Lihtsate iteratsioonide meetod maatriksi kujul. Slough lahendus lihtsa iteratsiooni teel

3. teema. Lineaarsüsteemide lahendus algebralised võrrandid iteratiivsed meetodid.

Eespool kirjeldatud otsesed meetodid SLAE-de lahendamiseks ei ole suuremahuliste süsteemide lahendamisel kuigi tõhusad (st kui väärtus n piisavalt suur). Sellistel juhtudel on SLAE-de lahendamiseks sobivamad iteratiivsed meetodid.

Iteratiivsed meetodid SLAE lahendamiseks(nende teine ​​nimi on lahenduse järjestikuse lähendamise meetodid) ei anna SLAE täpset lahendit, vaid annavad lahendusele ainult lähenduse ja iga järgmine lähendus saadakse eelmisest ja on täpsem kui eelmine üks (tingimusel, et lähenemine iteratsioonid). Esialgne (ehk nn null) lähendus valitakse pakutud lahendi lähedale või suvaliselt (selle võib võtta süsteemi parema poole vektorina). Täpne lahendus leitakse selliste lähenduste piirina, kuna nende arv kipub lõpmatuseni. Reeglina ei saavutata seda piiri lõplike sammude (st iteratsioonide) arvuga. Seetõttu praktikas kontseptsioon lahenduse täpsus, nimelt mingi positiivne ja piisavalt väike arv e ja arvutuste (iteratsioonide) protsess viiakse läbi seni, kuni seos on täidetud .

Siin on iteratsiooninumbri järel saadud lahenduse lähendus n , ja see on SLAE täpne lahendus (mis pole ette teada). Iteratsioonide arv n = n (e ) Teatud meetodite jaoks etteantud täpsuse saavutamiseks vajalikke andmeid saab teoreetilistest kaalutlustest (st selle jaoks on olemas arvutusvalemid). Erinevate iteratiivsete meetodite kvaliteeti saab võrrelda sama täpsuse saavutamiseks vajalike iteratsioonide arvuga.

Iteratiivsete meetodite uurimiseks lähenemine peate oskama arvutada maatriksite norme. Maatriksi norm- see on mõned numbriline väärtus, mis iseloomustab maatriksi elementide suurust absoluutväärtuses. AT kõrgem matemaatika neid on mitu mitmesugused maatriksnormid, mis on tavaliselt samaväärsed. Meie kursusel kasutame neist ainult ühte. Nimelt all maatriksi norm saame aru maatriksi üksikute ridade elementide absoluutväärtuste summade maksimaalne väärtus. Maatriksi normi tähistamiseks koosneb selle nimi kahest vertikaalsete kriipsude paarist. Niisiis, maatriksi jaoks A selle normi all peame silmas kogust

. (3.1)

Näiteks näite 1 maatriksi A norm on järgmine:

Enamik lai rakendus SLAE lahendamiseks saadi kolm iteratiivset meetodit

Lihtne iteratsioonimeetod

Jacobi meetod

Guass-Seideli meetod.

Lihtne iteratsioonimeetod hõlmab üleminekut SLAE kirjutamiselt algkujul (2.1) selle kirjutamisele vormile

(3.2)

või mis on samuti maatriksi kujul,

x = FROM × x + D , (3.3)

C - teisendatud mõõtmete süsteemi koefitsientide maatriks n ´ n

x - tundmatute vektor, mis koosneb n komponent

D - teisendatud süsteemi parempoolsete osade vektor, mis koosneb n komponent.

Süsteemi kujul (3.2) saab esitada lühendatud kujul

Sellest vaatest lihtne iteratsioonivalem hakkab välja nägema

kus m - iteratsiooni number ja - väärtus xj peal m - iteratsiooni etapp. Siis kui iteratsiooniprotsess läheneb, iteratsioonide arvu suurenemisega täheldatakse

Seda tõestas iteratsiooniprotsess läheneb, kui norm maatriksid D saab vähem kui ühikuts.

Kui võtta esialgseks (null)lähenduseks vabade liikmete vektor, s.t. x (0) = D , siis veapiir on vorm

(3.5)

siin all x * on süsteemi täpne lahendus. Järelikult

kui , siis poolt antud täpsuste saab eelnevalt välja arvutada vajalik arv kordusi. Nimelt suhtest

pärast kergeid muutusi saame

. (3.6)

Sellise arvu iteratsioonide sooritamisel on tagatud süsteemile lahenduse leidmise etteantud täpsus. See teoreetiline hinnang nõutav summa iteratsioonietapid on mõnevõrra ülehinnatud. Praktikas saab vajaliku täpsuse saavutada vähemate iteratsioonidega.

