שיטת גאוס היא נוסחה אוניברסלית. שיטת גאוס (הדרה רצופה של לא ידועים)

שתי מערכות משוואות ליניאריותאומרים שהם שוות ערך אם קבוצת כל הפתרונות שלהם זהה.

טרנספורמציות יסודיות של מערכת המשוואות הן:

1. מחיקה ממערכת המשוואות הטריוויאליות, כלומר. אלה שעבורם כל המקדמים שווים לאפס;
2. הכפלת משוואה כלשהי במספר שאינו אפס;
3. חיבור לכל משוואה I-th של כל משוואה j-th, מוכפל בכל מספר.

המשתנה x i נקרא חופשי אם משתנה זה אינו מותר, וכל מערכת המשוואות מותרת.

מִשׁפָּט. טרנספורמציות יסודיות הופכות את מערכת המשוואות למערכת מקבילה.

המשמעות של שיטת גאוס היא להפוך את מערכת המשוואות המקורית ולהשיג מערכת לא עקבית שווה ערך מותרת או שווה ערך.

אז, שיטת גאוס מורכבת מהשלבים הבאים:

1. שקול את המשוואה הראשונה. נבחר את המקדם הראשון שאינו אפס ונחלק בו את כל המשוואה. נקבל משוואה שבה משתנה כלשהו x i נכנס עם מקדם 1;
2. הבה נחסר את המשוואה הזו מכל השאר, ונכפיל אותה במספרים כך שהמקדמים עבור המשתנה x i במשוואות הנותרות מוגדרים לאפס. נקבל מערכת שנפתרת ביחס למשתנה x i ושווה לזו המקורית;
3. אם עולות משוואות טריוויאליות (לעיתים רחוקות, אבל זה קורה; למשל, 0 = 0), אנו מוחקים אותן מהמערכת. כתוצאה מכך, המשוואות הופכות אחת פחות;
4. אנו חוזרים על השלבים הקודמים לא יותר מ-n פעמים, כאשר n הוא מספר המשוואות במערכת. בכל פעם אנו בוחרים משתנה חדש ל"עיבוד". אם עולות משוואות סותרות (לדוגמה, 0 = 8), המערכת אינה עקבית.

כתוצאה מכך, לאחר מספר שלבים אנו משיגים או מערכת מותרת (ייתכן עם משתנים חופשיים) או מערכת לא עקבית. מערכות מותרות מתחלקות לשני מקרים:

1. מספר המשתנים שווה למספר המשוואות. אז המערכת מוגדרת;
2. מספר משתנים מספר נוסףמשוואות. אנו אוספים את כל המשתנים החופשיים בצד ימין - אנו מקבלים נוסחאות למשתנים מותרים. נוסחאות אלו כתובות בתשובה.

זה הכל! מערכת המשוואות הלינאריות נפתרת! זהו אלגוריתם פשוט למדי, וכדי לשלוט בו, אין צורך ליצור קשר עם מורה למתמטיקה. שקול דוגמה:

משימה. פתרו את מערכת המשוואות:

תיאור השלבים:

1. נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה והשלישית - נקבל את המשתנה המותר x 1;
2. נכפיל את המשוואה השנייה ב-(−1), ונחלק את המשוואה השלישית ב-(−3) – נקבל שתי משוואות שבהן המשתנה x 2 נכנס עם מקדם 1;
3. נוסיף את המשוואה השנייה לראשונה, ונחסר מהשלישית. בוא נקבל את המשתנה המותר x 2 ;
4. לבסוף, נחסר את המשוואה השלישית מהראשונה - נקבל את המשתנה המותר x 3 ;
5. קיבלנו מערכת מורשית, אנחנו רושמים את התשובה.

הפתרון הכללי של מערכת משותפת של משוואות ליניאריות הוא מערכת חדשה, שווה ערך לזו המקורית, שבה כל המשתנים המותרים באים לידי ביטוי במונחים חופשיים.

מתי ייתכן שיהיה צורך בפתרון כללי? אם אתה צריך לעשות פחות צעדים מ-k (k הוא כמה משוואות בסך הכל). עם זאת, הסיבות לכך שהתהליך מסתיים בשלב 1 כלשהו< k , может быть две:

1. לאחר השלב ה-l, נקבל מערכת שאינה מכילה משוואה עם המספר (l + 1). למעשה, זה טוב, כי. המערכת שנפתרה מתקבלת בכל מקרה - אפילו כמה צעדים קודם לכן.
2. לאחר השלב ה-l מתקבלת משוואה שבה כל המקדמים של המשתנים שווים לאפס, והמקדם החופשי שונה מאפס. זוהי משוואה לא עקבית, ולכן, המערכת לא עקבית.

חשוב להבין שהופעה של משוואה לא עקבית בשיטת גאוס היא סיבה מספקת לאי עקביות. יחד עם זאת, נציין כי כתוצאה מהשלב ה-1, משוואות טריוויאליות אינן יכולות להישאר - כולן נמחקות ישירות בתהליך.

תיאור השלבים:

1. הפחת את המשוואה הראשונה כפול 4 מהשנייה. וגם נוסיף את המשוואה הראשונה לשלישית - נקבל את המשתנה המותר x 1;
2. נחסר את המשוואה השלישית, כפול 2, מהשנייה - נקבל את המשוואה הסותרת 0 = −5.

אז, המערכת אינה עקבית, מכיוון שנמצאה משוואה לא עקבית.

משימה. בדוק תאימות ומצא את הפתרון הכללי של המערכת:

תיאור השלבים:

1. נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה (לאחר הכפלה בשתיים) והשלישית - נקבל את המשתנה המותר x 1;
2. החסר את המשוואה השנייה מהשלישית. מכיוון שכל המקדמים במשוואות אלו זהים, המשוואה השלישית הופכת לטריוויאלית. במקביל, נכפיל את המשוואה השנייה ב-(−1);
3. נחסר את המשוואה השנייה מהמשוואה הראשונה - נקבל את המשתנה המותר x 2. גם מערכת המשוואות כולה נפתרה כעת;
4. מכיוון שהמשתנים x 3 ו- x 4 חופשיים, אנו מזיזים אותם ימינה כדי לבטא את המשתנים המותרים. זו התשובה.

אז, המערכת היא משותפת ובלתי מוגדרת, מכיוון שיש שני משתנים מותרים (x 1 ו-x 2) ושניים חופשיים (x 3 ו-x 4).

שיטת גאוס קלה!למה? המתמטיקאי הגרמני המפורסם יוהאן קרל פרידריך גאוס, זכה במהלך חייו להכרה כגדול המתמטיקאי בכל הזמנים, גאון, ואף את הכינוי "מלך המתמטיקה". והכל גאוני, כידוע, פשוט!אגב, לא רק פראיירים, אלא גם גאונים נופלים בכסף - דיוקנו של גאוס התהדר בשטר של 10 דויטשמרק (לפני כניסת היורו), וגאוס עדיין מחייך בצורה מסתורית לגרמנים מבולי דואר רגילים.

