Diagonaaltüüpi maatriksid on kõige lihtsamini paigutatud. Tekib küsimus, kas on võimalik leida alust, milles lineaaroperaatori maatriks oleks diagonaalse kujuga. Selline alus on olemas.
Olgu antud lineaarruum R n ja selles toimiv lineaaroperaator A; sel juhul võtab operaator A R n enda sisse ehk A:R n → R n .

Definitsioon. Nullist erinevat vektorit nimetatakse operaatori A omavektoriks, kui operaator A teiseneb temaga kollineaarseks vektoriks, st . Arvu λ nimetatakse omavektorile vastava operaatori A omaväärtuseks või omaväärtuseks .
Märgime mõningaid omaväärtuste ja omavektorite omadusi.
1. Omavektorite mis tahes lineaarne kombinatsioon operaatori A, mis vastab samale omaväärtusele λ, on sama omaväärtusega omavektor.
2. Omavektorid operaator A paarikaupa erinevate omaväärtustega λ 1 , λ 2 , …, λ m on lineaarselt sõltumatud.
3. Kui omaväärtused λ 1 =λ 2 = λ m = λ, siis omaväärtus λ vastab mitte rohkem kui m lineaarselt sõltumatule omavektorile.

Seega, kui on n lineaarselt sõltumatut omavektorit mis vastavad erinevatele omaväärtustele λ 1 , λ 2 , …, λ n , siis on nad lineaarselt sõltumatud, seega võib neid võtta ruumi R n aluseks. Leiame lineaaroperaatori A maatriksi kuju tema omavektorite alusel, mille puhul toimime operaatoriga A baasvektorite alusel: siis .
Seega on lineaarse operaatori A maatriksil oma omavektorite alusel diagonaalkuju ja operaatori A omaväärtused on diagonaalil.
Kas on veel mõni alus, mille puhul maatriksil on diagonaalne vorm? Sellele küsimusele annab vastuse järgmine teoreem.

Teoreem. Lineaaroperaatori A maatriksil aluses (i = 1..n) on diagonaalkuju siis ja ainult siis, kui kõik aluse vektorid on operaatori A omavektorid.

Omaväärtuste ja omavektorite leidmise reegel

Laske vektoril , kus x 1 , x 2 , …, x n - vektori koordinaadid baasi suhtes ja on omaväärtusele λ vastava lineaaroperaatori A omavektor, st. Selle seose saab kirjutada maatriksi kujul

. (*)

Võrrandit (*) võib pidada võrrandiks , ja leidmiseks, see tähendab, et meid huvitavad mittetriviaalsed lahendid, kuna omavektor ei saa olla null. On teada, et homogeense süsteemi mittetriviaalsed lahendused lineaarvõrrandid eksisteerivad siis ja ainult siis, kui det(A - λE) = 0. Seega, et λ oleks operaatori A omaväärtus, on vajalik ja piisav, et det(A - λE) = 0.
Kui võrrand (*) on üksikasjalikult kirjutatud koordinaatide kujul, saame lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi:

(1)
kus on lineaaroperaatori maatriks.

Süsteemil (1) on nullist erinev lahendus, kui selle determinant D on võrdne nulliga

Saime omaväärtuste leidmiseks võrrandi.
Seda võrrandit nimetatakse karakteristikuks ja selle võrrandiks vasak pool- maatriksi (operaatori) A karakteristlik polünoom. Kui karakteristikul polünoomil pole reaaljuuri, siis maatriksil A ei ole omavektoreid ja seda ei saa taandada diagonaalkujule.
Olgu λ 1 , λ 2 , …, λ n reaaljuured iseloomulik võrrand ja nende hulgas võib olla mitu. Asendades need väärtused omakorda süsteemiga (1), leiame omavektorid.

Näide 12. Lineaaroperaator A toimib R 3-s vastavalt seadusele , kus x 1 , x 2 , .., x n on baasis oleva vektori koordinaadid , , . Leidke selle operaatori omaväärtused ja omavektorid.
Lahendus. Koostame selle operaatori maatriksi:
.
Koostame omavektorite koordinaatide määramise süsteemi:

Koostame iseloomuliku võrrandi ja lahendame selle:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Asendades süsteemi λ = -1, saame:
või
Sest , siis on kaks sõltuvat muutujat ja üks vaba muutuja.
Olgu siis x 1 vaba tundmatu Lahendame selle süsteemi mis tahes viisil ja leiame ühine otsus Sellest süsteemist: Lahenduste põhisüsteem koosneb ühest lahendist, kuna n - r = 3 - 2 = 1.
Omaväärtusele λ = -1 vastav omavektorite hulk on kujul: , kus x 1 on mis tahes arv, mis ei ole null. Valime sellest hulgast ühe vektori, näiteks määrates x 1 = 1: .
Sarnaselt argumenteerides leiame omaväärtusele λ = 3 vastava omavektori: .
Ruumis R 3 koosneb baas kolmest lineaarselt sõltumatust vektorist, kuid oleme saanud ainult kaks lineaarselt sõltumatut omavektorit, millest R 3 baasi moodustada ei saa. Järelikult ei saa lineaaroperaatori maatriksit A ​​taandada diagonaalkujule.

Näide 13 Antud maatriks .
1. Tõesta, et vektor on maatriksi A omavektor. Leia sellele omavektorile vastav omaväärtus.
2. Leia alus, milles maatriksil A on diagonaalkuju.
Lahendus.
1. Kui , siis on omavektor

.
Vektor (1, 8, -1) on omavektor. Omaväärtus λ = -1.
Maatriksil on omavektoritest koosnev alus diagonaalkuju. Üks neist on kuulus. Leiame ülejäänud.
Otsime omavektoreid süsteemist:

Iseloomulik võrrand: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2–1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Leidke omaväärtusele λ = -3 vastav omavektor:

Selle süsteemi maatriksi auaste on võrdne kahega ja võrdub tundmatute arvuga, seetõttu on sellel süsteemil ainult nulllahendus x 1 = x 3 = 0. x 2 võib siin olla midagi muud kui null, näiteks x 2 = 1. Seega on vektor (0 ,1,0) omavektor, mis vastab väärtusele λ = -3. Kontrollime:
.
Kui λ = 1, siis saame süsteemi
Maatriksi auaste on kaks. Tõmmake viimane võrrand läbi.
Olgu x 3 vaba tundmatu. Siis x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = 9x 3.
Eeldades, et x 3 = 1, saame (-3,-9,1) - omaväärtusele λ = 1 vastav omavektor. Kontrollige:

.
Kuna omaväärtused on reaalsed ja erinevad, on neile vastavad vektorid lineaarselt sõltumatud, nii et neid saab R 3 aluseks võtta. Seega aluses , , maatriksil A on vorm:
.
Mitte iga lineaarse operaatori A:R n → R n maatriksit ei saa taandada diagonaalkujule, kuna mõne lineaaroperaatori puhul võib olla vähem kui n lineaarselt sõltumatut omavektorit. Kui aga maatriks on sümmeetriline, siis vastab täpselt m lineaarselt sõltumatut vektorit kordsusvõrrandi m juurele.

Definitsioon. Sümmeetriline maatriks on ruutmaatriks, milles põhidiagonaali suhtes sümmeetrilised elemendid on võrdsed, see tähendab, milles .
Märkused. 1. Kõik sümmeetrilise maatriksi omaväärtused on reaalsed.
2. Paarikaupa erinevatele omaväärtustele vastava sümmeetrilise maatriksi omavektorid on ortogonaalsed.
Üheks uuritud aparaadi arvukatest rakendustest käsitleme teist järku kõvera kuju määramise probleemi.

Omaväärtused(arvud) ja omavektorid.
Lahendusnäited

Ole sina ise

Mõlemast võrrandist järeldub, et .

Paneme siis: .

Tulemusena: on teine ​​omavektor.

Kordame olulised punktid lahendused:

– saadud süsteemil on kindlasti üldlahend (võrrandid on lineaarselt sõltuvad);

- "Y" valitakse nii, et see on täisarv ja esimene "x" koordinaat on täisarv, positiivne ja võimalikult väike.

– kontrollime, et konkreetne lahendus rahuldaks süsteemi iga võrrandit.

Vastus .

Vahepealsetest "kontrollpunktidest" piisas täiesti, nii et võrduste kontroll on põhimõtteliselt üleliigne.

Erinevates teabeallikates kirjutatakse omavektorite koordinaadid sageli mitte veergudesse, vaid ridadesse, näiteks: (ja kui aus olla, siis ma ise kirjutasin neid ridadena). See valik on vastuvõetav, kuid seda teemat silmas pidades lineaarsed teisendused tehniliselt mugavam kasutada veeruvektorid.

Võib-olla tundus lahendus teile väga pikk, kuid seda ainult seetõttu, et kommenteerisin esimest näidet väga üksikasjalikult.

Näide 2

maatriksid

Treenime iseseisvalt! Ülesande lõpliku kavandi ligikaudne näidis õppetunni lõpus.

Mõnikord peate täitma täiendava ülesande, nimelt:

kirjutage maatriksi kanooniline lagunemine

Mis see on?

Kui maatriksi omavektorid moodustuvad alus, siis saab seda esitada järgmiselt:

Kus on maatriks, mis koosneb omavektorite koordinaatidest, - diagonaal maatriks vastavate omaväärtustega.

Seda maatriksi lagunemist nimetatakse kanooniline või diagonaal.

Mõelge esimese näite maatriksile. Tema enda vektorid lineaarselt sõltumatu(mittekollineaarne) ja moodustavad aluse. Teeme nende koordinaatidest maatriksi:

peal põhidiagonaal maatriksid õiges järjekorras omaväärtused asuvad ja ülejäänud elemendid on võrdsed nulliga:
- rõhutan veel kord järjekorra tähtsust: "kaks" vastab 1. vektorile ja asub seetõttu 1. veerus, "kolm" - 2. vektoris.

Vastavalt tavapärasele leidmise algoritmile pöördmaatriks või Gaussi-Jordaania meetod leida . Ei, see pole kirjaviga! - teie ees on haruldane, nagu päikesevarjutus sündmus, kui pöördväärtus ühtis algse maatriksiga.

Jääb üle kirjutada maatriksi kanooniline lagunemine:

Süsteemi saab lahendada koos elementaarsed teisendused ja järgmistes näidetes me kasutame seda meetodit. Kuid siin töötab "kooli" meetod palju kiiremini. 3. võrrandist väljendame: - asendame teise võrrandiga:

Kuna esimene koordinaat on null, saame süsteemi , mille igast võrrandist järeldub, et .

Ja jälle pöörake tähelepanu lineaarse seose kohustuslikule olemasolule. Kui saadakse vaid triviaalne lahendus , siis leiti kas omaväärtus valesti või kompileeriti/lahendati süsteem veaga.

Kompaktsed koordinaadid annavad väärtuse

Omavektor:

Ja veel kord kontrollime, kas lahendus on leitud rahuldab süsteemi iga võrrandi. Järgmistes lõikudes ja järgnevates ülesannetes soovitan selle sooviga nõustuda kohustusliku reeglina.

2) Omaväärtuse jaoks saame sama põhimõtte järgi järgmise süsteemi:

Süsteemi 2. võrrandist väljendame: - asendame kolmanda võrrandiga:

Kuna "zeta" koordinaat on võrdne nulliga, saame süsteemi, mille igast võrrandist see tuleneb lineaarne sõltuvus.

Lase

Kontrollime lahendust rahuldab süsteemi iga võrrandi.

Seega omavektor: .

3) Ja lõpuks, süsteem vastab oma väärtusele:

Teine võrrand näeb välja kõige lihtsam, seega väljendame seda sellest ja asendame selle 1. ja 3. võrrandiga:

Kõik on korras - ilmnes lineaarne sõltuvus, mille asendame väljendiga:

Selle tulemusena väljendati "X" ja "Y" läbi "Z": . Praktikas pole vaja ainult selliseid suhteid saavutada, mõnel juhul on mugavam väljendada nii läbi või läbi . Või isegi "rong" - näiteks "X" kuni "Y" ja "Y" kuni "Z"

Paneme siis:

Kontrollime, kas lahendus leitud rahuldab süsteemi iga võrrandi ja kirjutab kolmanda omavektori

Vastus: omavektorid:

Geomeetriliselt määratlevad need vektorid kolm erinevat ruumisuunda ("Sinna ja tagasi"), mille järgi lineaarne teisendus teisendab nullist mittevastavad vektorid (omavektorid) neile kollineaarseteks vektoriteks.

Kui tingimuse järgi oli vaja leida kanooniline laiend, siis siin on see võimalik, sest erinevad omaväärtused vastavad erinevatele lineaarselt sõltumatutele omavektoritele. Teeme maatriksi nende koordinaatidest diagonaalmaatriksist alates asjakohane omaväärtusi ja leida pöördmaatriks .

Kui seisukorra järgi on vaja kirjutada lineaarne teisendusmaatriks omavektorite baasil, siis anname vastuse vormis . Seal on erinevus ja oluline erinevus! Selle maatriksi jaoks on maatriks "de".

Probleem iseseisva lahenduse lihtsamate arvutustega:

Näide 5

Leia maatriksiga antud lineaarse teisenduse omavektorid

Enda arvude leidmisel proovige mitte viia juhtumit 3. astme polünoomini. Lisaks võivad teie süsteemilahendused minu lahendustest erineda – siin pole ühemõttelisust; ja leitud vektorid võivad näidisvektoritest erineda kuni proportsionaalsuseni nende vastavate koordinaatidega. Näiteks ja . Esteetiliselt meeldivam on vastus esitada kujul , kuid see on okei, kui peatute teise variandi juures. Siiski on kõigel mõistlikud piirid, versioon ei näe enam kuigi hea välja.

Ülesande ligikaudne lõplik näidis õppetunni lõpus.

Kuidas lahendada ülesanne mitme omaväärtuse korral?

Üldine algoritm jääb samaks, kuid sellel on oma eripärad ja mõned lahenduse osad on soovitatav hoida rangemas akadeemilises stiilis:

Näide 6

Leidke omaväärtused ja omavektorid

Lahendus

Muidugi kasutame suurepärast esimest veergu suurtähtedega:

Ja pärast lagunemist ruudukujuline kolmik kordajate jaoks:

Selle tulemusena saadakse omaväärtused, millest kaks on mitmekordsed.

Leiame omavektorid:

1) Me käsitleme üksiksõdurit "lihtsustatud" skeemi järgi:

Kahest viimasest võrrandist on selgelt näha võrdsus, mis ilmselt tuleks asendada süsteemi 1. võrrandiga:

Pole paremat kombinatsiooni:
Omavektor:

2-3) Nüüd eemaldame paar vahtkonda. Sel juhul võib see nii olla kas kaks või üks omavektor. Olenemata juurte paljususest asendame determinandi väärtuse , mis toob meieni järgmise homogeenne lineaarvõrrandisüsteem:

Omavektorid on täpselt samad vektorid
põhimõtteline otsustussüsteem

Tegelikult tegelesime kogu tunni jooksul ainult põhisüsteemi vektorite leidmisega. Lihtsalt esialgu ei nõutud seda tähtaega eriti. Muide, need osavad õpilased, kes kamuflaažis homogeensed võrrandid, on sunnitud seda nüüd suitsetama.

Ainus tegevus oli lisaliinide eemaldamine. Tulemuseks on "üks kolmele" maatriks, mille keskel on formaalne "samm".
– põhimuutuja, – vabad muutujad. Seal on kaks vaba muutujat, seega on ka kaks põhisüsteemi vektorit.

Avaldame põhimuutujat vabade muutujatena: . Nulltegur x-i ees võimaldab sellel võtta absoluutselt mis tahes väärtusi (mis on ka võrrandisüsteemist selgelt nähtav).

Selle ülesande kontekstis on mugavam kirjutada üldlahendus mitte ritta, vaid veergu:

Paar vastab omavektorile:
Paar vastab omavektorile:

Märge : kogenud lugejad saavad need vektorid suuliselt kätte saada – lihtsalt süsteemi analüüsides , kuid siin on vaja teadmisi: on kolm muutujat, süsteemimaatriksi auaste- ühik tähendab põhimõtteline otsustussüsteem koosneb 3 – 1 = 2 vektorist. Leitud vektorid on aga täiesti nähtavad ka ilma selle teadmiseta, puhtalt intuitiivsel tasandil. Sel juhul kirjutatakse kolmas vektor veelgi “kaunimini”: . Hoiatan siiski, teises näites ei pruugi olla lihtsat valikut, mistõttu on broneering mõeldud kogenud inimestele. Pealegi, miks mitte võtta kolmanda vektorina näiteks ? Lõppude lõpuks rahuldavad selle koordinaadid ka süsteemi iga võrrandit ja vektoreid on lineaarselt sõltumatud. See valik on põhimõtteliselt sobiv, kuid "kõver", kuna "muu" vektor on põhisüsteemi vektorite lineaarne kombinatsioon.

Vastus: omaväärtused: , omavektorid:

Sarnane näide tee-seda-ise lahenduse kohta:

Näide 7

Leidke omaväärtused ja omavektorid

Ligikaudne viimistlusnäidis õppetunni lõpus.

Tuleb märkida, et nii 6. kui ka 7. näites saadakse lineaarselt sõltumatute omavektorite kolmik ja seetõttu saab algset maatriksit esitada kanoonilises laienduses . Kuid selliseid vaarikaid ei juhtu kõigil juhtudel:

Näide 8

Lahendus: koostage ja lahendage tunnusvõrrand:

Laiendame determinanti esimese veeru võrra:

Täiendavaid lihtsustusi teostame vastavalt vaadeldavale meetodile, vältides 3. astme polünoomi:

on omaväärtused.

Leiame omavektorid:

1) Juurega pole raskusi:

Ärge imestage, lisaks komplektile on kasutusel ka muutujad - siin pole vahet.

3. võrrandist väljendame - asendame 1. ja 2. võrrandiga:

Mõlemast võrrandist järeldub:

Lase siis:

2-3) Mitme väärtuse korral saame süsteemi .

Kirjutame üles süsteemi maatriksi ja viime elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

Maatriksiga A, kui on selline arv l, et AX = lX.

Sel juhul kutsutakse numbrit l omaväärtus vektorile X vastav operaator (maatriks A).

Teisisõnu, omavektor on vektor, mis lineaaroperaatori toimel muundub kollineaarseks vektoriks, s.t. lihtsalt korrutage mõne arvuga. Seevastu ebaõigeid vektoreid on raskem teisendada.

Kirjutame omavektori definitsiooni võrrandisüsteemina:

Liigume kõik terminid vasakule poole:

Viimase süsteemi saab kirjutada maatriks kujul järgmiselt:

(A – lE)X \u003d O

Saadud süsteemis on alati nulllahendus X = O. Selliseid süsteeme, milles kõik vabaliikmed on võrdsed nulliga, nimetatakse homogeenne. Kui sellise süsteemi maatriks on ruut ja selle determinant ei ole võrdne nulliga, siis Crameri valemite järgi saame alati unikaalse lahendi – nulli. Seda, et süsteemil on nullist erinevaid lahendeid, saab tõestada siis ja ainult siis, kui selle maatriksi determinant on võrdne nulliga, s.t.

|A - lE| = = 0

Seda võrrandit tundmatu l-ga nimetatakse iseloomulik võrrand (iseloomulik polünoom) maatriks A (lineaarne operaator).

Saab tõestada, et lineaaroperaatori karakteristlik polünoom ei sõltu aluse valikust.

Näiteks leiame maatriksiga A = antud lineaaroperaatori omaväärtused ja omavektorid.

Selleks koostame tunnusvõrrandi |А - lЕ| = \u003d (1 - l) 2 - 36 \u003d 1 - 2l + l 2 - 36 \u003d l 2 - 2l - 35 \u003d 0; D \u003d 4 + 140 = 144; omaväärtused l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 \u003d (2 + 12) / 2 \u003d 7.

Omavektorite leidmiseks lahendame kaks võrrandisüsteemi

(A + 5E) X = O

(A - 7E) X = O

Neist esimese puhul võtab laiendatud maatriks kuju

,

kust x 2 \u003d c, x 1 + (2/3) c \u003d 0; x 1 \u003d - (2/3) s, s.o. X (1) \u003d (- (2/3) s; s).

Neist teise jaoks võtab laiendatud maatriks kuju

,

kust x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 \u003d 0; x 1 \u003d (2/3) s 1, s.o. X (2) \u003d ((2/3) s 1; s 1).

Seega on selle lineaaroperaatori omavektoriteks kõik vektorid kujul (-(2/3)c; c) omaväärtusega (-5) ja kõik vektorid kujul ((2/3)c 1 ; c 1) omaväärtus 7 .

Võib tõestada, et operaatori A maatriks selle omavektoritest koosnevas baasis on diagonaalne ja selle kujuga:

,

kus l i on selle maatriksi omaväärtused.

Tõsi on ka vastupidine: kui maatriks A mõnes aluses on diagonaal, siis on kõik selle aluse vektorid selle maatriksi omavektorid.

Samuti saab tõestada, et kui lineaaroperaatoril on n paarikaupa erinevat omaväärtust, siis vastavad omavektorid on lineaarselt sõltumatud ja selle operaatori maatriks vastavas baasis on diagonaalse kujuga.

Selgitame seda eelmise näitega. Võtame suvalised nullist erinevad väärtused c ja c 1 , kuid sellised, et vektorid X (1) ja X (2) on lineaarselt sõltumatud, s.t. annaks aluse. Näiteks olgu c \u003d c 1 \u003d 3, siis X (1) \u003d (-2; 3), X (2) \u003d (2; 3).

Teeme kindlaks lineaarne iseseisvus need vektorid:

12 ≠ 0. Selles uues baasis on maatriks A kujul A * = .

Selle kontrollimiseks kasutame valemit A * = C -1 AC. Leiame kõigepealt C -1.

C-1 = ;

Ruutvormid

ruutvorm n-st muutujast f (x 1, x 2, x n) nimetatakse summaks, mille iga liige on kas ühe muutuja ruut või kahe erineva muutuja korrutis, mis on võetud teatud koefitsiendiga: f (x 1) , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Nendest koefitsientidest koosnevat maatriksit A ​​nimetatakse maatriksruutvorm. See on alati sümmeetriline maatriks (st põhidiagonaali suhtes sümmeetriline maatriks, a ij = a ji).

Maatriksmärgistuses on ruutkujul kuju f(X) = X T AX, kus

Tõepoolest

Näiteks kirjutame sisse maatriksvorm ruutvorm.

Selleks leiame ruutkujulise maatriksi. Selle diagonaalelemendid on võrdsed muutujate ruutude koefitsientidega ja ülejäänud elemendid on võrdsed poolega ruutvormi vastavatest kordajatest. Sellepärast

Olgu muutujate X maatriks-veerg saadud maatriks-veeru Y mittedegeneratiivse lineaarse teisendusega, s.o. X = CY, kus C on mittedegenereerunud maatriks järku n. Siis ruutvorm f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Seega, mittemandunud lineaarteisendusel C saab ruutkuju maatriks kuju: A * = C T AC.

Näiteks leiame ruutkuju f(y 1, y 2) ruutvormist f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineaarteisendusega.

Ruutvormi nimetatakse kanooniline(Sellel on kanooniline vaade), kui kõik selle koefitsiendid a ij = 0 i ≠ j korral, s.o.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =.

Selle maatriks on diagonaalne.

Teoreem(tõestust siin ei esitata). Mis tahes ruutvormi saab taandada kanooniliseks vormiks, kasutades mittedegenereerunud lineaarset teisendust.

Näiteks taandagem ruutkuju kanooniliseks vormiks
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Selleks valige esmalt muutuja x 1 täisruut:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2-5x2 2-x2x3.

Nüüd valime muutuja x 2 jaoks täisruudu:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) + (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

Seejärel toob mittedegenereerunud lineaarne teisendus y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 + (1/10) x 3 ja y 3 \u003d x 3 selle ruutvormi kanoonilisele vormile f (y 1 , y 2, y 3) = 2 a 1 2 - 5 a 2 2 + (1/20) y 3 2 .

Pange tähele, et ruutvormi kanooniline vorm on defineeritud mitmetähenduslikult (sama ruutvormi saab taandada kanooniliseks vormiks erinevatel viisidel). Siiski, erinevatel viisidel kanoonilistel vormidel on number ühised omadused. Eelkõige ei sõltu ruutvormi positiivsete (negatiivsete) koefitsientidega liikmete arv sellest, kuidas vorm sellele vormile taandatakse (näiteks vaadeldavas näites on alati kaks negatiivset ja üks positiivne koefitsient). Seda omadust nimetatakse inertsi seadus ruutvormid.

Kontrollime seda, taandades sama ruutvormi erineval viisil kanooniliseks vormiks. Alustame teisendust muutujaga x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 +
+ 2 * x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3 a 1 2 -
+ 3 a 2 2 + 2 a 3 2, kus y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) x 3 ja y 3 = x 1 . Siin on negatiivne koefitsient -3 y 1 juures ja kaks positiivset koefitsienti 3 ja 2 y 2 ja y 3 juures (ja teist meetodit kasutades saime negatiivse koefitsiendi (-5) y 2 juures ja kaks positiivset koefitsienti: 2 y 1 juures ja 1/20 aasta 3 jaoks).

Samuti tuleb märkida, et ruutkujulise maatriksi auaste, nn ruutvormi aste, on võrdne kanoonilise vormi nullist erineva koefitsientide arvuga ja ei muutu lineaarsete teisenduste korral.

Nimetatakse ruutkuju f(X). positiivselt (negatiivne) teatud, kui kõigi muutujate väärtuste puhul, mis ei ole samaaegselt võrdsed nulliga, on see positiivne, st. f(X) > 0 (negatiivne, st.
f(X)< 0).

Näiteks ruutvorm f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 on positiivne kindel, sest on ruutude summa ja ruutvorm f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 on negatiivne kindel, sest tähistab seda saab esitada kui f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Enamikus praktilistes olukordades on ruutvormi märgimääratluse tuvastamine mõnevõrra keerulisem, seetõttu kasutatakse selleks ühte järgmistest teoreemidest (sõnastame need ilma tõestusteta).

Teoreem. Ruutvorm on positiivne (negatiivne) kindel siis ja ainult siis, kui kõik selle maatriksi omaväärtused on positiivsed (negatiivsed).

Teoreem(Sylvesteri kriteerium). Ruutvorm on positiivne siis ja ainult siis, kui kõik selle vormi maatriksi peamollid on positiivsed.

Major (nurga)moll N-ndat järku maatriksi A k-ndat järku nimetatakse maatriksi determinandiks, mis koosneb maatriksi A () esimesest k reast ja veerust.

Pange tähele, et eitus-määratud ruutvormide puhul vahelduvad põhimollide märgid ja esimest järku moll peab olema eitav.

Näiteks uurime ruutkuju f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 märgimääratlust.

= (2–l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D = 25 - 8 = 17;
. Seetõttu on ruutvorm positiivne kindel.

Meetod 2. Maatriksi esimest järku peamoll A D 1 = a 11 = 2 > 0. Teist järku peamoll D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Seega Sylvesteri kriteeriumi järgi ruutvorm on positiivne kindel.

Märgimääratluse jaoks uurime teist ruutvormi f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Meetod 1. Koostame ruutkujulise maatriksi А = . Iseloomulikul võrrandil on vorm = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Seetõttu on ruutvorm negatiivne kindel.

Meetod 2. Maatriksi esimest järku peamoll A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Seetõttu on ruutvorm Sylvesteri kriteeriumi järgi negatiivne kindel (põhimollide märgid vahelduvad, alustades miinusest).

Ja teise näitena uurime ruutvormi f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 märgimääratluse jaoks.

Meetod 1. Koostame ruutkujulise maatriksi А = . Iseloomulikul võrrandil on vorm = (2–l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Üks neist numbritest on negatiivne ja teine ​​positiivne. Omaväärtuste märgid on erinevad. Seetõttu ei saa ruutvorm olla ei negatiivne ega positiivne kindel, s.t. see ruutvorm ei ole märgiline (see võib võtta mis tahes märgi väärtusi).

Meetod 2. Maatriksi esimest järku peamoll A D 1 = a 11 = 2 > 0. Teist järku peamoll D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

www.sait võimaldab teil leida. Sait teeb arvutused. Mõne sekundi pärast annab server välja õige otsus. Maatriksi iseloomulik võrrand on algebraline avaldis, mis leitakse determinandi arvutamise reegliga maatriksid maatriksid, samas kui põhidiagonaalil on diagonaalelementide ja muutuja väärtustes erinevusi. Arvutamisel võrgumaatriksi tunnusvõrrand, iga element maatriksid korrutatakse vastavate muude elementidega maatriksid. Otsige režiimis võrgus võimalik ainult ruudu jaoks maatriksid. Leia operatsioon võrgumaatriksi tunnusvõrrand taandub elementide korrutise algebralise summa arvutamiseks maatriksid determinandi leidmise tulemusena maatriksid, ainult kindlaksmääramise eesmärgil võrgumaatriksi tunnusvõrrand. See operatsioon on teoorias erilisel kohal maatriksid, võimaldab juurte abil leida omaväärtusi ja vektoreid. Ülesande leidmine võrgumaatriksi tunnusvõrrand on elementide korrutamine maatriksid koos nende saaduste hilisema summeerimisega teatud reegli järgi. www.sait leiab maatriksi tunnusvõrrand režiimis antud mõõde võrgus. arvutus võrgumaatriksi tunnusvõrrand antud dimensiooni jaoks on see numbriliste või sümboolsete koefitsientidega polünoomi leidmine, mis on leitud determinandi arvutamise reegliga maatriksid- vastavate elementide korrutiste summana maatriksid, ainult kindlaksmääramise eesmärgil võrgumaatriksi tunnusvõrrand. Ruudu muutuja suhtes polünoomi leidmine maatriksid, määratlusena maatriksi iseloomulik võrrand, teoreetiliselt levinud maatriksid. Polünoomi juurte väärtus võrgumaatriksi tunnusvõrrand kasutatakse omavektorite ja omaväärtuste määratlemiseks maatriksid. Kui aga determinant maatriksid siis on null maatriksi karakteristiku võrrand erinevalt vastupidisest on endiselt olemas maatriksid. Selleks, et arvutada maatriksi tunnusvõrrand või otsige mitut korraga maatriksite tunnusvõrrandid, peate kulutama palju aega ja vaeva, samas kui meie server leiab võrgumaatriksi tunnusvõrrand. Sel juhul vastus leidmisega võrgumaatriksi tunnusvõrrand on õige ja piisava täpsusega, isegi kui numbrid leidmisel võrgumaatriksi tunnusvõrrand saab olema irratsionaalne. Kohapeal www.sait märkide sisestamine on elementides lubatud maatriksid, see on võrgumaatriksi tunnusvõrrand saab arvutamisel esitada üldisel sümboolsel kujul iseloomuliku võrrandi maatriks võrgus. Saadud vastust on kasulik kontrollida leidmisülesande lahendamisel võrgumaatriksi tunnusvõrrand saidi kasutades www.sait. Polünoomi arvutamise toimingu tegemisel - maatriksi karakteristlik võrrand, tuleb selle probleemi lahendamisel olla tähelepanelik ja äärmiselt kontsentreeritud. Meie sait omakorda aitab teil kontrollida oma otsust sellel teemal iseloomuliku võrrandi maatriks võrgus. Kui teil pole aega lahendatud probleemide pikaks kontrollimiseks, siis www.sait on kindlasti mugav tööriist otsimisel ja arvutamisel võrgumaatriksi tunnusvõrrand.