הנגזרת של הפונקציה x שווה. נגזרת פונקציית הכוח (חזקה ושורשים)

הַגדָרָה.תן לפונקציה \(y = f(x) \) להיות מוגדרת במרווח כלשהו המכיל את הנקודה \(x_0 \) בפנים. בואו נעלה את \(\Delta x \) לארגומנט כדי לא לעזוב את המרווח הזה. מצא את התוספת התואמת של הפונקציה \(\Delta y \) (בעת מעבר מהנקודה \(x_0 \) לנקודה \(x_0 + \Delta x \)) וחבר את היחס \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). אם יש מגבלה של יחס זה ב-\(\Delta x \rightarrow 0 \), אז הגבול שצוין נקרא פונקציה נגזרת\(y=f(x) \) בנקודה \(x_0 \) וסמן \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

הסמל y משמש לעתים קרובות לציון הנגזרת. שימו לב ש-y" = f(x) היא פונקציה חדשה, אך משויכת באופן טבעי לפונקציה y = f(x), המוגדרת בכל הנקודות x שבהן קיים הגבול הנ"ל. פונקציה זו נקראת כך: נגזרת של הפונקציה y \u003d f (x).

המשמעות הגיאומטרית של הנגזרתמורכב מהדברים הבאים. אם ניתן לצייר משיק שאינו מקביל לציר y לגרף של הפונקציה y \u003d f (x) בנקודה עם האבססיס x \u003d a, אז f (a) מבטא את השיפוע של המשיק:
\(k = f"(a)\)

מכיוון ש-\(k = tg(a) \), השוויון \(f"(a) = tg(a) \) נכון.

וכעת אנו מפרשים את הגדרת הנגזרת במונחים של שוויון משוער. תן לפונקציה \(y = f(x) \) נגזרת בנקודה מסוימת \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
המשמעות היא שליד הנקודה x, השוויון המשוער \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), כלומר \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). המשמעות המשמעותית של השוויון המשוער שהושג היא כדלקמן: התוספת של הפונקציה היא "כמעט פרופורציונלית" לתוספת של הטיעון, ומקדם המידתיות הוא הערך של הנגזרת ב נקודה נתונהאיקס. לדוגמה, עבור הפונקציה \(y = x^2 \) השוויון המשוער \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) חוקי. אם ננתח היטב את הגדרת הנגזרת, נגלה שהיא מכילה אלגוריתם למציאתה.

בואו ננסח את זה.

כיצד למצוא את הנגזרת של הפונקציה y \u003d f (x) ?

1. תקן את הערך \(x \), מצא את \(f(x) \)
2. הגדל את הארגומנט \(x \) \(\Delta x \), העבר לנקודה חדשה \(x+ \Delta x \), מצא את \(f(x+ \Delta x) \)
3. מצא את תוספת הפונקציה: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. חבר את היחס \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. חשב $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
הגבול הזה הוא הנגזרת של הפונקציה ב-x.

אם לפונקציה y = f(x) יש נגזרת בנקודה x, אז היא נקראת דיפרנציאלית בנקודה x. ההליך למציאת הנגזרת של הפונקציה y \u003d f (x) נקרא בידולפונקציות y = f(x).

הבה נדון בשאלה הבאה: כיצד קשורות ההמשכיות והדיפרנציאליות של פונקציה בנקודה?

תנו לפונקציה y = f(x) להיות ניתנת להבדלה בנקודה x. אז ניתן למשוך משיק לגרף של הפונקציה בנקודה M (x; f (x)) וכזכור, שיפוע המשיק שווה ל-f "(x). גרף כזה לא יכול "להישבר" ב הנקודה M, כלומר, הפונקציה חייבת להיות רציפה ב-x.

זה היה נימוק "על האצבעות". הבה נציג טיעון קפדני יותר. אם הפונקציה y = f(x) ניתנת להבדלה בנקודה x, אזי השוויון המשוער \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) מתקיים. אפס, ואז \(\Delta y \) ) גם ישטה לאפס, וזה התנאי להמשכיות הפונקציה בנקודה.

כך, אם פונקציה ניתנת להבדלה בנקודה x, אז היא גם רציפה בנקודה זו.

ההיפך אינו נכון. לדוגמה: פונקציה y = |x| הוא רציף בכל מקום, במיוחד בנקודה x = 0, אך המשיק לגרף של הפונקציה ב"נקודת המשותפת" (0; 0) אינו קיים. אם בשלב מסוים אי אפשר לצייר משיק לגרף הפונקציה, אז אין נגזרת בשלב זה.

עוד דוגמה אחת. הפונקציה \(y=\sqrt(x) \) רציפה על כל קו המספרים, כולל בנקודה x = 0. והמשיק לגרף של הפונקציה קיים בכל נקודה, כולל בנקודה x = 0 אבל בנקודה זו המשיק חופף לציר y, כלומר, הוא מאונך לציר האבססיס, למשוואה שלו יש את הצורה x \u003d 0. מִדרוֹןאין קו כזה, מה שאומר שגם \(f"(0) \) לא קיים

אז הכרנו תכונה חדשה של פונקציה - דיפרנציאליות. כיצד ניתן לדעת אם פונקציה ניתנת להבדלה מהגרף של פונקציה?