שיטת גאוס פשוטה בכך שדי בידע של תלמיד בכיתה ה' כדי לשלוט בה. חייב להיות מסוגל להוסיף ולהכפיל!לא במקרה השיטה של ​​חיסול רצוף של אלמונים נחשבת לעתים קרובות על ידי מורים בקורסי בחירה מתמטיים בבית הספר. זה פרדוקס, אבל שיטת גאוס גורמת לתלמידים את הקשיים הגדולים ביותר. לא פלא - הכל עניין של הטכניקה, ואני אנסה טופס נגישלדבר על האלגוריתם של השיטה.

ראשית, אנו מעבדים מעט את הידע על מערכות של משוואות ליניאריות. מערכת של משוואות ליניאריות יכולה:

1) יש פתרון ייחודי.
2) יש אינסוף פתרונות.
3) אין פתרונות (היה שאינו עולה בקנה אחד).

שיטת גאוס היא הכלי החזק והרב תכליתי למציאת פתרון כלמערכות של משוואות ליניאריות. כפי שאנו זוכרים שיטת הכלל והמטריקס של קריימראינם מתאימים במקרים בהם למערכת יש אינסוף פתרונות או שאינה עקבית. שיטה של ​​חיסול עוקב של לא ידועים בכל מקרהלהוביל אותנו לתשובה! בשיעור זה נשקול שוב את שיטת גאוס למקרה מס' 1 (הפתרון היחיד למערכת), המאמר שמור למצבים של נקודות מס' 2-3. אני מציין שאלגוריתם השיטה עצמו פועל באותו אופן בכל שלושת המקרים.

בחזרה ל המערכת הפשוטה ביותרמהשיעור איך פותרים מערכת משוואות לינאריות?
ולפתור אותו בשיטת גאוס.

הצעד הראשון הוא לכתוב מערכת מטריצה ​​מורחבת:
. לפי איזה עיקרון נרשמים המקדמים, אני חושב שכולם יכולים לראות. הקו האנכי בתוך המטריצה ​​אינו נושא שום משמעות מתמטית - זה רק חוצה כדי להקל על העיצוב.

התייחסות :אני ממליץ לזכור תנאיםאלגברה ליניארית. מטריצת מערכתהיא מטריצה ​​המורכבת רק ממקדמים לא ידועים, בדוגמה זו, המטריצה ​​של המערכת: . מטריצת מערכת מורחבתהיא אותה מטריצה ​​של המערכת בתוספת עמודה של מונחים חופשיים, במקרה זה: . כל אחת מהמטריצות יכולה להיקרא פשוט מטריצה ​​לקיצור.

לאחר כתיבת המטריצה ​​המורחבת של המערכת, יש צורך לבצע איתה כמה פעולות, הנקראות גם טרנספורמציות יסודיות .

יש את התמורות היסודיות הבאות:

1) מחרוזותמטריצות פחית לסדר מחדשמקומות. לדוגמה, במטריצה ​​הנבדקת, אתה יכול לסדר מחדש בבטחה את השורה הראשונה והשנייה:

2) אם המטריצה ​​מכילה (או הופיעה) פרופורציונלית (כמו מקרה מיוחדהם זהים) מחרוזות, ואז זה מגיע לִמְחוֹקמהמטריצה, כל השורות הללו מלבד אחת. קחו למשל את המטריצה . במטריצה ​​זו, שלוש השורות האחרונות הן פרופורציונליות, אז מספיק להשאיר רק אחת מהן: .

3) אם הופיעה שורה אפס במטריצה ​​במהלך הטרנספורמציות, אז היא גם באה אחריה לִמְחוֹק. אני לא אצייר, כמובן, קו האפס הוא הקו שבו רק אפסים.

4) השורה של המטריצה ​​יכולה להיות להכפיל (לחלק)לכל מספר לא אפס. שקול, למשל, את המטריצה. כאן רצוי לחלק את השורה הראשונה ב-3, ולהכפיל את השורה השנייה ב-2: . פעולה זו שימושית מאוד, מכיוון שהיא מפשטת טרנספורמציות נוספות של המטריצה.

5) הטרנספורמציה הזו גורמת להכי הרבה קשיים, אבל למעשה גם אין שום דבר מסובך. לשורה של המטריצה, אתה יכול הוסף מחרוזת נוספת כפול מספר, שונה מאפס. שקול את המטריצה ​​שלנו מ מקרה בוחן: . ראשית, אתאר את השינוי בפירוט רב. הכפל את השורה הראשונה ב-2: , ו לשורה השנייה נוסיף את השורה הראשונה כפול -2: . כעת ניתן לחלק את השורה הראשונה "בחזרה" ב-2: . כפי שאתה יכול לראות, השורה שנוספה LI – לא השתנה. תמידהשורה משתנה, TO WHICH ADDED UT.

בפועל, כמובן, הם לא מציירים בפירוט כזה, אלא כותבים קצר יותר:

שוב: לשורה השנייה הוסיפו את השורה הראשונה כפול -2. השורה מוכפלת בדרך כלל בעל פה או על טיוטה, בעוד שהמהלך המנטלי של החישובים הוא בערך כך:

"אני משכתב את המטריצה ​​ומשכתב את השורה הראשונה: »

טור ראשון ראשון. למטה אני צריך לקבל אפס. לכן, אני מכפיל את היחידה למעלה ב-2:, ומוסיף את הראשון לשורה השנייה: 2 + (-2) = 0. אני כותב את התוצאה בשורה השנייה: »

"עכשיו הטור השני. מעל -1 פעמים -2: . אני מוסיף את הראשון לשורה השנייה: 1 + 2 = 3. אני כותב את התוצאה לשורה השנייה: »

"והטור השלישי. מעל -5 פעמים -2: . אני מוסיף את השורה הראשונה לשורה השנייה: -7 + 10 = 3. אני כותב את התוצאה בשורה השנייה: »

נא לחשוב היטב על הדוגמה הזו ולהבין את אלגוריתם החישוב הרציף, אם אתה מבין זאת, אז שיטת גאוס היא למעשה "בכיס שלך". אבל, כמובן, אנחנו עדיין עובדים על השינוי הזה.

טרנספורמציות אלמנטריות אינן משנות את פתרון מערכת המשוואות

! תשומת הלב: נחשב למניפולציות לא יכול להשתמש, אם מציעים לך משימה שבה המטריצות ניתנות "מעצמן". לדוגמה, עם "קלאסי" מטריצותבשום מקרה אסור לסדר מחדש משהו בתוך המטריצות!

בואו נחזור למערכת שלנו. היא כמעט שבורה לחתיכות.

הבה נכתוב את המטריצה ​​המוגדלת של המערכת, ובאמצעות טרנספורמציות יסודיות, נפחית אותה ל מבט מדורג:

(1) השורה הראשונה נוספה לשורה השנייה, כפולה ב-2. ושוב: מדוע נכפיל את השורה הראשונה ב-2? על מנת לקבל אפס בתחתית, כלומר להיפטר ממשתנה אחד בשורה השנייה.

(2) חלקו את השורה השנייה ב-3.

מטרת התמורות היסודיות – המר את המטריצה ​​לצורת צעד: . בעיצוב המשימה, הם מציירים ישירות את "הסולם" בעיפרון פשוט, ומקיפים גם את המספרים הממוקמים על "השלבים". המונח "השקפה מדורגת" כשלעצמו אינו תיאורטי לחלוטין; בספרות המדעית והחינוכית, הוא נקרא לעתים קרובות נוף טרפזאוֹ מבט משולש.

