Harilike murdude aritmeetiliste toimingute reeglid. Murdude liitmine ja lahutamine

Osa väljendamiseks murdosana tervikust tuleb osa jagada tervikuga.

Ülesanne 1. Klassis on 30 õpilast, puudu on neli. Kui suur osa õpilastest on puudu?

Lahendus:

Vastus: klassis pole õpilasi.

Murru leidmine arvust

Probleemide lahendamiseks, mille puhul on vaja leida osa tervikust, kehtib järgmine reegel:

Kui osa tervikust on väljendatud murruna, siis selle osa leidmiseks saate jagada terviku murdosa nimetajaga ja korrutada tulemuse selle lugejaga.

Ülesanne 1. Seal oli 600 rubla, see summa kulus ära. Kui palju raha olete kulutanud?

Lahendus: 600 rubla leidmiseks peate selle summa jagama 4 ossa, nii saame teada, kui palju raha on neljandik:

600: 4 = 150 (lk)

Vastus: kulutas 150 rubla.

2. ülesanne. See oli 1000 rubla, see summa kulus ära. Kui palju raha on kulutatud?

Lahendus: Probleemi olukorrast teame, et 1000 rubla koosneb viiest võrdsest osast. Kõigepealt leiame, mitu rubla on üks viiendik 1000-st, ja seejärel selgitame välja, mitu rubla on kaks viiendikku:

1) 1000: 5 = 200 (lk) - üks viiendik.

2) 200 2 \u003d 400 (lk) - kaks viiendikku.

Neid kahte tegevust saab kombineerida: 1000: 5 2 = 400 (lk).

Vastus: Kulutati 400 rubla.

Teine viis tervikust osa leidmiseks:

Terviku osa leidmiseks võite terviku korrutada murdosaga, mis väljendab seda osa tervikust.

3. ülesanne.Ühistu põhikirja kohaselt peavad aruandekoosoleku kehtivuse tagamiseks sellel osalema vähemalt organisatsiooni liikmed. Ühistul on 120 liiget. Millise koosseisuga võib aruandluskoosolekut pidada?

Lahendus:

Vastus: aruandekoosolekut saab pidada, kui organisatsioonis on 80 liiget.

Arvu leidmine selle murdosa järgi

Probleemide lahendamiseks, mille puhul on vaja leida tervik oma osa järgi, kehtib järgmine reegel:

Kui osa soovitud täisarvust väljendatakse murruna, saate selle täisarvu leidmiseks jagada selle osa murdosa lugejaga ja korrutada tulemuse selle nimetajaga.

Ülesanne 1. Kulutasime 50 rubla, see oli algsumma. Leidke algne rahasumma.

Lahendus: probleemi kirjeldusest näeme, et 50 rubla on 6 korda väiksem kui algsumma, st algsumma on 6 korda suurem kui 50 rubla. Selle summa leidmiseks peate 50 korrutama 6-ga:

50 6 = 300 (r.)

Vastus: esialgne summa on 300 rubla.

2. ülesanne. Kulutasime 600 rubla, see oli esialgne rahasumma. Leidke algne summa.

Lahendus: eeldame, et soovitud arv koosneb kolmest kolmandikust. Tingimuste järgi on kaks kolmandikku arvust 600 rubla. Esiteks leiame ühe kolmandiku esialgsest summast ja seejärel mitu rubla on kolm kolmandikku (esialgne summa):

1) 600: 2 3 = 900 (lk)

Vastus: esialgne summa on 900 rubla.

Teine viis terviku leidmiseks selle osa järgi:

Terviku leidmiseks selle osa väärtuse järgi saate selle väärtuse jagada murdosaga, mis väljendab seda osa.

3. ülesanne. Joonelõik AB, võrdne 42 cm, on segmendi pikkus CD. Leidke lõigu pikkus CD.

Lahendus:

Vastus: segmendi pikkus CD 70 cm

4. ülesanne. Arbuusid toodi poodi. Enne lõunasööki müüs pood, pärast lõunat - arbuusid ja müüa jääb 80 arbuusi. Mitu arbuusi kokku poodi toodi?

Lahendus: esmalt selgitame välja, milline osa imporditud arbuusidest on arv 80. Selleks võtame imporditud arbuuside koguarvu ühikuna ja lahutame sellest arbuuside arvu, mis meil õnnestus müüa (müüa):

Ja nii saime teada, et 80 arbuusi on toodud arbuuside koguarvust. Nüüd saame teada, mitu arbuusi on kogusummast ja kui palju arbuuse on (tootud arbuuside arv):

2) 80: 4 15 = 300 (arbuusid)

Vastus: kokku toodi poodi 300 arbuusi.

Sõna "fraktsioonid" peale jooksevad paljud hanekarnad. Sest ma mäletan kooli ja ülesandeid, mida matemaatikas lahendati. See oli kohustus, mis tuli täita. Aga mis siis, kui käsitleme õigeid ja sobimatuid murde sisaldavaid ülesandeid mõistatusena? Paljud täiskasvanud otsustavad ju digitaalse ja Jaapani ristsõnad. Saage reeglitest aru ja kõik. Sama siin. Tuleb vaid teooriasse süveneda – ja kõik loksub paika. Ja näidetest saab aju treenimise viis.

