הישר העובר דרך הנקודה K(x 0; y 0) ומקביל לישר y = kx + a נמצא בנוסחה:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

כאשר k הוא השיפוע של הקו הישר.

נוסחה חלופית:
הישר העובר דרך הנקודה M 1 (x 1 ; y 1) ומקביל לישר Ax+By+C=0 מיוצג על ידי המשוואה

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

כתוב את המשוואה של ישר העובר דרך הנקודה K( ;) במקביל לישר y = x + .

דוגמה מס' 1. חבר את המשוואה של ישר העובר דרך הנקודה M 0 (-2.1) ובו זמנית:
א) מקביל לישר 2x+3y -7 = 0;
ב) בניצב לישר 2x+3y -7 = 0.
פִּתָרוֹן . הבה נציג את משוואת השיפוע כ- y = kx + a . לשם כך, אנו מעבירים את כל הערכים למעט y ל צד ימין: 3y = -2x + 7 . ואז נחלק את הצד הימני במקדם 3. נקבל: y = -2/3x + 7/3
מצא את המשוואה NK העוברת דרך הנקודה K(-2;1) במקביל לישר y = -2 / 3 x + 7 / 3
החלפת x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 נקבל:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
אוֹ
y = -2 / 3 x - 1 / 3 או 3y + 2x +1 = 0

דוגמה מס' 2. כתבו את משוואת הישר המקביל לישר 2x + 5y = 0 ויוצרים יחד עם צירי הקואורדינטות משולש ששטחו 5.
פִּתָרוֹן . מכיוון שהקווים מקבילים, משוואת הישר הנדרש היא 2x + 5y + C = 0. שטח משולש ישר זווית, כאשר a ו-b הם רגליו. מצא את נקודות החיתוך של הישר הרצוי עם צירי הקואורדינטות:
;
.
אז, A(-C/2,0), B(0,-C/5). תחליף בנוסחה לאזור: . נקבל שני פתרונות: 2x + 5y + 10 = 0 ו-2x + 5y - 10 = 0 .

דוגמה מס' 3. כתוב את משוואת הישר העובר בנקודה (-2; 5) ואת הישר המקביל 5x-7y-4=0 .
פִּתָרוֹן. קו ישר זה יכול להיות מיוצג על ידי המשוואה y = 5/7 x – 4/7 (כאן a = 5/7). המשוואה של הקו הרצוי היא y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), כלומר. 7(y-5)=5(x+2) או 5x-7y+45=0 .

דוגמה מס' 4. פתרון דוגמה 3 (A=5, B=-7) באמצעות נוסחה (2), נמצא 5(x+2)-7(y-5)=0.

דוגמה מספר 5. כתוב את המשוואה של ישר העובר בנקודה (-2;5) וקו ישר מקביל 7x+10=0.
פִּתָרוֹן. כאן A=7, B=0. נוסחה (2) נותנת 7(x+2)=0, כלומר. x+2=0. נוסחה (1) אינה ישימה, מכיוון שלא ניתן לפתור משוואה זו ביחס ל-y (הקו הישר הזה מקביל לציר ה-y).

תנו שתי נקודות M 1 (x 1, y 1)ו M 2 (x 2, y 2). אנו כותבים את המשוואה של ישר בצורה (5), שם קמקדם לא ידוע עדיין:

מאז הנקודה M 2שייך לישר נתון, אז הקואורדינטות שלו עומדות במשוואה (5): . ביטוי מכאן והחלפה במשוואה (5), נקבל את המשוואה הרצויה:

אם ניתן לשכתב את המשוואה הזו בצורה שקל יותר לזכור:

(6)

דוגמא.כתוב את המשוואה של ישר העובר דרך הנקודות M 1 (1.2) ו-M 2 (-2.3)

פִּתָרוֹן. . באמצעות תכונת הפרופורציה, וביצוע הטרנספורמציות הנחוצות, אנו מקבלים את המשוואה הכללית של קו ישר:

זווית בין שני קווים

שקול שני קווים l 1ו l 2:

l 1: , , ו

l 2: , ,

φ היא הזווית ביניהם (). איור 4 מציג: .

מכאן , או

באמצעות נוסחה (7), ניתן לקבוע את אחת מהזוויות בין הקווים. הזווית השנייה היא .

דוגמא. שני ישרים ניתנים על ידי המשוואות y=2x+3 ו-y=-3x+2. מצא את הזווית בין הקווים הללו.

פִּתָרוֹן. ניתן לראות מהמשוואות כי k 1 \u003d 2, ו- k 2 \u003d-3. החלפת ערכים אלה בנוסחה (7), אנו מוצאים

. אז הזווית בין הקווים האלה היא .

תנאים להקבלה ולניצב של שני קווים

אם ישר l 1ו l 2מקבילים, אם כן φ=0 ו tgφ=0. מהנוסחה (7) עולה כי, מנין k 2 \u003d k 1. לפיכך, התנאי להקבלה של שני קווים הוא שוויון המדרונות שלהם.

אם ישר l 1ו l 2מאונך, אם כן φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . לפיכך, התנאי לכך ששני קווים ישרים יהיו מאונכים הוא שהשיפועים שלהם הם הדדיים בגודלם ומנוגדים בסימן.