כתוצאה מתמורות יסודיות, השגנו שווה ערךמערכת משוואות מקורית:

כעת המערכת צריכה להיות "לא מעוותת" בכיוון ההפוך - מלמטה למעלה, התהליך הזה נקרא שיטת גאוס הפוכה.

במשוואה התחתונה, כבר יש לנו את התוצאה המוגמרת: .

שקול את המשוואה הראשונה של המערכת והחלף לתוכה כבר ערך ידוע"ייג":

הבה נבחן את המצב הנפוץ ביותר, כאשר שיטת גאוס נדרשת כדי לפתור מערכת של שלוש משוואות ליניאריות עם שלושה לא ידועים.

דוגמה 1

פתרו את מערכת המשוואות בשיטת גאוס:

בוא נכתוב את המטריצה ​​המוגדלת של המערכת:

כעת אצייר מיד את התוצאה שאליה נגיע במהלך הפתרון:

ואני חוזר, המטרה שלנו היא להביא את המטריצה ​​לצורה מדורגת באמצעות טרנספורמציות יסודיות. היכן להתחיל לפעול?

ראשית, הסתכל על המספר השמאלי העליון:

צריך להיות כאן כמעט תמיד יחידה. באופן כללי, -1 (ולפעמים גם מספרים אחרים) יתאימו, אבל איכשהו קרה באופן מסורתי שבדרך כלל ממוקמת שם יחידה. איך לארגן יחידה? אנחנו מסתכלים על הטור הראשון - יש לנו יחידה מוגמרת! שינוי ראשון: החלף את השורה הראשונה והשלישית:

כעת השורה הראשונה תישאר ללא שינוי עד סוף הפתרון. עכשיו בסדר.

יחידה משמאל פינה עליונהמְאוּרגָן. עכשיו אתה צריך לקבל אפסים במקומות הבאים:

אפסים מתקבלים רק בעזרת טרנספורמציה "קשה". ראשית, אנו עוסקים בשורה השנייה (2, -1, 3, 13). מה צריך לעשות כדי להגיע לאפס במקום הראשון? צוֹרֶך לשורה השנייה הוסף את השורה הראשונה כפול -2. מבחינה נפשית או בטיוטה, נכפיל את השורה הראשונה ב-2: (-2, -4, 2, -18). ואנחנו מבצעים באופן עקבי (שוב נפשית או בטיוטה) הוספה, לשורה השנייה נוסיף את השורה הראשונה, כבר כפולה ב-2:

התוצאה כתובה בשורה השנייה:

באופן דומה, אנו עוסקים בשורה השלישית (3, 2, -5, -1). כדי לקבל אפס במיקום הראשון, אתה צריך לשורה השלישית הוסף את השורה הראשונה כפול -3. מבחינה נפשית או בטיוטה, נכפיל את השורה הראשונה ב-3: (-3, -6, 3, -27). ו לשורה השלישית נוסיף את השורה הראשונה כפול -3:

התוצאה כתובה בשורה השלישית:

בפועל, פעולות אלו מבוצעות בדרך כלל בעל פה ונכתבות בשלב אחד:

אין צורך לספור הכל בבת אחת ובו זמנית. סדר החישובים ו"הכנסת" התוצאות עִקבִיובדרך כלל ככה: קודם אנחנו כותבים מחדש את השורה הראשונה, ומתנפחים בשקט - בעקביות ו בקפידה:


וכבר שקלתי את המהלך הנפשי של החישובים עצמם לעיל.

בדוגמה זו, קל לעשות זאת, אנו מחלקים את השורה השנייה ב-5 (מכיוון שכל המספרים שם מתחלקים ב-5 ללא שארית). במקביל, נחלק את השורה השלישית ב-2, כי ככל שהמספר קטן יותר, ה- פתרון קל יותר:

בשלב הסופי של טרנספורמציות יסודיות, יש להשיג כאן אפס אחד נוסף:

לזה לשורה השלישית נוסיף את השורה השנייה, כפול -2:


נסו לנתח את הפעולה הזו בעצמכם - הכפילו מנטלית את השורה השנייה ב-2 ובצעו את החיבור.

הפעולה האחרונה שבוצעה היא התסרוקת של התוצאה, חלקו את השורה השלישית ב-3.

כתוצאה מתמורות יסודיות, התקבלה מערכת ראשונית מקבילה של משוואות ליניאריות:

מגניב.

כעת נכנס לתמונה המהלך ההפוך של שיטת גאוס. המשוואות "מתפרקות" מלמטה למעלה.

במשוואה השלישית, כבר יש לנו את התוצאה המוגמרת:

הבה נסתכל על המשוואה השנייה: . המשמעות של "z" כבר ידועה, כך:

ולבסוף, המשוואה הראשונה: . "Y" ו-"Z" ידועים, העניין קטן:

תשובה:

כפי שצוין שוב ושוב, עבור כל מערכת משוואות, אפשר וצריך לבדוק את הפתרון שנמצא, למרבה המזל, זה לא קשה ומהיר.

דוגמה 2

זו דוגמה לפתרון עצמי, דוגמא לגמר ותשובה בסוף השיעור.

יש לציין כי שלך דרך פעולהאולי לא עולה בקנה אחד עם דרך הפעולה שלי, וזוהי תכונה של שיטת גאוס. אבל התשובות חייבות להיות זהות!

דוגמה 3

פתרו מערכת של משוואות ליניאריות בשיטת גאוס

אנו כותבים את המטריצה ​​המורחבת של המערכת ובאמצעות טרנספורמציות יסודיות מביאים אותה לצורת שלב:

אנו מסתכלים על "המדרגה" השמאלית העליונה. שם צריכה להיות לנו יחידה. הבעיה היא שאין כאלה בעמודה הראשונה, כך שלא ניתן לפתור שום דבר על ידי סידור מחדש של השורות. במקרים כאלה, יש לארגן את היחידה באמצעות טרנספורמציה אלמנטרית. זה יכול להיעשות בדרך כלל בכמה דרכים. אני עשיתי את זה:
(1) לשורה הראשונה נוסיף את השורה השנייה, כפול -1. כלומר, הכפלנו מנטלית את השורה השנייה ב-1 וביצענו את החיבור של השורה הראשונה והשנייה, בעוד שהשורה השנייה לא השתנתה.

עכשיו בצד שמאל למעלה "מינוס אחד", שמתאים לנו בצורה מושלמת. מי שרוצה לקבל 1+ יכול לבצע מחווה נוספת: הכפל את השורה הראשונה ב-1 (שנה את הסימן שלה).

(2) לשורה השנייה נוספה השורה הראשונה כפול 5. לשורה השלישית נוספה השורה הראשונה כפול 3.

(3) השורה הראשונה הוכפלה ב-1, באופן עקרוני, זה בשביל היופי. גם השלט של הקו השלישי שונה והועבר למקום השני, וכך, בשלב השני, הייתה לנו היחידה הרצויה.

(4) השורה השנייה כפולה ב-2 נוספה לשורה השלישית.

(5) השורה השלישית חולקה ב-3.

סימן רע שמעיד על טעות חישוב (לעתים קרובות פחות שגיאת הקלדה) הוא שורה תחתונה "רעה". כלומר, אם קיבלנו משהו כמו למטה, ובהתאם לכך, , ואז עם נתח גדולבהסתברות, ניתן לטעון שנעשתה טעות במהלך טרנספורמציות אלמנטריות.

