Crameri reegli pöördmaatriksmeetod. Crameri meetod: lahendage lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid (Slau)

Vaatleme 3 võrrandisüsteemi kolme tundmatuga

Kolmandat järku determinante kasutades saab sellise süsteemi lahendi kirjutada samal kujul nagu kahe võrrandisüsteemi puhul, s.t.

(2.4)

kui 0. Siin

see on Crameri reegel kolme süsteemi lahendused lineaarvõrrandid kolme tundmatuga.

Näide 2.3. Lahendage Crameri reegli abil lineaarvõrrandisüsteem:

Lahendus . Süsteemi põhimaatriksi determinandi leidmine

Kuna 0, siis saab süsteemile lahenduse leidmiseks rakendada Crameri reeglit, kuid esmalt arvutada veel kolm determinanti:

Eksam:

Seetõttu leitakse lahendus õigesti. 

jaoks tuletatud Crameri reeglid lineaarsed süsteemid 2. ja 3. järk viitavad sellele, et samu reegleid saab sõnastada mis tahes järku lineaarsete süsteemide jaoks. Tõesti toimub

Crameri teoreem. Lineaarvõrrandi ruutsüsteem süsteemi põhimaatriksi nullist erineva determinandiga (0) on üks ja ainult üks lahendus ning see lahendus arvutatakse valemitega

(2.5)

kus  – põhimaatriksi determinant,  i – maatriksi determinant, tuletatud peamisest, asendamisestiveerg vabade liikmete veerg.

Pange tähele, et kui =0, siis Crameri reegel ei kehti. See tähendab, et süsteemil pole lahendusi üldse või on lahendusi lõpmatult palju.

Olles formuleerinud Crameri teoreemi, tekib loomulikult küsimus kõrgemat järku determinantide arvutamisest.

2.4. n-ndat järku determinandid

Täiendav alaealine M ij element a ij nimetatakse determinandiks, mis on saadud kustutamise teel etteantust i-th rida ja j-s veerg. Algebraline liitmine A ij element a ij nimetatakse selle elemendi minooriks koos märgiga (–1) i + j, st. A ij = (–1) i + j M ij .

Näiteks leiame elementide minoorsed ja algebralised täiendid a 23 ja a 31 määrajat

Saame



Kasutades algebralise komplemendi mõistet, saame sõnastada determinantide laiendusteoreemn- järjekorras rea või veeru järgi.

Teoreem 2.1. Maatriksi determinantAvõrdub mõne rea (või veeru) kõigi elementide ja nende algebraliste täiendite korrutistega:

(2.6)

See teoreem on ühe peamise determinantide arvutamise meetodi, nn. tellimuste vähendamise meetod. Determinandi laienemise tulemusena n järjekorras mis tahes reas või veerus saame n determinanti ( n–1)-ndas järjekorras. Et selliseid determinante oleks vähem, on soovitatav valida see rida või veerg, millel on kõige rohkem nulle. Praktikas kirjutatakse determinandi laiendusvalem tavaliselt järgmiselt:

need. algebralised liited on kirjutatud selgesõnaliselt alaealiste terminites.

Näited 2.4. Arvutage determinandid, laiendades neid esmalt mis tahes reas või veerus. Tavaliselt valige sellistel juhtudel veerg või rida, millel on kõige rohkem nulle. Valitud rida või veerg märgitakse noolega.



2.5. Determinantide põhiomadused

Laiendades determinanti mis tahes reas või veerus, saame n determinanti ( n–1)-ndas järjekorras. Seejärel kõik need determinandid ( n–1)-nda järgu saab lagundada ka determinantide summaks ( n–2) järjekorras. Seda protsessi jätkates võib jõuda 1. järku determinantideni, s.o. maatriksi elementidele, mille determinanti arvutatakse. Seega peate teist järku determinantide arvutamiseks arvutama kahe liikme summa, 3. järku determinantide jaoks - 6 liikme summa, 4. järku determinantide jaoks - 24 liikme summa. Terminite arv suureneb järsult, kui determinandi järjestus suureneb. See tähendab, et väga kõrge astme determinantide arvutamine muutub üsna töömahukaks ülesandeks, mis ei jõua isegi arvutile. Determinante saab aga arvutada ka muul viisil, kasutades determinantide omadusi.

Vara 1 . Determinant ei muutu, kui selles vahetatakse ridu ja veerge, st. maatriksi transponeerimisel:

.

See omadus näitab determinandi ridade ja veergude võrdsust. Teisisõnu, iga väide determinandi veergude kohta kehtib selle ridade kohta ja vastupidi.

Vara 2 . Kahe rea (veeru) vahetamisel muudab determinant märki.

Tagajärg . Kui determinandil on kaks identset rida (veergu), siis on see võrdne nulliga.

Vara 3 . Determinandi märgist võib välja võtta mis tahes rea (veeru) kõigi elementide ühisteguri.

Näiteks,

Tagajärg . Kui determinandi mõne rea (veeru) kõik elemendid on võrdsed nulliga, siis on determinant ise võrdne nulliga.

Vara 4 . Determinant ei muutu, kui ühe rea (veeru) elemendid liidetakse teise rea (veeru) elementidele ja korrutatakse mingi arvuga.

