Odhady matematického očakávania a disperzie, ich vlastnosti. Príklady

s x =(1.11)

Ďalej zvážime dôležitý problém pre štúdium pozorovateľnej náhodnej premennej. Nech je nejaká vzorka (označíme ju S) náhodná premenná X. Je potrebné odhadnúť neznáme hodnoty z existujúcej vzorky. m x A .

Teória odhadu rôznych parametrov zaujíma v matematickej štatistike významné miesto. Preto najprv zvážime všeobecný problém. Nech je potrebné odhadnúť nejaký parameter a podľa vzorky S. Každé takéto hodnotenie a* je nejaká funkcia a*=a*(S) z hodnôt vzorky. Hodnoty vzorky sú náhodné, preto samotný odhad a* je náhodná premenná. Je možné zostaviť mnoho rôznych odhadov (t.j. funkcií) a*, no zároveň je žiaduce mať „dobré“ alebo dokonca „najlepšie“ v istom zmysle hodnotenie. Na hodnotenia sa zvyčajne kladú nasledujúce tri prirodzené požiadavky.

1. Nepresídlený. Matematické očakávanie hodnotenia a* sa musí rovnať presnej hodnote parametra: M = a. Inými slovami, skóre a* nesmie mať systematickú chybu.

2. Bohatstvo. S nekonečným nárastom veľkosti vzorky sa odhad a* by mala konvergovať k presnej hodnote, to znamená, že keď sa počet pozorovaní zvyšuje, chyba odhadu má tendenciu k nule.

3. Účinnosť. stupňa a* sa nazýva efektívny, ak je nezaujatý a má najmenší možný rozptyl chýb. V tomto prípade je rozptyl odhadov minimálny a* vo vzťahu k presnej hodnote a odhad je v určitom zmysle „najpresnejší“.

Bohužiaľ nie je vždy možné zostaviť hodnotenie, ktoré spĺňa všetky tri požiadavky súčasne.

Na odhad matematického očakávania sa najčastejšie používa odhad.

= , (1.12)

teda aritmetický priemer vzorky. Ak náhodná premenná X má konečný m x A s x, potom odhad (1,12) nie je skreslený a konzistentný. Tento odhad je účinný napr X má normálne rozdelenie (obrázok 1.4, príloha 1). Pre iné distribúcie to nemusí byť účinné. Napríklad v prípade rovnomerného rozdelenia (obrázok 1.1, príloha 1) bude nestranný, konzistentný odhad

(1.13)

Zároveň odhad (1.13) pre normálne rozdelenie nebude konzistentný ani efektívny a bude sa dokonca zhoršovať s rastúcou veľkosťou vzorky.

Teda pre každý typ rozdelenia náhodnej premennej X mali by ste použiť svoj odhad matematického očakávania. V našej situácii však možno typ distribúcie poznať len predbežne. Preto použijeme odhad (1.12), ktorý je celkom jednoduchý a má najviac dôležité vlastnosti nezaujatosť a dôslednosť.

Na odhadnutie matematického očakávania pre zoskupenú vzorku sa používa nasledujúci vzorec:

= , (1.14)

ktoré možno získať z predchádzajúceho, ak všetko zvážime m i vzorové hodnoty zahrnuté v i-tý interval rovný reprezentantovi z i tento interval. Tento odhad je prirodzene hrubší, ale vyžaduje podstatne menej výpočtov, najmä pri veľkej veľkosti vzorky.

Najbežnejšie používaný odhad na odhad rozptylu je:

= , (1.15)

Tento odhad nie je skreslený a je platný pre akúkoľvek náhodnú premennú X, ktoré majú konečné momenty až do štvrtého rádu vrátane.

V prípade skupinovej vzorky sa používa odhad:

= (1.16)

Odhady (1.14) a (1.16) sú spravidla skreslené a neudržateľné, pretože ich matematické očakávania a limity, ku ktorým sa približujú, sa líšia od m x a z dôvodu nahradenia všetkých vzorových hodnôt zahrnutých v i-tý interval, na zástupcu intervalu z i.

Všimnite si, že pre veľké n, koeficient n/(n – 1) vo výrazoch (1.15) a (1.16) je blízko k jednote, preto ho možno vynechať.

Intervalové odhady.

Nechaj presná hodnota niektorý parameter sa rovná a a našiel sa jej odhad a*(S) podľa vzorky S. Hodnotenie a* zodpovedá bodu na číselnej osi (obr. 1.5), preto je tento odhad tzv bod. Všetky odhady uvedené v predchádzajúcom odseku sú bodové odhady. Takmer vždy, kvôli náhode

a* ¹ a, a môžeme len dúfať, že bod a* je niekde nablízku a. Ale ako blízko? Akýkoľvek iný bodový odhad bude mať rovnakú nevýhodu – chýbajúcu mieru spoľahlivosti výsledku.

Obr.1.5. Odhad bodového parametra.

Konkrétnejšie sú v tomto smere intervalové odhady. Intervalové skóre predstavuje interval I b = (a, b), v ktorom sa s danou pravdepodobnosťou nájde presná hodnota odhadovaného parametra b. Interval ja b volal interval spoľahlivosti a pravdepodobnosť b volal pravdepodobnosť dôvery a možno ho považovať za spoľahlivosť hodnotenia.

Interval spoľahlivosti je založený na dostupnej vzorke S, je náhodný v tom zmysle, že jeho hranice sú náhodné a(S) A b(S), ktorú vypočítame z (náhodnej) vzorky. Preto b existuje možnosť, že náhodný interval ja b bude pokrývať nenáhodný bod a. Na obr. 1.6. interval ja b pokryl pointu a, A Ib*- Nie. Preto nie je celkom správne to povedať a " spadá“ do intervalu.

Ak pravdepodobnosť spoľahlivosti b veľké (napr. b = 0,999), potom takmer vždy presnú hodnotu a je v rámci vytvoreného intervalu.

Obr.1.6. Intervaly spoľahlivosti parametra a pre rôzne vzorky.

Uvažujme o metóde konštrukcie intervalu spoľahlivosti pre matematické očakávanie náhodnej premennej X, založené na centrálna limitná veta.

Nech náhodná premenná X má neznáme matematické očakávania m x a známy rozptyl. Potom na základe centrálnej limitnej vety je aritmetický priemer:

= , (1.17)

výsledky n nezávislé testy množstvá X je náhodná premenná, ktorej rozdelenie je všeobecne n, blízko normálne rozdelenie s priemerom m x a štandardná odchýlka. Preto náhodná premenná

(1.18)

má rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré možno zvážiť štandardné normálne s hustotou distribúcie j(t), ktorej graf je na obr. 1.7 (ako aj na obr. 1.4, príloha 1).

Obr.1.7. Rozdelenie hustoty pravdepodobnosti náhodnej premennej t.

Nech je daná pravdepodobnosť spoľahlivosti b A tb -číslo vyhovujúce rovnici

b = Ф 0 (t b) – Ф 0 (-t b) = 2 Ф 0 (t b),(1.19)

Kde - Laplaceova funkcia. Potom pravdepodobnosť pádu do intervalu (-t b , t b) sa bude rovnať tieňovanému obrázku na obr. 1.7. plocha a na základe vyjadrenia (1.19) sa rovná b. Preto

b = P(-tb< < t b) = P( – t b< m x < + tb) =

= P( – t b< m x < + t b).(1.20)

Ako interval spoľahlivosti teda môžeme brať interval

I b = ( – tb; +t b ) , (1.21)

keďže výraz (1.20) znamená, že neznáma presná hodnota m x je v ja b s danou pravdepodobnosťou spoľahlivosti b. Na stavbu ja b potrebné podľa špecifikácie b Nájsť t b z rovnice (1.19). Uveďme pár hodnôt t b potrebné v budúcnosti :

t 0,9 = 1,645; t 0,95 = 1,96; t 0,99 = 2,58; t 0,999 = 3,3.

