ואז הוא עשה את אותו ניסוי עם שלוש קוביות. על פיסת נייר רשמתי בטור את המספרים מ-3 עד 18. אלו הסכומים שיכולים ליפול כשזורקים שלוש קוביות. עשיתי 400 זריקות. חשב את התוצאה והכנס אותה בטבלה. (נספח 3 ו-4) הסכומים 10 ו-11 נופלים לעתים קרובות יותר.

עשיתי כבר ניסוי נוסף עם ארבע קוביות. בעמודה נכתבו מספרים מ-4 עד 24. אלו הסכומים שעלולים ליפול כאשר זורקים ארבע קוביות. עשיתי שוב 400 זריקות. חשב את התוצאה והכנס אותה בטבלה. (נספח 5 ו-6) הסכום 14 נושר לעתים קרובות יותר.

ואז החלטתי לעשות קצת מתמטיקה. הכנתי טבלה לשתי קוביות, מילאתי ​​אותה. (נספח 7) קיבלתי את התוצאה - הסכום השבע נופל לעתים קרובות יותר. (נספח 8). שש פעמים מתוך שלושים ושש. עשיתי את אותם חישובים מתמטיים תחילה עבור שלוש קוביות. (נספח 9) הסכומים 10 ו-11 נופלים לעתים קרובות יותר. מדובר ב-27 מקרים מתוך 216. והכי פחות- 3 ו-18, ​​רק מקרה אחד מתוך 216. (נספח 10) ואז לארבע קוביות. (נספח 11) יש בסך הכל 1296 מקרים. הכמות השכיחה ביותר היא 14, שהם 146 מקרים מתוך 1296. והפחות שכיח הוא 4 ו-24, רק מקרה 1 מתוך 1296. (נספח 12)

מצאתי תיאור של תרגילי קוביות. הופתעתי מהפשטות והמקוריות של כמה טריקים. סדר הסימונים המקובל בצידי הקוביות הוא הבסיס לטריקים רבים עם קוביות. וניסיתי כמה טריקים. הצלחתי. אבל ליישום המוצלח שלהם יש צורך לספור במהירות ובטוב.

פוקוס הוא טריק מיומן המבוסס על הטעיית העין בטריקים חכמים ומהירים. מהקהל הפוקוס תמיד חצי סמוי: הם יודעים שיש סוד, אבל הם מדמיינים אותו כמשהו לא אמיתי, לא מובן. טריקים מתמטיים הם סוג של הדגמה של תבניות מתמטיות.

הצלחת כל טריק תלויה בהכנה ובאימונים טובים, בקלות הביצוע של כל מספר, בחישוב מדויק, בשליטה מיומנת בטכניקות הדרושות לביצוע הטריק. טריקים כאלה עושים רושם רב על הקהל ומושכים אותו.

מיקוד 1. "מנחש את הכמות"

המפגין מפנה את גבו לקהל, ובשעה זו אחד מהם זורק שלוש קוביות על השולחן. לאחר מכן הצופה מתבקש לחבר את שלושת המספרים שהוטלו, לקחת כל קובייה ולהוסיף את המספר על הפנים התחתונות לכמות שהתקבלה זה עתה. ואז שוב זורקים את אותה קובייה ומוסיפים שוב את המספר שנפל לסכום. המפגין מסב את תשומת לב הקהל לכך שהוא בשום אופן לא יכול לדעת איזו משלוש הקוביות נזרק פעמיים, ואז הוא אוסף את הקוביות, לוחץ אותן בידו ומיד שם נכון את הכמות הסופית.

הֶסבֵּר. לפני איסוף הקוביות, ההצגה מוסיפה את המספרים הפונה כלפי מעלה. כשהוא מוסיף שבעה לסכום שהתקבל, הוא מוצא את הסכום הסופי.

הטריק הזה מסתמך על המאפיין של סכום המספרים על פרצופים מנוגדים - הוא תמיד שווה לשבע.

פרק 2

2.1. אנו מחשבים את התוצאה

על מנת לגלות איזו כמות נופלת לעתים קרובות יותר בעת זריקת קוביות שתיים, שלוש, ארבע וכו', ערכתי מספר ניסויים.

לפני תחילת העבודה הכנתי טבלה על מנת להזין נתונים. העמודה מכילה מספרים מ-2 עד 12. אלו הסכומים שעלולים ליפול כאשר זורקים שתי קוביות. על המשטח החלק של השולחן, כדי שלא תהיה הפרעה חיצונית, הוא החל לזרוק את הקוביות. כל ניסיון סומן מול מספר הכמות שנשרה - קו אנכי.

ניסוי 1:

1) אני לוקח שתי קוביות וכוס.

הניסוי חוזר על עצמו 400 פעמים.

הניסוי עזר לגלות איזו כמות נופלת לעתים קרובות יותר בעת זריקת שתי קוביות. (נספח 1 ו-2)

ניסוי 2 עשיתי עם שלוש קוביות כדי לגלות איזו כמות תיפול לעתים קרובות יותר כעת.

ניסוי 2:

1) אני לוקח שלוש קוביות וכוס.

2) אני מנער כוס קוביות.

3) אני זורק את הקוביות על השולחן.

4) אני מחשב את הסכום ומסמן אותו בטבלה.

הניסוי חוזר על עצמו 400 פעמים.

הניסוי עזר לגלות איזו כמות נופלת לעתים קרובות יותר בעת זריקת שלוש קוביות. (נספח 3 ו-4)

הניסוי עזר לי לוודא שכאשר זורקים שלוש קוביות, הכמות שנשרה שונה מאשר בשתי קוביות.

ניסוי 3 כבר רצתי עם ארבע קוביות כדי לראות את הדינמיקה של השינויים.

לפני תחילת העבודה, ערכתי שוב טבלה על מנת להזין נתונים.

ניסוי 3:

1) אני לוקח ארבע קוביות וכוס.

2) אני מנער כוס קוביות.

3) אני זורק את הקוביות על השולחן.

4) אני מחשב את הסכום ומסמן אותו בטבלה.

הניסוי חוזר על עצמו 400 פעמים.

הניסוי עזר לי לוודא שכאשר זורקים ארבע קוביות, הכמות שנופלת שוב שונה. (נספח 5 ו-6)

לאחר סקירת תוצאות הניסויים, התברר לי מדוע הכמויות הקרובות יותר לאמצע הטבלה נושרות לעתים קרובות יותר. אחרי הכל, סכום המספרים על פניים מנוגדים תמיד שווה לשבע. לכן, כאשר זורקים את הקוביות, סביר יותר שכמות הקרובה לאמצע זה תיפול.

2.2. השוו תוצאות

בהשוואה בין תוצאות ניסויים בקוביות (נספחים 1 - 6) לבין תוצאות חישובים מתמטיים (נספחים 7 - 12), שמתי לב שהסכום הקרוב יותר לאמצע נופל לעתים קרובות יותר. אז מצאתי את הכוונה סכום אריתמטימספרים על פני הקוביות. (1+2+3+4+5+6): 6 = 3.5. התברר שהמספר 3.5. ואז הכפלתי את המספר הזה במספר הקוביות. אם ניקח שתי קוביות, אז המכפלה היא 3.5 2 = 7. המספר שבע הוא המספר שנופל לרוב כשזורקים שתי קוביות. אם ניקח שלוש קוביות, נקבל 3.5 3 = 10.5. ומכיוון שהמספר חייב להיות מספר שלם, לוקחים שני מספרים סמוכים. אלה המספרים 10 ו-11, הם נופלים לעתים קרובות יותר כאשר זורקים שלוש קוביות. עבור כל מספר של קוביות, אתה יכול לחשב את המספר הנופל לעתים קרובות יותר באמצעות הנוסחה 3.5 נ , (איפה נ- מספר הקוביות). יתר על כן, אם נמספר אי-זוגי, אז נלקחים שני מספרים סמוכים כדי לקבוע את המספר שנופל לעתים קרובות יותר בעת זריקת קוביות.

הסתכלתי על הציור המקראי ומצאתי אי התאמה. שתי קוביות מסומנות בצורה שגויה. מכיוון שסכום המספרים על פניים מנוגדים צריך להיות שווה לשבע. ועל אחת הקוביות שבפנים העליונות - שלוש, ובצד - ארבע, אף על פי שארבע צריך להיות בפנים התחתונים. על הקוביות האחרות, על הפנים העליון - חמש, ובצד - שתיים. ואולי זה בגלל שבאזור הזה אומץ סימון אחר על הקוביות.

סיכום

בעבודתי למדתי את סוד הקוביות. הסוד הזה טמון על פני הקוביות עצמן. הסוד הוא בפריסה של הסימון. סכום המספרים על הפרצופים הנגדיים הוא תמיד שבע. בעזרת ניסויים וחישובים מתמטיים מצאתי את הכמות שנופלת לעתים קרובות יותר בעת זריקת קוביות, ותלויה במספר הקוביות. ניתן לכתוב את הסכום הזה כנוסחה 3,5 · נ, איפה נמספר הקוביות. תוך כדי מחקר בנושא זה, למדתי שמקור הקוביות בסביבות 3000 לפני הספירה. המקומות שבהם ארכיאולוגים מצאו את הפריטים העתיקים ביותר למשחק הם מצרים, איראן, עיראק והודו. למדתי על מגוון הצורות וסוגי הקוביות. וגם היכן משתמשים בקוביות והתכונות שיש להן. לא שקלתי את הנושא של פתרון בעיות בכלל. רק שתורת ההסתברות עדיין קשה לי. אבל אני מקווה לחזור אליו.

מתמטיקאים גדולים רבים בזמנים שונים פתרו בעיות בקוביות. אבל לא הצלחתי למצוא את מחבר הנוסחה למציאת הסכום הגדול ביותרבעת זריקת קוביות. אולי לא חיפשתי מספיק זמן. אבל אני אמשיך לחפש. אני מעוניין לדעת מי המציא את הנוסחה הזו לראשונה.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה

1. אזארייב מילון אנציקלופדי [משאב אלקטרוני]http://www. סלורוס. en/?di=72219

2., סובורוב על הסתברות במשחקים. מבוא לתורת ההסתברות לתלמידי כיתות ח'-י"א. - ירוסלב: האקדמיה לפיתוח, 2006. -192 עמ'.

3. משימות Freebus. – מ.: נאורות, 1994. – 128 עמ'.

4. אנציקלופדיה חופשית של ויקיפדיה [משאב אלקטרוני] https://ru. ויקיפדיה. org/wiki/Dice

5. עסקי הימורים. לְכָל. מאנגלית. ו-fr. /NEC "Bibliomarket"; Ed.-stat. . - מ' 1994. - 208 עמ'.

6. עצמות, קוביות, קוביות [משאב אלקטרוני] http://www. /he/articles/igralnye_kosti-34

7. ליוטיקס על תורת ההסתברות. – מ.: נאורות, 1983. – 127 עמ'.

8. מתמטיקאי ניקיפורובסקי ברנולי. – מ.: נאוקה, 1984. – 180 עמ'.