Mis tüüpi murde on olemas?

Alustame sellest, mis see on. Murd on arv, millel on mõni murdosa ühest. Seda saab kirjutada kahes vormis. Esimest nimetatakse tavaliseks. See tähendab, et sellel on horisontaalne või kaldus löök. See võrdub jagunemismärgiga.

Sellises tähistuses nimetatakse sidekriipsu kohal olevat arvu lugejaks ja selle all nimetajaks.

Tavaliste murdude hulgas eristatakse õigeid ja valesid murde. Esimese puhul on mooduli lugeja alati nimetajast väiksem. Valed on kutsutud nii, sest neil on vastupidine. Õige murru väärtus on alati väiksem kui üks. Kuigi vale on alati sellest numbrist suurem.

Samuti on segaarvud, st need, millel on täisarv ja murdosa.

Teist tüüpi kirjed on kümnend. Tema eraldi vestlusest.

Mis vahe on valede murdude ja segaarvude vahel?

Põhimõtteliselt mitte midagi. See on lihtsalt sama numbri erinev märge. Lihtsate toimingute järel muutuvad kergesti valedeks murdudeks seganumbrid. Ja vastupidi.

Kõik oleneb konkreetsest olukorrast. Mõnikord on ülesannetes mugavam kasutada vale murdu. Ja mõnikord on vaja see seganumbriks tõlkida ja siis laheneb näide väga lihtsalt. Seega, mida kasutada: valed murrud, segaarvud - sõltub ülesande lahendaja tähelepanekust.

Segaarvu võrreldakse ka täisarvu ja murdosa summaga. Pealegi on teine ​​alati väiksem kui ühtsus.

Kuidas esitada segaarvu valemurruna?

Kui soovite sooritada mõne toimingu mitme sisse kirjutatud numbriga erinevad tüübid, siis peate need ühesuguseks muutma. Üks meetod on arvude esitamine valede murdudena.

Selleks peate järgima järgmist algoritmi:

• korrutage nimetaja täisarvuga;
• lisa tulemusele lugeja väärtus;
• kirjuta vastus rea kohale;
• jätke nimetaja samaks.

Siin on näited segaarvudest valede murdude kirjutamise kohta:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Kuidas kirjutada valemurdu segaarvuna?

Järgmine meetod on vastupidine eespool käsitletule. See tähendab, et kui kõik segatud numbrid asendatakse valede murdudega. Toimingute algoritm on järgmine:

• jäägi saamiseks jagage lugeja nimetajaga;
• kirjutada jagatis täisarvulise osa asemele segatud;
• ülejäänud osa tuleks asetada joone kohale;
• jagaja on nimetaja.

Sellise teisenduse näited:

76/14; 76:14 = 5 jäägiga 6; vastus on 5 täisarvu ja 6/14; selle näite murdosa tuleb vähendada 2 võrra, saad 3/7; lõplik vastus on 5 tervet 3/7.

108/54; pärast jagamist saadakse jagatis 2 ilma jäägita; see tähendab, et kõiki valesid murde ei saa esitada segaarvuna; vastus on täisarv - 2.

Kuidas muuta täisarv valeks murruks?

On olukordi, kus selline tegevus on vajalik. Ettemääratud nimetajaga valede murdude saamiseks peate täitma järgmise algoritmi:

• korrutage täisarv soovitud nimetajaga;
• kirjuta see väärtus rea kohale;
• asetage selle alla nimetaja.

Lihtsaim variant on siis, kui nimetaja on võrdne ühega. Siis pole vaja korrutada. Piisab, kui kirjutada näites toodud täisarv ja asetada rea ​​alla ühik.

Näide: tehke 5 valeks murdeks, mille nimetaja on 3. Pärast 5 korrutamist 3-ga saate 15. See arv on nimetaja. Ülesande vastus on murdosa: 15/3.

Kaks lähenemist erinevate numbritega ülesannete lahendamisele

Näites on vaja arvutada summa ja vahe, samuti kahe arvu korrutis ja jagatis: 2 täisarvu 3/5 ja 14/11.

Esimesel lähenemisel segaarv esitatakse valemurruna.

Pärast ülalkirjeldatud toimingute sooritamist saate järgmise väärtuse: 13/5.

Summa teadasaamiseks tuleb murded taandada samale nimetajale. 13/5 korrutatuna 11-ga saab 143/55. Ja 14/11 saab pärast 5-ga korrutamist kujul: 70/55. Summa arvutamiseks tuleb liita vaid lugejad: 143 ja 70 ning seejärel kirjutada vastus ühe nimetajaga üles. 213/55 – see vale murd on vastus probleemile.

Erinevuse leidmisel lahutatakse need samad arvud: 143 - 70 = 73. Vastus on murdosa: 73/55.

13/5 ja 14/11 korrutamisel ei pea te ühisnimetajaks taandama. Lihtsalt korrutage lugejad ja nimetajad paarikaupa. Vastus on: 182/55.

Samamoodi jagamisega. Sest õige otsus jagamine tuleb asendada korrutisega ja jagaja ümber pöörata: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

Teises lähenemises Vale murru muutub segaarvuks.

Pärast algoritmi toimingute sooritamist muutub 14/11 segaarvuks täisarvuga 1 ja murdosaga 3/11.