אנו טוענים את המהלך ההפוך, בעיצוב של דוגמאות, המערכת עצמה לרוב לא נכתבת מחדש, והמשוואות "נלקחו ישירות מהמטריצה ​​הנתונה". המהלך ההפוך, אני מזכיר לכם, עובד מלמטה למעלה. כן, הנה מתנה:

תשובה: .

דוגמה 4

פתרו מערכת של משוואות ליניאריות בשיטת גאוס

זו דוגמה לפתרון עצמאי, זה קצת יותר מסובך. זה בסדר אם מישהו מתבלבל. פתרון מלא ודוגמא עיצובית בסוף השיעור. הפתרון שלך עשוי להיות שונה משלי.

בחלק האחרון, נשקול כמה תכונות של אלגוריתם גאוס.
התכונה הראשונה היא שלפעמים כמה משתנים חסרים במשוואות המערכת, למשל:

איך לכתוב נכון את המטריצה ​​המוגדלת של המערכת? כבר דיברתי על הרגע הזה בשיעור. שלטון קריימר. שיטת מטריקס. במטריצה ​​המורחבת של המערכת, שמנו אפסים במקום המשתנים החסרים:

אגב, זו דוגמה קלה למדי, שכן יש כבר אפס אחד בעמודה הראשונה, ויש פחות טרנספורמציות אלמנטריות לבצע.

התכונה השנייה היא זו. בכל הדוגמאות שנחשבו, שמנו או -1 או +1 על "השלבים". יכול להיות שיש מספרים אחרים? במקרים מסוימים הם יכולים. שקול את המערכת: .

כאן ב"מדרגה" השמאלית העליונה יש לנו צמד. אבל אנחנו מבחינים בעובדה שכל המספרים בעמודה הראשונה מתחלקים ב-2 ללא שארית - ועוד שתיים ושש. והשני למעלה משמאל יתאים לנו! בשלב הראשון, עליך לבצע את התמורות הבאות: הוסף את השורה הראשונה כפול -1 לשורה השנייה; לשורה השלישית הוסף את השורה הראשונה כפול -3. לפיכך, נקבל את האפסים הרצויים בעמודה הראשונה.

או אחרת ככה דוגמה מותנית: . כאן מתאימה לנו גם השלשה ב"שלב" השני, שכן 12 (המקום בו אנחנו צריכים לקבל אפס) מתחלק ב-3 ללא שארית. יש צורך לבצע את הטרנספורמציה הבאה: לשורה השלישית, הוסף את השורה השנייה, כפול -4, וכתוצאה מכך יתקבל האפס שאנו צריכים.

שיטת גאוס היא אוניברסלית, אבל יש ייחוד אחד. למד בביטחון לפתור מערכות בשיטות אחרות (שיטת קריימר, שיטת מטריצה) יכולה להיות ממש הפעם הראשונה - יש אלגוריתם קפדני מאוד. אבל כדי להרגיש בטוחים בשיטת גאוס, כדאי "למלא את היד" ולפתור לפחות 5-10 מערכות. לכן, בהתחלה עלולים להיות בלבול, טעויות בחישובים, ואין בזה שום דבר חריג או טראגי.

מזג אוויר סתווי גשום מחוץ לחלון.... לכן, לכולם יותר דוגמה מורכבתלפתרון עצמאי:

דוגמה 5

פתור מערכת של ארבע משוואות ליניאריות עם ארבעה לא ידועים בשיטת גאוס.

משימה כזו בפועל אינה כה נדירה. אני חושב שאפילו קומקום שלמד את העמוד הזה בפירוט מבין את האלגוריתם לפתרון מערכת כזו באופן אינטואיטיבי. בעצם אותו דבר - רק יותר אקשן.

מקרים בהם למערכת אין פתרונות (לא עקביים) או שיש לה אינסוף פתרונות נחשבים בשיעור מערכות ומערכות לא תואמות עם פתרון כללי. שם אתה יכול לתקן את האלגוריתם הנחשב של שיטת גאוס.

מאחל לך הצלחה!

פתרונות ותשובות:

דוגמה 2: פִּתָרוֹן : הבה נכתוב את המטריצה ​​המורחבת של המערכת, ובאמצעות טרנספורמציות יסודיות, נביא אותה לצורה מדורגת.


ביצעו טרנספורמציות יסודיות:
(1) השורה הראשונה נוספה לשורה השנייה, כפולה ב-2. השורה הראשונה נוספה לשורה השלישית, כפולה ב-1. תשומת הלב!כאן זה עשוי להיות מפתה להחסיר את הראשון מהשורה השלישית, אני מאוד לא ממליץ לגרוע - הסיכון לטעות עולה מאוד. אנחנו פשוט מתקפלים!
(2) סימן הקו השני שונה (כפול ב-1). השורה השנייה והשלישית הוחלפו. הערהשב"מדרגות" אנחנו מסתפקים לא רק באחד, אלא גם ב-1, וזה אפילו יותר נוח.
(3) לשורה השלישית, הוסף את השורה השנייה, כפול 5.
(4) סימן הקו השני שונה (כפול ב-1). השורה השלישית חולקה ב-14.

מהלך הפוך:

תשובה: .

דוגמה 4: פִּתָרוֹן : אנו כותבים את המטריצה ​​המורחבת של המערכת ובאמצעות טרנספורמציות יסודיות מביאים אותה לצורת שלב:

המרות שבוצעו:
(1) השורה השנייה נוספה לשורה הראשונה. לפיכך, היחידה הרצויה מאורגנת ב"מדרגה" השמאלית העליונה.
(2) לשורה השנייה נוספה השורה הראשונה כפול 7. לשורה השלישית נוספה השורה הראשונה כפול 6.

עם ה"צעד" השני הכל גרוע יותר , ה"מועמדים" עבורו הם המספרים 17 ו-23, ואנחנו צריכים אחד או -1. טרנספורמציות (3) ו-(4) יכוונו להשגת היחידה הרצויה

(3) השורה השנייה נוספה לשורה השלישית, כפולה ב-1.
(4) השורה השלישית, כפולה ב-3, נוספה לשורה השנייה.
(3) לשורה השלישית נוספה השורה השנייה כפול 4. השורה השנייה כפולה ב-1 נוספה לשורה הרביעית.
(4) סימן הקו השני שונה. הקו הרביעי חולק ב-3 והוצב במקום הקו השלישי.
(5) השורה השלישית נוספה לשורה הרביעית, כפולה ב-5.

מהלך הפוך:

אחת הדרכים הפשוטות ביותר לפתור מערכת משוואות לינאריות היא שיטה המבוססת על חישוב הקובעים ( שלטון קריימר). היתרון שלו הוא שהוא מאפשר להקליט מיד את הפתרון, זה נוח במיוחד במקרים שבהם מקדמי המערכת אינם מספרים, אלא פרמטרים מסוימים. חסרונה הוא מסורבלת החישובים בתיק מספר גדולמשוואות, יתר על כן, כלל קריימר אינו ישים ישירות למערכות שבהן מספר המשוואות אינו עולה בקנה אחד עם מספר הלא ידועים. במקרים כאלה, הוא משמש בדרך כלל שיטת גאוס.