9. מאחורי דפי ספר אלגברה. סֵפֶר. לתלמידי כיתות ז'-ט' חינוך כללי מוסדות. – מ.: נאורות, 1999. – 237 עמ'.

10. 100 מדענים גדולים. - מ.: Veche, 2000. - 592 עמ'.

11. מילון מילים זרות[משאב אלקטרוני] http:///search

12. מילון הסבר של אושאקוב [משאב אלקטרוני] http://www. /3/193/772800.html

13. Shen A. הסתברות: דוגמאות ומשימות. - M.: MTsNMO Publishing House, 2008. - 64 עמ'.

14. בעיית יעקובלב עם קוביות בחקר אלמנטים של תורת ההסתברות [משאב אלקטרוני] http://festival.1 בספטמבר. en/articles/517883/

15. יעקובלב וטריקים מצחיקים עם קוביות [משאב אלקטרוני] http://festival.1 בספטמבר. en/articles/624782/

נספח 1. תוצאות זריקות 2 קוביות

נספח 2. תוצאות זריקות 2 קוביות

בבלוג שלו, תרגום ההרצאה הבאה של הקורס "עקרונות משחק איזון" מאת מעצב המשחקים יאן שרייבר, שעבד על פרויקטים כמו Marvel Trading Card Game ו-Playboy: the Mansion.

עד היום, כמעט כל מה שדיברנו עליו היה דטרמיניסטי, ובשבוע שעבר בדקנו מקרוב את המכניקה הטרנזיטיבית, פירקנו אותה בפירוט רב ככל שאוכל להסביר. אבל עד עכשיו, לא שמנו לב להיבטים אחרים של משחקים רבים, כלומר, רגעים לא דטרמיניסטיים - במילים אחרות, אקראיות.

הבנת מהות האקראיות חשובה מאוד למעצבי משחקים. אנחנו יוצרים מערכות שמשפיעות על חווית המשתמש במשחק נתון, אז אנחנו צריכים לדעת איך המערכות האלה עובדות. אם יש אקראיות במערכת, עלינו להבין את מהות האקראיות הזו ולדעת לשנות אותה על מנת לקבל את התוצאות שאנו צריכים.

קוביות

נתחיל במשהו פשוט - לזרוק קוביות. כאשר רוב האנשים חושבים על קוביות, הם חושבים על קובייה בעלת שש צדדים המכונה d6. אבל רוב הגיימרים ראו קוביות רבות אחרות: ארבע צדדים (d4), שמונה צדדים (d8), שתים עשרה צדדים (d12), עשרים צדדים (d20). אם אתה חנון אמיתי, אולי יש לך קוביות של 30 או 100 גרגירים איפשהו.

אם אינך מכיר את המינוח הזה, ד מייצג קובייה, והמספר שאחריו הוא מספר הפנים שלו. אם המספר מגיע לפני d, אז זה מציין את מספר הקוביות בעת הטלת. לדוגמה, במונופול, אתה מגלגל 2d6.

אז, במקרה הזה, הביטוי "קוביות" - סֵמֶל. יש עוד מספר עצום של מחוללי מספרים אקראיים שאינם נראים כמו דמויות פלסטיק, אלא מבצעים את אותה פונקציה - הם יוצרים מספר אקראי מ-1 עד n. מטבע רגיל יכול להיות מיוצג גם כקוביית d2 dihedral.

ראיתי שני עיצובים של קובייה בעלת שבע צדדים: אחד מהם נראה כמו קובייה, והשני נראה יותר כמו עיפרון עץ בעל שבעה צדדים. סביבון טטרהדרלי, הידוע גם בשם טיטוטום, הוא אנלוגי של עצם טטרהדרלית. לוח המשחק עם חץ מסתובב ב-Chutes & Ladders, שבו התוצאה יכולה להיות מ-1 עד 6, מתאים לקוביה בעלת שש צדדים.

מחולל המספרים האקראיים במחשב יכול ליצור כל מספר מ-1 עד 19 אם המעצב נותן פקודה כזו, למרות שלמחשב אין קובייה בעלת 19 צלעות (באופן כללי, אדבר יותר על ההסתברות למספרים במחשב בְּ- שבוע הבא). כל הפריטים האלה נראים אחרת, אבל למעשה הם שווים: יש לך סיכוי שווה לכל אחת מכמה תוצאות אפשריות.

לקוביות יש כמה מאפיינים מענייניםשאנחנו צריכים לדעת עליהם. ראשית, ההסתברות לקבל כל אחד מהפנים זהה (אני מניח שאתה זורק קובייה גיאומטרית רגילה). אם אתה רוצה לדעת את הערך הממוצע של ההטלה (למי שאוהב תורת הסתברות, זה ידוע בתור ערך צפוי), סכם את הערכים על כל הפרצופים וחלק את המספר הזה במספר הפרצופים.

סכום הערכים של כל הפרצופים עבור קובייה סטנדרטית בעלת שש צדדים הוא 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. חלקו 21 במספר הפרצופים וקבלו את הערך הממוצע של הגליל: 21 / 6 = 3.5. זה מקרה מיוחד, כי אנו מניחים שכל התוצאות הן בעלות סבירות שווה.

מה אם יש לך קוביות מיוחדות? לדוגמה, ראיתי משחק של hex קוביותעם מדבקות מיוחדות על הפנים: 1, 1, 1, 2, 2, 3, כך שהוא מתנהג כמו קובייה תלת-צדדית מוזרה, שסביר יותר להטיל 1 מאשר 2, וסביר יותר להטיל 2 מאשר a 3. איזה ערך גלגול ממוצע עבור הקוביה הזו? אז, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, חלק ב-6 - אתה מקבל 5/3, או בערך 1.66. אז אם יש לך קובייה מיוחדת ושחקנים מטילים שלוש קוביות ואז מחברים את התוצאות, אתה יודע שהסך הכל שלהן יהיה בערך 5, ותוכל לאזן את המשחק על סמך ההנחה הזו.

קוביות ועצמאות

כפי שכבר אמרתי, אנו יוצאים מנקודת הנחה שהנשירה של כל פנים סבירה באותה מידה. זה לא משנה כמה קוביות תטיל כאן. כל זריקת קובייה היא עצמאית, מה שאומר שהגלילות קודמות אינן משפיעות על תוצאות ההטלות הבאות. עם מספיק ניסויים, אתה חייב לשים לב לסדרה של מספרים - למשל, מגלגלים בעיקר ערכים גבוהים או נמוכים יותר - או תכונות אחרות, אבל זה לא אומר שהקוביות "חמות" או "קרות". נדבר על זה מאוחר יותר.

אם אתה מטיל קוביה רגילה בעלת שש צדדים והמספר 6 עולה פעמיים ברציפות, ההסתברות שתוצאת ההטלה הבאה תהיה 6 היא גם 1/6. ההסתברות לא עולה כי הקוביה "התחממה" ". יחד עם זאת, ההסתברות לא יורדת: לא נכון לטעון שהמספר 6 כבר נפל פעמיים ברציפות, מה שאומר שעכשיו צריך ליפול פרצוף נוסף.

כמובן, אם אתה מטיל קובייה עשרים פעם והמספר 6 עולה בכל פעם, הסיכוי ש-6 יעלה בפעם העשרים ואחת הוא די גבוה: אולי יש לך את הקוביה הלא נכונה. אבל אם הקוביה נכונה, ההסתברות לקבל כל אחד מהפרצופים זהה, ללא קשר לתוצאות של הטלות אחרות. אתה גם יכול לדמיין שאנחנו משנים את הקוביה בכל פעם: אם המספר 6 גלגל פעמיים ברציפות, הסר את הקוביה "החמה" מהמשחק והחלף אותה באחת חדשה. אני מצטער אם מישהו מכם כבר ידע על זה, אבל הייתי צריך להבהיר את זה לפני שנמשיך הלאה.

איך לגרום להטלת קוביות פחות או יותר אקראית

בואו נדבר על איך להשיג תוצאות שונות על קוביות שונות. אם תטיל את הקוביה רק ​​פעם אחת או כמה פעמים, המשחק ירגיש אקראי יותר כאשר לקוביה יש יותר קצוות. ככל שאתה מטיל את הקוביות לעתים קרובות יותר וככל שאתה מטיל יותר קוביות, כך התוצאות מתקרבות יותר לממוצע.

לדוגמה, במקרה של 1d6 + 4 (כלומר, אם אתה מטיל קובייה רגילה עם שש צדדים פעם אחת ומוסיף 4 לתוצאה), הממוצע יהיה מספר בין 5 ל-10. אם אתה מטיל 5d2, הממוצע יהיה גם מספר בין 5 ל-10. התוצאה של גלגול 5d2 תהיה בעיקר המספרים 7 ו-8, לעתים רחוקות יותר ערכים אחרים. אותה סדרה, אפילו אותו ערך ממוצע (7.5 בשני המקרים), אבל אופי האקראיות שונה.

חכה דקה. האם לא אמרתי שהקוביות לא "מתחממות" או "מתקררות"? ועכשיו אני אומר: אם אתה מטיל הרבה קוביות, התוצאות של ההטלות קרובות יותר לערך הממוצע. למה?

הרשה לי להסביר. אם אתה מטיל קובייה בודדת, ההסתברות שכל אחד מהפרצופים יעלה זהה. זה אומר שאם תטיל הרבה קוביות לאורך זמן, כל פרצוף יעלה בערך אותו מספר פעמים. ככל שתטיל יותר קוביות, כך התוצאה הכוללת תתקרב לממוצע.

זה לא בגלל שהמספר המגולגל "גורם" למספר נוסף שעדיין לא התגלגל. כי רצף קטן של הטלת המספר 6 (או 20, או מה שלא יהיה) לא יעשה הרבה הבדל בסופו של דבר אם תטיל את הקובייה עוד עשרת אלפים פעמים וזה בעיקר הממוצע. כעת יהיו לך כמה מספרים גדולים, ובהמשך כמה קטנים - ועם הזמן הם יתקרבו לערך הממוצע.

זה לא בגלל שהשלכות קודמות משפיעות על הקוביות (ברצינות, הקוביות עשויות מפלסטיק, אין לה את המוח לחשוב, "אוי, עבר הרבה זמן מאז שעלה 2"), אלא בגלל שזה קורה בדרך כלל. עם הרבה גלגולים. משחק בקוביות.

אז זה די קל לחשב עבור זריקה אקראית אחת של קובייה - לפחות חשב את הערך הממוצע של ההטלה. יש גם דרכים לחשב "כמה אקראי" משהו ולומר שהתוצאות של גלגול 1d6 + 4 יהיו "אקראיות יותר" מ-5d2. עבור 5d2, תוצאות מגולגלות יתפזרו באופן שווה יותר. כדי לעשות זאת, אתה צריך לחשב את סטיית התקן: ככל שהערך גדול יותר, כך התוצאות יהיו אקראיות יותר. לא הייתי רוצה לתת כל כך הרבה חישובים היום, אני אסביר את הנושא הזה מאוחר יותר.

הדבר היחיד שאני הולך לבקש ממך לזכור הוא שככלל, ככל שאתה מטיל פחות קוביות, כך יותר אקראי. וככל שיש לקובייה יותר קצוות, יותר אקראיות, שכן יותר אפשרויותערכים.