Summa arvutamisel tuleb eraldi liita täis- ja murdosa. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Lõplik vastus on 3 tervet 48/55. Esimesel lähenemisel oli murdosa 213/55. Õigsust saate kontrollida, teisendades selle segaarvuks. Pärast 213 jagamist 55-ga on jagatis 3 ja jääk 48. On lihtne näha, et vastus on õige.

Lahutamisel asendatakse "+" märk "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Eelmise lähenemisviisi vastuse kontrollimiseks peate selle teisendama segaarvuks: 73 jagatakse 55-ga ja saate jagatiseks 1 ja jäägiks 18.

Korrutise ja jagatise leidmiseks on seganumbrite kasutamine ebamugav. Siin on alati soovitatav minna üle valedele murdudele.

Tunni sisu

Samade nimetajatega murdude liitmine

Murdude lisamist on kahte tüüpi:

1. Samade nimetajatega murdude liitmine
2. Murdude lisamine koos erinevad nimetajad

Alustame samade nimetajatega murdude liitmisest. Siin on kõik lihtne. Samade nimetajatega murdude lisamiseks peate lisama nende lugejad ja jätma nimetaja muutmata. Näiteks liidame murrud ja . Lisame lugejad ja jätame nimetaja muutmata:

Seda näidet on lihtne mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lisate pitsale pitsa, saate pizza:

Näide 2 Lisage fraktsioonid ja .

Vastus on vale murd. Kui ülesande lõpp saabub, siis on kombeks valedest murdudest lahti saada. Ebaõigest murdosast vabanemiseks peate valima selles kogu osa. Meie puhul eraldatakse täisarvuline osa lihtsalt - kaks jagatud kahega võrdub ühega:

Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud kaheks osaks. Kui lisad pitsale rohkem pitsasid, saad ühe terve pitsa:

Näide 3. Lisage fraktsioonid ja .

Lisage uuesti lugejad ja jätke nimetaja muutmata:

Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsasid, saate pitsad:

Näide 4 Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Lugejad tuleb lisada ja nimetaja jätta muutmata:

Proovime oma lahendust pildi abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsad ja lisate rohkem pitsasid, saate 1 terve pitsa ja rohkem pitsasid.

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude lisamine keeruline. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

1. Sama nimetajaga murdude lisamiseks peate lisama nende lugejad ja jätma nimetaja muutmata;

Erinevate nimetajatega murdude liitmine

Nüüd õpime, kuidas liita erinevate nimetajatega murde. Murdude liitmisel peavad nende murdude nimetajad olema samad. Kuid need ei ole alati ühesugused.

Näiteks võib murde lisada, kuna neil on samad nimetajad.

Kuid murde ei saa korraga lisada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.

Murdude samale nimetajale taandamiseks on mitu võimalust. Täna käsitleme neist ainult ühte, kuna ülejäänud meetodid võivad algajale tunduda keerulised.

Selle meetodi olemus seisneb selles, et mõlema murru nimetajatest otsitakse esimest (LCM). Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga ja saadakse esimene lisategur. Nad teevad sama ka teise murdosaga – LCM jagatakse teise murdosa nimetajaga ja saadakse teine ​​lisategur.

Seejärel korrutatakse murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusel muutuvad erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada.

Näide 1. Lisage fraktsioonid ja

Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate väikseima ühiskordse. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 2. Nende arvude vähim ühiskordne on 6

LCM (2 ja 3) = 6

Nüüd tagasi murdude ja . Esiteks jagame LCM-i esimese murru nimetajaga ja saame esimese lisateguri. LCM on arv 6 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 6 3-ga, saame 2.

Saadud arv 2 on esimene lisategur. Kirjutame selle esimese murruni. Selleks teeme murdosa kohale väikese kaldjoone ja kirjutame selle kohale leitud lisateguri:

Teeme sama teise murdosaga. Jagame LCM-i teise murru nimetajaga ja saame teise lisateguri. LCM on arv 6 ja teise murdosa nimetaja on arv 2. Jagage 6 2-ga, saame 3.

Saadud arv 3 on teine ​​lisategur. Kirjutame selle teise murdossa. Jällegi teeme teise murru kohale väikese kaldus joone ja kirjutame selle kohale leitud lisateguri:

Nüüd oleme kõik valmis lisama. Jääb üle korrutada murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:

Vaadake tähelepanelikult, milleni oleme jõudnud. Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada. Lõpetame selle näite lõpuni:

Sellega näide lõpeb. Lisamiseks selgub.

Proovime oma lahendust pildi abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsad, saate ühe terve pitsa ja veel kuuendiku pitsast:

Murdude taandamist samale (ühis)nimetajale saab kujutada ka pildi abil. Tuues murrud ja ühise nimetaja, saame murrud ja . Neid kahte fraktsiooni esindavad samad pitsalõigud. Ainus erinevus seisneb selles, et seekord jagatakse need võrdseteks osadeks (vähendatud samale nimetajale).

Esimesel joonisel on kujutatud murdosa (neli tükki kuuest) ja teisel pildil murdosa (kolm tükki kuuest). Neid tükke kokku pannes saame (seitse tükki kuuest). See murd on vale, seetõttu oleme selles täisarvu osa esile tõstnud. Tulemus oli (üks terve pitsa ja teine ​​kuues pitsa).