נקראות מערכות של משוואות ליניאריות שיש להן קבוצת פתרונות זהה שווה ערך. ברור שמערכת הפתרונות מערכת לינאריתלא משתנה אם משוואות כלשהן מוחלפות, או אם אחת מהמשוואות מוכפלת במספר שאינו אפס כלשהו, ​​או אם משוואה אחת מתווספת לאחרת.

שיטת גאוס (שיטה של ​​חיסול עוקב של לא ידועים) נעוצה בעובדה שבעזרת טרנספורמציות אלמנטריות, המערכת מצטמצמת למערכת שלבים שווה ערך. ראשית, בעזרת המשוואה הראשונה, איקס 1 מכל המשוואות הבאות של המערכת. לאחר מכן, באמצעות המשוואה השנייה, אנו מבטלים איקס 2 של ה-3 וכל המשוואות הבאות. תהליך זה, הנקרא שיטת גאוס ישירה, ממשיך עד שנשאר רק לא ידוע אחד בצד השמאלי של המשוואה האחרונה x n. אחרי זה, זה נעשה הפוך גאוס- פתרון המשוואה האחרונה, אנו מוצאים x n; לאחר מכן, באמצעות ערך זה, מהמשוואה הלפני אחרונה שאנו מחשבים x n-1 וכו' אחרון שמצאנו איקס 1 מהמשוואה הראשונה.

נוח לבצע טרנספורמציות גאוסיות על ידי ביצוע טרנספורמציות לא עם המשוואות עצמן, אלא עם המטריצות של המקדמים שלהן. שקול את המטריצה:

שקוראים לו מורחב מטריצת מערכת, כי בנוסף למטריצה ​​הראשית של המערכת, היא כוללת עמודה של חברים חופשיים. שיטת גאוס מבוססת על הבאת המטריצה ​​הראשית של המערכת לצורה משולשת (או צורה טרפזית במקרה של מערכות לא מרובעות) באמצעות טרנספורמציות של שורות אלמנטריות (!) של המטריצה ​​המורחבת של המערכת.

דוגמה 5.1.פתרו את המערכת בשיטת גאוס:

פִּתָרוֹן. בוא נכתוב את המטריצה ​​המוגדלת של המערכת, ובאמצעות השורה הראשונה, לאחר מכן נגדיר את שאר האלמנטים לאפס:

נקבל אפסים בשורות ה-2, ה-3 וה-4 של העמודה הראשונה:

כעת אנו צריכים שכל האלמנטים בעמודה השנייה מתחת לשורה השנייה יהיו שווים לאפס. לשם כך, ניתן להכפיל את השורה השנייה ב-4/7 ולהוסיף לשורה השלישית. עם זאת, כדי לא לעסוק בשברים, ניצור יחידה בשורה ה-2 של העמודה השנייה ורק

כעת, כדי לקבל מטריצה ​​משולשת, אתה צריך לאפס את האלמנט של השורה הרביעית של העמודה השלישית, לשם כך אתה יכול להכפיל את השורה השלישית ב-8/54 ולהוסיף אותה לרביעית. עם זאת, כדי לא להתמודד עם שברים, נחליף את השורות ה-3 וה-4 ואת העמודות ה-3 וה-4, ורק לאחר מכן נאפס את האלמנט שצוין. שימו לב שכאשר העמודות מסודרות מחדש, משתנים המתאימים מוחלפים, ויש לזכור זאת; לא ניתן לבצע טרנספורמציות יסודיות אחרות עם עמודות (חיבור וכפל במספר)!

המטריצה ​​המפושטת האחרונה מתאימה למערכת משוואות המקבילה לזו המקורית:

מכאן, באמצעות המהלך ההפוך של שיטת גאוס, אנו מוצאים מהמשוואה הרביעית איקס 3 = -1; מהשלישי איקס 4 = -2, מהשני איקס 2 = 2 ומהמשוואה הראשונה איקס 1 = 1. ב צורת מטריצההתשובה כתובה כ

שקלנו את המקרה כאשר המערכת מוגדרת, כלומר. כאשר יש רק פתרון אחד. בואו נראה מה קורה אם המערכת אינה עקבית או בלתי מוגדרת.

דוגמה 5.2.חקור את המערכת בשיטת גאוס:

פִּתָרוֹן. אנו כותבים ומשנים את המטריצה ​​המוגדלת של המערכת

אנו כותבים מערכת משוואות פשוטה:

כאן, במשוואה האחרונה, התברר ש-0=4, כלומר. סְתִירָה. לכן, למערכת אין פתרון, כלומר. היא שאינו עולה בקנה אחד. à

דוגמה 5.3.חקור ופתור את המערכת בשיטת גאוס:

פִּתָרוֹן. אנו כותבים וממירים את המטריצה ​​המורחבת של המערכת:

כתוצאה מהשינויים התקבלו רק אפסים בשורה האחרונה. המשמעות היא שמספר המשוואות ירד באחת:

כך, לאחר הפשטות נותרו שתי משוואות, וארבעה לא ידועים, כלומר. שניים לא ידועים "תוספת". תן "מיותר", או, כמו שאומרים, משתנים חופשיים, יהיה איקס 3 ו איקסארבע . לאחר מכן

בהנחה איקס 3 = 2או איקס 4 = ב, אנחנו מקבלים איקס 2 = 1–או איקס 1 = 2ב–א; או בצורה מטריצה

פתרון שנכתב בצורה זו נקרא כללי, שכן, על ידי מתן הפרמטרים או ב משמעויות שונות, אתה יכול לתאר הכל פתרונות אפשרייםמערכות. א

כיום אנו עוסקים בשיטת גאוס לפתרון מערכות ליניאריות משוואות אלגבריות. אתה יכול לקרוא על מהן מערכות אלו במאמר הקודם שהוקדש לפתרון אותו SLAE בשיטת Cramer. שיטת גאוס אינה דורשת שום ידע ספציפי, יש צורך רק בזהירות ובעקביות. למרות העובדה שמנקודת המבט של המתמטיקה, הכנה לבית הספר מספיקה ליישומו, שליטה בשיטה זו גורמת לרוב לקשיים לתלמידים. במאמר זה ננסה לצמצם אותם לכלום!

שיטת גאוס

M שיטת גאוס- רוב שיטה אוניברסליתפתרונות SLAE (למעט מערכות גדולות מאוד). בניגוד לזו שנידונה קודם, היא מתאימה לא רק למערכות שיש להן פתרון ייחודי, אלא גם למערכות שיש להן אינסוף פתרונות. יש כאן שלוש אפשרויות.

1. למערכת יש פתרון ייחודי (הקביעה של המטריצה ​​הראשית של המערכת אינה שווה לאפס);
2. למערכת יש אינסוף פתרונות;
3. אין פתרונות, המערכת לא עקבית.

אז יש לנו מערכת (תן לה פתרון אחד), ואנחנו הולכים לפתור אותה בשיטת גאוס. איך זה עובד?

שיטת גאוס מורכבת משני שלבים - ישיר והיפוך.

שיטת גאוס ישירה

ראשית, אנו כותבים את המטריצה ​​המוגדלת של המערכת. לשם כך, אנו מוסיפים עמודה של חברים בחינם למטריצה ​​הראשית.