Pri odvodzovaní výrazu (1.21) sa predpokladalo, že je známa presná hodnota smerodajnej odchýlky s x. Nie vždy sa to však vie. Využime teda jeho odhad (1.15) a získajme:

I b = ( – tb; +tb). (1.22)

V súlade s tým odhady a získané zo zoskupenej vzorky poskytujú nasledujúci vzorec pre interval spoľahlivosti:

I b = ( – tb; +tb). (1.23)

Očakávanie je rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej premennej

Matematické očakávanie, definícia, matematické očakávanie diskrétnych a spojitých náhodných veličín, vzorka, podmienené očakávanie, výpočet, vlastnosti, úlohy, odhad očakávania, disperzia, distribučná funkcia, vzorce, príklady výpočtu

Rozbaliť obsah

Zbaliť obsah

Definíciou je matematické očakávanie

Jeden z najdôležitejších pojmov v matematickej štatistike a teórii pravdepodobnosti, charakterizujúci rozdelenie hodnôt alebo pravdepodobnosti náhodnej premennej. Zvyčajne sa vyjadruje ako Vážený priemer všetky možné parametre náhodnej premennej. Široko používané v technická analýza, náuka o číselných radoch, náuka o spojitých a dlhodobých procesoch. Má dôležité pri hodnotení rizík, predikcii cenových ukazovateľov pri obchodovaní na finančných trhoch sa využíva pri vývoji stratégií a metód hernej taktiky v teórii hazardných hier.

Matematické očakávanie je priemerná hodnota náhodnej premennej sa v teórii pravdepodobnosti uvažuje o rozdelení pravdepodobnosti náhodnej premennej.

Matematické očakávanie je miera priemernej hodnoty náhodnej premennej v teórii pravdepodobnosti. Matematické očakávanie náhodnej premennej X označené M(x).

Matematické očakávanie je

Matematické očakávanie je v teórii pravdepodobnosti vážený priemer všetkých možných hodnôt, ktoré môže nadobudnúť náhodná premenná.

Matematické očakávanie je súčet súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej a pravdepodobnosti týchto hodnôt.

Matematické očakávanie je priemerný prospech z konkrétneho rozhodnutia za predpokladu, že takéto rozhodnutie možno považovať v rámci teórie veľkých čísel a veľkej vzdialenosti.

Matematické očakávanie je v teórii hazardných hier výška výhier, ktoré môže hráč v priemere zarobiť alebo stratiť za každú stávku. V gamblerskom jazyku sa tomu niekedy hovorí „hráčska hrana“ (ak je pre hráča pozitívna) alebo „domová hrana“ (ak je pre hráča negatívna).

Matematické očakávanie je percento zisku na výhru vynásobené priemerným ziskom mínus pravdepodobnosť straty vynásobená priemernou stratou.

Matematické očakávanie náhodnej premennej v matematickej teórii

Jednou z dôležitých numerických charakteristík náhodnej premennej je jej matematické očakávanie. Predstavme si koncept systému náhodných premenných. Uvažujme množinu náhodných premenných, ktoré sú výsledkom toho istého náhodného experimentu. Ak je jednou z možných hodnôt systému, potom udalosť zodpovedá určitej pravdepodobnosti, ktorá spĺňa Kolmogorovove axiómy. Funkcia definovaná pre všetky možné hodnoty náhodných premenných sa nazýva zákon spoločného rozdelenia. Táto funkcia vám umožňuje vypočítať pravdepodobnosti akýchkoľvek udalostí. Najmä zákon spoločného rozdelenia náhodných premenných a, ktoré nadobúdajú hodnoty z množiny a sú dané pravdepodobnosťami.

Pojem „matematické očakávania“ zaviedol Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) a pochádza z pojmu „očakávaná hodnota výhier“, ktorý sa prvýkrát objavil v 17. storočí v teórii hazardných hier v dielach Blaise Pascala a Christiaana. Huygens. Prvé úplné teoretické pochopenie a posúdenie tohto konceptu však poskytol Pafnuty Ľvovič Čebyšev (polovica 19. storočia).

Zákon o náhodnom rozdelení číselné veličiny(distribučná funkcia a distribučný rad alebo hustota pravdepodobnosti) úplne opisujú správanie náhodnej premennej. V mnohých problémoch však stačí poznať niektoré číselné charakteristiky skúmanej veličiny (napríklad jej priemernú hodnotu a možná odchýlka od neho) odpovedať na položenú otázku. Hlavnými numerickými charakteristikami náhodných premenných sú matematické očakávanie, rozptyl, modus a medián.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčtom produktov jej možných hodnôt a ich zodpovedajúcich pravdepodobností. Niekedy sa matematické očakávanie nazýva vážený priemer, pretože sa približne rovná aritmetickému priemeru pozorovaných hodnôt náhodnej premennej pri veľké číslo experimenty. Z definície matematického očakávania vyplýva, že jeho hodnota nie je menšia ako najmenšia možná hodnota náhodnej premennej a nie väčšia ako najväčšia. Matematické očakávanie náhodnej premennej je nenáhodná (konštantná) premenná.

Matematické očakávanie má jednoduchý fyzikálny význam: ak položíte jednotkovú hmotnosť na priamku, umiestnite určitú hmotnosť do niektorých bodov (pre diskrétne rozdelenie) alebo ju „rozmažete“ určitou hustotou (pre absolútne nepretržitá distribúcia), potom bod zodpovedajúci matematickému očakávaniu bude súradnicou „ťažiska“ priamky.

Priemerná hodnota náhodnej premennej je určité číslo, ktoré je akoby jej „reprezentantom“ a nahrádza ho v zhruba približných výpočtoch. Keď hovoríme: „priemerná doba prevádzky lampy je 100 hodín“ alebo „priemerný bod dopadu je posunutý vzhľadom na cieľ o 2 m doprava“, označujeme tým určitú číselnú charakteristiku náhodnej premennej, ktorá opisuje jej polohu. na číselnej osi, t.j. „charakteristiky polohy“.

Z charakteristík pozície v teórii pravdepodobnosti zohráva najdôležitejšiu úlohu matematické očakávanie náhodnej premennej, ktorá sa niekedy nazýva jednoducho priemerná hodnota náhodnej premennej.

Zvážte náhodnú premennú X s možnými hodnotami x1, x2, …, xn s pravdepodobnosťami p1, p2, …, pn. Musíme nejakým číslom charakterizovať polohu hodnôt náhodnej premennej na osi x, berúc do úvahy skutočnosť, že tieto hodnoty majú rôzne pravdepodobnosti. Na tento účel je prirodzené použiť takzvaný „vážený priemer“ hodnôt xi a každá hodnota xi počas spriemerovania by sa mala brať do úvahy s „váhou“ úmernou pravdepodobnosti tejto hodnoty. Vypočítame teda priemer náhodnej premennej X, ktorý označujeme M |X|:

Tento vážený priemer sa nazýva matematické očakávanie náhodnej premennej. Uviedli sme teda do úvahy jeden z najdôležitejších konceptov teórie pravdepodobnosti – koncept matematického očakávania. Matematické očakávanie náhodnej premennej je súčet súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej a pravdepodobnosti týchto hodnôt.

