שיעור מהסדרה "אלגוריתמים גיאומטריים"

שלום קורא יקר!

היום נתחיל ללמוד אלגוריתמים הקשורים לגיאומטריה. העובדה היא שיש לא מעט בעיות אולימפיאדות במדעי המחשב הקשורות לגיאומטריה חישובית, ופתרון בעיות כאלה גורם לעתים קרובות לקשיים.

בכמה שיעורים, נשקול מספר תת-בעיות אלמנטריות שעליהן מבוסס הפתרון של רוב בעיות הגיאומטריה החישובית.

בשיעור זה נכתוב תוכנית עבור מציאת משוואת ישרעובר דרך הנתון שתי נקודות. כדי לפתור בעיות גיאומטריות, אנו זקוקים לידע מסוים בגיאומטריה חישובית. נקדיש חלק מהשיעור להיכרות איתם.

מידע מגיאומטריה חישובית

גיאומטריה חישובית היא ענף במדעי המחשב החוקר אלגוריתמים לפתרון בעיות גיאומטריות.

הנתונים הראשוניים לבעיות כאלה יכולים להיות קבוצה של נקודות במישור, קבוצת קטעים, מצולע (ניתן, למשל, על ידי רשימה של קודקודים שלו בסדר כיוון השעון) וכו'.

התוצאה יכולה להיות תשובה לשאלה כלשהי (כגון האם נקודה שייכת לקטע, האם שני קטעים מצטלבים,...), או עצם גיאומטרי כלשהו (לדוגמה, המצולע הקמור הקטן ביותר המחבר בין נקודות נתונות, השטח של מצולע וכו').

נשקול בעיות של גיאומטריה חישובית רק במישור ורק במערכת הקואורדינטות הקרטזית.

וקטורים וקואורדינטות

כדי ליישם את שיטות הגיאומטריה החישובית, יש צורך לתרגם תמונות גיאומטריות לשפת המספרים. נניח שבמישור ניתנת מערכת קואורדינטות קרטזית, שבה כיוון הסיבוב נגד כיוון השעון נקרא חיובי.

כעת אובייקטים גיאומטריים מקבלים ביטוי אנליטי. אז, כדי לקבוע נקודה, זה מספיק כדי לציין את הקואורדינטות שלה: זוג מספרים (x; y). ניתן לציין קטע על ידי ציון הקואורדינטות של קצוותיו, ניתן לציין קו ישר על ידי ציון הקואורדינטות של זוג נקודות שלו.

אבל הכלי העיקרי לפתרון בעיות יהיה וקטורים. הרשו לי להזכיר לכם, אם כן, מידע מסוים עליהם.

קטע קו א.ב, שיש לו טעם אבלנחשב ההתחלה (נקודת היישום), והנקודה בְּ- הסוף נקרא וקטור א.בומסומן על ידי או או באות קטנה מודגשת, למשל א .

כדי לציין את אורך וקטור (כלומר, אורך הקטע המתאים), נשתמש בסמל המודול (לדוגמה, ).

לוקטור שרירותי יהיו קואורדינטות שוות להפרש בין הקואורדינטות המתאימות של הסוף וההתחלה שלו:

,

נקודות כאן או ב יש קואורדינטות בהתאמה.

לחישובים נשתמש במושג זווית מכוונת, כלומר, זווית שלוקחת בחשבון את המיקום היחסי של הוקטורים.

זווית מכוונת בין וקטורים א ו ב חיובי אם הסיבוב רחוק מהווקטור א לווקטור ב נעשה בכיוון החיובי (נגד כיוון השעון) ושלילי במקרה השני. ראה איור 1a, איור 1b. נאמר גם שזוג וקטורים א ו ב בעל אוריינטציה חיובית (שלילית).

לפיכך, הערך של הזווית המכוונת תלוי בסדר הספירה של הוקטורים ויכול לקחת ערכים במרווח.