Näiteks,

Vara 5 . Maatriksi korrutise determinant on võrdne maatriksi determinantide korrutisega:

Sisaldagu lineaarvõrrandisüsteem nii palju võrrandeid, kui palju on sõltumatuid muutujaid, s.t. on vorm

Selliseid lineaarvõrrandisüsteeme nimetatakse ruutvõrranditeks. Süsteemi sõltumatute muutujate koefitsientidest koosnevat determinanti (1.5) nimetatakse süsteemi peadeterminandiks. Me märgistame selle Kreeka kiri D. Nii

. (1.6)

Kui põhideterminandis on suvaline ( j th) veerg, asenda see süsteemi vabade liikmete veeruga (1.5), siis saame rohkem n abimäärajad:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Crameri reegel lineaarvõrrandi süsteemide lahendamine on järgmine. Kui süsteemi (1.5) peadeterminant D on nullist erinev, on süsteemil unikaalne lahendus, mille saab leida valemitega:

(1.8)

Näide 1.5. Lahenda võrrandisüsteem Crameri meetodil

.

Arvutame välja süsteemi peamise determinandi:

Alates D¹0 on süsteemil ainulaadne lahendus, mille saab leida valemite (1.8) abil:

Sellel viisil,

Maatriksi toimingud

1. Maatriksi korrutamine arvuga. Maatriksi arvuga korrutamise operatsioon on defineeritud järgmiselt.

2. Maatriksi korrutamiseks arvuga peate selle arvuga korrutama kõik selle elemendid. See on

. (1.9)

Näide 1.6. .

Maatriksi lisamine.

See toiming viiakse sisse ainult sama järjestusega maatriksite jaoks.

Kahe maatriksi liitmiseks on vaja ühe maatriksi elementidele lisada teise maatriksi vastavad elemendid:

(1.10)
Maatriksi liitmise operatsioonil on assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse omadused.

Näide 1.7. .

Maatrikskorrutis.

Kui maatriksi veergude arv AGA sobib maatriksi ridade arvuga AT, siis selliste maatriksite jaoks võetakse kasutusele korrutustehe:

2

Seega maatriksi korrutamisel AGA mõõtmed m´ n maatriksiks AT mõõtmed n´ k saame maatriksi FROM mõõtmed m´ k. Sel juhul maatriksi elemendid FROM arvutatakse järgmiste valemite järgi:

Probleem 1.8. Võimalusel leida maatriksite korrutis AB ja BA:

Lahendus. 1) Töö leidmiseks AB, vajate maatriksi ridu A korrutada maatriksi veergudega B:

2) Kunstiteos BA ei eksisteeri, sest maatriksi veergude arv B ei ühti maatriksi ridade arvuga A.

Pöördmaatriks. Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine maatriksmeetodil

Maatriks A- 1 nimetatakse ruutmaatriksi pöördväärtuseks AGA kui võrdsus kehtib:

kust läbi I tähistatud identiteedi maatriks samas järjekorras nagu maatriks AGA:

.

To ruutmaatriks on pöördväärtus siis ja ainult siis, kui selle determinant on nullist erinev. Pöördmaatriks leitakse järgmise valemiga:

, (1.13)

kus A ij- elementide algebralised lisamised aij maatriksid AGA(pange tähele, et maatriksi ridade algebralised lisamised AGA on paigutatud pöördmaatriksisse vastavate veergude kujul).

Näide 1.9. Leia pöördmaatriks A- 1 maatriksiks

.

Leiame pöördmaatriksi valemiga (1.13), mis juhul n= 3 näeb välja selline:

.

Leiame det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Kuna algmaatriksi determinant erineb nullist, siis on pöördmaatriks olemas.

1) Leidke algebralised liitmised A ij:

Pöördmaatriksi leidmise mugavuse huvides paigutasime algse maatriksi ridade algebralised täiendused vastavatesse veergudesse.

Saadud algebralistest liitmistest koostame uue maatriksi ja jagame selle determinandiga det A. Seega saame pöördmaatriksi:

Nullist erineva peadeterminandiga lineaarvõrrandi ruutsüsteeme saab lahendada pöördmaatriksi abil. Selleks on sisse kirjutatud süsteem (1.5). maatriksvorm:

kus

Vasakpoolse võrdsuse (1,14) mõlema külje korrutamine arvuga A- 1, saame süsteemi lahenduse:

, kus

Seega tuleb ruutsüsteemile lahenduse leidmiseks leida süsteemi põhimaatriksi pöördmaatriks ja korrutada see paremal pool vabade liikmete veerumaatriksiga.

Ülesanne 1.10. Lahendage lineaarvõrrandisüsteem

kasutades pöördmaatriksit.

