Teist järku diferentsiaalvõrrandid iseloomustav võrrand. Teist järku lineaarsed homogeensed diferentsiaalvõrrandid konstantsete koefitsientidega

See artikkel paljastab lineaarsete ebahomogeensete teist järku diferentsiaalvõrrandite lahendamise küsimuse konstantsed koefitsiendid. Käsitletakse teooriat koos näidetega antud probleemidest. Arusaamatute terminite lahtimõtestamiseks on vaja viidata diferentsiaalvõrrandite teooria põhidefinitsioonide ja mõistete teemale.

Vaatleme teist järku lineaarset diferentsiaalvõrrandit (LDE) konstantsete koefitsientidega kujul y "" + p y " + q y \u003d f (x) , kus p ja q on suvalised arvud ja olemasolev funktsioon f (x) on pidev integreerimisintervallil x .

Liigume üle LIDE üldlahendusteoreemi sõnastamise juurde.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Üldine lahendusteoreem LDNU jaoks

1. teoreem

Üldlahend, mis asub intervallil x, ebahomogeensele diferentsiaalvõrrandile kujul y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) pidevate integreerimiskoefitsientidega x intervallil f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) ja pidev funktsioon f (x) on võrdne üldlahenduse y 0 summaga, mis vastab LODE-le ja mõnele konkreetsele lahendile y ~ , kus algne mittehomogeenne võrrand on y = y 0 + y ~ .

See näitab, et sellise teist järku võrrandi lahend on kujul y = y 0 + y ~ . Algoritmi y 0 leidmiseks käsitletakse artiklis, mis käsitleb teist järku lineaarseid homogeenseid konstantsete koefitsientidega diferentsiaalvõrrandeid. Pärast seda tuleks jätkata y ~ definitsiooniga.

LIDE konkreetse lahenduse valik sõltub võrrandi paremal küljel asuva saadaoleva funktsiooni f (x) tüübist. Selleks on vaja eraldi vaadelda konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarsete mittehomogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendeid.

Kui f (x) peetakse n-nda astme polünoomiks f (x) = P n (x), siis järeldub, et LIDE konkreetne lahendus leitakse valemiga kujul y ~ = Q n (x) ) x γ , kus Q n ( x) on n-astme polünoom, r on karakteristiku võrrandi nulljuurte arv. Y ~ väärtus on konkreetne lahendus y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , siis saadaolevad koefitsiendid, mis on määratletud polünoomiga
Q n (x) , leiame määramatute kordajate meetodil võrrandist y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Näide 1

Arvutage Cauchy teoreemi abil y "" - 2 y " = x 2 + 1, y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Lahendus

Teisisõnu on vaja üle minna teist järku lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi konkreetsele lahendusele konstantsete koefitsientidega y "" - 2 y " = x 2 + 1 , mis vastab antud tingimustele y (0) = 2, y" (0) = 1 4 .

Lineaarmitte üldlahend homogeenne võrrand on võrrandile y 0 või konkreetsele lahendile vastava üldlahenduse summa ebahomogeenne võrrand y ~ , st y = y 0 + y ~ .

Esiteks leiame LNDE jaoks üldise lahenduse ja seejärel konkreetse lahenduse.

Liigume edasi y 0 leidmise juurde. Iseloomuliku võrrandi kirjutamine aitab leida juuri. Me saame sellest aru

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) = 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Leidsime, et juured on erinevad ja tõelised. Seetõttu kirjutame

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

Leiame y ~ . On näha, et parem pool antud võrrand on teise astme polünoom, siis on üks juurtest võrdne nulliga. Siit saame, et y ~ jaoks on konkreetne lahendus

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, kus A, B, C väärtused võta määramata koefitsiendid.

Leiame need võrrandist kujul y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Siis saame selle:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C" - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Võrdsustades koefitsiendid samade astendajatega x , saame lineaaravaldiste süsteemi - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Mis tahes viisil lahendamisel leiame koefitsiendid ja kirjutame: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 ja y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Seda kirjet nimetatakse algse lineaarse ebahomogeense konstantsete koefitsientidega teist järku diferentsiaalvõrrandi üldlahenduseks.

Konkreetse lahenduse leidmiseks, mis vastab tingimustele y (0) = 2, y " (0) = 1 4 , on vaja määrata väärtused C1 Ja C2, mis põhineb võrdusel kujul y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Saame selle:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Töötame saadud võrrandisüsteemiga kujul C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , kus C 1 = 3 2, C 2 = 1 2 .

Cauchy teoreemi rakendades on see meil olemas

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Vastus: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Kui funktsioon f (x) on esitatud polünoomi astmega n ja astendaja f (x) = P n (x) e a x korrutis, siis siit saame, et teist järku LIDE konkreetne lahendus on võrrand kujul y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , kus Q n (x) on n-nda astme polünoom ja r on karakteristiku võrrandi juurte arv, mis on võrdne α .

Q n (x)-sse kuuluvad koefitsiendid leitakse võrrandiga y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Näide 2

Leidke diferentsiaalvõrrandi üldlahend kujul y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Lahendus

Üldvõrrand y = y 0 + y ~ . Näidatud võrrand vastab väärtusele LOD y "" - 2 y " = 0. Eelnev näide näitab, et selle juured on k1 = 0 ja k 2 = 2 ja y 0 = C 1 + C 2 e 2 x vastavalt tunnusvõrrandile.

On näha, et võrrandi parem pool on x 2 + 1 · e x . Siit leitakse LNDE läbi y ~ = e a x Q n (x) x γ , kus Q n (x) , mis on teise astme polünoom, kus α = 1 ja r = 0 , kuna karakteristiku võrrand ei mille juur on võrdne 1-ga. Seetõttu saame selle kätte

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C.

A, B, C on tundmatud koefitsiendid, mida saab leida võrrandiga y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Sain aru

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Samastame näitajad samade koefitsientidega ja saame süsteemi lineaarvõrrandid. Siit leiame A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = -3

Vastus: on näha, et y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 on LIDE konkreetne lahendus ja y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Kui funktsioon on kirjutatud kujul f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x ja A 1 Ja IN 1 on arvud, siis võrrand kujul y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , kus A ja B loetakse määramatuteks kordajateks ja r on iseloomuliku võrrandiga seotud komplekssete konjugeeritud juurte arv, mis on võrdne ± i β . Sel juhul toimub koefitsientide otsimine võrrandiga y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Näide 3

Leidke diferentsiaalvõrrandi üldlahend kujul y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Lahendus

Enne tunnusvõrrandi kirjutamist leiame y 0 . Siis

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

Meil on paar keerulist konjugaatjuurt. Muutame ja saame:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Karakteristrivõrrandist pärit juurteks loetakse konjugeeritud paar ± 2 i , siis f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . See näitab, et y ~ otsing tehakse y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x järgi. Tundmatud koefitsiente A ja B otsitakse võrdusest kujul y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Muutame:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Siis on näha, et

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

Siinuse ja koosinuse koefitsiente on vaja võrdsustada. Saame vormi süsteemi:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Sellest järeldub, et y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

Vastus: loetakse konstantsete koefitsientidega teist järku algse LIDE üldlahenduseks

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Kui f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , siis y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x) ) cos (β x) x γ Meil ​​on, et r on iseloomuliku võrrandiga seotud keeruliste konjugeeritud juurte paaride arv, mis on võrdne α ± i β , kus P n (x) , Q k (x) , L m ( x) ja N m (x) on polünoomid astmega n, k, m, kus m = m a x (n, k). Koefitsientide leidmine L m (x) Ja N m (x) saadakse võrrandi y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) alusel.

Näide 4

Leidke üldlahend y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Lahendus

Tingimusest on selge, et

α = 3, β = 5, Pn (x) = -38 x -45, Q k (x) = -8 x + 5, n = 1, k = 1

Siis m = m a x (n, k) = 1. Leiame y 0, olles eelnevalt kirjutanud iseloomulik võrrand tüüp:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Leidsime, et juured on tõelised ja eristatavad. Seega y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Järgmiseks tuleb otsida üldlahendus vormi mittehomogeensel võrrandil y ~

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

On teada, et A, B, C on koefitsiendid, r = 0, kuna puudub konjugeeritud juurte paar, mis on seotud karakteristiku võrrandiga α ± i β = 3 ± 5 · i. Need koefitsiendid leitakse saadud võrrandist:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Tuletise jms terminite leidmine annab

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

Pärast koefitsientide võrdsustamist saame vormi süsteemi

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Kõigest sellest järeldub

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x) +1)patt(5x))

Vastus: nüüd on antud lineaarvõrrandi üldlahend saadud:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritm LDNU lahendamiseks

Definitsioon 1

Mis tahes muud tüüpi funktsioon f (x) lahenduse jaoks näeb ette lahendusalgoritmi:

• vastava lineaarse homogeense võrrandi üldlahenduse leidmine, kus y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , kus y 1 Ja y2 on lineaarselt sõltumatud LODE erilahendused, Alates 1 Ja Alates 2 peetakse suvalisteks konstantideks;
• aktsepteerimine LIDE üldlahendusena y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• funktsiooni tuletiste defineerimine süsteemi kaudu kujul C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , ja funktsioonide leidmine C 1 (x) ja C2(x) integreerimise kaudu.

Näide 5

Leidke y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x üldlahendus.

Lahendus

Jätkame iseloomuliku võrrandi kirjutamisega, olles eelnevalt kirjutanud y 0 , y "" + 36 y = 0 . Kirjutame ja lahendame:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Meil on, et antud võrrandi üldlahenduse kirje saab kujul y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Tuleb minna üle tuletisfunktsioonide definitsiooni juurde C 1 (x) Ja C2(x) võrranditega süsteemi järgi:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Selle kohta tuleb teha otsus C 1 "(x) Ja C2" (x) kasutades mis tahes meetodit. Siis kirjutame:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Kõik võrrandid peavad olema integreeritud. Seejärel kirjutame saadud võrrandid:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Sellest järeldub, et üldlahendus on järgmisel kujul:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Vastus: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Teist järku lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand konstantsete koefitsientidega on üldine lahendus
, Kus Ja selle võrrandi lineaarselt sõltumatud konkreetsed lahendid.

Konstantsete koefitsientidega teist järku homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendite üldvorm
, sõltub tunnusvõrrandi juurtest
.

Tunnuse juured võrrandid	Üldine lahendus
Juured Ja kehtivad ja mitmesugused
Juured == kehtiv ja identne
Komplekssed juured ,

Näide

Leidke konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarsete homogeensete diferentsiaalvõrrandite üldlahendus:

1)

Lahendus:
.

Olles selle lahendanud, leiame juured
,
kehtiv ja erinev. Seetõttu on üldine lahendus järgmine:
.

2)

Lahendus: Teeme iseloomuliku võrrandi:
.

Olles selle lahendanud, leiame juured

kehtiv ja identne. Seetõttu on üldine lahendus järgmine:
.

3)

Lahendus: Teeme iseloomuliku võrrandi:
.

Olles selle lahendanud, leiame juured
keeruline. Seetõttu on üldine lahendus järgmine:

Lineaarne ebahomogeenne konstantsete koefitsientidega teist järku diferentsiaalvõrrand on vorm

Kus
. (1)

Ühine otsus teist järku lineaarsel ebahomogeensel diferentsiaalvõrrandil on vorm
, Kus
on selle võrrandi erilahend, on vastava homogeense võrrandi üldlahend, s.o. võrrandid.

Eraotsuse tüüp
ebahomogeenne võrrand (1) olenevalt parempoolsest küljest
:

Parem osa	Eraldi otsus
– astme polünoom	, Kus on tunnusvõrrandi juurte arv, mis on võrdne nulliga.
	, Kus = on iseloomuliku võrrandi juur.
	Kus on arv, mis võrdub karakteristiku võrrandi juurte arvuga, mis langeb kokku .
	Kus on tunnusvõrrandi juurte arv, mis langeb kokku .

Vaatleme lineaarse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi erinevat tüüpi paremaid külgi:

1.
, kus on astme polünoom . Siis konkreetne lahendus
saab otsida vormilt
, Kus

, A on tunnusvõrrandi juurte arv, mis on võrdne nulliga.

Näide

Leidke üldine lahendus
.

Lahendus:

.

B) Kuna võrrandi parem pool on esimese astme polünoom ja mitte ükski iseloomuliku võrrandi juurtest
ei ole võrdne nulliga (
), siis otsime konkreetset lahendust kujul kus Ja on tundmatud koefitsiendid. Erinevus kaks korda
ja asendamine
,
Ja
algsesse võrrandisse, leiame.

Koefitsientide võrdsustamine samadel astmetel võrrandi mõlemal poolel
,
, leiame
,
. Seega on selle võrrandi konkreetsel lahendusel vorm
ja selle üldine lahendus.

2. Lase parem pool välja näha
, kus on astme polünoom . Siis konkreetne lahendus
saab otsida vormilt
, Kus
on sama astmega polünoom
, A - arv, mis näitab, mitu korda on iseloomuliku võrrandi juur.

Näide

Leidke üldine lahendus
.

Lahendus:

A) Leia vastava homogeense võrrandi üldlahend
. Selleks kirjutame iseloomuliku võrrandi
. Leiame viimase võrrandi juured
. Seetõttu on homogeense võrrandi üldlahendil vorm
.

iseloomulik võrrand

, Kus on tundmatu koefitsient. Erinevus kaks korda
ja asendamine
,
Ja
algsesse võrrandisse, leiame. Kus
, see on
või
.

Seega on selle võrrandi konkreetsel lahendusel vorm
ja selle üldine lahendus
.

3. Las parem pool näeb välja nagu , kus
Ja - antud numbrid. Siis konkreetne lahendus
saab otsida kujul kus Ja on tundmatud koefitsiendid ja on arv, mis võrdub karakteristiku võrrandi juurte arvuga, mis langeb kokku
. Kui funktsiooni avaldises
sisaldama vähemalt ühte funktsiooni
või
, siis sisse
tuleks alati sisestada mõlemad funktsioonid.

Näide

Leidke üldine lahendus.

Lahendus:

A) Leia vastava homogeense võrrandi üldlahend
. Selleks kirjutame iseloomuliku võrrandi
. Leiame viimase võrrandi juured
. Seetõttu on homogeense võrrandi üldlahendil vorm
.

B) Kuna võrrandi parem pool on funktsioon
, siis selle võrrandi kontrollarv, see ei ühti juurtega
iseloomulik võrrand
. Seejärel otsime vormilt konkreetset lahendust

Kus Ja on tundmatud koefitsiendid. Kaks korda eristades saame. Asendamine
,
Ja
algsesse võrrandisse, leiame

.

Sarnased tingimused kokku tuues saame

.

Me võrdsustame koefitsiendid at
Ja
võrrandi paremal ja vasakul küljel. Saame süsteemi kätte
. Selle lahendades leiame
,
.

Seega on algse diferentsiaalvõrrandi konkreetsel lahendusel vorm .

Algse diferentsiaalvõrrandi üldlahend on kujul .

2. järku diferentsiaalvõrrandid

§1. Meetodid võrrandi järjekorra alandamiseks.

Teist järku diferentsiaalvõrrandil on järgmine kuju:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( või Diferentsiaal" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">2. järku diferentsiaalvõrrand). Teist järku diferentsiaalvõrrandi Cauchy probleem (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

Teist järku diferentsiaalvõrrand näeb välja selline: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Seega on teist järku võrrand https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Selle lahendamisel saame algse diferentsiaalvõrrandi üldise integraali, mis sõltub kahest suvalisest konstandist: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" width="76" height="25 src=">.

Lahendus.

Kuna algses võrrandis pole selgesõnalist argumenti https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25" src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38" src=">.

Alates https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= "> .gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.

Teist järku diferentsiaalvõrrand näeb välja selline: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src" =">..gif" width="150" height="25 src=">.

Näide 2 Leia võrrandi üldlahendus: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height= "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.

3. Astme järjekorda vähendatakse, kui see on võimalik teisendada sellisele kujule, et võrrandi mõlemad osad muutuvad summaarseks tuletisteks vastavalt https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif " width="92" height=" 25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" laius = "282" kõrgus = "25 src=">, (2.1)

kus https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> - eelmääratletud funktsioonid, pidev intervallil, mille jooksul lahendust otsitakse. Eeldusel, et a0(x) ≠ 0, jagage (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2))

Oletame ilma tõestuseta, et (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height= " 25 src=">, siis nimetatakse võrrandit (2.2) homogeenseks ja võrrandit (2.2) ebahomogeenseks.

Vaatleme 2. järku lodu lahendite omadusi.

Definitsioon. Funktsioonide lineaarne kombinatsioon https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)

seejärel nende lineaarne kombinatsioon https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> in (2.3) ja näidata, et tulemuseks on identiteet:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

Kuna funktsioonid https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> on võrrandi (2.3) lahendid, siis kõik sulud viimane võrrand on identselt võrdne nulliga, mida tuli tõestada.

Tagajärg 1. See tuleneb tõestatud teoreemist aadressil https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> – võrrandi (2..gif) lahendus " width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> nimetatakse mingil intervallil lineaarselt sõltumatuks, kui ükski neist funktsioonidest ei ole esitatud kõigi lineaarse kombinatsioonina teised.

Kahe funktsiooni korral https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, i.e..gif" width="77" height= "47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. Seega ei saa Wronsky determinant kahe lineaarselt sõltumatu funktsiooni jaoks olla identselt võrdne nulliga.

Laske https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> rahuldavad võrrandi (2..gif" width="42" height="25 src" = "> – võrrandi (3.1) lahend..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> on identne. Seega

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, milles on võrrandi (2..gif) lineaarselt sõltumatute lahendite determinant " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> Mõlemad valemi (3.2) paremal küljel olevad tegurid on nullist erinevad.

§4. 2. järku lod üldlahenduse struktuur.

Teoreem. Kui https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> on võrrandi (2..gif" width=") lineaarselt sõltumatud lahendid 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">on võrrandi (2.3) lahend, tuleneb teist järku lodu-lahenduste omadusi käsitlevast teoreemist..gif " width="85 "height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Selle lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi konstandid https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> on üheselt määratud, kuna determinant see süsteem on https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Vastavalt eelmisele lõigule on teist järku lodu üldlahend kergesti määratav, kui on teada selle võrrandi kaks lineaarselt sõltumatut osalahendit. Lihtne meetod L. Euleri pakutud konstantsete koefitsientidega võrrandi osalahenduste leidmiseks..gif" width="25" height="26 src=">, saame algebraline võrrand, mida nimetatakse iseloomulikuks:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> on võrrandi (5.1) lahendus ainult nende k väärtuste jaoks mis on iseloomuliku võrrandi (5.2) juured..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> ja üldlahendus (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Kontrollige, kas see funktsioon vastab võrrandile (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Nende avaldiste asendamine võrrand (5.1), saame

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, sest.gif" width="137" height="26 src=" >.

Privaatlahendused https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> on lineaarselt sõltumatud, sest.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height =" 25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

Mõlemad sulud selle võrrandi vasakul küljel on identselt võrdsed nulliga..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> on võrrandi (5.1) lahendus ..gif" width="129" height="25 src="> näeb välja selline:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

esitatud üldlahenduse summana https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

ja iga konkreetne lahendus https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> on võrrandi (6.1) lahendus..gif" laius=" 272" height="25 src="> f(x). See võrdsus on identiteet, kuna..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Seetõttu.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= "138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> on selle võrrandi lineaarselt sõltumatud lahendused. Seega:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src="> ja selline determinant, nagu eespool nägime, erineb süsteemi väärtusest null..gif" width="19" height="25 src="> võrranditest (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> on võrrandi lahend

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> võrrandisse (6.5), saame

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

kus https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> võrrandist (7.1) juhul, kui parem külg f(x) on eriline liik. Seda meetodit nimetatakse määramata koefitsientide meetodiks ja see seisneb konkreetse lahenduse valimises sõltuvalt f(x) parema külje kujust. Mõelge järgmise vormi õigetele osadele:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> võib olla null. Näidakem, millisel kujul tuleb antud juhul konkreetne lahendus võtta.

a) Kui number on https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height=" 25 src =">.

Lahendus.

Võrrandi https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src jaoks = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

Lühendame mõlemat osa võrrandi vasak- ja parempoolses osas https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

Saadud võrrandisüsteemist leiame: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src="> ja antud üldlahenduse võrrand on:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

kus https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

Lahendus.