Pange tähele, et oleme selle näite liiga üksikasjalikult maalinud. Haridusasutustes pole kombeks nii detailselt kirjutada. Peate suutma kiiresti leida mõlema nimetaja ja nende lisategurite LCM-i, samuti kiiresti korrutama lugejate ja nimetajate abil leitud lisategurid. Koolis olles peaksime selle näite kirjutama järgmiselt:

Kuid on ka mündi teine ​​pool. Kui matemaatika õppimise esimestel etappidel üksikasjalikke märkmeid ei tehta, siis sedalaadi küsimused “Kust see arv tuleb?”, “Miks muutuvad murrud järsku täiesti erinevateks murdudeks? «.

Erinevate nimetajatega murdude lisamise hõlbustamiseks võite kasutada järgmisi samm-sammulisi juhiseid.

1. Leia murdude nimetajate LCM;
2. Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks täiendav kordaja;
3. Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega;
4. Lisa murrud, millel on samad nimetajad;
5. Kui vastus osutus valeks murdarvuks, valige selle osa;

Näide 2 Leidke avaldise väärtus .

Kasutame ülaltoodud juhiseid.

Samm 1. Leidke murdude nimetajate LCM

Leidke mõlema murru nimetajate LCM. Murdude nimetajad on numbrid 2, 3 ja 4

2. samm. Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks täiendav kordaja

Jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 2. Jagage 12 2-ga, saame 6. Saime esimese lisateguri 6. Kirjutame selle esimese murru peale:

Nüüd jagame LCM-i teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Saime teise lisateguri 4. Kirjutame selle teise murru peale:

Nüüd jagame LCM-i kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja kolmanda murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Saime kolmanda lisateguri 3. Kirjutame selle kolmanda murru peale:

3. samm. Korrutage murdude lugejad ja nimetajad lisateguritega

Korrutame lugejad ja nimetajad meie lisateguritega:

4. samm. Lisage samade nimetajatega murrud

Jõudsime järeldusele, et murrud, millel olid erinevad nimetajad, muutusid murdudeks, millel on samad (ühised) nimetajad. Jääb need fraktsioonid lisada. Kokku liitma:

Lisand ei mahtunud ühele reale, nii et teisaldasime ülejäänud avaldise järgmisele reale. See on matemaatikas lubatud. Kui avaldis ühele reale ei mahu, kantakse see üle järgmisele reale ning esimese rea lõppu ja uue rea algusesse tuleb panna võrdusmärk (=). Võrdsusmärk teisel real näitab, et see on esimesel real olnud avaldise jätk.

Samm 5. Kui vastus osutus valeks murdeks, siis valige selles kogu osa

Meie vastus on vale murd. Peame välja tooma kogu selle osa. Toome esile:

Sai vastuse

Samade nimetajatega murdude lahutamine

Murdarvu lahutamist on kahte tüüpi:

1. Samade nimetajatega murdude lahutamine
2. Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Esiteks õpime, kuidas lahutada samade nimetajatega murde. Siin on kõik lihtne. Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja samaks.

Näiteks leiame avaldise väärtuse. Selle näite lahendamiseks on vaja esimese murru lugejast lahutada teise murru lugeja ja nimetaja jätta muutmata. Teeme ära:

Seda näidet on lihtne mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 2 Leidke avaldise väärtus.

Jällegi lahutage esimese murru lugejast teise murru lugeja ja jätke nimetaja muutmata:

Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 3 Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Esimese murru lugejast peate lahutama ülejäänud murdude lugejad:

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude lahutamisel midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

1. Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja muutmata;
2. Kui vastus osutus valeks murdarvuks, peate valima selles kogu osa.

Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Näiteks võib murdosast lahutada murdosa, kuna nendel murdudel on samad nimetajad. Kuid murdosa ei saa murdosast lahutada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.

Ühine nimetaja leitakse sama põhimõtte järgi, mida kasutasime erinevate nimetajatega murdude liitmisel. Kõigepealt leidke mõlema murru nimetajate LCM. Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga ja saadakse esimene lisategur, mis kirjutatakse üle esimese murru. Samamoodi jagatakse LCM teise murru nimetajaga ja saadakse teine ​​lisategur, mis kirjutatakse teise murru peale.

Seejärel korrutatakse fraktsioonid nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusel muutuvad erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada.

Näide 1 Leidke avaldise väärtus:

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, seega peate need viima sama (ühise) nimetaja juurde.

Esiteks leiame mõlema murru nimetajate LCM-i. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 4. Nende arvude vähim ühiskordne on 12

LCM (3 ja 4) = 12

Nüüd tagasi murdude ja

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. Selleks jagame LCM-i esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Kirjutame nelja esimese murru peale:

Teeme sama teise murdosaga. Jagame LCM-i teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Kirjutage teise murru kohale kolmik:

Nüüd oleme kõik lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Lõpetame selle näite lõpuni:

Sai vastuse

Proovime oma lahendust pildi abil kujutada. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad.

See on lahenduse üksikasjalik versioon. Koolis olles peaksime selle näite lühemalt lahendama. Selline lahendus näeks välja järgmine:

Murdude ja ühisnimetaja taandamist saab kujutada ka pildi abil. Viies need murrud ühise nimetaja juurde, saame murrud ja . Neid murde esindavad samad pitsaviilud, kuid seekord jagatakse need samadeks murdudeks (vähendatud samale nimetajale):

Esimesel joonisel on kujutatud murdosa (kaheksa tükki kaheteistkümnest) ja teisel pildil murdosa (kolm tükki kaheteistkümnest). Kaheksast tükist kolm tükki ära lõigates saame kaheteistkümnest viis tükki. Murd kirjeldab neid viit tükki.

Näide 2 Leidke avaldise väärtus

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, seega peate need esmalt viima sama (ühise) nimetajani.

Leidke nende murdude nimetajate LCM.

Murdude nimetajateks on arvud 10, 3 ja 5. Nende arvude vähim ühiskordne on 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nüüd leiame iga murdosa jaoks täiendavaid tegureid. Selleks jagame LCM-i iga murdosa nimetajaga.

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. LCM on arv 30 ja esimese murru nimetaja on arv 10. Jagage 30 10-ga, saame esimese lisateguri 3. Kirjutame selle esimese murru peale:

Nüüd leiame teise murru jaoks lisateguri. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 30 3-ga, saame teise lisateguri 10. Kirjutame selle teise murru peale:

Nüüd leiame kolmanda murru jaoks lisateguri. Jagage LCM kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja kolmanda murru nimetaja on arv 5. Jagage 30 5-ga, saame kolmanda lisateguri 6. Kirjutame selle kolmanda murru peale:

Nüüd on kõik lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et murrud, millel olid erinevad nimetajad, muutusid murdudeks, millel on samad (ühised) nimetajad. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Lõpetame selle näite.

Näite jätk ei mahu ühele reale, seega liigume jätku järgmisele reale. Ärge unustage uuel real võrdusmärki (=):

Vastus osutus õigeks murdarvuks ja meile tundub, et kõik sobib, kuid see on liiga tülikas ja kole. Peaksime selle lihtsamaks tegema. Mida saaks teha? Saate seda osa vähendada.

Murru vähendamiseks peate jagama selle lugeja ja nimetaja (gcd) arvudega 20 ja 30.

Niisiis, leiame numbrite 20 ja 30 GCD:

Nüüd pöördume tagasi oma näite juurde ja jagame murdosa lugeja ja nimetaja leitud GCD-ga, see tähendab 10-ga

Sai vastuse

Murru korrutamine arvuga

Murru korrutamiseks arvuga peate korrutama antud murru lugeja selle arvuga ja jätma nimetaja samaks.

Näide 1. Korrutage murdarvuga 1.

Korrutage murdosa lugeja arvuga 1

Sisenemist võib mõista nii, et see võtab pool 1 korda. Näiteks kui võtate pizza 1 kord, saate pizza

Korrutamise seadustest teame, et kui kordajat ja kordajat vahetada, siis korrutis ei muutu. Kui avaldis on kirjutatud kujul , on korrutis ikkagi võrdne . Jällegi töötab täisarvu ja murdarvu korrutamise reegel:

Seda kirjet võib mõista nii, et see võtab poole ühikust. Näiteks kui on 1 terve pitsa ja me võtame sellest poole, siis saame pitsa:

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage murdosa lugeja 4-ga

Vastus on vale murd. Võtame sellest terve osa:

Väljendit võib mõista nii, et see võtab kaks veerandit 4 korda. Näiteks kui võtate pitsasid 4 korda, saate kaks tervet pitsat.

Ja kui vahetame kordaja ja kordaja kohad, saame avaldise. See on samuti võrdne 2-ga. Seda väljendit võib mõista nii, et neljast tervest pitsast võetakse kaks pitsat:

Murdude korrutamine

Murdude korrutamiseks peate korrutama nende lugejad ja nimetajad. Kui vastus on vale murd, peate valima selles kogu osa.

Näide 1 Leidke avaldise väärtus.

Sai vastuse. Soovitav on seda fraktsiooni vähendada. Murdu saab vähendada 2 võrra. Siis tehakse lõplik otsus järgmine vaade:

Väljendit võib mõista kui pizza võtmist poole pitsa pealt. Oletame, et meil on pool pitsat:

Kuidas sellest poolest kaks kolmandikku võtta? Kõigepealt peate selle poole jagama kolmeks võrdseks osaks:

Ja võtke nendest kolmest tükist kaks:

Toome pitsa. Pidage meeles, kuidas pitsa välja näeb, jagatud kolmeks osaks:

Üks viil sellest pitsast ja kahel meie võetud viilul on samad mõõtmed:

Teisisõnu, me räägime umbes sama suur pitsa. Seetõttu on avaldise väärtus

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:

Vastus on vale murd. Võtame sellest terve osa:

Näide 3 Leidke avaldise väärtus

Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:

Vastus osutus õigeks murdarvuks, kuid on hea, kui seda vähendada. Selle murdosa vähendamiseks peate jagama selle murru lugeja ja nimetaja arvude 105 ja 450 suurima ühisjagajaga (GCD).

