Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej online. §7

V teórii pravdepodobnosti sa musíme vysporiadať s náhodnými premennými, ktorých všetky hodnoty nemožno vytriediť. Napríklad nie je možné zobrať a „pretriediť“ všetky hodnoty náhodnej premennej $X$ - servisný čas hodín, pretože čas možno merať v hodinách, minútach, sekundách, milisekundách atď. Môžete zadať iba určitý interval, v ktorom sa nachádzajú hodnoty náhodnej premennej.

Spojitá náhodná premenná je náhodná premenná, ktorej hodnoty úplne vypĺňajú určitý interval.

Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej

Keďže nie je možné triediť všetky hodnoty spojitej náhodnej premennej, je možné ju špecifikovať pomocou distribučnej funkcie.

distribučná funkcia náhodná premenná $X$ je funkcia $F\left(x\right)$, ktorá určuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnotu menšiu ako nejaká pevná hodnota $x$, t.j. $F\left(x\) vpravo)$ )=P\vľavo(X< x\right)$.

Vlastnosti distribučnej funkcie:

1 . $0\le F\left(x\right)\le 1$.

2 . Pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnoty z intervalu $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, sa rovná rozdielu medzi hodnotami distribučnej funkcie na koncoch tohto intervalu : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - neklesá.

4 . $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \vpravo)=1\ )$.

Príklad 1
0,\ x\le 0\\
x,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(matica)\right.$. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ spadá do intervalu $\left(0,3;0,7\right)$, možno nájsť ako rozdiel medzi hodnotami distribučnej funkcie $F\left(x\right)$ pri konce tohto intervalu, t.j.

$$P\left(0,3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Hustota pravdepodobnosti

Funkcia $f\left(x\right)=(F)"(x)$ sa nazýva hustota rozdelenia pravdepodobnosti, to znamená, že je to derivácia prvého poriadku prevzatá z distribučnej funkcie $F\left(x\right) samotný $.

Vlastnosti funkcie $f\left(x\right)$.

1 . $f\vľavo(x\vpravo)\ge 0$.

2 . $\int^x_(-\infty )(f\left(t\right)dt)=F\left(x\right)$.

3 . Pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnoty z intervalu $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ je $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади krivočiary lichobežník, ktorý bude obmedzený grafom funkcie $f\left(x\right)$, priamkami $x=\alpha ,\ x=\beta $ a osou $Ox$.

4 . $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right))=1$.

Príklad 2 . Spojitá náhodná premenná $X$ je daná nasledujúcou distribučnou funkciou $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ x\le 0\\
x,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(matica)\right.$. Potom funkcia hustoty $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(matica)
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\x>1
\end(matica)\right.$

Matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej

Matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej $X$ sa vypočíta podľa vzorca

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)dx).$$

Príklad 3 . Nájdite $M\left(X\right)$ pre náhodnú premennú $X$ z príkladu $2$.

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\nad (2))\bigg|_0^1=((1)\nad (2)).$$

Disperzia spojitej náhodnej premennej

Rozptyl spojitej náhodnej premennej $X$ sa vypočíta podľa vzorca

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2.$$

Príklad 4 . Nájdime $D\left(X\right)$ pre náhodnú premennú $X$ z príkladu $2$.

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\vľavo(((1)\nad (2)\vpravo))^2=((x^3)\nad (3))\bigg|_0^1-( (1)\nad (4))=((1)\viac ako (3))-((1)\viac ako (4))=((1)\nad(12)).$$

Náhodná premenná nazýva sa premenná, ktorá ako výsledok každého testu nadobúda jednu predtým neznámu hodnotu v závislosti od náhodných príčin. Náhodné premenné sa označujú veľkými latinskými písmenami: $X,\ Y,\ Z,\ \bodky $ Podľa ich typu náhodné premenné môže byť diskrétne A nepretržitý.

Diskrétna náhodná premenná- je to taká náhodná premenná, ktorej hodnoty môžu byť len spočítateľné, to znamená buď konečné alebo spočítateľné. Počitateľnosť znamená, že hodnoty náhodnej premennej je možné vyčísliť.

Príklad 1 . Uveďme príklady diskrétnych náhodných premenných:

a) počet zásahov do terča $n$ výstrelmi, tu sú možné hodnoty $0,\ 1,\ \bodky,\ n$.

b) počet erbov, ktoré vypadli pri hode mincou, tu sú možné hodnoty $0,\ 1,\ \bodky,\ n$.

c) počet lodí, ktoré dorazili na palubu (počítateľný súbor hodnôt).

d) počet hovorov prichádzajúcich do ústredne (počítateľný súbor hodnôt).

1. Zákon rozdelenia pravdepodobnosti diskrétnej náhodnej premennej.

Diskrétna náhodná premenná $X$ môže nadobúdať hodnoty $x_1,\bodky,\ x_n$ s pravdepodobnosťou $p\left(x_1\right),\\dots ,\p\left(x_n\right)$. Korešpondencia medzi týmito hodnotami a ich pravdepodobnosťami sa nazýva distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej. Spravidla je táto korešpondencia špecifikovaná pomocou tabuľky, v ktorej prvom riadku sú uvedené hodnoty $x_1,\bodky,\ x_n$ a v druhom riadku sú pravdepodobnosti zodpovedajúce týmto hodnotám $ p_1,\bodky ,\ p_n$.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(pole)$

Príklad 2 . Nech náhodná premenná $X$ je počet bodov hodených pri hode kockou. Takáto náhodná premenná $X$ môže nadobúdať nasledujúce hodnoty $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Pravdepodobnosti všetkých týchto hodnôt sa rovnajú $ 1/6 $. Potom zákon rozdelenia pravdepodobnosti pre náhodnú premennú $X$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(pole)$

Komentujte. Keďže udalosti $1,\ 2,\ \bodky ,\ 6$ tvoria ucelenú skupinu udalostí v zákone rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej $X$, súčet pravdepodobností sa musí rovnať jednej, t.j. $\sum( p_i) = 1 $.

2. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej.

Matematické očakávanie náhodnej premennej určuje jeho "centrálnu" hodnotu. Pre diskrétnu náhodnú premennú sa matematické očakávanie vypočíta ako súčet súčinov hodnôt $x_1,\bodky,\x_n$ a pravdepodobností $p_1,\bodky,\p_n$ zodpovedajúcich týmto hodnotám, t.j.: $M\vľavo(X\vpravo)=\súčet ^n_(i=1)(p_ix_i)$. V anglickej literatúre sa používa iný zápis $E\left(X\right)$.

Vlastnosti očakávania$M\vľavo(X\vpravo)$:

1. $M\left(X\right)$ je medzi najmenším a najvyššie hodnoty náhodná premenná $X$.
2. Matematické očakávanie konštanty sa rovná samotnej konštante, t.j. $M\vľavo(C\vpravo)=C$.
3. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka očakávania: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní: $M\vľavo(XY\vpravo)=M\vľavo(X\vpravo)M\vľavo(Y\vpravo)$.

Príklad 3 . Nájdime matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\nad (6))+4\cdot ((1)\nad (6))+5\cdot ((1)\nad (6))+6\cdot ((1) )\nad (6))=3,5.$$

Môžeme si všimnúť, že $M\left(X\right)$ je medzi najmenšou ($1$) a najväčšou ($6$) hodnotou náhodnej premennej $X$.

Príklad 4 . Je známe, že matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ sa rovná $M\left(X\right)=2$. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej $3X+5$.

Použitím vyššie uvedených vlastností dostaneme $M\vľavo(3X+5\vpravo)=M\vľavo(3X\vpravo)+M\vľavo(5\vpravo)=3M\vľavo(X\vpravo)+5=3\ cdot 2 +5 = 11 $.

Príklad 5 . Je známe, že matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ sa rovná $M\left(X\right)=4$. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej $2X-9$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností dostaneme $M\vľavo(2X-9\vpravo)=M\vľavo(2X\vpravo)-M\vľavo(9\vpravo)=2M\vľavo(X\vpravo)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Disperzia diskrétnej náhodnej premennej.

Možné hodnoty náhodných premenných s rovnakými matematickými očakávaniami sa môžu okolo ich priemerných hodnôt rozptýliť rôzne. Napríklad v dvoch študentských skupinách GPA na skúšku z teórie pravdepodobnosti sa rovnali 4, ale v jednej skupine boli všetci dobrí študenti av druhej skupine iba traja a vynikajúci študenti. Preto je potrebná taká číselná charakteristika náhodnej premennej, ktorá by ukazovala rozptyl hodnôt náhodnej premennej okolo jej matematického očakávania. Táto vlastnosť je disperzia.

Disperzia diskrétnej náhodnej premennej$X$ je:

$$D\vľavo(X\vpravo)=\súčet^n_(i=1)(p_i(\vľavo(x_i-M\vľavo(X\vpravo)\vpravo))^2).\ $$

V anglickej literatúre sa používa zápis $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Veľmi často sa rozptyl $D\left(X\right)$ počíta podľa vzorca $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ vľavo(X \vpravo)\vpravo))^2$.

Vlastnosti disperzie$D\vľavo(X\vpravo)$:

1. Disperzia je vždy väčšia alebo rovná nule, t.j. $D\vľavo(X\vpravo)\ge 0$.
2. Disperzia z konštanty sa rovná nule, t.j. $D\vľavo(C\vpravo)=0$.
3. Konštantný faktor je možné odobrať zo znamienka rozptylu za predpokladu, že je na druhú, t.j. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Rozptyl súčtu nezávislých náhodných veličín sa rovná súčtu ich rozptylov, t.j. $D\vľavo(X+Y\vpravo)=D\vľavo(X\vpravo)+D\vľavo(Y\vpravo)$.
5. Rozptyl rozdielu nezávislých náhodných veličín sa rovná súčtu ich rozptylov, t.j. $D\vľavo(X-Y\vpravo)=D\vľavo(X\vpravo)+D\vľavo(Y\vpravo)$.

Príklad 6 . Vypočítajme rozptyl náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$$D\vľavo(X\vpravo)=\súčet^n_(i=1)(p_i(\vľavo(x_i-M\vľavo(X\vpravo)\vpravo))^2)=((1)\nad (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \bodky +((1)\viac ako (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\nad (12))\približne 2,92,$$

Príklad 7 . Je známe, že rozptyl náhodnej premennej $X$ sa rovná $D\left(X\right)=2$. Nájdite rozptyl náhodnej premennej $4X+1$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností nájdeme $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ vľavo(X\vpravo)=16\cdot 2=32$.

