איך מחלקים מספרים שברים. כפל של שברים פשוטים ומעורבים עם מכנים שונים

) והמכנה לפי המכנה (נקבל את המכנה של המוצר).

נוסחת כפל שברים:

לדוגמה:

לפני שתמשיך עם הכפל של המונים והמכנים, יש צורך לבדוק אפשרות של הפחתת שברים. אם תצליחו לצמצם את השבר, אז יהיה לכם קל יותר להמשיך ולעשות חישובים.

חלוקה של שבר רגיל בשבר.

חלוקה של שברים הכוללים מספר טבעי.

זה לא מפחיד כמו שזה נראה. כמו במקרה של חיבור, אנו ממירים מספר שלם לשבר עם יחידה במכנה. לדוגמה:

הכפלה של שברים מעורבים.

כללים להכפלת שברים (מעורב):

• להמיר שברים מעורבים לשברים לא תקינים;
• להכפיל את המונים והמכנים של שברים;
• אנו מצמצמים את השבר;
• אם נקבל שבר לא תקין, אז נמיר את השבר הלא תקין לשבר מעורב.

הערה!כדי להכפיל שבר מעורב בשבר מעורב אחר, תחילה עליך להביא אותם לצורה של שברים לא תקינים, ולאחר מכן להכפיל לפי הכלל להכפלת שברים רגילים.

הדרך השנייה להכפיל שבר במספר טבעי.

נוח יותר להשתמש בשיטה השנייה של הכפלת שבר רגיל במספר.

הערה!כדי להכפיל שבר במספר טבעי, יש צורך לחלק את המכנה של השבר במספר זה, ולהשאיר את המונה ללא שינוי.

מהדוגמה לעיל, ברור שאופציה זו נוחה יותר לשימוש כאשר מחלקים את המכנה של שבר ללא שארית במספר טבעי.

שברים מרובים.

בתיכון, לעתים קרובות מוצאים שברים בני שלוש קומות (או יותר). דוגמא:

כדי להביא שבר כזה לצורתו הרגילה, משתמשים בחלוקה ל-2 נקודות:

הערה!כאשר מחלקים שברים, יש חשיבות רבה לסדר החלוקה. היזהר, קל להתבלבל כאן.

הערה, לדוגמה:

כשמחלקים אחד בשבר כלשהו, ​​התוצאה תהיה אותו שבר, רק הפוך:

עצות מעשיות להכפלה וחלוקת שברים:

1. הדבר החשוב ביותר בעבודה עם ביטויים שברים הוא דיוק וקשב. בצע את כל החישובים בזהירות ובדייקנות, מרוכז וברור. עדיף לרשום כמה שורות נוספות בטיוטה מאשר להתבלבל בחישובים בראש.

2. במשימות עם סוגים שוניםשברים - עבור לצורה של שברים רגילים.

3. אנחנו מצמצמים את כל השברים עד שכבר אי אפשר להפחית.

4. אנו מביאים ביטויים שברים מרובי רמות לביטויים רגילים, תוך שימוש בחלוקה ל-2 נקודות.

5. אנו מחלקים את היחידה לשבר במוחנו, פשוט על ידי הפיכת השבר.

בפעם הקודמת למדנו איך להוסיף ולחסיר שברים (ראה שיעור "חיבור וחיסור שברים"). הרגע הקשה ביותר בפעולות הללו היה הבאת שברים למכנה משותף.

עכשיו הגיע הזמן להתמודד עם כפל וחילוק. החדשות הטובות הן שפעולות אלו קלות אפילו יותר מחיבור וחיסור. כדי להתחיל, שקול המקרה הפשוט ביותר, כאשר ישנם שני שברים חיוביים ללא חלק שלם מובחן.

כדי להכפיל שני שברים, אתה צריך להכפיל את המונים והמכנים שלהם בנפרד. המספר הראשון יהיה המונה של השבר החדש, והשני יהיה המכנה.

כדי לחלק שני שברים, אתה צריך להכפיל את השבר הראשון בשני "ההפוך".

יִעוּד:

מההגדרה עולה שחלוקת השברים מצטמצמת לכפל. כדי להפוך שבר, פשוט החליפו את המונה והמכנה. לכן, את כל השיעור נשקול בעיקר כפל.

כתוצאה מהכפל, יכול להיווצר שבר מופחת (ולעיתים קרובות עולה) - כמובן שיש לצמצם אותו. אם לאחר כל ההפחתות התברר שהשבר אינו נכון, יש להבחין בו את כל החלק. אבל מה שבדיוק לא יקרה עם הכפל הוא צמצום למכנה משותף: אין שיטות צולבות, גורמים מקסימליים וכפולות משותפים לפחות.

בהגדרה יש לנו:

כפל שברים עם חלק שלם ושברים שליליים

אם יש חלק שלם בשברים, יש להמיר אותם לשברים לא תקינים - ורק אז להכפיל אותם לפי הסכמות שפורטו לעיל.

אם יש מינוס במונה של שבר, במכנה או לפניו, ניתן להוציאו מגבולות הכפל או להסירו לגמרי לפי הכללים הבאים:

1. פלוס פעמים מינוס נותן מינוס;
2. שתי שליליות גורמות לחיוב.