מרחק מנקודה לקו

מִשׁפָּט. אם ניתנת נקודה M(x 0, y 0), אז המרחק לישר Ax + Vy + C \u003d 0 מוגדר כ

הוכחה. תן לנקודה M 1 (x 1, y 1) להיות הבסיס של האנך שירד מהנקודה M לישר הנתון. ואז המרחק בין נקודות M ו-M 1:

ניתן למצוא את הקואורדינטות x 1 ו-y 1 כפתרון למערכת המשוואות:

המשוואה השנייה של המערכת היא משוואת קו ישר העובר דרכו נקודה נתונה M 0 מאונך לישר נתון.

אם נהפוך את המשוואה הראשונה של המערכת לצורה:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ואז, בפתרון, נקבל:

החלפת ביטויים אלה במשוואה (1), אנו מוצאים:

המשפט הוכח.

דוגמא.קבע את הזווית בין הקווים: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.

דוגמא.הראה שהקווים 3x - 5y + 7 = 0 ו- 10x + 6y - 3 = 0 מאונכים.

אנו מוצאים: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, לכן, הקווים מאונכים.

דוגמא.נתונים קודקודי המשולש A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). מצא את המשוואה לגובה המצויר מקודקוד C.

נמצא את משוואת הצלע AB: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

משוואת הגובה הרצויה היא: Ax + By + C = 0 או y = kx + b.

k= . ואז y = . כי הגובה עובר דרך נקודה C, ואז הקואורדינטות שלו מספקות את המשוואה הזו: משם b \u003d 17. סך הכל: .

תשובה: 3x + 2y - 34 = 0.

המרחק מנקודה לישר נקבע לפי אורך האנך שירד מהנקודה לישר.

אם הקו מקביל למישור ההקרנה (ח | | P 1), ואז על מנת לקבוע את המרחק מהנקודה אישר חיש צורך להוריד מאונך מהנקודה אלאופקי ח.

שקול יותר דוגמה מורכבתכאשר הקו תופס עמדה כללית. שיהיה צורך לקבוע את המרחק מהנקודה Mישר אעמדה כללית.

משימת הגדרה מרחקים בין קווים מקביליםנפתר בדומה לקודם. נלקחת נקודה על ישר אחד, וממנה נמשך מאונך לישר אחר. אורך הניצב שווה למרחק בין הקווים המקבילים.

עקומה מהסדר השניהוא קו המוגדר על ידי משוואה מהמעלה השנייה ביחס לקואורדינטות הקרטזיות הנוכחיות. IN מקרה כללי Axe 2 + 2Vxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

כאשר A, B, C, D, E, F הם מספרים ממשיים ולפחות אחד מהמספרים A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

מעגל

מרכז מעגל- זהו מוקד הנקודות במישור במרחק שווה מנקודת המישור C (א, ב).

המעגל ניתן על ידי המשוואה הבאה:

כאשר x, y הן הקואורדינטות של נקודה שרירותית במעגל, R הוא רדיוס המעגל.

סימן של משוואת המעגל

1. אין איבר עם x, y

2. מקדמים ב-x 2 ו- y 2 שווים

אֶלִיפְּסָה

אֶלִיפְּסָהמוקד הנקודות במישור נקרא, סכום המרחקים של כל אחת מהן משתי נקודות נתונות של מישור זה נקרא מוקדים (ערך קבוע).

משוואה קנונית של אליפסה:

X ו-y שייכים לאליפסה.

a הוא הציר המרכזי של האליפסה

b הוא הציר המשני של האליפסה

לאליפסה יש 2 צירים של סימטריה OX ו-OY. צירי הסימטריה של האליפסה הם הצירים שלה, נקודת החיתוך שלהם היא מרכז האליפסה. הציר שעליו נמצאים המוקדים נקרא ציר מוקד. נקודת החיתוך של האליפסה עם הצירים היא קודקוד האליפסה.

יחס דחיסה (מתיחה): ε = c/a- אקסצנטריות (מאפיינת את צורת האליפסה), ככל שהיא קטנה יותר, כך האליפסה מתארכת פחות לאורך ציר המוקד.

אם מרכזי האליפסה אינם במרכז С(α, β)

הִיפֵּרבּוֹלָה

הַגזָמָההנקרא מוקד הנקודות במישור, הערך המוחלט של הפרש המרחקים, שכל אחת מהן משתי נקודות נתונות של מישור זה, הנקראות מוקדים, היא ערך קבוע השונה מאפס.

משוואה קנונית של היפרבולה

להיפרבולה יש 2 צירים של סימטריה:

a - חצי ציר אמיתי של סימטריה

b - חצי ציר סימטריה דמיוני

אסימפטוטים של היפרבולה:

פָּרַבּוֹלָה

פָּרַבּוֹלָההוא מוקד הנקודות במישור שנמצא במרחק שווה מנקודה נתונה F, הנקראת מוקד, וקו נתון, הנקרא כיוון.

משוואת פרבולות קנונית:

Y 2 \u003d 2px, כאשר p הוא המרחק מהמוקד לכיוון (פרמטר פרבולה)

אם קודקוד הפרבולה הוא C (α, β), אז משוואת הפרבולה (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

אם ציר המוקד נלקח כציר y, אזי משוואת הפרבולה תקבל את הצורה: x 2 \u003d 2qy

הַגדָרָה.כל קו במישור יכול להינתן על ידי משוואה מסדר ראשון

Ah + Wu + C = 0,

והקבועים A,B אינם שווים לאפס בו-זמנית. משוואת הסדר הראשון הזו נקראת המשוואה הכללית של קו ישר.תלוי בערכים קבוע A,Bו-C, המקרים המיוחדים הבאים אפשריים:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - הקו עובר דרך המוצא

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - הקו מקביל לציר השור

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Axe + C \u003d 0) - הקו מקביל לציר Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - הקו הישר עולה בקנה אחד עם ציר Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - הקו הישר עולה בקנה אחד עם ציר השור

ניתן לייצג את המשוואה של קו ישר ב צורות שונותבהתאם לכל תנאי התחלה נתון.