התשובה ניתנה למעשה למעלה. אם בשלב מסוים ניתן למשוך משיק לגרף של פונקציה שאינה מאונך לציר ה-x, הרי שבנקודה זו הפונקציה ניתנת להבדלה. אם בשלב מסוים המשיק לגרף של הפונקציה לא קיים או שהוא מאונך לציר ה-x, אז בשלב זה הפונקציה אינה ניתנת להבדלה.

כללי בידול

פעולת מציאת הנגזרת נקראת בידול. בעת ביצוע פעולה זו, לעתים קרובות אתה צריך לעבוד עם מנות, סכומים, מוצרים של פונקציות, כמו גם עם "פונקציות של פונקציות", כלומר, פונקציות מורכבות. בהתבסס על הגדרת הנגזרת, נוכל לגזור כללי בידול המקלים על עבודה זו. אם C הוא מספר קבוע ו-f=f(x), g=g(x) הן כמה פונקציות שניתן להבדיל, אז הדברים הבאים נכונים כללי בידול:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ נגזרת של פונקציה מורכבת:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

טבלת נגזרות של כמה פונקציות

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

אם נעקוב אחר ההגדרה, אז הנגזרת של פונקציה בנקודה היא הגבול של יחס ההגדלה של הפונקציה Δ yלתוספת של הארגומנט Δ איקס:

הכל נראה ברור. אבל נסו לחשב לפי הנוסחה הזו, נניח, את הנגזרת של הפונקציה ו(איקס) = איקס 2 + (2איקס+ 3) · ה איקסחטא איקס. אם אתה עושה הכל בהגדרה, אז אחרי כמה עמודים של חישובים אתה פשוט תירדם. לכן, ישנן דרכים פשוטות ויעילות יותר.

מלכתחילה, נציין שניתן להבחין בין הפונקציות היסודיות כביכול מכל מגוון הפונקציות. מדובר בביטויים פשוטים יחסית, שנגזרותיהם מחושבו והוזנו בטבלה זה מכבר. קל מספיק לזכור פונקציות כאלה, יחד עם הנגזרות שלהן.

נגזרות של פונקציות יסודיות

הפונקציות היסודיות הן כל מה שמופיע למטה. יש להכיר בעל פה את הנגזרות של פונקציות אלו. יתר על כן, לא קשה לשנן אותם - לכן הם אלמנטריים.

אז, הנגזרות של פונקציות אלמנטריות:

שֵׁם	פוּנקצִיָה	נגזר
קָבוּעַ	ו(איקס) = ג, ג ∈ ר	0 (כן, כן, אפס!)
תואר עם מעריך רציונלי	ו(איקס) = איקס נ	נ · איקס נ − 1
סִינוּס	ו(איקס) = חטא איקס	חַסַת עָלִים איקס
קוסינוס	ו(איקס) = cos איקס	- חטא איקס(מינוס סינוס)
מַשִׁיק	ו(איקס) = tg איקס	1/cos 2 איקס
קוטנגנט	ו(איקס) = ctg איקס	− 1/sin2 איקס
לוגריתם טבעי	ו(איקס) = יומן איקס	1/איקס
לוגריתם שרירותי	ו(איקס) = יומן א איקס	1/(איקסב א)
פונקציה מעריכית	ו(איקס) = ה איקס	ה איקס(שום דבר לא השתנה)

אם פונקציה יסודית מוכפלת בקבוע שרירותי, גם הנגזרת של הפונקציה החדשה מחושבת בקלות:

(ג · ו)’ = ג · ו ’.

באופן כללי, ניתן להוציא קבועים מהסימן של הנגזרת. לדוגמה:

(2איקס 3)' = 2 ( איקס 3)' = 2 3 איקס 2 = 6איקס 2 .

ברור שניתן להוסיף פונקציות יסודיות אחת לשנייה, להכפיל, לחלק ועוד הרבה יותר. כך יופיעו פונקציות חדשות, כבר לא מאוד אלמנטריות, אבל גם ניתנות להבחנה לפי כללים מסוימים. כללים אלה נדונים להלן.

נגזרת של סכום והפרש

תן לפונקציות ו(איקס) ו ז(איקס), שנגזרותיו ידועות לנו. לדוגמה, אתה יכול לקחת את הפונקציות היסודיות שנדונו לעיל. אז אתה יכול למצוא את הנגזרת של הסכום וההפרש של הפונקציות האלה:

1. (ו + ז)’ = ו ’ + ז ’
2. (ו − ז)’ = ו ’ − ז ’

אז, הנגזרת של הסכום (ההפרש) של שתי פונקציות שווה לסכום (ההפרש) של הנגזרות. יכול להיות שיש עוד מונחים. לדוגמה, ( ו + ז + ח)’ = ו ’ + ז ’ + ח ’.