עד כה, כללים אלו נתקלו רק בחיבור והפחתה של שברים שליליים, כאשר זה היה נדרש כדי להיפטר מהחלק כולו. עבור מוצר, ניתן להכליל אותם כדי "לשרוף" כמה מינוסים בבת אחת:

1. אנו חוצים את המינוסים בזוגות עד שהם נעלמים לחלוטין. במקרה קיצוני, מינוס אחד יכול לשרוד - זה שלא מצא התאמה;
2. אם לא נותרו מינוסים, הפעולה הושלמה - אפשר להתחיל להכפיל. אם המינוס האחרון לא נחצה, מכיוון שהוא לא מצא זוג, נוציא אותו מגבולות הכפל. אתה מקבל שבר שלילי.

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:

אנו מתרגמים את כל השברים לשברים לא תקינים, ואז אנו מוציאים את המינוסים מחוץ לגבולות הכפל. מה שנשאר מוכפל לפי הכללים הרגילים. אנחנו מקבלים:

הרשו לי להזכיר לכם שוב שהמינוס שבא לפני שבר עם חלק שלם מודגש מתייחס ספציפית לכל השבר, ולא רק לחלק השלם שלו (זה חל על שתי הדוגמאות האחרונות).

שימו לב גם למספרים שליליים: כאשר מכפילים אותם, הם מוקפים בסוגריים. זה נעשה על מנת להפריד את המינוסים מסימני הכפל ולהפוך את כל הסימון למדויק יותר.

הפחתת שברים תוך כדי תנועה

הכפל הוא פעולה מאוד מפרכת. המספרים כאן די גדולים, וכדי לפשט את המשימה, אתה יכול לנסות לצמצם את השבר עוד יותר לפני הכפל. למעשה, בעצם, המונים והמכנים של שברים הם גורמים רגילים, ולכן ניתן לצמצם אותם באמצעות התכונה הבסיסית של שבר. תסתכל על הדוגמאות:

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:

בהגדרה יש לנו:

בכל הדוגמאות המספרים שצומצמו ומה שנשאר מהם מסומנים באדום.

שימו לב: במקרה הראשון, המכפילים הופחתו לחלוטין. יחידות נותרו במקומן, שבאופן כללי ניתן לוותר עליהן. בדוגמה השנייה לא ניתן היה להגיע להפחתה מוחלטת, אך סך החישובים עדיין ירד.

עם זאת, בשום מקרה אל תשתמש בטכניקה זו בעת חיבור וחיסור שברים! כן, לפעמים יש מספרים דומים שפשוט רוצים להפחית. הנה, תראה:

אתה לא יכול לעשות את זה!

השגיאה מתרחשת בשל העובדה שכאשר מוסיפים שבר, הסכום מופיע במונה של שבר, ולא במכפלה של מספרים. לכן, אי אפשר ליישם את המאפיין העיקרי של שבר, שכן במאפיין זה אנחנו מדבריםמדובר על הכפלת מספרים.

פשוט אין סיבה אחרת להפחית שברים, אז פתרון נכוןהמשימה הקודמת נראית כך:

פתרון נכון:

כפי שאתה יכול לראות, התשובה הנכונה התבררה כל כך לא יפה. באופן כללי, היזהר.

תוכן השיעור

הוספת שברים עם אותם מכנים

הוספת שברים היא משני סוגים:

1. הוספת שברים עם אותם מכנים
2. הוספת שברים עם מכנים שונים

נתחיל בהוספת שברים עם אותם מכנים. הכל פשוט כאן. כדי להוסיף שברים עם אותם מכנים, עליך להוסיף את המונים שלהם, ולהשאיר את המכנה ללא שינוי. לדוגמה, בואו נוסיף את השברים ואת . אנו מוסיפים את המונים ומשאירים את המכנה ללא שינוי:

ניתן להבין בקלות את הדוגמה הזו אם נחשוב על פיצה שמחולקת לארבעה חלקים. אם אתה מוסיף פיצה לפיצה, אתה מקבל פיצה:

דוגמה 2הוסף שברים ו.

התשובה היא שבר לא תקין. אם סוף המשימה מגיע, אז נהוג להיפטר משברים לא תקינים. כדי להיפטר משבר לא תקין, עליך לבחור את כל החלק בו. במקרה שלנו, החלק השלם מוקצה בקלות - שניים חלקי שניים שווה לאחד:

ניתן להבין בקלות את הדוגמה הזו אם נחשוב על פיצה שמחולקת לשני חלקים. אם מוסיפים עוד פיצות לפיצה, מקבלים פיצה אחת שלמה:

דוגמה 3. הוסף שברים ו.

שוב, הוסף את המונה, והשאר את המכנה ללא שינוי:

ניתן להבין בקלות את הדוגמה הזו אם נחשוב על פיצה המחולקת לשלושה חלקים. אם תוסיפו פיצות נוספות לפיצה, תקבלו פיצות:

דוגמה 4מצא את הערך של ביטוי

דוגמה זו נפתרת בדיוק באותו אופן כמו הקודמות. יש להוסיף את המונים ולהשאיר את המכנה ללא שינוי:

בואו ננסה לתאר את הפתרון שלנו באמצעות תמונה. אם מוסיפים פיצות לפיצה ומוסיפים פיצות נוספות, מקבלים פיצה אחת שלמה ועוד פיצות.

כפי שאתה יכול לראות, הוספת שברים עם אותם מכנים אינה קשה. זה מספיק כדי להבין את הכללים הבאים:

1. כדי להוסיף שברים עם אותו מכנה, אתה צריך להוסיף את המונים שלהם, ולהשאיר את המכנה ללא שינוי;

הוספת שברים עם מכנים שונים

כעת נלמד כיצד להוסיף שברים עם מכנים שונים. כאשר מוסיפים שברים, המכנים של אותם שברים חייבים להיות זהים. אבל הם לא תמיד זהים.