Antud SLAE-le on mugav lahendusi otsida lihtsa iteratsiooni meetodil, sisestades saadud tulemused järgmise vormiga tabelisse:

	x 1	x 2		x n

Eraldi tuleb märkida, et SLAE lahendamisel selle meetodiga kõige raskem ja töömahukam on süsteemi teisendamine vormist (2.1) vormiks (3.2). Need teisendused peavad olema samaväärsed, s.t. mis ei muuda algsüsteemi lahendust ja tagavad maatriksi normi väärtuse C (pärast nende tegemist) vähem kui üks. Sellisteks transformatsioonideks pole ühest retsepti. Siin on igal juhul vaja näidata loovust. Kaaluge näiteid, milles mõned meetodid süsteemi teisendamiseks nõutav vorm.

Näide 1 Leiame lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahenduse lihtsa iteratsiooni meetodil (täpselt e= 0.001)

See süsteem redutseeritakse kõige lihtsamal viisil vajalikule kujule. Viime kõik terminid vasakult küljelt paremale ja lisame seejärel iga võrrandi mõlemale poolele x i (i =1, 2, 3, 4). Saame järgmise vormiga teisendatud süsteemi

.

Maatriks C ja vektor D sel juhul on see järgmine

C = , D = .

Arvutage maatriksi norm C . Hangi

Kuna norm osutus väiksemaks kui üks, on lihtsa iteratsiooni meetodi lähenemine tagatud. Algseks (null)lähenduseks võtame vektori komponendid D . Hangi

, , , .

Valemi (3.6) abil arvutame vajaliku arvu iteratsioonisamme. Kõigepealt määrame vektori normi D . Hangi

.

Seetõttu on määratud täpsuse saavutamiseks vaja läbi viia vähemalt 17 iteratsiooni. Teeme esimese iteratsiooni. Hangi

Olles sooritanud kõik aritmeetilised toimingud, saame

.

Samamoodi jätkates teostame edasisi iteratsioonietappe. Nende tulemused on kokku võetud järgmises tabelis ( D- lahenduse komponentide suurim muutus praeguse ja eelmiste sammude vahel)

M

Kuna juba pärast kümnendat sammu on kahe viimase iteratsiooni väärtuste vahe muutunud väiksemaks määratud täpsusest, siis iteratsiooniprotsess lõpetatakse. Leitud lahendusena võtame viimases etapis saadud väärtused.

Näide 2

Teeme sama, mis eelmises näites. Hangi

Maatriks C selline süsteem teeb

C =.

Arvutame selle normi. Hangi

Ilmselgelt sellise maatriksi iteratiivne protsess ei lähene. Antud võrrandisüsteemi teisendamiseks on vaja leida mõni muu viis.

Korraldame selle üksikud võrrandid esialgses võrrandisüsteemis ümber nii, et kolmas rida saab esimeseks, esimene - teine, teine ​​- kolmas. Siis, muutes seda samal viisil, saame

Maatriks C selline süsteem teeb

C =.

Arvutame selle normi. Hangi

Kuna maatriks norm C osutus väiksemaks kui ühtsus, sobib selliselt teisendatud süsteem lihtsa iteratsiooniga lahendamiseks.

Näide 3 Teisendame võrrandisüsteemi

vormile, mis võimaldaks selle lahendamisel kasutada lihtsa iteratsiooni meetodit.

Jätkame esmalt sarnaselt näitega 1. Saame

Maatriks C selline süsteem teeb

C =.

Arvutame selle normi. Hangi

Ilmselgelt sellise maatriksi iteratiivne protsess ei lähene.

Algse maatriksi teisendamiseks lihtsa iteratsioonimeetodi rakendamiseks sobivale vormile toimime järgmiselt. Esiteks moodustame "vahepealse" võrrandisüsteemi, milles

- esimene võrrand on algsüsteemi esimese ja teise võrrandi summa

- teine ​​võrrand- kahekordistunud kolmanda võrrandi summa teisega miinus esimene

- kolmas võrrand- algse süsteemi kolmanda ja teise võrrandi erinevus.

Selle tulemusena saame ekvivalendi esialgsele "vahepealsele" võrrandisüsteemile

Sellest on lihtne hankida veel üks süsteem, “vahesüsteem”.

,

ja sellest konverteeritud

.

Maatriks C selline süsteem teeb

C =.

Arvutame selle normi. Hangi

Sellise maatriksi iteratiivne protsess on konvergentne.

Jacobi meetod eeldab, et kõik maatriksi diagonaalsed elemendid A algse süsteemi (2.2) väärtused ei ole võrdsed nulliga. Seejärel saab algse süsteemi ümber kirjutada kui

(3.7)

Sellisest kirjest moodustub süsteem Jacobi meetodi iteratiivne valem

Jacobi meetodi iteratiivse protsessi konvergentsi tingimuseks on nn tingimus diagonaalne domineerimine algses süsteemis (kujul (2.1)). Analüütiliselt on see tingimus kirjutatud kujul

. (3.9)

Tuleb märkida, et kui Jacobi meetodi konvergentsi tingimus (st diagonaali domineerimise tingimus) ei ole antud võrrandisüsteemis täidetud, on see paljudel juhtudel võimalik algse samaväärsete teisenduste abil. SLAE, et viia selle lahendus samaväärse SLAE lahenduseni, milles see tingimus on täidetud.