Nech sa vyrába N nezávislé experimenty, v každom z nich hodnotu X nadobúda určitú hodnotu. Predpokladajme, že hodnota x1 objavil m1 krát, hodnota x2 objavil m2 raz, vo všeobecnom význame xi objavil sa mi krát. Vypočítajme aritmetický priemer pozorovaných hodnôt hodnoty X, ktorý na rozdiel od matematického očakávania M|X| označujeme M*|X|:

S pribúdajúcim počtom experimentov N frekvencie pi sa bude približovať (pravdepodobne konvergovať) zodpovedajúcim pravdepodobnostiam. V dôsledku toho aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej M|X| s nárastom počtu experimentov sa bude približovať (pravdepodobne konvergovať) k svojmu matematickému očakávaniu. Vyššie formulovaná súvislosť medzi aritmetickým priemerom a matematickým očakávaním tvorí obsah jednej z foriem zákona veľkých čísel.

Už vieme, že všetky formy zákona veľkých čísel uvádzajú skutočnosť, že niektoré priemery sú stabilné počas veľkého počtu experimentov. Tu hovoríme o na stabilite aritmetického priemeru zo série pozorovaní tej istej veličiny. Pri malom počte experimentov je aritmetický priemer ich výsledkov náhodný; s dostatočným nárastom počtu experimentov sa stáva „takmer nenáhodným“ a stabilizujúc sa približuje konštantnej hodnote - matematickému očakávaniu.

Stabilitu priemerov vo veľkom počte experimentov možno ľahko overiť experimentálne. Napríklad váženie tela v laboratóriu pri presné váhy, ako výsledok váženia dostaneme zakaždým novú hodnotu; Aby sme znížili chybu pozorovania, teleso niekoľkokrát odvážime a použijeme aritmetický priemer získaných hodnôt. Je ľahké vidieť, že s ďalším zvyšovaním počtu experimentov (vážení) aritmetický priemer na tento nárast reaguje čoraz menej a pri dostatočne veľkom počte experimentov sa prakticky prestáva meniť.

Treba poznamenať, že najdôležitejšia charakteristika pozície náhodnej premennej - matematické očakávanie - neexistuje pre všetky náhodné premenné. Je možné zostaviť príklady takých náhodných premenných, pre ktoré neexistuje matematické očakávanie, pretože príslušný súčet alebo integrál diverguje. Pre prax však takéto prípady nie sú veľmi zaujímavé. Náhodné premenné, s ktorými sa zaoberáme, majú zvyčajne obmedzený rozsah možných hodnôt a, samozrejme, majú matematické očakávania.

Okrem najdôležitejších charakteristík polohy náhodnej premennej - matematického očakávania - sa v praxi niekedy používajú aj ďalšie charakteristiky polohy, najmä modus a medián náhodnej premennej.

Mód náhodnej premennej je jej najpravdepodobnejšou hodnotou. Výraz „najpravdepodobnejšia hodnota“ sa striktne vzťahuje len na nespojité množstvá; pre spojitú veličinu je mod hodnota, pri ktorej je hustota pravdepodobnosti maximálna. Obrázky znázorňujú režim pre nespojité a spojité náhodné premenné.

Ak má distribučný polygón (distribučná krivka) viac ako jedno maximum, rozdelenie sa nazýva „multimodálne“.

Niekedy existujú distribúcie, ktoré majú v strede skôr minimum ako maximum. Takéto distribúcie sa nazývajú „antimodálne“.

IN všeobecný prípad modus a matematické očakávanie náhodnej premennej sa nezhodujú. V konkrétnom prípade, keď je rozdelenie symetrické a modálne (t. j. má mód) a existuje matematické očakávanie, potom sa zhoduje s módom a stredom symetrie rozdelenia.

Často sa používa aj iná charakteristika polohy – takzvaný medián náhodnej premennej. Táto charakteristika sa zvyčajne používa iba pre spojité náhodné premenné, aj keď môže byť formálne definovaná pre nespojitú premennú. Geometricky je medián úsečkou bodu, v ktorom je plocha ohraničená distribučnou krivkou rozdelená na polovicu.

V prípade symetrického modálneho rozdelenia sa medián zhoduje s matematickým očakávaním a módom.

Matematické očakávanie je priemerná hodnota náhodnej premennej – číselná charakteristika rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej. Najvšeobecnejším spôsobom, matematické očakávanie náhodnej premennej X(w) je definovaný ako Lebesgueov integrál vzhľadom na mieru pravdepodobnosti R v pôvodnom priestore pravdepodobnosti:

Matematické očakávanie možno vypočítať aj ako Lebesgueov integrál X podľa rozdelenia pravdepodobnosti px množstvá X:

Prirodzene môžeme definovať pojem náhodná premenná s nekonečným matematickým očakávaním. Typický príklad slúžia ako časy návratu pri niektorých náhodných prechádzkach.

Pomocou matematického očakávania sa určia mnohé číselné a funkčné charakteristiky rozdelenia (ako matematické očakávanie zodpovedajúcich funkcií náhodnej premennej), napríklad generujúca funkcia, charakteristická funkcia, momenty ľubovoľného rádu, najmä disperzia, kovariancia .

Matematické očakávanie je charakteristikou umiestnenia hodnôt náhodnej premennej (priemerná hodnota jej distribúcie). V tejto funkcii slúži matematické očakávanie ako nejaký „typický“ distribučný parameter a jeho úloha je podobná úlohe statického momentu – súradnice ťažiska rozloženia hmoty – v mechanike. Líši sa od ostatných charakteristík polohy, pomocou ktorých je distribúcia popísaná vo všeobecných pojmoch – mediány, módy a matematické očakávania. veľkú hodnotu, ktorý on a príslušná rozptylová charakteristika - disperzia - majú v limitných vetách teórie pravdepodobnosti. Význam matematického očakávania najplnšie odhaľuje zákon veľkých čísel (Čebyševova nerovnosť) a posilnený zákon veľkých čísel.

Očakávanie diskrétnej náhodnej premennej

Nech existuje nejaká náhodná premenná, ktorá môže nadobudnúť jednu z niekoľkých číselných hodnôt (napríklad počet bodov pri hode kockou môže byť 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6). V praxi pri takejto hodnote často vyvstáva otázka: akú hodnotu má „v priemere“ pri veľkom počte testov? Aký bude náš priemerný príjem (alebo strata) z každej z rizikových transakcií?

Povedzme, že existuje nejaký druh lotérie. Chceme pochopiť, či je rentabilné sa na ňom zúčastniť (alebo sa ho zúčastniť opakovane, pravidelne). Povedzme, že každý štvrtý lístok je víťazný, cena bude 300 rubľov a cena každého lístka bude 100 rubľov. Pri nekonečne veľkom počte účastí sa to deje. V troch štvrtinách prípadov prehráme, každé tri straty budú stáť 300 rubľov. V každom štvrtom prípade vyhráme 200 rubľov. (cena mínus náklady), to znamená, že za štyri účasti stratíme v priemere 100 rubľov, za jednu - v priemere 25 rubľov. Celkovo bude priemerná sadzba našej ruiny 25 rubľov za lístok.

hádžeme kocky. Ak nejde o podvádzanie (bez posunutia ťažiska a pod.), tak koľko bodov budeme mať v priemere naraz? Keďže každá možnosť je rovnako pravdepodobná, jednoducho vezmeme aritmetický priemer a dostaneme 3,5. Keďže ide o PRIEMER, netreba sa rozhorčovať, že žiadny konkrétny hod neprinesie 3,5 bodu – no, táto kocka nemá tvár s takým číslom!