כיצד לחשב הסתברות באמצעות ספירה

אתם אולי תוהים: איך נוכל לחשב את ההסתברות המדויקת לתוצאה מסוימת? למעשה, זה די חשוב עבור משחקים רבים: אם תטיל את הקוביה בהתחלה, סביר להניח שתהיה תוצאה אופטימלית כלשהי. התשובה היא: עלינו לחשב שני ערכים. קוֹדֶם כֹּל, מספר כוללתוצאות בעת זריקת קובייה, ושנית, מספר התוצאות החיוביות. על ידי חלוקת הערך השני בראשון, מקבלים את ההסתברות הרצויה. כדי לקבל אחוז, הכפל את התוצאה ב-100.

דוגמאות

הנה דוגמה מאוד פשוטה. אתה רוצה להטיל 4 ומעלה ולהטיל קובייה בעלת שש צדדים פעם אחת. המספר המרבי של תוצאות הוא 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). מתוכם, 3 תוצאות (4, 5, 6) חיוביות. אז, כדי לחשב את ההסתברות, נחלק 3 ב-6 ונקבל 0.5 או 50%.

הנה דוגמה קצת יותר מסובכת. אתה רוצה שהגלל של 2d6 יגיע עם מספר זוגי. המספר המרבי של התוצאות הוא 36 (6 אפשרויות לכל קובייה, קובייה אחת לא משפיעה על השנייה, אז נכפיל 6 ב-6 ונקבל 36). מורכבות השאלה מהסוג הזההוא שקל לספור פעמיים. לדוגמה, בגלגול של 2d6, יש שתי תוצאות אפשריות של 3: 1+2 ו-2+1. הם נראים אותו הדבר, אבל ההבדל הוא איזה מספר מוצג בקובייה הראשונה ואיזה מהם נמצא בשנייה.

אתה יכול גם לדמיין את הקוביות צבעים שונים: כך, למשל, במקרה זה, קובייה אחת היא אדומה, השנייה כחולה. לאחר מכן סופר את מספר המופעים האפשריים של מספר זוגי:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

מסתבר שיש 18 אפשרויות לתוצאה חיובית מתוך 36 - כמו במקרה הקודם, ההסתברות היא 0.5 או 50%. אולי לא צפוי, אבל די מדויק.

סימולציית מונטה קרלו

מה אם יש לך יותר מדי קוביות עבור החישוב הזה? לדוגמה, אתה רוצה לדעת מהי ההסתברות שסך הכל 15 או יותר יעלו בגלגול של 8d6. עבור שמונה קוביות, יש סט ענק תוצאות שונות, וספירתם ביד ייקח הרבה מאוד זמן - גם אם נוכל למצוא איזה פתרון טוב לקבץ סדרות שונות של הטלת קוביות.

במקרה זה, הדרך הקלה ביותר היא לא לספור ידנית, אלא להשתמש במחשב. ישנן שתי דרכים לחישוב הסתברות במחשב. הדרך הראשונה יכולה לקבל את התשובה המדויקת, אבל היא כרוכה במעט תכנות או סקריפטים. המחשב יבחן כל אפשרות, יעריך ויספור את מספר האיטרציות הכולל ואת מספר האיטרציות התואמות את התוצאה הרצויה, ולאחר מכן יספק את התשובות. הקוד שלך עשוי להיראות בערך כך:

אם אתה לא מתכנת ואתה רוצה תשובה משוערת במקום מדויקת, אתה יכול לדמות את המצב הזה באקסל, שבו אתה מגלגל 8d6 כמה אלפי פעמים ומקבל את התשובה. כדי לגלגל 1d6 באקסל השתמש בנוסחה =FLOOR(RAND()*6)+1.

יש שם לסיטואציה שבה אתה לא יודע את התשובה ופשוט מנסה הרבה פעמים - הדמיית מונטה קרלו. זהו פתרון מצוין לחזור אליו כאשר קשה מדי לחשב את ההסתברות. הדבר הגדול הוא שבמקרה הזה, אנחנו לא צריכים להבין איך מתמטיקה עובדת, ואנחנו יודעים שהתשובה תהיה "די טובה", כי כפי שאנו כבר יודעים, ככל שיותר גלגולים, כך התוצאה מתקרבת יותר ל- ערך ממוצע.

כיצד לשלב ניסויים עצמאיים

אם אתה שואל על כמה חוזרים אבל בדיקות עצמאיות, אז התוצאה של גליל אחד לא משפיעה על התוצאה של גלילים אחרים. יש עוד הסבר פשוט יותר למצב הזה.

איך להבחין בין משהו תלוי לעצמאי? באופן עקרוני, אם אתה יכול לבודד כל זריקת קובייה (או סדרה של כדורים) כאירוע נפרד, אז זה עצמאי. לדוגמה, אנו מגלגלים 8d6 ורוצים להטיל סך של 15. לא ניתן לחלק את האירוע הזה למספר הטלות קוביות עצמאיות. כדי לקבל את התוצאה, מחשבים את הסכום של כל הערכים, כך שהתוצאה שהוטלה על קובייה אחת משפיעה על התוצאות שאמורות לגלגל על ​​אחרות.

הנה דוגמה להטלות עצמאיות: אתה משחק משחק קוביות ואתה מטיל קוביות שש צדדיות כמה פעמים. ההטלה הראשונה חייבת לגלגל 2 ומעלה כדי שתוכל להישאר במשחק. לגליל השני - 3 ומעלה. השלישי דורש 4 או יותר, הרביעי דורש 5 או יותר, והחמישי דורש 6. אם כל חמשת הגליל מוצלחים, אתה מנצח. במקרה זה, כל ההטלות הן עצמאיות. כן, אם גלגול אחד נכשל, זה ישפיע על התוצאה של המשחק כולו, אבל גלגול אחד לא ישפיע על השני. לדוגמה, אם ההטלה השנייה שלך עם הקובייה טובה מאוד, זה לא אומר שההטלות הבאות יהיו טובות באותה מידה. לכן, אנו יכולים לשקול את ההסתברות של כל הטלת קוביות בנפרד.

אם יש לך הסתברויות עצמאיות ואתה רוצה לדעת מה ההסתברות שכל האירועים יתרחשו, אתה קובע כל הסתברות בודדת ומכפיל אותם. דרך נוספת: אם אתה משתמש בצירוף "ו" כדי לתאר כמה תנאים (לדוגמה, מה ההסתברות שיתרחשו אירוע אקראי כלשהו ואירוע אקראי בלתי תלוי אחר?) - חשב את ההסתברויות האישיות והכפל אותן.

זה לא משנה מה אתה חושב - לעולם אל תסכם את ההסתברויות העצמאיות. זוהי טעות נפוצה. כדי להבין למה זה לא בסדר, דמיינו מצב שבו אתם זורקים מטבע ואתם רוצים לדעת מה ההסתברות לקבל ראשים פעמיים ברציפות. ההסתברות ליפול מכל צד היא 50%. אם אתה מסכם את שתי ההסתברויות האלה, אתה מקבל סיכוי של 100% לקבל ראשים, אבל אנחנו יודעים שזה לא נכון, כי שני זנבות רצופים יכולים לעלות. אם במקום זאת מכפילים את שתי ההסתברויות, מקבלים 50% * 50% = 25% - שזו התשובה הנכונה לחישוב ההסתברות לקבל ראשים פעמיים ברציפות.

דוגמא

נחזור למשחק של קוביות שש צדדיות, שבו תחילה צריך להטיל מספר גדול מ-2, אחר כך יותר מ-3 - וכן הלאה עד 6. מה הסיכוי שבסדרה נתונה של חמש זריקות, כל התוצאות יהיו חיוביות?

כפי שצוין לעיל, אלו הם ניסויים עצמאיים, ולכן אנו מחשבים את ההסתברות עבור כל גלגול בודד, ולאחר מכן מכפילים אותם. ההסתברות שתוצאת ההטלה הראשונה תהיה חיובית היא 5/6. השני - 4/6. שלישי - 3/6. הרביעי - 2/6, החמישי - 1/6. אנחנו מכפילים את כל התוצאות זו בזו ומקבלים בערך 1.5%. זכיות במשחק הזה די נדירות, כך שאם תוסיף את האלמנט הזה למשחק שלך, תצטרך קופה די גדולה.

שְׁלִילָה

הנה עוד רמז שימושי: לפעמים קשה לחשב את ההסתברות שאירוע יתרחש, אבל קל יותר לקבוע את הסיכויים שאירוע לא יתרחש. לדוגמה, נניח שיש לנו עוד משחק: אתה מגלגל 6d6 ואתה מנצח אם אתה מגלגל 6 לפחות פעם אחת. מה ההסתברות לנצח?

במקרה זה, ישנן אפשרויות רבות לשקול. יתכן שמספר אחד 6 ייפול, כלומר המספר 6 ייפול על אחת הקוביות, והמספרים מ-1 עד 5 יפלו על האחרים, אז יש 6 אפשרויות לאיזו מהקוביות יהיו. a 6. אתה יכול לקבל את המספר 6 על שתי עצמות קוביות, או שלוש, או אפילו יותר, ובכל פעם תצטרך לעשות חישוב נפרד, כך שקל להתבלבל כאן.

אבל בואו נסתכל על הבעיה מהצד השני. אתה מפסיד אם אף אחת מהקוביות לא מטיל 6. במקרה זה, יש לנו 6 ניסויים עצמאיים. ההסתברות שכל אחת מהקוביות תטיל מספר שאינו 6 היא 5/6. תכפיל אותם - וקבל כ-33%. לפיכך, ההסתברות להפסיד היא אחת לשלושה. לכן, ההסתברות לזכייה היא 67% (או שניים עד שלושה).

מהדוגמה הזו, ברור שאם אתה מחשב את ההסתברות שאירוע לא יתרחש, אתה צריך להחסיר את התוצאה מ-100%. אם ההסתברות לזכייה היא 67%, אז ההסתברות להפסד היא 100% פחות 67%, או 33%, ולהיפך. אם קשה לחשב הסתברות אחת, אבל קל לחשב את ההיפך, חשב את ההיפך, ולאחר מכן הפחת את המספר הזה מ-100%.

תנאי חיבור לבדיקה עצמאית אחת

אמרתי קצת קודם שאסור לסכם הסתברויות בניסויים עצמאיים. האם יש מקרים בהם ניתן לסכם את ההסתברויות? כן, במצב מסוים אחד.

אם ברצונך לחשב את ההסתברות למספר תוצאות חיוביות שאינן קשורות באותו ניסוי, סכם את ההסתברויות של כל תוצאה חיובית. לדוגמה, ההסתברות לזרוק 4, 5 או 6 על 1d6 שווה לסכום ההסתברות לזרוק 4, ההסתברות לזרוק 5, וההסתברות לזרוק 6. המצב הזהיכול להיות מיוצג באופן הבא: אם אתה משתמש באיחוד "או" בשאלת ההסתברות (לדוגמה, מהי ההסתברות לתוצאה כזו או אחרת של אירוע אקראי אחד?) - חשב את ההסתברויות האישיות וסכמו אותן.

