinandi \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) nullveeruga, mis on võrdne nulliga (determinandi omadus 2).

Maatriksi järgu invariantsus elementaarteisenduste korral

Teoreem 3.3 (järguinvariantsusest elementaarteisenduste korral). Maatriksi veergude (ridade) elementaarsete teisenduste korral selle aste ei muutu.

Tõepoolest, las . Oletame, et maatriksi A veergude ühe elementaarse teisenduse tulemusena saime maatriksi A ". Kui sooritati I tüüpi teisendus (kahe veeru permutatsioon), siis mis tahes minoor (r + l)-ro maatriksi A" järjekord või võrdne maatriksi A järgu vastava minooriga (r + l )-ro või erineb sellest märgi poolest (determinandi omadus 3). Kui teostati II tüüpi teisendus (veeru korrutamine arvuga \lambda\ne0 ), siis maatriksi A" suurusjärgus mis tahes minoor (r+l)-ro on võrdne vastava minoorse (r+l)- ro maatriksi A suurusjärku või erineb sellest kordaja \lambda\ne0 (determinandi omadus 6).Kui teostati III tüüpi teisendus (liides teise veeru ühele veerule korrutatuna arvuga \Lambda ), siis maatriksi A" iga (r + 1) järkjärgu alamiinor on kas võrdne maatriksi A vastava minoorse (r+1) järguga (determinandi omadus 9) või võrdub kaks maatriksi A (r+l)-ro järgu minoori (determinandi omadus 8). Seetõttu on mis tahes tüüpi elementaarteisendusel kõik maatriksi A" järgu minoorid (r + l) - ro võrdsed nulliga, kuna kõik maatriksi A järgu minoorid (r + l) - ro on võrdne nulliga. Seega on tõestatud, et veergude elementaarteisenduste korral ei saa astmemaatriksid suureneda.Kuna elementaarteisendused on elementaarsed, ei saa maatriksi auaste veergude elementaarteisenduste korral langeda, st ei muutu. Samuti on tõestatud, et maatriksi auaste ridade elementaarteisenduste korral ei muutu.

Tagajärg 1. Kui maatriksi üks rida (veerg) on ​​selle teiste ridade (veergude) lineaarne kombinatsioon, saab selle rea (veeru) maatriksist kustutada ilma selle järjestust muutmata.

Tõepoolest, sellise stringi saab muuta nulliks, kasutades elementaarseid teisendusi, ja nullstringi ei saa lisada põhimolli.

Tagajärg 2. Kui maatriks taandatakse lihtsaimale kujule (1.7), siis

\operaatorinimi(rg)A=\operaatorinimi(rg)\Lambda=r\,.

Tõepoolest, kõige lihtsama vormi (1.7) maatriksil on r-ndat järku alusmoll.

Tagajärg 3. Iga mitteainsuse ruutmaatriks on elementaarne, teisisõnu, mis tahes mitteainsuse ruutmaatriks on samaväärne sama järgu identiteedimaatriksiga.

Tõepoolest, kui A on mitteainsuse ruutmaatriks järguga n, siis \operaatorinimi(rg)A=n(vt märkuste 3.2 punkt 3). Seega, taandades maatriksi A elementaarteisendustega lihtsaimale kujule (1.7), saame identiteedi maatriks\Lambda=E_n , sest \operaatorinimi(rg)A=\operaatorinimi(rg)\Lambda=n(vt Järeldus 2). Seetõttu on maatriks A ekvivalentne identiteedimaatriksiga E_n ja selle saab saada lõpliku arvu elementaarteisenduste tulemusena. See tähendab, et maatriks A on elementaarne.

Teoreem 3.4 (maatriksi astme kohta). Maatriksi järjestus on võrdne selle maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalse arvuga.

Tõepoolest, las \operaatorinimi(rg)A=r. Siis on maatriksil A r lineaarselt sõltumatut rida. Need on read, milles asub põhimoll. Kui need oleksid lineaarselt sõltuvad, siis oleks see alatäht võrdne teoreemi 3.2 järgi nulliga ja maatriksi A aste ei oleks võrdne r . Näitame, et r on maksimaalne lineaarselt sõltumatute ridade arv, s.o. mis tahes p read on lineaarselt sõltuvad p>r . Tõepoolest, nendest p ridadest moodustame maatriksi B. Kuna maatriks B on maatriksi A osa, siis \operaatorinimi(rg)B\leqslant \operaatorinimi(rg)A=r

See tähendab, et vähemalt üks rida maatriksist B ei kuulu selle maatriksi põhimolli. Seejärel on see põhimoll teoreemi järgi võrdne ridade lineaarse kombinatsiooniga, milles asub alusmoll. Seetõttu on maatriksi B read lineaarselt sõltuvad. Seega on maatriksil A maksimaalselt r lineaarselt sõltumatut rida.

Tagajärg 1. Maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalne arv on võrdne lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalse arvuga:

\operaatorinimi(rg)A=\operaatorinimi(rg)A^T.

See väide tuleneb teoreemist 3.4, kui seda rakendada transponeeritud maatriksi ridadele ja arvestada, et alaealised transponeerimisel ei muutu (determinandi omadus 1).