Príklad 8 . Je známe, že rozptyl $X$ sa rovná $D\left(X\right)=3$. Nájdite rozptyl náhodnej premennej $3-2X$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností nájdeme $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ vľavo(X\vpravo)=4\cdot 3=12$.

4. Distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej.

Spôsob reprezentácie diskrétnej náhodnej premennej vo forme distribučného radu nie je jediný, a čo je najdôležitejšie, nie je univerzálny, pretože spojitú náhodnú premennú nie je možné špecifikovať pomocou distribučného radu. Existuje ďalší spôsob, ako reprezentovať náhodnú premennú - distribučnú funkciu.

distribučná funkcia náhodná premenná $X$ je funkcia $F\left(x\right)$, ktorá určuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnotu menšiu ako nejaká pevná hodnota $x$, t.j. $F\left(x\) vpravo)$ )=P\vľavo(X< x\right)$

Vlastnosti distribučnej funkcie:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnoty z intervalu $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, sa rovná rozdielu medzi hodnotami distribučnej funkcie na koncoch tohto intervalu : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - neklesá.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \vpravo)=1\ )$.

Príklad 9 . Nájdite distribučnú funkciu $F\left(x\right)$ pre distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(pole)$

Ak $x\le 1$, potom samozrejme $F\left(x\right)=0$ (vrátane $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Ak 1 dolár< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ak 2 doláre< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ak 3 doláre< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ak 4 doláre< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ak 5 dolárov< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ak $x > 6$, potom $F\vľavo(x\vpravo)=P\vľavo(X=1\vpravo)+P\vľavo(X=2\vpravo)+P\vľavo(X=3\vpravo) + P\vľavo(X=4\vpravo)+P\vľavo(X=5\vpravo)+P\vľavo(X=6\vpravo)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Takže $F(x)=\vľavo\(\začiatok(matica)
0,\ na\ x\le 1,\\
1/6, o \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ na\ 2< x\le 3,\\
1/2, o \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ o\ 4< x\le 5,\\
6.5., \ o \ 4< x\le 5,\\
1,\ pre \ x > 6.
\end(matica)\right.$

NÁHODNÉ HODNOTY

Príklad 2.1. Náhodná hodnota X daný distribučnou funkciou

Nájdite pravdepodobnosť, že ako výsledok testu X bude nadobúdať hodnoty medzi (2,5; 3,6).

Riešenie: X v intervale (2.5; 3.6) možno určiť dvoma spôsobmi:

Príklad 2.2. Pri akých hodnotách parametrov A A IN funkciu F(X) = A + Be - x môže byť distribučnou funkciou pre nezáporné hodnoty náhodnej premennej X.

Riešenie: Pretože všetky možné hodnoty náhodnej premennej X patria do intervalu , potom, aby funkcia bola distribučnou funkciou pre X, nehnuteľnosť by mala obsahovať:

.

odpoveď: .

Príklad 2.3. Náhodná premenná X je daná distribučnou funkciou

Nájdite pravdepodobnosť, že ako výsledok štyroch nezávislých pokusov bude hodnota X presne 3 krát nadobudne hodnotu patriacu do intervalu (0,25; 0,75).

Riešenie: Pravdepodobnosť dosiahnutia hodnoty X v intervale (0,25; 0,75) zistíme podľa vzorca:

Príklad 2.4. Pravdepodobnosť, že lopta zasiahne kôš pri jednom hode je 0,3. Zostavte zákon o rozdelení počtu zásahov v troch hodoch.

Riešenie: Náhodná hodnota X- počet zásahov do koša pri troch hodoch - môže nadobudnúť hodnoty: 0, 1, 2, 3. Pravdepodobnosti, že X

X:

Príklad 2.5. Dvaja strelci urobia jeden výstrel na cieľ. Pravdepodobnosť, že ho zasiahne prvý strelec, je 0,5, druhý - 0,4. Napíšte zákon o rozdelení počtu zásahov do cieľa.

Riešenie: Nájdite zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej X- počet zásahov do cieľa. Nech je udalosťou zásah do terča prvým strelcom a - zásahom druhého strelca, a - v tomto poradí, ich netrafí.

Zostavme zákon rozdelenia pravdepodobnosti SV X:

Príklad 2.6. Testujú sa 3 prvky, ktoré pracujú nezávisle na sebe. Časové intervaly (v hodinách) bezporuchovej prevádzky prvkov majú funkcie hustoty rozloženia: po prvé: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, za druhé: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, za tretieho: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Nájdite pravdepodobnosť, že v časovom intervale od 0 do 5 hodín: zlyhá iba jeden prvok; zlyhajú iba dva prvky; všetky tri prvky zlyhajú.

Riešenie: Využime definíciu generujúcej funkcie pravdepodobností:

Pravdepodobnosť, že v nezávislé testy x, v prvom z nich pravdepodobnosť výskytu udalosti A rovná sa , v druhom atď., udalosť A sa objaví práve raz, rovná sa koeficientu at pri expanzii generujúcej funkcie v mocninách . Nájdite pravdepodobnosti zlyhania a nezlyhania prvého, druhého a tretieho prvku v časovom intervale od 0 do 5 hodín:

Vytvorme funkciu generovania:

Koeficient at sa rovná pravdepodobnosti, že udalosť A sa objaví presne trikrát, to znamená pravdepodobnosť zlyhania všetkých troch prvkov; koeficient at sa rovná pravdepodobnosti, že zlyhajú práve dva prvky; koeficient at sa rovná pravdepodobnosti, že zlyhá iba jeden prvok.