Näide 4 Teisendame võrrandisüsteemi

vormile, mis võimaldaks selle lahendamisel kasutada Jacobi meetodit.

Oleme seda süsteemi juba näites 3 käsitlenud, seega läheme sealt üle seal saadud “vahepealsesse” võrrandisüsteemi. On lihtne tuvastada, et diagonaali domineerimise tingimus on selle jaoks täidetud, seega teisendame selle Jacobi meetodi rakendamiseks vajalikule kujule. Hangi

Sellest saame valemi arvutuste tegemiseks antud SLAE jaoks Jacobi meetodil

Võttes esialgseks, st. null, teeb vabade liikmete vektori lähendamine kõik vajalikud arvutused. Võtame tulemused kokku tabelis

m					D

Saadud lahenduse üsna kõrge täpsus saavutati kuue iteratsiooniga.

Gauss-Seideli meetod on Jacobi meetodi täiustus ja eeldab ka, et kõik maatriksi diagonaalsed elemendid A algse süsteemi (2.2) väärtused ei ole võrdsed nulliga. Seejärel saab algse süsteemi ümber kirjutada Jacobi meetodiga sarnasel, kuid sellest mõnevõrra erineval kujul

Siinkohal on oluline meeles pidada, et kui summeerimismärgi ülaindeks on alaindeksist väiksem, siis summeerimist ei tehta.

Gauss-Seideli meetodi idee seisneb selles, et meetodi autorid nägid võimalust Jacobi meetodi osas arvutusprotsessi kiirendada tänu sellele, et järgmise iteratsiooni käigus leiti uus väärtus x 1 saab Korraga kasutage seda uut väärtust samas iteratsioonisülejäänud muutujate arvutamiseks. Samamoodi edasi uue väärtuse leidmine x 2 saab ka kohe samas iteratsioonis kasutada jne.

Selle põhjal iteratsioonivalem Gauss-Seideli meetodi jaoks Sellel on järgmine vaade

Piisab sellekskonvergentsi tingimus Gauss-Seideli meetodi iteratiivne protsess on endiselt sama tingimus diagonaalne domineerimine (3.9). Lähenemismäär see meetod on veidi kõrgem kui Jacobi meetodil.

Näide 5 Lahendame võrrandisüsteemi Gauss-Seideli meetodil

Oleme seda süsteemi juba käsitlenud näidetes 3 ja 4, seega liigume sellelt koheselt teisendatud võrrandisüsteemi juurde (vt näide 4), milles on täidetud diagonaalse domineerimise tingimus. Sellest saame valemi arvutuste tegemiseks Gauss-Seideli meetodil

Võttes vabade liikmete vektori esialgseks (st nulliks) lähenduseks, teostame kõik vajalikud arvutused. Võtame tulemused kokku tabelis

m

Saadud lahenduse üsna kõrge täpsus saavutati viie iteratsiooniga.

Iteratiivsete meetodite eeliseks on nende rakendatavus halvasti konditsioneeritud ja kõrgetasemeliste süsteemide puhul, nende isekorrigeerimine ja arvutis rakendamise lihtsus. Iteratiivsed meetodid arvutamise alustamiseks nõuavad soovitud lahenduse esialgset lähendamist.

Tuleb märkida, et iteratiivse protsessi konvergentsi tingimused ja kiirus sõltuvad põhiliselt maatriksi omadustest AGA süsteemi ja esialgsete lähenduste valiku kohta.

Iteratsioonimeetodi rakendamiseks tuleb algne süsteem (2.1) või (2.2) taandada kujule

mille järel sooritatakse korduv protsess korduvate valemite järgi

, k = 0, 1, 2, ... . (2.26a)

Maatriks G ja vektor saadakse süsteemi (2.1) teisenduse tulemusena.

Lähenemise jaoks (2.26 a) on vajalik ja piisav |l i(G)| < 1, где li(G) - kõik omaväärtused maatriksid G. Lähenemine toimub ka siis, kui || G|| < 1, так как |li(G)| < " ||G||, kus " on suvaline.

Sümbol || ... || tähendab maatriksi normi. Selle väärtuse määramisel peatuvad nad enamasti kahe tingimuse kontrollimisel:

||G|| = või || G|| = , (2.27)

kus . Konvergents on tagatud ka esialgse maatriksi korral AGA omab diagonaalset ülekaalu, st.

. (2.28)

Kui (2.27) või (2.28) on täidetud, läheneb iteratsioonimeetod mis tahes esialgse lähenduse korral. Enamasti võetakse vektoriks kas null või ühik või vektor ise võetakse väärtusest (2.26).

Algse süsteemi (2.2) maatriksiga teisendamiseks on palju lähenemisviise AGA vormi (2.26) tagamiseks või konvergentsitingimuste (2.27) ja (2.28) täitmiseks.

Näiteks (2.26) võib saada järgmiselt.

Lase AGA = AT+ FROM, det AT¹ 0; siis ( B+ FROM)= Þ B= −C+ Þ Þ B –1 B= −B –1 C+ B–1 , kust = − B –1 C+ B –1 .