לדוגמה, ניתן להוסיף שברים כי יש להם אותם מכנים.

אבל אי אפשר להוסיף שברים בבת אחת, כי לשברים האלה יש מכנים שונים. במקרים כאלה, יש לצמצם שברים לאותו מכנה (משותף).

ישנן מספר דרכים לצמצם שברים לאותו מכנה. היום נשקול רק אחת מהן, שכן שאר השיטות עשויות להיראות מסובכות למתחילים.

המהות של שיטה זו טמונה בעובדה שמחפשים את הראשון (LCM) של המכנים של שני השברים. לאחר מכן מחלקים את ה-LCM במכנה של השבר הראשון ומתקבל הגורם הנוסף הראשון. הם עושים את אותו הדבר עם השבר השני - ה-LCM מחולק במכנה של השבר השני ומתקבל הגורם הנוסף השני.

לאחר מכן מוכפלים המונים והמכנים של השברים בגורמים הנוספים שלהם. כתוצאה מפעולות אלו, שברים שהיו להם מכנים שונים הופכים לשברים בעלי אותם מכנים. ואנחנו כבר יודעים להוסיף שברים כאלה.

דוגמה 1. הוסף שברים ו

ראשית, אנו מוצאים את הכפולה הפחות משותפת של המכנים של שני השברים. המכנה של השבר הראשון הוא המספר 3, והמכנה של השבר השני הוא המספר 2. הכפולה הפחות משותפת של המספרים הללו היא 6

LCM (2 ו-3) = 6

כעת נחזור לשברים ו. ראשית, נחלק את ה-LCM במכנה של השבר הראשון ונקבל את הגורם הנוסף הראשון. LCM הוא המספר 6, והמכנה של השבר הראשון הוא המספר 3. נחלק 6 ב-3, נקבל 2.

המספר 2 המתקבל הוא הגורם הנוסף הראשון. אנחנו רושמים את זה לשבר הראשון. לשם כך, אנו יוצרים קו אלכסוני קטן מעל השבר ורושמים את הגורם הנוסף שנמצא מעליו:

אנחנו עושים את אותו הדבר עם השבר השני. נחלק את ה-LCM במכנה של השבר השני ונקבל את הגורם הנוסף השני. LCM הוא המספר 6, והמכנה של השבר השני הוא המספר 2. נחלק 6 ב-2, נקבל 3.

המספר 3 המתקבל הוא הגורם הנוסף השני. אנחנו כותבים את זה לשבר השני. שוב, אנו יוצרים קו אלכסוני קטן מעל השבר השני ונכתוב מעליו את הגורם הנוסף שנמצא:

עכשיו כולנו מוכנים להוסיף. נותר להכפיל את המונים והמכנים של השברים בגורמים הנוספים שלהם:

תסתכל מקרוב על מה שהגענו אליו. הגענו למסקנה ששברים בעלי מכנים שונים הפכו לשברים בעלי אותם מכנים. ואנחנו כבר יודעים להוסיף שברים כאלה. בוא נשלים את הדוגמה הזו עד הסוף:

כך מסתיימת הדוגמה. להוסיף מסתבר.

בואו ננסה לתאר את הפתרון שלנו באמצעות תמונה. אם מוסיפים פיצה לפיצה, מקבלים פיצה אחת שלמה ועוד שישית של פיצה:

הפחתת שברים לאותו מכנה (משותף) יכולה להיות מתוארת גם באמצעות תמונה. מביאים את השברים ולמכנה משותף, נקבל את השברים ו. שני השברים האלה יוצגו על ידי אותן פרוסות פיצות. ההבדל היחיד יהיה שהפעם הם יחולקו לחלקים שווים (יצטמצמו לאותו מכנה).

הציור הראשון מציג שבר (ארבעה חלקים מתוך שש) והתמונה השנייה מציגה שבר (שלושה חלקים מתוך שש). אם נחבר את החלקים האלה ביחד אנחנו מקבלים (שבע חלקים מתוך שישה). השבר הזה שגוי, אז הדגשנו את החלק השלם שבו. התוצאה הייתה (פיצה אחת שלמה ועוד פיצה שישית).

שימו לב שציירנו את הדוגמה הזו בפירוט רב מדי. במוסדות חינוך לא נהוג לכתוב בצורה כל כך מפורטת. אתה צריך להיות מסוגל למצוא במהירות את ה-LCM של שני המכנים והגורמים הנוספים להם, כמו גם להכפיל במהירות את הגורמים הנוספים שנמצאו על ידי המונים והמכנים שלך. בזמן הלימודים, נצטרך לכתוב את הדוגמה הבאה:

אבל יש גם את הצד השני של המטבע. אם אין הערות מפורטות בשלבים הראשונים של לימוד מתמטיקה, אז שאלות מסוג זה "מאיפה המספר הזה?", "למה שברים הופכים פתאום לשברים שונים לגמרי? «.

כדי להקל על הוספת שברים עם מכנים שונים, תוכל להשתמש בהוראות המפורטות הבאות:

1. מצא את LCM של מכנים של שברים;
2. חלקו את ה-LCM במכנה של כל שבר וקבל מכפיל נוסף עבור כל שבר;
3. הכפל את המונים והמכנים של השברים בגורמים הנוספים שלהם;
4. הוסף שברים בעלי אותם מכנים;
5. אם התברר שהתשובה היא שבר לא תקין, בחר את כל החלק שלה;

דוגמה 2מצא את הערך של ביטוי .