בעיות גיאומטריה חישוביות רבות משתמשות במושג של תוצרים וקטוריים (הטיה או פסאודו-סקלארית) של וקטורים.

המכפלה הווקטורית של הוקטורים a ו-b היא המכפלה של אורכי הוקטורים הללו והסינוס של הזווית ביניהם:

.

מכפלה וקטורית של וקטורים בקואורדינטות:

הביטוי מימין הוא קובע מסדר שני:

בניגוד להגדרה שניתנה בגיאומטריה אנליטית, זהו סקלאר.

הסימן של תוצר הצלב קובע את מיקומם של הוקטורים זה ביחס לזה:

א ו ב בעל אוריינטציה חיובית.

אם הערך הוא , אז זוג הוקטורים א ו ב בעל אוריינטציה שלילית.

המכפלה הצולבת של וקטורים שאינם מאפס הוא אפס אם ורק אם הם קולינאריים ( ). זה אומר שהם שוכבים על אותו קו או על קווים מקבילים.

בואו ניקח בחשבון כמה משימות פשוטות הדרושות לפתרון מורכבות יותר.

נגדיר את המשוואה של ישר בקואורדינטות של שתי נקודות.

משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות שונות הניתנות בקואורדינטות שלהן.

תנו שתי נקודות לא חופפות על הקו: עם קואורדינטות (x1;y1) ועם קואורדינטות (x2; y2). בהתאם לכך, לוקטור עם ההתחלה בנקודה והסוף בנקודה יש ​​קואורדינטות (x2-x1, y2-y1). אם P(x, y) היא נקודה שרירותית על הקו שלנו, אז הקואורדינטות של הווקטור הן (x-x1, y - y1).

בעזרת תוצר הצלב, התנאי לקולינאריות של הוקטורים וניתן לכתוב כך:

הָהֵן. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

נכתוב מחדש את המשוואה האחרונה באופן הבא:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

אז, ניתן לתת את הקו הישר על ידי משוואה של הצורה (1).

משימה 1. ניתנות הקואורדינטות של שתי נקודות. מצא את הייצוג שלו בצורה ax + by + c = 0.

בשיעור זה התוודענו למידע מהגיאומטריה החישובית. פתרנו את הבעיה של מציאת משוואת הישר בקואורדינטות של שתי נקודות.

בשיעור הבא נכתוב תוכנית למציאת נקודת החיתוך של שני קווים שניתנו על ידי המשוואות שלנו.

במאמר זה נשקול את המשוואה הכללית של קו ישר במישור. הבה ניתן דוגמאות לבניית המשוואה הכללית של ישר אם שתי נקודות של ישר זה ידועות או אם ידועות נקודה אחת והווקטור הנורמלי של הישר הזה. הבה נציג שיטות להפיכת משוואה בצורה כללית לצורות קנוניות ופרמטריות.

תן מערכת קואורדינטות מלבנית קרטזית שרירותית אוקסי. שקול משוואת מדרגה ראשונה או משוואה לינארית:

Axe+By+C=0,

(1)

איפה א ב גהם כמה קבועים, ולפחות אחד מהאלמנטים או בשונה מאפס.

נראה שמשוואה לינארית במישור מגדירה קו ישר. הבה נוכיח את המשפט הבא.

משפט 1. במערכת קואורדינטות מלבנית קרטזית שרירותית במישור, ניתן לתת כל ישר באמצעות משוואה לינארית. לעומת זאת, כל משוואה לינארית (1) במערכת קואורדינטות מלבנית קרטזית שרירותית במישור מגדירה קו ישר.

הוכחה. די להוכיח שהקו לנקבע על ידי משוואה ליניארית לכל מערכת קואורדינטות מלבנית קרטזית אחת, שכן אז היא תיקבע על ידי משוואה ליניארית ולכל בחירה של מערכת קואורדינטות מלבנית קרטזית.

תן קו ישר על המטוס ל. אנו בוחרים מערכת קואורדינטות כך שהציר שׁוֹרמיושר עם הקו ל, והציר אויהיה מאונך אליו. ואז משוואת הקו ליקבל את הטופס הבא:

y=0.