למהדרין, אין מושג של "חיסור" באלגברה. יש מושג של "אלמנט שלילי". לכן, ההבדל ו − זניתן לשכתב כסכום ו+ (-1) ז, ואז נשארת רק נוסחה אחת - הנגזרת של הסכום.

ו(איקס) = איקס 2 + sinx; ז(איקס) = איקס 4 + 2איקס 2 − 3.

פוּנקצִיָה ו(איקס) הוא הסכום של שתי פונקציות יסודיות, אז:

ו ’(איקס) = (איקס 2+ חטא איקס)’ = (איקס 2)' + (חטא איקס)’ = 2איקס+ cosx;

אנו טוענים באופן דומה עבור הפונקציה ז(איקס). רק יש כבר שלושה מונחים (מנקודת מבט של אלגברה):

ז ’(איקס) = (איקס 4 + 2איקס 2 − 3)’ = (איקס 4 + 2איקס 2 + (−3))’ = (איקס 4)’ + (2איקס 2)’ + (−3)’ = 4איקס 3 + 4איקס + 0 = 4איקס · ( איקס 2 + 1).

תשובה:
ו ’(איקס) = 2איקס+ cosx;
ז ’(איקס) = 4איקס · ( איקס 2 + 1).

נגזרת של מוצר

מתמטיקה היא מדע לוגי, ולכן אנשים רבים מאמינים שאם הנגזרת של הסכום שווה לסכום הנגזרות, אז הנגזרת של המכפלה לְהַכּוֹת"\u003e שווה למכפלה של נגזרות. אבל תאנים לך! הנגזרת של המוצר מחושבת באמצעות נוסחה שונה לחלוטין. כלומר:

(ו · ז) ’ = ו ’ · ז + ו · ז ’

הנוסחה פשוטה, אך לעתים קרובות נשכחת. ולא רק תלמידי בית ספר, אלא גם תלמידים. התוצאה היא בעיות שנפתרו בצורה לא נכונה.

משימה. מצא נגזרות של פונקציות: ו(איקס) = איקס 3 cosx; ז(איקס) = (איקס 2 + 7איקס- 7) · ה איקס .

פוּנקצִיָה ו(איקס) הוא תוצר של שתי פונקציות יסודיות, אז הכל פשוט:

ו ’(איקס) = (איקס 3 cos איקס)’ = (איקס 3)' cos איקס + איקס 3 (כמו איקס)’ = 3איקס 2 cos איקס + איקס 3 (-חטא איקס) = איקס 2 (3cos איקס − איקסחטא איקס)

פוּנקצִיָה ז(איקס) המכפיל הראשון הוא קצת יותר מסובך, אבל תכנית כלליתזה לא משתנה. ברור, המכפיל הראשון של הפונקציה ז(איקס) הוא פולינום, והנגזרת שלו היא הנגזרת של הסכום. יש לנו:

ז ’(איקס) = ((איקס 2 + 7איקס- 7) · ה איקס)’ = (איקס 2 + 7איקס− 7)' · ה איקס + (איקס 2 + 7איקס- 7) ( ה איקס)’ = (2איקס+ 7) · ה איקס + (איקס 2 + 7איקס- 7) · ה איקס = ה איקס(2 איקס + 7 + איקס 2 + 7איקס −7) = (איקס 2 + 9איקס) · ה איקס = איקס(איקס+ 9) · ה איקס .

תשובה:
ו ’(איקס) = איקס 2 (3cos איקס − איקסחטא איקס);
ז ’(איקס) = איקס(איקס+ 9) · ה איקס .

שימו לב שבשלב האחרון, הנגזרת מחולקת לגורמים. פורמלית, זה לא הכרחי, אבל רוב הנגזרות לא מחושבות לבד, אלא כדי לחקור את הפונקציה. זה אומר שבהמשך הנגזרת תושווה לאפס, הסימנים שלה יתגלו וכו'. במקרה כזה עדיף ביטוי מפורק לגורמים.

אם יש שתי פונקציות ו(איקס) ו ז(איקס), ו ז(איקס) ≠ 0 בסט שמעניין אותנו, נוכל להגדיר פונקציה חדשה ח(איקס) = ו(איקס)/ז(איקס). עבור פונקציה כזו, אתה יכול למצוא גם את הנגזרת:

לא חלש, נכון? מאיפה הגיע המינוס? למה ז 2? אבל ככה! זוהי אחת הנוסחאות המורכבות ביותר - אתה לא יכול להבין את זה בלי בקבוק. לכן, עדיף ללמוד את זה על דוגמאות קונקרטיות.

משימה. מצא נגזרות של פונקציות:

יש פונקציות יסודיות במונה ובמכנה של כל שבר, אז כל מה שאנחנו צריכים זה את הנוסחה לנגזרת של המנה:

לפי המסורת, אנו מפרקים את המונה לגורמים - זה יפשט מאוד את התשובה:

פונקציה מורכבת אינה בהכרח נוסחה באורך חצי קילומטר. לדוגמא, מספיק לקחת את הפונקציה ו(איקס) = חטא איקסולהחליף את המשתנה איקס, נגיד, על איקס 2+ln איקס. מתברר ו(איקס) = חטא ( איקס 2+ln איקס) היא פונקציה מורכבת. יש לה גם נגזרת, אבל לא יעבוד למצוא אותה לפי הכללים שנדונו לעיל.