כל הפואנטה של ​​שיטת גאוס היא לצמצם על ידי טרנספורמציות יסודיות המטריצה ​​הזולצורה מדורגת (או כמו שאומרים משולשת). בצורה זו, צריכים להיות רק אפסים מתחת (או מעל) האלכסון הראשי של המטריצה.

מה אפשר לעשות:

1. אתה יכול לסדר מחדש את שורות המטריצה;
2. אם יש שורות זהות (או פרופורציונליות) במטריצה, אתה יכול למחוק את כולן מלבד אחת;
3. אתה יכול להכפיל או לחלק מחרוזת בכל מספר (למעט אפס);
4. אפס קווים מוסרים;
5. אתה יכול להוסיף מחרוזת כפולה במספר שאינו אפס למחרוזת.

שיטת גאוס הפוכה

לאחר שנשנה את המערכת בצורה זו, אחד לא ידוע xn הופך ידוע, וניתן למצוא את כל הלא ידועים הנותרים בסדר הפוך, תוך החלפת ה-x'ים הידועים כבר במשוואות המערכת, עד לראשון.

כאשר האינטרנט תמיד בהישג יד, ניתן לפתור את מערכת המשוואות בשיטת גאוס באינטרנט .כל שעליכם לעשות הוא להזין את הסיכויים למחשבון המקוון. אבל אתה חייב להודות, הרבה יותר נעים להבין שהדוגמה נפתרה לא על ידי תוכנת מחשב, אלא על ידי המוח שלך.

דוגמה לפתרון מערכת משוואות בשיטת גאוס

ועכשיו - דוגמה, כדי שהכל יהיה ברור ומובן. תנו מערכת של משוואות ליניאריות, ויש צורך לפתור אותה בשיטת גאוס:

ראשית, נכתוב את המטריצה ​​המוגדלת:

עכשיו בואו נסתכל על התמורות. זכור שעלינו להשיג צורה משולשת של המטריצה. הכפל את השורה הראשונה ב-(3). הכפל את השורה השנייה ב- (-1). בואו נוסיף את השורה השנייה לשורה הראשונה ונקבל:

לאחר מכן הכפל את השורה השלישית ב- (-1). בוא נוסיף את השורה השלישית לשורה השנייה:

הכפל את השורה הראשונה ב- (6). הכפל את השורה השנייה ב- (13). בוא נוסיף את השורה השנייה לשורה הראשונה:

וואלה - המערכת מובאת לטופס המתאים. נותר למצוא את הלא ידועים:

למערכת בדוגמה זו יש פתרון ייחודי. נבחן את הפתרון של מערכות עם סט אינסופי של פתרונות במאמר נפרד. אולי בהתחלה לא תדע מאיפה להתחיל עם טרנספורמציות מטריצות, אבל לאחר תרגול מתאים תשים עליו את היד ותלחץ על ה-SLAE של גאוס כמו אגוזים. ואם פתאום נתקלתם ב-SLAU, שמתגלה כאגוז קשה מדי לפיצוח, פנו למחברים שלנו! אתה יכול על ידי השארת בקשה בהתכתבות. ביחד נפתור כל בעיה!

שיטת גאוס, המכונה גם השיטה של ​​חיסול עוקב של אלמונים, מורכבת מהדברים הבאים. באמצעות טרנספורמציות יסודיות, מערכת המשוואות הליניאריות מובאת לצורה כזו שמטריצת המקדמים שלה מתבררת כמטריצת המקדמים שלה. טרפז (זהה למשולש או מדורג) או קרוב לטרפז (המהלך הישיר של שיטת גאוס, אם כן - רק מהלך ישיר). דוגמה למערכת כזו ופתרונה מוצגת באיור למעלה.

במערכת כזו, המשוואה האחרונה מכילה רק משתנה אחד וניתן למצוא את ערכו באופן ייחודי. אז הערך של המשתנה הזה מוחלף במשוואה הקודמת ( הפוך גאוס , אז - רק מהלך הפוך), שממנו נמצא המשתנה הקודם, וכן הלאה.

במערכת טרפזית (משולשת), כפי שאנו רואים, המשוואה השלישית אינה מכילה עוד משתנים yו איקס, והמשוואה השנייה - משתנה איקס .

לאחר שמטריצת המערכת קיבלה צורה טרפזית, כבר לא קשה למיין את שאלת התאימות של המערכת, לקבוע את מספר הפתרונות ולמצוא את הפתרונות עצמם.

יתרונות השיטה:

1. כאשר פותרים מערכות של משוואות ליניאריות עם יותר משלוש משוואות ולא ידועים, שיטת גאוס אינה מסורבלת כמו שיטת קראמר, שכן נדרשים פחות חישובים בעת פתרון שיטת גאוס;
2. בשיטת גאוס ניתן לפתור מערכות אינסופיות של משוואות לינאריות, כלומר בעלות פתרון משותף (וננתח אותן בשיעור זה), ובשיטת קראמר ניתן רק לקבוע שהמערכת אינה ודאית;
3. ניתן לפתור מערכות של משוואות ליניאריות שבהן מספר הלא ידועים אינו שווה למספר המשוואות (ננתח אותן גם בשיעור זה);
4. השיטה מבוססת על שיטות יסוד (בית ספריות) - שיטת החלפת אלמונים ושיטת הוספת משוואות, עליהן נגענו במאמר המקביל.

על מנת שכולם יהיו חדורים בפשטות שבה נפתרות מערכות טרפזיות (משולשות, מדרגות) של משוואות ליניאריות, אנו מציגים את הפתרון של מערכת כזו באמצעות מהלך הפוך. פתרון מהיר למערכת זו הוצג בתמונה בתחילת השיעור.

דוגמה 1פתרו מערכת של משוואות ליניאריות באמצעות המהלך ההפוך:

פִּתָרוֹן. במערכת טרפז זו, המשתנה זנמצא באופן ייחודי מהמשוואה השלישית. נחליף את הערך שלו במשוואה השנייה ונקבל את הערך של המשתנה y:

כעת אנו יודעים את הערכים של שני משתנים - זו y. נחליף אותם במשוואה הראשונה ונקבל את הערך של המשתנה איקס:

מהשלבים הקודמים, נכתוב את הפתרון של מערכת המשוואות:

כדי להשיג מערכת טרפזית כזו של משוואות ליניאריות, שפתרנו בפשטות רבה, נדרש להפעיל מהלך ישיר הקשור לטרנספורמציות יסודיות של מערכת המשוואות הליניאריות. זה גם לא מאוד קשה.

טרנספורמציות יסודיות של מערכת משוואות ליניאריות

כשחזרנו על שיטת בית הספר של חיבור אלגברי של משוואות המערכת, גילינו שניתן להוסיף משוואה נוספת של המערכת לאחת מהמשוואות של המערכת, וניתן להכפיל כל אחת מהמשוואות במספרים מסוימים. כתוצאה מכך, אנו מקבלים מערכת של משוואות לינאריות שוות ערך לזו הנתונה. בה, משוואה אחת כבר הכילה רק משתנה אחד, כשהחלפת ערכו במשוואות אחרות, אנו מגיעים לפתרון. תוספת כזו היא אחד מסוגי הטרנספורמציה האלמנטרית של המערכת. כאשר משתמשים בשיטת גאוס, נוכל להשתמש במספר סוגים של טרנספורמציות.