Vastav tunnusvõrrand on kujul:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Lõpuks meil on üldlahenduse jaoks järgmine avaldis:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> suurepärane nullist. Märgime sel juhul konkreetse lahenduse vormi.

a) Kui number on https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

kus https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> on võrrandi (5..gif" laius) iseloomuliku võrrandi juur ="229 "height="25 src=">,

kus https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

Lahendus.

Võrrandi iseloomuliku võrrandi juured https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" kõrgus = "25 src=">.

Parem osa näites 3 toodud võrrandil on erivorm: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src=">.gif " width ="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > ja asendage antud võrrandiga:

Sarnaste terminite toomine ja koefitsientide võrdsustamine aadressil https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height= "25 src=">.

Antud võrrandi lõplik üldlahendus on: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> ja üks neist polünoomidest võib olla võrdne nulliga. Näidakem selles üldsõnas konkreetse lahenduse kuju juhtum.

a) Kui number on https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

kus https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) Kui number on https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, näeb konkreetne lahendus välja selline:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. Avaldises (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

Näide 4 Märkige võrrandi konkreetse lahenduse tüüp

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Lodi üldlahendus on järgmisel kujul:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

Täiendavad koefitsiendid https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > on olemas konkreetne lahendus võrrandile parema küljega f1(x) ja suvaliste konstantide variatsioonid" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark"> (Lagrange'i meetod).

Konkreetse sirge lahendi otsene leidmine, välja arvatud konstantsete koefitsientidega võrrandi ja pealegi spetsiaalsete konstantliikmetega võrrand, tekitab suuri raskusi. Seetõttu kasutatakse sirgele üldlahenduse leidmiseks tavaliselt suvaliste konstantide muutmise meetodit, mis võimaldab alati leida joonele üldlahenduse kvadratuurides, kui vastava homogeense võrrandi lahendite põhisüsteem on tuntud. See meetod on järgmine.

Vastavalt ülaltoodule on lineaarse homogeense võrrandi üldlahend:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – mitte konstantne, vaid mõned, veel tundmatud f(x) funktsioonid. . tuleb võtta intervallist. Tegelikult on antud juhul Wronsky determinant mitte nullist kõigis intervalli punktides, st kogu ruumis on see karakteristiku võrrandi kompleksjuur..gif" width="20" height="25 src="> lineaarselt sõltumatud konkreetsed lahendused kujul :

Üldlahenduse valemis vastab see juur vormi avaldisele.

Lineaarsete ebahomogeensete teist järku diferentsiaalvõrrandite (LNDE-2) lahendamise alused konstantsete koefitsientidega (PC)

Teist järku CLDE konstantsete koefitsientidega $p$ ja $q$ on kujul $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, kus $f\left( x \right)$ on pidev funktsioon.

Järgmised kaks väidet on tõesed 2. LNDE kohta PC-ga.

Oletame, et mõni funktsioon $U$ on ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi suvaline konkreetne lahend. Oletame ka, et mõni funktsioon $Y$ on vastava lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi (LODE) üldlahend (OR) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Siis OR LHDE-2 võrdub näidatud privaat- ja üldlahenduste summaga, st $y=U+Y$.

Kui teist järku LIDE parem pool on funktsioonide summa, st $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, siis leiad kõigepealt igale vastavale PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ funktsioonidest $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ ja kirjutage pärast seda LNDE-2 PD kui $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

2. järku LNDE lahendus arvutiga

Ilmselt sõltub antud LNDE-2 ühe või teise PD $U$ vorm selle parema külje $f\left(x\right)$ konkreetsest vormist. LNDE-2 PD otsimise lihtsaimad juhtumid on sõnastatud järgmise nelja reeglina.

Reegel number 1.

LNDE-2 parem pool on kujul $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, kus $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, see tähendab, et seda nimetatakse $n$ astme polünoom. Seejärel otsitakse selle PR $U$ kujul $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, kus $Q_(n) \left(x\right)$ on teine sama astme polünoom kui $P_(n) \left(x\right)$ ja $r$ on vastava LODE-2 karakteristiku võrrandi nulljuurte arv. Polünoomi $Q_(n) \left(x\right)$ koefitsiendid leitakse määramatute kordajate (NC) meetodil.