(2)

כל הנקודות על קו ליעמוד במשוואה הליניארית (2), וכל הנקודות מחוץ לקו הישר הזה לא יעמדו במשוואה (2). החלק הראשון של המשפט מוכח.

תינתן מערכת קואורדינטות מלבנית קרטזית ותינתן משוואה לינארית (1), כאשר לפחות אחד מהאלמנטים או בשונה מאפס. מצא את מוקד הנקודות שהקואורדינטות שלהן עומדות במשוואה (1). שכן לפחות אחד מהמקדמים או בשונה מאפס, אז למשוואה (1) יש לפחות פתרון אחד M(איקס 0 ,y 0). (לדוגמה, מתי א≠0, נקודה M 0 (−C/A, 0) שייך למוקד הנקודות הנתון). החלפת הקואורדינטות הללו ב-(1) נקבל את הזהות

גַרזֶן 0 +על ידי 0 +ג=0.

(3)

הבה נחסר זהות (3) מ-(1):

א(איקס−איקס 0)+ב(y−y 0)=0.

(4)

ברור שמשוואה (4) שווה ערך למשוואה (1). לכן, די להוכיח ש-(4) מגדיר קו כלשהו.

מכיוון שאנו בוחנים מערכת קואורדינטות מלבנית קרטזית, נובע מהשוויון (4) שהווקטור עם הרכיבים ( x−x 0 , y−y 0) הוא אורתוגונלי לווקטור נעם קואורדינטות ( א,ב}.

שקול איזה קו לעובר דרך הנקודה M 0 (איקס 0 , y 0) ובמאונך לווקטור נ(איור 1). תן את הנקודה M(איקס,y) שייך לקו ל. ואז הווקטור עם הקואורדינטות x−x 0 , y−y 0 מאונך נומשוואה (4) מסופקת (מכפלה סקלרית של וקטורים נושווה לאפס). לעומת זאת, אם הנקודה M(איקס,y) אינו שוכב על קו ל, ואז הווקטור עם הקואורדינטות x−x 0 , y−y 0 אינו אורתוגונלי לוקטור נוהמשוואה (4) אינה מסופקת. המשפט הוכח.

הוכחה. מכיוון שהקווים (5) ו-(6) מגדירים את אותו קו, הווקטורים הנורמליים נ 1 ={א 1 ,ב 1) ו נ 2 ={א 2 ,ב 2) הם קולינאריים. מאז הוקטורים נ 1 ≠0, נ 2 ≠ 0, אז יש מספר λ , מה נ 2 =נ 1 λ . מכאן שיש לנו: א 2 =א 1 λ , ב 2 =ב 1 λ . בואו נוכיח את זה ג 2 =ג 1 λ . ברור שלקוים חופפים יש נקודה משותפת M 0 (איקס 0 , y 0). הכפלת משוואה (5) ב λ והפחתת משוואה (6) ממנה נקבל:

מכיוון ששני השוויון הראשונים מביטויים (7) מרוצים, אז ג 1 λ −ג 2=0. הָהֵן. ג 2 =ג 1 λ . ההערה הוכחה.

שימו לב שמשוואה (4) מגדירה את המשוואה של ישר העובר דרך הנקודה M 0 (איקס 0 , y 0) ובעל וקטור רגיל נ={א,ב). לכן, אם הווקטור הנורמלי של הישר והנקודה השייכת לישר זה ידועים, אזי ניתן לבנות את המשוואה הכללית של הישר באמצעות משוואה (4).

דוגמה 1. קו עובר דרך נקודה M=(4,−1) ויש לו וקטור נורמלי נ=(3, 5). בנה את המשוואה הכללית של ישר.

