Järjekorrasüsteemid. Kursusetöö: Järjekorrasüsteemide modelleerimine

QS tulemusnäitajad

• süsteemi absoluutne ja suhteline võimsus;
• koormuse ja tühikäigu tegurid;
• keskmine süsteemi täieliku alglaadimise aeg;
• keskmine aeg, mis päringule süsteemis kulub.

Süsteemi iseloomustavad näitajad tarbijate vaatenurgast:

• P obs - rakenduse teenindamise tõenäosus,
• t syst on päringu süsteemis viibimise aeg.

Süsteemi tööomaduste poolest iseloomustavad näitajad:

• λ b on süsteemi absoluutne läbilaskevõime (keskmine esitatud päringute arv ajaühiku kohta),
• P obs on süsteemi suhteline läbilaskevõime,
• k z - süsteemi koormustegur.

vaata ka HMOde kuluefektiivsuse parameetrid

Ülesanne . Kolme arvutiga kollektiivseks kasutamiseks mõeldud arvutuskeskus võtab ettevõtetelt vastu tellimusi arvutustööde tegemiseks. Kui kõik kolm arvutit töötavad, siis äsja saabunud tellimust vastu ei võeta ja ettevõte on sunnitud pöörduma teise arvutikeskuse poole. Keskmine tööaeg ühe tellimusega on 3 tundi Taotluste voo intensiivsus on 0,25 (1/h). Leia arvutikeskuse olekute ja jõudlusnäitajate piiravad tõenäosused.
Lahendus. Tingimuse järgi n=3, λ=0,25(1/h), t pööre. =3 (h). Teenuste voo intensiivsus μ=1/t vol. = 1/3 = 0,33. Arvuti koormuse intensiivsus valemi (24) järgi ρ=0,25/0,33=0,75. Leiame olekute piiravad tõenäosused:
vastavalt valemile (25) p 0 \u003d (1 + 0,75 + 0,75 2 / 2! + 0,75 3 / 3!) -1 \u003d 0,476;
vastavalt valemile (26) p 1 = 0,75∙0,476 = 0,357; p 2 \u003d (0,75 2/2!) ∙ 0,476 \u003d 0,134; p 3 \u003d (0,75 3/3!) ∙ 0,476 \u003d 0,033 s.o. arvutikeskuse statsionaarses režiimis pole keskmiselt 47,6% juhtudest ühtegi rakendust, 35,7% - on üks rakendus (üks arvuti on hõivatud), 13,4% - kaks rakendust (kaks arvutit), 3,3% ajast - kolm rakendust (kolm arvutit on hõivatud).
Rikke tõenäosus (kui kõik kolm arvutit on hõivatud), seega P otk. \u003d p 3 \u003d 0,033.
Valemi (28) järgi on keskuse suhteline läbilaskevõime Q = 1-0,033 = 0,967, s.o. keskmiselt teenindab arvutikeskus igast 100 päringust 96,7 päringut.
Valemi (29) järgi on keskuse absoluutne läbilaskevõime A= 0,25∙0,967 = 0,242, s.o. Tunnis teenindatakse keskmiselt 0,242 avaldust.
Vastavalt valemile (30) on keskmine töötavate arvutite arv k = 0,242/0,33 = 0,725, s.o. kõik kolm arvutit on teenindusrakendustega hõivatud keskmiselt vaid 72,5/3 = 24,2%.
Arvutikeskuse efektiivsuse hindamisel tuleb võrrelda päringute täitmisest saadavat tulu kallite arvutite seisakutest tekkivate kahjudega (ühest küljest on meil QS kõrge läbilaskevõime ja teisalt , teeninduskanalite märkimisväärne seisak) ja vali kompromisslahendus.

Ülesanne . Sadamas on üks kai laevade lossimiseks. Laevade voolu intensiivsus on 0,4 (laevu päevas). Keskmine ühe laeva mahalaadimise aeg on 2 päeva. Eeldatakse, et järjekord võib olla piiramatu pikkusega. Leia kai jõudlusnäitajad, samuti tõenäosus, et lossimist ootab mitte rohkem kui 2 laeva.
Lahendus. Meil on ρ = λ/μ = μt vol. =0,4∙2=0,8. Kuna ρ = 0,8 < 1, siis ei saa mahalaadimise järjekord lõputult suureneda ja on piiravad tõenäosused. Otsime nad üles.
Tõenäosus, et kai on vaba, vastavalt (33) p 0 = 1 - 0,8 = 0,2, ja tõenäosus, et see on hõivatud, P zan. = 1-0,2 = 0,8. Valemi (34) kohaselt on tõenäosus, et kai ääres on 1, 2, 3 laeva (st 0, 1, 2 laeva ootavad lossimist), võrdub p 1 = 0,8 (1-0,8) = 0, 16 ; p 2 = 0,8 2 ∙ (1-0,8) \u003d 0,128; p 3 = 0,8 3 ∙ (1-0,8) \u003d 0,1024.
Tõenäosus, et lossimist ootab mitte rohkem kui 2 laeva, on

Valemi (40) järgi keskmine lossimist ootavate laevade arv

ja keskmine mahalaadimise ooteaeg vastavalt valemile (15.42)
(päev).
Valemi (36) järgi on keskmine laevade arv kai ääres L syst. = 0,8/(1-0,8) = 4 (päeva) (või lihtsam vastavalt (37) L süsteemile = 3,2+0,8 = 4 (päeva) ja keskmine laeva kai ääres viibimise aeg vastavalt valemile ( 41) T süsteem = 4/0,8 = 5 (päeva).
Ilmselgelt on laevade lossimise efektiivsus madal. Selle suurendamiseks on vaja vähendada keskmist laeva lossimise aega t umbes või suurendada kaide arvu n.

Ülesanne . Supermarketis saabub asustussõlme klientide voog intensiivsusega λ = 81 inimest. kell üks. Ühe ostja kontrolör-kassapidaja keskmine teenuse kestus t umbes \u003d 2 min. Määratlege:
A. Minimaalne kontrollerite-kassapidajate arv p min , mille juures järjekord ei kasva lõpmatuseni, ja vastavad teenuseomadused n=n min .
b. Optimaalne arv n opt. kontrollerid-kassapidajad, mille juures on suhteline väärtus C rel., mis on seotud teeninduskanalite ülalpidamise ja ostjate järjekorras püsimise kuludega, arvestades näiteks kui , on minimaalne ja võrrelda teenuse omadusi n=n min ja n=n opt.
V. Tõenäosus, et järjekorras ei ole rohkem kui kolm ostjat.
Lahendus.
A. Tingimuste järgi l = 81 (1/h) = 81/60 = 1,35 (1/min). Vastavalt valemile (24) r = l / m = lt pööre = 1,35 × 2 = 2,7. Järjekord ei kasva lõputult tingimusel r/n< 1, т.е. при n >r = 2,7. Seega minimaalne kogus kontrollerid-kassapidajad n min = 3.
Leiame QS-i teenuse omadused P= 3.
Tõenäosus, et arveldussõlmes pole ostjaid, valemi (45) p 0 = (1+2,7+2,7 2 /2!+2,7 3 /3!+2,7 4 /3!(3 -2,7)) - 1 = 0,025, s.o. keskmiselt 2,5% ajakontrollerid-kassapidajad jäävad jõude.
Tõenäosus, et arvutussõlmes tekib järjekord, vastavalt (48) P och. = (2,7 4 /3!(3-2,7))0,025 = 0,735
Keskmine ostjate arv järjekorras, (50) L pts. \u003d (2,7 4 / 3 3! (1-2,7 / 3) 2) 0,025 \u003d 7,35.
Keskmine ooteaeg järjekorras vastavalt (42) T pts. = 7,35/1,35 = 5,44 (min).
Keskmine ostjate arv arvutussõlmes vastavalt (51) L syst. = 7,35+2,7 = 10,05.
Ostjate keskmine arvutussõlmes kulutatud aeg vastavalt (41) T syst. = 10,05/1,35 = 7,44 (min).
Tabel 1

Teenuse omadus	Kontrollerite-kassapidajate arv
	3	4	5	6	7
Töötute kassapidajate tõenäosus p 0	0,025	0,057	0,065	0,067	0,067
Keskmine ostjate arv järjekorras T och.	5,44	0,60	0,15	0,03	0,01
Kulude suhteline väärtus С rel.	18,54	4,77	4,14	4,53	5,22