Lahendus. Kirjutame süsteemi maatriksi kujul: ,

kus on süsteemi põhimaatriks, on tundmatute veerg ja vabade terminite veerg. Kuna süsteemi peamine määraja , siis süsteemi põhimaatriks AGA omab pöördmaatriksit AGA- üks. Pöördmaatriksi leidmiseks AGA-1 , arvutage algebralised täiendid maatriksi kõikidele elementidele AGA:

Saadud arvudest koostame maatriksi (pealegi algebralised liitmised maatriksi ridadele AGA kirjutage vastavatesse veergudesse) ja jagage see determinandiga D. Nii oleme leidnud pöördmaatriksi:

Süsteemi lahendus leitakse valemiga (1.15):

Sellel viisil,

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Jordani tavaliste erandite abil

Olgu antud suvaline (mitte tingimata ruudukujuline) lineaarvõrrandisüsteem:

(1.16)

Nõutav on süsteemile lahenduse leidmine, s.t. selline muutujate hulk, mis rahuldab süsteemi (1.16) kõik võrdsused. AT üldine juhtum süsteemil (1.16) võib olla mitte ainult üks lahendus, vaid ka lõpmatu arv lahendeid. Samuti ei pruugi sellel olla lahendusi.

Selliste ülesannete lahendamisel kasutatakse koolikursusest hästi tuntud tundmatute kõrvaldamise meetodit, mida nimetatakse ka tavaliste Jordani eliminatsioonide meetodiks. Selle meetodi olemus seisneb selles, et süsteemi (1.16) ühes võrrandis on üks muutujatest väljendatud teiste muutujate kaudu. Seejärel asendatakse see muutuja süsteemi teiste võrranditega. Tulemuseks on süsteem, mis sisaldab ühte võrrandit ja ühte vähem muutujat kui algne süsteem. Meenub võrrand, millest muutuja väljendati.

Seda protsessi korratakse, kuni süsteemi jääb viimane võrrand. Tundmatute kõrvaldamise käigus võivad mõned võrrandid muutuda näiteks tõelisteks identiteetideks. Sellised võrrandid jäetakse süsteemist välja, kuna need kehtivad muutujate mis tahes väärtuste jaoks ja seetõttu ei mõjuta need süsteemi lahendust. Kui tundmatute kõrvaldamise käigus saab vähemalt ühest võrrandist võrdus, mida ei saa rahuldada muutujate ühegi väärtuse puhul (näiteks ), siis järeldame, et süsteemil pole lahendust.

Kui ebajärjekindlaid võrrandeid lahendades ei tekkinud, siis leitakse viimasest võrrandist üks ülejäänud muutujatest. Kui viimasesse võrrandisse jääb ainult üks muutuja, siis väljendatakse seda arvuna. Kui viimasesse võrrandisse jäävad teised muutujad, siis loetakse neid parameetriteks ja nende kaudu väljendatav muutuja on nende parameetrite funktsioon. Seejärel tehakse nn "tagurpidikäik". Leitud muutuja asendatakse viimase meeldejäänud võrrandiga ja leitakse teine ​​muutuja. Seejärel asendatakse kaks leitud muutujat eelviimase meeldejäetud võrrandiga ja leitakse kolmas muutuja ja nii edasi kuni esimese meeldejäetud võrrandini.

Selle tulemusena saame süsteemi lahenduse. See otsus on kordumatu, kui leitud muutujad on numbrid. Kui esimene leitud muutuja ja seejärel kõik teised sõltuvad parameetritest, siis on süsteemil lõpmatu arv lahendusi (iga parameetrite komplekt vastab uuele lahendusele). Valemeid, mis võimaldavad leida süsteemile lahenduse sõltuvalt konkreetsest parameetrite komplektist, nimetatakse süsteemi üldlahenduseks.

Näide 1.11.

x

Pärast esimese võrrandi päheõppimist ja tuues sarnased terminid teise ja kolmandasse võrrandisse, jõuame süsteemini:

Ekspress y teisest võrrandist ja asendage see esimese võrrandiga:

Pidage meeles teist võrrandit ja esimesest leiame z:

Tehes vastupidist liikumist, leiame järjest y ja z. Selleks asendame esmalt viimase meeldejäänud võrrandi , millest leiame y:

.

Seejärel asendame esimese pähejäetud võrrandiga kust leiame x:

Ülesanne 1.12. Lahendage lineaarvõrrandisüsteem, kõrvaldades tundmatud:

. (1.17)

Lahendus. Avaldame esimeses võrrandis oleva muutuja x ja asendage see teise ja kolmanda võrrandiga:

.

Pidage meeles esimest võrrandit

Selles süsteemis on esimene ja teine ​​võrrand üksteisega vastuolus. Tõepoolest, väljendades y , saame, et 14 = 17. See võrdsus ei ole täidetud muutujate ühegi väärtuse korral x, y ja z. Järelikult on süsteem (1.17) ebajärjekindel, st pole lahendust.

Lugejatel palutakse iseseisvalt kontrollida, kas algse süsteemi põhideterminant (1.17) on võrdne nulliga.

Vaatleme süsteemi, mis erineb süsteemist (1.17) ainult ühe vaba liikme võrra.

Ülesanne 1.13. Lahendage lineaarvõrrandisüsteem, kõrvaldades tundmatud:

. (1.18)

Lahendus. Nagu varemgi, väljendame muutujat esimesest võrrandist x ja asendage see teise ja kolmanda võrrandiga:

.