איך להיות? במקרים כאלה, החלפת משתנה והנוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת עוזרות:

ו ’(איקס) = ו ’(ט) · ט', אם איקסמוחלף על ידי ט(איקס).

ככלל, המצב עם הבנת הנוסחה הזו עצוב עוד יותר מאשר עם נגזרת המנה. לכן, עדיף גם להסביר את זה עם דוגמאות ספציפיות, עם תיאור מפורטכל צעד.

משימה. מצא נגזרות של פונקציות: ו(איקס) = ה 2איקס + 3 ; ז(איקס) = חטא ( איקס 2+ln איקס)

שימו לב שאם בפונקציה ו(איקס) במקום ביטוי 2 איקס+ 3 יהיה קל איקס, אז זה יעבוד פונקציה אלמנטרית ו(איקס) = ה איקס. לכן, אנו מבצעים תחליף: תן 2 איקס + 3 = ט, ו(איקס) = ו(ט) = ה ט. אנו מחפשים את הנגזרת של פונקציה מורכבת לפי הנוסחה:

ו ’(איקס) = ו ’(ט) · ט ’ = (ה ט)’ · ט ’ = ה ט · ט ’

ועכשיו - שימו לב! ביצוע החלפה הפוכה: ט = 2איקס+ 3. אנחנו מקבלים:

ו ’(איקס) = ה ט · ט ’ = ה 2איקס+ 3 (2 איקס + 3)’ = ה 2איקס+ 3 2 = 2 ה 2איקס + 3

עכשיו בואו נסתכל על הפונקציה ז(איקס). ברור שצריך להחליף. איקס 2+ln איקס = ט. יש לנו:

ז ’(איקס) = ז ’(ט) · ט' = (חטא ט)’ · ט' = כי ט · ט ’

החלפה הפוכה: ט = איקס 2+ln איקס. לאחר מכן:

ז ’(איקס) = cos( איקס 2+ln איקס) · ( איקס 2+ln איקס)' = cos ( איקס 2+ln איקס) · (2 איקס + 1/איקס).

זה הכל! כפי שניתן לראות מהביטוי האחרון, כל הבעיה צומצמה לחישוב הנגזרת של הסכום.

תשובה:
ו ’(איקס) = 2 ה 2איקס + 3 ;
ז ’(איקס) = (2איקס + 1/איקס) כי( איקס 2+ln איקס).

לעתים קרובות מאוד בשיעורים שלי, במקום המונח "נגזרת", אני משתמש במילה "שבץ". לדוגמה, קו הסכום שווה לסכום הקוות. זה יותר ברור? ובכן, זה טוב.

לפיכך, חישוב הנגזרת מסתכם בהיפטרות ממשיכות אלו על פי הכללים שנדונו לעיל. כדוגמה אחרונה, נחזור לחזקה הנגזרת עם מעריך רציונלי:

(איקס נ)’ = נ · איקס נ − 1

מעטים יודעים זאת בתפקיד נבהחלט עשוי לפעול מספר חלקי. לדוגמה, השורש הוא איקס 0.5 . אבל מה אם יש משהו מסובך מתחת לשורש? שוב, פונקציה מורכבת יתברר - הם אוהבים לתת קונסטרוקציות כאלה על עבודת בקרהומבחנים.

משימה. מצא את הנגזרת של פונקציה:

ראשית, נכתוב מחדש את השורש ככוח עם מעריך רציונלי:

ו(איקס) = (איקס 2 + 8איקס − 7) 0,5 .

כעת אנו עושים תחליף: הניחו איקס 2 + 8איקס − 7 = ט. אנו מוצאים את הנגזרת לפי הנוסחה:

ו ’(איקס) = ו ’(ט) · ט ’ = (ט 0.5)' ט' = 0.5 ט-0.5 ט ’.

אנו מבצעים החלפה הפוכה: ט = איקס 2 + 8איקס− 7. יש לנו:

ו ’(איקס) = 0.5 ( איקס 2 + 8איקס− 7) −0.5 ( איקס 2 + 8איקס− 7)' = 0.5 (2 איקס+ 8) ( איקס 2 + 8איקס − 7) −0,5 .

לבסוף, בחזרה לשורשים:

כאשר נגזר את הנוסחה הראשונה של הטבלה, נצא מהגדרת הנגזרת של פונקציה בנקודה. בוא ניקח לאן איקס- כל מספר אמיתי, כלומר, איקס– כל מספר מאזור הגדרת הפונקציה . הבה נכתוב את הגבול של היחס בין תוספת הפונקציה לתוספת הארגומנט ב:

יש לציין כי בסימן הגבול מתקבל ביטוי שאינו אי הוודאות של אפס חלקי אפס, שכן המונה מכיל לא ערך אינפיניטימי, אלא אפס בדיוק. במילים אחרות, התוספת של פונקציה קבועה היא תמיד אפס.