משוואת ישר בנקודה ווקטור נורמלי

הַגדָרָה.במערכת קואורדינטות מלבנית קרטזית, וקטור עם רכיבים (A, B) מאונך לישר, נתון על ידי המשוואה Ah + Wu + C = 0.

דוגמא. מצא את המשוואה של ישר העובר דרך הנקודה A(1, 2) בניצב ל-(3, -1).

פִּתָרוֹן. ב-A = 3 ו-B = -1, נרכיב את המשוואה של ישר: 3x - y + C = 0. כדי למצוא את מקדם C, נחליף את הקואורדינטות של נקודה A הנתונה בביטוי המתקבל: 3 - 2 + C = 0, לכן, C = -1. סך הכל: המשוואה הרצויה: 3x - y - 1 \u003d 0.

משוואת הישר העובר בשתי נקודות

תנו שתי נקודות M 1 (x 1, y 1, z 1) ו-M 2 (x 2, y 2, z 2) ניתנות ברווח, ואז משוואת הישר העובר בנקודות אלו:

אם כל אחד מהמכנים שווה לאפס, יש להגדיר את המונה המתאים לאפס. במישור, משוואת הישר הכתובה לעיל מפושטת:

אם x 1 ≠ x 2 ו-x = x 1 אם x 1 = x 2.

נקרא שבר = k גורם שיפועיָשָׁר.

דוגמא. מצא את המשוואה של ישר העובר בנקודות A(1, 2) ו-B(3, 4).

פִּתָרוֹן.יישום הנוסחה לעיל, נקבל:

משוואת ישר מנקודה ומשיפוע

אם סך Ax + Wu + C = 0 מובילים לטופס:

ולקבוע , ואז נקראת המשוואה המתקבלת משוואת קו ישר עם שיפועק.

משוואת ישר עם וקטור נקודה וכיוון

באנלוגיה לנקודה בהתחשב במשוואה של ישר דרך הווקטור הרגיל, אתה יכול להזין את ההקצאה של ישר דרך נקודה ווקטור מכוון של ישר.

הַגדָרָה.כל וקטור שאינו אפס (α 1, α 2), שמרכיביו מקיימים את התנאי A α 1 + B α 2 = 0 נקרא הווקטור המכוון של הקו

Ah + Wu + C = 0.

דוגמא. מצא את המשוואה של ישר עם וקטור כיוון (1, -1) ועובר דרך נקודה A(1, 2).

פִּתָרוֹן.נחפש את משוואת הישר הרצוי בצורה: Ax + By + C = 0. בהתאם להגדרה על המקדמים לעמוד בתנאים:

1 * A + (-1) * B = 0, כלומר. א = ב.

אז למשוואה של ישר יש את הצורה: Ax + Ay + C = 0, או x + y + C / A = 0. עבור x = 1, y = 2 נקבל C / A = -3, כלומר. המשוואה הרצויה:

משוואת ישר בקטעים

אם במשוואה הכללית של הישר Ah + Wu + C = 0 C≠0, אז, לחלק ב-C, נקבל: אוֹ

המשמעות הגיאומטרית של המקדמים היא שהמקדם אהיא הקואורדינטה של ​​נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-x, ו ב- הקואורדינטה של ​​נקודת החיתוך של הקו הישר עם ציר Oy.

דוגמא.בהינתן המשוואה הכללית של הישר x - y + 1 = 0. מצא את המשוואה של הישר הזה בקטעים.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

משוואה נורמלית של קו ישר

אם שני הצדדים של המשוואה Ax + Vy + C = 0 מוכפלים במספר , שנקרא גורם מנרמל, אז אנחנו מקבלים

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

משוואה נורמלית של קו ישר. יש לבחור את הסימן ± של הגורם המנרמל כך ש- μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

דוגמא. בהינתן המשוואה הכללית של הישר 12x - 5y - 65 \u003d 0. יש צורך לכתוב סוגים שוניםמשוואות של קו זה.

המשוואה של הישר הזה בקטעים:

המשוואה של הישר הזה עם השיפוע: (חלק ב-5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

יש לציין שלא כל ישר יכול להיות מיוצג על ידי משוואה בקטעים, למשל ישרים מקבילים לצירים או עוברים דרך המוצא.

דוגמא. הקו הישר חותך מקטעים חיוביים שווים בצירי הקואורדינטות. כתוב את המשוואה של ישר אם שטח המשולש שנוצר על ידי קטעים אלה הוא 8 ס"מ 2.

פִּתָרוֹן.למשוואת הישר יש את הצורה: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

דוגמא. כתוב את משוואת הישר העובר בנקודה A (-2, -3) ואת המוצא.

פִּתָרוֹן. למשוואה של ישר יש את הצורה: , כאשר x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

זווית בין קווים במישור

הַגדָרָה.אם ניתן לשני קווים y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , אז פינה חדהבין שורות אלו יוגדרו כ

.

שני קווים מקבילים אם k 1 = k 2. שני קווים מאונכים אם k 1 = -1/ k 2 .