Pidage meeles esimest võrrandit ning esitame sarnased terminid teises ja kolmandas võrrandis. Jõuame süsteemi juurde:

väljendades y esimesest võrrandist ja asendades selle teise võrrandiga , saame identiteedi 14 = 14, mis ei mõjuta süsteemi lahendust ja seetõttu saab selle süsteemist välja jätta.

Viimases päheõpitud võrdsuses muutuja z loetakse parameetriks. Meie usume. Siis

Asendaja y ja z esimesse päheõpitud võrdsusse ja leia x:

.

Seega on süsteemil (1.18) lõpmatu hulk lahendusi ja valemitest (1.19) võib leida suvalise lahendi, valides parameetri suvalise väärtuse t:

(1.19)
Seega on süsteemi lahenditeks näiteks järgmised muutujate komplektid (1; 2; 0), (2; 26; 14) jne. Valemid (1.19) väljendavad süsteemi (1.18) üldist (mis tahes) lahendust ).

Juhul kui algsest süsteemist (1.16) piisab suur hulk võrrandid ja tundmatud, tundub tavaliste Jordaania eliminatsiooni meetod tülikas. Siiski ei ole. Piisab, kui tuletada algoritm süsteemi koefitsientide ümberarvutamiseks ühes etapis üldine vaade ja vormistada ülesande lahendus spetsiaalsete Jordani tabelite kujul.

Olgu antud lineaarvormide (võrrandite) süsteem:

, (1.20)
kus x j- sõltumatud (soovitavad) muutujad, aij- konstantsed koefitsiendid
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Süsteemi õiged osad y i (i = 1, 2,…, m) võivad olla nii muutujad (sõltuvad) kui ka konstandid. Sellele süsteemile tuleb leida lahendused, kõrvaldades tundmatud.

Kaaluge järgmine operatsioon, millele edaspidi viidatakse kui "üks samm tavalistest Jordaania eranditest". Suvalisest ( r th) võrdsus, väljendame suvalist muutujat ( x s) ja asendada kõigi teiste võrdsustega. Muidugi on see võimalik ainult siis, kui a rs¹ 0. Koefitsient a rs nimetatakse lahendavaks (mõnikord suunavaks või peamiseks) elemendiks.

Saame järgmise süsteemi:

. (1.21)

Alates s süsteemi võrdsus (1.21), leiame seejärel muutuja x s(pärast teiste muutujate leidmist). S Kolmas rida jäetakse meelde ja jäetakse seejärel süsteemist välja. Ülejäänud süsteem sisaldab ühte võrrandit ja ühte vähem sõltumatut muutujat kui algne süsteem.

Arvutame saadud süsteemi (1.21) koefitsiendid algsüsteemi (1.20) koefitsientide järgi. Alustame sellest r võrrand, mis pärast muutuja väljendamist x sülejäänud muutujad näevad välja selline:

Seega uued koefitsiendid r võrrand arvutatakse järgmiste valemitega:

(1.23)
Arvutame nüüd uued koefitsiendid b ij(i¹ r) suvalisest võrrandist. Selleks asendame (1.22) väljendatud muutuja x s sisse i süsteemi võrrand (1.20):

Pärast sarnaste tingimuste toomist saame:

(1.24)
Võrdusest (1.24) saame valemid, mille abil arvutatakse süsteemi (1.21) ülejäänud koefitsiendid (erandiks r võrrand):

(1.25)
Lineaarvõrrandisüsteemide teisendamine tavaliste Jordaania eliminatsioonide meetodil on esitatud tabelite (maatriksite) kujul. Neid tabeleid nimetatakse "Jordaania tabeliteks".

Seega on probleem (1.20) seotud järgmise Jordani tabeliga:

Tabel 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		aij		a on		a sisse
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n=	olen 1	olen 2		a mj		a ms		amn

Jordani tabel 1.1 sisaldab vasakpoolset peaveergu, kuhu on kirjutatud süsteemi parempoolsed osad (1.20), ja ülemist pealkirja rida, kuhu on kirjutatud sõltumatud muutujad.

Ülejäänud tabeli elemendid moodustavad süsteemi (1.20) koefitsientide põhimaatriksi. Kui maatriksi korrutada AGAülemise päiserea elementidest koosnevale maatriksile, siis saame vasakpoolse päiseveeru elementidest koosneva maatriksi. See tähendab, et sisuliselt on Jordani tabel maatriksvorm lineaarvõrrandisüsteemi kirjutamiseks: . Sel juhul vastab järgmine Jordani tabel süsteemile (1.21):

Tabel 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b on		b sisse
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Lubav element a rs tõstame esile paksus kirjas. Tuletage meelde, et Jordani erandite ühe etapi rakendamiseks peab lahendav element olema nullist erinev. Lubavat elementi sisaldavat tabelirida nimetatakse lubavaks reaks. Lubamise elementi sisaldavat veergu nimetatakse lubamise veeruks. Antud tabelist järgmisse tabelisse liikumisel on üks muutuja ( x s) liigutatakse tabeli ülemisest päisereast vasakpoolsesse päise veergu ja vastupidi, üks süsteemi vabadest liikmetest ( y r) teisaldatakse tabeli vasakust päise veerust ülemisse päisereale.