בדרך זו, נגזרת של פונקציה קבועהשווה לאפס בכל תחום ההגדרה.

נגזרת של פונקציית חזקה.

נוסחת נגזרת פונקציית כוחיש את הצורה , שבו המעריך עהוא כל מספר ממשי.

תחילה נוכיח את הנוסחה של המעריך הטבעי, כלומר עבור p = 1, 2, 3, ...

נשתמש בהגדרה של נגזרת. הבה נכתוב את הגבול של היחס בין התוספת של פונקציית העוצמה לתוספת של הארגומנט:

כדי לפשט את הביטוי במונה, נפנה לנוסחה הבינומית של ניוטון:

כתוצאה מכך,

זה מוכיח את הנוסחה לנגזרת של פונקציית חזקה עבור מעריך טבעי.

נגזרת של פונקציה אקספוננציאלית.

אנו גוזרים את נוסחת הנגזרת על סמך ההגדרה:

הגיע לאי ודאות. כדי להרחיב אותו, אנו מציגים משתנה חדש , ועבור . לאחר מכן . במעבר האחרון השתמשנו בנוסחה למעבר לבסיס חדש של הלוגריתם.

בוא נבצע החלפה במגבלה המקורית:

אם נזכור את הגבול המדהים השני, אז נגיע לנוסחה של הנגזרת של הפונקציה המעריכית:

נגזרת של פונקציה לוגריתמית.

הבה נוכיח את הנוסחה לנגזרת של הפונקציה הלוגריתמית עבור כולם איקסמההיקף ומכל ערכי הבסיס החוקיים אלוֹגָרִיתְם. לפי הגדרת הנגזרת, יש לנו:

כפי ששמתם לב, בהוכחה, התמורות בוצעו תוך שימוש במאפייני הלוגריתם. שוויון תקף בשל הגבול המדהים השני.

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות.

כדי לגזור נוסחאות לנגזרות של פונקציות טריגונומטריות, נצטרך להיזכר בכמה נוסחאות טריגונומטריות, כמו גם את הגבול המדהים הראשון.

לפי הגדרת הנגזרת לפונקציית הסינוס, יש לנו .

אנו משתמשים בנוסחה להפרש הסינוסים:

נותר לפנות לגבול המדהים הראשון:

אז הנגזרת של הפונקציה חטא xיש כי x.

הנוסחה של נגזרת הקוסינוס מוכחת בדיוק באותו אופן.

לכן, הנגזרת של הפונקציה כי xיש -חטא x.

גזירת הנוסחאות לטבלת הנגזרות למשיק ולקוטנגנט תתבצע באמצעות כללי ההבחנה המוכחים (נגזרת של שבר).

נגזרות של פונקציות היפרבוליות.

כללי הדיפרנציאציה והנוסחה לנגזרת הפונקציה האקספוננציאלית מטבלת הנגזרות מאפשרים לנו לגזור נוסחאות לנגזרות הסינוס ההיפרבולי, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי.

נגזרת של הפונקציה ההפוכה.

כדי שלא יהיה בלבול במצגת, נסמן באינדקס התחתון את הארגומנט של הפונקציה שבאמצעותה מבוצע הדיפרנציאציה, כלומר היא הנגזרת של הפונקציה f(x)עַל איקס.

עכשיו אנחנו מנסחים כלל למציאת הנגזרת של הפונקציה ההפוכה.

תן לפונקציות y = f(x)ו x = g(y)הפוכה הדדית, מוגדרת על המרווחים ובהתאמה. אם בנקודה מסוימת קיימת נגזרת סופית שאינה אפס של הפונקציה f(x), אז בנקודה קיימת נגזרת סופית של הפונקציה ההפוכה g(y), ו . בערך אחר .

ניתן לנסח מחדש כלל זה עבור כל אחד איקסמהמרווח , אז נקבל .

בואו נבדוק את תקפותן של נוסחאות אלו.

בואו נמצא את הפונקציה ההפוכה ללוגריתם הטבעי (כאן yהיא פונקציה, ו איקס- טיעון). פתרון משוואה זו עבור איקס, אנחנו מקבלים (כאן איקסהיא פונקציה, ו yהטיעון שלה). זה, ופונקציות הפוכות הדדית.

מטבלת הנגזרות אנו רואים זאת ו .