מִשׁפָּט.הקווים הישרים Ax + Vy + C \u003d 0 ו-A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 מקבילים כאשר המקדמים A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB הם פרופורציונליים. אם גם С 1 = λС, אז הקווים חופפים. הקואורדינטות של נקודת החיתוך של שני ישרים נמצאות כפתרון למערכת המשוואות של ישרים אלו.

משוואת ישר העובר דרך נקודה נתונה בניצב לישר נתון

הַגדָרָה.הקו העובר דרך הנקודה M 1 (x 1, y 1) ומאונך לישר y \u003d kx + b מיוצג על ידי המשוואה:

מרחק מנקודה לקו

מִשׁפָּט.אם ניתנת נקודה M(x 0, y 0), אז המרחק לישר Ax + Vy + C \u003d 0 מוגדר כ

.

הוכחה.תן לנקודה M 1 (x 1, y 1) להיות הבסיס של האנך שירד מהנקודה M לישר הנתון. ואז המרחק בין נקודות M ו-M 1:

(1)

ניתן למצוא את הקואורדינטות x 1 ו-y 1 כפתרון למערכת המשוואות:

המשוואה השנייה של המערכת היא משוואת ישר העובר דרך נקודה נתונה M 0 בניצב לישר נתון. אם נהפוך את המשוואה הראשונה של המערכת לצורה:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ואז, בפתרון, נקבל:

החלפת ביטויים אלה במשוואה (1), אנו מוצאים:

המשפט הוכח.

דוגמא. קבע את הזווית בין הקווים: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

דוגמא. הראה שהקווים 3x - 5y + 7 = 0 ו- 10x + 6y - 3 = 0 מאונכים.

פִּתָרוֹן. אנו מוצאים: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, לכן, הקווים מאונכים.

דוגמא. נתונים קודקודי המשולש A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). מצא את המשוואה לגובה המצויר מקודקוד C.

פִּתָרוֹן. נמצא את המשוואה של הצלע AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

משוואת הגובה הרצויה היא: Ax + By + C = 0 או y = kx + b. k = . ואז y = . כי הגובה עובר דרך נקודה C, ואז הקואורדינטות שלו מקיימות את המשוואה הזו: מנין b = 17. סך הכל:.

תשובה: 3x + 2y - 34 = 0.

משוואת קו ישר במישור.
וקטור הכיוון ישר. וקטור רגיל

קו ישר במישור הוא אחד הפשוטים ביותר צורות גיאומטריות, המוכר לכם מאז כיתות היסוד, והיום נלמד כיצד להתמודד עמו בשיטות הגיאומטריה האנליטית. כדי לשלוט בחומר, יש צורך להיות מסוגל לבנות קו ישר; לדעת איזו משוואה מגדירה ישר, בפרט, ישר העובר דרך המוצא וישרים מקבילים לצירי הקואורדינטות. המידע הזהניתן למצוא במדריך גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיות, יצרתי אותו עבור מתן, אבל הקטע על פונקציה לינאריתהתברר כמוצלח מאוד ומפורט. לכן, קנקני תה יקרים, קודם כל התחממו שם. בנוסף, אתה צריך ידע בסיסי O וקטוריםאחרת ההבנה של החומר לא תהיה שלמה.

בשיעור זה נבחן דרכים בהן ניתן לכתוב משוואת ישר במישור. אני ממליץ לא להזניח דוגמאות מעשיות (גם אם זה נראה מאוד פשוט), שכן אספק להן אלמנטים ואלמנטים. עובדות חשובות, שיטות טכניות שיידרשו בעתיד, כולל בסעיפים אחרים של מתמטיקה גבוהה יותר.

• איך כותבים את המשוואה של ישר עם שיפוע?
• איך?
• כיצד למצוא את וקטור הכיוון על ידי המשוואה הכללית של ישר?
• איך כותבים משוואה של ישר בהינתן נקודה ווקטור נורמלי?

ואנחנו מתחילים:

משוואת קו עם שיפוע

צורת ה"אסכולה" הידועה של משוואת הישר נקראת משוואת קו ישר עם שיפוע. לדוגמה, אם קו ישר ניתן במשוואה, אז השיפוע שלו: . שקול את המשמעות הגאומטרית של מקדם זה וכיצד ערכו משפיע על מיקום הקו:

במהלך הגיאומטריה מוכח ש השיפוע של הקו הישר הוא טנגנס של זוויתבין כיוון ציר חיוביונתון שורה: , והפינה "מוברגת" נגד כיוון השעון.

כדי לא לבלבל את הציור, ציירתי זוויות לשני קווים ישרים בלבד. קחו בחשבון את הקו הישר ה"אדום" ואת השיפוע שלו. לפי האמור לעיל: (זווית "אלפא" מסומנת בקשת ירוקה). עבור הקו הישר ה"כחול" עם השיפוע, השוויון נכון (הזווית "ביתא" מסומנת על ידי הקשת החומה). ואם המשיק של הזווית ידוע, אז במידת הצורך קל למצוא אותו והפינהבאמצעות הפונקציה ההפוכה - arc tangent. כמו שאומרים, טבלה טריגונומטרית או מחשבון ביד. לכן, השיפוע מאפיין את מידת הנטייה של הקו הישר לציר ה-x.

יחד עם זאת, זה אפשרי המקרים הבאים:

1) אם השיפוע שלילי: , אז הקו, בערך, הולך מלמעלה למטה. דוגמאות הן קווים ישרים "כחול" ו"ארגמן" בציור.

2) אם השיפוע חיובי: , אז הקו עובר מלמטה למעלה. דוגמאות הן קווים ישרים "שחורים" ו"אדומים" בציור.

3) אם השיפוע שווה לאפס: , אז המשוואה לובשת את הצורה , והקו המתאים מקביל לציר. דוגמה לכך היא הקו ה"צהוב".

4) למשפחה של ישרים מקבילים לציר (אין דוגמה בשרטוט, מלבד הציר עצמו), השיפוע לא קיים (מגע של 90 מעלות לא מוגדר).

ככל שמודולו השיפוע גדול יותר, כך תלול גרף הקו.

לדוגמה, שקול שני קווים ישרים. כאן, אז לקו הישר יש שיפוע תלול יותר. אני מזכיר לך שהמודול מאפשר לך להתעלם מהשלט, אנחנו מעוניינים רק ערכים מוחלטיםמקדמים זוויתיים.

בתורו, קו ישר תלול יותר מקווים ישרים. .

להיפך: ככל שמודולו השיפוע קטן יותר, הקו הישר שטוח יותר.

לקווים ישרים אי השוויון נכון, לכן, הקו הישר הוא יותר מחופה. מגלשה לילדים, כדי לא לשתול חבורות ובליטות.

למה זה נחוץ?

הארך את הייסורים שלך ידיעת העובדות לעיל מאפשרת לך לראות מיד את הטעויות שלך, במיוחד שגיאות בעת ציור גרפים - אם הציור התברר "ברור שמשהו לא בסדר". רצוי שת מידהיה ברור, למשל, קו ישר הוא תלול מאוד ועובר מלמטה למעלה, וקו ישר הוא שטוח מאוד, קרוב לציר ועובר מלמעלה למטה.

בבעיות גיאומטריות מופיעים לעתים קרובות כמה קווים ישרים, ולכן נוח לציין אותם איכשהו.

סִמוּן: קווים ישרים מסומנים באותיות לטיניות קטנות: . אפשרות פופולרית היא ייעודה של אותה מכתב עם מנויים טבעיים. לדוגמה, ניתן לסמן את חמשת הקווים שחשבנו זה עתה .

מכיוון שכל קו ישר נקבע באופן ייחודי על ידי שתי נקודות, ניתן לסמן אותו על ידי נקודות אלה: וכו ' הסימון בהחלט מרמז שהנקודות שייכות לקו.

הגיע הזמן להשתחרר קצת:

איך כותבים את המשוואה של ישר עם שיפוע?

אם ידועה נקודה השייכת לישר מסוים, ואת השיפוע של הישר הזה, אזי המשוואה של הישר הזה באה לידי ביטוי בנוסחה:

דוגמה 1

חבר את המשוואה של ישר עם שיפוע אם ידוע שהנקודה שייכת לישר זה.

פִּתָרוֹן: נרכיב את המשוואה של ישר לפי הנוסחה . במקרה הזה:

תשובה:

בְּדִיקָהמבוצע באופן יסודי. ראשית, אנו מסתכלים על המשוואה המתקבלת ומוודאים שהשיפוע שלנו במקומו. שנית, הקואורדינטות של הנקודה חייבות לעמוד במשוואה הנתונה. בואו נחבר אותם למשוואה:

מתקבל השוויון הנכון, כלומר הנקודה עומדת במשוואה המתקבלת.

סיכום: המשוואה נמצאה כהלכה.

דוגמה מסובכת יותר לפתרון עשה זאת בעצמך:

דוגמה 2

כתוב את המשוואה של ישר אם ידוע שזווית הנטייה שלו לכיוון החיובי של הציר היא , והנקודה שייכת לישר זה.

אם יש לך קשיים, קרא שוב את החומר התיאורטי. ליתר דיוק, יותר מעשית, חסרות לי הוכחות רבות.

צלצל השיחה האחרונה, מסיבת הסיום דעכה, ומאחורי שערי בית הספר הילידים שלנו, למעשה, מחכה לנו גיאומטריה אנליטית. נגמרו הבדיחות... אולי זה רק מתחיל =)

בנוסטלגיה אנחנו מניפים את הידית למוכר ומתוודעים למשוואה הכללית של קו ישר. מכיוון שבגיאומטריה אנליטית זה בדיוק בשימוש:

למשוואה הכללית של ישר יש את הצורה: , איפה יש מספרים. במקביל, המקדמים בּוֹ זְמַנִיתאינם שווים לאפס, מכיוון שהמשוואה מאבדת את משמעותה.

בואו נתלבש בחליפה ונקשר משוואה עם שיפוע. ראשית, אנו מעבירים את כל התנאים ל צד שמאל:

יש לשים את המונח עם "x" במקום הראשון:

באופן עקרוני, למשוואה כבר יש את הצורה , אך על פי כללי הנימוס המתמטי, מקדם האיבר הראשון (במקרה זה) חייב להיות חיובי. שינוי סימנים:

זכור את התכונה הטכנית הזו!אנו הופכים את המקדם הראשון (לרוב) חיובי!

בגיאומטריה אנליטית, המשוואה של קו ישר תינתן כמעט תמיד בצורה כללית. ובכן, אם יש צורך, קל להביא אותו לצורת "בית ספר" עם שיפוע (למעט קווים ישרים המקבילים לציר ה-y).