בוא נשתמש בהוראות למעלה.

שלב 1. מצא את ה-LCM של המכנים של השברים

מצא את LCM של המכנים של שני השברים. המכנים של השברים הם המספרים 2, 3 ו-4

שלב 2. חלקו את LCM במכנה של כל שבר וקבל מכפיל נוסף עבור כל שבר

מחלקים את ה-LCM במכנה של השבר הראשון. LCM הוא המספר 12, והמכנה של השבר הראשון הוא המספר 2. נחלק 12 ב-2, נקבל 6. קיבלנו את הגורם הנוסף הראשון 6. נכתוב אותו על השבר הראשון:

כעת נחלק את LCM במכנה של השבר השני. LCM הוא המספר 12, והמכנה של השבר השני הוא המספר 3. נחלק 12 ב-3, נקבל 4. קיבלנו את הגורם הנוסף השני 4. נכתוב אותו על השבר השני:

כעת נחלק את ה-LCM במכנה של השבר השלישי. LCM הוא המספר 12, והמכנה של השבר השלישי הוא המספר 4. נחלק 12 ב-4, נקבל 3. קיבלנו את הגורם השלישי הנוסף 3. נכתוב אותו על השבר השלישי:

שלב 3. הכפל את המונים והמכנים של השברים בגורמים הנוספים שלך

אנו מכפילים את המונים והמכנים בגורמים הנוספים שלנו:

שלב 4. הוסף שברים בעלי אותם מכנים

הגענו למסקנה ששברים בעלי מכנים שונים הפכו לשברים בעלי אותם מכנים (משותפים). נותר להוסיף את השברים הללו. להוסיף:

התוספת לא התאימה לשורה אחת, אז העברנו את הביטוי הנותר לשורה הבאה. זה מותר במתמטיקה. כאשר ביטוי אינו מתאים לשורה אחת, הוא מועבר לשורה הבאה, ויש צורך לשים סימן שוויון (=) בסוף השורה הראשונה ובתחילת שורה חדשה. סימן השוויון בשורה השנייה מציין שזהו המשך של הביטוי שהיה בשורה הראשונה.

שלב 5. אם התברר שהתשובה היא שבר לא תקין, בחר את כל החלק בו

התשובה שלנו היא שבר לא תקין. עלינו לייחד את כל החלק בו. אנו מדגישים:

קיבלתי תשובה

חיסור של שברים עם אותם מכנים

ישנם שני סוגים של חיסור שברים:

1. חיסור של שברים עם אותם מכנים
2. חיסור של שברים עם מכנים שונים

ראשית, בואו נלמד כיצד להחסיר שברים עם אותם מכנים. הכל פשוט כאן. כדי להחסיר אחר משבר אחד, צריך להחסיר את המונה של השבר השני מהמונה של השבר הראשון, ולהשאיר את המכנה זהה.

לדוגמה, בואו נמצא את הערך של הביטוי . כדי לפתור דוגמה זו, יש צורך להחסיר את המונה של השבר השני מהמונה של השבר הראשון, ולהשאיר את המכנה ללא שינוי. בוא נעשה את זה:

ניתן להבין בקלות את הדוגמה הזו אם נחשוב על פיצה שמחולקת לארבעה חלקים. אם אתה חותך פיצה מפיצה, אתה מקבל פיצות:

דוגמה 2מצא את הערך של הביטוי.

שוב, מהמונה של השבר הראשון, מחסירים את המונה של השבר השני, ומשאירים את המכנה ללא שינוי:

ניתן להבין בקלות את הדוגמה הזו אם נחשוב על פיצה המחולקת לשלושה חלקים. אם אתה חותך פיצות מפיצה, אתה מקבל פיצות:

דוגמה 3מצא את הערך של ביטוי

דוגמה זו נפתרת בדיוק באותו אופן כמו הקודמות. מהמונה של השבר הראשון, אתה צריך להחסיר את המונה של השברים הנותרים:

כפי שאתה יכול לראות, אין שום דבר מסובך בהפחתת שברים עם אותם מכנים. זה מספיק כדי להבין את הכללים הבאים:

1. כדי להחסיר אחר משבר אחד, צריך להחסיר את המונה של השבר השני מהמונה של השבר הראשון, ולהשאיר את המכנה ללא שינוי;
2. אם התשובה התבררה כשבריר לא תקין, אז אתה צריך לבחור את כל החלק בו.

חיסור של שברים עם מכנים שונים

לדוגמה, ניתן להחסיר שבר משבר, שכן לשברים אלה יש אותם מכנים. אבל אי אפשר לגרוע שבר משבר, כי לשברים האלה יש מכנים שונים. במקרים כאלה, יש לצמצם שברים לאותו מכנה (משותף).

המכנה המשותף נמצא על פי אותו עיקרון בו השתמשנו בחיבור שברים בעלי מכנים שונים. קודם כל, מצא את LCM של המכנים של שני השברים. לאחר מכן מחלקים את ה-LCM במכנה של השבר הראשון ומתקבל הגורם הנוסף הראשון, שנכתב על השבר הראשון. באופן דומה, ה-LCM מחולק במכנה של השבר השני ומתקבל גורם נוסף שני, שנכתב על השבר השני.

לאחר מכן מוכפלים השברים בגורמים הנוספים שלהם. כתוצאה מפעולות אלו, שברים שהיו להם מכנים שונים הופכים לשברים בעלי אותם מכנים. ואנחנו כבר יודעים להחסיר שברים כאלה.