Klienditeenindusega tegelevate kontrolöride-kassapidajate keskmine arv, vastavalt (49) k = 2,7.
Teeninduses töötavate kassakontrollerite suhtarv (osakaal).
= ρ/n = 2,7/3 = 0,9.
Arvutussõlme absoluutne läbilaskevõime A = 1,35 (1/min) või 81 (1/h), s.o. 81 ostjat tunnis.
Teenuse omaduste analüüs näitab arveldussõlme märkimisväärset ülekoormust kolme kontrolleri-kassapidaja juuresolekul.
b. Suhteline kulu n = 3 jaoks
C rel. = = 3/1,35+3∙5,44 = 18,54.
Arvutage muude väärtuste kulude suhteline summa P(Tabel 1).
Nagu tabelist näha. 2, minimaalsed kulud saadud n = n opt. = 5 kontrollerit-kassapidajat.
Määrame arvutussõlme teeninduskarakteristikud n = n opt jaoks. =5. Me saame P och. = 0,091; L = 0,198; T och. = 0,146 (min); L süsteem = 2,90; T snst. = 2,15 (min); k = 2,7; k 3 \u003d 0,54.
Nagu näete, on n = 5, võrreldes n = 3-ga, järjekorra tõenäosus P och. , järjekorra pikkus L pts. ja keskmine järjekorras viibitud aeg T och. ja vastavalt keskmine ostjate arv L süsteem. ja keskmine arvutussõlmes T sist. kulutatud aeg, samuti teenindavate kontrollerite osakaal k 3. Kuid teenindamisel k keskmine kontrollerite-kassapidajate arv ja arvutussõlme A absoluutne läbilaskevõime loomulikult seda ei teinud. muuta.
V. Tõenäosus, et järjekorras ei ole rohkem kui 3 klienti, on määratletud kui
= 1-P och. + p 5+1 + p 5+2 + p 5+3 , kus iga liige leitakse valemitega (45) – (48). Saame n = 5 jaoks:

(Pange tähele, et n=3 kontrolleri-kassapidaja puhul on sama tõenäosus oluliselt väiksem: P(r ≤ 3) =0,464).

Erinevate rakenduste matemaatilised meetodid vormistamiseni. Rõhk keerulisel süsteemil – ettearvamatu. Kandja ebakindlus on mees.

Stohhastiliste (juhuslike, tõenäosuslike) probleemide tüüpiline näide on süsteemide mudelid järjekorras seismine.

SMOd on üldlevinud. Need on telefonivõrgud, bensiinijaamad, tarbijateenused, piletikassad, kaubandusüritused jne.

Järjekorraprotsessi modelleerimise positsioonilt tekivad olukorrad, mil moodustatakse teenusetaotluste (nõuete) järjekorrad järgmiselt. Pärast teenindussüsteemi sisenemist liitub nõue teiste (varem laekunud) nõuete järjekorda. Teeninduskanal valib nõude järjekorras olevate hulgast, et seda teenindada. Pärast järgmise päringu teenindamise protseduuri lõpetamist alustab teeninduskanal järgmise päringu teenindamist, kui see on ooteplokis. Seda tüüpi QS-i töötsükkel kordub mitu korda kogu teenindussüsteemi tööperioodi jooksul. Eeldatakse, et süsteemi üleminek järgmise nõude teenindamiseks pärast eelmise nõude teenindamise lõpetamist toimub hetkega, juhuslikel aegadel.

SMO-de näited on järgmised:

autohoolduspostid;

autoremondi postid;

audiitorfirmad jne.

Järjekorrateooria, eelkõige järjekordade teooria rajajaks on kuulus Taani teadlane A.K. Erlang (1878-1929), kes uuris telefonikeskjaamade teenindamise protsesse.

Süsteeme, milles teenindusprotsessid toimuvad, nimetatakse järjekorrasüsteemideks (QS).

Järjekorrasüsteemi kirjeldamiseks peate määrama:

- rakenduste sisendvoog;

- teenistusdistsipliin;

- teenindusaeg

- teeninduskanalite arv.

sisendvoog nõudeid (rakendusi) kirjeldatakse identifitseerides mõlemad tõenäosuslikud jaotusseadus nõuete süsteemi laekumise hetked ja nõuete arv igas sissekandes.

Kui küsiti teenindusdistsipliinid(DO) on vaja kirjeldada süsteemis järjekorranõuete ja nende teenindamise reegleid. Järjekorra pikkus võib olla nii piiratud kui ka piiramatu. Järjekorra pikkuse piirangute korral lükatakse QS-i sisendil laekunud avaldus tagasi. Kõige sagedamini kasutatavad DO-d on määratletud järgmiste reeglitega:

kes ees – see mees;

tuli viimaseks – teenis esimesena; (tennisepallide kast, virna tehnikas)

rakenduste juhuslik valik;

taotluste valik prioriteetsuse kriteeriumi alusel.

Teenindusaeg QS-i rakendused on juhuslik muutuja. Levinuim jaotusseadus on eksponentsiaalseadus.  - teeninduskiirus. =teenusetaotluste/ühikute arv. aega.

Teeninduskanalid, saab paigutada paralleelselt või järjestikku. Kanalite järjestikuse paigutusega teenindatakse iga rakendust kõigil kanalitel järjestikku. Kanalite paralleelse paigutuse korral osutatakse teenust kõikidele kanalitele üheaegselt, kui need vabanevad.

QS üldistatud struktuur on näidatud joonisel fig.

Teema järjekorra teooria eesmärk on luua seos QS-i funktsionaalsust määravate tegurite ja selle toimimise tõhususe vahel.

QS-i disainiprobleemid.

QS-i struktuuri omaduste määramise ülesannete hulka kuulub teeninduskanalite arvu valiku probleem (põhielemendid (F i)), kanalite ühendamise meetodi määramise probleem (ühenduselementide komplekt (Hj)), samuti kanalite läbilaskevõime määramise probleem.

1). Struktuuri valik. Kui kanalid töötavad paralleelselt, siis taandub Str-i valiku probleem teenuseosas olevate kanalite arvu määramisele, lähtudes QS töövõime tagamise tingimusest. (Kui just järjekord lõputult ei kasva).

Pange tähele, et süsteemi kanalite arvu määramisel tuleb nende paralleelse paigutuse korral jälgida süsteemi tervislik seisund. Tähistage:  – keskmine saabunud taotluste arv ajaühikus, s.o. sisendvoolu intensiivsus;  - keskmine rahuldatud taotluste arv ajaühikus, s.o. teenuse intensiivsus; S - teeninduskanalite arv. Seejärel kirjutatakse QS-i töövõime tingimus

või
. Selle tingimuse täitmine võimaldab meil arvutada kanalite arvu alampiiri.

Kui
, ei saa süsteem järjekorraga hakkama. Järjekord kasvab lõputult.

2). On vaja kindlaks määrata toimimise tõhususe kriteerium QS, võttes arvesse ajakadude kulusid nii rakenduste kui ka teeninduse poole pealt.

QS-i toimimise tõhususe näitajatena käsitletakse järgmist kolme peamist näitajate rühma:

1. QS-i kasutamise efektiivsuse näitajad.

QS-i absoluutne läbilaskevõime on rakenduste keskmine arv, mida QS saab ajaühikus teenindada.

QS-i suhteline läbilaskevõime on QS-i poolt ajaühikus teenindatud rakenduste keskmise arvu ja selle aja jooksul saadud päringute keskmise arvu suhe.

SMO tööperioodi keskmine kestus.

QS-i kasutusmäär on keskmine ajaosa, mille jooksul QS on hõivatud rakenduste teenindamisega.

2. Teenuse rakenduste kvaliteedi näitajad.

Keskmine ooteaeg taotlusele järjekorras.

Taotluse keskmine ühises turukorralduses viibimise aeg.

Tõenäosus, et taotluse teenusest keeldutakse ootamata.

Tõenäosus, et sissetulev päring võetakse kohe teenindamiseks vastu.

Järjekorras avalduse ooteaja jaotumise seadus.

QS-is rakendusele kulutatud aja jaotusseadus.

Keskmine taotluste arv järjekorras.

Keskmine taotluste arv ühises turukorralduses.