Teraz si zhrňme naše príklady:

Pozrime sa na práve uvedený obrázok. Vľavo je tabuľka rozdelenia náhodnej premennej. Hodnota X môže nadobudnúť jednu z n možných hodnôt (zobrazených v hornom riadku). Žiadne iné významy nemôžu byť. Pod každou možnou hodnotou je nižšie napísaná jej pravdepodobnosť. Vpravo je vzorec, kde M(X) sa nazýva matematické očakávanie. Význam tejto hodnoty je, že pri veľkom počte testov (s veľkou vzorkou) bude mať priemerná hodnota tendenciu k rovnakému matematickému očakávaniu.

Vráťme sa opäť k tej istej hracej kocke. Matematické očakávanie počtu bodov pri hode je 3,5 (ak mi neveríte, vypočítajte si to sami pomocou vzorca). Povedzme, že ste to párkrát hodili. Výsledky boli 4 a 6. Priemer bol 5, čo ani zďaleka nie je 3,5. Hodili to ešte raz, dostali 3, teda v priemere (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Akosi ďaleko od matematického očakávania. Teraz urobte bláznivý experiment - hoďte kocku 1000-krát! A aj keď priemer nebude presne 3,5, bude sa k tomu blížiť.

Vypočítajme matematické očakávanie pre lotériu opísanú vyššie. Doska bude vyzerať takto:

Potom budú matematické očakávania, ako sme uviedli vyššie:

Ďalšia vec je, že robiť to „na prstoch“ bez vzorca by bolo ťažké, keby bolo viac možností. Povedzme, že by bolo 75 % stratených lístkov, 20 % výherných lístkov a 5 % najmä výherných.

Teraz niektoré vlastnosti matematického očakávania.

Je ľahké dokázať:

Konštantný faktor možno považovať za znak matematického očakávania, to znamená:

Toto je špeciálny prípad vlastnosti linearity matematického očakávania.

Ďalší dôsledok linearity matematického očakávania:

to znamená, že matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní náhodných premenných.

Nech X, Y sú nezávislé náhodné premenné, Potom:

To sa dá aj ľahko dokázať) Práca XY sama o sebe je náhodná premenná, a ak by počiatočné hodnoty mohli nadobudnúť n A m hodnoty podľa toho XY môže nadobudnúť hodnoty nm. Pravdepodobnosť každej hodnoty sa vypočíta na základe skutočnosti, že pravdepodobnosti nezávislých udalostí sa vynásobia. V dôsledku toho dostaneme toto:

Očakávanie spojitej náhodnej premennej

Spojité náhodné veličiny majú takú charakteristiku, ako je hustota distribúcie (hustota pravdepodobnosti). V podstate charakterizuje situáciu, že náhodná premenná naberá niektoré hodnoty z množiny reálnych čísel častejšie a niektoré menej často. Zvážte napríklad tento graf:

Tu X- skutočná náhodná premenná, f(x)- hustota distribúcie. Súdiac podľa tohto grafu, počas experimentov hodnota X bude často číslo blízke nule. Šance sú prekonané 3 alebo byť menší -3 skôr čisto teoretické.

Nech je napríklad rovnomerné rozdelenie:

To je celkom v súlade s intuitívnym chápaním. Povedzme, že ak dostaneme veľa náhodných reálnych čísel s rovnomerným rozdelením, každý zo segmentov |0; 1| , potom by mal byť aritmetický priemer približne 0,5.

Aj tu sú aplikovateľné vlastnosti matematického očakávania - linearita atď., použiteľné pre diskrétne náhodné premenné.

Vzťah medzi matematickým očakávaním a inými štatistickými ukazovateľmi

V štatistickej analýze spolu s matematickým očakávaním existuje systém vzájomne závislých ukazovateľov, ktoré odrážajú homogenitu javov a stabilitu procesov. Variačné ukazovatele často nemajú samostatný význam a používajú sa na ďalšiu analýzu údajov. Výnimkou je variačný koeficient, ktorý charakterizuje homogenitu údajov, čo je cenná štatistická charakteristika.

Mieru variability či stability procesov v štatistickej vede možno merať pomocou viacerých ukazovateľov.

Najdôležitejším ukazovateľom charakterizujúcim variabilitu náhodnej premennej je Disperzia, ktorý najviac a priamo súvisí s matematickým očakávaním. Tento parameter sa aktívne používa v iných typoch štatistických analýz (testovanie hypotéz, analýza vzťahov príčin a následkov atď.). Rovnako ako priemerná lineárna odchýlka, rozptyl odráža aj rozsah rozptylu údajov okolo strednej hodnoty.

Je užitočné preložiť jazyk znakov do jazyka slov. Ukazuje sa, že rozptyl je priemerná štvorec odchýlok. To znamená, že sa najprv vypočíta priemerná hodnota, potom sa vezme rozdiel medzi každou pôvodnou a priemernou hodnotou, umocní sa na druhú, pridá sa a potom sa vydelí počtom hodnôt v populácii. Rozdiel medzi jednotlivou hodnotou a priemerom odráža mieru odchýlky. Umocňuje sa tak, aby sa všetky odchýlky stali výlučne kladnými číslami a aby sa zabránilo vzájomnému zničeniu kladných a záporných odchýlok pri ich sčítavaní. Potom, vzhľadom na druhú mocninu odchýlok, jednoducho vypočítame aritmetický priemer. Priemer - štvorec - odchýlky. Odchýlky sa umocnia na druhú a vypočíta sa priemer. Odpoveď na čarovné slovíčko „rozptyl“ spočíva v troch slovách.

Vo svojej čistej forme, ako je aritmetický priemer alebo index, sa však disperzia nepoužíva. Je to skôr pomocný a prechodný ukazovateľ, ktorý sa používa pre iné typy štatistických analýz. Nemá ani normálnu mernú jednotku. Súdiac podľa vzorca, ide o druhú mocninu jednotky merania pôvodných údajov.

Poďme zmerať náhodnú premennú N krát, napríklad desaťkrát meriame rýchlosť vetra a chceme zistiť priemernú hodnotu. Ako súvisí priemerná hodnota s distribučnou funkciou?

Alebo hodíme kockou veľké množstvo raz. Počet bodov, ktoré sa objavia na kocke pri každom hode, je náhodná premenná a môže nadobudnúť akúkoľvek prirodzenú hodnotu od 1 do 6. Aritmetický priemer padnutých bodov vypočítaný pre všetky hody kockami je tiež náhodná premenná, ale pre veľké N smeruje k veľmi konkrétnemu číslu – matematickému očakávaniu Mx. V tomto prípade Mx = 3,5.

Ako ste získali túto hodnotu? Vpustiť N testy n1 1 bod sa hádže raz n2 raz - 2 body a tak ďalej. Potom počet výsledkov, pri ktorých padol jeden bod:

Podobne pre výsledky, keď sa hodia 2, 3, 4, 5 a 6 bodov.

Predpokladajme teraz, že poznáme distribučný zákon náhodnej premennej x, teda vieme, že náhodná premenná x môže nadobúdať hodnoty x1, x2, ..., xk s pravdepodobnosťami p1, p2, ..., pk.

Matematické očakávanie Mx náhodnej premennej x sa rovná:

Matematické očakávanie nie je vždy rozumným odhadom nejakej náhodnej premennej. Na odhad priemerného platu je teda rozumnejšie použiť pojem medián, teda takú hodnotu, aby sa zhodoval počet ľudí, ktorí poberajú plat nižší ako medián a vyšší.