Niisiis, leiame numbrite 105 ja 450 GCD:

Jagame nüüd leitud GCD vastuse lugeja ja nimetaja, st 15-ga

Täisarvu esitamine murruna

Mis tahes täisarvu saab esitada murdarvuna. Näiteks numbrit 5 saab esitada kui . Sellest alates ei muuda viis selle tähendust, kuna väljend tähendab "arv viis jagatud ühega" ja see, nagu teate, võrdub viiega:

Tagurpidi numbrid

Nüüd tutvume väga huvitava matemaatika teemaga. Seda nimetatakse "tagurpidi numbriteks".

Definitsioon. Tagurpidi numbrilea on arv, mis korrutatunaa annab ühiku.

Asendame selles definitsioonis muutuja asemel a number 5 ja proovige definitsiooni lugeda:

Tagurpidi numbrile 5 on arv, mis korrutatuna 5 annab ühiku.

Kas on võimalik leida arvu, mis 5-ga korrutades annab ühe? Selgub, et saate. Esitame viit murruna:

Seejärel korrutage see murdosa iseendaga, vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Teisisõnu, korrutame murdosa iseendaga, ainult ümberpööratult:

Mis on selle tulemus? Kui jätkame selle näite lahendamist, saame ühe:

See tähendab, et arvu 5 pöördväärtus on arv, sest kui 5 korrutada ühega, saadakse üks.

Pöördarvu võib leida ka mis tahes muu täisarvu jaoks.

Samuti saate leida pöördarvu mis tahes muu murru jaoks. Selleks piisab selle ümberpööramisest.

Murru jagamine arvuga

Oletame, et meil on pool pitsat:

Jagame selle kahe vahel võrdselt. Mitu pitsat igaüks saab?

On näha, et peale poole pitsa poolitamist saadi kaks võrdset tükki, millest igaüks moodustab pitsa. Nii et igaüks saab pitsa.

Murdude jagamine toimub pöördarvude abil. Pöördarvud võimaldavad asendada jagamise korrutamisega.

Murru jagamiseks arvuga peate selle murdosa korrutama jagaja pöördarvuga.

Seda reeglit kasutades paneme kirja meie poole pitsa jagamise kaheks osaks.

Seega peate murdosa jagama arvuga 2. Siin on dividend murdosa ja jagaja on 2.

Murru jagamiseks arvuga 2 peate selle murdosa korrutama jagaja 2 pöördarvuga. Jagaja 2 pöördarvuks on murd. Nii et peate korrutama

See artikkel on murdarvudega tehte üldine ülevaade. Siin sõnastame ja põhjendame liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ja murdude astmesse tõstmise reeglid üldkujul A/B, kus A ja B on mingid arvud, arvavaldised või muutujatega avaldised. Nagu tavaliselt, varustame materjali selgitavate näidetega koos üksikasjalike lahenduste kirjeldustega.

Leheküljel navigeerimine.

Üldkuju numbrimurdudega tehtete sooritamise reeglid

Leppime numbrites kokku üldine vaade mõista murde, milles lugejat ja/või nimetajat saab esitada mitte ainult naturaalarvud, aga ka muid numbreid või arvulisi avaldisi. Selguse huvides on siin mõned näited sellistest murdudest: .

Me teame reegleid, mille järgi. Samade reeglite järgi saate teha toiminguid üldvormi murdosadega:

Reeglite põhjendus

Üldiste arvuliste murdudega toimingute sooritamise reeglite kehtivuse põhjendamiseks võib alustada järgmistest punktidest:

• murdosa riba on sisuliselt jagamise märk,
• jagamist mõne nullist erineva arvuga võib pidada jagaja pöördarvuga korrutamiseks (see selgitab kohe reeglit murdude jagamine),
• reaalarvudega toimingute omadused,
• ja selle üldine arusaam,

Need võimaldavad teil teha järgmisi teisendusi, mis õigustavad samade ja erinevate nimetajatega murdude liitmise, lahutamise reegleid, samuti murdude korrutamise reeglit:

Näited

Toome näiteid üldise kuju murdudega toimingu sooritamisest eelmises lõigus õpitud reeglite järgi. Ütleme kohe, et tavaliselt pärast murdosadega tehte tegemist vajab saadud murd lihtsustamist ja murdosa lihtsustamise protsess on sageli keerulisem kui eelmiste toimingute sooritamine. Murdude lihtsustamisel ei peatu me pikemalt (vastavaid teisendusi käsitletakse artiklis Murdude teisendamine), et meid huvitavast teemast mitte kõrvale juhtida.

Alustame näidetega samade nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise kohta. Alustuseks lisame murrud ja . Ilmselt on nimetajad võrdsed. Vastava reegli järgi kirjutame üles murde, mille lugeja on võrdne algsete murdude lugejate summaga, ja jätame nimetaja samaks, meil on . Lisamine on tehtud, jääb üle saadud murdosa lihtsustamine: . Niisiis, .

Otsust oli võimalik teostada erineval viisil: esmalt minna üle tavalistele murdudele ja seejärel viia läbi liitmine. Selle lähenemisviisiga on meil .