בואו נוודא שהנוסחאות למציאת נגזרות של הפונקציה ההפוכה מובילות אותנו לאותן תוצאות:

יישום

הפתרון של הנגזרת לאתר לאיחוד החומר שמכוסה על ידי תלמידים ותלמידי בית ספר. חישוב הנגזרת של פונקציה תוך מספר שניות אינו קשה אם אתה משתמש בשירות פתרון הבעיות המקוון שלנו. תן ניתוח מפורט למחקר יסודי על שיעור מעשיכל תלמיד שלישי יכול. לא פעם פונה אלינו מהמחלקה של המחלקה הרלוונטית לקידום המתמטיקה במוסדות החינוך בארץ. במקרה הזה, איך לא להזכיר את הפתרון של הנגזרת באינטרנט לחלל סגור רצפי מספרים. אנשים עשירים רבים רשאים להביע את תמיהתם. אבל בינתיים, מתמטיקאים לא יושבים בשקט ועובדים קשה. השינוי בפרמטרי הקלט לפי מאפיינים ליניאריים יתקבל על ידי מחשבון הנגזרים בעיקר בשל העליונות של המיקומים היורדים של הקוביות. התוצאה היא בלתי נמנעת כמשטח. כנתונים ראשוניים, הנגזרת המקוונת מבטלת את הצורך לנקוט בצעדים מיותרים. חוץ משיעורי בית פיקטיביים. בנוסף לעובדה שהפתרון של נגזרים באינטרנט הוא הכרחי ו היבט חשובלומדים מתמטיקה, תלמידים לעתים קרובות אינם זוכרים משימות בעבר. התלמיד, כמו יצור עצלן, מבין זאת. אבל התלמידים אנשים מצחיקים! או לעשות את זה לפי הכללים, או שהנגזרת של הפונקציה במישור משופע יכולה לתת תאוצה לנקודה חומרית. בואו נכוון את הווקטור של האלומה המרחבית היורדת למקום כלשהו. בתשובה הרצויה, מציאת הנגזרת נראית מופשטת כיוון תיאורטיבגלל חוסר יציבות מערכת מתמטית. חשבו על יחס של מספרים כרצף של אפשרויות שאינן בשימוש. ערוץ התקשורת התחדש בקו החמישי לאורך הווקטור היורד מנקודת ההתפצלות הסגורה של הקובייה. במישור המרחבים המעוקלים, פתרון הנגזרת באינטרנט מוביל אותנו למסקנה שגרמה לגדולי המוחות של כדור הארץ לחשוב במאה האחרונה. במהלך התרחשויות מתחום המתמטיקה, הובאו לדיון הציבורי חמישה גורמים חשובים מהותית התורמים לשיפור עמדת בחירת המשתנה. אז החוק לנקודות אומר שהנגזרת המקוונת לא מחושבת בפירוט בכל מקרה, רק רגע שמתקדם בנאמנות יכול להיות חריג. התחזית הביאה אותנו לסבב חדש של פיתוח. אנחנו צריכים תוצאה. בקו המדרון המתמטי שעבר מתחת לפני השטח, מחשבון נגזרות המצב נמצא באזור ההצטלבות של המוצרים על סט הכיפוף. נותר לנתח את הבידול של הפונקציה בנקודה העצמאית שלה ליד שכונת אפסילון. כל אחד יכול לראות זאת בפועל. כתוצאה מכך, יהיה על מה להחליט בשלב הבא של התכנות. התלמיד צריך את הנגזרת המקוונת כמו תמיד, ללא קשר ללימודים הדמיוניים המתורגלים. מסתבר שהפתרון המקוון של פונקציית הנגזרת כפול קבוע אינו משנה את כיוון התנועה הכללי של נקודת החומר, אלא מאפיין את עליית המהירות בקו ישר. במובן זה, זה יהיה שימושי ליישם את מחשבון הנגזרת שלנו ולחשב את כל הערכים של פונקציה על כל קבוצת ההגדרה שלה. פשוט אין צורך לחקור את גלי הכוח של שדה הכבידה. בשום מקרה הפתרון של נגזרות באינטרנט לא יראה את שיפוע האלומה היוצאת, אלא רק פנימה מקרים נדיריםכשזה באמת נחוץ, סטודנטים באוניברסיטה יכולים לדמיין את זה. אנחנו חוקרים את המנהלת. הערך של הרוטור הקטן ביותר ניתן לחיזוי. החל על התוצאה את הקווים הפונים ימינה שמתארים את הכדור, אבל מחשבון מקווןנגזרים, זהו הבסיס לנתונים בעלי חוזק מיוחד ותלות לא ליניארית. דוח פרויקט מתמטיקה מוכן. מאפיינים אישיים הפרש המספרים הקטנים ביותר והנגזרת של הפונקציה לאורך ציר ה-y יביאו את הקיעור של אותה פונקציה לגובה. יש כיוון - יש מסקנה. קל יותר ליישם את התיאוריה בפועל. יש הצעה של סטודנטים על מועד תחילת הלימודים. צריך תשובה של מורה. שוב, כמו בעמדה הקודמת, המערכת המתמטית אינה מוסדרת על בסיס פעולה שתסייע במציאת הנגזרת, כמו הגרסה החצי-לינארית התחתונה, הנגזרת המקוונת תציין בפירוט את זיהוי הפתרון ע"פ חוק מותנה מנוון. רק העלה את הרעיון של חישוב נוסחאות. בידול ליניארי של פונקציה דוחה את האמת של הפתרון פשוט על ידי הצגת וריאציות חיוביות לא רלוונטיות. חשיבותם של סימני ההשוואה תיחשב כהפסקה מתמשכת של הפונקציה לאורך הציר. זוהי החשיבות של המסקנה המודעת ביותר, לדברי התלמיד, שבה הנגזרת המקוונת היא משהו אחר מאשר דוגמה נאמנה לניתוח מתמטי. הרדיוס של מעגל מעוקל במרחב האוקלידי, להיפך, נתן למחשבון הנגזרות ייצוג טבעי של חילופי בעיות מכריעות ליציבות. השיטה הטובה ביותרמצאתי. היה קל יותר לעלות את המשימה ברמה. תן לתחולת פרופורציית ההפרש העצמאי להוביל לפתרון הנגזרות באינטרנט. הפתרון מסתובב סביב ציר ה-x, ומתאר את דמות המעגל. יש מוצא, והוא מבוסס על מחקר הנתמך תיאורטית על ידי סטודנטים באוניברסיטה, שכולם לומדים ממנו, וגם באותם רגעים בזמן יש נגזרת של הפונקציה. מצאנו דרך להתקדמות והתלמידים אישרו זאת. אנו יכולים להרשות לעצמנו למצוא את הנגזרת מבלי לחרוג מגישה לא טבעית לשינוי המערכת המתמטית. הסימן הפרופורציונלי השמאלי גדל באופן אקספוננציאלי בתור הייצוג המתמטי של מחשבון הנגזרת המקוון עקב הנסיבות הלא ידועות של גורמים ליניאריים על ציר ה-y האינסופי. מתמטיקאים בכל רחבי העולם הוכיחו את הבלעדיות של תהליך הייצור. יש מרובע לפחותבתוך המעגל לפי תיאור התיאוריה. שוב, הנגזרת המקוונת תרחיב את הניחוש שלנו לגבי מה עשוי היה להשפיע על הדעה המעודנת מבחינה תיאורטית מלכתחילה. היו דעות בעלות אופי שונה מהדו"ח שניתחנו. תשומת לב נפרדת אולי לא תקרה לתלמידי הפקולטות שלנו, אבל רק לא למתמטיקאים חכמים ומתקדמים שהבידול של פונקציה אצלם הוא רק תירוץ. המשמעות המכנית של הנגזרת פשוטה מאוד. כוח ההרמה מחושב כנגזרת מקוונת עבור הרווחים היציבים המשופעים כלפי מטה בזמן. ברור שמחשבון הנגזרים הוא תהליך קפדני של תיאור בעיית הניוון של טרנספורמציה מלאכותית כגוף אמורפי. הנגזרת הראשונה מדברת על שינוי בתנועה של נקודה חומרית. מרחב תלת מימדי נצפה כמובן בהקשר של טכנולוגיות שהוכשרו במיוחד לפתרון נגזרות באינטרנט, למעשה הוא נמצא בכל קולוקוויום בנושא דיסציפלינה מתמטית. הנגזרת השנייה מאפיינת את השינוי במהירות של נקודה חומרית וקובעת את התאוצה. גישת המרידיאן המבוססת על שימוש בטרנספורמציה אפינית מובילה ל שלב חדשהנגזרת של פונקציה בנקודה מהתחום של פונקציה זו. מחשבון מקוון של נגזרות לא יכול להיות ללא מספרים וסימון סימבולי במקרים מסוימים לפי רגע ההפעלה הנכון, למעט הסידור הניתן לשינוי של דברים במשימה. באופן מפתיע, יש האצה שנייה של נקודה חומרית, זו מאפיינת את השינוי בתאוצה. בעוד זמן קצר נתחיל ללמוד את פתרון הנגזרת באינטרנט, אך ברגע שתגיע לאבן דרך מסוימת בידע, התלמיד שלנו יפסיק את התהליך הזה. התרופה הטובה ביותררשת היא תקשורת חיה נושא מתמטיקה. ישנם עקרונות שאסור להפר בשום פנים ואופן, לא משנה כמה קשה המשימה. כדאי למצוא את הנגזרת באינטרנט בזמן וללא שגיאות. זה יוביל לעמדה חדשה של הביטוי המתמטי. המערכת יציבה. המשמעות הפיזית של הנגזרת אינה פופולרית כמו זו המכנית. לא סביר שמישהו זוכר איך הנגזרת המקוונת הביאה בפירוט במישור את קווי המתאר של קווי הפונקציה לנורמלי מהמשולש הסמוך לציר ה-x. לאדם מגיע תפקיד גדול במחקר של המאה הקודמת. הבה נבצע בשלושה שלבים יסודיים את הבידול של הפונקציה בנקודות, הן מתחום ההגדרה והן באינסוף. יהיה בכתב רק בתחום הלימוד, אך עשוי לתפוס את מקומו של הווקטור הראשי במתמטיקה ותורת המספרים, ברגע מה שיקרה יקשר את מחשבון הנגזרות המקוון לבעיה. תהיה סיבה, אבל תהיה סיבה לערוך משוואה. חשוב מאוד לזכור את כל פרמטרי הקלט. לא תמיד לוקחים את הטוב במצח, מאחורי זה עומדת כמות עצומה של עבודה המוחות הטובים ביותרשידע כיצד מחושבת הנגזרת המקוונת במרחב. מאז, הקמור נחשבת כנכס תפקוד מתמשך. ובכל זאת, עדיף קודם להגדיר את הבעיה של פתרון נגזרים באינטרנט בְּהֶקְדֵם הַאֶפְשַׁרִי. כך הפתרון יהיה שלם. בנוסף לנורמות שלא התגשמו, זה לא נחשב מספיק. בתחילה, כמעט כל תלמיד מציע להעלות שיטה פשוטה לגבי האופן שבו הנגזרת של פונקציה גורמת לאלגוריתם צמיחה שנוי במחלוקת. לכיוון האלומה העולה. זה הגיוני כמו עמדה כללית. בעבר הם סימנו את תחילתה של סיום פעולה מתמטית ספציפית, אבל היום זה יהיה הפוך. אולי הפתרון של הנגזרת באינטרנט יעלה שוב את הנושא ונקבל דעה משותפת על שמירתה בדיון בישיבת המורים. אנו מקווים להבנה מכל הצדדים של משתתפי המפגש. המשמעות ההגיונית כלולה בתיאור מחשבון הנגזרות בתהודה של מספרים על רצף הצגת המחשבה על הבעיה, אשר נענתה במאה הקודמת על ידי המדענים הגדולים של העולם. זה יעזור לחלץ משתנה מורכב מהביטוי המומר ולמצוא את הנגזרת באינטרנט כדי לבצע פעולה מאסיבית מאותו סוג. האמת הרבה יותר טובה מאשר ניחושים. הערך הנמוך ביותרבאופנה. התוצאה לא תאחר לבוא בעת שימוש בשירות ייחודי עבור הממצא המדויק ביותר, שעבורו יש נגזרת מקוונת בפירוט. בעקיפין, אך לעניין, כפי שאמר איש חכם אחד, נוצר מחשבון נגזרות מקוון לבקשת סטודנטים רבים מערים שונות באיגוד. אם יש הבדל, אז למה להחליט פעמיים. הווקטור הנתון נמצא באותו צד של הנורמלי. באמצע המאה הקודמת, הבידול של פונקציה לא נתפס בשום אופן כפי שהוא היום. הודות להתפתחות בעיצומה, הופיעה מתמטיקה מקוונת. עם הזמן, תלמידים שוכחים לתת קרדיט לדיסציפלינות מתמטיות. הפתרון של הנגזרת באינטרנט יאתגר את התזה שלנו, בהתבסס בצדק על יישום התיאוריה, הנתמכת על ידי ידע מעשי. יחרוג מהערך הקיים של גורם המצגת ויכתוב את הנוסחה בצורה מפורשת עבור הפונקציה. קורה שאתה צריך למצוא את הנגזרת באינטרנט כבר עכשיו מבלי להשתמש באף מחשבון, עם זאת, אתה תמיד יכול לנקוט בטריק של התלמיד ועדיין להשתמש בשירות כזה כאתר אינטרנט. כך, התלמיד יחסוך זמן רב בהעתקת דוגמאות ממחברת טיוטה לטופס סופי. אם אין סתירות, השתמש בשירות פתרון שלב אחר שלב לדוגמאות מורכבות כאלה.

החישוב של הנגזרת נמצא לעתים קרובות ב השתמש במטלות. דף זה מכיל רשימה של נוסחאות למציאת נגזרות.

כללי בידול

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. נגזרת של פונקציה מורכבת. אם y=F(u) ו-u=u(x), אז הפונקציה y=f(x)=F(u(x)) נקראת פונקציה מורכבת של x. שווה ל-y′(x)=Fu⋅ ux′.
5. נגזרת של פונקציה מרומזת. הפונקציה y=f(x) נקראת הפונקציה המשתמעת הניתנת על ידי היחס F(x,y)=0 אם F(x,f(x))≡0.
6. נגזרת של הפונקציה ההפוכה. אם g(f(x))=x, אז הפונקציה g(x) נקראת הפונקציה ההפוכה עבור הפונקציה y=f(x).
7. נגזרת של פונקציה נתונה פרמטרית. תנו את x ו-y כפונקציות של המשתנה t: x=x(t), y=y(t). אומרים ש-y=y(x) פרמטרית פונקציה נתונהעל המרווח x∈ (a;b), אם במרווח זה ניתן לבטא את המשוואה x=x(t) כ-t=t(x) ואת הפונקציה y=y(t(x))=y(x) יכול להתפרש.
8. נגזרת של כוח- פונקציה מעריכית. הוא נמצא על ידי לקיחת הלוגריתם לבסיס הלוגריתם הטבעי.

אנו ממליצים לך לשמור את הקישור, מכיוון שייתכן שיהיה צורך בטבלה זו פעמים רבות נוספות.