Panek - B –1 C = G, B–1 = , saame (2.26).

Konvergentsitingimustest (2.27) ja (2.28) on näha, et esitus AGA = AT+ FROM ei saa olla meelevaldne.

Kui maatriks AGA täidab tingimused (2.28), siis maatriksina AT saate valida alumise kolmnurga:

, a ii ¹ 0.

; Þ ; Þ ; Þ

Valides parameetri a, saame tagada, et || G|| = ||E+ a A|| < 1.

Kui (2.28) on ülekaalus, saab teisenduse (2.26) teha, lahendades iga i süsteemi võrrandi (2.1) suhtes x i järgmiste rekursiivsete valemite järgi:

(2.28a)

Kui maatriksis AGA diagonaalset ülekaalu ei ole, see tuleb saavutada mõne lineaarse teisenduse abil, mis ei riku nende samaväärsust.

Vaatleme näiteks süsteemi

(2.29)

Nagu näha, siis võrrandites (1) ja (2) diagonaalset domineerimist ei ole, kuid (3) puhul on, seega jätame selle muutmata.

Saavutame võrrandis (1) diagonaalse domineerimise. Korrutage (1) a-ga, (2) b-ga, lisage mõlemad võrrandid ja valige saadud võrrandist a ja b, et tekiks diagonaalne domineerimine:

(2a + 3b) X 1 + (-1,8a + 2b) X 2 +(0,4a - 1,1b) X 3 = a.

Võttes a = b = 5, saame 25 X 1 + X 2 – 3,5X 3 = 5.

Võrrandi (2) teisendamiseks domineerimisega (1) korrutame g-ga, (2) korrutame d-ga ja lahutame (1) väärtusest (2). Hangi

(3d – 2g) X 1+(2p+1,8g) X 2 + (-1,1 p - 0,4 g) X 3 = -g .

Kui panna d = 2, g = 3, saame 0 X 1 + 9,4 X 2 – 3,4 X 3 = -3. Selle tulemusena saame süsteemi

(2.30)

Seda tehnikat saab kasutada lahenduste leidmiseks paljudele maatriksiklassidele.

või

Võttes esialgseks lähenduseks vektorit = (0,2; -0,32; 0) T, lahendame selle süsteemi tehnoloogia abil (2.26 a):

k = 0, 1, 2, ... .

Arvutusprotsess peatub, kui lahendusvektori kaks naaberlähendust langevad täpsusega kokku, s.t.

.

Vormi iteratiivne lahendustehnoloogia (2.26 a) on nimetatud lihtsa iteratsiooni abil .

Hinne absoluutne viga lihtsa iteratsioonimeetodi jaoks:

kus sümbol || ... || tähendab normi.

Näide 2.1. Kasutades lihtsa iteratsiooni meetodit täpsusega e = 0,001, lahendage süsteem lineaarvõrrandid:

Seosest saab määrata sammude arvu, mis annavad e = 0,001 täpsusega vastuse

0,001 naela.

Hindame konvergentsi valemiga (2.27). Siin || G|| = = max(0,56; 0,61; 0,35; 0,61) = 0,61< 1; = 2,15. Значит, сходимость обеспечена.

Esialgse lähendusena võtame vabade liikmete vektori, st = (2,15; -0,83; 1,16; 0,44) T. Asendame vektori väärtused (2.26 a):

Arvutamist jätkates sisestame tulemused tabelisse:

k	X 1	X 2	X 3	X 4
	2,15	–0,83	1,16	0,44
	2,9719	–1,0775	1,5093	–0,4326
	3,3555	–1,0721	1,5075	–0,7317
	3,5017	–1,0106	1,5015	–0,8111
	3,5511	–0,9277	1,4944	–0,8321
	3,5637	–0,9563	1,4834	–0,8298
	3,5678	–0,9566	1,4890	–0,8332
	3,5760	–0,9575	1,4889	–0,8356
	3,5709	–0,9573	1,4890	–0,8362
	3,5712	–0,9571	1,4889	–0,8364
	3,5713	–0,9570	1,4890	–0,8364

Tuhandikes konvergents toimub juba 10. sammul.

Vastus: X 1 » 3,571; X 2 » -0,957; X 3 » 1,489; X 4 "-0,836.

Selle lahenduse võib saada ka valemite (2.28 a).

Näide 2.2. Algoritmi illustreerimiseks valemite abil (2.28 a) kaaluge süsteemi lahendust (ainult kaks iteratsiooni):

; . (2.31)

Teisendame süsteemi vormile (2.26) vastavalt (2.28 a):

Þ (2.32)

Võtame esialgse lähenduse = (0; 0; 0) T. Siis selleks k= 0 ilmselgelt väärtus = (0,5; 0,8; 1,5) T. Asendame need väärtused (2.32), st k= 1 saame = (1,075; 1,3; 1,175) T.

Viga e 2 = = max(0,575; 0,5; 0,325) = 0,575.