Pravdepodobnosť p1, že náhodná premenná x bude menšia ako x1/2, a pravdepodobnosť p2, že náhodná premenná x bude väčšia ako x1/2, sú rovnaké a rovné 1/2. Medián nie je určený jednoznačne pre všetky distribúcie.

Štandardná alebo štandardná odchýlka v štatistike sa miera odchýlky pozorovaných údajov alebo súborov od hodnoty PRIEMERNE nazýva. Označuje sa písmenami s alebo s. Malá štandardná odchýlka znamená, že údaje sa zhlukujú okolo priemeru, zatiaľ čo veľká štandardná odchýlka znamená, že počiatočné údaje sa nachádzajú ďaleko od neho. Smerodajná odchýlka rovná sa odmocnina množstvo nazývané disperzia. Je to priemer súčtu druhých mocnín rozdielov počiatočných údajov, ktoré sa odchyľujú od priemernej hodnoty. Štandardná odchýlka náhodnej premennej je druhá odmocnina rozptylu:

Príklad. V testovacích podmienkach pri streľbe na cieľ vypočítajte rozptyl a štandardnú odchýlku náhodnej premennej:

Variácia- kolísanie, premenlivosť hodnoty znaku medzi jednotkami obyvateľstva. Jednotlivé číselné hodnoty charakteristiky zistenej v skúmanej populácii sa nazývajú varianty hodnôt. Nedostatočná priemerná hodnota pre plné charakteristiky populácia nás núti doplniť priemerné hodnoty o ukazovatele, ktoré nám umožňujú posúdiť typickosť týchto priemerov meraním variability (variácie) sledovanej charakteristiky. Variačný koeficient sa vypočíta podľa vzorca:

Rozsah variácií(R) predstavuje rozdiel medzi maximálnymi a minimálnymi hodnotami atribútu v skúmanej populácii. Tento indikátor poskytuje najvšeobecnejšiu predstavu o variabilite študovanej charakteristiky, pretože ukazuje rozdiel iba medzi maximálnymi hodnotami možností. Závislosť od extrémnych hodnôt charakteristiky dáva rozsahu variácií nestabilný, náhodný charakter.

Priemerná lineárna odchýlka predstavuje aritmetický priemer absolútnych (modulo) odchýlok všetkých hodnôt analyzovanej populácie od ich priemernej hodnoty:

Matematické očakávania v teórii hazardných hier

Matematické očakávanie je priemerné množstvo peňazí, ktoré má hráč hazardných hier môže vyhrať alebo prehrať pri danej stávke. Toto je pre hráča veľmi dôležitý koncept, pretože je základom pre posúdenie väčšiny herných situácií. Matematické očakávania sú tiež optimálnym nástrojom na analýzu základných rozložení kariet a herných situácií.

Povedzme, že hráte hru o mince s kamarátom, pričom zakaždým vsádzate rovnako 1 dolár, bez ohľadu na to, čo príde. Tails znamená, že vyhráte, hlavy znamenajú, že prehráte. Šanca je jedna ku jednej, že to príde hore, takže stavíte 1 až 1 dolár. Vaše matematické očakávania sú teda nulové, pretože Z matematického hľadiska nemôžete vedieť, či budete po dvoch hodoch alebo po 200 viesť alebo prehrávať.

Váš hodinový zisk je nula. Hodinové výhry predstavujú sumu peňazí, ktorú očakávate, že vyhráte za hodinu. Za hodinu si môžete hodiť mincou 500-krát, no nevyhráte ani neprehráte, pretože... vaše šance nie sú ani pozitívne, ani negatívne. Ak sa na to pozriete, z pohľadu seriózneho hráča tento stávkový systém nie je zlý. Ale toto je jednoducho strata času.

Povedzme však, že niekto chce staviť 2 doláre proti vášmu 1 doláru na rovnakú hru. Potom máte hneď pozitívne očakávanie 50 centov z každej stávky. Prečo 50 centov? V priemere jednu stávku vyhráte a druhú prehráte. Stavte prvý dolár a prehráte 1 dolár, stavte druhý a vyhráte 2 doláre. Stavíte dvakrát 1 dolár a máte náskok o 1 dolár. Takže každá vaša jednodolárová stávka vám dala 50 centov.

Ak sa minca objaví 500-krát za hodinu, vaša hodinová výhra už bude 250 $, pretože... V priemere ste prehrali jeden dolár 250-krát a vyhrali dva doláre 250-krát. 500 $ mínus 250 $ sa rovná 250 $, čo je celková výhra. Upozorňujeme, že očakávaná hodnota, čo je priemerná suma, ktorú vyhráte na stávku, je 50 centov. Vyhrali ste 250 $ stávkou 500-krát dolár, čo sa rovná 50 centom na stávku.

Matematické očakávania nemajú nič spoločné s krátkodobými výsledkami. Váš súper, ktorý sa rozhodol staviť proti vám 2 doláre, vás mohol poraziť v prvých desiatich hodoch v rade, ale vy, ak máte výhodu stávkovania 2 ku 1, za rovnakých okolností, zarobíte 50 centov z každej stávky 1 dolár v ľubovoľnom okolnosti. Nezáleží na tom, či vyhráte alebo prehráte jednu stávku alebo niekoľko stávok, pokiaľ máte dostatok hotovosti na pohodlné pokrytie nákladov. Ak budete pokračovať v stávkovaní rovnakým spôsobom, potom pre dlhé obdobieČasom sa vaše výhry priblížia k súčtu očakávaných hodnôt v jednotlivých hodoch.

Zakaždým, keď urobíte najlepšiu stávku (stávku, ktorá sa môže ukázať ako zisková z dlhodobého hľadiska), keď sú kurzy vo váš prospech, musíte na nej niečo vyhrať, bez ohľadu na to, či ju prehráte alebo nie. podaná ruka. Naopak, ak urobíte stávku na smolu (stávka, ktorá je z dlhodobého hľadiska nerentabilná), keď je kurz proti vám, niečo stratíte bez ohľadu na to, či vyhráte alebo prehráte.

Stavíte s najlepším výsledkom, ak sú vaše očakávania pozitívne, a kladné je, ak sú kurzy na vašej strane. Keď umiestnite stávku s najhorším výsledkom, máte negatívne očakávania, čo sa stane, keď sú kurzy proti vám. Seriózni hráči vsádzajú iba na najlepší výsledok, ak dôjde k najhoršiemu, založia. Čo znamená kurz vo váš prospech? Môžete nakoniec vyhrať viac, ako prinášajú skutočné kurzy. Skutočné šance na pristátie hlavy sú 1 ku 1, ale vďaka pomeru šancí dostanete 2 ku 1. V tomto prípade sú šance vo váš prospech. Najlepší výsledok určite dosiahnete s pozitívnym očakávaním 50 centov za stávku.

Tu je viac komplexný príklad matematické očakávanie. Priateľ si zapíše čísla od jedna do päť a vsadí 5 USD proti vášmu 1 USD, že číslo neuhádnete. Mali by ste s takouto stávkou súhlasiť? Aké je tu očakávanie?