דוגמה 1מצא את הערך של ביטוי:

לשברים האלה יש מכנים שונים, אז צריך להביא אותם לאותו מכנה (משותף).

ראשית, אנו מוצאים את LCM של המכנים של שני השברים. המכנה של השבר הראשון הוא המספר 3, והמכנה של השבר השני הוא המספר 4. הכפולה הפחות משותפת של המספרים הללו היא 12

LCM (3 ו-4) = 12

כעת נחזור לשברים ו

הבה נמצא גורם נוסף עבור השבר הראשון. לשם כך, נחלק את ה-LCM במכנה של השבר הראשון. LCM הוא המספר 12, והמכנה של השבר הראשון הוא המספר 3. נחלק 12 ב-3, נקבל 4. נכתוב את הארבעה על השבר הראשון:

אנחנו עושים את אותו הדבר עם השבר השני. נחלק את LCM במכנה של השבר השני. LCM הוא המספר 12, והמכנה של השבר השני הוא המספר 4. נחלק 12 ב-4, נקבל 3. כתוב משולש על השבר השני:

עכשיו כולנו מוכנים לחיסור. נותר להכפיל את השברים בגורמים הנוספים שלהם:

הגענו למסקנה ששברים בעלי מכנים שונים הפכו לשברים בעלי אותם מכנים. ואנחנו כבר יודעים להחסיר שברים כאלה. בוא נשלים את הדוגמה הזו עד הסוף:

קיבלתי תשובה

בואו ננסה לתאר את הפתרון שלנו באמצעות תמונה. אם חותכים פיצות מפיצה, מקבלים פיצות.

זוהי הגרסה המפורטת של הפתרון. בהיותנו בבית הספר, נצטרך לפתור את הדוגמה הזו בצורה קצרה יותר. פתרון כזה ייראה כך:

הקטנה של שברים ולמכנה משותף ניתן גם לתאר באמצעות תמונה. אם נביא את השברים האלה למכנה משותף, נקבל את השברים ואת . השברים האלה יוצגו על ידי אותם פרוסות פיצה, אבל הפעם הם יחולקו לאותם שברים (מופחתים לאותו מכנה):

הציור הראשון מציג שבר (שמונה חלקים מתוך שתים עשרה), והתמונה השנייה מציגה שבר (שלושה חלקים מתוך שתים עשרה). על ידי חיתוך של שלושה חלקים משמונה חלקים, אנו מקבלים חמישה חלקים מתוך שתים עשרה. השבר מתאר את חמשת החלקים הללו.

דוגמה 2מצא את הערך של ביטוי

לשברים האלה יש מכנים שונים, אז תחילה צריך להביא אותם לאותו מכנה (משותף).

מצא את ה-LCM של המכנים של השברים הללו.

המכנים של השברים הם המספרים 10, 3 ו-5. הכפולה הפחות משותפת של המספרים הללו היא 30

LCM(10, 3, 5) = 30

כעת אנו מוצאים גורמים נוספים עבור כל שבר. לשם כך, נחלק את ה-LCM במכנה של כל שבר.

הבה נמצא גורם נוסף עבור השבר הראשון. LCM הוא המספר 30, והמכנה של השבר הראשון הוא המספר 10. נחלק 30 ב-10, נקבל את הגורם הנוסף הראשון 3. נכתוב אותו על השבר הראשון:

כעת אנו מוצאים גורם נוסף עבור השבר השני. מחלקים את ה-LCM במכנה של השבר השני. LCM הוא המספר 30, והמכנה של השבר השני הוא המספר 3. נחלק 30 ב-3, נקבל את הגורם השני הנוסף 10. נכתוב אותו על השבר השני:

כעת אנו מוצאים גורם נוסף עבור השבר השלישי. מחלקים את ה-LCM במכנה של השבר השלישי. LCM הוא המספר 30, והמכנה של השבר השלישי הוא המספר 5. נחלק 30 ב-5, נקבל את הגורם השלישי הנוסף 6. נכתוב אותו על השבר השלישי:

עכשיו הכל מוכן לחיסור. נותר להכפיל את השברים בגורמים הנוספים שלהם:

הגענו למסקנה ששברים בעלי מכנים שונים הפכו לשברים בעלי אותם מכנים (משותפים). ואנחנו כבר יודעים להחסיר שברים כאלה. בואו נסיים את הדוגמה הזו.

המשך הדוגמה לא יתאים לשורה אחת, ולכן נעביר את ההמשך לשורה הבאה. אל תשכח את סימן השוויון (=) בשורה החדשה:

התשובה התבררה כשברית נכונה, ונראה שהכל מתאים לנו, אבל היא מסורבלת ומכוערת מדי. אנחנו צריכים לעשות את זה יותר קל. מה אפשר לעשות? אתה יכול להפחית את השבר הזה.

כדי לצמצם שבר, עליך לחלק את המונה והמכנה שלו ב-(gcd) המספרים 20 ו-30.

אז, אנו מוצאים את ה-GCD של המספרים 20 ו-30:

כעת נחזור לדוגמא שלנו ונחלק את המונה והמכנה של השבר ב-GCD המצוי, כלומר ב-10

קיבלתי תשובה

הכפלת שבר במספר

כדי להכפיל שבר במספר, צריך להכפיל את המונה של השבר הנתון במספר זה, ולהשאיר את המכנה זהה.

דוגמה 1. הכפל את השבר במספר 1.

הכפלו את המונה של השבר במספר 1

ניתן להבין את הערך כאילו לוקח חצי פעם אחת. לדוגמה, אם אתה לוקח פיצה פעם אחת, אתה מקבל פיצה

מחוקי הכפל אנו יודעים שאם הכפל והמכפיל מתחלפים, אז המכפלה לא תשתנה. אם הביטוי נכתב כ-, אז המוצר עדיין יהיה שווה ל-. שוב, הכלל להכפלת מספר שלם ושבר עובד:

ניתן להבין את הערך הזה כלוקח מחצית מהיחידה. לדוגמה, אם יש פיצה אחת שלמה וניקח חצי ממנה, אז תהיה לנו פיצה:

דוגמה 2. מצא את הערך של ביטוי

הכפלו את המונה של השבר ב-4

התשובה היא שבר לא תקין. בואו ניקח חלק שלם מזה:

ניתן להבין את הביטוי כלוקח שני רבעים 4 פעמים. לדוגמה, אם אתה לוקח פיצות 4 פעמים, אתה מקבל שתי פיצות שלמות.

ואם נחליף את הכפיל והמכפיל במקומות, נקבל את הביטוי. זה יהיה גם שווה ל-2. ניתן להבין את הביטוי הזה כלקחת שתי פיצות מארבע פיצות שלמות:

כפל שברים

כדי להכפיל שברים, אתה צריך להכפיל את המונים והמכנים שלהם. אם התשובה היא שבר לא תקין, עליך לבחור את כל החלק שבו.

דוגמה 1מצא את הערך של הביטוי.

קיבלתי תשובה. רצוי לצמצם חלק זה. ניתן להקטין את השבר ב-2. ואז הפתרון הסופי יקבל את הצורה הבאה:

ניתן להבין את הביטוי כלקחת פיצה מחצי פיצה. נניח שיש לנו חצי פיצה:

איך לקחת שני שליש מהחצי הזה? ראשית עליך לחלק את החצי הזה לשלושה חלקים שווים:

וקחו שניים משלושת החלקים האלה:

אנחנו נביא פיצה. זכרו איך נראית פיצה מחולקת לשלושה חלקים:

פרוסה אחת מהפיצה הזו ושתי הפרוסות שלקחנו יהיו במידות זהות:

במילים אחרות, אנחנו מדברים על אותו גודל פיצה. לכן, ערכו של הביטוי הוא

דוגמה 2. מצא את הערך של ביטוי

הכפלו את המונה של השבר הראשון במונה של השבר השני, ואת המכנה של השבר הראשון במכנה של השבר השני:

התשובה היא שבר לא תקין. בואו ניקח חלק שלם מזה:

דוגמה 3מצא את הערך של ביטוי

הכפלו את המונה של השבר הראשון במונה של השבר השני, ואת המכנה של השבר הראשון במכנה של השבר השני:

התשובה התבררה כשבר נכון, אבל יהיה טוב אם יצטמצם. כדי לצמצם את השבר הזה, עליך לחלק את המונה והמכנה של השבר הזה במחלק המשותף הגדול ביותר (GCD) של המספרים 105 ו-450.

אז בואו נמצא את ה-GCD של המספרים 105 ו-450:

כעת נחלק את המונה והמכנה של התשובה שלנו ל-GCD שמצאנו כעת, כלומר ב-15

מייצג מספר שלם כשבר

כל מספר שלם יכול להיות מיוצג כשבר. לדוגמה, המספר 5 יכול להיות מיוצג כ-. מכאן, החמישה לא ישנו את משמעותם, שכן הביטוי פירושו "מספר חמש חלקי אחד", וזה, כידוע, שווה לחמש:

מספרים הפוכים

כעת נכיר נושא מאוד מעניין במתמטיקה. זה נקרא "מספרים הפוכים".

הַגדָרָה. הפוך למספרא הוא המספר שכאשר מוכפל בא נותן יחידה.

בואו נחליף בהגדרה זו במקום משתנה אמספר 5 ונסה לקרוא את ההגדרה:

הפוך למספר 5 הוא המספר שכאשר מוכפל ב 5 נותן יחידה.

האם ניתן למצוא מספר שכאשר מכפילים אותו ב-5 הוא נותן אחד? מסתבר שאתה יכול. נציג חמישה כשבר:

לאחר מכן תכפילו את השבר הזה בעצמו, פשוט החליפו את המונה והמכנה. במילים אחרות, בואו נכפיל את השבר בעצמו, רק הפוך:

מה תהיה התוצאה של זה? אם נמשיך לפתור את הדוגמה הזו, נקבל אחת:

זה אומר שההיפוך של המספר 5 הוא המספר, שכן כאשר 5 מוכפל באחד, מתקבל אחד.

ניתן למצוא את ההדדיות גם עבור כל מספר שלם אחר.

אתה יכול גם למצוא את ההדדיות עבור כל שבר אחר. כדי לעשות זאת, זה מספיק כדי להפוך אותו.

חלוקה של שבר במספר

נניח שיש לנו חצי פיצה:

בואו נחלק את זה שווה בשווה בין שניים. כמה פיצות יקבל כל אחד?

ניתן לראות שלאחר פיצול חצי מהפיצה התקבלו שני חלקים שווים שכל אחד מהם מרכיב פיצה. אז כולם מקבלים פיצה.

חלוקת השברים נעשית באמצעות הדדיות. הדדיות מאפשרות לך להחליף חילוק בכפל.

כדי לחלק שבר במספר, אתה צריך להכפיל את השבר הזה בהדדיות של המחלק.

בעזרת הכלל הזה, נכתוב את החלוקה של חצי הפיצה שלנו לשני חלקים.

אז אתה צריך לחלק את השבר במספר 2. כאן הדיבידנד הוא שבר והמחלק הוא 2.

כדי לחלק שבר במספר 2, אתה צריך להכפיל את השבר הזה בהדדיות של המחלק 2. ההדדיות של המחלק 2 הוא שבר. אז אתה צריך להכפיל ב

מספרים שבריריים רגילים פוגשים לראשונה תלמידי בית ספר בכיתה ה' ומלווים אותם לאורך כל חייהם, שכן בחיי היום-יום יש צורך לשקול או להשתמש בחפץ כלשהו לא לגמרי, אלא בחלקים נפרדים. תחילת הלימוד בנושא זה - שתפו. מניות הן חלקים שוויםשאליו מחולק חפץ. הרי לא תמיד ניתן לבטא, למשל, אורך או מחיר של מוצר כמספר שלם, יש לקחת בחשבון חלקים או מניות של כל מידה. נוצר מהפועל "למחץ" - לחלק לחלקים, ובעל שורשים ערביים, במאה השמיני הופיעה המילה "שבר" עצמה ברוסית.

ביטויים שברים נחשבים זה מכבר לחלק הקשה ביותר במתמטיקה. במאה ה-17, כאשר הופיעו ספרי הלימוד הראשונים במתמטיקה, הם כונו "מספרים שבורים", דבר שהיה קשה מאוד להציג בהבנתם של אנשים.

מראה מודרנישאריות חלקיות פשוטות, שחלקים מהם מופרדים בדיוק על ידי קו אופקי, תרמו לראשונה לפיבונאצ'י - ליאונרדו מפיזה. כתביו מתוארכים לשנת 1202. אך מטרת מאמר זה היא להסביר לקורא בצורה פשוטה וברורה כיצד מתרחשת הכפלה של שברים מעורבים עם מכנים שונים.

הכפלת שברים עם מכנים שונים

בתחילה, יש צורך לקבוע זנים של שברים:

• נכון;
• לא בסדר;
• מעורב.

לאחר מכן, עליך לזכור כיצד מוכפלים מספרים שברים בעלי אותם מכנים. עצם הכלל של תהליך זה קל לניסוח עצמאי: התוצאה של הכפלת שברים פשוטים עם אותם מכנים היא ביטוי שבר, שהמונה שלו הוא מכפלת המונים, והמכנה הוא מכפלת המכנים של השברים הללו. . כלומר, למעשה, המכנה החדש הוא הריבוע של אחד הקיימים בתחילה.

בעת הכפלה שברים פשוטים עם מכנים שוניםעבור שני גורמים או יותר, הכלל אינו משתנה:

א/ב * c/ד = a*c / b*d.

ההבדל היחיד הוא שהמספר שנוצר מתחת לסרגל השבר יהיה מכפלה של מספרים שונים, וכמובן, לא ניתן לקרוא לו ריבוע של ביטוי מספרי אחד.

כדאי לשקול את הכפל של שברים עם מכנים שונים באמצעות דוגמאות:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

הדוגמאות משתמשות בדרכים להפחתת ביטויי שבר. אתה יכול לצמצם רק את המספרים של המונה עם המספרים של המכנה; לא ניתן להקטין גורמים סמוכים מעל או מתחת לסרגל השבר.

יחד עם מספרים שברים פשוטים, יש את הרעיון של שברים מעורבים. מספר מעורב מורכב ממספר שלם וחלק חלקי, כלומר, הוא הסכום של המספרים הללו:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

איך עובד הכפל?

מספר דוגמאות מובאות לשיקול.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

הדוגמה משתמשת בכפל של מספר ב חלק חלקי רגיל, אתה יכול לרשום את הכלל עבור פעולה זו על ידי הנוסחה:

א * ב/ג = a*b /ג.

למעשה, מוצר כזה הוא סכום של שאריות חלקיות זהות, ומספר האיברים מציין את המספר הטבעי הזה. מקרה מיוחד:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

ישנה אפשרות נוספת לפתרון הכפל של מספר בשארית שברית. כל שעליך לעשות הוא לחלק את המכנה במספר זה:

ד* ה/ו = ה/ו: ד.

כדאי להשתמש בטכניקה זו כאשר המכנה מחולק במספר טבעי ללא שארית או, כמו שאומרים, לחלוטין.

המר מספרים מעורבים לשברים לא תקינים וקבל את המוצר בדרך שתוארה קודם לכן:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

דוגמה זו כוללת דרך לייצג שבר מעורב כשבר לא תקין, ניתן לייצג אותה גם כנוסחה כללית:

א בג = a*b+ c / c, כאשר המכנה של השבר החדש נוצר על ידי הכפלת החלק השלם עם המכנה והוספתו למונה של שארית השבר המקורית, והמכנה נשאר זהה.

תהליך זה עובד גם הפוך. כדי לבחור את החלק השלם ואת השארית השברית, עליך לחלק את המונה של שבר לא תקין במכנה שלו עם "פינה".

הכפלה של שברים לא תקיניםמיוצר בדרך הרגילה. כאשר הערך עובר מתחת לקו שבר אחד, לפי הצורך, צריך להקטין את השברים על מנת לצמצם את המספרים בשיטה זו וקל יותר לחשב את התוצאה.