SLAE lahenduse leidmise algoritmi plokkskeem lihtsate iteratsioonide meetodil töövalemite (2.28) järgi a) on näidatud joonisel fig. 2.4.

Plokkskeemi tunnuseks on järgmiste plokkide olemasolu:

- plokk 13 - selle eesmärki käsitletakse allpool;

- plokk 21 - tulemuste kuvamine ekraanil;

– plokk 22 – lähenemise kontrollimine (näitaja).

Analüüsime pakutud skeemi süsteemi (2.31) näitel ( n= 3, w = 1, e = 0,001):

= ; .

Blokeeri 1. Sisestage algandmed A, , w, e, n: n= 3, w = 1, e = 0,001.

I tsükkel. Määrake vektorite algväärtused x 0i ja x i (i = 1, 2, 3).

Blokeeri 5. Lähtestage iteratsioonide arvu loendur.

Blokeeri 6. Lähtestage praegune vealoendur.

AT tsükkel II muudab maatriksi ridade numbreid AGA ja vektor .

II tsükkel:i = 1: s = b 1 = 2 (plokk 8).

Avage Nested III tsükkel, block9 – maatriksi veergude numbrite loendur AGA: j = 1.

Blokeeri 10: j = i, seetõttu pöördume tagasi plokki 9 ja suurendame jühiku kohta: j = 2.

Plokis 10 j ¹ i(2 ¹ 1) – minge plokki 11.

Blokeeri 11: s= 2 – (–1) × X 0 2 \u003d 2 - (-1) × 0 \u003d 2, minge plokki 9, milles j suurenda ühe võrra: j = 3.

Plokis 10 tingimus j ¹ i käivitatud, nii et minge plokki 11.

Blokeeri 11: s= 2 – (–1) × X 0 3 \u003d 2 - (-1) × 0 \u003d 2, mille järel läheme plokki 9, milles j suurenda ühe võrra ( j= 4). Tähendus j rohkem n (n= 3) – lõpetage silmus ja minge plokki 12.

Blokeeri 12: s = s / a 11 = 2 / 4 = 0,5.

Blokeeri 13: w = 1; s = s + 0 = 0,5.

Blokeeri 14: d = | x i – s | = | 1 – 0,5 | = 0,5.

Blokeeri 15: x i = 0,5 (i = 1).

Blokeeri 16. Kontrolli seisukorda d > de: 0,5 > 0, seega minge plokki 17, milles me määrame de= 0,5 ja tagastatakse viitega " AGA» tsükli II järgmisse etappi - plokki7, milles i suurendada ühe võrra.

II tsükkel: i = 2: s = b 2 = 4 (plokk 8).

j = 1.

Läbi ploki 10 j ¹ i(1 ¹ 2) – minge plokki 11.

Blokeeri 11: s= 4 – 1 × 0 = 4, minge plokki 9, milles j suurenda ühe võrra: j = 2.

Plokis 10 ei ole tingimus täidetud, seega läheme plokki 9, milles j suurenda ühe võrra: j= 3. Analoogia põhjal läheme plokki 11.

Blokeeri 11: s= 4 – (–2) × 0 = 4, mille järel lõpetame III tsükli ja läheme plokki 12.

Blokeeri 12: s = s/ a 22 = 4 / 5 = 0,8.

Blokeeri 13: w = 1; s = s + 0 = 0,8.

Blokeeri 14: d = | 1 – 0,8 | = 0,2.

Blokeeri 15: x i = 0,8 (i = 2).

Blokeeri 16. Kontrolli seisukorda d > de: 0,2 < 0,5; следовательно, возвращаемся по ссылке «AGA» tsükli II järgmisse etappi – plokki7.

II tsükkel: i = 3: s = b 3 = 6 (plokk 8).

Minge pesastatud tsükli III plokki 9: j = 1.

Blokeeri 11: s= 6 – 1 × 0 = 6, minge plokki 9: j = 2.

Läbi ploki 10 liigume edasi ploki 11 juurde.

Blokeeri 11: s= 6 – 1 × 0 = 6. Lõpetage III tsükkel ja minge plokki 12.

Blokeeri 12: s = s/ a 33 = 6 / 4 = 1,5.

Blokeeri 13: s = 1,5.

Blokeeri 14: d = | 1 – 1,5 | = 0,5.

Blokeeri 15: x i = 1,5 (i = 3).

Vastavalt plokile 16 (võttes arvesse viiteid " AGA" ja " FROM) väljuge tsüklist II ja minge plokki 18.

Blokeeri 18. Suurenda iteratsioonide arvu seda = seda + 1 = 0 + 1 = 1.

IV tsükli plokkides 19 ja 20 asendame algväärtused X 0i saadud väärtused x i (i = 1, 2, 3).

Blokeeri 21. Prindime praeguse iteratsiooni vaheväärtused, antud juhul: = (0,5; 0,8; 1,5) T, seda = 1; de = 0,5.