Nüüd lahutage murdosast murdosa . Murdude nimetajad on võrdsed, seetõttu toimime samade nimetajatega murdude lahutamise reegli järgi:

Liigume edasi erinevate nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise näidete juurde. Peamine raskus seisneb siin murdude ühise nimetajani viimises. Üldvormi murdude puhul on see üsna ulatuslik teema, analüüsime seda üksikasjalikult eraldi artiklis. murdude taandamine ühise nimetajani. Nüüd piirdugem paariga üldised soovitused, kuna hetkel huvitab meid rohkem murdarvudega toimingute sooritamise tehnika.

Üldiselt sarnaneb protsess harilike murdude ühiseks nimetajaks taandamisega. See tähendab, et nimetajad esitatakse korrutistena, seejärel võetakse kõik esimese murru nimetaja tegurid ja lisatakse neile teise murru nimetajast puuduvad tegurid.

Kui liidetud või lahutatud murdude nimetajatel ei ole ühiseid tegureid, siis on loogiline võtta nende korrutis ühisnimetajaks. Võtame näite.

Oletame, et peame lisama murde ja 1/2. Siin on ühise nimetajana loogiline võtta algmurdude nimetajate korrutis ehk . Sel juhul on esimese murru lisategur 2 . Pärast lugeja ja nimetaja korrutamist sellega saab murru kuju . Ja teise murru puhul on lisategur avaldis. Tema abiga taandatakse fraktsioon 1/2 vormile. Jääb üle lisada samade nimetajatega saadud murrud. Siin on kogu lahenduse kokkuvõte:

Üldkuju murdude puhul ei räägita enam vähimast ühisnimetajast, millele harilikud murded tavaliselt taandatakse. Kuigi selles küsimuses on siiski soovitav püüelda minimalismi poole. Sellega tahame öelda, et ei ole vaja kohe algmurdude nimetajate korrutist ühiseks nimetajaks võtta. Näiteks pole üldse vaja võtta murdude ja korrutise ühist nimetajat . Siin võib ühise nimetajana võtta .

Vaatame näiteid üldkuju murdude korrutamisest. Korrutage murrud ja . Selle toimingu sooritamise reegel käsib meil üles kirjutada murd, mille lugeja on algsete murdude lugejate korrutis ja nimetaja nimetajate korrutis. Meil on . Siin, nagu paljudel muudel juhtudel murdude korrutamisel, saate murdosa vähendada: .

Murdude jagamise reegel võimaldab liikuda jagamiselt pöördarvuga korrutamisele. Siin peate meeles pidama, et antud murdarvu pöördarvu saamiseks peate vahetama selle murru lugeja ja nimetaja. Siin on näide üleminekust üldiste murdude jagamiselt korrutamisele: . Jääb teha korrutamine ja saadud murdosa lihtsustamine (vajadusel vaadake irratsionaalsete avaldiste teisendust):

Selle lõigu infot lõpetuseks tuletame meelde, et mis tahes arvu või arvavaldist saab esitada murdena nimetajaga 1, mistõttu võib arvu ja murdosa liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist käsitleda vastava toimingu sooritamisena. murrud, millest ühes on nimetajas ühik . Näiteks avaldises asendamine kolme murru juure, jätkame murdarvu korrutamisest arvuga kahe murru korrutamiseni: .

Toimingute sooritamine muutujaid sisaldavate murdudega

Selle artikli esimese osa reeglid kehtivad ka muutujaid sisaldavate murdudega toimingute tegemisel. Põhjendagem neist esimest - samade nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise reegel, ülejäänud tõestatakse täpselt samamoodi.

Tõestame, et iga avaldise A , C ja D korral (D on identselt nullist erinev) on meil võrdsus muutujate vastuvõetavate väärtuste vahemikus.

Võtame mõne muutujate komplekti ODZ-st. Olgu avaldised A , C ja D nende muutujate väärtuste jaoks väärtused a 0 , c 0 ja d 0. Seejärel muudab valitud hulga muutujate väärtuste asendamine avaldisega selle vormi samade nimetajatega arvuliste murdude summaks (erinevuseks), mis vastavalt numbriliste murdude liitmise (lahutamise) reeglile samad nimetajad, on võrdne . Kuid valitud komplekti muutujate väärtuste asendamine avaldisega muudab selle samaks murruks. See tähendab, et ODZ-st valitud muutujaväärtuste komplekti puhul on avaldiste ja väärtused võrdsed. On selge, et näidatud avaldiste väärtused on võrdsed mis tahes muu ODZ muutujate väärtuste komplekti korral, mis tähendab, et avaldised ja on identselt võrdsed, see tähendab, et tõestatav võrdsus on tõene .

Näited muutujatega murdude liitmisest ja lahutamisest

Kui liidetavate või lahutatavate murdude nimetajad on samad, on kõik üsna lihtne - lugejad liidetakse või lahutatakse ja nimetaja jääb samaks. On selge, et pärast seda saadud murdosa lihtsustatakse vajadusel ja võimalusel.

Pange tähele, et mõnikord erinevad murdude nimetajad ainult esmapilgul, kuid tegelikult on need identselt võrdsed avaldised, nagu näiteks ja , või ja . Ja mõnikord piisab esialgsete murdude lihtsustamisest, nii et nende identsed nimetajad "ilmuksid".

Näide.

, b) , V) .