Príklad 2.7. Daná hustota pravdepodobnosti f(X) náhodná premenná X:

Nájdite distribučnú funkciu F(x).

Riešenie: Používame vzorec:

.

Distribučná funkcia má teda tvar:

Príklad 2.8. Zariadenie sa skladá z troch samostatne fungujúcich prvkov. Pravdepodobnosť zlyhania každého prvku v jednom experimente je 0,1. Zostavte zákon rozdelenia počtu neúspešných prvkov v jednom experimente.

Riešenie: Náhodná hodnota X- počet prvkov, ktoré zlyhali v jednom experimente - môže nadobudnúť hodnoty: 0, 1, 2, 3. Pravdepodobnosti, že X nadobúda tieto hodnoty, zistíme podľa Bernoulliho vzorca:

Získame teda nasledujúci zákon rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej X:

Príklad 2.9. Existujú 4 štandardné časti v množstve 6 častí. Náhodne boli vybrané 3 položky. Zostavte zákon rozdelenia počtu štandardných častí medzi vybrané.

Riešenie: Náhodná hodnota X- počet štandardných dielov medzi vybranými - môže nadobudnúť hodnoty: 1, 2, 3 a má hypergeometrické rozdelenie. Pravdepodobnosti, že X

Kde -- počet dielov v dávke;

-- počet štandardných dielov v sérii;

– počet vybraných častí;

-- počet štandardných dielov spomedzi vybraných.

.

.

.

Príklad 2.10. Náhodná premenná má distribučnú hustotu

kde a nie sú známe, ale , a a . Nájsť a .

Riešenie: V tomto prípade náhodná premenná X má trojuholníkové rozdelenie (Simpsonovo rozdelenie) na intervale [ a, b]. Číselné charakteristiky X:

teda . Vyriešením tohto systému dostaneme dve dvojice hodnôt: . Keďže podľa stavu problému nakoniec máme: .

odpoveď: .

Príklad 2.11. V priemere pri 10 % zmlúv poisťovňa vypláca poistné sumy v súvislosti so vznikom poistnej udalosti. Vypočítajte matematické očakávanie a rozptyl počtu takýchto zmlúv medzi štyrmi náhodne vybranými zmluvami.

Riešenie: Matematické očakávanie a rozptyl možno nájsť pomocou vzorcov:

.

Možné hodnoty SV (počet zmlúv (zo štyroch) so vznikom poistnej udalosti): 0, 1, 2, 3, 4.

Na výpočet pravdepodobnosti rôzneho počtu zmlúv (zo štyroch), za ktoré boli vyplatené poistné sumy, používame Bernoulliho vzorec:

.

Distribučný rad CV (počet zmlúv s výskytom poistnej udalosti) má tvar:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Odpoveď: ,.

Príklad 2.12. Z piatich ruží sú dve biele. Napíšte distribučný zákon pre náhodnú premennú vyjadrujúcu počet bielych ruží medzi dvoma zobratými súčasne.

Riešenie: Vo vzorke dvoch ruží nemusí byť buď žiadna biela ruža, alebo jedna alebo dve biele ruže. Preto náhodná premenná X môže nadobúdať hodnoty: 0, 1, 2. Pravdepodobnosti, že X nadobúda tieto hodnoty, zistíme podľa vzorca:

Kde -- počet ruží;

-- počet bielych ruží;

– počet súčasne odobratých ruží;

-- počet bielych ruží medzi odobranými.

.

.

.

Potom bude zákon rozdelenia náhodnej premennej vyzerať takto:

Príklad 2.13. Spomedzi 15 zmontovaných jednotiek potrebuje 6 dodatočné mazanie. Zostavte zákon o rozdelení počtu jednotiek, ktoré potrebujú dodatočné mazanie, medzi päť náhodne vybraných z celkového počtu.

Riešenie: Náhodná hodnota X- počet jednotiek, ktoré potrebujú dodatočné mazanie spomedzi piatich vybraných - môže nadobudnúť hodnoty: 0, 1, 2, 3, 4, 5 a má hypergeometrické rozdelenie. Pravdepodobnosti, že X nadobúda tieto hodnoty, zistíme podľa vzorca:

Kde -- počet zmontovaných jednotiek;

-- počet jednotiek vyžadujúcich dodatočné mazanie;

– počet vybraných agregátov;

-- počet jednotiek, ktoré potrebujú dodatočné mazanie spomedzi vybraných.

.

.

.

.

.

.

Potom bude zákon rozdelenia náhodnej premennej vyzerať takto:

Príklad 2.14. Z 10 hodiniek prijatých na opravu 7 potrebuje všeobecné čistenie mechanizmu. Hodinky nie sú zoradené podľa typu opravy. Majster, ktorý chce nájsť hodinky, ktoré je potrebné vyčistiť, ich jeden po druhom prezerá, a keď také hodinky nájde, zastaví ďalšie prezeranie. Nájdite matematické očakávanie a rozptyl počtu sledovaných hodín.

Riešenie: Náhodná hodnota X- počet jednotiek, ktoré potrebujú dodatočné mazanie spomedzi piatich vybraných - môže nadobudnúť nasledujúce hodnoty: 1, 2, 3, 4. Pravdepodobnosti, že X nadobúda tieto hodnoty, zistíme podľa vzorca:

.

.

.

.