Tagajärg 2. Maatriksiridade elementaarsete teisendustega lineaarne sõltuvus (või lineaarne iseseisvus) selle maatriksi mis tahes veergude süsteemist on säilinud.

Tõepoolest, me valime antud maatriksist A mis tahes k veergu ja moodustame nendest maatriksi B. Olgu maatriksi A ridade elementaarteisenduste tulemusena saadi maatriks A" ja maatriksi B ridade samade teisenduste tulemusena maatriks B". Lause 3.3 järgi \operaatorinimi(rg)B"=\operaatorinimi(rg)B. Seega, kui maatriksi B veerud oleksid lineaarselt sõltumatud, s.t. k=\operaatorinimi(rg)B(vt Järeldus 1), siis on maatriksi B" veerud samuti lineaarselt sõltumatud, kuna k=\operaatorinimi(rg)B". Kui maatriksi B veerud oleksid lineaarselt sõltuvad (k>\operaatorinimi(rg)B), siis on maatriksi B" veerud samuti lineaarselt sõltuvad (k>\operaatorinimi(rg)B"). Seetõttu säilitatakse maatriksi A mis tahes veergude puhul lineaarne sõltuvus või lineaarne sõltumatus elementaarsete rea teisenduste korral.

Märkused 3.3

1. Teoreemi 3.4 järelduse 1 kohaselt kehtib 2. järelduses näidatud veeru omadus ka iga maatriksiridade süsteemi puhul, kui elementaarteisendusi teostatakse ainult selle veergudel.

2. Teoreemi 3.3 järeldust 3 saab täpsustada järgmiselt: mis tahes mitteainsuse ruutmaatriksi, kasutades ainult selle ridade (või ainult veergude) elementaarteisendusi, saab taandada sama järku identiteedimaatriksiks.

Tõepoolest, kasutades ainult elementaarseid rea teisendusi, saab iga maatriksi A taandada lihtsustatud kujule \Lambda (joonis 1.5) (vt teoreem 1.1). Kuna maatriks A on mittesingulaarne (\det(A)\ne0), on selle veerud lineaarselt sõltumatud. Järelikult on ka maatriksi \Lambda veerud lineaarselt sõltumatud (teoreemi 3.4 järeldus 2). Seetõttu langeb mitteainsuse maatriksi A lihtsustatud vorm \Lambda kokku selle kõige lihtsama vormiga (joonis 1.6) ja on identsusmaatriks \Lambda=E (vt teoreemi 3.3 järeldus 3). Seega, teisendades ainult mitteainsuse maatriksi ridu, saab selle taandada identseks maatriksiks. Sarnane arutlus kehtib ka mitteainsuse maatriksi veergude elementaarteisenduste puhul.

Korrutise aste ja maatriksite summa

Teoreem 3.5 (maatriksite korrutise astme kohta). Maatriksite korrutise järjekord ei ületa tegurite astet:

\operaatorinimi(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operaatorinimi(rg)A,\operaatorinimi(rg)B\).

Tõepoolest, olgu maatriksite A ja B suurused m\ korda p ja p\ korda n . Määrame maatriksile A maatriksi C=AB\koolon\,(A\keskmine C). See on ütlematagi selge \operaatorinimi(rg)C\leqslant\operaatorinimi(rg)(A\mid C), sest C on maatriksi osa (A\mid C) (vt märkuse 3.2 punkti 5). Pange tähele, et iga veerg C_j on maatriksi korrutamisoperatsiooni kohaselt veergude lineaarne kombinatsioon A_1,A_2,\ldots,A_p maatriksid A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Sellise veeru saab maatriksist (A\mid C) kustutada ilma selle järku muutmata (Teoreemi 3.3 järeldus 1). Kriipsutades maha kõik maatriksi C veerud, saame: \operaatorinimi(rg)(A\mid C)=\operaatorinimi(rg)A. Siit, \operaatorinimi(rg)C\leqslant\operaatorinimi(rg)(A\mid C)=\operaatorinimi(rg)A. Samamoodi saab tõestada, et tingimus \operaatorinimi(rg)C\leqslant\operaatorinimi(rg)B, ja teha järeldus teoreemi kehtivuse kohta.

Tagajärg. Kui A on siis mittedegenereerunud ruutmaatriks \operaatorinimi(rg)(AB)= \operaatorinimi(rg)B Ja \operaatorinimi(rg)(CA)=\operaatorinimi(rg)C, st. maatriksi aste ei muutu, kui see korrutatakse vasakul või paremal mitteainsuse ruutmaatriksiga.

Lause 3.6 maatriksite summa järgust. Maatriksite summa aste ei ületa terminite ridade summat:

\operaatorinimi(rg)(A+B)\leqslant \operaatorinimi(rg)A+\operaatorinimi(rg)B.