V priemere sa pomýlite štyrikrát. Na základe toho je pravdepodobnosť, že uhádnete číslo, 4 ku 1. Pravdepodobnosť, že stratíte jeden dolár na jeden pokus. Vyhrávate však 5 ku 1 s možnosťou prehry 4 ku 1. Kurz je teda vo váš prospech, môžete vziať stávku a dúfať v najlepší výsledok. Ak urobíte túto stávku päťkrát, v priemere štyrikrát prehráte 1 USD a raz vyhráte 5 USD. Na základe toho za všetkých päť pokusov zarobíte 1 dolár s pozitívnym matematickým očakávaním 20 centov na stávku.

Hráč, ktorý očakáva, že vyhrá viac, než vsadí, ako v príklade vyššie, riskuje. Naopak, kazí svoje šance, keď očakáva, že vyhrá menej, ako vsadí. Stávkujúci môže mať pozitívne alebo negatívne očakávania, čo závisí od toho, či vyhrá alebo pokazí kurz.

Ak vsadíte 50 USD na výhru 10 USD so šancou na výhru 4 ku 1, dostanete negatívne očakávanie 2 USD, pretože V priemere štyrikrát vyhráte 10 USD a raz prehráte 50 USD, čo ukazuje, že strata na stávku bude 10 USD. Ale ak vsadíte 30 USD na výhru 10 USD s rovnakým kurzom na výhru 4 ku 1, potom v tomto prípade máte pozitívne očakávanie 2 USD, pretože opäť štyrikrát vyhráte 10 USD a raz prehráte 30 USD so ziskom 10 USD. Tieto príklady ukazujú, že prvá stávka je zlá a druhá dobrá.

Matematické očakávania sú stredobodom každej hernej situácie. Keď stávková kancelária povzbudzuje futbalových fanúšikov, aby stavili 11 dolárov na výhru 10 dolárov, má pozitívne očakávanie 50 centov na každých 10 dolárov. Ak kasíno zaplatí párne peniaze z rady prihrávok v kockách, potom pozitívne očakávanie kasína bude približne 1,40 USD za každých 100 USD, pretože Táto hra je štruktúrovaná tak, že každý, kto vsadí na túto líniu, prehrá v priemere 50,7 % a vyhrá 49,3 % z celkového času. Nepochybne práve toto zdanlivo minimálne pozitívne očakávanie prináša majiteľom kasín po celom svete obrovské zisky. Ako poznamenal majiteľ kasína Vegas World Bob Stupak, „tisícina percenta negatívnej pravdepodobnosti na dostatočne dlhú vzdialenosť zničí najbohatší muž vo svete".

Očakávanie pri hraní pokru

Hra Poker je najnázornejším a najnázornejším príkladom z pohľadu využitia teórie a vlastností matematického očakávania.

Očakávaná hodnota v pokri je priemerný úžitok z konkrétneho rozhodnutia za predpokladu, že takéto rozhodnutie možno zvážiť v rámci teórie veľkých čísel a veľkej vzdialenosti. Úspešná pokerová hra je vždy akceptovať ťahy s kladnou očakávanou hodnotou.

Matematický význam matematického očakávania pri hraní pokru spočíva v tom, že pri rozhodovaní sa často stretávame s náhodnými premennými (nevieme, aké karty má súper v rukách, aké karty prídu v nasledujúcich kolách stávok). Každé z riešení musíme posudzovať z pohľadu teórie veľkých čísel, ktorá tvrdí, že pri dostatočne veľkej vzorke bude mať priemerná hodnota náhodnej premennej tendenciu k jej matematickému očakávaniu.

Spomedzi konkrétnych vzorcov na výpočet matematického očakávania je v pokri najviac použiteľné:

Pri hraní pokru je možné vypočítať očakávanú hodnotu pre stávky aj cally. V prvom prípade by sa mal brať do úvahy fold equity, v druhom prípade vlastné kurzy banky. Pri hodnotení matematického očakávania konkrétneho ťahu by ste mali pamätať na to, že fold má vždy nulové očakávanie. Zahodenie kariet bude teda vždy výnosnejším rozhodnutím ako akýkoľvek negatívny krok.

Očakávanie vám povie, čo môžete očakávať (zisk alebo strata) za každý dolár, ktorý riskujete. Kasína zarábajú, pretože matematické očakávania všetkých hier, ktoré sa v nich hrajú, sú v prospech kasína. Pri dostatočne dlhej sérii hier môžete očakávať, že klient príde o svoje peniaze, pretože „kurzy“ sú v prospech kasína. Profesionálni kasíno hráči však obmedzujú svoje hry na krátke časové úseky, čím zvyšujú šance vo svoj prospech. To isté platí pre investovanie. Ak sú vaše očakávania pozitívne, môžete zarobiť viac peňazí vykonaním mnohých obchodov krátke obdobiečas. Očakávanie je vaše percento zisku na výhru vynásobené vaším priemerným ziskom mínus pravdepodobnosť straty vynásobená vašou priemernou stratou.

Poker možno posudzovať aj z hľadiska matematických očakávaní. Môžete predpokladať, že určitý ťah je ziskový, ale v niektorých prípadoch nemusí byť najlepší, pretože iný ťah je ziskovejší. Povedzme, že ste v pokri s piatimi kartami dosiahli plný počet. Váš súper vsadí. Viete, že ak zvýšite stávku, odpovie. Zvyšovanie sa preto javí ako najlepšia taktika. Ak však stávku navýšite, zvyšní dvaja hráči určite zložia karty. Ale ak zavoláte, máte plnú dôveru, že ďalší dvaja hráči za vami urobia to isté. Keď zvýšite svoju stávku, dostanete jednu jednotku a keď dorovnáte, dostanete dve. Dorovnanie vám teda dáva vyššiu pozitívnu očakávanú hodnotu a bude tou najlepšou taktikou.

Matematické očakávania môžu tiež poskytnúť predstavu o tom, ktoré pokrové taktiky sú menej ziskové a ktoré sú ziskovejšie. Napríklad, ak hráte určitú kombináciu a myslíte si, že vaša strata bude v priemere 75 centov vrátane ante, potom by ste mali hrať túto kombináciu, pretože je to lepšie ako zahodiť, keď je ante 1 dolár.

Ďalší dôležitý dôvod pochopiť podstatu matematického očakávania je, že vám dáva pocit pokoja bez ohľadu na to, či stávku vyhráte alebo nie: ak ste urobili dobrú stávku alebo zložili karty včas, budete vedieť, že ste zarobili alebo našetrili určitú sumu peňazí, slabší hráč nie dokázal zachrániť. Je oveľa ťažšie zahodiť, ak ste naštvaní, pretože váš súper vytiahol silnejšiu kombináciu. Vďaka tomu všetkému sa peniaze, ktoré ušetríte tým, že nebudete hrať namiesto stávkovania, pripočítajú k vašim výhram za noc alebo mesiac.

Len si pamätajte, že ak by ste zmenili ruky, váš súper by vás dorovnal, a ako uvidíte v článku Fundamental Theorem of Poker, je to len jedna z vašich výhod. Mali by ste byť šťastní, keď sa to stane. Môžete sa dokonca naučiť užívať si stratu kombinácie, pretože viete, že ostatní hráči na vašej pozícii by stratili oveľa viac.