בואו נשאל את עצמנו מה מספיקיודע לבנות קו ישר? שתי נקודות. אבל על מקרה הילדות הזה מאוחר יותר, עכשיו מקל עם חיצים כלל. לכל קו ישר שיפוע מוגדר היטב, אליו קל "להסתגל" וֶקטוֹר.

וקטור המקביל לישר נקרא וקטור הכיוון של אותו הישר.. ברור שלכל קו ישר יש אינסוף וקטורי כיוון, וכולם יהיו קולינאריים (מכוונים משותפים או לא - זה לא משנה).

אסמן את וקטור הכיוון באופן הבא: .

אבל וקטור אחד לא מספיק כדי לבנות קו ישר, הווקטור חופשי ואינו מחובר לשום נקודה במישור. לכן, יש צורך בנוסף לדעת איזו נקודה ששייכת לקו.

איך כותבים משוואה של ישר בהינתן נקודה ווקטור כיוון?

אם ידועה נקודה מסוימת השייכת לישר ולווקטור המכוון של קו זה, אז ניתן להרכיב את המשוואה של קו זה על ידי הנוסחה:

לפעמים קוראים לזה משוואה קנונית של הקו .

מה לעשות מתי אחת הקואורדינטותהוא אפס, נבחן דוגמאות מעשיות להלן. אגב, שימו לב - שניהם בבת אחתקואורדינטות אינן יכולות להיות אפס, שכן וקטור האפס אינו מציין כיוון ספציפי.

דוגמה 3

כתוב משוואה של ישר בהינתן נקודה ווקטור כיוון

פִּתָרוֹן: נרכיב את המשוואה של ישר לפי הנוסחה. במקרה הזה:

באמצעות תכונות הפרופורציה, אנו נפטרים משברים:

ואנחנו מביאים את המשוואה ל השקפה כללית:

תשובה:

ציור בדוגמאות כאלה, ככלל, אינו הכרחי, אלא למען ההבנה:

בשרטוט, אנו רואים את נקודת ההתחלה, את וקטור הכיוון המקורי (ניתן לדחות אותו מכל נקודה במישור) ואת הקו הבנוי. אגב, במקרים רבים, בניית קו ישר מתבצעת בצורה נוחה ביותר באמצעות משוואת השיפוע. קל להמיר את המשוואה שלנו לצורה וללא כל בעיה להרים נקודה נוספת כדי לבנות קו ישר.

כפי שצוין בתחילת הקטע, לישר יש אינסוף וקטורי כיוון, וכולם קולינאריים. לדוגמה, ציירתי שלושה וקטורים כאלה: . בכל וקטור כיוון שנבחר, התוצאה תמיד תהיה אותה משוואת קו ישר.

בואו נרכיב את המשוואה של ישר על ידי נקודה ווקטור מכוון:

פירוק הפרופורציה:

חלקו את שני הצדדים ב-2 וקבלו את המשוואה המוכרת:

מי שרוצה יכול לבדוק באופן דומה וקטורים או כל וקטור קולינארי אחר.

עכשיו בואו נפתור את הבעיה ההפוכה:

כיצד למצוא את וקטור הכיוון על ידי המשוואה הכללית של ישר?

פשוט מאוד:

אם ישר ניתן על ידי משוואה כללית במערכת קואורדינטות מלבנית, אז הווקטור הוא וקטור הכיוון של הישר הזה.

דוגמאות למציאת וקטורי כיוון של קווים ישרים:

ההצהרה מאפשרת לנו למצוא רק וקטור כיוון אחד מתוך קבוצה אינסופית, אבל אנחנו לא צריכים יותר. אם כי במקרים מסוימים רצוי להפחית את הקואורדינטות של וקטורי הכיוון:

לכן, המשוואה מציינת קו ישר המקביל לציר והקואורדינטות של וקטור ההיגוי המתקבל מחולקות בצורה נוחה ב-2, ומקבלות בדיוק את וקטור הבסיס בתור וקטור ההיגוי. באופן הגיוני.

באופן דומה, המשוואה מגדירה ישר מקביל לציר, ומחלקים את הקואורדינטות של הווקטור ב-5, נקבל את האורט כווקטור הכיוון.

עכשיו בואו נבצע בדוק דוגמה 3. הדוגמה עלתה, אז אני מזכיר לך שבתוכה הכנו את המשוואה של ישר באמצעות נקודה ווקטור כיוון

קוֹדֶם כֹּל, לפי משוואת קו ישר, נשחזר את וקטור הכיוון שלו: - הכל בסדר, קיבלנו את הווקטור המקורי (במקרים מסוימים, הוא יכול להתברר כקולינארי לווקטור המקורי, ובדרך כלל קל לראות זאת לפי המידתיות של הקואורדינטות המתאימות).

שנית, הקואורדינטות של הנקודה חייבות לעמוד במשוואה . נחליף אותם במשוואה:

הושג השוויון הנכון, שאנו מאוד מרוצים ממנו.

סיכום: העבודה הושלמה כהלכה.

דוגמה 4

כתוב משוואה של ישר בהינתן נקודה ווקטור כיוון

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. פתרון ותשובה בסוף השיעור. רצוי מאוד לבצע בדיקה לפי האלגוריתם שנחשב זה עתה. נסה תמיד (אם אפשר) לבדוק טיוטה. זה טיפשי לעשות טעויות שבהן ניתן להימנע ב-100% מהן.

במקרה שאחת הקואורדינטות של וקטור הכיוון היא אפס, זה מאוד פשוט לעשות:

דוגמה 5

פִּתָרוֹן: הנוסחה לא חוקית כי המכנה בצד ימין הוא אפס. יש יציאה! בעזרת מאפייני הפרופורציה, אנו כותבים מחדש את הנוסחה בצורה , והשאר התגלגל לאורך תלוש עמוק:

תשובה:

בְּדִיקָה:

1) שחזר את וקטור הכיוון של הקו הישר:
- הווקטור המתקבל הוא קולינארי לווקטור הכיוון המקורי.

2) החלף את הקואורדינטות של הנקודה במשוואה:

מתקבל השוויון הנכון

סיכום: העבודה הושלמה כהלכה

נשאלת השאלה, למה להתעסק בנוסחה אם יש גרסה אוניברסלית שתעבוד בכל מקרה? ישנן שתי סיבות. ראשית, נוסחת השבר הרבה יותר טוב לזכור. שנית, החיסרון נוסחה אוניברסליתהאם זה סיכון מוגבר באופן ניכר לבלבולבעת החלפת קואורדינטות.

דוגמה 6

חבר את המשוואה של ישר בהינתן נקודה ווקטור כיוון.

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך.

נחזור לשתי הנקודות הנפוצות בכל מקום:

איך כותבים את המשוואה של ישר עם שתי נקודות?

אם ידועות שתי נקודות, ניתן להרכיב את המשוואה של ישר העובר בנקודות אלו באמצעות הנוסחה:

למעשה, זוהי מעין נוסחה, וזו הסיבה: אם שתי נקודות ידועות, אז הווקטור יהיה וקטור הכיוון של הישר הזה. בשיעור וקטורים עבור בובותשקלנו את הבעיה הפשוטה ביותר - איך למצוא את הקואורדינטות של וקטור משתי נקודות. לפי בעיה זו, הקואורדינטות של וקטור הכיוון:

הערה : ניתן "להחליף" נקודות ולהשתמש בנוסחה . החלטה כזו תהיה שווה.

דוגמה 7

כתוב את המשוואה של ישר משתי נקודות .

פִּתָרוֹן: השתמש בנוסחה:

אנחנו סורקים את המכנים:

ומערבבים את הסיפון:

עכשיו זה הזמן להיפטר מספרים שברים. במקרה זה, עליך להכפיל את שני החלקים ב-6:

פתח את הסוגריים והעלה את המשוואה לראש:

תשובה:

בְּדִיקָהברור - הקואורדינטות של הנקודות הראשוניות חייבות לעמוד במשוואה המתקבלת:

1) החלף את הקואורדינטות של הנקודה:

שוויון אמיתי.

2) החלף את הקואורדינטות של הנקודה:

שוויון אמיתי.

סיכום: משוואת הישר נכונה.

אם לפחות אחדשל נקודות לא עומד במשוואה, חפש שגיאה.

ראוי לציין כי האימות הגרפי במקרה זה קשה, כי לבנות קו ולראות אם הנקודות שייכות לו , לא כל כך קל.

אציין כמה נקודות טכניות של הפתרון. אולי בבעיה זו כדאי יותר להשתמש בנוסחת המראה וכן, עבור אותן נקודות תעשה משוואה:

יש פחות שברים. אם תרצו, תוכלו להשלים את הפתרון עד הסוף, התוצאה צריכה להיות אותה משוואה.

הנקודה השנייה היא להסתכל על התשובה הסופית ולראות אם ניתן לפשט אותה עוד יותר? לדוגמה, אם מתקבלת משוואה, אז רצוי לצמצם אותה בשניים: - המשוואה תקבע את אותו קו ישר. עם זאת, זה כבר נושא לשיחה סידור הדדי של קווים ישרים.

לאחר קבלת תשובה בדוגמה 7, ליתר בטחון, בדקתי אם כל המקדמים של המשוואה מתחלקים ב-2, 3 או 7. אם כי, לרוב הפחתות כאלה מתבצעות במהלך הפתרון.

דוגמה 8

כתבו את משוואת הישר העובר בנקודות .

זוהי דוגמה לפתרון עצמאי, שפשוט יאפשר לך להבין טוב יותר את טכניקת החישוב ולעבוד אותה.

בדומה לפסקה הקודמת: אם בנוסחה אחד המכנים (קואורדינטת וקטור הכיוון) נעלם, ואז נכתוב אותו מחדש בתור . ושוב, שימו לב כמה מביכה ומבולבלת היא התחילה להיראות. אני לא רואה משמעות מיוחדתנהיגה דוגמאות מעשיות, מאחר שכבר פתרנו בעיה כזו בפועל (ראה מס' 5, 6).

וקטור נורמלי בקו ישר (וקטור רגיל)

מה זה נורמלי? במילים פשוטות, הנורמלי הוא הניצב. כלומר, הווקטור הנורמלי של ישר מאונך לישר הנתון. ברור שלכל ישר יש מספר אינסופי מהם (כמו גם וקטורים מכוונים), וכל הוקטורים הנורמליים של הישר יהיו קולינאריים (קוכיווני או לא - זה לא משנה).

ההתמודדות איתם תהיה אפילו קלה יותר מאשר עם וקטורי כיוון:

אם ישר ניתן על ידי משוואה כללית במערכת קואורדינטות מלבנית, אז הווקטור הוא הווקטור הנורמלי של הישר הזה.

אם יש "לשלוף" בזהירות את הקואורדינטות של וקטור הכיוון מהמשוואה, אז ניתן פשוט "להסיר" את הקואורדינטות של הווקטור הרגיל.