Lahendus.

a) Peame lahutama samade nimetajatega murrud. Vastava reegli järgi jätame nimetaja samaks ja lahutame lugejad, meil on . Toiming tehtud. Kuid saate siiski avada lugejas olevad sulud ja tuua sarnased terminid: .

b) Ilmselgelt on liidetud murdude nimetajad samad. Seetõttu lisame lugejad ja jätame nimetaja samaks: . Lisamine lõpetatud. Kuid on lihtne näha, et saadud murdosa saab vähendada. Tõepoolest, saadud murru lugejat saab vähendada summa ruudu võrra (lgx+2) 2 (vt lühendatud korrutusvalemeid), mistõttu toimuvad järgmised teisendused: .

c) Murrud summas on erinevad nimetajad. Kuid teisendades ühe murdu, saate jätkata samade nimetajatega murdude lisamist. Näitame kahte lahendust.

Esimene viis. Esimese murru nimetaja saab arvutada ruutude erinevuse valemi abil ja seejärel seda murdosa vähendada: . Seega,. Ei tee paha vabaneda irratsionaalsusest murdosa nimetajas: .

Teine viis. Teise murru lugeja ja nimetaja korrutamine (see avaldis ei kao ühegi muutuja x väärtuse puhul algse avaldise DPV-st) võimaldab saavutada korraga kaks eesmärki: vabaneda irratsionaalsusest ja liikuda edasi liitmise juurde. samade nimetajatega murrud. Meil on

Vastus:

A) , b) , V) .

Viimane näide viis meid murdude ühise nimetajani viimise küsimuseni. Seal jõudsime peaaegu kogemata samade nimetajateni, lihtsustades ühte lisatud murdu. Kuid enamasti tuleb erinevate nimetajatega murdude liitmisel ja lahutamisel murded sihipäraselt ühise nimetajani viia. Selleks esitatakse murdude nimetajad tavaliselt korrutistena, kõik tegurid võetakse esimese murru nimetajast ja neile liidetakse teise murru nimetajast puuduvad tegurid.

Näide.

Teostage toiminguid murdudega: a) , b) , c) .

Lahendus.

a) Murdude nimetajatega pole vaja midagi ette võtta. Ühisnimetajaks võtame toote . Sel juhul on esimese murru lisategur avaldis ja teise murru puhul arv 3. Need täiendavad tegurid toovad murrud ühise nimetaja juurde, mis võimaldab meil teha vajalikke toiminguid.

b) Selles näites on nimetajad juba esitatud toodetena ja täiendavaid teisendusi pole vaja. Ilmselt erinevad nimetajates olevad tegurid ainult eksponentide poolest, seetõttu võtame ühise nimetajana suurimate astendajatega tegurite korrutise, st. . Siis on esimese murru lisategur x 4 ja teise puhul - ln(x+1) . Nüüd oleme valmis murrud lahutama:

c) Ja sel juhul töötame alustuseks murdude nimetajatega. Ruudude ja summa ruudu erinevuse valemid võimaldavad teil minna algsummalt avaldisele . Nüüd on selge, et neid murde saab taandada ühiseks nimetajaks . Selle lähenemisviisi korral näeb lahendus välja järgmine:

Vastus:

A)

b)

V)

Näited murdude korrutamisest muutujatega

Murdude korrutamine annab murdosa, mille lugeja on algsete murdude lugejate korrutis ja nimetaja nimetajate korrutis. Siin, nagu näete, on kõik tuttav ja lihtne ning võime ainult lisada, et selle toimingu tulemusel saadud murdosa väheneb sageli. Nendel juhtudel seda vähendatakse, välja arvatud juhul, kui see on loomulikult vajalik ja põhjendatud.

Murd- arvude esitusviis matemaatikas. Kaldkriips näitab jagamise operatsiooni. lugeja murdosa nimetatakse dividendiks ja nimetaja- jagaja. Näiteks murdosas on lugeja 5 ja nimetaja 7.

Õige Murdu kutsutakse, kui lugeja moodul on suurem kui nimetaja moodul. Kui murd on õige, siis on selle väärtuse moodul alati väiksem kui 1. Kõik ülejäänud murrud on vale.

Murdu nimetatakse segatud, kui see on kirjutatud täisarvu ja murruna. See on sama, mis selle arvu ja murdosa summa:

Murru põhiomadus

Kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada sama arvuga, siis murdu väärtus ei muutu, see tähendab nt.

Murdude viimine ühisele nimetajale

Kahe murru ühise nimetaja saamiseks vajate:

1. Korrutage esimese murru lugeja teise nimetajaga
2. Korrutage teise murru lugeja esimese nimetajaga
3. Asendage mõlema murru nimetajad nende korrutisega

Tegevused murdarvudega

Lisand. Kahe fraktsiooni lisamiseks vajate

1. Lisage mõlema murru uued lugejad ja jätke nimetaja muutmata

Näide:

Lahutamine.Ühe murdosa teisest lahutamiseks,

1. Vii murrud ühise nimetaja juurde
2. Lahutage esimese murru lugejast teise murru lugeja ja jätke nimetaja muutmata

Näide:

Korrutamine. Murru korrutamiseks teisega korrutage nende lugejad ja nimetajad:

Jaoskond.Ühe murdosa jagamiseks teisega korrutage esimese murru lugeja teise nimetajaga ja korrutage esimese murru nimetaja teise murdosa lugejaga: