Lekcia zo série "Geometrické algoritmy"

Dobrý deň, milý čitateľ!

Dnes sa začneme učiť algoritmy súvisiace s geometriou. Faktom je, že v počítačovej vede existuje pomerne veľa problémov s olympiádou súvisiacich s výpočtovou geometriou a riešenie takýchto problémov často spôsobuje ťažkosti.

V niekoľkých lekciách sa budeme zaoberať niekoľkými elementárnymi podproblémami, na ktorých je založené riešenie väčšiny problémov výpočtovej geometrie.

V tejto lekcii napíšeme program pre nájdenie rovnice priamky prechádzajúci daným dve bodky. Na riešenie geometrických problémov potrebujeme určité znalosti výpočtovej geometrie. Časť hodiny budeme venovať ich spoznávaniu.

Informácie z výpočtovej geometrie

Výpočtová geometria je oblasť počítačovej vedy, ktorá študuje algoritmy na riešenie geometrických problémov.

Počiatočnými údajmi pre takéto problémy môže byť množina bodov v rovine, množina segmentov, mnohouholník (daný napríklad zoznamom jeho vrcholov v smere hodinových ručičiek) atď.

Výsledkom môže byť buď odpoveď na nejakú otázku (napríklad patrí bod do úsečky, či sa dva úsečky pretínajú, ...), alebo nejaký geometrický objekt (napríklad najmenší konvexný mnohouholník spájajúci dané body, plocha mnohouholník atď.).

Problémy výpočtovej geometrie budeme uvažovať iba v rovine a iba v karteziánskom súradnicovom systéme.

Vektory a súradnice

Na uplatnenie metód výpočtovej geometrie je potrebné preložiť geometrické obrázky do reči čísel. Budeme predpokladať, že na rovine je daný kartézsky súradnicový systém, v ktorom sa smer otáčania proti smeru hodinových ručičiek nazýva kladný.

Geometrické objekty teraz dostávajú analytický výraz. Na určenie bodu teda stačí zadať jeho súradnice: dvojicu čísel (x; y). Segment je možné určiť zadaním súradníc jeho koncov, priamku je možné určiť zadaním súradníc dvojice jeho bodov.

Ale hlavným nástrojom na riešenie problémov budú vektory. Pripomeniem vám preto niekoľko informácií o nich.

Úsečka AB, čo má pointu A za začiatok (bod aplikácie) a bod IN- koniec sa nazýva vektor AB a označené buď , alebo napríklad tučným malým písmenom A .

Na označenie dĺžky vektora (teda dĺžky zodpovedajúceho segmentu) použijeme symbol modulu (napríklad ).

Ľubovoľný vektor bude mať súradnice rovné rozdielu medzi zodpovedajúcimi súradnicami jeho konca a začiatku:

,

bodky tu A A B mať súradnice resp.

Pre výpočty použijeme koncept orientovaný uhol, teda uhol, ktorý zohľadňuje vzájomnú polohu vektorov.

Orientovaný uhol medzi vektormi a A b kladné, ak je rotácia preč od vektora a do vektora b sa vykonáva v kladnom smere (proti smeru hodinových ručičiek) a zápornom v druhom prípade. Pozri obr.1a, obr.1b. Hovorí sa tiež, že dvojica vektorov a A b pozitívne (negatívne) orientované.

Hodnota orientovaného uhla teda závisí od poradia enumerácie vektorov a môže nadobúdať hodnoty v intervale.

Mnoho problémov výpočtovej geometrie používa koncept vektorových (skosených alebo pseudoskalárnych) súčinov vektorov.

Vektorový súčin vektorov a a b je súčinom dĺžok týchto vektorov a sínusu uhla medzi nimi:

.

Vektorový súčin vektorov v súradniciach:

Výraz vpravo je determinant druhého rádu:

Na rozdiel od definície uvedenej v analytickej geometrii ide o skalár.

Znamienko krížového súčinu určuje vzájomnú polohu vektorov:

a A b pozitívne orientovaný.

Ak je hodnota , potom pár vektorov a A b negatívne orientované.

Krížový súčin nenulových vektorov je nula vtedy a len vtedy, ak sú kolineárne ( ). To znamená, že ležia na rovnakej línii alebo na rovnobežných líniách.

Zoberme si niekoľko jednoduchých úloh potrebných na riešenie zložitejších.

Definujme rovnicu priamky súradnicami dvoch bodov.

Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva rôzne body dané ich súradnicami.

Nech sú na priamke uvedené dva nezhodné body: so súradnicami (x1;y1) a so súradnicami (x2; y2). Podľa toho má vektor so začiatkom v bode a koncom v bode súradnice (x2-x1, y2-y1). Ak je P(x, y) ľubovoľný bod na našej priamke, súradnice vektora sú (x-x1, y - y1).

Pomocou krížového súčinu možno podmienku kolinearity vektorov zapísať takto:

Tie. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Poslednú rovnicu prepíšeme takto:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Takže priamka môže byť daná rovnicou v tvare (1).

Úloha 1. Sú uvedené súradnice dvoch bodov. Nájdite jeho vyjadrenie v tvare ax + by + c = 0.

V tejto lekcii sme sa oboznámili s niektorými informáciami z výpočtovej geometrie. Vyriešili sme úlohu hľadania rovnice priamky súradnicami dvoch bodov.

V ďalšej lekcii napíšeme program na nájdenie priesečníka dvoch priamok daných našimi rovnicami.

V tomto článku sa budeme zaoberať všeobecnou rovnicou priamky v rovine. Uveďme príklady zostrojenia všeobecnej rovnice priamky, ak sú známe dva body tejto priamky alebo ak je známy jeden bod a normálový vektor tejto priamky. Uveďme metódy na prevod rovnice na všeobecný pohľad do kanonických a parametrických foriem.

Nech je daný ľubovoľný karteziánsky pravouhlý súradnicový systém Oxy. Zvážte rovnicu prvého stupňa alebo lineárna rovnica:

Ax+By+C=0,

(1)

Kde A, B, C sú nejaké konštanty a aspoň jeden z prvkov A A B odlišný od nuly.

Ukážeme, že lineárna rovnica v rovine definuje priamku. Dokážme nasledujúcu vetu.

Veta 1. V ľubovoľnom kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme v rovine môže byť každá priamka daná lineárnou rovnicou. Naopak, každá lineárna rovnica (1) v ľubovoľnom kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme v rovine definuje priamku.

Dôkaz. Stačí dokázať, že línia L je určená lineárnou rovnicou pre ľubovoľný kartézsky pravouhlý súradnicový systém, pretože potom bude určená lineárnou rovnicou a pre akúkoľvek voľbu karteziánskeho pravouhlého súradnicového systému.

Nech je na rovine daná priamka L. Súradnicový systém volíme tak, že os Vôl zarovnané s čiarou L, a os Oj bola na ňu kolmá. Potom rovnica priamky L bude mať nasledujúcu formu:

y=0.

(2)

Všetky body na priamke L bude spĺňať lineárnu rovnicu (2) a všetky body mimo tejto priamky nebudú spĺňať rovnicu (2). Prvá časť vety je dokázaná.

Nech je daný kartézsky pravouhlý súradnicový systém a nech je daná lineárna rovnica (1), kde aspoň jeden z prvkov A A B odlišný od nuly. Nájdite ťažisko bodov, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu (1). Keďže aspoň jeden z koeficientov A A B sa líši od nuly, potom rovnica (1) má aspoň jedno riešenie M(X 0 ,r 0). (Napríklad, keď A≠0, bodka M 0 (−C/A, 0) patrí do daného ťažiska bodov). Nahradením týchto súradníc do (1) získame identitu

Ax 0 +Autor: 0 +C=0.

(3)

Odčítajme identitu (3) od (1):

A(X−X 0)+B(r−r 0)=0.

(4)

Je zrejmé, že rovnica (4) je ekvivalentná rovnici (1). Preto stačí dokázať, že (4) definuje nejakú priamku.

Keďže uvažujeme kartézsky pravouhlý súradnicový systém, z rovnosti (4) vyplýva, že vektor so zložkami ( x-x 0 , y-y 0) je ortogonálny k vektoru n so súradnicami ( A,B}.

Zvážte nejaký riadok L prechádzajúci bodom M 0 (X 0 , r 0) a kolmo na vektor n(Obr. 1). Nechajte bod M(X,y) patrí do radu L. Potom vektor so súradnicami x-x 0 , y-y 0 kolmo n a rovnica (4) je splnená (skalárny súčin vektorov n a rovná sa nule). Naopak, ak bod M(X,y) neleží na čiare L, potom vektor so súradnicami x-x 0 , y-y 0 nie je ortogonálna k vektoru n a rovnica (4) nie je splnená. Veta bola dokázaná.

Dôkaz. Pretože čiary (5) a (6) definujú rovnakú čiaru, normálové vektory n 1 ={A 1 ,B 1) a n 2 ={A 2 ,B 2) sú kolineárne. Keďže vektory n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, potom existuje číslo λ , Čo n 2 =n 1 λ . Preto máme: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Dokážme to C 2 =C 1 λ . Je zrejmé, že zhodné čiary majú spoločný bod M 0 (X 0 , r 0). Násobenie rovnice (5) číslom λ a odčítaním rovnice (6) od nej dostaneme:

Keďže prvé dve rovnosti z výrazov (7) sú splnené, potom C 1 λ −C 2 = 0. Tie. C 2 =C 1 λ . Poznámka bola dokázaná.

Všimnite si, že rovnica (4) definuje rovnicu priamky prechádzajúcej bodom M 0 (X 0 , r 0) a majúci normálny vektor n={A,B). Ak teda poznáme normálový vektor priamky a bod patriaci tejto priamke, potom je možné zostrojiť všeobecnú rovnicu priamky pomocou rovnice (4).

Príklad 1. Priamka prechádza bodom M=(4,−1) a má normálny vektor n= (3, 5). Zostrojte všeobecnú rovnicu priamky.

Riešenie. Máme: X 0 =4, r 0 =−1, A=3, B=5. Aby sme vytvorili všeobecnú rovnicu priamky, dosadíme tieto hodnoty do rovnice (4):

odpoveď:

Vektor rovnobežný s čiarou L a teda je kolmá na normálový vektor priamky L. Zostrojme normálny čiarový vektor L vzhľadom na to skalárny produkt vektory n a rovná sa nule. Môžeme napísať napr. n={1,−3}.

Na zostrojenie všeobecnej rovnice priamky použijeme vzorec (4). Dosadíme do (4) súradnice bodu M 1 (môžeme vziať aj súradnice bodu M 2) a normálny vektor n:

Nahradenie súradníc bodu M 1 a M 2 v (9) môžeme zabezpečiť, aby priamka daná rovnicou (9) prechádzala týmito bodmi.

odpoveď:

Odčítať (10) od (1):

Získali sme kanonickú rovnicu priamky. Vektor q={−B, A) je smerový vektor priamky (12).

Pozrite si spätnú transformáciu.

Príklad 3. Priamku v rovine predstavuje nasledujúca všeobecná rovnica:

Posuňte druhý člen doprava a vydeľte obe strany rovnice 2 5.

Vlastnosti priamky v euklidovskej geometrii.

Existuje nekonečne veľa čiar, ktoré možno nakresliť cez ktorýkoľvek bod.

Cez akékoľvek dva nezhodné body vedie iba jedna priamka.

Dve nezhodné čiary v rovine sa buď pretínajú v jednom bode, alebo sú

paralelný (vyplýva z predchádzajúceho).

V trojrozmernom priestore existujú tri možnosti pre relatívnu polohu dvoch čiar:

• čiary sa pretínajú;

• priame čiary sú rovnobežné;

• priamky sa pretínajú.

Rovno riadok- algebraická krivka prvého rádu: v karteziánskom súradnicovom systéme priamka

je daná v rovine rovnicou prvého stupňa (lineárna rovnica).

Všeobecná rovnica rovno.

Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť daná rovnicou prvého poriadku

Ah + Wu + C = 0,

a konštantný A, B nerovná sa zároveň nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecný

priamka rovnica. V závislosti od hodnôt konštánt A, B A S Možné sú tieto špeciálne prípady:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- čiara prechádza počiatkom

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- priamka rovnobežná s osou Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- priamka rovnobežná s osou OU

. B = C = 0, A ≠ 0- čiara sa zhoduje s osou OU

. A = C = 0, B ≠ 0- čiara sa zhoduje s osou Oh

Rovnica priamky môže byť reprezentovaná v rôznych formách v závislosti od danej veličiny

počiatočné podmienky.

Rovnica priamky bodom a normálovým vektorom.

Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme vektor so zložkami (A, B)

kolmá na priamku danú rovnicou

Ah + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1; 2) kolmo na vektor (3, -1).

Riešenie. Zostavme pri A \u003d 3 a B \u003d -1 rovnicu priamky: 3x - y + C \u003d 0. Ak chcete nájsť koeficient C

do výsledného výrazu dosadíme súradnice daného bodu A. Dostaneme: 3 - 2 + C = 0, teda

C = -1. Celkom: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 \u003d 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.

Nech sú uvedené dva body v priestore M 1 (x 1 , y 1 , z 1) A M2 (x 2, y 2, z 2), Potom priamka rovnica,

prechádza cez tieto body:

Ak sa niektorý z menovateľov rovná nule, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu. Zapnuté

rovine, rovnica priamky napísaná vyššie je zjednodušená:

Ak x 1 ≠ x 2 A x = x 1, Ak x 1 = x 2 .

Zlomok = k volal faktor sklonu rovno.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).

Riešenie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

Rovnica priamky bodom a sklonom.

Ak je všeobecná rovnica priamky Ah + Wu + C = 0 uveďte do formulára:

a určiť , potom sa výsledná rovnica nazýva

rovnica priamky so sklonom k.

Rovnica priamky na bode a smerového vektora.

Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať úlohu

priamka cez bod a smerový vektor priamky.

Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého komponenty spĺňajú podmienku

Aai + Ba2 = 0 volal smerový vektor priamky.

Ah + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).

Riešenie. Budeme hľadať rovnicu požadovanej priamky v tvare: Ax + By + C = 0. Podľa definície

koeficienty musia spĺňať tieto podmienky:

1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.

Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0.

pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:

x + y - 3 = 0

Rovnica priamky v segmentoch.

Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ah + Wu + C = 0 C≠0, potom po delení -C dostaneme:

alebo , kde

Geometrický význam koeficientov je, že koeficient a je súradnicou priesečníka

rovný s nápravou oh, A b- súradnica priesečníka priamky s osou OU.

Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normálna rovnica priamky.

Ak obe strany rovnice Ah + Wu + C = 0 deliť číslom , ktorá sa volá

normalizačný faktor, potom dostaneme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normálna rovnica priamky.

Znamienko ± normalizačného faktora musí byť zvolené tak, aby μ * C< 0.

R- dĺžka kolmice spustenej od začiatku k čiare,

A φ - uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Oh.

Príklad. Vzhľadom na všeobecnú rovnicu priamky 12x - 5r - 65 = 0. Povinné napísať Rôzne druhy rovnice

túto priamku.

Rovnica tejto priamky v segmentoch:

Rovnica tejto priamky so sklonom: (vydeliť 5)

Rovnica priamky:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky,

rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.

Uhol medzi čiarami v rovine.

Definícia. Ak sú uvedené dva riadky y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, To ostrý roh medzi týmito riadkami

bude definovaný ako

Dve čiary sú rovnobežné, ak k1 = k2. Dve čiary sú kolmé

Ak k 1 \u003d -1 / k 2 .

Veta.

Priamy Ah + Wu + C = 0 A A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sú paralelné, keď sú koeficienty proporcionálne

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ak tiež С 1 \u003d λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok

sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica prechádzajúcej priamky daný bod kolmo na túto čiaru.

Definícia. Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmo na čiaru y = kx + b

reprezentovaný rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare.

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k čiare Ah + Wu + C = 0 definovaný ako:

Dôkaz. Nechajte bod M 1 (x 1, y 1)- základňa kolmice klesla z hrotu M za danú

priamy. Potom vzdialenosť medzi bodmi M A M 1:

(1)

Súradnice x 1 A 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:

Druhá rovnica systému je rovnica priamky prechádzajúcej cez daný bod M 0 kolmá

daný riadok. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta bola dokázaná.

Všeobecná rovnica priamky:

Konkrétne prípady všeobecnej rovnice priamky:

A keď C= 0, rovnica (2) bude mať tvar

Ax + Autor: = 0,

a priamka definovaná touto rovnicou prechádza počiatkom, pretože súradnice počiatku X = 0, r= 0 splniť túto rovnicu.

b) Ak vo všeobecnej rovnici priamky (2) B= 0, potom rovnica nadobúda tvar

Ax + S= 0 alebo .

Rovnica neobsahuje premennú r a priamka definovaná touto rovnicou je rovnobežná s osou Oj.

c) Ak vo všeobecnej rovnici priamky (2) A= 0, potom táto rovnica nadobúda tvar

Autor: + S= 0 alebo ;

rovnica neobsahuje premennú X a ním definovaná priamka je rovnobežná s osou Vôl.

Malo by sa pamätať na to: ak je priamka rovnobežná s akoukoľvek súradnicovou osou, potom jej rovnica neobsahuje výraz obsahujúci súradnicu rovnakého mena s touto osou.

d) Kedy C= 0 a A= 0 rovnica (2) má tvar Autor:= 0, alebo r = 0.

Toto je osová rovnica Vôl.

e) Kedy C= 0 a B= 0 rovnicu (2) je možné zapísať v tvare Ax= 0 alebo X = 0.

Toto je osová rovnica Oj.

Vzájomné usporiadanie rovné čiary v rovine. Uhol medzi čiarami v rovine. Stav rovnobežných čiar. Podmienka kolmosti čiar.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
12: A2x + B2y + C2 = 0

S 2 S 1 Vektory S 1 a S 2 sa nazývajú vodidlá ich čiar.

Uhol medzi priamkami l 1 a l 2 je určený uhlom medzi smerovými vektormi.
Veta 1: uhol cos medzi l 1 a l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d

Veta 2: Aby boli 2 riadky rovnaké, je potrebné a postačujúce:

Veta 3: aby 2 čiary boli kolmé, je potrebné a postačujúce:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Všeobecná rovnica roviny a jej jednotlivé prípady. Rovnica roviny v segmentoch.

Všeobecná rovinná rovnica:

Ax + By + Cz + D = 0

Špeciálne prípady:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - rovina prechádza počiatkom

2. С=0 Ax+By+D = 0 – rovina || oz

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – rovina || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – rovina || VÔL

5. A=0 a D=0 By+Cz = 0 - rovina prechádza cez OX

6. B=0 a D=0 Ax+Cz = 0 - rovina prechádza cez OY

7. C=0 a D=0 Ax+By = 0 - rovina prechádza cez OZ

Vzájomné usporiadanie rovín a priamok v priestore:

1. Uhol medzi čiarami v priestore je uhol medzi ich smerovými vektormi.

Cos (11; 12) = cos(S1; S2) = =

2. Uhol medzi rovinami je určený pomocou uhla medzi ich normálovými vektormi.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = =

3. Kosínus uhla medzi priamkou a rovinou možno nájsť cez sin uhla medzi smerovým vektorom priamky a normálovým vektorom roviny.

4. 2 riadky || vo vesmíre, keď ich || vektorových sprievodcov

5. 2 lietadlá || keď || normálne vektory

6. Pojmy kolmosti priamok a rovín sú zavedené podobne.

Otázka č. 14

Rôzne druhy rovnice priamky na rovine (rovnica priamky v segmentoch, so sklonom atď.)

Rovnica priamky v segmentoch:
Predpokladajme, že vo všeobecnej rovnici priamky:

1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - priamka prechádza cez začiatok.

2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d

3. in \u003d 0 Ax + C \u003d 0 x \u003d

4. v \u003d C \u003d 0 Sekera \u003d 0 x \u003d 0

5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0

Rovnica priamky so sklonom:

Akákoľvek priamka, ktorá sa nerovná osi y (B nie = 0), môže byť zapísaná v nasledujúcom texte. forma:

k = tgα α je uhol medzi priamkou a kladne nasmerovanou priamkou ОХ

b - priesečník priamky s osou OS

Doc-in:

Ax+By+C = 0

Wu \u003d -Ax-C |: B

Rovnica priamky v dvoch bodoch:

Otázka č. 16

Konečná limita funkcie v bode a pre x→∞

Limit konca v bode x 0:

Číslo A sa nazýva limita funkcie y \u003d f (x) pre x → x 0, ak pre ľubovoľné E > 0 existuje b > 0 také, že pre x ≠ x 0 spĺňa nerovnosť |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Limit je označený: = A

Koncový limit v bode +∞:

Číslo A sa nazýva limita funkcie y = f(x) pre x → + ∞ , ak pre ľubovoľné E > 0 existuje C > 0 tak, že pre x > C nerovnosť |f(x) - A|< Е

Limit je označený: = A

Koncový limit v bode -∞:

Číslo A sa nazýva limita funkcie y = f(x) pre x→-∞, ak pre nejaké E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere. Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi. Uhol medzi dvoma čiarami. Podmienka rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok. Určenie priesečníka dvoch priamok

1. Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom A(X 1 , r 1) v danom smere, určenom sklonom k,

r - r 1 = k(X - X 1). (1)

Táto rovnica definuje ceruzku čiar prechádzajúcich bodom A(X 1 , r 1), ktorý sa nazýva stred lúča.

2. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva body: A(X 1 , r 1) a B(X 2 , r 2) píše sa takto:

Sklon priamky prechádzajúcej cez dva dané body je určený vzorcom

3. Uhol medzi rovnými čiarami A A B je uhol, o ktorý sa musí otočiť prvá priamka A okolo priesečníka týchto čiar proti smeru hodinových ručičiek, kým sa nezhoduje s druhou čiarou B. Ak sú dve čiary dané rovnicami sklonu

r = k 1 X + B 1 ,