פִּתָרוֹן. יש לנו: איקס 0 =4, y 0 =−1, א=3, ב=5. כדי לבנות את המשוואה הכללית של קו ישר, אנו מחליפים את הערכים הללו במשוואה (4):

תשובה:

וקטור מקביל לקו לומכאן שהוא מאונך לווקטור הנורמלי של הישר ל. בואו נבנה וקטור קו נורמלי ל, בהינתן המכפלה הסקלרית של וקטורים נוהוא שווה לאפס. אנחנו יכולים לכתוב, למשל, נ={1,−3}.

כדי לבנות את המשוואה הכללית של קו ישר, אנו משתמשים בנוסחה (4). הבה נחליף ל-(4) את הקואורדינטות של הנקודה M 1 (אנו יכולים גם לקחת את הקואורדינטות של הנקודה M 2) והווקטור הרגיל נ:

החלפת קואורדינטות נקודות M 1 ו M 2 ב-(9) נוכל לוודא שהקו הישר שניתן במשוואה (9) עובר דרך נקודות אלו.

תשובה:

הורידו (10) מ-(1):

השגנו את המשוואה הקנונית של קו ישר. וֶקטוֹר ש={−ב, א) הוא וקטור הכיוון של הקו הישר (12).

ראה טרנספורמציה הפוכה.

דוגמה 3. קו ישר במישור מיוצג על ידי המשוואה הכללית הבאה:

הזז את האיבר השני ימינה וחלק את שני הצדדים של המשוואה ב-2 5.

תכונות של קו ישר בגיאומטריה אוקלידית.

ישנם אינסוף קווים שניתן לשרטט דרך כל נקודה.

דרך כל שתי נקודות שאינן חופפות, יש רק קו ישר אחד.

שני קווים לא חופפים במישור או מצטלבים בנקודה אחת, או שהם

מקביל (נובע מהקודם).

במרחב התלת מימדי, קיימות שלוש אפשרויות למיקום היחסי של שני קווים:

• קווים מצטלבים;

• קווים ישרים מקבילים;

• קווים ישרים מצטלבים.

יָשָׁר קַו- עקומה אלגברית מהסדר הראשון: במערכת הקואורדינטות הקרטזית, קו ישר

ניתן במישור על ידי משוואה ממעלה ראשונה (משוואה לינארית).

משוואה כללית של קו ישר.

הַגדָרָה. כל קו במישור יכול להינתן על ידי משוואה מסדר ראשון

Ah + Wu + C = 0,

וקבוע א, בלא שווה לאפס בו זמנית. משוואת הסדר הראשון הזו נקראת כללי

משוואת קו ישר.תלוי בערכי הקבועים א, בו מהמקרים המיוחדים הבאים אפשריים:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- הקו עובר דרך המוצא

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- קו ישר מקביל לציר אה

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- קו ישר מקביל לציר OU

. B = C = 0, A ≠ 0- הקו חופף לציר OU

. A = C = 0, B ≠ 0- הקו חופף לציר אה

ניתן לייצג את המשוואה של קו ישר בצורות שונות בהתאם לכל נתון

תנאים התחלתיים.

משוואת ישר בנקודה ווקטור נורמלי.

הַגדָרָה. במערכת קואורדינטות מלבנית קרטזית, וקטור עם רכיבים (A, B)

מאונך לישר שניתן במשוואה

Ah + Wu + C = 0.

דוגמא. מצא את המשוואה של ישר העובר דרך נקודה A(1, 2)בניצב לווקטור (3, -1).

פִּתָרוֹן. בואו נרכיב ב-A \u003d 3 ו-B \u003d -1 את משוואת הישר: 3x - y + C \u003d 0. כדי למצוא את מקדם C

נחליף את הקואורדינטות של נקודה נתונה A בביטוי המתקבל. נקבל: 3 - 2 + C = 0, לכן

C = -1. סך הכל: המשוואה הרצויה: 3x - y - 1 \u003d 0.

משוואת ישר העובר בשתי נקודות.