3. Paari "QS - tarbija" toimimise efektiivsuse näitajad.

QS-i toimimise efektiivsuse kriteeriumi valimisel tuleb arvestada kahekordse lähenemisega järjekorrasüsteemide arvestamisel. Näiteks supermarketi tööd, nagu ka turukorraldust, saab vaadata vastaskülgedelt. Ühest küljest on traditsiooniliselt aktsepteeritud ostja, kes seisab kassas järjekorras, teenindussoov ja kassapidaja on teeninduskanal. Seevastu kassapidajat, kes ootab kliente, võib käsitleda teenindussoovina ja klient on teenusseadet, mis on suuteline palvet rahuldama, s.t. minge kassasse ja lõpetage kassapidaja sunnitud seisak. (traditsiooniliselt - ostjad > kui kassapidajad, kui kassapidajad > kui ostjad, siis nad ootavad ostjaid).

KOOS
Seda silmas pidades on otstarbekas minimeerida mõlemad QS-i osad samaaegselt.

Sellise duaalse lähenemise kasutamine eeldab vajadust võtta tõhususe kriteeriumi kujundamisel arvesse mitte ainult ülaltoodud näitajaid eraldi, vaid ka mitut näitajat korraga, mis kajastavad nii teenindava kui ka teenindatava QS-i alamsüsteemi huve. Näiteks näidatakse, et kõige oluline kriteerium Järjekorraülesannete efektiivsus on ühelt poolt kliendi järjekorras viibimise koguaeg ja teiselt poolt teeninduskanalite seisakud.

Järjekorrasüsteemide klassifikatsioon

1. Teenuse olemuse järgi eristatakse järgmisi QS-tüüpe:

1.1. Ootesüsteemid või järjekorrasüsteemid. Süsteemi sisenenud nõuded, mida koheselt teenindamiseks ei võeta, kogunevad järjekorda. Kui kanalid on vabad, esitatakse päring. Kui päringu saamise hetkel on kõik kanalid hõivatud, siis järgmine päring teenindatakse pärast eelmise teenindamise lõpetamist. Sellist süsteemi nimetatakse täielikult juurdepääsetavaks (piiramatu järjekorraga).

On autonoomse teenusega süsteeme, kui teenus teatud ajahetkedel käivitub;

Piiratud järjekorraga süsteemid. (garaaži remont)

Rikkega süsteemid. Kõik päringu teenindamise ajal saabunud taotlused lükatakse tagasi. (GTS)

Grupi sisendvoo ja rühmateenusega süsteemid. Sellistes süsteemides saabuvad rakendused rühmade kaupa ajahetkedel ja teenindamine toimub ka rühmade kaupa.

2. Vastavalt teeninduskanalite arvule jagunevad QS-id järgmistesse rühmadesse.

Ühe kanaliga QS.

Mitmekanaliline QS. Järgmise päringu teenindamine võib alata enne eelmise päringu teenindamise lõppu. Iga kanal toimib iseseisva serverina.

3. Vastavalt hooldatavate objektide valikule eristatakse kahte tüüpi.

Suletud QS. Suletud ahelaga järjekorrasüsteem on järjekorrasüsteem, milles teenindatud kliendid saavad süsteemi tagasi pöörduda ja neid uuesti teenindada. Suletud SMO näiteks on remonditöökojad, hoiukassad.

Avage ühised turukorraldused.

4. Teenindusastmete arvu järgi eristatakse ühefaasilisi ja mitmefaasilisi QS-e.

üksik faas SMO on homogeensed süsteemid mis teevad sama hooldustoimingut.

Mitmefaasiline QS on süsteemid, milles teeninduskanalid on järjestatud ja sooritavad erinevaid teenindusoperatsioone. Jaamad on mitmefaasilise QS-i näide Hooldus autod.

Ülaltoodud QS klassifikatsioon on tingimuslik. Praktikas tegutsevad ühised turukorraldused enamasti kui segasüsteemid. Näiteks ootavad päringud teenuse algust teatud hetkeni, misjärel hakkab süsteem töötama tõrgetega süsteemina.

Inimtegevuse praktikas hõivavad suure koha järjekorraprotsessid, mis toimuvad süsteemides, mis on kavandatud korduvkasutatavad sarnaste probleemide lahendamisel. Selliseid süsteeme nimetatakse järjekorrasüsteemideks (QS). Selliste süsteemide näideteks on telefonisüsteemid, arvutisüsteemid, autotööstus, lennundus, hooldussüsteemid, kauplused, piletikassad jms.

Iga süsteem koosneb teatud arvust teenindusüksustest (instrumendid, seadmed, seadmed "punktid, jaamad), mida nimetatakse teeninduskanaliteks. Kanalite arvu järgi jaguneb QS ühe- ja mitmekanaliliseks. Diagramm ühe kanaliga järjekorrasüsteemi on näidatud joonisel 6.2.

Tavaliselt ei sisene rakendused süsteemi regulaarselt, vaid juhuslikult, moodustades juhusliku rakenduste voo (nõuded). Iga nõude teenindamine võib võtta kas teatud aja või sagedamini määramata aja. Juhuslik olemus toob kaasa asjaolu, et QS laaditakse ebaühtlaselt: mõnel ajaperioodil koguneb see väga suur hulk rakendused (nad kas satuvad järjekorda või jätavad QS-i teenindamata), samal ajal kui muudel perioodidel töötab QS alakoormusega või on jõude.

Riis. 6.2.

Järjekorrasüsteemide uuringu eesmärk on analüüsida nende toimimise kvaliteeti ja välja selgitada võimalused selle parandamiseks. Samal ajal on mõistel "toimimise kvaliteet" igal üksikjuhul oma konkreetne tähendus ja seda väljendatakse erinevate kvantitatiivsete näitajatega. Näiteks sellised kvantitatiivsed näitajad nagu teenindusjärjekorra suurus, keskmine teenindusaeg, teeninduse ootamine või teenindussüsteemis nõude leidmine, teenindusseadmete tühikäiguaeg; kindlustunne, et kõik süsteemi saabunud päringud teenindatakse.

Seega ei mõisteta järjekorrasüsteemi toimimise kvaliteedi all mitte konkreetse töö teostamise kvaliteeti, mille tegemiseks taotlus laekus, vaid teenusevajaduse rahuldamise astet.

Järjekorrateooria teemaks on ehitamine matemaatilised mudelid, sidudes QS-i etteantud töötingimused (kanalite arv, nende jõudlus, rakenduste voo iseloom jne) QS-i jõudlusnäitajatega, mis kirjeldavad selle võimet rakenduste vooga toime tulla.

Järjekorrasüsteemide klassifikatsioon

Esimene omadus, mis võimaldab järjekorra ülesandeid klassifitseerida, on teenindava süsteemi poolt vastuvõetud nõudmiste käitumine hetkel, kui kõik masinad on hõivatud.

Mõnel juhul ei jõua nõue, mis siseneb süsteemi ajal, mil kõik masinad on hõivatud, nende vabastamist ära oodata ja jätab süsteemi teenindamata, s.t. nõue on antud teenindussüsteemi jaoks kadunud. Selliseid teenindussüsteeme nimetatakse kadudega süsteemideks ja nende põhjal sõnastatud probleeme nimetatakse kadudega süsteemide teenindusprobleemideks.

Kui aga süsteemi sisenenud nõudlus satub järjekorda ja ootab seadme vabastamist, siis selliseid süsteeme nimetatakse ootamisega süsteemideks ja vastavaid ülesandeid ootamisega süsteemides teenindusülesanneteks. Ootusega QS on jagatud järgmisteks osadeks erinevad tüübid sõltuvalt sellest, kuidas järjekord on korraldatud: piiratud või piiramatu järjekorra pikkusega, koos piiratud aeg ootused jne.

QS-id erinevad ka nõuete arvu poolest, mis võivad samaaegselt olla teenindussüsteemis. Eraldage:

• 1) piiratud nõuetevooga süsteemid;
• 2) piiramatu nõuetevooga süsteemid.

Olenevalt vormidest sisemine korraldus teenused süsteemis on:

• 1) tellitud teenusega süsteemid;
• 2) häiritud teenindusega süsteemid.

Oluline samm QS-i uurimisel on uuritavat protsessi iseloomustavate kriteeriumide valik. Valik sõltub uuritavate probleemide tüübist, lahenduse eesmärgist.