יש הרבה עוזרים באינטרנט לפתור אפילו בעיות מורכבות. בעיות חשבוןבתוכניות שונות. כמות מספקתשירותים כאלה מציעים את עזרתם בספירת הכפל של שברים עם מספרים שוניםבמכנים - מה שנקרא מחשבונים מקוונים לחישוב שברים. הם מסוגלים לא רק להכפיל, אלא גם לבצע את כל שאר פעולות החשבון הפשוטות עם שברים רגיליםו מספרים מעורבים. לא קשה לעבוד איתו, השדות המתאימים ממולאים בדף האתר, נבחר הסימן של הפעולה המתמטית ולוחצים על "חשב". התוכנית נספרת אוטומטית.

הנושא של פעולות חשבון עם מספרים שברים רלוונטי בכל החינוך של תלמידי חטיבת הביניים והבוגרים. בתיכון, הם כבר לא שוקלים את המין הפשוט ביותר, אבל ביטויי שברים שלמים, אך הידע על הכללים לטרנספורמציה וחישובים, שהושג קודם לכן, מיושם בצורתו המקורית. מעוכל היטב ידע בסיסילתת אמון מלא בפתרון המוצלח של הכי הרבה משימות מאתגרות.

לסיכום, הגיוני לצטט את דבריו של ליאו טולסטוי, שכתב: "האדם הוא שבריר. אין בכוחו של האדם להגדיל את המונה שלו - את יתרונותיו שלו, אבל כל אחד יכול להקטין את המכנה שלו - את דעתו על עצמו, ועל ידי ירידה זו להתקרב לשלמות שלו.

במוקדם או במאוחר, כל הילדים בבית הספר מתחילים ללמוד שברים: החיבור שלהם, החלוקה, הכפל והכל פעולות אפשריות, שאפשר לבצע רק עם שברים. כדי להעניק סיוע ראוי לילד, ההורים עצמם לא צריכים לשכוח כיצד מספרים שלמים מחולקים לשברים, אחרת, לא תוכל לעזור לו בשום צורה, אלא רק לבלבל אותו. אם אתה צריך לזכור את הפעולה הזו, אבל אתה לא יכול להביא את כל המידע בראשך לכלל אחד, אז מאמר זה יעזור לך: תלמד כיצד לחלק מספר בשבר ותראה דוגמאות להמחשה.

איך מחלקים מספר לשבר

רשום את הדוגמה שלך על טיוטה כדי שתוכל לרשום הערות וכתמים. זכור שמספר שלם נכתב בין תאים, ממש בצומתם, לבין מספרים שברים - כל אחד בתא שלו.

• IN השיטה הזאתאתה צריך להפוך את השבר על הפוך, כלומר לכתוב את המכנה למונה, ואת המונה למכנה.
• יש לשנות את סימן החלוקה לכפל.
• עכשיו אתה רק צריך לבצע את הכפל לפי הכללים שכבר למדו: המונה מוכפל במספר שלם, והמכנה לא נפגע.

כמובן, כתוצאה מפעולה כזו, תקבל מאוד מספר גדולבמונה. אי אפשר להשאיר שבר במצב הזה - המורה פשוט לא יקבל את התשובה הזו. הקטינו את השבר על ידי חלוקת המונה במכנה. כתוב את המספר השלם שנוצר משמאל לשבר באמצע התאים, והשאר יהיה המונה החדש. המכנה נשאר ללא שינוי.

אלגוריתם זה די פשוט, אפילו עבור ילד. לאחר השלמתו חמש או שש פעמים, התינוק יזכור את ההליך ויוכל ליישם אותו על כל שברים.

איך מחלקים מספר בעשרוני

ישנם סוגים נוספים של שברים - עשרונים. החלוקה אליהם מתרחשת לפי אלגוריתם אחר לגמרי. אם אתה מתמודד עם דוגמה כזו, בצע את ההוראות:

• ראשית, הפוך את שני המספרים ל עשרונים. זה קל לעשות: המחלק שלך כבר מיוצג כשבר, ואתה מפריד את המספר הטבעי הניתן לחלוקה בפסיק, ומקבל שבר עשרוני. כלומר, אם הדיבידנד היה המספר 5, אתה מקבל שבריר של 5.0. אתה צריך להפריד את המספר במספר ספרות כפי שהוא עומד אחרי הנקודה העשרונית והמחלק.
• לאחר מכן, עליך להפוך את שני השברים העשרוניים למספרים טבעיים. בהתחלה, אתה עשוי למצוא את זה קצת מבלבל, אבל זה הכי הרבה דרך מהירהחלוקה, שתיקח לך שניות, לאחר כמה אימונים. שבר של 5.0 יהפוך למספר 50, שבר של 6.23 יהיה 623.
• תעשה את החלוקה. אם התברר שהמספרים גדולים, או שהחלוקה תתרחש עם שארית, בצע זאת בעמודה. אז תראה בבירור את כל הפעולות של הדוגמה הזו. אתה לא צריך לשים ספציפית פסיק, מכיוון שהוא יופיע בעצמו בתהליך של חלוקה לעמודה.

סוג זה של חלוקה נראה בהתחלה מבלבל מדי, מכיוון שאתה צריך להפוך את הדיבידנד והמחלק לשבר, ואז חזרה לשבר. מספרים שלמים. אבל לאחר אימון קצר, מיד תתחיל לראות את המספרים שאתה רק צריך לחלק אחד בשני.

זכור שהיכולת לחלק נכון שברים ושלמים לתוכם יכולה להיות שימושית יותר מפעם אחת בחיים, לכן, הכר את הכללים האלה עקרונות פשוטיםהילד צריך באופן אידיאלי, כדי שבכיתות הבוגרות הם לא יהפכו לאבן נגף, שבגללה הילד לא יכול לפתור בעיות מורכבות יותר.