האנימציה למעלה מראה כיצד מערכת המשוואות הופכת בהדרגה לטרפזית. כלומר, זה שראית כבר באנימציה הראשונה ודאגה שקל למצוא ממנה את הערכים של כל הלא ידועים. כיצד לבצע טרנספורמציה כזו וכמובן דוגמאות, יידונו בהמשך.

כאשר פותרים מערכות של משוואות ליניאריות עם כל מספר של משוואות ולא ידועים במערכת המשוואות ובמטריקס המורחבת של המערכת פחית:

1. החלפת שורות (זה הוזכר ממש בתחילת מאמר זה);
2. אם כתוצאה מתמורות אחרות הופיעו קווים שווים או פרופורציונליים, ניתן למחוק אותם, למעט אחד;
3. מחק שורות "null", שבהן כל המקדמים שווים לאפס;
4. הכפל או חלק מחרוזת כלשהי במספר כלשהו;
5. הוסף לכל שורה שורה נוספת כפול מספר כלשהו.

כתוצאה מהטרנספורמציות, אנו מקבלים מערכת של משוואות לינאריות שוות ערך לזו הנתונה.

אלגוריתם ודוגמאות לפתרון בשיטת גאוס מערכת של משוואות ליניאריות עם מטריצה ​​מרובעת של המערכת

שקול תחילה את הפתרון של מערכות משוואות ליניאריות שבהן מספר הלא ידועים שווה למספר המשוואות. המטריצה ​​של מערכת כזו היא ריבועית, כלומר, מספר השורות בה שווה למספר העמודות.

דוגמה 2פתרו מערכת של משוואות ליניאריות בשיטת גאוס

פתרון מערכות של משוואות ליניאריות בשיטות בית ספר, הכפלנו איבר אחר איבר אחד מהמשוואות במספר מסוים, כך שהמקדמים של המשתנה הראשון בשתי המשוואות היו מספרים מנוגדים. כאשר מוסיפים משוואות, משתנה זה מתבטל. שיטת גאוס פועלת בצורה דומה.

לפשט מראה חיצוניפתרונות להרכיב את המטריצה ​​המוגדלת של המערכת:

במטריצה ​​זו, המקדמים של הלא ידועים ממוקמים בצד שמאל לפני הפס האנכי, והאיברים החופשיים נמצאים בצד ימין אחרי הפס האנכי.

לנוחות חלוקת המקדמים של המשתנים (כדי לקבל חלוקה באחד) החלף את השורה הראשונה והשנייה של מטריצת המערכת. אנו מקבלים מערכת שוות ערך לזו הנתונה, שכן במערכת המשוואות הלינאריות ניתן לסדר מחדש את המשוואות:

עם המשוואה הראשונה החדשה לבטל את המשתנה איקסמהמשוואות השנייה ומכל המשוואות הבאות. לשם כך, הוסף את השורה הראשונה כפול (במקרה שלנו ב-) לשורה השנייה של המטריצה, ואת השורה הראשונה כפול (במקרה שלנו ב-) לשורה השלישית.

זה אפשרי כי

אם היו יותר משלוש משוואות במערכת שלנו, יש להוסיף את השורה הראשונה לכל המשוואות הבאות, כפול היחס בין המקדמים המתאימים, בסימן מינוס.

כתוצאה מכך, אנו מקבלים מטריצה ​​שווה ערך למערכת הנתונה של מערכת משוואות חדשה, שבה כל המשוואות, החל מהשנייה אינם מכילים משתנה איקס :

כדי לפשט את השורה השנייה של המערכת המתקבלת, נכפיל אותה ב- ושוב נקבל את המטריצה ​​של מערכת המשוואות המקבילה למערכת זו:

כעת, שמירה על המשוואה הראשונה של המערכת המתקבלת ללא שינוי, באמצעות המשוואה השנייה, אנו מבטלים את המשתנה y מכל המשוואות הבאות. לשם כך, הוסף את השורה השנייה כפול (במקרה שלנו, ב) לשורה השלישית של מטריצת המערכת.

אם היו יותר משלוש משוואות במערכת שלנו, יש להוסיף את השורה השנייה לכל המשוואות הבאות, כפול היחס בין המקדמים המתאימים, בסימן מינוס.

כתוצאה מכך, אנו מקבלים שוב את המטריצה ​​של המערכת המקבילה למערכת הנתונה של משוואות לינאריות:

השגנו מערכת טרפזית של משוואות לינאריות שוות ערך לזו הנתונה:

אם מספר המשוואות והמשתנים גדול יותר מאשר בדוגמה שלנו, אז התהליך של חיסול רציף של משתנים ממשיך עד שמטריצת המערכת הופכת לטרפזית, כמו בדוגמה ההדגמה שלנו.

נמצא את הפתרון "מהסוף" - הפוך. לזה מהמשוואה האחרונה שאנו קובעים ז:
.
החלפת ערך זה במשוואה הקודמת, למצוא y:

מהמשוואה הראשונה למצוא איקס:

תשובה: הפתרון של מערכת משוואות זו - .

: במקרה זה, אותה תשובה תינתן אם למערכת יש פתרון ייחודי. אם למערכת יש אינסוף פתרונות, אז כך תהיה התשובה, וזהו הנושא של החלק החמישי של שיעור זה.

פתרו בעצמכם מערכת של משוואות ליניאריות בשיטת גאוס, ואז הסתכלו על הפתרון

לפנינו שוב דוגמה למערכת עקבית ומוגדרת של משוואות לינאריות, שבה מספר המשוואות שווה למספר הלא ידועים. ההבדל מדוגמא ההדגמה שלנו מהאלגוריתם הוא שיש כבר ארבע משוואות וארבעה לא ידועים.

דוגמה 4פתרו מערכת משוואות לינאריות בשיטת גאוס:

כעת עליך להשתמש במשוואה השנייה כדי להוציא את המשתנה מהמשוואות הבאות. בואו לבזבז עבודת הכנה. כדי לעשות את זה נוח יותר עם יחס המקדמים, אתה צריך לקבל יחידה בעמודה השנייה של השורה השנייה. לשם כך, הורידו את השורה השלישית מהשורה השנייה, והכפילו את השורה השנייה שהתקבלה ב-1.

הבה נבצע כעת את הביטול בפועל של המשתנה מהמשוואה השלישית והרביעית. כדי לעשות זאת, הוסף את השני, כפול , לשורה השלישית, ואת השני, כפול , לרביעית.

כעת, באמצעות המשוואה השלישית, אנו מבטלים את המשתנה מהמשוואה הרביעית. כדי לעשות זאת, לשורה הרביעית, הוסף את השלישית, כפול . אנו מקבלים מטריצה ​​מורחבת של צורה טרפזית.

קיבלנו מערכת משוואות, המקבילה למערכת הנתונה:

לכן, המערכות המתקבלות והנתונות הן עקביות ומוגדרות. אנחנו מוצאים את הפתרון הסופי "מהסוף". מהמשוואה הרביעית, נוכל לבטא ישירות את הערך של המשתנה "x רביעית":

אנחנו מחליפים את הערך הזה במשוואה השלישית של המערכת ומקבלים

,

,

לבסוף, החלפת ערך

במשוואה הראשונה נותן

,

שבו אנו מוצאים את "x ראשון":

תשובה: למערכת משוואות זו יש פתרון ייחודי. .