Reegel number 2.

LNDE-2 parem pool on kujul $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, kus $P_(n) \left(x\right)$ on polünoom astmega $n$. Seejärel otsitakse selle PD $U$ kujul $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, kus $Q_(n ) \ left(x\right)$ on teine ​​polünoom, mis on sama astmega kui $P_(n) \left(x\right)$ ja $r$ on vastava LODE-2 tunnusvõrrandi juurte arv võrdne $\alpha $. Polünoomi $Q_(n) \left(x\right)$ koefitsiendid leitakse NK meetodil.

Reegel number 3.

LNDE-2 parempoolne osa on kujul $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, kus $a$, $b$ ja $\beta $ on teadaolevad numbrid. Seejärel otsitakse selle PD $U$ kujul $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right )\right )\cdot x^(r) $, kus $A$ ja $B$ on tundmatud koefitsiendid ning $r$ on vastava LODE-2 tunnusvõrrandi juurte arv, mis on võrdne $i\cdot \beta $. Koefitsiendid $A$ ja $B$ leitakse NDT meetodil.

Reegel number 4.

LNDE-2 parem pool on kujul $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, kus $P_(n) \left(x\right)$ on polünoom astmega $ n$ ja $P_(m) \left(x\right)$ on polünoom astmega $m$. Seejärel otsitakse selle PD $U$ kujul $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, kus $Q_(s) \left(x\right) $ ja $ R_(s) \left(x\right)$ on polünoomid astmega $s$, arv $s$ on maksimaalne kahest arvust $n$ ja $m$ ning $r$ on vastava LODE-2 tunnusvõrrandi juured, mis on võrdne $\alpha +i\cdot \beta $. Polünoomide $Q_(s) \left(x\right)$ ja $R_(s) \left(x\right)$ koefitsiendid leitakse NK meetodil.

NK-meetod seisneb järgmise reegli rakendamises. Polünoomi tundmatute koefitsientide leidmiseks, mis on osa mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi LNDE-2 konkreetsest lahendist, on vaja:

• asendada sisse kirjutatud PD $U$ üldine vaade, V vasak pool LNDU-2;
• LNDE-2 vasakus servas sooritage lihtsustusi ja rühmitustermineid samade võimsustega $x$;
• võrdsusta saadud identiteedis liikmete koefitsiendid vasaku ja parema külje samade astmetega $x$;
• lahendada saadud lineaarvõrrandi süsteem tundmatute koefitsientide jaoks.

Näide 1

Ülesanne: leidke OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Leidke ka PR , mis vastab algtingimustele $y=6$ väärtusele $x=0$ ja $y"=1$ väärtusele $x=0$.

Kirjutage vastav LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Iseloomulik võrrand: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Karakteristiku võrrandi juured: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Need juured on tõelised ja eristatavad. Seega on vastava LODE-2 VÕI kujul: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Selle LNDE-2 parempoolne osa on kujul $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Arvestada tuleb astendaja $\alpha =3$ astendaja koefitsiendiga. See koefitsient ei lange kokku ühegi iseloomuliku võrrandi juurtega. Seetõttu on selle LNDE-2 PR kujul $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Otsime koefitsiente $A$, $B$ NK meetodil.

Leiame CR esimese tuletise:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Leiame CR teise tuletise:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Asendame funktsioonid $U""$, $U"$ ja $U$ $y""$, $y"$ ja $y$ asemel antud LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Samal ajal, kuna astendaja $e^(3\cdot x) $ on kaasatud tegurina kõigis komponentides, siis võib selle ära jätta.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Teostame saadud võrdsuse vasakul küljel toiminguid:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Kasutame NC meetodit. Saame kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Selle süsteemi lahendus on: $A=-2$, $B=-1$.