Kirjeldame koefitsientide ümberarvutamise algoritmi Jordani tabelist (1.1) tabelisse (1.2) üleminekul, mis tuleneb valemitest (1.23) ja (1.25).

1. Lubav element asendatakse pöördarvuga:

2. Ülejäänud lubava rea ​​elemendid jagatakse lubava elemendiga ja muudetakse märk vastupidiseks:

3. Ülejäänud lubava veeru elemendid jagatakse lubavateks elementideks:

4. Elemendid, mis ei sisaldu lahendavas real ja lahendavas veerus, arvutatakse ümber vastavalt valemitele:

Viimast valemit on lihtne meeles pidada, kui märkate, et murdosa moodustavad elemendid , on ristmikul i- oh ja r-ndad read ja j ja s-ndad veerud (lahutav rida, lahendav veerg ning rida ja veerg, mille ristumiskohas ümberarvutatav element asub). Täpsemalt valemi päheõppimisel saate kasutada järgmist diagrammi:

-21 -26 -13 -37

Jordaania erandite esimese sammu sooritamisel veergudes paiknevad kõik tabeli 1.3 elemendid x 1 ,…, x 5 (kõik määratud elemendid ei ole võrdsed nulliga). Te ei tohiks valida ainult lubavat elementi viimases veerus, sest tuleb leida sõltumatud muutujad x 1 ,…, x 5 . Valime näiteks koefitsiendi 1 muutujaga x 3 tabeli 1.3 kolmandal real (lubav element on näidatud paksus kirjas). Tabelile 1.4 liikudes muutub muutuja xÜlemise päise rea 3 asendatakse vasakpoolse päise veeru konstandiga 0 (kolmas rida). Samal ajal muutuja x 3 väljendatakse ülejäänud muutujatena.

string x 3 (tabel 1.4) võib, olles eelnevalt meelde jätnud, tabelist 1.4 välja jätta. Tabel 1.4 välistab ka kolmanda veeru, mille ülemisel päisereal on null. Asi on selles, et sõltumata selle veeru koefitsientidest b i 3 iga võrrandi 0 kõik sellele vastavad liikmed b i 3 süsteemi võrdub nulliga. Seetõttu ei saa neid koefitsiente arvutada. Ühe muutuja kõrvaldamine x 3 ja üht võrrandit meeles pidades jõuame süsteemini, mis vastab tabelile 1.4 (joon on läbi kriipsutatud x 3). Lahenduselemendiks valimine tabelis 1.4 b 14 = -5, minge tabeli 1.5 juurde. Tabelis 1.5 jätame esimese rea meelde ja jätame selle tabelist välja koos neljanda veeruga (null on ülaosas).

Tabel 1.5 Tabel 1.6

Viimasest tabelist 1.7 leiame: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Asendades järjestikku juba leitud muutujad meeldejäetud ridadele, leiame ülejäänud muutujad:

Seega on süsteemil lõpmatu arv lahendusi. muutuv x 5, saate määrata suvalised väärtused. See muutuja toimib parameetrina x 5 = t. Tõestasime süsteemi ühilduvust ja leidsime selle ühine otsus:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Parameetri andmine t erinevaid tähendusi, saame algsele süsteemile lõpmatu arvu lahendusi. Nii näiteks on süsteemi lahenduseks järgmine muutujate hulk (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Crameri meetod põhineb determinantide kasutamisel lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel. See kiirendab oluliselt lahendusprotsessi.

Crameri meetodi abil saab lahendada nii paljudest lineaarsetest võrranditest koosneva süsteemi kui igas võrrandis on tundmatuid. Kui süsteemi determinant ei ole võrdne nulliga, siis saab lahenduses kasutada Crameri meetodit, kui see on võrdne nulliga, siis mitte. Lisaks saab Crameri meetodit kasutada lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks, millel on unikaalne lahendus.

Definitsioon. Tundmatute koefitsientidest koosnevat determinanti nimetatakse süsteemi determinandiks ja seda tähistatakse (delta).

Determinandid

saadakse, asendades koefitsiendid vastavate tundmatute juures vabade terminitega:

;

.

Crameri teoreem. Kui süsteemi determinant on nullist erinev, siis on lineaarvõrrandisüsteemil üks lahendus ja tundmatu on võrdne determinantide suhtega. Nimetaja on süsteemi determinant ja lugeja on determinant, mis saadakse süsteemi determinandist, asendades koefitsiendid tundmatuga vabade liikmetega. See teoreem kehtib mis tahes järku lineaarvõrrandisüsteemi kohta.

Näide 1 Lahendage lineaarvõrrandisüsteem:

Vastavalt Crameri teoreem meil on:

Niisiis, süsteemi (2) lahendus:

Interneti-kalkulaator, otsustav meetod Kramer.

Kolm juhtumit lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel

Nagu selgub alates Crameri teoreemid Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel võib esineda kolm juhtumit:

Esimene juhtum: lineaarvõrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus

(süsteem on järjekindel ja kindel)

Teine juhtum: lineaarvõrrandisüsteemil on lõpmatu arv lahendeid

(süsteem on järjekindel ja määramatu)

** ,

need. tundmatute ja vabaliikmete koefitsiendid on võrdelised.