שימו לב: כאשר אתם מחשבים את כל התוצאות האפשריות של המשחק, סכום ההסתברויות להתרחשותן חייב להיות שווה ל-100%, אחרת החישוב שלכם נעשה בצורה שגויה. זה דרך טובהבדוק שוב את החישובים שלך. לדוגמה, ניתחת את ההסתברות לקבל את כל השילובים בפוקר. אם אתה מחבר את כל התוצאות שאתה מקבל, אתה אמור לקבל בדיוק 100% (או לפחות ערך די קרוב ל-100%: אם אתה משתמש במחשבון, ייתכן שיש שגיאת עיגול קטנה, אבל אם אתה מוסיף המספרים המדויקים ביד, הכל אמור להסתכם. ). אם הסכום אינו מצטבר, סביר להניח שלא לקחתם בחשבון כמה שילובים או חישבת את ההסתברויות של כמה שילובים בצורה שגויה, ויש לבדוק מחדש את החישובים.

הסתברויות לא שוות

עד עכשיו הנחנו שכל פנים של הקובייה נופלת באותה תדירות, כי ככה הקובייה עובדת. אבל לפעמים אתה יכול להיתקל במצב שבו תוצאות שונות אפשריות ויש להם סיכויים שונים ליפול.

למשל באחת התוספות משחק קלפיםלמלחמה גרעינית יש מגרש משחק עם חץ, שקובע את התוצאה של שיגור רקטה. לרוב, הוא גורם לנזק רגיל, פחות או יותר, אבל לפעמים הנזק מוכפל או משולש, או שהטיל מתפוצץ על משטח השיגור ופוגע בך, או מתרחש אירוע אחר. בניגוד ללוח החצים ב-Chutes & Ladders או A Game of Life, תוצאות הלוח במלחמה הגרעינית אינן סבירות באותה מידה. חלקים מסוימים של מגרש המשחקים גדולים יותר והחץ עוצר עליהם לעתים קרובות יותר, בעוד חלקים אחרים קטנים מאוד והחץ עוצר עליהם לעתים רחוקות.

אז, במבט ראשון, העצם נראית בערך כך: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - כבר דיברנו על זה, זה משהו כמו 1d3 משוקלל. לכן, עלינו לחלק את כל החלקים הללו לחלקים שווים, למצוא את יחידת המידה הקטנה ביותר, המחלק, שהכל הוא כפולה, ואז לייצג את המצב בצורה d522 (או אחרת), שבה קבוצת הקוביות פרצופים ייצגו את אותו מצב, אף כמות גדולהתוצאות. זוהי דרך אחת לפתור את הבעיה, והיא ריאלית מבחינה טכנית, אך ישנה אפשרות קלה יותר.

בואו נחזור לקוביות שישה צדדיות הסטנדרטיות שלנו. אמרנו שכדי לחשב את הערך הממוצע של הטלה עבור קובייה רגילה, אתה צריך לסכם את הערכים של כל הפרצופים ולחלק אותם במספר הפרצופים, אבל איך בדיוק מתבצע החישוב? אפשר לבטא את זה אחרת. עבור קוביות שישה צדדים, ההסתברות שכל פרצוף יעלה היא בדיוק 1/6. כעת נכפיל את התוצאה של כל פן בהסתברות לתוצאה זו (במקרה זה 1/6 לכל פן) ולאחר מכן נסכם את הערכים המתקבלים. אז לסיכום (1 ​​* 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6), נקבל את אותה תוצאה (3.5) כמו בחישוב למעלה. למעשה, אנו מחשבים זאת בכל פעם: אנו מכפילים כל תוצאה בהסתברות לתוצאה זו.

האם נוכל לעשות את אותו חישוב עבור החץ על לוח המשחק במלחמה גרעינית? כמובן שאנו יכולים. ואם נסכם את כל התוצאות שנמצאו, נקבל את הערך הממוצע. כל שעלינו לעשות הוא לחשב את ההסתברות של כל תוצאה עבור החץ במגרש המשחקים ולהכפיל בערך התוצאה.

דוגמה אחרת

השיטה המוזכרת לחישוב הממוצע מתאימה גם אם התוצאות סבירות באותה מידה אך יש להן יתרונות שונים - למשל, אם אתה מטיל קובייה ומנצח יותר בכמה פרצופים מאשר באחרים. לדוגמה, ניקח משחק שמתרחש בקזינו: אתה מבצע הימור ומגלגל 2d6. אם מגיעים שלושה מספרים הערך הקטן ביותר(2, 3, 4) או ארבעה מספרים בעלי ערך גבוה (9, 10, 11, 12) - תזכה בסכום השווה להימור שלך. המספרים עם הערך הנמוך והגבוה ביותר הם מיוחדים: אם יופיע 2 או 12, תזכה פי שניים מההימור שלך. אם יופיע מספר אחר (5, 6, 7, 8), תפסיד את ההימור שלך. זה יפה משחק פשוט. אבל מה ההסתברות לזכייה?

נתחיל בספירה כמה פעמים אתה יכול לזכות. המספר המרבי של תוצאות בגלגול 2d6 הוא 36. מהו מספר התוצאות הטובות?

• יש אפשרות אחת שתגלגל 2, ואפשרות אחת שתגלגל 12.
• ישנן 2 אפשרויות ל-3 ו-2 אפשרויות ל-11.
• ישנן 3 אפשרויות ל-4 ו-3 אפשרויות ל-10.
• יש 4 אפשרויות שיגלגלו 9.

אם נסכם את כל האפשרויות, אנו מקבלים 16 תוצאות חיוביות מתוך 36. כך, עם תנאים רגיליםתזכה 16 פעמים מתוך 36 אפשריות - ההסתברות לזכייה היא מעט פחות מ-50%.

אבל פעמיים מתוך שש עשרה האלה תזכה פי שניים - זה כמו לנצח פעמיים. אם אתה משחק במשחק הזה 36 פעמים, מהמר $1 בכל פעם, וכל אחת מכל התוצאות האפשריות עולה פעם אחת, אתה זוכה בסך הכל של $18 (למעשה אתה מנצח 16 פעמים, אבל שניים מהם נחשבים כשני ניצחונות). אם אתה משחק 36 פעמים וזוכה ב-$18, זה לא אומר שההסתברויות שוות?

קח את הזמן. אם אתה סופר את מספר הפעמים שאתה יכול להפסיד, אתה מקבל 20, לא 18. אם אתה משחק 36 פעמים, מהמר $1 בכל פעם, תזכה בסך הכל של $18 כאשר כל הסיכויים יתגלגלו. אבל אתה תפסיד בסך הכל $20 על כל 20 התוצאות הרעות. כתוצאה מכך, תהיו בפיגור קל: אתם מפסידים בממוצע 2$ נטו על כל 36 משחקים (אפשר גם לומר שאתם מפסידים בממוצע 1/18$ ביום). עכשיו אתה רואה כמה קל לטעות במקרה הזה ולחשב את ההסתברות בצורה לא נכונה.

תְמוּרָה

עד כה, הנחנו שסדר השלכת המספרים אינו משנה בעת הטלת הקוביות. סיבוב של 2 + 4 זהה לגלגול של 4 + 2. ברוב המקרים, אנו סופרים באופן ידני את מספר התוצאות הטובות, אך לפעמים השיטה הזאתלא מעשי ועדיף להשתמש בנוסחה מתמטית.

דוגמה למצב זה היא ממשחק הקוביות של פארקל. עבור כל סיבוב חדש, אתה מגלגל 6d6. אם יתמזל מזלכם וכל התוצאות האפשריות של 1-2-3-4-5-6 (סטרייט) יעלו, תקבלו בונוס גדול. מה ההסתברות שזה יקרה? במקרה זה, ישנן אפשרויות רבות לאובדן השילוב הזה.

הפתרון הוא כדלקמן: על אחת מהקוביות (ורק על אחת) אמור ליפול הספרה 1. כמה אפשרויות למספר 1 ליפול על קובייה אחת? יש 6 אופציות, שכן יש 6 קוביות, והמספר 1 יכול ליפול על כל אחת מהן. בהתאם, קח קובייה אחת והניח אותה בצד. כעת המספר 2 אמור ליפול על אחת מהקוביות הנותרות. יש 5 אפשרויות לכך. קח קובייה נוספת והניח אותה בצד. אז 4 מהקוביות הנותרות עשויות לנחות על 3, 3 מהקוביות הנותרות עשויות לנחות על 4, ו-2 מהקוביות הנותרות עשויות לנחות על 5. כתוצאה מכך, נשארת עם קובייה אחת, שעליה המספר 6 צריך ליפול (במקרה האחרון, קובייה יש רק עצם אחת, ואין ברירה).

כדי לחשב את מספר התוצאות החיוביות לסטרייט שעולה, נכפיל את כל האפשרויות העצמאיות השונות: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - נראה שיש לא מעט מספר גדול שלאפשרויות לשילוב הזה ליפול.

כדי לחשב את ההסתברות לקבל שילוב ישר, עלינו לחלק את 720 במספר כל התוצאות האפשריות לגלגול 6d6. מהו מספר כל התוצאות האפשריות? כל קוביה יכולה להטיל 6 פרצופים, אז נכפיל 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (מספר גדול בהרבה מהקודם). נחלק את 720 ב-46656 ונקבל הסתברות השווה לכ-1.5%. אם היית מעצב את המשחק הזה, זה יהיה שימושי בשבילך לדעת זאת כדי שתוכל ליצור מערכת ניקוד מתאימה. עכשיו אנחנו מבינים למה בפרקל אתה מקבל בונוס כל כך גדול אם אתה קולע שילוב ישר: המצב הזה די נדיר.

התוצאה מעניינת גם מסיבה אחרת. דוגמה מראה כמה נדיר תקופה קצרהתוצאה המתאימה להסתברות נופלת. כמובן, אם היינו מגלגלים כמה אלפי קוביות, צדדים שונים של הקוביות היו עולים לעתים קרובות למדי. אבל כשאנחנו מטילים רק שש קוביות, כמעט אף פעם לא קורה שכל אחת מהקוביות עולה. מתברר שזה מטופש לצפות שעכשיו ייפול פרצוף שעדיין לא היה, כי "הרבה זמן לא הורדנו את המספר 6". תראה, מחולל המספרים האקראיים שלך מקולקל.

זה מוביל אותנו לתפיסה השגויה הנפוצה שכל התוצאות מגיעות באותו קצב במשך פרק זמן קצר. אם נטיל את הקוביות מספר פעמים, התדירות של כל אחת מהפרצופים לא תהיה זהה.

אם אי פעם עבדת על משחק מקוון עם איזשהו מחולל מספרים אקראיים לפני כן, סביר להניח שנתקלת במצב שבו שחקן כותב לתמיכה הטכנית עם תלונה שמחולל המספרים האקראיים אינו מציג מספרים אקראיים. הוא הגיע למסקנה הזו כי הוא הרג 4 מפלצות ברציפות וקיבל 4 בדיוק אותם פרסים, והתגמולים האלה אמורים לרדת רק ב-10% מהמקרים, אז ברור שזה לא אמור לקרות כמעט לעולם.

אתה עושה מתמטיקה. ההסתברות היא 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, כלומר, מספיקה תוצאה אחת מתוך 10 אלף מקרה נדיר. זה מה שהשחקן מנסה להגיד לך. האם יש בעיה במקרה הזה?

הכל תלוי בנסיבות. כמה שחקנים יש בשרת שלך עכשיו? נניח שיש לך מספיק משחק פופולריו-100,000 אנשים משחקים בו כל יום. כמה שחקנים יהרגו ארבע מפלצות ברציפות? כנראה הכל, כמה פעמים ביום, אבל נניח שמחציתם פשוט סוחרים בפריטים שונים במכירות פומביות, משוחחים בשרתי RP או עושים פעילויות משחק אחרות - אז רק חצי מהם צדים מפלצות. מה ההסתברות שמישהו יקבל את אותו פרס? במצב זה, אתה יכול לצפות שזה יקרה לפחות כמה פעמים ביום.

אגב, בגלל זה נראה שכל כמה שבועות מישהו זוכה בלוטו, גם אם המישהו הזה מעולם לא היה אתה או מישהו שאתה מכיר. אם מספיקאנשים משחקים בקביעות - יש סיכוי שאיפשהו יהיה לפחות בן מזל אחד. אבל אם אתה משחק בלוטו בעצמך, לא סביר שתזכה, סביר יותר שתזמינו לעבוד ב-Infinity Ward.

מפות והתמכרות

דנו באירועים עצמאיים, כמו זריקת קובייה, ועכשיו אנחנו מכירים כלים רבי עוצמה לניתוח אקראיות במשחקים רבים. חישוב ההסתברות קצת יותר מסובך כשמדובר בשליפת קלפים מהחפיסה, כי כל קלף שאנו מוציאים משפיע על אלו שנותרו בחפיסה.

אם יש לך חפיסה רגילה של 52 קלפים, אתה שולף ממנה 10 לבבות ואתה רוצה לדעת את ההסתברות שהקלף הבא יהיה באותה צורה - ההסתברות השתנתה מהמקור כי כבר הסרת קלף לב אחד מהקלף. סִיפּוּן. כל קלף שאתה מסיר משנה את ההסתברות שהקלף הבא יופיע בחפיסה. במקרה זה, האירוע הקודם משפיע על הבא, אז אנו קוראים להסתברות זו תלויה.

שימו לב שכשאני אומר "קלפים" אני מתכוון לכל מכונאי משחק שיש לו קבוצה של אובייקטים ואתם מסירים את אחד האובייקטים מבלי להחליף אותו. "חפיסת קלפים" במקרה זה מקבילה לשקית צ'יפס שמוציאים ממנה שבב אחד, או כד שמוציאים ממנו כדורים צבעוניים (מעולם לא ראיתי משחקים עם כד שממנו היו לוקחים כדורים צבעוניים החוצה, אבל מורים לתורת ההסתברות על מה מסיבה כלשהי, דוגמה זו מועדפת).

מאפייני תלות

ברצוני להבהיר כי מתי אנחנו מדבריםלגבי קלפים, אני מניח שאתה שולף קלפים, מסתכל עליהם ומסיר אותם מהחפיסה. כל אחת מהפעולות הללו היא נכס חשוב. אם הייתה לי חפיסה של, נניח, שישה קלפים הממוספרים מ-1 עד 6, הייתי מערבב אותם ושולף קלף אחד, ואז מערבב שוב את כל ששת הקלפים - זה יהיה דומה לגלגול קובייה בעלת שישה צדדים, כי תוצאה אחת לא להשפיע כאן על הבאים. ואם אני שולף קלפים ולא מחליף אותם, אז על ידי משיכת קלף 1, אני מגדיל את ההסתברות שבפעם הבאה אני שולף קלף עם הספרה 6. ההסתברות תגדל עד שבסופו של דבר אשלוף את הקלף הזה או ערבב את החפיסה.

גם העובדה שאנחנו מסתכלים על קלפים חשובה. אם אני מוציא קלף מהחפיסה ולא אסתכל עליו, לא יהיה לי מידע נוסףולמעשה ההסתברות לא תשתנה. זה אולי נשמע לא הגיוני. איך פשוט הפיכת קלף יכולה לשנות באופן קסום את הסיכויים? אבל זה אפשרי כי אתה יכול רק לחשב את ההסתברות לפריטים לא ידועים על סמך מה שאתה יודע.

לדוגמה, אם אתה מערבב חפיסת קלפים רגילה, חושף 51 קלפים ואף אחד מהם אינו מלכת קלפים, אז אתה יכול להיות בטוח ב-100% שהקלף הנותר הוא מלכת הקלפים. אם אתה מערבב חפיסת קלפים רגילה ושולף 51 קלפים מבלי להסתכל עליהם, אזי ההסתברות שהקלף הנותר הוא מלכת הקלפים היא עדיין 1/52. כאשר אתה פותח כל כרטיס, אתה מקבל מידע נוסף.

חישוב ההסתברות לאירועים תלויים עוקב אחר אותם עקרונות כמו לאירועים עצמאיים, פרט לכך שזה קצת יותר מסובך, מכיוון שההסתברויות משתנות כשחושפים את הקלפים. אז אתה צריך להכפיל הרבה ערכים שונים, במקום להכפיל את אותו ערך. למעשה, זה אומר שאנחנו צריכים לשלב את כל החישובים שעשינו לשילוב אחד.

דוגמא

מערבבים חפיסה רגילה של 52 קלפים ושולפים שני קלפים. מה ההסתברות שתוציא זוג? ישנן מספר דרכים לחשב הסתברות זו, אך אולי הפשוטה ביותר היא כדלקמן: מהי ההסתברות שאחרי ששלפת קלף אחד, לא תוכל לשלוף זוג? ההסתברות הזו היא אפס, אז זה לא ממש משנה איזה קלף ראשון תשלוף, כל עוד הוא תואם את השני. זה לא משנה איזה קלף נשלף ראשון, עדיין יש לנו סיכוי למשוך זוג. לכן, ההסתברות להוציא זוג לאחר הוצאת הקלף הראשון היא 100%.

מה ההסתברות שהקלף השני יתאים לקלף הראשון? נותרו 51 קלפים בחפיסה, ו-3 מהם תואמים את הקלף הראשון (למעשה זה יהיה 4 מתוך 52, אבל כבר הסרת את אחד הקלפים התואמים כששלפת את הקלף הראשון), כך שההסתברות היא 1/ 17. אז בפעם הבאה שהבחור מולך ליד השולחן משחק בטקסס הולדם, הוא אומר, "מגניב, עוד זוג? יש לי מזל היום", תדע שעם סבירות גבוהה הוא מבלף.

מה אם נוסיף שני ג'וקרים, כך שיש לנו 54 קלפים בחפיסה, ונרצה לדעת מהי ההסתברות לשלוף זוג? הקלף הראשון יכול להיות ג'וקר, ואז יהיה רק ​​קלף אחד בחפיסה שתואם, לא שלושה. איך למצוא את ההסתברות במקרה זה? אנו מחלקים את ההסתברויות ומכפילים כל אפשרות.

הקלף הראשון שלנו יכול להיות ג'וקר או קלף אחר. ההסתברות לצייר ג'וקר היא 2/54, ההסתברות לשלוף קלף אחר היא 52/54. אם הקלף הראשון הוא ג'וקר (2/54), אז ההסתברות שהקלף השני יתאים לראשון היא 1/53. אנחנו מכפילים את הערכים (אנחנו יכולים להכפיל אותם כי הם אירועים נפרדים ואנחנו רוצים ששני האירועים יקרו) ונקבל 1/1431 - פחות מעשירית האחוז.

אם תשלפו תחילה קלף אחר (52/54), ההסתברות להתאים את הקלף השני היא 3/53. אנחנו מכפילים את הערכים ומקבלים 78/1431 (קצת יותר מ-5.5%). מה עושים עם שתי התוצאות הללו? הם לא מצטלבים, ואנחנו רוצים לדעת את ההסתברות של כל אחד מהם, אז אנחנו מסכמים את הערכים. אנו מקבלים את התוצאה הסופית 79/1431 (עדיין כ-5.5%).

אם היינו רוצים להיות בטוחים בדייקנות התשובה, נוכל לחשב את ההסתברות של כל שאר התוצאות האפשריות: ציור הג'וקר ולא התאמה לקלף השני, או משיכה של קלף אחר ולא התאמה לקלף השני. אם נסכם את ההסתברויות הללו ואת ההסתברות לזכייה, נקבל בדיוק 100%. אני לא אתן את המתמטיקה כאן, אבל אתה יכול לנסות את המתמטיקה כדי לבדוק שוב.

פרדוקס מונטי הול

זה מביא אותנו לפרדוקס ידוע למדי שלעתים קרובות מבלבל רבים, פרדוקס מונטי הול. הפרדוקס נקרא על שם מנחה תוכנית הטלוויזיה בואו נעשה עסקה. למי שמעולם לא ראה את תוכנית הטלוויזיה הזו, אני אגיד שזה היה ההפך מהמחיר נכון.

ב-The Price Is Right, המארח (שהתארח בעבר על ידי בוב בארקר, עכשיו דרו קארי? לא משנה) הוא החבר שלך. הוא רוצה שתזכה בכסף או בפרסים מגניבים. הוא מנסה לתת לך כל הזדמנות לזכות, כל עוד אתה יכול לנחש כמה באמת שווים הפריטים הממומנים.

מונטי הול התנהג אחרת. הוא היה כמו התאום המרושע של בוב בארקר. המטרה שלו הייתה לגרום לך להיראות כמו אידיוט בטלוויזיה הלאומית. אם היית בתוכנית, הוא היה היריב שלך, שיחקת נגדו והסיכויים היו לטובתו. אולי אני קשוח יתר על המידה, אבל כשאני מסתכל על הופעה יש יותר סיכוי שתכנס אליה אם אתה לובש תחפושת מגוחכת, זה בדיוק מה שאני מגיע אליו.

אחד הממים המפורסמים ביותר של המופע היה זה: לפניך שלוש דלתות, דלת מספר 1, דלת מספר 2 ודלת מספר 3. אתה יכול לבחור דלת אחת בחינם. מאחורי אחד מהם עומד פרס מפואר - למשל מכונית חדשה. אין פרסים מאחורי שתי הדלתות האחרות, לשתיהן אין ערך. הם אמורים להשפיל אותך, אז מאחוריהם לא סתם כלום, אלא משהו טיפשי, למשל, עז או שפופרת ענקית של משחת שיניים - הכל מלבד מכונית חדשה.

אתה בוחר באחת מהדלתות, מונטי עומד לפתוח אותה כדי ליידע אותך אם זכית או לא... אבל חכו. לפני שנדע, בואו נסתכל על אחת מהדלתות שלא בחרתם. מונטי יודע באיזו דלת הפרס נמצא מאחוריו, והוא תמיד יכול לפתוח דלת שאין מאחוריה פרס. "האם אתה בוחר בדלת מספר 3? אז בואו נפתח דלת מספר 1 כדי להראות שאין מאחוריה שום פרס". ועכשיו, מתוך נדיבות, הוא מציע לכם את ההזדמנות להחליף את דלת מספר 3 שנבחרה במה שנמצא מאחורי דלת מספר 2.