Minge 7. plokis II tsüklisse ja tehke arvestatud arvutused uute algväärtustega X 0i (i = 1, 2, 3).

Pärast mida saame X 1 = 1,075; X 2 = 1,3; X 3 = 1,175.

Siin koondub siis Seideli meetod.

Valemite järgi (2.33)

k	X 1	X 2	X 3
	0,19	0,97	–0,14
	0,2207	1,0703	–0,1915
	0,2354	1,0988	–0,2118
	0,2424	1,1088	–0,2196
	0,2454	1,1124	–0,2226
	0,2467	1,1135	–0,2237
	0,2472	1,1143	–0,2241
	0,2474	1,1145	–0,2243
	0,2475	1,1145	–0,2243

Vastus: x 1 = 0,248; x 2 = 1,115; x 3 = –0,224.

Kommenteeri. Kui sama süsteemi puhul lihtiteratsioon ja Seideli meetodid lähenevad, siis eelistatakse Seideli meetodit. Kuid praktikas võivad nende meetodite lähenemisalad olla erinevad, st lihtne iteratsioonimeetod läheneb, Seideli meetod aga lahkneb ja vastupidi. Mõlema meetodi puhul, kui || G|| lähedal üksus, on lähenemise määr väga madal.

Konvergentsi kiirendamiseks kasutatakse kunstlikku tehnikat – nn lõõgastusmeetod . Selle olemus seisneb selles, et iteratsioonimeetodil saadud järgmine väärtus x i (k) arvutatakse ümber valemi järgi

kus w muudetakse tavaliselt 0-lt 2-le (0< w £ 2) с каким-либо шагом (h= 0,1 või 0,2). Parameeter w valitakse nii, et meetodi konvergents saavutatakse minimaalse arvu iteratsioonidega.

Lõõgastus- keha mis tahes seisundi järkjärguline nõrgenemine pärast seda seisundit põhjustanud tegurite lakkamist (füüsiline. tehn.).

Näide 2.4. Mõelge viienda iteratsiooni tulemusele, kasutades lõõgastusvalemit. Võtame w = 1,5:

Nagu näete, on peaaegu seitsmenda iteratsiooni tulemus saadud.

SISSEJUHATUS

1. AEGlane LAHENDUS LIHTSE ITERATSIOONI MEETODIL

1.1 Lahendusmeetodi kirjeldus

1.2 Taust

1.3 Algoritm

1.4 QBasic programm

1.5 Programmi tulemus

1.6 Programmi tulemuse kontrollimine

2. JUURE RAFINISTAMINE TANGENTS-MEETODIL

2.1 Lahendusmeetodi kirjeldus

2.2 Algandmed

2.3 Algoritm

2.4 QBasic programm

2.5 Programmi tulemus

2.6 Programmi tulemuse kontrollimine

3. ARVULINE INTEGREERIMINE RISTKULKREEGILIS

3.1 Lahendusmeetodi kirjeldus

3.2 Algandmed

3.3 Algoritm

3.4 QBasic programm

3.5 Programmi tulemuse kontrollimine

4.1 Üldine informatsioon Programmi kohta

4.1.1 Eesmärk ja eristavad tunnused

4.1.2 WinRAR-i piirangud

4.1.3 WinRAR-i süsteeminõuded

4.2 WinRAR liides

4.3 Faili- ja arhiivihaldusrežiimid

4.4 Kontekstimenüüde kasutamine

KOKKUVÕTE

BIBLIOGRAAFIA

SISSEJUHATUS

See referaat on algoritmide ja programmide väljatöötamine lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks Gaussi meetodil; mittelineaarne võrrand akordide meetodil; numbriliseks integreerimiseks trapetsireegliga.

Algebralisi võrrandeid nimetatakse võrranditeks, mis sisaldavad ainult algebralisi funktsioone (tervik, ratsionaalne, irratsionaalne). Eelkõige on polünoom terve algebraline funktsioon. Muid funktsioone (trigonomeetrilisi, eksponentsiaalseid, logaritmilisi ja teisi) sisaldavaid võrrandeid nimetatakse transtsendentaalseteks.

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamise meetodid jagunevad kahte rühma:

täpsed meetodid, mis on lõplikud algoritmid süsteemi juurte arvutamiseks (süsteemide lahendamine kasutades pöördmaatriks, Crameri reegel, Gaussi meetod jne),

· iteratiivsed meetodid, mis võimaldavad saada konvergentsete iteratiivsete protsesside abil süsteemi etteantud täpsusega lahendust (iteratsioonimeetod, Seideli meetod jne).

Vältimatu ümardamise tõttu on isegi täpsete meetodite tulemused ligikaudsed. Iteratiivsete meetodite kasutamisel lisandub pealegi meetodi viga.