Ako je uvedené v príklade hry o mince na začiatku, hodinový pomer zisku súvisí s matematickým očakávaním a tento koncept obzvlášť dôležité pre profesionálnych hráčov. Keď idete hrať poker, mali by ste v duchu odhadnúť, koľko môžete vyhrať za hodinu hry. Vo väčšine prípadov sa budete musieť spoľahnúť na svoju intuíciu a skúsenosti, ale môžete použiť aj nejakú matematiku. Napríklad, hráte draw lowball a vidíte, že traja hráči vsadili 10 $ a potom vymenili dve karty, čo je veľmi zlá taktika, môžete prísť na to, že zakaždým, keď vsadia 10 $, prehrajú približne 2 $. Každý z nich to robí osemkrát za hodinu, čo znamená, že všetci traja stratia približne 48 dolárov za hodinu. Ste jedným zo zvyšných štyroch hráčov, ktorí sú si približne rovní, takže títo štyria hráči (a vy medzi nimi) si musia rozdeliť 48 USD, pričom každý bude mať zisk 12 USD za hodinu. Váš hodinový kurz sa v tomto prípade jednoducho rovná vášmu podielu na množstve peňazí, ktoré prehrali traja zlí hráči za hodinu.

Počas dlhého časového obdobia sú celkové výhry hráča súčtom jeho matematických očakávaní v jednotlivých rukách. Čím viac rúk hráte s pozitívnym očakávaním, tým viac vyhrávate a naopak, čím viac rúk hráte s negatívnym očakávaním, tým viac prehrávate. V dôsledku toho by ste si mali vybrať hru, ktorá môže maximalizovať vaše pozitívne očakávania alebo negovať vaše negatívne očakávania, aby ste mohli maximalizovať svoje hodinové výhry.

Pozitívne matematické očakávania v hernej stratégii

Ak viete počítať karty, môžete mať oproti kasínu výhodu, pokiaľ si vás nevšimnú a vyhodia vás von. Kasína milujú opitých hráčov a netolerujú hráčov počítania kariet. Výhoda vám umožní viackrát vyhrať, ako časom prehrať. Dobrý manažment kapitál pri použití výpočtov očakávanej hodnoty vám môže pomôcť získať väčší zisk z vašej výhody a znížiť vaše straty. Bez výhody je lepšie dať peniaze na charitu. V hre na burze je výhoda daná herným systémom, ktorý vytvára väčšie zisky ako straty, cenové rozdiely a provízie. Žiadna správa peňazí nemôže zachrániť zlý herný systém.

Pozitívne očakávanie je definované ako hodnota väčšia ako nula. Čím väčšie je toto číslo, tým silnejšie sú štatistické očakávania. Ak je hodnota menej ako nula, potom bude matematické očakávanie tiež negatívne. Čím väčší modul zápornej hodnoty, tým horšia situácia. Ak je výsledok nula, potom je čakanie vyrovnané. Vyhrať môžete len vtedy, keď máte pozitívne matematické očakávania a rozumný herný systém. Hra podľa intuície vedie ku katastrofe.

Matematické očakávania a obchodovanie s akciami

Matematické očakávanie je pomerne široko používaný a obľúbený štatistický ukazovateľ pri obchodovaní na burze na finančných trhoch. V prvom rade sa tento parameter používa na analýzu úspešnosti obchodovania. Nie je ťažké uhádnuť, že čím je táto hodnota vyššia, tým viac dôvodov považovať študovaný odbor za úspešný. Samozrejme, analýzu práce obchodníka nie je možné vykonať iba pomocou tohto parametra. Vypočítaná hodnota však v kombinácii s inými metódami hodnotenia kvality práce môže výrazne zvýšiť presnosť analýzy.

Matematické očakávanie sa často počíta v službách monitorovania obchodných účtov, čo vám umožňuje rýchlo vyhodnotiť prácu vykonanú na vklade. Výnimkou sú stratégie, ktoré využívajú „vysedenie“ neziskových obchodov. Obchodník môže mať nejaký čas šťastie, a preto v jeho práci nemusia byť vôbec žiadne straty. V tomto prípade sa nebude možné riadiť iba matematickým očakávaním, pretože sa nebudú brať do úvahy riziká použité v práci.

V obchodovaní na trhu sa matematické očakávanie najčastejšie používa pri predpovedaní ziskovosti akejkoľvek obchodnej stratégie alebo pri predpovedaní príjmu obchodníka na základe štatistických údajov z jeho predchádzajúceho obchodovania.

Pokiaľ ide o správu peňazí, je veľmi dôležité pochopiť, že pri obchodovaní s negatívnymi očakávaniami neexistuje žiadna schéma správy peňazí, ktorá by určite mohla priniesť vysoké zisky. Ak budete pokračovať v hraní na burze za týchto podmienok, potom bez ohľadu na to, ako spravujete svoje peniaze, prídete o celý svoj účet, bez ohľadu na to, aký veľký bol na začiatku.

Táto axióma platí nielen pre hry alebo obchody s negatívnymi očakávaniami, ale aj pre hry s rovnakými šancami. Šancu na zisk z dlhodobého hľadiska teda máte len vtedy, ak obchodujete s kladnou očakávanou hodnotou.

Rozdiel medzi negatívnym očakávaním a pozitívnym očakávaním je rozdiel medzi životom a smrťou. Nezáleží na tom, aké pozitívne alebo negatívne je očakávanie; Dôležité je len to, či je to pozitívne alebo negatívne. Preto by ste si pred zvažovaním správy peňazí mali nájsť hru s pozitívnym očakávaním.

Ak takúto hru nemáte, tak vás nezachráni všetok money management sveta. Na druhej strane, ak máte pozitívne očakávania, môžete ich pomocou správneho hospodárenia s peniazmi premeniť na funkciu exponenciálneho rastu. Nezáleží na tom, aké malé je pozitívne očakávanie! Inými slovami, nezáleží na tom, aký ziskový je obchodný systém založený na jedinom kontrakte. Ak máte systém, ktorý vyhráva 10 USD za kontrakt na obchod (po províziách a sklze), môžete použiť techniky správy peňazí, aby bol ziskovejší ako systém, ktorý má priemerne 1 000 USD na obchod (po odpočítaní provízií a sklzu).

Nie je dôležité, nakoľko bol systém ziskový, ale nakoľko sa dá povedať, že systém bude v budúcnosti vykazovať aspoň minimálny zisk. Preto väčšina dôležitá prípravaČo môže obchodník urobiť, je uistiť sa, že systém bude v budúcnosti vykazovať pozitívnu očakávanú hodnotu.

Aby ste mali v budúcnosti pozitívnu očakávanú hodnotu, je veľmi dôležité neobmedzovať stupne voľnosti vášho systému. To sa dosiahne nielen odstránením alebo znížením počtu parametrov, ktoré sa majú optimalizovať, ale aj znížením čo najviac viac pravidlá systému. Každý parameter, ktorý pridáte, každé pravidlo, ktoré urobíte, každá malá zmena, ktorú vykonáte v systéme, znižuje počet stupňov voľnosti. V ideálnom prípade musíte postaviť pomerne primitívny a jednoduchý systém, ktorá bude trvalo generovať malé zisky takmer na každom trhu. Opäť je dôležité, aby ste pochopili, že nezáleží na tom, aký ziskový je systém, pokiaľ je ziskový. Peniaze, ktoré zarobíte pri obchodovaní, budú zarobené prostredníctvom efektívneho money managementu.

Obchodný systém je jednoducho nástroj, ktorý vám dáva pozitívnu očakávanú hodnotu, aby ste mohli využívať správu peňazí. Systémy, ktoré fungujú (vykazujú aspoň minimálne zisky) len na jednom alebo niekoľkých trhoch, prípadne majú rôzne pravidlá či parametre pre rôzne trhy, s najväčšou pravdepodobnosťou nebudú fungovať v reálnom čase dlho. Problém väčšiny technicky zameraných obchodníkov je, že venujú príliš veľa času a úsilia optimalizácii iné pravidlá a hodnoty parametrov obchodného systému. To dáva úplne opačné výsledky. Namiesto plytvania energiou a počítačovým časom na zvyšovanie ziskov obchodného systému nasmerujte svoju energiu na zvyšovanie úrovne spoľahlivosti získavania minimálneho zisku.