Enamasti on praktikas süsteeme, milles nõuete voog on kõige lihtsama lähedal ja teenindusaeg järgib eksponentsiaalse jaotuse seadust. Need süsteemid on kõige täiuslikumalt välja töötatud järjekorrateoorias.

Ettevõtte tingimustes on tüüpilised ootamisega, piiratud arvu teenindusseadmetega, piiratud nõuetevooga ja korrastamata teenindusega ülesanded.

Operatsiooniuuringutes kohtab sageli süsteeme, mis on mõeldud korduvkasutuseks sama tüüpi probleemide lahendamisel. Saadud protsesse nimetatakse teenindusprotsessid ja süsteemid järjekorrasüsteemid (QS). Sellised süsteemid on näiteks telefonisüsteemid, remonditöökojad, arvutisüsteemid, piletikassad, kauplused, juuksurid jms.

Iga QS koosneb teatud arvust teenindusüksustest (instrumendid, seadmed, punktid, jaamad), mida me nimetame teeninduskanalid. Kanaliteks võivad olla sideliinid, tööpunktid, arvutid, müüjad jne. Kanalite arvu järgi jagunevad QS ühe kanaliga Ja mitme kanaliga.

Tavaliselt saabuvad taotlused ühisele turukorraldusele mitte regulaarselt, vaid juhuslikult, moodustades nn juhuslik rakenduste voog (nõuded). Üldjuhul jätkub ka taotluste teenindamine mõnda aega. Rakenduste voo ja teenindusaja juhuslik iseloom toob kaasa asjaolu, et QS laaditakse ebaühtlaselt: mõnel ajaperioodil koguneb väga palju rakendusi (nad kas satuvad järjekorda või jätavad QS-i teenindamata), samal ajal kui mõnel ajaperioodil. perioodidel töötab QS alakoormusega või on tühikäigul.

Järjekorrateooria teema on matemaatiliste mudelite konstrueerimine, mis seovad QS-i antud töötingimusi (kanalite arv, nende jõudlus, rakenduste voo olemus jne) QS-i jõudlusnäitajatega, mis kirjeldavad selle võimet toime tulla rakenduste voog.

Nagu QS tulemusnäitajad kasutatud: keskmine kättetoimetatud rakenduste arv ajaühikus; keskmine taotluste arv järjekorras; keskmine teeninduse ooteaeg; teenuse osutamisest keeldumise tõenäosus ilma ootamata; tõenäosus, et taotluste arv järjekorras ületab teatud väärtuse jne.

QS jaguneb kahte põhitüüpi (klassi): Ühine turukorraldus tõrgetega Ja QS koos ootamisega (järjekord). Keeldumistega QS-is saab taotlus, mis saabub hetkel, kui kõik kanalid on hõivatud, keeldumise, lahkub QS-ist ega osale edasises teenindusprotsessis (näiteks taotlus telefonivestlus hetkel, kui kõik kanalid on hõivatud, saab keeldumise ja jätab QS-i teenindamata). Ootava QS-is ei lahku nõue, mis saabub ajal, mil kõik kanalid on hõivatud, vaid läheb teenuse saamiseks järjekorda.

Ootega QS-id jagunevad olenevalt järjekorra korraldusest erinevateks tüüpideks: piiratud või piiramatu järjekorra pikkusega, piiratud ooteajaga jne.

QS klassifitseerimiseks tähtsust Sellel on teenistusdistsipliin, mis määrab saabunud päringute hulgast valimise järjekorra ja nende tasuta kanalite vahel jagamise järjekorra. Selle alusel saab rakenduse teenindamise korraldada põhimõttel "kes ees - see mees", "viimane tuli - see mees" (seda järjekorda saab kasutada näiteks kaupade väljaviimisel laost hoolduseks, sest viimased neist on sageli paremini ligipääsetavad) või prioriteetteenus (kus kõige olulisemad päringud edastatakse esimesena). Prioriteet võib olla kas absoluutne, kui mõni olulisem rakendus "sunnib" tavapärase rakenduse teenusest välja (näiteks hädaolukord remondimeeskondade plaaniline töö katkeb kuni avarii likvideerimiseni) ja suhteline, kui olulisem taotlus saab järjekorras vaid "parima" koha.

Markovi stohhastilise protsessi kontseptsioon

SMO tööprotsess on juhuslik protsess.

Under juhuslik (tõenäosuslik või stohhastiline) protsess viitab süsteemi oleku ajas muutumise protsessile vastavalt tõenäosusseadustele.

Protsessi nimetatakse diskreetse oleku protsess, kui selle võimalikud olekud saab eelnevalt loetleda ja süsteemi üleminek olekust olekusse toimub hetkega (hüpe). Protsessi nimetatakse pidev ajaline protsess, kui süsteemi võimalike olekust olekusse üleminekute hetked ei ole eelnevalt fikseeritud, vaid on juhuslikud.

QS-i tööprotsess on diskreetsete olekute ja pideva ajaga juhuslik protsess. See tähendab, et QS-i olek muutub järsult mõne sündmuse ilmnemise juhuslikel hetkedel (näiteks uue päringu saabumine, teenuse lõppemine jne).

QS-i töö matemaatiline analüüs on oluliselt lihtsustatud, kui selle töö protsess on Markov. Juhuslikku protsessi nimetatakse Markovian või juhuslik protsess ilma tagajärgedeta, kui mingil ajahetkel sõltuvad protsessi tõenäosuslikud karakteristikud tulevikus ainult selle hetkeseisust ja ei sõltu sellest, millal ja kuidas süsteem sellesse olekusse jõudis.

Markovi protsessi näide: süsteem on taksos olev loendur. Süsteemi hetkeseisu iseloomustab auto poolt antud hetkeni läbitud kilomeetrite arv (kümnendikud kilomeetrid). Olgu hetkel loendur näitab . Tõenäosus, et hetkel näitab arvesti üht või teist kilomeetrite arvu (täpsemalt vastavat arvu rublasid), sõltub, kuid ei sõltu ajast, mil arvesti näidud muutusid kuni hetkeni .

Paljusid protsesse võib pidada ligilähedaselt Markovi protsessideks. Näiteks male mängimise protsess; süsteem – rühm malenupud. Süsteemi olekut iseloomustab hetkel lauale jäänud vastase nuppude arv. Tõenäosus, et hetkel on materiaalne eelis mõne vastase poolel, sõltub eelkõige süsteemi hetkeseisust, mitte aga sellest, millal ja millises järjestuses nupud kuni hetkeni laualt kadusid.

Mõnel juhul võib vaadeldavate protsesside eelloo lihtsalt tähelepanuta jätta ja kasutada nende uurimiseks Markovi mudeleid.

Diskreetsete olekutega juhuslike protsesside analüüsimisel on mugav kasutada geomeetrilist skeemi - nn. oleku graafik. Tavaliselt kujutatakse süsteemi olekuid ristkülikute (ringide) kujul ja võimalikke üleminekuid olekust olekusse kujutatakse olekuid ühendavate nooltega (orienteeritud kaared).

Näide 1 Koostage järgmise juhusliku protsessi olekute graafik: seade koosneb kahest sõlmest, millest igaüks võib juhuslikul ajahetkel ebaõnnestuda, misjärel asute koheselt sõlme parandama, jätkates seni teadmata juhusliku aja.

Lahendus. Süsteemi võimalikud olekud: - mõlemad sõlmed töötavad; - esimene sõlm on remondis, teine ​​on töökorras; - teine ​​sõlm on remondis, esimene töötab; Mõlemad üksused on remondis. Süsteemi graafik on näidatud joonisel fig. 1.

Nool, mis on suunatud näiteks kohast kuni , tähendab süsteemi üleminekut esimese sõlme rikke hetkel, üleminekut - üleminekut hetkel, mil selle sõlme remont on lõpetatud.

Graafikul ei ole nooli alates kuni ja edasi. Seda seletatakse asjaoluga, et eeldatakse, et sõlmede tõrked on üksteisest sõltumatud ja näiteks kahe sõlme samaaegse rikke (üleminek sõlmest ) või kahe sõlme samaaegse remondi lõpuleviimise (üleminek sõlmest ) tõenäosuse võib tähelepanuta jätta. .

QS-is voolava diskreetsete olekute ja pideva ajaga Markovi juhusliku protsessi matemaatiliseks kirjeldamiseks tutvume tõenäosusteooria ühe olulise mõistega - sündmuste voo mõistega.