Kolmas juhtum: lineaarvõrrandisüsteemil pole lahendeid

(süsteem ebajärjekindel)

Seega süsteem m lineaarvõrrandid n nimetatakse muutujaid Sobimatu kui sellel pole lahendusi ja liigend kui sellel on vähemalt üks lahendus. Nimetatakse ühendatud võrrandisüsteemi, millel on ainult üks lahend teatud, ja rohkem kui üks ebakindel.

Näited lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest Crameri meetodil

Las süsteem

.

Crameri teoreemi alusel

………….
,

kus
-

süsteemi identifikaator. Ülejäänud determinandid saadakse, asendades veeru vastava muutuja (tundmatu) koefitsientidega vabaliikmetega:

Näide 2

.

Seetõttu on süsteem kindel. Selle lahenduse leidmiseks arvutame determinandid

Crameri valemite järgi leiame:

Seega on (1; 0; -1) süsteemi ainus lahendus.

Võrrandisüsteemide 3 X 3 ja 4 X 4 lahenduste kontrollimiseks võite kasutada veebikalkulaatorit, Crameri lahendusmeetodit.

Kui lineaarvõrrandisüsteemis ei ole ühes või mitmes võrrandis muutujaid, siis determinandis on neile vastavad elemendid võrdsed nulliga! See on järgmine näide.

Näide 3 Lahendage lineaarvõrrandisüsteem Crameri meetodil:

.

Lahendus. Leiame süsteemi determinandi:

Vaadake hoolikalt võrrandisüsteemi ja süsteemi determinanti ning korrake vastust küsimusele, millistel juhtudel on determinandi üks või mitu elementi võrdsed nulliga. Seega ei ole determinant võrdne nulliga, seega on süsteem kindel. Selle lahenduse leidmiseks arvutame tundmatute determinandid

Crameri valemite järgi leiame:

Seega on süsteemi lahendus (2; -1; 1).

Võrrandisüsteemide 3 X 3 ja 4 X 4 lahenduste kontrollimiseks võite kasutada veebikalkulaatorit, Crameri lahendusmeetodit.

Lehe ülaosa

Jätkame koos Crameri meetodil süsteemide lahendamist

Nagu juba mainitud, kui süsteemi determinant on võrdne nulliga ja tundmatute determinandid ei ole nulliga, on süsteem ebajärjekindel, see tähendab, et tal pole lahendusi. Illustreerime järgmise näitega.

Näide 6 Lahendage lineaarvõrrandisüsteem Crameri meetodil:

Lahendus. Leiame süsteemi determinandi:

Süsteemi determinant on võrdne nulliga, seetõttu on lineaarvõrrandisüsteem kas ebajärjekindel ja kindel või vastuoluline, see tähendab, et tal pole lahendeid. Selguse huvides arvutame tundmatute determinandid

Tundmatute determinandid ei ole nulliga võrdsed, seetõttu on süsteem ebajärjekindel, st tal pole lahendusi.

Võrrandisüsteemide 3 X 3 ja 4 X 4 lahenduste kontrollimiseks võite kasutada veebikalkulaatorit, Crameri lahendusmeetodit.

Lineaarvõrrandisüsteemide ülesannetes on ka selliseid, kus lisaks muutujaid tähistavatele tähtedele on ka teisi tähti. Need tähed tähistavad mõnda numbrit, enamasti reaalarvu. Praktikas toovad sellised võrrandid ja võrrandisüsteemid kaasa otsinguprobleeme ühised omadused mis tahes nähtused või objektid. See tähendab, kas sa leiutasid uus materjal või seadet ning selle omaduste kirjeldamiseks, mis on levinud olenemata koopiate suurusest või arvust, on vaja lahendada lineaarvõrrandi süsteem, kus muutujate mõne koefitsiendi asemel on tähed. Näiteid ei pea kaugelt otsima.

Järgmine näide on sarnase probleemi jaoks, suureneb ainult mõnda reaalarvu tähistavate võrrandite, muutujate ja tähtede arv.

Näide 8 Lahendage lineaarvõrrandisüsteem Crameri meetodil:

Lahendus. Leiame süsteemi determinandi:

Tundmatute määrajate leidmine

Esimeses osas käsitlesime mõnda teoreetilist materjali, asendusmeetodit, aga ka süsteemivõrrandite terminite kaupa liitmise meetodit. Kõigil, kes selle lehe kaudu saidile tulid, soovitan lugeda esimest osa. Võib-olla tundub mõnele külastajale materjal liiga lihtne, kuid lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise käigus tegin lahenduse kohta mitmeid väga olulisi märkusi ja järeldusi matemaatika ülesandeidüldiselt.

Ja nüüd analüüsime Crameri reeglit, aga ka lineaarvõrrandisüsteemi lahendamist pöördmaatriksi abil (maatriksmeetod). Kõik materjalid on esitatud lihtsalt, üksikasjalikult ja selgelt, peaaegu kõik lugejad saavad õppida ülaltoodud meetodeid kasutades süsteeme lahendama.

Esmalt vaatleme üksikasjalikult Crameri reeglit kahe tundmatu kahe lineaarvõrrandi süsteemi jaoks. Milleks? - Pealegi kõige lihtsam süsteem saab lahendada koolimeetodil, termini lisamisega!