תנו שתי נקודות ברווח M 1 (x 1, y 1, z 1)ו M2 (x 2, y 2 , z 2),לאחר מכן משוואת קו ישר,

עובר דרך הנקודות האלה:

אם אחד מהמכנים שווה לאפס, יש להגדיר את המונה המתאים שווה לאפס. על

מישור, משוואת הישר הכתובה למעלה מפושטת:

אם x 1 ≠ x 2ו x = x 1, אם x 1 = x 2 .

שבריר = קשקוראים לו גורם שיפוע יָשָׁר.

דוגמא. מצא את המשוואה של ישר העובר בנקודות A(1, 2) ו-B(3, 4).

פִּתָרוֹן. יישום הנוסחה לעיל, נקבל:

משוואת ישר בנקודה ובשיפוע.

אם המשוואה הכללית של קו ישר Ah + Wu + C = 0להביא לטופס:

ולקבוע , ואז נקראת המשוואה המתקבלת

משוואת ישר עם שיפוע k.

משוואת ישר בנקודה ווקטור מכוון.

באנלוגיה לנקודה בהתחשב במשוואה של קו ישר דרך הווקטור הרגיל, אתה יכול להיכנס למשימה

ישר דרך נקודה ווקטור כיוון של ישר.

הַגדָרָה. כל וקטור שאינו אפס (α 1 , α 2), שמרכיביו עומדים בתנאי

Aα 1 + Bα 2 = 0שקוראים לו וקטור כיוון של הקו הישר.

Ah + Wu + C = 0.

דוגמא. מצא את המשוואה של ישר עם וקטור כיוון (1, -1) ועובר דרך נקודה A(1, 2).

פִּתָרוֹן. נחפש את משוואת הקו הישר הרצוי בצורה: Axe + By + C = 0.לפי ההגדרה,

המקדמים חייבים לעמוד בתנאים:

1 * A + (-1) * B = 0, כלומר. א = ב.

אז למשוואה של ישר יש את הצורה: Axe + Ay + C = 0,אוֹ x + y + C / A = 0.

בְּ- x=1, y=2אנחנו מקבלים C/A = -3, כלומר המשוואה הרצויה:

x + y - 3 = 0

משוואת ישר בקטעים.

אם במשוואה הכללית של הישר Ah + Wu + C = 0 C≠0, אז, מחלקים ב-C, נקבל:

או איפה

המשמעות הגיאומטרית של המקדמים היא שמקדם a הוא הקואורדינטה של ​​נקודת החיתוך

ישר עם סרן הו,א ב- הקואורדינטה של ​​נקודת החיתוך של הישר עם הציר OU.

דוגמא. ניתנת המשוואה הכללית של ישר x - y + 1 = 0.מצא את המשוואה של הישר הזה בקטעים.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

משוואה נורמלית של קו ישר.

אם שני הצדדים של המשוואה Ah + Wu + C = 0לחלק במספר , שנקרא

גורם מנרמל, אז אנחנו מקבלים

xcosφ + ysinφ - p = 0 -משוואה נורמלית של קו ישר.

יש לבחור את הסימן ± של הגורם המנרמל כך μ * C< 0.

ר- אורך האנך שירד מהמקור לקו,

א φ - הזווית שנוצרת על ידי הניצב הזה עם הכיוון החיובי של הציר אה.

דוגמא. בהינתן המשוואה הכללית של קו ישר 12x - 5y - 65 = 0. חובה לכתוב סוגים שונים של משוואות

הקו הישר הזה.

המשוואה של הישר הזה בקטעים:

המשוואה של קו זה עם השיפוע: (חלק ב-5)

משוואת קו ישר:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

יש לציין שלא כל ישר יכול להיות מיוצג על ידי משוואה בקטעים, למשל, ישרים,

מקביל לצירים או עובר דרך המוצא.

זווית בין קווים במישור.

הַגדָרָה. אם ניתנו שני קווים y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, ואז הזווית החדה בין הקווים הללו

יוגדר כ

שני קווים מקבילים אם k 1 = k 2. שני קווים מאונכים

אם k 1 \u003d -1 / k 2 .