Potom bude zákon rozdelenia náhodnej premennej vyzerať takto:

Teraz poďme počítať číselné charakteristiky hodnoty:

Odpoveď: ,.

Príklad 2.15.Účastník zabudol poslednú číslicu telefónneho čísla, ktoré potrebuje, ale pamätá si, že je nepárne. Nájdite matematické očakávanie a rozptyl počtu vytočení, ktoré urobil predtým, ako zasiahol požadované číslo, ak náhodne vytočí poslednú číslicu a v budúcnosti nevytočí zvolenú číslicu.

Riešenie: Náhodná premenná môže nadobúdať hodnoty: . Keďže účastník v budúcnosti nevytočí volanú číslicu, pravdepodobnosti týchto hodnôt sú rovnaké.

Zostavme distribučný rad náhodnej premennej:

	0,2

Vypočítajme matematické očakávanie a rozptyl počtu pokusov o vytočenie:

Odpoveď: ,.

Príklad 2.16. Pravdepodobnosť zlyhania počas testov spoľahlivosti pre každé zariadenie série je rovná p. Určte matematické očakávanie počtu zariadení, ktoré zlyhali, ak sú testované N spotrebičov.

Riešenie: Diskrétna náhodná premenná X je počet zlyhaných zariadení N nezávislé testy, v každom z nich sa pravdepodobnosť zlyhania rovná p, rozdelené podľa binomického zákona. Očakávaná hodnota binomické rozdelenie sa rovná súčinu počtu pokusov a pravdepodobnosti výskytu udalosti v jednom pokuse:

Príklad 2.17. Diskrétna náhodná premenná X nadobúda 3 možné hodnoty: s pravdepodobnosťou ; s pravdepodobnosťou a s pravdepodobnosťou . Nájsť a vedieť, že M( X) = 8.

Riešenie: Používame definície matematického očakávania a zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej:

Nájdeme: .

Príklad 2.18. Oddelenie technickej kontroly kontroluje štandardnosť výrobkov. Pravdepodobnosť, že položka je štandardná, je 0,9. Každá dávka obsahuje 5 kusov. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej X- počet šarží, z ktorých každá obsahuje presne 4 štandardné produkty, ak je predmetom overenia 50 šarží.

Riešenie: V tomto prípade sú všetky vykonané experimenty nezávislé a pravdepodobnosti, že každá šarža obsahuje presne 4 štandardné produkty, sú rovnaké, preto je možné matematické očakávanie určiť podľa vzorca:

,

kde je počet strán;

Pravdepodobnosť, že dávka obsahuje presne 4 štandardné položky.

Pravdepodobnosť nájdeme pomocou Bernoulliho vzorca:

odpoveď: .

Príklad 2.19. Nájdite rozptyl náhodnej premennej X– počet výskytov udalosti A v dvoch nezávislých skúškach, ak sú pravdepodobnosti výskytu udalosti v týchto skúškach rovnaké a je známe, že M(X) = 0,9.

Riešenie: Problém možno vyriešiť dvoma spôsobmi.

1) Možné hodnoty CB X: 0, 1, 2. Pomocou Bernoulliho vzorca určíme pravdepodobnosti týchto udalostí:

, , .

Potom zákon o rozdeľovaní X vyzerá ako:

Z definície matematického očakávania určíme pravdepodobnosť:

Poďme nájsť rozptyl SW X:

.

2) Môžete použiť vzorec:

.

odpoveď: .

Príklad 2.20. Matematické očakávanie a smerodajná odchýlka normálne rozloženej náhodnej premennej X sú 20 a 5. Nájdite pravdepodobnosť, že ako výsledok testu X bude mať hodnotu obsiahnutú v intervale (15; 25).

Riešenie: Pravdepodobnosť zasiahnutia normálnej náhodnej premennej X na úseku od do je vyjadrený pomocou Laplaceovej funkcie:

Príklad 2.21. Zadaná funkcia:

Pri akej hodnote parametra C táto funkcia je hustota distribúcie nejakej spojitej náhodnej premennej X? Nájdite matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennej X.

Riešenie: Aby bola funkcia hustotou distribúcie nejakej náhodnej premennej , musí byť nezáporná a musí spĺňať vlastnosť:

.

Preto:

Vypočítajte matematické očakávanie pomocou vzorca:

.

Vypočítajte rozptyl pomocou vzorca:

T je p. Je potrebné nájsť matematické očakávanie a rozptyl tejto náhodnej premennej.

Riešenie: Zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej X - počet výskytov udalosti v nezávislých pokusoch, z ktorých každá je pravdepodobnosť výskytu udalosti , sa nazýva binomický. Matematické očakávanie binomického rozdelenia sa rovná súčinu počtu pokusov a pravdepodobnosti výskytu javu A v jednom pokuse:

.

Príklad 2.25. Na cieľ sa strieľajú tri nezávislé výstrely. Pravdepodobnosť zásahu každého výstrelu je 0,25. Určte smerodajnú odchýlku počtu zásahov tromi výstrelmi.

Riešenie: Keďže sa uskutočňujú tri nezávislé pokusy a pravdepodobnosť výskytu udalosti A (zásahu) v každom pokuse je rovnaká, budeme predpokladať, že diskrétna náhodná premenná X - počet zásahov do cieľa - je rozdelená podľa binomického zákona.

Rozptyl binomického rozdelenia sa rovná súčinu počtu pokusov a pravdepodobnosti výskytu a neprítomnosti udalosti v jednom pokuse:

Príklad 2.26. Priemerný počet klientov, ktorí navštívia poisťovňu za 10 minút, sú traja. Nájdite pravdepodobnosť, že v priebehu nasledujúcich 5 minút príde aspoň jeden zákazník.

Priemerný počet zákazníkov prichádzajúcich za 5 minút: . .

Príklad 2.29.Čakacia doba na aplikáciu vo fronte procesora sa riadi exponenciálnym distribučným zákonom s priemernou hodnotou 20 sekúnd. Nájdite pravdepodobnosť, že ďalšia (ľubovoľná) požiadavka bude čakať na procesor dlhšie ako 35 sekúnd.

Riešenie: V tomto príklade očakávanie a miera zlyhania je .

Potom je požadovaná pravdepodobnosť:

Príklad 2.30. Skupina 15 študentov organizuje stretnutie v sále s 20 radmi po 10 miest na sedenie. Každý študent si náhodne sadne do sály. Aká je pravdepodobnosť, že na siedmom mieste v poradí nebudú viac ako traja ľudia?

Riešenie:

Príklad 2.31.

Potom podľa klasickej definície pravdepodobnosti:

Kde -- počet dielov v dávke;

-- počet neštandardných častí v sérii;

– počet vybraných častí;

-- počet neštandardných dielov medzi vybranými.

Potom bude distribučný zákon náhodnej premennej nasledovný.

Náhodná premenná je premenná, ktorá môže nadobúdať určité hodnoty v závislosti od rôznych okolností a náhodná premenná sa nazýva spojitá , ak môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z nejakého ohraničeného alebo neohraničeného intervalu. Pre spojitú náhodnú premennú nie je možné špecifikovať všetky možné hodnoty, preto sú označené intervaly týchto hodnôt, ktoré sú spojené s určitými pravdepodobnosťami.

Príklady spojitých náhodných premenných sú: priemer časti otočenej na danú veľkosť, výška osoby, dosah strely atď.

Keďže pre spojité náhodné veličiny funkcia F(X), Na rozdiel od diskrétne náhodné premenné, nemá nikde žiadne skoky, potom sa pravdepodobnosť akejkoľvek jednej hodnoty spojitej náhodnej premennej rovná nule.

To znamená, že pre spojitú náhodnú premennú nemá zmysel hovoriť o rozdelení pravdepodobnosti medzi jej hodnotami: každá z nich má nulovú pravdepodobnosť. V určitom zmysle sú však medzi hodnotami spojitej náhodnej premennej „viac a menej pravdepodobné“. Napríklad je nepravdepodobné, že niekto bude pochybovať o tom, že hodnota náhodnej premennej – výška náhodne nájdenej osoby – 170 cm – je pravdepodobnejšia ako 220 cm, hoci jedna a druhá hodnota sa v praxi môže vyskytnúť.

Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej a hustota pravdepodobnosti

Ako distribučný zákon, ktorý má zmysel len pre spojité náhodné veličiny, sa zavádza pojem hustota rozdelenia alebo hustota pravdepodobnosti. Pristúpme k tomu porovnaním významu distribučnej funkcie pre spojitú náhodnú premennú a pre diskrétnu náhodnú premennú.

Čiže distribučná funkcia náhodnej premennej (diskrétnej aj spojitej) resp integrálna funkcia sa nazýva funkcia, ktorá určuje pravdepodobnosť, že hodnota náhodnej premennej X menšia alebo rovná limitnej hodnote X.

Pre diskrétnu náhodnú premennú v bodoch jej hodnôt X1 , X 2 , ..., X ja,... koncentrované masy pravdepodobností p1 , p 2 , ..., p ja,..., a súčet všetkých hmotností je rovný 1. Prenesme túto interpretáciu na prípad spojitej náhodnej veličiny. Predstavte si, že hmotnosť rovnajúca sa 1 nie je sústredená v samostatných bodoch, ale je nepretržite „rozmazaná“ pozdĺž osi x Vôl s nejakou nerovnomernou hustotou. Pravdepodobnosť zasiahnutia náhodnej premennej na ľubovoľnom mieste Δ X sa bude interpretovať ako hmotnosť prisúditeľná tejto sekcii a priemerná hustota v tejto sekcii - ako pomer hmotnosti k dĺžke. Práve sme zaviedli dôležitý koncept v teórii pravdepodobnosti: hustotu distribúcie.

Hustota pravdepodobnosti f(X) spojitej náhodnej premennej je derivácia jej distribučnej funkcie:

.

Keď poznáme funkciu hustoty, môžeme nájsť pravdepodobnosť, že hodnota spojitej náhodnej premennej patrí do uzavretého intervalu [ a; b]:

pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná X bude mať akúkoľvek hodnotu z intervalu [ a; b], sa rovná určitému integrálu jeho hustoty pravdepodobnosti v rozsahu od a predtým b:

.

V tomto prípade všeobecný vzorec funkcie F(X) rozdelenie pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej, ktoré možno použiť, ak je známa funkcia hustoty f(X) :

.

Graf hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej veličiny sa nazýva jej distribučná krivka (obr. nižšie).

Oblasť obrázku (na obrázku vytieňovaná), ohraničená krivkou, rovné čiary nakreslené z bodov a A b kolmá na os x a os Oh, graficky zobrazuje pravdepodobnosť, že hodnota spojitej náhodnej premennej X je v dosahu a predtým b.

Vlastnosti funkcie hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej

1. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná nadobudne akúkoľvek hodnotu z intervalu (a oblasti obrázku, ktorá je obmedzená grafom funkcie f(X) a os Oh) sa rovná jednej:

2. Funkcia hustoty pravdepodobnosti nemôže nadobúdať záporné hodnoty:

a mimo existencie rozdelenia je jeho hodnota nula

Hustota distribúcie f(X), ako aj distribučnú funkciu F(X), je jednou z foriem distribučného zákona, ale na rozdiel od distribučnej funkcie nie je univerzálna: hustota distribúcie existuje len pre spojité náhodné premenné.

Spomeňme dva v praxi najdôležitejšie typy rozdelenia spojitej náhodnej premennej.

Ak funkcia hustoty distribúcie f(X) spojitá náhodná premenná v nejakom konečnom intervale [ a; b] nadobúda konštantnú hodnotu C, a mimo intervalu nadobudne hodnotu rovnajúcu sa nule, potom toto rozdelenie sa nazýva rovnomerné .

Ak je graf funkcie hustoty distribúcie symetrický okolo stredu, priemerné hodnoty sú sústredené blízko stredu a pri pohybe od stredu sa zhromažďujú viac odlišné od priemerov (graf funkcie sa podobá rezu zvonček), potom toto rozdelenie sa nazýva normálne .

Príklad 1 Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej je známa:

Nájdite funkciu f(X) hustota pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej. Nakreslite grafy pre obe funkcie. Nájdite pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná nadobudne akúkoľvek hodnotu v rozsahu od 4 do 8: .

Riešenie. Funkciu hustoty pravdepodobnosti získame nájdením derivácie funkcie rozdelenia pravdepodobnosti:

Graf funkcií F(X) - parabola:

Graf funkcií f(X) - priamka:

Nájdite pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná nadobudne akúkoľvek hodnotu v rozsahu od 4 do 8:

Príklad 2 Funkcia hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej je daná ako:

Vypočítajte faktor C. Nájdite funkciu F(X) rozdelenie pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej. Nakreslite grafy pre obe funkcie. Nájdite pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná nadobudne akúkoľvek hodnotu v rozsahu od 0 do 5: .

Riešenie. Koeficient C pomocou vlastnosti 1 funkcie hustoty pravdepodobnosti nájdeme:

Funkcia hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej je teda:

Integráciou nájdeme funkciu F(X) rozdelenia pravdepodobnosti. Ak X < 0 , то F(X) = 0. Ak 0< X < 10 , то

.

X Potom > 10 F(X) = 1 .

Úplný záznam funkcie rozdelenia pravdepodobnosti je teda:

Graf funkcií f(X) :

Graf funkcií F(X) :

Nájdite pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná nadobudne akúkoľvek hodnotu v rozsahu od 0 do 5:

Príklad 3 Hustota pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X je daný rovnosťou , pričom . Nájdite koeficient A, pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná X nadobúda nejakú hodnotu z intervalu ]0, 5[, distribučnej funkcie spojitej náhodnej premennej X.

Riešenie. Podľa podmienok sa dostávame k rovnosti

Preto, odkiaľ. takže,

.

Teraz nájdeme pravdepodobnosť, že spojitá náhodná premenná X bude nadobúdať akúkoľvek hodnotu z intervalu ]0, 5[:

Teraz dostaneme distribučnú funkciu tejto náhodnej premennej:

Príklad 4 Nájdite hustotu pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X, ktorý nadobúda iba nezáporné hodnoty, a jeho distribučnú funkciu .

Hustota distribúcie pravdepodobnosti X zavolajte funkciu f(x) je prvou deriváciou distribučnej funkcie F(x):

Koncept hustoty rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej X Pre diskrétne množstvo nepoužiteľné.

Hustota pravdepodobnosti f(x)- volal diferenciálna funkcia distribúcie:

Nehnuteľnosť 1. Hustota distribúcie je nezáporná hodnota:

Nehnuteľnosť 2. Nevlastný integrál hustoty distribúcie v rozsahu od do sa rovná jednej:

Príklad 1.25. Vzhľadom na distribučnú funkciu spojitej náhodnej premennej X:

f(x).

Riešenie: Hustota distribúcie sa rovná prvej derivácii distribučnej funkcie:

1. Daná distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej X:

Nájdite hustotu distribúcie.

2. Je daná distribučná funkcia spojitej náhodnej veličiny X:

Nájdite hustotu distribúcie f(x).

1.3. Číselné charakteristiky spojitej náhodnosti

množstvá

Očakávaná hodnota spojitá náhodná premenná X, ktorých možné hodnoty patria do celej osi Oh, je určená rovnosťou:

Predpokladá sa, že integrál absolútne konverguje.

a,b), že:

f(x) je hustota distribúcie náhodnej premennej.

Disperzia spojitá náhodná premenná X, ktorého možné hodnoty patria do celej osi, sú určené rovnosťou:

špeciálny prípad. Ak hodnoty náhodnej premennej patria do intervalu ( a,b), že:

Pravdepodobnosť, že X bude nadobúdať hodnoty patriace do intervalu ( a,b), je určená rovnosťou:

.

Príklad 1.26. Spojitá náhodná premenná X

Nájdite matematické očakávanie, rozptyl a pravdepodobnosť zásahu náhodnej premennej X v intervale (0; 0,7).

Riešenie: Náhodná premenná je rozdelená na interval (0,1). Definujme hustotu distribúcie spojitej náhodnej premennej X:

a) Matematické očakávanie :

b) Disperzia

V)

Úlohy pre samostatnú prácu:

1. Náhodná premenná X dané distribučnou funkciou:

M(x);

b) disperzia D(x);

X do intervalu (2,3).

2. Náhodná hodnota X

Nájdite: a) matematické očakávanie M(x);

b) disperzia D(x);

c) určiť pravdepodobnosť zásahu náhodnej premennej X v intervale (1; 1,5).

3. Náhodná hodnota X je daná integrálnou distribučnou funkciou:

Nájdite: a) matematické očakávanie M(x);

b) disperzia D(x);

c) určiť pravdepodobnosť zásahu náhodnej premennej X v intervale.

1.4. Zákony rozdelenia spojitej náhodnej premennej

1.4.1. Rovnomerné rozdelenie

Spojitá náhodná premenná X má rovnomerné rozdelenie na intervale [ a,b], ak je na tomto segmente hustota rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej konštantná a mimo nej je rovná nule, t.j.

Ryža. 4.

; ; .

Príklad 1.27. Autobus niektorej trasy premáva rovnomerne s intervalom 5 minút. Nájdite pravdepodobnosť, že je rovnomerne rozdelená náhodná premenná X– čakacia doba na autobus bude kratšia ako 3 minúty.

Riešenie: Náhodná hodnota X- rovnomerne rozložené v intervale .

Hustota pravdepodobnosti: .

Aby čakacia doba nepresiahla 3 minúty, cestujúci sa musí dostaviť na zastávku do 2 až 5 minút po odchode predchádzajúceho autobusu, t.j. náhodná hodnota X musí spadať do intervalu (2;5). To. požadovaná pravdepodobnosť:

Úlohy pre samostatnú prácu:

1. a) nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej X rovnomerne rozložené v intervale (2; 8);

b) nájdite rozptyl a smerodajnú odchýlku náhodnej premennej X, rovnomerne rozložené v intervale (2;8).

2. Minútová ručička elektrických hodín naskočí na konci každej minúty. Nájdite pravdepodobnosť, že v danom okamihu budú hodiny ukazovať čas, ktorý sa líši od skutočného času najviac o 20 sekúnd.

1.4.2. Exponenciálne (exponenciálne) rozdelenie

Spojitá náhodná premenná X je exponenciálne rozložená, ak má hustota pravdepodobnosti tvar:

kde je parameter exponenciálneho rozdelenia.

Teda

Ryža. 5.

Číselné charakteristiky:

Príklad 1.28. Náhodná hodnota X- doba prevádzky žiarovky - má exponenciálne rozdelenie. Určte pravdepodobnosť, že lampa vydrží najmenej 600 hodín, ak je priemerná životnosť lampy 400 hodín.

Riešenie: Podľa stavu úlohy, matematického očakávania náhodnej premennej X rovná sa 400 hodinám, takže:

;

Požadovaná pravdepodobnosť, kde

Nakoniec:

Úlohy pre samostatnú prácu:

1. Napíšte hustotu a distribučnú funkciu exponenciálneho zákona, ak je parameter .

2. Náhodná hodnota X

Nájdite matematické očakávanie a rozptyl množstva X.

3. Náhodná hodnota X daná funkciou rozdelenia pravdepodobnosti:

Nájdite matematické očakávanie a smerodajnú odchýlku náhodnej premennej.

1.4.3. Normálne rozdelenie

Normálne sa nazýva rozdelenie pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X, ktorého hustota má tvar:

Kde A– matematické očakávanie, – štandardná odchýlka X.

Pravdepodobnosť, že X nadobudne hodnotu patriacu do intervalu:

, Kde

je Laplaceova funkcia.

Distribúcia, ktorá má ; , t.j. s hustotou pravdepodobnosti nazývaný štandardný.

Ryža. 6.

Pravdepodobnosť, že absolútna hodnota odchýlky je menšia ako kladné číslo:

.

Najmä vtedy, keď a= 0 rovnosť platí:

Príklad 1.29. Náhodná hodnota X distribuované normálne. Smerodajná odchýlka. Nájdite pravdepodobnosť, že odchýlka náhodnej premennej od jej matematického očakávania v absolútnej hodnote bude menšia ako 0,3.

Riešenie: .

Úlohy pre samostatnú prácu:

1. Napíšte hustotu pravdepodobnosti normálne rozdelenie náhodná premenná X, s vedomím, že M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Matematické očakávanie a smerodajná odchýlka normálne rozloženej náhodnej premennej X sú 20 a 5. Nájdite pravdepodobnosť, že ako výsledok testu X bude mať hodnotu obsiahnutú v intervale (15;20).

3. Náhodné chyby merania podliehajú normálnemu zákonu s priemerom smerodajná odchýlka mm a matematické očakávanie a= 0. Nájdite pravdepodobnosť, že chyba aspoň jedného z 3 nezávislých meraní nepresiahne 4 mm v absolútnej hodnote.

4. Niektoré látky sa odvážia bez systematických chýb. Náhodné chyby váženia podliehajú normálnemu zákonu so štandardnou odchýlkou ​​r. Nájdite pravdepodobnosť, že váženie sa vykoná s chybou nepresahujúcou 10 g v absolútnej hodnote.