Lineaaralgebravõrrandisüsteemide lahendamine on arvutusliku lineaaralgebra üks peamisi probleeme. Kuigi lineaarvõrrandisüsteemi lahendamise probleem pakub rakenduste jaoks suhteliselt harva iseseisvat huvi, sõltub paljude protsesside matemaatilise modelleerimise võimalus arvuti abil sageli selliste süsteemide tõhusa lahendamise võimest. Märkimisväärne osa erinevate (eriti mittelineaarsete) probleemide lahendamise numbrilistest meetoditest hõlmab vastava algoritmi elementaarse sammuna lineaarvõrrandisüsteemide lahendamist.

Selleks, et lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemil oleks lahendus, on vajalik ja piisav, et põhimaatriksi aste on võrdne laiendatud maatriksi astmega. Kui põhimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi auastmega ja võrdne tundmatute arvuga, on süsteemil ainulaadne lahendus. Kui põhimaatriksi aste on võrdne laiendatud maatriksi auastmega, kuid väiksem kui tundmatute arv, siis on süsteemil lõpmatu arv lahendusi.

Üks levinumaid meetodeid lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks on Gaussi meetod. See meetod on tuntud aastal erinevaid valikuidüle 2000 aasta. Gaussi meetod on klassikaline meetod lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi (SLAE) lahendamiseks. See on meetod järjestikune välistamine muutujad kasutamisel elementaarsed teisendused võrrandisüsteem taandatakse astmelise (või kolmnurkse) kujuga samaväärseks süsteemiks, millest leitakse järjestikku kõik muud muutujad, alustades viimastest (arvuliselt) muutujatest.

Rangelt võttes nimetatakse ülalkirjeldatud meetodit õigesti Gaussi-Jordani eliminatsioonimeetodiks, kuna see on 1887. aastal geodeedi Wilhelm Jordani kirjeldatud Gaussi meetodi variatsioon. Huvitav on ka see, et Jordaniga samal ajal (ja mõne allika järgi isegi enne teda) leiutas selle algoritmi Clasen (B.-I. Clasen).

Under mittelineaarsed võrrandid viitab algebralistele ja transtsendentaalsetele võrranditele kujul , kus x on reaalarv ja a on mittelineaarne funktsioon. Nende võrrandite lahendamiseks kasutatakse akordimeetodit – iteratiivset numbrilist meetodit ligikaudsete juurte leidmiseks. Teatavasti pole paljudel võrranditel ja võrrandisüsteemidel analüütilisi lahendusi. Esiteks kehtib see enamiku transtsendentaalsete võrrandite kohta. Samuti on tõestatud, et on võimatu koostada valemit, mille abil oleks võimalik lahendada suvaline algebraline võrrand, mille aste on kõrgem kui neljas. Lisaks sisaldab võrrand mõnel juhul koefitsiente, mis on teada vaid ligikaudselt, ja seetõttu kaotab võrrandi juurte täpse määramise probleem oma tähenduse. Nende lahendamiseks kasutatakse etteantud täpsusastmega iteratiivseid meetodeid. Võrrandi lahendamine iteratiivse meetodiga tähendab, et tehakse kindlaks, kas sellel on juured, mitu juurt ja leitakse juurte väärtused vajaliku täpsusega.

Võrrandi f(x) = 0 juure leidmine iteratiivse meetodiga koosneb kahest etapist:

juurte eraldamine - juure või seda sisaldava segmendi ligikaudse väärtuse leidmine;

· ligikaudsete juurte täpsustamine – nende viimine etteantud täpsusastmeni.

kindel integraal funktsioon f(x) võetud intervallis alates a enne b, nimetatakse piiriks, milleni integraalsumma kaldub, kui kõik intervallid ∆x i kipuvad olema null. Trapetsireegli järgi on vaja funktsiooni F (x) graafik asendada sirgjoonega, mis läbib kahte punkti (x 0, y 0) ja (x 0 + h, y 1) ning arvutada väärtus integraalsumma elemendist trapetsi pindalana: .

AEGLASUSE LAHENDAMINE LIHTSE ITERATSIOONI MEETODIL

1.1 Konstantse iteratsiooni meetodi kirjeldus

Algebraliste võrrandite süsteemid (SLAE) on kujul:

või kui see on kirjutatud maatriksi kujul:

Praktikas kasutatakse SLAE numbrilise lahenduse jaoks kahte tüüpi meetodeid - otsest ja kaudset. Otseste meetodite kasutamisel taandatakse SLAE ühele erikujule (diagonaal, kolmnurkne), mis võimaldab teil täpselt saada soovitud lahenduse (kui see on olemas). Kõige tavalisem otsene meetod SLAE lahendamiseks on Gaussi meetod. Iteratiivseid meetodeid kasutatakse SLAE ligikaudse lahenduse leidmiseks etteantud täpsusega. Tuleb märkida, et iteratiivne protsess ei koondu alati süsteemi lahendusele, vaid ainult siis, kui arvutustes saadud lähenduste jada kaldub täpse lahenduseni. SLAE lahendamisel lihtsa iteratsiooni meetodil teisendatakse see vormile, kui vasakul on ainult üks vajalikest muutujatest:

Olles andnud mõned esialgsed ligikaudsed hinnangud xi, i=1,2,…,n, asendage need parem pool avaldisi ja arvutada uusi väärtusi x. Protsessi korratakse kuni avaldisega määratud jääkide maksimumini:

ei muutu väiksemaks etteantud täpsusest ε. Kui maksimaalne lahknevus juures k-th iteratsioon on suurem kui maksimaalne lahknevus at k-1-th iteratsiooni, siis protsess lõpetatakse ebanormaalselt, sest iteratiivne protsess lahkneb. Iteratsioonide arvu minimeerimiseks saab arvutada uued x väärtused, kasutades eelmise iteratsiooni jääkväärtusi.