S vedomím, že správa peňazí je len hra s číslami, ktorá si vyžaduje použitie pozitívnych očakávaní, môže obchodník prestať hľadať „svätý grál“ obchodovania s akciami. Namiesto toho môže skontrolovať svoje spôsob obchodovania, zistite, aká logická je táto metóda a či dáva pozitívne očakávania. Správne metódy správy peňazí, aplikované na akékoľvek, dokonca aj veľmi priemerné obchodné metódy, urobia zvyšok práce samy.

Aby každý obchodník uspel vo svojej práci, potrebuje vyriešiť najviac tri dôležité úlohy: . Zabezpečiť, aby počet úspešných transakcií prevýšil nevyhnutné chyby a nesprávne výpočty; Nastavte si obchodný systém tak, aby ste mali možnosť zarábať peniaze čo najčastejšie; Dosahujte stabilné pozitívne výsledky z vašich operácií.

A tu, pre nás pracujúcich obchodníkov, môže matematické očakávanie veľmi pomôcť. Tento pojem je jedným z kľúčových v teórii pravdepodobnosti. S jeho pomocou môžete poskytnúť priemerný odhad nejakej náhodnej hodnoty. Matematické očakávanie náhodnej veličiny je podobné ako ťažisko, ak si všetky možné pravdepodobnosti predstavíte ako body s rôznou hmotnosťou.

Vo vzťahu k obchodnej stratégii sa na hodnotenie jej efektívnosti najčastejšie používa matematické očakávanie zisku (alebo straty). Tento parameter je definovaný ako súčet súčinov daných úrovní zisku a straty a pravdepodobnosti ich výskytu. Napríklad vyvinutá obchodná stratégia predpokladá, že 37 % všetkých transakcií prinesie zisk a zvyšná časť – 63 % – bude nerentabilných. Priemerný príjem z úspešnej transakcie bude zároveň 7 USD a priemerná strata 1,4 USD. Vypočítajme matematické očakávania obchodovania pomocou tohto systému:

Čo toto číslo znamená? Hovorí sa v nej, že pri dodržaní pravidiel tohto systému dostaneme v priemere 1 708 dolárov z každej uzavretej transakcie. Keďže výsledný odhad účinnosti je väčší ako nula, je možné takýto systém použiť skutočná práca. Ak sa v dôsledku výpočtu ukáže, že matematické očakávanie je záporné, znamená to už priemernú stratu a takéto obchodovanie povedie k krachu.

Výšku zisku na transakciu možno vyjadriť aj ako relatívnu hodnotu vo forme %. Napríklad:

– percento príjmu na 1 transakciu – 5 %;

– percento úspešných obchodných operácií – 62 %;

– percento straty na 1 transakciu – 3 %;

– percento neúspešných transakcií – 38 %;

To znamená, že priemerný obchod prinesie 1,96%.

Je možné vyvinúť systém, ktorý aj napriek prevahe nerentabilných obchodov dá pozitívny výsledok, keďže jeho MO>0.

Samotné čakanie však nestačí. Je ťažké zarobiť peniaze, ak systém dáva veľmi málo obchodných signálov. V tomto prípade bude jeho ziskovosť porovnateľná s bankovým úrokom. Nech každá operácia vyprodukuje v priemere len 0,5 dolára, ale čo ak systém zahŕňa 1000 operácií ročne? V relatívne krátkom čase to bude veľmi významná suma. Z toho logicky vyplýva, že ďalší punc možno zvážiť dobrý obchodný systém krátkodobý zastávanie pozícií.

Zdroje a odkazy

dic.academic.ru – akademický online slovník

mathematics.ru – vzdelávacia webová stránka v oblasti matematiky

nsu.ru – vzdelávacia webová stránka Novosibirska štátna univerzita

webmath.ru je vzdelávací portál pre študentov, uchádzačov a školákov.

Vzdelávacia matematická webová stránka exponenta.ru

ru.tradimo.com – zadarmo online škola obchodovanie

crypto.hut2.ru – multidisciplinárny informačný zdroj

poker-wiki.ru – bezplatná encyklopédia pokru

sernam.ru – Vedecká knižnica vybraných prírodovedných publikácií

reshim.su – webová stránka VYRIEŠIME problémy s testovaním

unfx.ru – Forex na UNFX: školenia, obchodné signály, správa dôvery

slovopedia.com – Veľký encyklopedický slovník Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Váš sprievodca vo svete pokru

statanaliz.info – informačný blog “Štatistická analýza dát”

forex-trader.rf – Portál Forex-Trader

megafx.ru – aktuálna Forexová analytika

fx-by.com – všetko pre obchodníka

Nech existuje náhodná premenná X s matematickým očakávaním m a rozptyl D, pričom oba tieto parametre nie sú známe. Nadhodnota X vyrobené N nezávislých experimentov, výsledkom ktorých je súbor Nčíselné výsledky x 1 , x 2 , ..., x N. Ako odhad matematického očakávania je prirodzené navrhnúť aritmetický priemer pozorovaných hodnôt

Tu ako x i zohľadňujú sa špecifické hodnoty (čísla) získané ako výsledok N experimenty. Ak vezmeme iných (nezávisle od predchádzajúcich) N experimenty, potom samozrejme dostaneme inú hodnotu. Ak si vezmete viac N experimenty, potom získame ďalšiu novú hodnotu. Označme podľa X i náhodná premenná vyplývajúca z i experiment, potom implementácie X i budú čísla získané z týchto experimentov. Je zrejmé, že náhodná premenná X i bude mať rovnakú funkciu hustoty pravdepodobnosti ako pôvodná náhodná premenná X. Tiež veríme, že náhodné premenné X i A Xj sú nezávislé kedy i, nerovná sa j(rôzne na sebe nezávislé experimenty). Preto vzorec (1) prepíšeme do inej (štatistickej) formy:

Ukážme, že odhad je nezaujatý:

Matematické očakávanie priemeru vzorky sa teda rovná skutočnému matematickému očakávaniu náhodnej premennej m. To je pomerne predvídateľný a pochopiteľný fakt. V dôsledku toho sa môže výberový priemer (2) brať ako odhad matematického očakávania náhodnej premennej. Teraz vyvstáva otázka: čo sa stane s rozptylom matematického odhadu očakávania, keď sa počet experimentov zvýši? Ukazujú to analytické výpočty

kde je rozptyl matematického odhadu očakávania (2), a D- skutočný rozptyl náhodnej premennej X.

Z uvedeného vyplýva, že so zväčš N(počet experimentov) klesá rozptyl odhadu, t.j. Čím viac zhrnieme nezávislé realizácie, tým bližšie k matematickému očakávaniu dostaneme odhad.

Odhady matematického rozptylu

Na prvý pohľad sa zdá najprirodzenejšie hodnotenie

kde sa vypočíta pomocou vzorca (2). Skontrolujte, či je odhad nezaujatý. Vzorec (3) možno zapísať takto:

Dosadíme výraz (2) do tohto vzorca:

Poďme nájsť matematické očakávanie odhadu rozptylu:

Keďže rozptyl náhodnej premennej nezávisí od toho, aké je matematické očakávanie náhodnej premennej, zoberme si matematické očakávanie rovné 0, t.j. m = 0.