בשלב זה עולה שאלת ההסתברות: האם הזדמנות זו מגדילה את ההסתברות שלך לזכייה, או מורידה אותה, או שהיא נשארת ללא שינוי? מה אתה חושב?

תשובה נכונה: האפשרות לבחור דלת אחרת מגדילה את הסיכוי לזכייה מ-1/3 ל-2/3. זה לא הגיוני. אם לא נתקלתם בפרדוקס הזה בעבר, סביר להניח שאתם חושבים: רגע, איך זה: על ידי פתיחת דלת אחת, שינינו באורח קסם את ההסתברות? כפי שראינו בדוגמה של המפות, זה בדיוק מה שקורה כשאנחנו מקבלים מידע נוסף. ברור שכאשר אתה בוחר בפעם הראשונה, ההסתברות לזכייה היא 1/3. כשדלת אחת נפתחת, זה לא משנה כלל את ההסתברות לזכייה בבחירה הראשונה: ההסתברות היא עדיין 1/3. אבל ההסתברות שהדלת השנייה נכונה היא כעת 2/3.

בואו נסתכל על הדוגמה הזו מהצד השני. אתה בוחר דלת. ההסתברות לזכייה היא 1/3. אני מציע לך לשנות את שתי הדלתות האחרות, וזה מה שמונטי הול עושה. כמובן, הוא פותח את אחת הדלתות כדי להראות שאין מאחוריה פרס, אבל הוא תמיד יכול לעשות את זה, אז זה לא באמת משנה כלום. כמובן שתרצו לבחור בדלת אחרת.

אם אתה לא ממש מבין את השאלה וצריך הסבר משכנע יותר, לחץ על הקישור הזה כדי לעבור לאפליקציית פלאש קטנה ונהדרת שתאפשר לך לחקור את הפרדוקס הזה ביתר פירוט. אפשר להתחיל עם כ-10 דלתות ואז לעלות בהדרגה למשחק עם שלוש דלתות. יש גם סימולטור שבו אתה יכול לשחק עם כל מספר של דלתות מ-3 עד 50 או להריץ כמה אלפי סימולציות ולראות כמה פעמים היית מנצח אם היית משחק.

בחר אחת משלוש הדלתות - ההסתברות לזכייה היא 1/3. עכשיו יש לך שתי אסטרטגיות: לשנות את הבחירה לאחר פתיחת הדלת הלא נכונה או לא. אם לא תשנה את הבחירה שלך, אז ההסתברות תישאר 1/3, שכן הבחירה היא רק בשלב הראשון, ואתה חייב לנחש מיד. אם תשנה, אז אתה יכול לזכות אם תבחר קודם בדלת הלא נכונה (ואז הם פותחים עוד אחת לא נכונה, הנכונה נשארת - משנה את ההחלטה, אתה פשוט לוקח אותה). ההסתברות לבחור בדלת הלא נכונה בהתחלה היא 2/3 – כך שמסתבר שבשינוי ההחלטה שלך מכפילים את ההסתברות לזכייה.

הערה של המורה מתמטיקה גבוהה יותרומומחה מאזני המשחק מקסים סולדטוב - כמובן, שרייבר לא היה לה, אבל בלעדיה להבין את זה טרנספורמציה קסומהקשה מספיק

ביקור מחדש בפרדוקס מונטי הול

לגבי התוכנית עצמה, גם אם יריביו של מונטי הול לא היו טובים במתמטיקה, הוא היה טוב בזה. הנה מה שהוא עשה כדי לשנות קצת את המשחק. אם בחרת את הדלת שמאחוריה היה הפרס, בהסתברות של 1/3, הוא תמיד הציע לך את האפשרות לבחור דלת אחרת. אתה בוחר מכונית ואז מחליף אותה בעז ואתה נראה די טיפש - וזה בדיוק מה שאתה צריך, כי הול הוא סוג של בחור מרושע.

אבל אם תבחר דלת שאין לה פרס, הוא יציע לך רק דלת אחרת בחצי מהזמן, או שהוא פשוט יראה לך את העז החדשה שלך ואתה תעזוב את הבמה. בואו ננתח את זה משחק חדש, שבו מונטי הול יכול להחליט אם להציע לך את ההזדמנות לבחור דלת אחרת או לא.

נניח שהוא פועל לפי האלגוריתם הזה: אם תבחר בדלת עם פרס, הוא תמיד מציע לך את האפשרות לבחור בדלת אחרת, אחרת סביר באותה מידה שהוא יציע לך לבחור דלת אחרת או לתת לך עז. מה ההסתברות לזכייה?

באחת משלוש האפשרויות אתם בוחרים מיד את הדלת שמאחוריה ממוקם הפרס, והמארח מזמין אתכם לבחור אחרת.

מבין שתי האפשרויות הנותרות מתוך שלוש (בתחילה אתה בוחר את הדלת ללא פרס), במחצית מהמקרים המארח יציע לך לשנות את החלטתך, ובחצי השני של המקרים לא.

חצי מ-2/3 זה 1/3, כלומר, במקרה אחד מתוך שלושה תקבלו עז, במקרה אחד מתוך שלושה תבחרו בדלת הלא נכונה והמארח יציע לכם לבחור אחרת, וב מקרה אחד מתוך שלושה אתה תבחר את הדלת הנכונה, אבל הוא שוב מציע אחר.

אם המנחה מציע לבחור דלת אחרת, אנחנו כבר יודעים שאחד משלושת המקרים שהוא נותן לנו עז ואנחנו עוזבים לא קרה. זה מידע שימושי: זה אומר שהסיכויים שלנו לזכות השתנו. שניים משלושת המקרים שבהם יש לנו בחירה: במקרה אחד זה אומר שניחשנו נכון, ובמקרה השני, ניחשנו לא נכון, אז אם בכלל הציעו לנו בחירה, אז ההסתברות לזכייה שלנו היא 1 /2, ומבחינה מתמטית זה לא משנה אם תתמיד בבחירה שלך או תבחר בדלת אחרת.

כמו פוקר, זה משחק פסיכולוגי, לא מתמטי. למה מונטי הציע לך לבחור? האם הוא חושב שאתה פשוט אדם שלא יודע שבחירת דלת אחרת היא ההחלטה ה"נכונה" ויחזיק בעקשנות בבחירה שלו (הרי המצב יותר מסובך מבחינה פסיכולוגית כשאתה בוחר רכב ואז מאבד אותו) ?

או שהוא, מחליט שאתה חכם ובוחר בדלת אחרת, מציע לך את ההזדמנות הזו, כי הוא יודע שבהתחלה ניחשת נכון ונופל על הקרס? או שאולי הוא אדיב בצורה לא אופיינית ודוחף אותך לעשות משהו מועיל בשבילך, כי הוא לא נותן מכוניות כבר הרבה זמן והמפיקים אומרים שהקהל משתעמם, ועדיף לתת פרס גדול בקרוב כדי ש הרייטינג ירד?

כך, מונטי מצליח לפעמים להציע בחירה, בעוד שההסתברות הכוללת לזכייה נשארת שווה ל-1/3. זכור שהסבירות שתפסיד מיד היא 1/3. יש סיכוי של 1/3 שתנחש מיד, ו-50% מהפעמים הללו תנצח (1/3 x 1/2 = 1/6).

ההסתברות שאתה מנחש לא נכון בהתחלה, אבל אז יש לך סיכוי לבחור דלת אחרת היא 1/3, ובמחצית מהמקרים האלה תזכה (גם 1/6). חברו שתי אפשרויות זכייה עצמאיות ותקבלו הסתברות של 1/3, כך שזה לא משנה אם תישארו על הבחירה שלכם או תבחרו בדלת אחרת - ההסתברות הכוללת לזכייה לאורך כל המשחק היא 1/3.

ההסתברות לא הופכת גדולה יותר מאשר במצב שבו ניחשתם את הדלת והמארח פשוט הראה לכם מה עומד מאחוריה, מבלי להציע לבחור באחת אחרת. מטרת ההצעה היא לא לשנות את ההסתברות, אלא להפוך את תהליך קבלת ההחלטות למהנה יותר לצפייה בטלוויזיה.

אגב, זו אחת הסיבות שבגללן פוקר יכול להיות כל כך מעניין: ברוב הפורמטים בין סיבובים, כשמתבצעים הימורים (למשל הפלופ, הטרן והריבר בטקסס הולדם), הקלפים נחשפים בהדרגה, ואם בתחילת המשחק יש לך הזדמנות אחת לזכות, אז לאחר כל סבב הימורים, כשעוד קלפים פתוחים, ההסתברות הזו משתנה.

פרדוקס ילד וילדה

זה מביא אותנו לעוד פרדוקס ידוע שנוטה להפתיע את כולם, פרדוקס הבנים-בנות. הדבר היחיד שאני כותב עליו היום שאינו קשור ישירות למשחקים (למרות שאני מניח שאני רק צריך לדחוף אתכם ליצור מכניקת משחק מתאימה). זו יותר חידה, אבל מעניינת, וכדי לפתור אותה צריך להבין את ההסתברות המותנית עליה דיברנו למעלה.

משימה: יש לי חבר עם שני ילדים, לפחות אחד מהם הוא בת. מה ההסתברות שגם הילד השני הוא בת? נניח שבכל משפחה הסיכוי ללדת ילדה ובן הוא 50/50, וזה נכון לכל ילד.

למעשה, לגברים מסוימים יש יותר זרע עם כרומוזום X או כרומוזום Y בזרע שלהם, כך שהסיכויים משתנים מעט. אם אתה יודע שילד אחד הוא בת, הסיכוי ללדת ילדה שנייה הוא מעט גבוה יותר, וישנם מצבים נוספים, כמו הרמפרודיטיס. אך כדי לפתור בעיה זו, לא ניקח זאת בחשבון ונניח שהולדת ילד היא אירוע עצמאי ולידת ילד וילדה בסבירות שווה.

מכיוון שאנו מדברים על סיכוי של 1/2, אנו מצפים באופן אינטואיטיבי שהתשובה תהיה 1/2 או 1/4, או כפולה אחרת של שניים במכנה. אבל התשובה היא 1/3. למה?

הקושי במקרה הזה הוא שהמידע שיש לנו מקטין את מספר האפשרויות. נניח שההורים הם אוהדי רחוב סומסום וללא קשר למין הילדים קראו להם א' ו-ב'. בתנאים רגילים, ישנן ארבע אפשרויות בעלות סבירות שווה: A ו-B הם שני בנים, A ו-B הן שתי בנות, A היא ילד וב' היא בת, א' היא בת וב' הוא בן. מכיוון שאנו יודעים שלפחות ילד אחד הוא בת, נוכל לשלול את האפשרות ש-A ו-B הם שני בנים. אז נשארנו עם שלוש אפשרויות - עדיין סבירות באותה מידה. אם כל האפשרויות סבירות באותה מידה ויש שלוש מהן, אז ההסתברות של כל אחת מהן היא 1/3. רק באחת משלוש האפשרויות הללו שתיהן ילדים בנות, אז התשובה היא 1/3.