Lihtsa iteratsiooni meetod, mida nimetatakse ka järjestikuse lähendamise meetodiks, on matemaatiline algoritm tundmatu suuruse väärtuse leidmiseks seda järk-järgult täpsustades. Selle meetodi olemus seisneb selles, et, nagu nimigi ütleb, saavad nad järk-järgult esialgsest lähendusest järgnevaid väljendades üha täpsemaid tulemusi. Seda meetodit kasutatakse muutuja väärtuse leidmiseks antud funktsioon, samuti nii lineaarsete kui ka mittelineaarsete võrrandisüsteemide lahendamisel.

Mõelge, kuidas seda meetodit realiseeritakse SLAE lahendamisel. Lihtsal iteratsioonimeetodil on järgmine algoritm:

1. Konvergentsi tingimuse kontrollimine algses maatriksis. Konvergentsiteoreem: kui süsteemi algmaatriksil on diagonaaldominants (st igas reas peavad põhidiagonaali elemendid olema moodulis suuremad kui külgdiagonaalide elementide summa moodulis), siis kasutatakse lihtmeetodit. iteratsioonid on koonduvad.

2. Algsüsteemi maatriksil ei ole alati diagonaalset domineerimist. Sellistel juhtudel saab süsteemi muuta. Võrrandid, mis vastavad konvergentsitingimusele, jäetakse puutumata ja nendega, mis ei rahulda, moodustavad lineaarsed kombinatsioonid, s.t. korrutage, lahutage, lisage üksteisele võrrandeid, kuni saadakse soovitud tulemus.

Kui saadud süsteemis on põhidiagonaalil ebamugavad koefitsiendid, siis sellise võrrandi mõlemale osale liidetakse liikmed kujul c i *x i, mille märgid peavad ühtima diagonaali elementide märkidega.

3. Saadud süsteemi teisendamine normaalkujule:

x - =β - +α*x -

Seda saab teha mitmel viisil, näiteks järgmiselt: esimesest võrrandist väljendage x 1 muude tundmatute kaudu, teisest - x 2, kolmandast - x 3 jne. Siin kasutame valemeid:

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i /a ii
Peaksite uuesti veenduma, et saadud süsteem tavaline vaade vastab konvergentsi tingimusele:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, samas kui i= 1,2,...n

4. Hakkame tegelikult rakendama järjestikuste lähenduste meetodit ennast.

x (0) - esialgne lähendus, selle kaudu väljendame x (1) , siis x (1) kaudu x (2) . Üldvalem maatriksi kujul näeb välja selline:

x (n) = β - + α*x (n-1)

Arvutame, kuni saavutame vajaliku täpsuse:

max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

Niisiis, vaatame lihtsat iteratsioonimeetodit praktikas. Näide:
SLAE lahendamine:

4,5x1-1,7x2+3,5x3=2
3,1x1+2,3x2-1,1x3=1
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4 täpsusega ε=10 -3

Vaatame, kas diagonaalelemendid domineerivad modulo.

Näeme, et ainult kolmas võrrand rahuldab konvergentsi tingimust. Teisendame esimese ja teise võrrandi, lisame teise esimesele võrrandile:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3

Lahutage esimene kolmandast:

2,7x1+4,2x2+1,2x3=2

Oleme algse süsteemi teisendanud samaväärseks:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
-2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4

Nüüd toome süsteemi tagasi normaalseks:

x1=0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2=0,4762+0,6429 x 1-0,2857 x 3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Kontrollime iteratiivse protsessi konvergentsi:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, s.o. tingimus on täidetud.

0,3947
Esialgne oletus x(0) = 0,4762
0,8511

Asendades need väärtused normaalvormi võrrandisse, saame järgmised väärtused:

0,08835
x(1) = 0,486793
0,446639

Asendades uued väärtused, saame:

0,215243
x(2) = 0,405396
0,558336

Jätkame arvutusi, kuni jõuame antud tingimust rahuldavatele väärtustele lähemale.

x(7) = 0,441091

Kontrollime saadud tulemuste õigsust:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3,1*0,1880+2,3*0,441-1,1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

Leitud väärtuste esialgsetesse võrranditesse asendamisel saadud tulemused vastavad täielikult võrrandi tingimustele.

Nagu näeme, annab lihtne iteratsioonimeetod üsna täpsed tulemused, kuid selle võrrandi lahendamiseks tuli kulutada palju aega ja teha tülikaid arvutusi.