Fakt on see, et isegi kui mõnikord, kuid on selline ülesanne - lahendada kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteem Crameri valemite abil. Teiseks aitab lihtsam näide teil mõista, kuidas Crameri reeglit rohkem kasutada raske juhtum– kolmest võrrandist koosnevad süsteemid kolme tundmatuga.

Lisaks on kahe muutujaga lineaarvõrrandisüsteemid, mida on soovitav lahendada täpselt Crameri reegli järgi!

Mõelge võrrandisüsteemile

Esimeses etapis arvutame determinandi, seda nimetatakse süsteemi peamine määraja.

Gaussi meetod.

Kui , siis on süsteemil ainulaadne lahendus ja juurte leidmiseks peame arvutama veel kaks determinanti:
ja

Praktikas võib ülaltoodud määrajaid tähistada ka ladina tähega.

Võrrandi juured leitakse valemitega:
,

Näide 7

Lahendage lineaarvõrrandisüsteem

Lahendus: Näeme, et võrrandi koefitsiendid on üsna suured, paremal pool on kümnendkohad komaga. Koma on matemaatika praktilistes ülesannetes üsna harv külaline, selle süsteemi võtsin ökonomeetrilisest ülesandest.

Kuidas sellist süsteemi lahendada? Võite proovida väljendada üht muutujat teise terminites, kuid sel juhul saate kindlasti kohutavaid väljamõeldud murde, millega on äärmiselt ebamugav töötada ja lahenduse kujundus näeb lihtsalt kohutav välja. Saate teise võrrandi korrutada 6-ga ja lahutada liikme kaupa, kuid siin kuvatakse samad murded.

Mida teha? Sellistel juhtudel tulevad appi Crameri valemid.

;

;

Vastus: ,

Mõlemal juurtel on lõpmatu saba ja neid leitakse ligikaudu, mis on ökonomeetriaprobleemide jaoks üsna vastuvõetav (ja isegi tavaline).

Siin pole kommentaare vaja, kuna ülesanne lahendatakse valmis valemite järgi, kuid on üks hoiatus. Selle meetodi kasutamisel kohustuslikÜlesande fragment on järgmine fragment: "nii et süsteemil on ainulaadne lahendus". Vastasel juhul võib arvustaja teid Crameri teoreemi mitteaustamise eest karistada.

Ei ole üleliigne kontrollida, mida on mugav kalkulaatoriga teha: asendame ligikaudsed väärtused vasak pool iga süsteemi võrrandit. Selle tulemusena tuleks väikese veaga saada paremal pool olevad numbrid.

Näide 8

Väljendage oma vastust tavaliste valemurdudega. Tehke kontroll.

See on näide iseseisva lahenduse jaoks (peene kujunduse näide ja vastus õppetunni lõpus).

Vaatleme Crameri reeglit kolme tundmatuga võrrandisüsteemi jaoks:

Leiame süsteemi peamise määraja:

Kui , siis on süsteemil lõpmatult palju lahendeid või see on ebajärjekindel (lahendeid pole). Sel juhul ei aita Crameri reegel, peate kasutama Gaussi meetodit.

Kui , siis on süsteemil ainulaadne lahendus ja juurte leidmiseks peame arvutama veel kolm determinanti:
, ,

Ja lõpuks arvutatakse vastus valemitega:

Nagu näete, ei erine juhtum "kolm korda kolm" põhimõtteliselt juhtumist "kaks kahega", vabade terminite veerg "kõnnib" järjestikku vasakult paremale mööda põhideterminandi veerge.

Näide 9

Lahendage süsteem Crameri valemite abil.

Lahendus: Lahendame süsteemi Crameri valemite abil.

, seega on süsteemil ainulaadne lahendus.

Vastus: .

Tegelikult pole siin jälle midagi erilist kommenteerida, arvestades seda, et otsus tehakse valmis valemite järgi. Kuid on paar märkust.

Juhtub, et arvutuste tulemusena saadakse “halvad” taandamatud murded, näiteks: .
Soovitan järgmist "ravi" algoritmi. Kui arvutit pole käepärast, teeme nii:

1) Arvutustes võib olla viga. Niipea kui kohtate "halba" võtet, peate kohe kontrollima, kas kas tingimus on õigesti ümber kirjutatud. Kui tingimus on vigadeta ümber kirjutatud, peate determinandid ümber arvutama, kasutades laiendust teises reas (veerus).

2) Kui kontrolli tulemusena vigu ei leitud, siis suure tõenäosusega tehti ülesande seisukorras kirjaviga. Sel juhul lahendage ülesanne rahulikult ja HOOLIKALT lõpuni ja siis kontrollige kindlasti ja koostage see pärast otsuse tegemist puhtal koopial. Muidugi on murdosalise vastuse kontrollimine ebameeldiv ülesanne, kuid see on desarmeeriv argument õpetajale, kellele meeldib tõesti iga halva asja eest miinust panna. Murdude käsitlemine on üksikasjalikult kirjeldatud näite 8 vastuses.