Meie probleemi CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ näeb välja selline: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

Meie probleemi VÕI $y=Y+U$ näeb välja selline: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ vasak(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Antud algtingimustele vastava PD otsimiseks leiame tuletise $y"$ VÕI:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Asendame väärtustes $y$ ja $y"$ lähtetingimused $y=6$ väärtusega $x=0$ ja $y"=1$ väärtusega $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Saime võrrandisüsteemi:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Me lahendame selle. Leiame $C_(1) $ kasutades Crameri valemit ja $C_(2) $ määratakse esimesest võrrandist:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(massiivi)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(massiivi)\right|)(\left|\ algus(massiiv)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(massiiv)\parem|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2)=7-C_(1)=7-4=3,$

Seega on selle diferentsiaalvõrrandi PD: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Siin rakendame lineaarsete ebahomogeensete teist järku diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks Lagrange'i konstantide muutmise meetodit. Täpsem kirjeldus see meetod suvalise järjestusega võrrandite lahendamiseks on toodud lehel
Kõrgemat järku lineaarsete ebahomogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendamine Lagrange'i meetodil >>> .

Näide 1

Lahendage konstantsete koefitsientidega teist järku diferentsiaalvõrrand, kasutades Lagrange'i konstantide variatsiooni:
(1)

Lahendus

Esiteks lahendame homogeense diferentsiaalvõrrandi:
(2)

See on teist järku võrrand.

Lahendame ruutvõrrandi:
.
Mitu juurt: . Võrrandi (2) põhilahenduste süsteem on järgmine:
(3) .
Seega saame homogeense võrrandi (2) üldlahenduse:
(4) .

Varieerime konstante C 1 ja C 2 . See tähendab, et asendame konstandid ja punktis (4) funktsioonidega:
.
Otsime algsele võrrandile (1) lahendust kujul:
(5) .

Leiame tuletise:
.
Ühendame funktsioonid ja võrrandi:
(6) .
Siis
.

Leiame teise tuletise:
.
Asendame algsesse võrrandisse (1):
(1) ;



.
Kuna homogeenne võrrand (2) on täidetud, on kolme viimase rea igas veerus olevate liikmete summa null ja eelmine võrrand on:
(7) .
siin .

Koos võrrandiga (6) saame võrrandisüsteemi funktsioonide ja :
(6) :
(7) .

Võrrandisüsteemi lahendamine

Lahendame võrrandisüsteemi (6-7). Kirjutame avaldised funktsioonide ja :
.
Leiame nende tuletised:
;
.

Lahendame võrrandisüsteemi (6-7) Crameri meetodil. Arvutame süsteemi maatriksi determinandi:

.
Crameri valemite järgi leiame:
;
.

Niisiis, leidsime funktsioonide tuletised:
;
.
Integreerime (vt Juurte integreerimise meetodid). Asenduse tegemine
; ; ; .

.
.

;
.

Vastus

Näide 2

Lahendage diferentsiaalvõrrand Lagrange'i konstantide muutmise meetodil:
(8)

Lahendus

1. samm. Homogeense võrrandi lahendamine

Lahendame homogeense diferentsiaalvõrrandi:

(9)
Otsin lahendust vormis . Koostame iseloomuliku võrrandi:

Sellel võrrandil on keerulised juured:
.
Nendele juurtele vastav põhilahenduste süsteem on järgmine:
(10) .
Homogeense võrrandi (9) üldlahend:
(11) .

Etapp 2. Konstantide varieerimine – konstantide asendamine funktsioonidega

Nüüd muudame konstante C 1 ja C 2 . See tähendab, et asendame (11) konstandid funktsioonidega:
.
Otsime algsele võrrandile (8) lahendust kujul:
(12) .

Edasi on lahenduse käik sama, mis näites 1. Funktsioonide ja määramiseks saame järgmise võrrandisüsteemi:
(13) :
(14) .
siin .

Võrrandisüsteemi lahendamine

Lahendame selle süsteemi. Kirjutame välja funktsioonide avaldised ja :
.
Tuletisinstrumentide tabelist leiame:
;
.

Lahendame võrrandisüsteemi (13-14) Crameri meetodil. Süsteemi maatriksi determinant:

.
Crameri valemite järgi leiame:
;
.

.
Kuna , siis võib logaritmimärgi all oleva mooduli märgi ära jätta. Korrutage lugeja ja nimetaja arvuga:
.
Siis
.

Algvõrrandi üldlahendus:


.