ושוב על הפרדוקס של ילד וילדה

הפתרון לבעיה הופך לבלתי הגיוני עוד יותר. תאר לעצמך שלחבר שלי יש שני ילדים ואחד מהם הוא ילדה שנולדה ביום שלישי. הבה נניח שבתנאים רגילים יש סיכוי שווה לילד להיוולד בכל אחד משבעת ימי השבוע. מה ההסתברות שגם הילד השני הוא בת?

אולי אתה חושב שהתשובה עדיין תהיה 1/3: מה המשמעות של יום שלישי? אבל במקרה הזה, האינטואיציה מכשילה אותנו. התשובה היא 13/27, וזה לא רק לא אינטואיטיבי, אלא מאוד מוזר. מה העניין במקרה הזה?

למעשה, יום שלישי משנה את ההסתברות כי אנחנו לא יודעים איזה תינוק נולד ביום שלישי, או אולי שניהם נולדו ביום שלישי. במקרה זה, אנו משתמשים באותו היגיון: אנו סופרים את כל השילובים האפשריים כאשר לפחות ילד אחד הוא ילדה שנולדה ביום שלישי. כמו בדוגמה הקודמת, נניח שלילדים קוראים A ו-B. השילובים נראים כך:

• א' היא בת שנולדה ביום שלישי, ב' הוא בן (במצב זה יש 7 אפשרויות, אחת לכל יום בשבוע שבו יכול היה להיוולד בן).
• ב' - ילדה שנולדה ביום שלישי, א' - בן (גם 7 אפשרויות).
• א' היא ילדה שנולדה ביום שלישי, ב' היא ילדה שנולדה ביום אחר בשבוע (6 אפשרויות).
• ב' - ילדה שנולדה ביום שלישי, א' - ילדה שלא נולדה ביום שלישי (גם 6 הסתברויות).
• א' וב' הן שתי בנות שנולדו ביום שלישי (אפשרות אחת, צריך לשים לב לזה כדי לא לספור פעמיים).

אנו מסכמים ומקבלים 27 שילובים שונים באותה מידה של לידת ילדים וימים עם אפשרות אחת לפחות של ילדה שתיוולד ביום שלישי. מתוכם, 13 אפשרויות הן כאשר שתי בנות נולדות. זה גם נראה לגמרי לא הגיוני - זה נראה כמו משימה שניתנההומצא רק כדי לעורר כְּאֵב רֹאשׁ. אם אתה עדיין מתלבט, לאתר של תורת המשחקים ג'ספר ג'ול יש הסבר טוב על זה.

אם אתה עובד כרגע על משחק

אם יש אקראיות במשחק שאתה מעצב, זו הזדמנות מצוינת לנתח אותו. בחר כל רכיב שברצונך לנתח. ראשית שאל את עצמך מה היית מצפה שההסתברות של אלמנט נתון תהיה בהקשר של המשחק.

לדוגמה, אם אתה עושה RPG ואתה חושב על הסבירות ששחקן ינצח מפלצת בקרב, שאל את עצמך איזה אחוז ניצחון מרגיש לך נכון. בדרך כלל, במקרה של משחקי RPG של קונסולות, שחקנים מתרגזים מאוד כשהם מפסידים, אז עדיף שהם יפסידו לעתים רחוקות - 10% מהמקרים או פחות. אם אתה מעצב RPG, אתה כנראה יודע יותר טוב ממני, אבל אתה צריך רעיון בסיסימה צריכה להיות ההסתברות.

לאחר מכן שאל את עצמך אם ההסתברויות שלך תלויות (כמו בקלפים) או עצמאיות (כמו בקוביות). דנו בכל התוצאות האפשריות וההסתברויות שלהן. ודא שסכום כל ההסתברויות הוא 100%. וכמובן, השווה את התוצאות שלך עם הציפיות שלך. האם אפשר להטיל קוביות או לשלוף קלפים כפי שהתכוונת, או שברור שצריך להתאים את הערכים. וכמובן, אם אתה מוצא פגמים, אתה יכול להשתמש באותם חישובים כדי לקבוע כמה אתה צריך לשנות את הערכים.

שיעורי בית

"שיעורי הבית" שלך השבוע יעזרו לך לחדד את כישורי ההסתברות שלך. הנה שני משחקי קוביות ומשחק קלפים שאתה צריך לנתח באמצעות הסתברות, כמו גם מכניקת משחק מוזרה שפעם פיתחתי שתבדוק את שיטת מונטה קרלו.

משחק מספר 1 - עצמות הדרקון

זהו משחק קוביות שעמיתיי ואני הגענו אליו פעם (תודה לג'ב הייונס וג'סי קינג) - הוא מפוצץ אנשים בכוונה עם ההסתברויות שלו. זהו משחק קזינו פשוט בשם "Dragon Dice" וזוהי תחרות קוביות הימורים בין השחקן לממסד.

נותנים לך קובייה רגילה 1d6. מטרת המשחק היא לגלגל מספר גבוה יותר מזה של הבית. לטום ניתן 1d6 לא סטנדרטי - זהה לשלך, אבל על אחד מהפנים שלו במקום אחד - דימוי של דרקון (לפיכך, לקזינו יש קוביית דרקון-2-3-4-5-6). אם המוסד מקבל דרקון, הוא מנצח אוטומטית, ואתה מפסיד. אם שניהם מקבלים את אותו מספר, זה תיקו ואתה מטיל את הקובייה שוב. מי שמגלגל את המספר הגבוה ביותר מנצח.

כמובן שהכל לא לגמרי לטובת השחקן, כי לקזינו יש יתרון בדמות פרצוף דרקון. אבל האם זה באמת כך? זה מה שאתה צריך לחשב. אבל קודם תבדוק את האינטואיציה שלך.

נניח שהזכייה היא 2 ל-1. אז אם אתה מנצח, אתה שומר על ההימור שלך ומקבל סכום כפול. לדוגמה, אם אתה מהמר $1 ומנצח, אתה שומר על הדולר הזה ומקבל עוד $2 למעלה, בסך הכל $3. אם אתה מפסיד, אתה רק מפסיד את ההימור שלך. היית משחק? האם אתה מרגיש באופן אינטואיטיבי שההסתברות גדולה מ-2 ל-1, או שאתה עדיין חושב שהיא קטנה? במילים אחרות, בממוצע על פני 3 משחקים, האם אתה מצפה לנצח יותר מפעם אחת, או פחות, או פעם אחת?

לאחר שהוצאת את האינטואיציה שלך מהדרך, יישם את המתמטיקה. יש רק 36 עמדות אפשריות עבור שתי הקוביות, כך שתוכל לספור את כולם בקלות. אם אינך בטוח לגבי ההצעה הזו של 2 ל-1, שקול זאת: נניח ששיחקת את המשחק 36 פעמים (הימר על 1$ בכל פעם). על כל ניצחון אתה מקבל $2, על כל הפסד אתה מפסיד $1, ותיקו לא משנה כלום. ספור את כל הניצחונות וההפסדים הסבירים שלך והחליט אם תפסיד כמה דולרים או תרוויח. ואז שאל את עצמך עד כמה האינטואיציה שלך התבררה כנכונה. ואז להבין איזה נבל אני.

וכן, אם כבר חשבת על השאלה הזו - אני מבלבל אותך בכוונה עיוות את המכניקה האמיתית של משחקי קוביות, אבל אני בטוח שתוכל להתגבר על המכשול הזה רק עם מחשבה טובה. נסה לפתור את הבעיה בעצמך.

משחק מספר 2 - גליל מזל

זה הימוריםבקוביות בשם Lucky Roll (גם Birdcage, כי לפעמים לא מגלגלים את הקוביות, אלא מניחים בכלוב חוטים גדול, שמזכיר את הכלוב מבינגו). המשחק פשוט, זה בעצם מסתכם בזה: ותרו, נניח, $1 על מספר בין 1 ל-6. ואז אתם מגלגלים 3d6. עבור כל קובייה שפוגעת במספר שלך, אתה מקבל $1 (ותשמור על ההימור המקורי שלך). אם המספר שלך לא נוחת על אף אחת מהקוביות, הקזינו יקבל את הדולר שלך ואתה לא מקבל כלום. אז אם אתה מהמר על 1 ואתה מקבל 1 על הפנים שלוש פעמים, אתה מקבל $3.

באופן אינטואיטיבי, נראה שבמשחק הזה הסיכויים שווים. כל קובייה היא סיכוי פרטני של 1 ל-6 לזכייה, כך שהסיכוי שלכם לזכות הוא 3 עד 6 בשלושה זריקות. עם זאת, זכרו, כמובן, שאתם עורמים שלוש קוביות נפרדות ומותר לכם להוסיף רק אם אנחנו מדברים על שילובים מנצחים נפרדים של אותן קוביות. משהו שתצטרכו כדי להכפיל.

לאחר שחישבת את כל התוצאות האפשריות (כנראה שקל יותר לעשות באקסל מאשר ביד, יש 216 כאלה), המשחק עדיין נראה מוזר במבט ראשון. למעשה, עדיין יש סיכוי גבוה יותר לקזינו לזכות - כמה יותר? בפרט, כמה כסף אתה מצפה להפסיד בממוצע בכל סבב משחק?

כל מה שאתה צריך לעשות הוא לחבר את הניצחונות וההפסדים של כל 216 התוצאות ואז לחלק ב-216, וזה אמור להיות די קל. אבל כפי שאתה יכול לראות, יש כמה מלכודות שאתה יכול ליפול אליהם, וזו הסיבה שאני אומר שאם אתה חושב שיש סיכוי שווה לנצח במשחק הזה, הבנת לא נכון.

משחק מספר 3 - 5 קלפים

אם כבר התחממתם על משחקים קודמים, בואו נבדוק מה אנחנו יודעים על הסתברות מותנית באמצעות משחק קלפים זה כדוגמה. בואו נדמיין פוקר עם חפיסה של 52 קלפים. בואו נדמיין גם 5 קלפים בו כל שחקן מקבל רק 5 קלפים. לא יכול לזרוק קלף, לא יכול למשוך אחד חדש, אין חפיסה משותפת - אתה מקבל רק 5 קלפים.

סומק מלכותי הוא 10-J-Q-K-A בשילוב אחד, יש ארבעה בסך הכל, אז יש ארבעה דרכים אפשריותלקבל ROYAL FLUSH. חשב את ההסתברות שתקבל אחד מהשילובים הללו.

יש לי דבר אחד להזהיר אותך לגביו: זכור שאתה יכול למשוך את חמשת הקלפים האלה בכל סדר. כלומר, בהתחלה אתה יכול לצייר אס, או עשר, זה לא משנה. אז כשאתה עושה את החישובים שלך, זכור שלמעשה יש יותר מארבע דרכים לקבל שטיפה מלכותית, בהנחה שהקלפים חולקו לפי הסדר.