Sündmuste vood

Under sündmuste voogu tähistab homogeensete sündmuste jada, mis järgneb üksteisele mingil juhuslikul ajal (näiteks kõnede voog telefonijaamas, arvutitõrgete voog, klientide voog jne).

Voolu on iseloomustatud intensiivsusega- sündmuste esinemissagedus või QS-i sisenevate sündmuste keskmine arv ajaühikus.

Sündmuste voogu nimetatakse regulaarne, kui sündmused järgnevad üksteise järel teatud võrdsete ajavahemike järel. Näiteks toodete liikumine koosteliinil (konstantsel kiirusel) on regulaarne.

Sündmuste voogu nimetatakse paigal, kui selle tõenäosuslikud omadused ei sõltu ajast. Eelkõige on statsionaarse voolu intensiivsus konstantne väärtus: . Näiteks autode voog linna puiesteel ei ole päeval paigal, kuid seda voolu võib pidada paigalseisvaks päevasel ajal, näiteks tipptundidel. Juhime tähelepanu asjaolule, et viimasel juhul võib tegelik mööduvate autode arv ajaühikus (näiteks minutis) üksteisest märgatavalt erineda, kuid nende keskmine arv jääb muutumatuks ega sõltu ajast.

Sündmuste voogu nimetatakse vool ilma järelmõjuta, kui mis tahes kahe mitteristuva ajaintervalli puhul ja - ühele neist langevate sündmuste arv ei sõltu teistele langevate sündmuste arvust. Näiteks metroosse sisenevate reisijate voolul pole peaaegu mingit järelmõju. Ja ütleme, et klientide vood, kes lahkuvad oma ostudega letist, avaldavad juba oma järelmõju (kasvõi juba sellepärast, et üksikute klientide vaheline ajavahemik ei saa olla väiksem kui igaühe minimaalne teenindusaeg).

Sündmuste voogu nimetatakse tavaline, kui kahe või enama sündmuse väikese (elementaarse) ajaintervalli tabamise tõenäosus on ühe sündmuse tabamise tõenäosusega võrreldes tühiselt väike. Teisisõnu, sündmuste voog on tavaline, kui sündmused ilmuvad selles ükshaaval, mitte rühmadena. Näiteks jaamale lähenevate rongide voog on tavaline, kuid vagunite voog pole tavaline.

Sündmuste voogu nimetatakse kõige lihtsamaks (või statsionaarne Poisson), kui see on samaaegselt paigal, tavaline ja sellel pole järelmõju. Nimetus "lihtsaim" on seletatav sellega, et kõige lihtsamate voogudega QS-il on kõige lihtsam matemaatiline kirjeldus. Pange tähele, et tavaline voog ei ole "kõige lihtsam", kuna sellel on järelmõju: sündmuste toimumise hetked sellises voos on jäigalt fikseeritud.

Lihtsaim voog kui piirav voog tekib juhuslike protsesside teoorias sama loomulikult kui tõenäosusteoorias normaaljaotus saadakse juhuslike suuruste summa piirina: kui pealepanemisest (superpositsioonist) piisab suur hulk sõltumatud, statsionaarsed ja tavalised vood (intensiivsuse poolest üksteisega võrreldavad, saadakse kõige lihtsamale lähedane voog, mille intensiivsus on võrdne sissetulevate voogude intensiivsuste summaga, s.t. vaatleme aja kõige lihtsamat sündmuste voogu telg (joon. 1) juhuslike punktide piiramatu jadana.

Võib näidata, et kõige lihtsama voo korral jaotatakse suvalisele ajaintervallile langevate sündmuste (punktide) arv m Poissoni seadus

mille jaoks oodatud väärtus juhuslik muutuja võrdne selle dispersiooniga: .

Eelkõige on tõenäosus, et selle aja jooksul ei toimu ühtegi sündmust, võrdne

Leiame ajaintervalli jaotuse kõige lihtsama voo suvalise kahe naabersündmuse vahel.

Vastavalt punktile (2) on tõenäosus, et ükski järgnevatest sündmustest ajavahemikus ei ilmu, on võrdne

ja vastupidise sündmuse tõenäosus, s.o. juhusliku suuruse jaotusfunktsioon , on

Juhusliku suuruse tõenäosustihedus on selle jaotusfunktsiooni tuletis (joonis 3), s.o.

Nimetatakse tõenäosustiheduse (5) või jaotusfunktsiooni (4) poolt antud jaotus paljastav(või eksponentsiaalne). Seega on kahe kõrvuti asetseva suvalise sündmuse vahelisel ajaintervallil eksponentsiaalne jaotus, mille matemaatiline ootus on võrdne keskmisega. standardhälve juhuslik muutuja

ja vastupidi vastavalt voolu intensiivsuse suurusele .

Kõige olulisem vara eksponentsiaalne jaotus (omane ainult eksponentsiaalsele jaotusele) on järgmine: kui eksponentsiaalseaduse järgi jaotatud ajavahemik on juba mõnda aega kestnud, siis see ei mõjuta ülejäänud intervalli jaotusseadust: see on sama mis kogu intervalli jaotusseadus.

Teisisõnu, eksponentjaotusega voo kahe järjestikuse naabersündmuse vahelise ajaintervalli puhul ei mõjuta mis tahes teave selle intervalli möödumise kohta ülejäänud osa jaotust. See eksponentsiaalseaduse omadus on sisuliselt veel üks sõnastus "järelmõju puudumisele" - kõige lihtsama voolu põhiomadusele.

Kõige lihtsama intensiivsusega voolu puhul tabamise tõenäosus

(Pange tähele, et see ligikaudne valem, mis saadakse funktsiooni asendamisel ainult kahe esimese liikmega selle laiendamisest jadaks astmetes , on seda täpsem, seda väiksem ).

Üsna sageli tuleb majandussüsteemide analüüsimisel lahendada nn järjekorraprobleeme, mis tekivad aastal. järgmine olukord. Lase analüüsida teatud arvust erineva võimsusega jaamadest koosnevat autohooldussüsteemi. Igas jaamas (süsteemielemendis) võib esineda vähemalt kaks tüüpilist olukorda:

1. taotluste arv on selle jaama jaoks liiga suur, järjekorrad ja teenuse hilinemise eest tuleb maksta;
2. jaam laekub liiga vähe päringuid ja nüüd on juba vaja arvestada jaama seisakutest põhjustatud kahjudega.

On selge, et eesmärk süsteemi analüüs sel juhul on määrata mingi suhe saamata jäänud tulu tõttu järjekorrad ja sellest tingitud kahjud ainult mina jaamad.

Järjekorra teooria– süsteemiteooria spetsiaalne sektsioon on tõenäosusteooria osa, kus järjekorrasüsteeme uuritakse matemaatiliste mudelite abil.

Järjekorrasüsteem (QS)- see on mudel, mis sisaldab: 1) nõuete, kõnede või teenindust vajavate klientide juhuslikku voogu; 2) selle teenuse rakendamise algoritm; 3) kanalid (seadmed) hoolduseks.

Ühised turukorraldused on näiteks kassad, bensiinijaamad, lennujaamad, müüjad, juuksurid, arstid, telefonijaamad ja muud teatud rakendusi teenindavad rajatised.

Järjekorra teooria probleem seisneb soovituste väljatöötamises QS-i ratsionaalseks ehitamiseks ja nende töö ratsionaalseks korraldamiseks, et tagada kõrge teenindusefektiivsus optimaalsete kuludega.

Selle klassi probleemide peamiseks tunnuseks on analüüsi tulemuste ja saadud soovituste selge sõltuvus kahest välised tegurid: tellimuste vastuvõtmise sagedus ja keerukus (ja seega ka nende täitmise aeg).

Järjekorra teooria teemaks on seose loomine rakenduste voo olemuse, eraldi teeninduskanali toimivuse, kanalite arvu ja teenuse efektiivsuse vahel.

Nagu QS omadused kaalus:

• nende taotluste keskmine protsent, mis lükatakse tagasi ja jätavad süsteemi teenindamata;
• üksikute kanalite ja süsteemi kui terviku keskmine seisakuaeg;
• keskmine ooteaeg järjekorras;
• tõenäosus, et saabunud taotlust koheselt teenindatakse;
• järjekorra pikkuse jaotuse seadus ja teised.