הווקטור הנורמלי הוא תמיד אורתוגונלי לווקטור הכיוון של הישר. נוודא את האורתוגונליות של וקטורים אלה באמצעות מוצר נקודה:

אני אתן דוגמאות עם אותן משוואות כמו עבור וקטור הכיוון:

האם ניתן לכתוב משוואה של ישר, לדעת נקודה אחת ווקטור נורמלי? זה מרגיש שזה אפשרי. אם הווקטור הרגיל ידוע, אז גם כיוון הקו הישר ביותר נקבע באופן ייחודי - זהו "מבנה נוקשה" עם זווית של 90 מעלות.

איך כותבים משוואה של ישר בהינתן נקודה ווקטור נורמלי?

אם ידועה נקודה כלשהי השייכת לישר ולווקטור הנורמלי של הישר הזה, אזי המשוואה של ישר זה באה לידי ביטוי בנוסחה:

כאן הכל הלך ללא שברים והפתעות אחרות. כזה הוא הווקטור הרגיל שלנו. אוהב את זה. וכבוד =)

דוגמה 9

חבר את המשוואה של ישר בהינתן נקודה ווקטור נורמלי. מצא את וקטור הכיוון של הקו הישר.

פִּתָרוֹן: השתמש בנוסחה:

מתקבלת המשוואה הכללית של הישר, בואו נבדוק:

1) "הסר" מהמשוואה את הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי: - כן, אכן, הווקטור המקורי מתקבל מהתנאי (או שהווקטור צריך להיות קולינארי לוקטור המקורי).

2) בדוק אם הנקודה עומדת במשוואה:

שוויון אמיתי.

לאחר שנשתכנע שהמשוואה נכונה, נשלים את החלק השני, הקל יותר, של המשימה. אנו שולפים את וקטור הכיוון של הקו הישר:

תשובה:

בציור, המצב הוא כדלקמן:

למטרות הכשרה, משימה דומה לפתרון עצמאי:

דוגמה 10

חבר את המשוואה של ישר בהינתן נקודה ווקטור נורמלי. מצא את וקטור הכיוון של הקו הישר.

החלק האחרון של השיעור יוקדש פחות נפוץ, אבל גם מינים חשוביםמשוואות של ישר במישור

משוואת ישר בקטעים.
משוואת ישר בצורה פרמטרית

למשוואה של ישר בקטעים יש את הצורה , כאשר הם קבועים שאינם אפס. סוגים מסוימים של משוואות לא יכולים להיות מיוצגים בצורה זו, למשל, פרופורציונליות ישירה (מכיוון שהמונח החופשי הוא אפס ואין דרך לקבל אחד בצד ימין).

זהו, באופן פיגורטיבי, סוג "טכני" של משוואה. המשימה הרגילה היא לייצג את המשוואה הכללית של ישר כמשוואה של ישר בקטעים. למה זה נוח? המשוואה של ישר בקטעים מאפשרת לך למצוא במהירות את נקודות החיתוך של ישר עם צירי קואורדינטות, וזה חשוב מאוד בכמה בעיות של מתמטיקה גבוהה יותר.

מצא את נקודת החיתוך של הישר עם הציר. אנו מאפסים את ה-"y", והמשוואה לובשת את הצורה . הנקודה הרצויה מתקבלת אוטומטית: .

אותו דבר עם ציר היא הנקודה שבה הישר חוצה את ציר ה-y.

המשוואה פרבולותהוא פונקציה ריבועית. ישנן מספר אפשרויות להרכבת המשוואה הזו. הכל תלוי באילו פרמטרים מוצגים במצב הבעיה.

הוראה

פרבולה היא עקומה הדומה לצורת קשת והיא גרף פונקציית כוח. ללא קשר אם לפרבולה יש מאפיינים, זו זוגית. פונקציה כזו נקראת אפילו, y עבור כל הערכים של הארגומנט מההגדרה, כאשר הסימן של הארגומנט משתנה, הערך לא משתנה: f (-x) = f (x) התחל עם הפונקציה הפשוטה ביותר: y = x ^ 2. מצורתו, אנו יכולים להסיק שהוא מיועד גם לערכים חיוביים ושליליים של הטיעון x. הנקודה שבה x=0, ובאותו הזמן, y=0 נחשבת לנקודה.

להלן כל האפשרויות העיקריות לבניית פונקציה זו ושלה. כדוגמה ראשונה, להלן פונקציה של הצורה: f(x)=x^2+a, כאשר a הוא מספר שלם על מנת לצייר גרף של פונקציה זו, יש צורך להזיז את הגרף של הפונקציה f(x) על ידי יחידות. דוגמה לכך היא הפונקציה y=x^2+3, שבה הפונקציה מוסטת לאורך ציר ה-y בשתי יחידות. אם ניתנת פונקציה עם הסימן ההפוך, למשל y=x^2-3, אז הגרף שלה מוזז למטה לאורך ציר ה-y.

סוג אחר של פונקציה שניתן לתת פרבולה היא f(x)=(x + a)^2. במקרים כאלה, הגרף, להיפך, מוסט לאורך ציר ה-x ביחידות. לדוגמה, שקול את הפונקציות: y=(x +4)^2 ו-y=(x-4)^2. במקרה הראשון, שבו יש פונקציה עם סימן פלוס, הגרף מוסט לאורך ציר ה-x שמאלה, ובמקרה השני, ימינה. כל המקרים הללו מוצגים באיור.