מִשׁפָּט.

ישיר Ah + Wu + C = 0ו A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0מקבילים כאשר המקדמים פרופורציונליים

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. אם גם С 1 \u003d λС, אז השורות חופפות. קואורדינטות של נקודת החיתוך של שני קווים

נמצאים כפתרון למערכת המשוואות של קווים אלו.

משוואת הישר העובר דרך נקודה נתונה מאונך לישר נתון.

הַגדָרָה. קו העובר דרך נקודה M 1 (x 1, y 1)ובמאונך לקו y = kx + b

מיוצג על ידי המשוואה:

המרחק מנקודה לקו.

מִשׁפָּט. אם ניתנת נקודה M(x 0, y 0),ואז המרחק לקו Ah + Wu + C = 0מוגדר כ:

הוכחה. תן את הנקודה M 1 (x 1, y 1)- בסיס הניצב ירד מהנקודה Mעבור נתון

ישיר. ואז המרחק בין הנקודות Mו M 1:

(1)

קואורדינטות x 1ו 1ניתן למצוא כפתרון למערכת המשוואות:

המשוואה השנייה של המערכת היא משוואת ישר העובר בנקודה נתונה M 0 בניצב

שורה נתונה. אם נהפוך את המשוואה הראשונה של המערכת לצורה:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ואז, בפתרון, נקבל:

החלפת ביטויים אלה במשוואה (1), אנו מוצאים:

המשפט הוכח.

משוואה כללית של קו ישר:

מקרים מיוחדים של המשוואה הכללית של ישר:

מה אם ג= 0, למשוואה (2) תהיה הצורה

גַרזֶן + על ידי = 0,

והקו הישר המוגדר על ידי משוואה זו עובר דרך המוצא, שכן הקואורדינטות של המוצא איקס = 0, y= 0 עומדים במשוואה זו.

ב) אם במשוואה הכללית של הישר (2) ב= 0, אז המשוואה מקבלת את הצורה

גַרזֶן + מ= 0, או .

משוואה לא מכילה משתנה y, והקו הישר המוגדר במשוואה זו מקביל לציר אוי.

ג) אם במשוואה הכללית של הישר (2) א= 0, אז משוואה זו לובשת את הצורה

על ידי + מ= 0, או ;

המשוואה אינה מכילה משתנה איקס, והקו הישר המוגדר על ידו מקביל לציר שׁוֹר.

יש לזכור: אם ישר מקביל לציר קואורדינטות כלשהו, ​​אז המשוואה שלו אינה מכילה איבר המכיל קואורדינטה בעלת אותו שם עם ציר זה.

ד) מתי ג= 0 ו א= 0 משוואה (2) מקבלת את הצורה על ידי= 0, או y = 0.

זו משוואת הציר שׁוֹר.

ה) מתי ג= 0 ו ב= 0 משוואה (2) ניתן לכתוב בצורה גַרזֶן= 0 או איקס = 0.

זו משוואת הציר אוי.

סידור הדדי של קווים ישרים במישור. זווית בין קווים במישור. מצב של קווים מקבילים. מצב הניצב של קווים.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 הוקטורים S 1 ו- S 2 נקראים מדריכים עבור הקווים שלהם.

הזווית בין הקווים l 1 ו-l 2 נקבעת על ידי הזווית בין וקטורי הכיוון.
משפט 1:זווית cos בין l 1 ל-l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d

משפט 2:כדי ש-2 קווים יהיו שווים, יש צורך ומספיק:

משפט 3:כך ש-2 קווים מאונכים זה הכרחי ומספיק:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

משוואה כללית של המטוס והמקרים הספציפיים שלו. משוואת מישור בקטעים.

משוואת מישור כללית:

Axe + By + Cz + D = 0

מקרים מיוחדים:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - המישור עובר דרך המוצא

2. С=0 Axe+By+D = 0 – מישור || עוז

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – מישור || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – מישור || שׁוֹר

5. A=0 ו-D=0 By+Cz = 0 - המטוס עובר דרך OX

6. B=0 ו-D=0 Ax+Cz = 0 - המטוס עובר דרך OY

7. C=0 ו-D=0 Ax+By = 0 - המטוס עובר דרך OZ

סידור הדדי של מישורים וקווים ישרים במרחב:

1. הזווית בין ישרים במרחב היא הזווית בין וקטורי הכיוון שלהם.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. הזווית בין המישורים נקבעת דרך הזווית שבין הווקטורים הנורמליים שלהם.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. ניתן למצוא את הקוסינוס של הזווית בין ישר למישור דרך החטא של הזווית בין וקטור הכיוון של הישר לווקטור הנורמלי של המישור.

4. 2 שורות || בחלל כשהם || מדריכים וקטוריים

5. 2 מטוסים || מתי || וקטורים רגילים

6. מושגי הניצב של קווים ומישורים מוצגים באופן דומה.

שאלה מס' 14

סוגים שונים של משוואת ישר במישור (משוואת ישר בקטעים, עם שיפוע וכו')

משוואת ישר בקטעים:
נניח שבמשוואה הכללית של ישר:

1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - הקו הישר עובר דרך המוצא.

2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d

3. ב-\u003d 0 Axe + C \u003d 0 x \u003d

4. v \u003d C \u003d 0 Ax \u003d 0 x \u003d 0

5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0

משוואת קו ישר עם שיפוע:

כל קו ישר שאינו שווה לציר ה-y (B not = 0) ניתן לכתוב בהמשך. טופס:

k = tgα α היא הזווית בין הישר לישר המכוון חיובי ОХ

b - נקודת חיתוך של הקו הישר עם ציר מערכת ההפעלה

מסמך מסמך:

Axe+By+C = 0

Wu \u003d -Ax-C |: ב

משוואת ישר בשתי נקודות:

שאלה מס' 16

הגבול הסופי של פונקציה בנקודה ועבור x→∞

מגבלת סיום בנקודה x 0:

המספר A נקרא הגבול של הפונקציה y \u003d f (x) עבור x → x 0, אם עבור כל E > 0 יש b > 0 כך שעבור x ≠ x 0, מספק את אי השוויון |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

הגבול מסומן: = A

מגבלת סיום בנקודה +∞:

המספר A נקרא הגבול של הפונקציה y = f(x) עבור x → + ∞ , אם עבור כל E > 0 קיים C > 0 כך שעבור x > C אי השוויון |f(x) - A|< Е

הגבול מסומן: = A

מגבלת סיום בנקודה -∞:

המספר A נקרא הגבול של הפונקציה y = f(x) עבור x→-∞,אם עבור כל E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

משוואת הישר העובר דרך נקודה נתונה בכיוון נתון. משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות נתונות. זווית בין שני קווים. מצב של מקביליות וניצב של שני קווים. קביעת נקודת החיתוך של שני קווים

1. משוואת הישר העובר דרך נקודה נתונה א(איקס 1 , y 1) בכיוון נתון, הנקבע לפי השיפוע ק,

y - y 1 = ק(איקס - איקס 1). (1)

משוואה זו מגדירה עיפרון של קווים העוברים דרך נקודה א(איקס 1 , y 1), הנקרא מרכז הקורה.

2. משוואת ישר העובר בשתי נקודות: א(איקס 1 , y 1) ו ב(איקס 2 , y 2) נכתב כך:

השיפוע של קו ישר העובר דרך שתי נקודות נתונות נקבע על ידי הנוסחה

3. זווית בין קווים ישרים או בהיא הזווית שבה יש לסובב את הקו הישר הראשון אסביב נקודת החיתוך של קווים אלה נגד כיוון השעון עד שהיא חופפת לקו השני ב. אם שני קווים ניתנים על ידי משוואות שיפוע

y = ק 1 איקס + ב 1 ,