Lisame, et päringud (nõuded) sisestatakse QS-i juhuslikult (juhuslikul ajal), koos kondenseerumis- ja hõrenemispunktidega. Iga nõude teenindusaeg on samuti juhuslik, mille järel teeninduskanal vabaneb ja on valmis täitma järgmist nõuet. Igal QS-il, olenevalt kanalite arvust ja nende jõudlusest, on teatud võimsus. Ribalaius CMO Võib olla absoluutne(keskmine kättetoimetatud taotluste arv ajaühikus) ja sugulane(esitatud taotluste arvu keskmine suhe esitatud taotluste arvusse).

3.1 Järjekorrasüsteemide mudelid.

Iga QS-i saab iseloomustada avaldisega: (a / b / c) : (d / e / f) , Kus

a - rakenduste sisendvoo jaotus;

b - rakenduste väljundvoo jaotus;

c – teenindusmehhanismi konfiguratsioon;

d – järjekorra distsipliin;

e – ooteplokk;

f on allika võimsus.

Nüüd vaatame iga funktsiooni lähemalt.

Rakenduste sisendvoog- süsteemi saabunud taotluste arv. Iseloomustab sisendvoolu intensiivsus l.

Rakenduste väljundvoog– süsteemi poolt teenindatavate rakenduste arv. Iseloomustab väljundvoolu intensiivsus m.

süsteemi konfiguratsioon tähendab koguarv kanalid ja teeninduspunktid. SMO võib sisaldada:

1. üks kanal teenused (üks rada, üks müüja);
2. üks teenusekanal, sealhulgas mitu jadasõlme(söökla, kliinik, konveier);
3. mitu sarnast kanalit paralleelselt ühendatud teenused (tanklad, infolaud, raudteejaam).

Seega saab eristada ühe- ja mitme kanaliga QS-i.

Teisest küljest, kui kõik QS-i teeninduskanalid on hõivatud, võib pöördutud rakendus jääda järjekorda või süsteemist lahkuda (näiteks hoiukassa ja telefonikeskjaam). Sel juhul räägime süsteemidest, millel on järjekord (ootel) ja süsteemid, millel on tõrkeid.

Järjekord on kogum rakendusi, mis on süsteemi teeninduseks sisenenud ja ootavad teenindust. Järjekorda iseloomustab järjekorra pikkus ja distsipliin.

Järjekorra distsipliin on järjekorrast päringute teenindamise reegel. Peamised järjekordade tüübid on järgmised:

1. PERPPO (kes ees, see mees) on kõige levinum tüüp;
2. POSPPO (viimane tuli - see esimene);
3. SOP (rakenduste juhuslik valik) - andmepangast.
4. PR - prioriteetne teenus.

Järjekorra pikkus Võib olla

• piiramatu – siis räägitakse puhta ootusega süsteemist;
• võrdne nulliga - siis räägitakse riketega süsteemist;
• piiratud pikkusega (segatüüpi süsteem).

ooteplokk– süsteemi "võimsus" – süsteemis olevate rakenduste koguarv (järjekorras ja teenuses). Seega e=c+d.

Allika võimsus mis loob teenusepäringuid, on maksimaalne taotluste arv, mis saab QS-i sisestada. Näiteks lennujaamas on lähtevõimsus piiratud kõigi olemasolevate lennukite arvuga ja telefonikeskjaama allikavõimsus võrdub Maa elanike arvuga, s.t. seda võib pidada piiramatuks.

QS mudelite arv vastab nende komponentide võimalike kombinatsioonide arvule.

3.2 Nõuete sisendvoog.

Iga aja jooksul a, a+ T ], seostame juhusliku muutuja X, mis võrdub süsteemi poolt aja jooksul saadud päringute arvuga T.

Taotluste voogu nimetatakse paigal, kui jaotusseadus ei sõltu intervalli algpunktist A, kuid sõltub ainult antud intervalli pikkusest T. Näiteks rakenduste voog telefonikeskjaama päevasel ajal ( T\u003d 24 tundi) ei saa pidada seisvaks, kuid 13 kuni 14 tundi ( T\u003d 60 minutit) - saate.

Voolu nimetatakse ei mingit järelmõju, kui voo ajalugu ei mõjuta nõuete laekumist tulevikus, s.t. nõuded on üksteisest sõltumatud.

Voolu nimetatakse tavaline, kui süsteemi ei saa väga lühikese aja jooksul sisestada rohkem kui üks päring. Näiteks juuksurisse vool on tavaline, aga mitte perekonnaseisuametisse. Kui aga juhusliku muutujana X arvestage registriametisse sisenevate taotluste paaridega, siis on selline voog tavaline (st mõnikord saab erakorralise voo taandada tavaliseks).

Voolu nimetatakse kõige lihtsam, kui see on paigal, ilma järelmõjuta ja tavaline.

Peamine teoreem. Kui vool on kõige lihtsam, siis r.v. X [ a . + T] levitatakse Poissoni seaduse järgi, s.o. .

Järeldus 1. Lihtsaimat voolu nimetatakse ka Poissoni vooluks.

Tagajärg 2. M(X)= M(X [ a , a + T ] )= lT, st. ajal T lT rakendusi. Seetõttu võtab süsteem ühe ajaühiku kohta keskmiselt vastu l rakendusi. Seda väärtust nimetatakse intensiivsusega sisendvoog.

Kaaluge NÄIDE .

Stuudio saab keskmiselt 3 avaldust päevas. Eeldades, et voog on kõige lihtsam, leidke tõenäosus, et järgmise kahe päeva jooksul on päringute arv vähemalt 5.

Lahendus.

Vastavalt ülesandele, l=3, T=2 päeva, Poissoni sisendvoog, n ³5. lahendamisel on mugav sisse tuua vastupidine sündmus, mis seisneb selles, et aja jooksul T laekub alla 5 avalduse. Seetõttu saame Poissoni valemi järgi

^

3.3 Süsteemi olek. Üleminekute maatriks ja graafik.

Suvalisel ajahetkel läheb QS ühest olekust teise: muutub hõivatud kanalite arv, päringute ja järjekordade arv jne. Seega QS koos n kanaleid ja järjekorra pikkus on võrdne m, võib olla ühes järgmistest olekutest:

E 0 - kõik kanalid on tasuta;

E 1 – üks kanal on hõivatud;

E n– kõik kanalid on hõivatud;

E n +1 – kõik kanalid on hõivatud ja üks päring on järjekorras;

E n + m– kõik kanalid ja kõik kohad järjekorras on hõivatud.

Sarnane riketega süsteem võib olla olekutes E 0 – E n .

Puhta ootusega QS-i jaoks on lõpmatu hulk olekuid. Seega olek E n QS ajal t on kogus n rakendused (nõuded), mis on antud ajahetkel süsteemis, s.o. n= n(t) - juhuslik väärtus, E n (t) on selle juhusliku suuruse tulemused ja P n (t) on tõenäosus, et süsteem on olekus E n .

Oleme süsteemi olukorraga juba tuttavad. Pange tähele, et süsteemi kõik olekud ei ole samaväärsed. Süsteemi olekut nimetatakse allikas kui süsteem saab sellest olekust lahkuda, kuid ei saa sellesse naasta. Süsteemi olekut nimetatakse isoleeritud, kui süsteem ei saa sellest olekust väljuda ega siseneda.

Süsteemi olekute visualiseerimiseks kasutatakse diagramme (nn üleminekugraafikuid), kus nooled näitavad süsteemi võimalikke üleminekuid ühest olekust teise, aga ka selliste üleminekute tõenäosusi.

Joonis 3.1 - üleminekugraafik

Comp.	E 0	E 1	E 2
E 0	P 0,0	P 0,1	P 0,2
E 1	P 1.0	R 1.1	R 1.2
E 2	R 2,0	R 2.2	R 2.2

Vahel on mugav kasutada ka üleminekumaatriksit. Sel juhul tähendab esimene veerg süsteemi algseisundeid (voolu) ja seejärel antakse nendest olekutest teistesse ülemineku tõenäosused.

Kuna süsteem läheb tingimata ühest üle

olek teisele, siis on iga rea ​​tõenäosuste summa alati võrdne ühega.

3.4 Ühe kanaliga QS.

3.4.1 Ühe kanaliga QS tõrgetega.