ניתן גם לבדוק את פתרון המערכת במחשבון הפותר בשיטת קרימר: במקרה זה תינתן אותה תשובה אם למערכת יש פתרון ייחודי.

פתרון בשיטת גאוס של בעיות יישומיות על דוגמה של בעיה לסגסוגות

מערכות של משוואות ליניאריות משמשות למודל של אובייקטים אמיתיים של העולם הפיזי. בואו נפתור את אחת הבעיות הללו - עבור סגסוגות. משימות דומות - משימות לתערובות, עלות או משקל סגולי של סחורה בודדת בקבוצת סחורות וכדומה.

דוגמה 5לשלוש חתיכות סגסוגת יש מסה כוללת של 150 ק"ג. הסגסוגת הראשונה מכילה 60% נחושת, השנייה - 30%, השלישית - 10%. יחד עם זאת, בסגסוגת השנייה והשלישית ביחד, הנחושת פחותה ב-28.4 ק"ג מאשר בסגסוגת הראשונה, ובסגסוגת השלישית, הנחושת פחותה ב-6.2 ק"ג מהשנייה. מצא את המסה של כל פיסת סגסוגת.

פִּתָרוֹן. אנו מרכיבים מערכת של משוואות לינאריות:

מכפילים את המשוואה השנייה והשלישית ב-10, נקבל מערכת מקבילה של משוואות לינאריות:

אנו מרכיבים את המטריצה ​​המורחבת של המערכת:

תשומת לב, מהלך ישיר. על ידי חיבור (במקרה שלנו, חיסור) שורה אחת, כפול מספר (אנחנו מיישמים אותה פעמיים), מתרחשות התמורות הבאות עם המטריצה ​​המורחבת של המערכת:

הריצה הישר הסתיימה. קיבלנו מטריצה ​​מורחבת של צורה טרפזית.

בוא נשתמש הפוך. אנחנו מוצאים פתרון מהסוף. אנחנו רואים ש .

מהמשוואה השנייה אנו מוצאים

מהמשוואה השלישית -

ניתן גם לבדוק את פתרון המערכת במחשבון הפותר בשיטת קרימר: במקרה זה תינתן אותה תשובה אם למערכת יש פתרון ייחודי.

הפשטות של שיטת גאוס מעידה על כך שלמתמטיקאי הגרמני קרל פרידריך גאוס לקח רק 15 דקות להמציא אותה. בנוסף לשיטת שמו, מעבודתו של גאוס, ההכתבה "אסור לנו לבלבל את מה שנראה לנו מדהים ולא טבעי עם הבלתי אפשרי לחלוטין" היא מעין הוראה קצרה לגילוי תגליות.

בבעיות יישומיות רבות, ייתכן שלא תהיה הגבלה שלישית, כלומר משוואה שלישית, אז יש צורך לפתור מערכת של שתי משוואות עם שלושה לא ידועים בשיטת גאוס, או להיפך, יש פחות לא ידועים ממשוואות. כעת אנו מתחילים לפתור מערכות משוואות כאלה.

באמצעות שיטת גאוס, אתה יכול לקבוע אם מערכת כלשהי עקבית או לא עקבית נמשוואות ליניאריות עם נמשתנים.

שיטת גאוס ומערכות של משוואות ליניאריות עם מספר אינסופי של פתרונות

הדוגמה הבאה היא מערכת עקבית אך בלתי מוגדרת של משוואות ליניאריות, כלומר יש לה מספר אינסופי של פתרונות.

לאחר ביצוע טרנספורמציות במטריצה ​​המורחבת של המערכת (החלפת שורות, הכפלה וחלוקה של שורות במספר מסוים, הוספת שורה אחת לאחרת), שורות של הטופס

אם בכל המשוואות יש את הצורה

האיברים החופשיים שווים לאפס, זה אומר שהמערכת היא אינסופית, כלומר יש לה מספר אינסופי של פתרונות, ומשוואות מסוג זה "מיותרות" ואינן נכללות מהמערכת.

דוגמה 6

פִּתָרוֹן. הבה נרכיב את המטריצה ​​המורחבת של המערכת. לאחר מכן, באמצעות המשוואה הראשונה, אנו מבטלים את המשתנה מהמשוואות הבאות. כדי לעשות זאת, לשורה השנייה, השלישית והרביעית, הוסף את הראשונה, כפול , בהתאמה:

כעת נוסיף את השורה השנייה לשורה השלישית והרביעית.

כתוצאה מכך אנו מגיעים למערכת

שתי המשוואות האחרונות הפכו למשוואות של הצורה. משוואות אלו מתקיימות עבור כל ערכים של הלא ידועים וניתן לבטל אותם.

כדי לספק את המשוואה השנייה, נוכל לבחור ערכים שרירותיים עבור ו, ואז הערך עבור ייקבע באופן חד משמעי: . מהמשוואה הראשונה, הערך עבור נמצא גם באופן ייחודי: .

גם המערכת הנתונה וגם המערכת האחרונה תואמות אך בלתי מוגבלות, והנוסחאות

לשרירות ולתת לכולנו פתרונות של המערכת הנתונה.

שיטת גאוס ומערכות של משוואות ליניאריות שאין להן פתרונות

הדוגמה הבאה היא מערכת לא עקבית של משוואות ליניאריות, כלומר, אין לה פתרונות. התשובה לבעיות כאלה מנוסחת כך: למערכת אין פתרונות.

כפי שכבר הוזכר בהקשר לדוגמא הראשונה, לאחר ביצוע טרנספורמציות במטריצה ​​המורחבת של המערכת, שורות הטופס

המתאים למשוואה של הצורה

אם ביניהם יש לפחות משוואה אחת עם איבר חופשי שאינו אפס (כלומר), אז מערכת המשוואות הזו אינה עקבית, כלומר אין לה פתרונות, וזה משלים את הפתרון שלה.

דוגמה 7פתרו את מערכת המשוואות הלינאריות בשיטת גאוס:

פִּתָרוֹן. אנו מרכיבים את המטריצה ​​המורחבת של המערכת. באמצעות המשוואה הראשונה, נוציא את המשתנה מהמשוואות הבאות. לשם כך, הוסף את הראשונה כפולה בשורה השנייה, את הראשונה כפולה בשורה השלישית, ואת הראשונה כפולה בשורה הרביעית.

כעת עליך להשתמש במשוואה השנייה כדי להוציא את המשתנה מהמשוואות הבאות. כדי לקבל יחסים שלמים של המקדמים, אנו מחליפים את השורה השנייה והשלישית של המטריצה ​​המורחבת של המערכת.

כדי להוציא מהמשוואה השלישית והרביעית, הוסף את השני, כפול , לשורה השלישית, ואת השנייה, כפול , לרביעית.

כעת, באמצעות המשוואה השלישית, אנו מבטלים את המשתנה מהמשוואה הרביעית. כדי לעשות זאת, לשורה הרביעית, הוסף את השלישית, כפול .

המערכת הנתונה אפוא מקבילה למערכת הבאה:

המערכת המתקבלת אינה עקבית, מכיוון שלא ניתן לספק את המשוואה האחרונה שלה בשום ערך של הלא ידועים. לכן, למערכת הזו אין פתרונות.