Tõepoolest, loome maatriksi (A+B\keskel A\keskel B). Pange tähele, et maatriksi A+B iga veerg on maatriksite A ja B veergude lineaarne kombinatsioon. Sellepärast \operaatorinimi(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operaatorinimi(rg)(A\mid B). Arvestades, et lineaarselt sõltumatute veergude arv maatriksis (A\mid B) ei ületa \operaatorinimi(rg)A+\operaatorinimi(rg)B, a \operaatorinimi(rg)(A+B)\leqslant \operaatorinimi(rg)(A+B\mid A\mid B)(vt märkuste 3.2 punkt 5), saame nõutava ebavõrdsuse.

Elementaarne Nimetatakse järgmisi maatriksteisendusi:

1) mis tahes kahe rea (või veeru) permutatsioon,

2) rea (või veeru) korrutamine nullist erineva arvuga,

3) ühele reale (või veerule) teise rea (või veeru) lisamine, mis on korrutatud mingi arvuga.

Neid kahte maatriksit nimetatakse samaväärne, kui üks neist saadakse teisest elementaarteisenduste lõpliku hulga abil.

Ekvivalentmaatriksid ei ole üldiselt võrdsed, kuid nende auastmed on võrdsed. Kui maatriksid A ja B on samaväärsed, kirjutatakse see järgmiselt: A ~ B.

Kanooniline Maatriks on maatriks, mille põhidiagonaali alguses on järjest mitu 1-d (mille arv võib olla null) ja kõik muud elemendid on võrdsed nulliga, näiteks

Ridade ja veergude elementaarsete teisenduste abil saab mis tahes maatriksi taandada kanooniliseks. Kanoonilise maatriksi aste on võrdne selle põhidiagonaalil olevate maatriksite arvuga.

Näide 2 Leidke maatriksi auaste

A=

ja viige see kanoonilisse vormi.

Lahendus. Lahutage esimene rida teisest reast ja korraldage need read ümber:

.

Nüüd lahutage teisest ja kolmandast reast esimene, korrutatuna vastavalt 2 ja 5-ga:

;

lahutage esimene kolmandast reast; saame maatriksi

B = ,

mis on ekvivalentne maatriksiga A, kuna see saadakse sellest elementaarteisenduste lõpliku hulga abil. Ilmselgelt on maatriksi B aste 2 ja seega r(A)=2. Maatriksi B saab hõlpsasti taandada kanooniliseks. Lahutades kõigist järgnevatest esimese veeru, mis on korrutatud sobivate arvudega, nullisime kõik esimese rea elemendid, välja arvatud esimene, ja ülejäänud ridade elemendid ei muutu. Seejärel, lahutades kõigist järgnevatest teise veeru, mis on korrutatud sobivate arvudega, nullisime kõik teise rea elemendid, välja arvatud teine, ja saame kanoonilise maatriksi:

.

Kronecker – Capelli teoreem- lineaarse süsteemi ühilduvuse kriteerium algebralised võrrandid:

Selleks, et lineaarne süsteem on järjepidev, siis on vajalik ja piisav, et selle süsteemi laiendatud maatriksi auaste oleks võrdne selle põhimaatriksi auastmega.

Tõend (süsteemi ühilduvustingimused)

Vajadus

Lase süsteem liigend. Siis on sellised numbrid, et . Seetõttu on veerg maatriksi veergude lineaarne kombinatsioon. Sellest, et maatriksi järjestus ei muutu, kui selle ridade (veergude) süsteem kustutatakse või määratakse rida (veerg), mis on teiste ridade (veergude) lineaarne kombinatsioon, järeldub, et .

Adekvaatsus

Laske . Võtame maatriksis mõned põhimollid. Alates , siis on see ka maatriksi alusmoll . Siis vastavalt alusteoreemile alaealine, on maatriksi viimane veerg põhiveergude, st maatriksi veergude lineaarne kombinatsioon. Seetõttu on süsteemi vabade liikmete veerg maatriksi veergude lineaarne kombinatsioon.

Tagajärjed

Peamiste muutujate arv süsteemid võrdne süsteemi auastmega.

Ühine süsteem defineeritakse (selle lahendus on kordumatu), kui süsteemi auaste on võrdne kõigi selle muutujate arvuga.

Homogeenne võrrandisüsteem

Pakkumine15 . 2 Homogeenne võrrandisüsteem

on alati koostööaldis.

Tõestus. Selle süsteemi jaoks on lahenduseks arvude hulk , , .

Selles jaotises kasutame süsteemi maatrikstähistust: .

Pakkumine15 . 3 Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahendite summa on selle süsteemi lahendus. Lahendus, mis on korrutatud arvuga, on samuti lahendus.

Tõestus. Laske ja toimige süsteemi lahendustena. Siis ja . Laske . Siis

Kuna , siis on lahendus.

Laskma olema suvaline arv, . Siis

Kuna , siis on lahendus.

Tagajärg15 . 1 Kui homogeenne süsteem lineaarvõrrandil on nullist erinev lahend, siis on sellel lõpmatult palju erinevaid lahendeid.

Tõepoolest, korrutades nullist erineva lahendi erinevate arvudega, saame erinevad lahendid.

Definitsioon15 . 5 Me ütleme, et lahendused süsteemid moodustavad põhimõtteline otsustussüsteem kui veerud moodustavad lineaarselt sõltumatu süsteemi ja süsteemi mis tahes lahendus on nende veergude lineaarne kombinatsioon.