Vaatleme süsteeme, mis vastavad nõuetele:

(P/E/1):(–/1/¥) . Oletame ka, et kliendi teenindusaeg ei sõltu süsteemi sisenevate klientide arvust. Siin ja allpool tähendab "P" seda, et sisendvoog on jaotatud vastavalt Poissoni seadusele, st. kõige lihtsam, "E" tähendab, et väljundvoog jaotub eksponentsiaalselt. Ka siin ja allpool on põhivalemid toodud ilma tõestuseta.

Sellise süsteemi jaoks on võimalik kaks olekut: E 0 - süsteem on tasuta ja E 1 – süsteem on hõivatud. Loome üleminekumaatriksi. Võtame Dt on lõpmatult vähe aega. Olgu sündmus A seisneb selles, et süsteemis aja jooksul Dt saanud ühe palve. Sündmus B seisneb selles, et aja jooksul Dtüks taotlus on kätte toimetatud. Sündmus A i , k- ajal Dt süsteem läheb osariigist välja E i olekusse E k. Sest l on sisendvoolu intensiivsus, siis aja jooksul Dt siseneb süsteemi keskmiselt l*Dt nõuded. See tähendab ühe nõude saamise tõenäosust P(A)=l* Dt, ja vastupidise sündmuse tõenäosus Р(А)=1-l*Dt.P(B)=F(Dt)= P(b< D t)=1- e - m D t = m Dt- taotluse õigeaegse teenindamise tõenäosus Dt. Siis A 00 - avaldust ei laeku või võetakse kätte, aga toimetatakse kätte. A 00 \u003d Ā + A * V. R 00 \u003d 1 - l*Dt. (arvestasime sellega (Dt) 2 on lõpmata väike väärtus)

A 01 – avaldus võetakse vastu, kuid kätte ei anta. A 01 = A * . R 01 = l*Dt.

Ja 10 - avaldus toimetatakse kätte ja uut ei tule. A 10 \u003d B * a. R 10 = m*Dt.

Ja 11 - avaldust ei edastata või tuleb uus, mida pole veel kätte antud. A 11 = +V * A. R 01 = 1- m*Dt.

Seega saame üleminekumaatriksi:

Comp.	E 0	E 1
E 0	1-l * Dt	l * Dt
E 1	m * Dt	1-m * Dt

Süsteemi seisaku ja rikke tõenäosus.

Leiame nüüd tõenäosuse, et süsteem on olekus E 0 igal ajahetkel t(need. R 0 ( t) ). Funktsioonigraafik
näidatud joonisel 3.2.

Graafi asümptoodiks on sirgjoon
.

Ilmselgelt mingist hetkest t,

1

Joonis 3.2

Lõpuks saame selle kätte
Ja
, Kus R 1 (t) on tõenäosus, et hetkel t süsteem on hõivatud (st on olekus E 1 ).

On ilmne, et QS-i töö alguses ei ole käimasolev protsess paigal: see on "üleminek", mittestatsionaarne režiim. Mõne aja pärast (mis oleneb sisend- ja väljundvoogude intensiivsusest) see protsess kustub ja süsteem lülitub paigalseisvale, stabiilsele tööolekule ning tõenäosuslikud karakteristikud ei sõltu enam ajast.

Statsionaarne töörežiim ja süsteemi koormustegur.

Kui tõenäosus, et süsteem on seisundis E k, st. R k (t), ei sõltu ajast t, siis nad ütlevad, et QS on loodud statsionaarne režiim tööd. Samal ajal väärtus
helistas süsteemi koormustegur(või rakenduste voo vähenenud tihedus). Siis tõenäosuste kohta R 0 (t) Ja R 1 (t) saame järgmised valemid:
,
. Samuti võite järeldada: mida suurem on süsteemi koormustegur, seda tõenäolisem on süsteemi tõrge (st tõenäosus, et süsteem on hõivatud).

Autopesulas on hoolduseks üks agregaat. Autod saabuvad Poissoni jaotusse kiirusega 5 autot tunnis. Ühe auto keskmine hooldusaeg on 10 minutit. Leidke tõenäosus, et lähenev auto leiab, et süsteem on hõivatud, kui QS on paigal.

Lahendus. Vastavalt ülesandele, l=5, m y =5/6. Peame leidma tõenäosuse R 1 on süsteemi rikke tõenäosus.
.

3.4.2 Ühe kanaliga QS piiramatu järjekorra pikkusega.

Vaatleme süsteeme, mis vastavad nõuetele: (Р/Е/1):(d/¥/¥). Süsteem võib olla ühes olekus E 0 , …, E k, … Analüüs näitab, et mõne aja pärast hakkab selline süsteem töötama statsionaarses režiimis, kui väljundvoolu intensiivsus ületab sisendvoolu intensiivsust (st süsteemi koormustegur on alla ühe). Seda tingimust arvesse võttes saame võrrandisüsteemi

mille lahendamisel leiame, et . Seega eeldusel, et y<1, получим
Lõpuks
Ja
on tõenäosus, et QS on olekus E k juhuslikul ajahetkel.

Süsteemi keskmised omadused.

Nõuete ebaühtlase laekumise tõttu süsteemis ja teenindusaja kõikumiste tõttu tekib süsteemis järjekord. Sellise süsteemi jaoks saate uurida:

• n – nõuete arv QS-is (järjekorras ja teeninduses);
• v – järjekorra pikkus;
• w – teenuse alguse ooteaeg;
• w 0 on kogu süsteemis veedetud aeg.

Tunneme huvi keskmised omadused(st võtame vaadeldavate juhuslike muutujate matemaatilise ootuse ja pidage seda meeles y<1).

on keskmine rakenduste arv süsteemis.

on järjekorra keskmine pikkus.

on teenuse alguse keskmine ooteaeg, s.o. ooteaeg järjekorras.

- keskmine aeg, mille rakendus veedab süsteemis - järjekorras ja teeninduses.

Autopesulas on üks blokk hoolduseks ja koht järjekorra jaoks. Autod saabuvad Poissoni jaotusse kiirusega 5 autot tunnis. Ühe auto keskmine hooldusaeg on 10 minutit. Leidke kõik keskmised QS-i omadused.

Lahendus. l=5, m=60min/10min = 6. Koormustegur y =5/6. Siis keskmine autode arv süsteemis
, järjekorra keskmine pikkus
, keskmine ooteaeg teenuse käivitamisel
tundi = 50 minutit ja lõpuks keskmine süsteemis veedetud aeg
tund.

3.4.3 Segatüüpi ühe kanaliga QS.

Oletame, et järjekorra pikkus on m nõuded. Siis mis tahes s£ m, QS leidmise tõenäosus olekus E 1+ s, arvutatakse valemiga
, st. üks taotlus esitatakse ja teine s taotlused on järjekorras.

Süsteemi seisaku tõenäosus on
,

ja süsteemi rikke tõenäosus on
.

Igaühe jaoks on antud kolm ühe kanaliga süsteemi l=5, m =6. Kuid esimene süsteem on tõrgetega, teine ​​on puhta ootamisega ja kolmas on piiratud järjekorra pikkusega, m=2. Leidke ja võrrelge nende kolme süsteemi seisakuid.

Lahendus. Kõigi süsteemide koormustegur y=5/6. Rikkega süsteemi jaoks
. Puhta ootusega süsteemi jaoks
. Piiratud järjekorra pikkusega süsteemi jaoks
. Järeldus on ilmne: mida rohkem rakendusi on järjekorras, seda väiksem on süsteemi seisaku tõenäosus.

3.5 Mitmekanaliline QS.

3.5.1 Mitmekanaliline QS tõrgetega.

Vaatleme süsteeme (Р/Е/s):(-/s/¥) eeldusel, et teenindusaeg ei sõltu sisendvoost ja kõik liinid töötavad iseseisvalt. Mitmekanalilisi süsteeme saab lisaks koormustegurile iseloomustada ka koefitsiendiga
, Kus s– teeninduskanalite arv. Uurides mitmekanalilist QS-i, saame järgmised valemid (Erlangi valemid) süsteemi olekus olemise tõenäosuse kohta E k juhuslikul ajal:

, k=0, 1, …

kulufunktsioon.