Kui teil on arvuti käepärast, siis kasutage selle kontrollimiseks automatiseeritud programmi, mille saab tunni alguses tasuta alla laadida. Muide, programmi on kõige soodsam kasutada kohe (isegi enne lahenduse käivitamist), siis on kohe näha vaheetapp, mille juures eksisid! Sama kalkulaator arvutab automaatselt välja ka süsteemi lahenduse maatriks meetod.

Teine märkus. Aeg-ajalt on süsteeme, mille võrrandites puuduvad mõned muutujad, näiteks:

Siin esimeses võrrandis pole muutujat, teises pole muutujat. Sellistel juhtudel on väga oluline õigesti ja HOOLIKALT kirja panna peamine määraja:
– puuduvate muutujate asemele pannakse nullid.
Muide, nulliga reas (veerus), kus null asub, on mõistlik avada determinandid nullidega, kuna arvutusi on märgatavalt vähem.

Näide 10

Lahendage süsteem Crameri valemite abil.

See on näide ise lahendamiseks (näidise ja vastuse lõpetamine tunni lõpus).

4 võrrandist koosneva 4 tundmatuga süsteemi puhul kirjutatakse Crameri valemid sarnaste põhimõtete järgi. Reaalajas näidet näete õppetunnis Determinant Properties. Determinandi järjekorra vähendamine - viis 4. järku determinanti on üsna lahendatavad. Kuigi ülesanne meenutab juba vägagi professori kinga õnneliku tudengi rinnal.

Süsteemi lahendus pöördmaatriksi abil

Pöördmaatriksmeetod on sisuliselt erijuhtum maatriksvõrrand(Vt täpsustatud õppetüki näidet nr 3).

Selle jaotise uurimiseks peate suutma determinante laiendada, leida pöördmaatriksi ja sooritada maatriksi korrutamist. Vastavad lingid antakse selgituse edenedes.

Näide 11

Lahendage süsteem maatriksmeetodiga

Lahendus: Kirjutame süsteemi maatriksi kujul:
, kus

Palun vaadake võrrandisüsteemi ja maatrikseid. Mis põhimõttel me elemente maatriksitesse kirjutame, arvan, et kõik saavad aru. Ainuke kommentaar: kui võrrandites oleks mõni muutuja puudu, siis tuleks maatriksis vastavatele kohtadele nullid panna.

Leiame pöördmaatriksi valemiga:
, kus on maatriksi vastavate elementide algebraliste täiendite transponeeritud maatriks .

Esiteks käsitleme determinandi:

Siin laiendatakse determinanti esimese rea võrra.

Tähelepanu! Kui , siis pöördmaatriksit ei eksisteeri ja süsteemi pole võimalik maatriksmeetodil lahendada. Sel juhul lahendatakse süsteem tundmatute elimineerimisega (Gaussi meetod).

Nüüd peate arvutama 9 alaealist ja kirjutama need alaealiste maatriksisse

Viide: Kasulik on teada topeltalaindeksite tähendust lineaaralgebras. Esimene number on rea number, milles element asub. Teine number on selle veeru number, milles element asub:

See tähendab, et topelt alamindeks näitab, et element asub esimeses reas, kolmandas veerus, samas kui element asub näiteks 3. reas, 2. veerus

Võrrandite arvuga sama palju tundmatute arvuga maatriksi põhideterminandiga, mis ei ole võrdne nulliga, süsteemi koefitsiendid (selliste võrrandite jaoks on lahendus ja see on ainult üks).

Crameri teoreem.

Kui ruutsüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, on süsteem ühilduv ja sellel on üks lahend ja see on leitav Crameri valemid:

kus Δ - süsteemi maatriksi determinant,

Δ i- süsteemi maatriksi determinant, milles selle asemel i veerg on parempoolsete osade veerg.

Kui süsteemi determinant on null, võib süsteem muutuda järjekindlaks või ebajärjekindlaks.

Seda meetodit kasutatakse tavaliselt väikeste süsteemide puhul koos mahuarvutustega ja kui on vaja määrata üks tundmatutest. Meetodi keerukus seisneb selles, et on vaja arvutada palju determinante.

Crameri meetodi kirjeldus.

On olemas võrrandisüsteem:

3 võrrandisüsteemi saab lahendada Crameri meetodiga, millest oli eespool juttu 2 võrrandisüsteemi puhul.

Determinandi koostame tundmatute kordajatest:

See tahe süsteemi kvalifikaator. Millal D≠0, seega on süsteem ühtlane. Nüüd koostame 3 täiendavat determinanti:

,,

Lahendame süsteemi nii Crameri valemid:

Näited võrrandisüsteemide lahendamisest Crameri meetodil.

Näide 1.

Antud süsteem:

Lahendame selle Crameri meetodil.

Kõigepealt peate arvutama süsteemi maatriksi determinandi:

Sest Δ≠0, seega Crameri teoreemist süsteem ühildub ja sellel on üks lahendus. Arvutame täiendavad determinandid. Determinant Δ 1 saadakse determinandist Δ, asendades selle esimese veeru vabade koefitsientide veeruga. Saame:

Samamoodi saame determinandi Δ 2 süsteemi maatriksi determinandist, asendades teise veeru vabade koefitsientide veeruga: