Juhuslike suuruste arvulised karakteristikud.

Mood- kõige sagedamini esinev väärtus vaatluste kogumis

Mo \u003d X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),

siin X Mo on modaalintervalli vasak piir, h Mo on modaalintervalli pikkus, f Mo-1 on premodaalse intervalli sagedus, f Mo on modaalintervalli sagedus, f Mo+1 on modaalintervalli sagedus postmodaalse intervalli sagedus.

Absoluutselt pideva jaotuse moodus on jaotustiheduse lokaalse maksimumi mis tahes punkt. Diskreetsete jaotuste korral on moodus mis tahes väärtus a i, mille tõenäosus p i on suurem kui naaberväärtuste tõenäosus

mediaan pidev juhuslik suurus X selle väärtust Me nimetatakse selliseks, mille puhul on sama tõenäoline, kas juhuslik suurus osutub väiksemaks või suuremaks Mina, st.

M e \u003d (n + 1) / 2 P(X < Mina) = P(X > Mina)

Ühtlaselt jaotunud UUS

Ühtlane jaotus. Pidevat juhuslikku muutujat nimetatakse segmendil () ühtlaselt jaotuvaks, kui selle jaotustiheduse funktsioon (joonis 1.6, a) tundub, et:

Tähistus: - SW on jaotatud ühtlaselt .

Vastavalt sellele jaotusfunktsioon segmendil (joonis 1.6, b):

Riis. 1.6. Juhusliku suuruse funktsioonid, mis on ühtlaselt jaotunud [ a,b]: a– tõenäosustihedused f(x); b– distributsioonid F(x)

Selle RV matemaatilised ootused ja dispersioon määratakse avaldiste abil:

Tihedusfunktsiooni sümmeetria tõttu langeb see kokku mediaaniga. Moel puudub ühtlane jaotus

Näide 4 Telefonikõnele vastuse ooteaeg on juhuslik suurus, mis järgib ühtset jaotusseadust vahemikus 0 kuni 2 minutit. Leidke selle juhusliku suuruse integraal- ja diferentsiaaljaotuse funktsioonid.

27. Tõenäosuse jaotuse normaalseadus

Pideval juhuslikul suurusel x on normaaljaotus parameetritega: m,s > 0, kui tõenäosusjaotuse tihedus on kujul:

kus: m on matemaatiline ootus, s on standardhälve.

Normaaljaotust nimetatakse saksa matemaatiku Gaussi järgi ka Gaussiks. Seda, et juhuslikul suurusel on normaaljaotus parameetritega: m, , tähistatakse järgmiselt: N (m, s), kus: m=a=M[X];

Üsna sageli on valemites matemaatilist ootust tähistatud a . Kui juhuslik suurus on jaotatud vastavalt seadusele N(0,1), siis nimetatakse seda normaliseeritud ehk standardiseeritud normaalväärtuseks. Selle jaotusfunktsioon on järgmisel kujul:

Normaaljaotuse tiheduse graafik, mida nimetatakse normaalkõveraks või Gaussi kõveraks, on näidatud joonisel 5.4.

Riis. 5.4. Normaaljaotuse tihedus

omadused juhuslik suurus normaaljaotuse seadusega.

1. Kui , siis et leida tõenäosus, et see väärtus langeb antud intervalli ( x 1; x 2) kasutatakse valemit:

2. Tõenäosus, et juhusliku suuruse kõrvalekalle tema matemaatilisest ootusest ei ületa väärtust (absoluutväärtuses), on võrdne.

Oodatud väärtus. matemaatiline ootus diskreetne juhuslik suurus X, mis võtab piiratud arvu väärtusi Xi tõenäosustega Ri, nimetatakse summaks:

matemaatiline ootus pidev juhuslik suurus X nimetatakse selle väärtuste korrutise integraaliks X tõenäosusjaotuse tiheduse kohta f(x):

(6b)

Vale integraal (6 b) eeldatakse olevat absoluutselt konvergentne (muidu ütleme, et ootus M(X) ei eksisteeri). Matemaatiline ootus iseloomustab tähendab juhuslik muutuja X. Selle mõõde langeb kokku juhusliku suuruse mõõtmega.

Matemaatilise ootuse omadused:

Dispersioon. dispersioon juhuslik muutuja X numbrit kutsutakse:

Dispersioon on hajumise tunnus juhusliku suuruse väärtused X võrreldes selle keskmise väärtusega M(X). Dispersiooni mõõde on võrdne juhusliku suuruse ruudus. Diskreetse juhusliku suuruse dispersiooni (8) ja matemaatilise ootuse (5) ja pideva juhusliku suuruse (6) definitsioonide põhjal saame dispersiooni jaoks sarnased avaldised:

(9)

Siin m = M(X).

Dispersiooni omadused:

Standardhälve:

(11)

Kuna standardhälbe mõõde on sama, mis juhuslikul suurusel, kasutatakse seda sagedamini dispersiooni mõõtjana kui dispersiooni.

jaotushetked. Matemaatilise ootuse ja dispersiooni mõisted on juhuslike muutujate arvuliste tunnuste üldisema kontseptsiooni erijuhud - jaotushetked. Juhusliku suuruse jaotusmomendid on toodud juhusliku suuruse mõne lihtsa funktsiooni matemaatiliste ootustena. Niisiis, tellimuse hetk k punkti suhtes X 0 nimetatakse ootuseks M(X–X 0 )k. Hetked päritoluga võrreldes X= 0 kutsutakse esialgsed hetked ja on märgitud:

(12)

Esimest järku algushetk on vaadeldava juhusliku suuruse jaotuskeskus:

(13)

Jaotuskeskusega seotud hetked X= m helistas kesksed hetked ja on märgitud:

(14)

(7) järeldub, et esimest järku keskmoment on alati võrdne nulliga:

Kesksed momendid ei sõltu juhusliku suuruse väärtuste päritolust, kuna nihkega konstantse väärtuse võrra FROM selle jaotuskeskust nihutatakse sama väärtuse võrra FROM, ja kõrvalekalle keskpunktist ei muutu: X – m = (X – FROM) – (m – FROM).
Nüüd on see selge dispersioon- see on teist järku keskne moment:

Asümmeetria. Kolmanda tellimuse keskne hetk:

(17)

aitab hinnata jaotuse viltu. Kui jaotus on punkti suhtes sümmeetriline X= m, siis on kolmanda järgu keskmoment võrdne nulliga (nagu ka kõik paaritute järkude keskmomendid). Seega, kui kolmandat järku keskmoment erineb nullist, ei saa jaotus olla sümmeetriline. Asümmeetria suurust hinnatakse mõõtmeteta asümmeetria koefitsient:

(18)

Asümmeetriakoefitsiendi märk (18) näitab parem- või vasakpoolset asümmeetriat (joonis 2).

Riis. 2. Jaotuste asümmeetria tüübid.

Liigne. Neljanda tellimuse keskne hetk:

(19)

aitab hinnata nn kurtosis, mis määrab jaotuskeskme lähedal asuva jaotuskõvera järsuse (tiiruse) astme normaaljaotuskõvera suhtes. Kuna normaaljaotuse korral on kurtoosiks võetud kogus:

(20)

Joonisel fig. 3 on näidatud erinevate kurtoosi väärtustega jaotuskõverate näited. Normaaljaotuse jaoks E= 0. Kõveratel, mis on tavalisest suurema tipuga, on positiivne kurtoos ja lamedamate tippudega kõveratel on negatiivne kurtoos.

Riis. 3. Erineva järsusastmega jaotuskõverad (kurtoos).

Matemaatilise statistika insenerirakendustes kõrgemat järku momente tavaliselt ei kasutata.

Mood diskreetne juhuslik suurus on selle kõige tõenäolisem väärtus. Mood pidev juhuslik suurus on selle väärtus, mille korral tõenäosustihedus on maksimaalne (joonis 2). Kui jaotuskõveral on üks maksimum, siis nimetatakse jaotust unimodaalne. Kui jaotuskõveral on rohkem kui üks maksimum, kutsutakse jaotus polümodaalne. Mõnikord on jaotusi, mille kõveratel pole mitte maksimum, vaid miinimum. Selliseid jaotusi nimetatakse antimodaalne. Üldjuhul juhusliku suuruse mood ja matemaatiline ootus ei lange kokku. Konkreetsel juhul modaalne, st. millel on mood, sümmeetriline jaotus ja eeldusel, et on olemas matemaatiline ootus, langeb viimane kokku jaotuse mooduse ja sümmeetriakeskmega.

Mediaan juhuslik muutuja X on selle tähendus Mina, mille puhul kehtib võrdsus: st. sama tõenäoline, et juhuslik suurus X on vähem või rohkem Mina. Geomeetriliselt mediaan on selle punkti abstsiss, kus jaotuskõvera alune pindala on pooleks jagatud (joonis 2). Sümmeetrilise modaaljaotuse korral on mediaan, mood ja keskmine samad.

Lisaks matemaatilisele ootusele ja dispersioonile kasutatakse tõenäosusteoorias mitmeid arvulisi karakteristikuid, mis kajastavad jaotuse teatud tunnuseid.

Definitsioon. Juhusliku suuruse X režiim Mo(X) on selle kõige tõenäolisem väärtus(mille puhul on tõenäosus r r või tõenäosustihedus

Kui tõenäosus või tõenäosustihedus saavutab maksimumi mitte ühes, vaid mitmes punktis, nimetatakse jaotust nn. polümodaalne(joonis 3.13).

Mood sammal), mille puhul tõenäosus R ( või tõenäosustihedus (p(x) saavutab globaalse maksimumi, nimetatakse kõige tõenäolisem väärtus juhuslik suurus (joon. 3.13 see Mo(X) 2).

Definitsioon. Pideva juhusliku suuruse X mediaan Me(X) on selle väärtus, milleks

need. tõenäosus, et juhuslik suurus X võtab mediaanist väiksema väärtuse karusnahk) või sellest suurem, sama ja võrdne 1/2-ga. Geomeetriliselt vertikaalne joon X = Karusnahk), mis läbib punkti, mille abstsiss on võrdne Karusnahk), jagab jaotuskõvera kujundi pindala kaheks võrdseks osaks (joonis 3.14). Ilmselgelt punktis X = karusnahk) jaotusfunktsioon on võrdne 1/2-ga, s.o. P(mina(X))= 1/2 (joonis 3.15).

Pange tähele juhusliku suuruse mediaani olulist omadust: juhusliku suuruse X konstantsest väärtusest C hälbe absoluutväärtuse matemaatiline ootus on minimaalne siis, kui see konstant C on võrdne mediaaniga Me(X) = m, st.

(omadus on sarnane juhusliku suuruse matemaatilisest ootusest kõrvalekaldumise keskmise ruudu minimaalsuse omadusega (3,10").

O Näide 3.15. Leidke juhusliku suuruse mood, mediaan ja keskmine X s tõenäosustihedus φ(x) = 3x 2 xx korral.

Lahendus. Jaotuskõver on näidatud joonisel fig. 3.16. Ilmselgelt on tõenäosustihedus φ(x) maksimaalne juures X= Mo(X) = 1.

mediaan karusnahk) = b leiame tingimusest (3.28):

kus

Matemaatiline ootus arvutatakse valemiga (3.25):

Punktide vastastikune paigutus M(X) > Mina(X) ja sammal) abstsissi kasvavas järjekorras on näidatud joonisel fig. 3.16. ?

Lisaks ülaltoodud numbrilistele tunnustele kasutatakse juhusliku suuruse kirjeldamiseks kvantiilide ja protsendipunktide mõistet.

Definitsioon. Taseme kvantiil y-kvantiil )

nimetatakse juhusliku suuruse selliseks väärtuseks x q , mille korral selle jaotusfunktsioon saab väärtuse, mis on võrdne d, st.

Mõned kvantilid on saanud erilise nime. Ilmselgelt ülaltoodud mediaan juhuslik suurus on 0,5 taseme kvantiil, st. Mina (X) \u003d x 05. Kvantiilid dg 0 2 5 ja x 075 on vastavalt nimetatud madalam ja ülemine kvartiilK

Kvantiili mõistega on tihedalt seotud mõiste protsendipunkti. Under YuOuHo-noi dot kaudne kvantiil x x (( , need. selline juhusliku suuruse väärtus x, mille all

0 Näide 3.16. Vastavalt näitele 3.15 leidke kvantiil x 03 ja 30% juhusliku muutuja punkt x.

Lahendus. Valemi (3.23) järgi jaotusfunktsioon

Kvantiili r 0 z leiame võrrandist (3.29), s.o. x 3 dollarit \u003d 0,3, kust L "oz -0,67. Leidke juhusliku suuruse 30% punkt x, või kvantiil x 0 7 võrrandist x $ 7 = 0,7, kust x 0 7 "0,89. ?

Juhusliku suuruse arvuliste karakteristikute hulgas on erilise tähtsusega momendid - alg- ja keskne.

Definitsioon. Algushetkjuhusliku suuruse X k-s järk on selle muutuja k-nda astme matemaatiline ootus :

Definitsioon. Keskpunktjuhusliku suuruse X k-s järk on matemaatiline ootus juhusliku suuruse X k-nda kõrvalekalde astme kohta selle matemaatilisest ootusest:

Valemid diskreetsete juhuslike suuruste momentide arvutamiseks (väärtuste võtmine x 1 tõenäosustega p,) ja pidev (tõenäosustihedusega cp(x)) on toodud tabelis. 3.1.

Tabel 3.1

Seda on lihtne näha, kui k = 1 juhusliku suuruse esimene alghetk X on selle matemaatiline ootus, st. h x \u003d M [X) \u003d a, juures juurde= 2 teine ​​keskmoment on dispersioon, s.o. p 2 = T)(X).

Keskseid momente p A saab väljendada algmomentidena, kasutades valemeid:

jne.

Näiteks c 3 \u003d M (X-a) * \u003d M (X * -ZaX 2 + Za 2 X-a-\u003e) \u003d M (X *) ~ -ZaM (X 2) + Za 2 M (X) ~ a3 \u003d y 3 -Zy ^ + Zy (y, -y ^ \u003d y 3 - Zy ^ + 2y ^ (tuletamisel võtsime arvesse, et a = M(X)= V, - mittejuhuslik väärtus). ?

Nagu eespool märgitud, matemaatiline ootus M(X), ehk esimene algmoment, iseloomustab keskmist väärtust või positsiooni, juhusliku suuruse jaotuskeskust X numbrireal; dispersioon oh), ehk teine ​​keskmoment p 2, - s t s - jaotuse hajumine X suhteliselt M(X). Kõrgemat järku hetked võimaldavad distributsiooni üksikasjalikumalt kirjeldada.

Kolmas keskne hetk p 3 on jaotuse asümmeetria (viltus) iseloomustamiseks. Sellel on juhusliku suuruse kuubi mõõde. Dimensioonita väärtuse saamiseks jagatakse see umbes 3-ga, kus a on juhusliku suuruse standardhälve x. Vastuvõetud väärtus AGA helistas juhusliku suuruse asümmeetria koefitsient.

Kui jaotus on matemaatilise ootuse suhtes sümmeetriline, siis on kaldsuse koefitsient A = 0.

Joonisel fig. 3.17 näitab kahte jaotuskõverat: I ja II. Kõveral I on positiivne (parempoolne) asümmeetria (L > 0) ja kõveral II on negatiivne (vasakpoolne) (L

Neljas keskne hetk p 4 on mõeldud jaotuse järsuse (ülaosa tipp või lame ülaosa – post) iseloomustamiseks.

Juhuslike suuruste arvkarakteristikute hulgast tuleb ennekõike ära märkida need, mis iseloomustavad juhusliku suuruse asukohta arvuteljel, s.o. näitavad mingit keskmist, ligikaudset väärtust, mille ümber on rühmitatud kõik juhusliku suuruse võimalikud väärtused.

Juhusliku muutuja keskmine väärtus on teatud arv, mis on justkui selle "esindaja" ja asendab selle ligikaudsetes arvutustes. Kui me ütleme: "lambi keskmine tööaeg on 100 tundi" või "keskmine löögipunkt on sihtmärgi suhtes nihutatud 2 m võrra paremale", osutame sellega juhusliku suuruse teatud arvulisele tunnusele, mis kirjeldab selle suurust. asukoht numbriteljel, s.o. positsiooni kirjeldus.

Positsiooni tunnustest tõenäosusteoorias on kõige olulisem roll juhusliku suuruse matemaatilisel ootusel, mida mõnikord nimetatakse lihtsalt juhusliku suuruse keskmiseks väärtuseks.

Mõelge diskreetsele juhuslikule muutujale, millel on võimalikud väärtused tõenäosusega . Peame iseloomustama mõne numbriga juhusliku suuruse väärtuste asukohta x-teljel, võttes arvesse asjaolu, et nendel väärtustel on erinev tõenäosus. Sel eesmärgil on loomulik kasutada väärtuste nn "kaalutud keskmist" ja iga väärtust tuleks keskmistamisel arvesse võtta "kaaluga", mis on võrdeline selle väärtuse tõenäosusega. Seega arvutame juhusliku suuruse keskmise, mida tähistame:

või arvestades seda,

. (5.6.1)

Seda kaalutud keskmist nimetatakse juhusliku suuruse matemaatiliseks ootuseks. Seega võtsime vaatluse alla tõenäosusteooria ühe olulisema mõiste – matemaatilise ootuse.

Juhusliku suuruse matemaatiline ootus on juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende väärtuste tõenäosuste korrutis.

Pange tähele, et ülaltoodud sõnastuses kehtib matemaatilise ootuse määratlus rangelt võttes ainult diskreetsete juhuslike muutujate puhul; Allpool üldistame seda mõistet pidevate suuruste puhul.

Matemaatilise ootuse mõiste illustreerivamaks muutmiseks pöördugem diskreetse juhusliku suuruse jaotuse mehaanilise tõlgendamise poole. Olgu abstsissidega punktid paiknevad abstsissteljel, millesse massid on koondunud vastavalt ja . Ilmselgelt pole valemiga (5.6.1) defineeritud matemaatiline ootus midagi muud kui antud materiaalsete punktide süsteemi raskuskeskme abstsiss.

Juhusliku suuruse matemaatilist ootust ühendab omapärane sõltuvus suure arvu katsetega juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega. See sõltuvus on sama tüüpi kui sageduse ja tõenäosuse vaheline sõltuvus, nimelt: suure arvu katsete korral läheneb juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine (tõenäosusega läheneb) oma matemaatilisele ootusele. Sageduse ja tõenäosuse vahelise seose olemasolust võib järeldada sarnase seose olemasolu aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vahel.

Tõepoolest, kaaluge diskreetset juhuslikku muutujat, mida iseloomustab jaotusseeria:

kus .

Tehke sõltumatud katsed, millest igaühes omandab kogus teatud väärtuse. Oletame, et väärtus ilmus üks kord, väärtus ilmus üks kord, üldiselt ilmus väärtus üks kord. Ilmselgelt

Arvutame suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmise, mida erinevalt matemaatilisest ootusest tähistame:

Kuid pole midagi muud kui sündmuse sagedus (või statistiline tõenäosus); seda sagedust võib nimetada . Siis

,

need. juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine on võrdne juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende väärtuste sageduste korrutistega.

Katsete arvu suurenemisega lähenevad sagedused (tõenäosuses koonduvad) vastavatele tõenäosustele. Järelikult läheneb juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine katsete arvu suurenemisega (tõenäosusega läheneb) selle matemaatilisele ootusele.

Eelpool sõnastatud aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vaheline seos moodustab suurte arvude seaduse ühe vormi sisu. Me anname selle seaduse täpse tõestuse 13. peatükis.

Teame juba, et suurte arvude seaduse kõik vormid kinnitavad tõsiasja, et teatud keskmised on paljude katsete puhul stabiilsed. Siin räägime sama väärtusega vaatluste rea aritmeetilise keskmise stabiilsusest. Väikese arvu katsete korral on nende tulemuste aritmeetiline keskmine juhuslik; katsete arvu piisava suurenemisega muutub see "peaaegu mitte juhuslikuks" ja stabiliseerudes läheneb konstantsele väärtusele - matemaatilisele ootusele.

Paljude katsete keskmiste stabiilsuse omadust on lihtne katseliselt kontrollida. Näiteks laboris täpsetel kaaludel suvalist keha kaaludes saame kaalumise tulemusena iga kord uue väärtuse; vaatlusvea vähendamiseks kaalume keha mitu korda ja kasutame saadud väärtuste aritmeetilist keskmist. On hästi näha, et katsete (kaalumiste) arvu edasisel suurenemisel reageerib aritmeetiline keskmine sellele tõusule üha vähem ja piisavalt suure katsete arvu korral lakkab see praktiliselt muutumast.

Matemaatilise ootuse valem (5.6.1) vastab diskreetse juhusliku suuruse korrale. Pideva väärtuse puhul ei väljendata matemaatilist ootust loomulikult enam summana, vaid integraalina:

, (5.6.2)

kus on suuruse jaotustihedus .

Valem (5.6.2) saadakse valemist (5.6.1), kui asendame selles olevad üksikud väärtused pidevalt muutuva parameetriga x, vastavad tõenäosused - tõenäosuselemendiga ja lõppsumma - integraaliga. Järgnevalt kasutame sageli seda meetodit katkendlike suuruste jaoks tuletatud valemite laiendamiseks pidevatele suurustele.

Mehaanilises tõlgenduses säilitab pideva juhusliku suuruse matemaatiline ootus sama tähenduse - raskuskeskme abstsiss juhul, kui mass jaotub piki abstsisstelge pidevalt, tihedusega . See tõlgendus võimaldab sageli lihtsate mehaaniliste kaalutluste põhjal leida matemaatilise ootuse integraali (5.6.2) arvutamata.

Eespool tutvustasime koguse matemaatilise ootuse tähistust. Mõnel juhul, kui väärtus sisaldub valemites teatud arvuna, on mugavam tähistada seda ühe tähega. Nendel juhtudel tähistame väärtuse matemaatilist ootust järgmiselt:

Märgistust ja matemaatilise ootuse jaoks kasutatakse edaspidi paralleelselt, olenevalt valemite ühe või teise tähistuse mugavusest. Leppigem ka kokku, et vajadusel lühendame sõnu "matemaatiline ootus" tähtedega m.o.

Tuleb märkida, et positsiooni kõige olulisem tunnus - matemaatiline ootus - ei eksisteeri kõigi juhuslike muutujate puhul. Võimalik on koostada näiteid sellistest juhuslikest suurustest, mille jaoks matemaatilist ootust ei eksisteeri, kuna vastav summa või integraal lahkneb.

Vaatleme näiteks katkendlikku juhuslikku muutujat jaotusseeriaga:

Seda on lihtne kontrollida , s.t. jaotusseeria on mõttekas; summa aga lahkneb sel juhul ja seetõttu ei eksisteeri väärtuse matemaatilist ootust. Kuid praktika jaoks ei paku sellised juhtumid märkimisväärset huvi. Tavaliselt on juhuslikel muutujatel, millega me tegeleme, piiratud võimalike väärtuste vahemik ja loomulikult on neil eeldatav väärtus.

Eespool esitasime valemid (5.6.1) ja (5.6.2), mis väljendavad vastavalt katkendliku ja pideva juhusliku muutuja matemaatilist ootust.

Kui väärtus kuulub segatüüpi väärtuste hulka, väljendatakse selle matemaatilist ootust järgmise vormi valemiga:

, (5.6.3)

kus summa laieneb kõikidele punktidele, kus jaotusfunktsioon katkeb, ja integraal laieneb kõikidele lõikudele, millel jaotusfunktsioon on pidev.

Lisaks kõige olulisematele positsioonikarakteristikutele – matemaatilisele ootusele – kasutatakse praktikas mõnikord ka muid positsioonitunnuseid, eelkõige juhusliku suuruse moodust ja mediaani.

Juhusliku muutuja moodus on selle kõige tõenäolisem väärtus. Mõiste "kõige tõenäolisem väärtus" kehtib rangelt võttes ainult katkendlike koguste kohta; pideva suuruse korral on moodus väärtus, mille korral tõenäosustihedus on maksimaalne. Nõustume režiimi tähistama tähega . Joonisel fig. 5.6.1 ja 5.6.2 näitavad vastavalt katkendlike ja pidevate juhuslike muutujate režiimi.

Kui jaotuspolügoonil (jaotuskõveral) on rohkem kui üks maksimum, nimetatakse jaotust polümodaalseks (joonised 5.6.3 ja 5.6.4).

Mõnikord on jaotusi, mille keskel on mitte maksimum, vaid miinimum (joonis 5.6.5 ja 5.6.6). Selliseid jaotusi nimetatakse "antimodaalseteks". Antimodaalse jaotuse näide on näites 5, nr 5.1 saadud jaotus.

Üldjuhul juhusliku suuruse mood ja matemaatiline ootus ei lange kokku. Konkreetsel juhul, kui jaotus on sümmeetriline ja modaalne (st omab moodust) ja on olemas matemaatiline ootus, langeb see kokku jaotuse mooduse ja sümmeetriakeskmega.

Sageli kasutatakse teist positsiooni tunnust - juhusliku suuruse nn mediaani. Seda tunnust kasutatakse tavaliselt ainult pidevate juhuslike muutujate jaoks, kuigi seda saab formaalselt määratleda ka katkendliku muutuja jaoks.

Juhusliku muutuja mediaan on selle väärtus, mille korral

need. sama tõenäoline on, et juhuslik suurus on väiksem või suurem kui . Geomeetriliselt on mediaan selle punkti abstsiss, kus jaotuskõveraga piiratud ala jagatakse pooleks (joonis 5.6.7).