Nagu ka ühe kanaliga süsteemide puhul, suurendab koormusteguri suurenemine süsteemi rikke tõenäosust. Teisest küljest toob teenindusliinide arvu suurenemine kaasa süsteemi või üksikute kanalite seisakute tõenäosuse suurenemise. Seega on vaja selle QS jaoks leida optimaalne teeninduskanalite arv. Tasuta teenindusliinide keskmise arvu leiate valemiga
. Tutvustame C( s) – kulufunktsioon QS olenevalt Koos 1 – ühe keeldumise maksumus (trahv täitmata avalduse eest) ja alates Koos 2 - ühe liini seisaku kulu ajaühiku kohta.

Optimaalse variandi leidmiseks peate leidma (ja seda saab teha) kulufunktsiooni minimaalse väärtuse: WITH(s) = koos 1* l * lk s +c 2*, mille graafik on näidatud joonisel 3.3:

Joonis 3.3

Kulufunktsiooni minimaalse väärtuse otsimine seisneb selles, et leiame kõigepealt selle väärtused s =1, siis jaoks s =2, siis jaoks s =3 jne. kuni mingil sammul saavutatakse funktsiooni С( s) ei ole eelmisest suurem. See tähendab, et funktsioon on saavutanud miinimumi ja hakanud kasvama. Vastus on teeninduskanalite arv (väärtus s), mille kulufunktsioon on minimaalne.

NÄIDE .

Mitu teenindusrida peaks sisaldama riketega QS-i, kui l\u003d 2 reb / ​​tund, m\u003d 1 reb / ​​tund, trahv iga rikke eest on 7 tuhat rubla, ühe liini seisaku maksumus on 2 tuhat rubla. kell üks?

Lahendus. y = 2/1=2. Koos 1 =7, Koos 2 =2.

Oletame, et QS-il on kaks teeninduskanalit, st. s =2. Siis
. Seega C(2) = c 1 *l*lk 2 +c 2 *(2- y*(1-r 2 )) = =7*2*0.4+2*(2-2*0.6)=7.2.

Teeskleme seda s =3. Siis
, C(3) = c 1 *l*lk 3 +c 2 *
=5.79.

Oletame, et kanaleid on neli, st. s =4. Siis
,
, C(4) = c 1 *l*lk 4 +c 2 *
=5.71.

Oletame, et QS-il on viis teeninduskanalit, st. s =5. Siis
, C(5) = 6,7 - rohkem kui eelmine väärtus. Seetõttu on optimaalne teeninduskanalite arv neli.

3.5.2 Mitme kanaliga QS koos järjekorraga.

Vaatleme süsteeme (Р/Е/s):(d/d+s/¥) eeldusel, et teenindusaeg ei sõltu sisendvoost ja kõik liinid töötavad iseseisvalt. Ütleme, et süsteem on installitud statsionaarne töö, kui sissetulevate kahjunõuete keskmine arv on väiksem kui süsteemi kõikidel ridadel teenindatud nõuete keskmine arv, s.o. l

P(w>0) on tõenäosus oodata teenuse käivitamist,
.

Viimane tunnus võimaldab lahendada optimaalse teeninduskanalite arvu määramise probleemi selliselt, et teenuse alguse ootamise tõenäosus on etteantud arvust väiksem. Selleks piisab, kui arvutada järjestikku ootuse tõenäosus s =1, s =2, s=3 jne.

NÄIDE .

SMO - väikese mikrorajooni kiirabijaam. l=3 kõnet tunnis ja m= 4 kõnet tunnis ühe meeskonna kohta. Mitu meeskonda peab jaamas olema, et väljapääsu ootamise tõenäosus oleks väiksem kui 0,01?

Lahendus. Süsteemi koormustegur y =0,75. Oletame, et saadaval on kaks meeskonda. Leiame tõenäosuse, et ootame teenuse algust kell s =2.
,
.

Oletame, et on kolm brigaadi, st. s=3. Valemite järgi saame selle R 0 =8/17, P(w>0)=0.04>0.01 .

Oletame, et jaamas on neli ekipaaži, s.o. s=4. Siis me saame selle R 0 =416/881, P(w>0)=0.0077<0.01 . Seetõttu peaks jaamas olema neli brigaadi.

3.6 Küsimused enesekontrolliks

1. Järjekorra teooria aine ja ülesanded.
2. QS, nende mudelid ja tähistused.
3. Nõuded sisendvoog. Sisendvoo intensiivsus.
4. Süsteemi olek. Üleminekute maatriks ja graafik.
5. Ühe kanaliga QS tõrgetega.
6. Ühe kanaliga QS järjekorraga. Omadused.
7. Statsionaarne töörežiim. Süsteemi koormustegur.
8. Mitmekanaliline QS tõrgetega.
9. Kulufunktsiooni optimeerimine.
10. Mitme kanaliga QS koos järjekorraga. Omadused.

3.7 Iseseisva töö harjutused

1. Tankla suupistelaual on üks lett. Autod saabuvad Poissoni jaotuse järgi, keskmiselt 2 autot 5 minuti kohta. Keskmiselt piisab tellimuse täitmiseks 1,5 minutist, kuigi teenuse kestus on jaotatud eksponentsiaalse seaduse järgi. Leidke: a) seisaku jõudeoleku tõenäosus; b) keskmine jõudlus; c) tõenäosus, et saabuvate autode arv on vähemalt 10.
2. Röntgeniaparaat võimaldab uurida keskmiselt 7 inimest tunnis. Külastajate intensiivsus on 5 inimest tunnis. Eeldades paigal töötamist, määrake keskmised omadused.
3. QS-i teenindusaeg järgib eksponentsiaalset seadust,
   m = 7 nõuet tunnis. Leidke tõenäosus, et a) teenindusaeg on vahemikus 3 kuni 30 minutit; b) nõue toimetatakse kätte ühe tunni jooksul. Kasutage funktsiooni väärtuste tabelit e X .
4. Jõesadamas on üks kai, sisendvoolu intensiivsus on 5 alust ööpäevas. Laadimis- ja lossimisoperatsioonide intensiivsus on 6 laeva päevas. Pidades silmas statsionaarset töörežiimi, määrake kindlaks kõik süsteemi keskmised omadused.
5. l=3, m=2, trahv iga rikke eest on 5 ja seisakukulu liini kohta on 2?
6. Kui suur on optimaalne teeninduskanalite arv, mis QS-il peaks olema l=3, m =1, trahv iga rikke eest on 7 ja seisakukulu liini kohta on 3?
7. Kui suur on optimaalne teeninduskanalite arv, mis QS-il peaks olema l=4, m=2, trahv iga rikke eest on 5 ja seisaku kulu liini kohta on 1?
8. Määrake õhusõidukite lennuradade arv tingimusel, et ootamise tõenäosus peab olema väiksem kui 0,05. Samal ajal on sisendvoo intensiivsus 27 lennukit päevas ja nende teenindamise intensiivsus 30 lennukit päevas.
9. Mitu samaväärset iseseisvat konveieriliini peaks töökojas olema, et tagada töörütm, mille juures toodete töötlemise ootamise tõenäosus peab olema väiksem kui 0,03 (iga toodet toodab üks liin). Teadaolevalt on tellimuste vastuvõtmise intensiivsus 30 toodet tunnis ja toote töötlemise intensiivsus ühel real on 36 toodet tunnis.
10. Pidev juhuslik suurus X jaotatakse vastavalt eksponentsiaalseadusele parameetriga l=5. Leidke jaotusfunktsioon, omadused ja r.v tabamise tõenäosus. X vahemikus 0,17 kuni 0,28.
11. Keskmine telefonikeskjaama saabuvate kõnede arv minutis on 3. Eeldusel, et voog on Poisson, leidke tõenäosus, et 2 minuti pärast tuleb: a) kaks kõnet; b) vähem kui kaks kõnet; c) vähemalt kaks kõnet.
12. Karbis on 17 osa, millest 4 defektsed. Kokkupanija loosib juhuslikult 5 tükki. Leidke tõenäosus, et a) kõik ekstraheeritud osad on kvaliteetsed; b) väljatõmmatud osade hulgast 3 defektset.
13. Mitu kanalit peaks riketega QS-il olema, kui l\u003d 2 reb / ​​tund, m\u003d 1 reb / ​​tund, trahv iga rikke eest on 8 tuhat rubla, ühe liini seisaku maksumus on 2 tuhat rubla. kell üks?