משחק מספר 4 - הגרלת IMF

המשימה הרביעית לא תהיה כל כך קלה לפתרון באמצעות השיטות שעליהן דיברנו היום, אבל אתה יכול בקלות לדמות את המצב באמצעות תכנות או אקסל. על הדוגמה של בעיה זו אתה יכול להבין את שיטת מונטה קרלו.

הזכרתי קודם את המשחק Chron X שעבדתי עליו פעם, והיה אחד מאוד מפה מעניינת- הגרלת קרן המטבע הבינלאומית. הנה איך זה עבד: השתמשת בזה במשחק. לאחר סיום הסיבוב, הקלפים חולקו מחדש, והיה סיכוי של 10% שהקלף יצא ממשחק וששחקן אקראי יקבל 5 מכל סוג משאב שיש לו אסימון על הקלף הזה. קלף הוכנס למשחק ללא אסימון אחד, אך בכל פעם שהוא נשאר במשחק בתחילת הסיבוב הבא, הוא קיבל אסימון אחד.

אז היה סיכוי של 10% שתכניס אותו למשחק, הסיבוב יסתיים, הקלף יעזוב את המשחק, ואף אחד לא יקבל כלום. אם לא (עם סיכוי של 90%), יש סיכוי של 10% (למעשה 9%, מכיוון שזה 10% מ-90%) שהיא תעזוב את המשחק בסיבוב הבא ומישהו יקבל 5 משאבים. אם הקלף עוזב את המשחק לאחר סיבוב אחד (10% מ-81% הזמינים, כך שההסתברות היא 8.1%), מישהו יקבל 10 יחידות, סיבוב נוסף - 15, עוד 20, וכן הלאה. שאלה: מה הערך הצפוי של מספר המשאבים שתקבל מהכרטיס הזה כשהוא יעזוב סוף סוף את המשחק?

בדרך כלל ננסה לפתור בעיה זו על ידי חישוב ההסתברות של כל תוצאה והכפלה במספר כל התוצאות. יש סיכוי של 10% שתקבל 0 (0.1 * 0 = 0). 9% שתקבלו 5 יחידות משאבים (9% * 5 = 0.45 משאבים). 8.1% ממה שאתה מקבל הוא 10 (8.1% * 10 = 0.81 משאבים - באופן כללי, הערך הצפוי). וכן הלאה. ואז נסכם את הכל.

ועכשיו הבעיה ברורה לכם: תמיד יש סיכוי שהקלף לא יעזוב את המשחק, הוא יכול להישאר במשחק לנצח, למספר אינסופי של סיבובים, כך שאין דרך לחשב הסתברות כלשהי. השיטות שלמדנו היום אינן מאפשרות לנו לחשב את הרקורסיה האינסופית, ולכן נצטרך ליצור אותה באופן מלאכותי.

אם אתה מספיק טוב בתכנות, כתוב תוכנית שתדמה את הכרטיס הזה. צריכה להיות לך לולאת זמן שמביאה את המשתנה למיקום ההתחלתי של אפס, מציגה מספר אקראי, ועם סיכוי של 10% שהמשתנה יוצא מהלולאה. אחרת, הוא מוסיף 5 למשתנה והלולאה חוזרת על עצמה. כאשר הוא סוף סוף יוצא מהלולאה, הגדל את המספר הכולל של ריצות הניסיון ב-1 ואת המספר הכולל של המשאבים (בכמה תלוי איפה המשתנה נעצר). לאחר מכן אפס את המשתנה והתחל מחדש.

הפעל את התוכנית כמה אלפי פעמים. בסופו של דבר, חלקו את סך המשאבים במספר הכולל של הריצות - זה יהיה הערך הצפוי שלכם לשיטת מונטה קרלו. הפעל את התוכנית מספר פעמים כדי לוודא שהמספרים שאתה מקבל זהים בערך. אם המרווח עדיין גדול, הגדל את מספר החזרות בלולאה החיצונית עד שתתחיל לקבל גפרורים. אתה יכול להיות בטוח שכל המספרים שתגיע אליהם יהיו נכונים בערך.

אם אתה חדש בתכנות (גם אם אתה), הנה תרגיל קטן לבדיקת כישורי האקסל שלך. אם אתה מעצב משחקים, כישורים אלה לעולם לא יהיו מיותרים.

כעת הפונקציות אם ו-rand יהיו מאוד שימושיות עבורך. ראנד לא דורש ערכים, הוא רק מייצר מספר עשרוני אקראי בין 0 ל-1. אנחנו בדרך כלל משלבים אותו עם קומה ופלוסים ומינוסים כדי לדמות זריקת קובייה, שהזכרתי קודם. עם זאת, במקרה הזה אנחנו רק משאירים סיכוי של 10% שהכרטיס יעזוב את המשחק, אז אנחנו יכולים פשוט לבדוק אם ראנד קטן מ-0.1 ולא לדאוג יותר.

אם יש שלושה ערכים. לפי הסדר, התנאי שהוא נכון או לא, אז הערך שמוחזר אם התנאי הוא אמת, והערך שמוחזר אם התנאי הוא שקר. אז הפונקציה הבאה תחזיר 5% מהזמן, ו-0 את 90% האחרים מהזמן: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

ישנן דרכים רבות להגדיר את הפקודה הזו, אבל הייתי משתמש בנוסחה הזו עבור התא שמייצג את הסיבוב הראשון, נניח שזה תא A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

כאן אני משתמש במשתנה שלילי שמשמעותו "כרטיס זה לא עזב את המשחק ועדיין לא נתן משאבים". אז אם הסיבוב הראשון הסתיים והקלף יצא ממשחק, A1 הוא 0; אחרת זה -1.

לתא הבא המייצג את הסיבוב השני: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . אז אם הסיבוב הראשון מסתיים והקלף עוזב מיד את המשחק, A1 הוא 0 (מספר משאבים) והתא הזה פשוט יעתיק את הערך הזה. אחרת, A1 הוא -1 (הכרטיס עדיין לא עזב את המשחק), והתא הזה ממשיך לנוע באקראי: 10% מהמקרים הוא יחזיר 5 יחידות משאבים, בשאר הזמן הערך שלו עדיין יהיה - 1. אם ניישם את הנוסחה הזו על תאים נוספים, נקבל סיבובים נוספים, ואיזה תא שתגיע אליו, תקבל את התוצאה הסופית (או -1 אם הקלף לא יצא מהמשחק לאחר כל הסיבובים ששיחקת).

קח את שורת התאים הזו, שהיא הסיבוב היחיד עם הכרטיס הזה, והעתק והדבק כמה מאות (או אלפי) שורות. אולי לא נוכל לבצע בדיקה אינסופית עבור אקסל (יש מספר מוגבל של תאים בטבלה), אבל לפחות נוכל לכסות את רוב המקרים. לאחר מכן בחר תא אחד שבו תשים את הממוצע של התוצאות של כל הסבבים - אקסל בחביבות מספק את הפונקציה average() עבור זה.

ב-Windows, לפחות אתה יכול ללחוץ על F9 כדי לחשב מחדש את כל המספרים האקראיים. כמו קודם, עשה זאת כמה פעמים וראה אם ​​אתה מקבל את אותם ערכים. אם הממרח גדול מדי, הכפיל את מספר הריצות ונסה שוב.

בעיות לא פתורות

אם במקרה יש לך תואר בתורת ההסתברות והבעיות הנ"ל נראות לך קלות מדי - הנה שתי בעיות שכבר שנים אני מגרד בראשי, אבל, אבוי, אני לא כל כך טוב במתמטיקה כדי לפתור אותן.

בעיה לא פתורה מס' 1: הגרלת IMF

הבעיה הראשונה שלא נפתרה היא מטלת הבית הקודמת. אני יכול בקלות להשתמש בשיטת מונטה קרלו (באמצעות C++ או Excel) ולהיות בטוח בתשובה לשאלה "כמה משאבים יקבל השחקן", אבל אני לא יודע בדיוק איך לספק תשובה מדויקת הניתנת להוכחה מתמטית (זוהי סדרה אינסופית).

בעיה לא פתורה מס' 2: רצפי צורות

את המשימה הזו (היא גם חורגת הרבה מעבר למשימות שנפתרות בבלוג הזה) זרק אלי גיימר מוכר לפני יותר מעשר שנים. בזמן ששיחק בלאק ג'ק בווגאס, הוא הבחין בתכונה מעניינת אחת: משיכת קלפים מנעל של 8 חפיסות, הוא ראה עשרה חלקים ברצף (חתיכה או קלף פנים הוא 10, ג'וקר, מלך או מלכה, אז יש 16 בסך הכל ב חפיסה רגילה של 52 קלפים או 128 בנעל של 416 קלפים).

מה ההסתברות שהנעל הזו מכילה לפחות רצף אחד של עשרה חלקים או יותר? בואו נניח שהם ערבבו ביושר, בסדר אקראי. או, אם אתה מעדיף, מה ההסתברות שאין רצף של עשר צורות או יותר בשום מקום?

אנחנו יכולים לפשט את המשימה. הנה רצף של 416 חלקים. כל חלק הוא 0 או 1. ישנם 128 אחדים ו-288 אפסים מפוזרים באקראי לאורך הרצף. כמה דרכים יש לשזור באופן אקראי 128 אחדים עם 288 אפסים, וכמה פעמים תהיה לפחות קבוצה אחת של עשרה או יותר בדרכים האלה?

בכל פעם שהתחלתי לפתור את הבעיה הזו, זה נראה לי קל ומובן מאליו, אבל ברגע שהתעמקתי בפרטים, היא פתאום התפרקה ונראתה פשוט בלתי אפשרית.

אז אל תמהר לפלוט את התשובה: שב, תחשוב טוב, למד את התנאים, נסה לחבר מספרים אמיתיים, כי כל האנשים שדיברתי איתם על הבעיה הזו (כולל כמה סטודנטים לתארים מתקדמים שעובדים בתחום זה) הגיבו בהרבה באותו אופן: "זה ברור לגמרי... אוי לא, רגע, לא מובן מאליו בכלל." זה המצב כשאין לי שיטה לחישוב כל האפשרויות. כמובן, אני יכול לאלץ את הבעיה באמצעות אלגוריתם מחשב, אבל זה יהיה הרבה יותר מעניין לגלות את הדרך המתמטית לפתור אותה.

משימות עבור הסתברות לקוביותלא פחות פופולרי מבעיות הטלת מטבעות. המצב של בעיה כזו נשמע בדרך כלל כך: כאשר זורקים קובייה אחת או יותר (2 או 3), מה ההסתברות שסכום הנקודות יהיה 10, או שמספר הנקודות הוא 4, או מכפלת הנקודות מספר נקודות, או מתחלק ב-2 המכפלה של מספר הנקודות וכו'.

יישום נוסחת ההסתברות הקלאסית הוא השיטה העיקרית לפתרון בעיות מסוג זה.

מתה אחת, סבירות.

המצב די פשוט עם קובייה אחת. נקבע על ידי הנוסחה: P=m/n, כאשר m הוא מספר התוצאות החיוביות לאירוע, ו-n הוא מספר כל התוצאות הבסיסיות האפשריות באותה מידה של הניסוי עם הטלת קובייה או קובייה.

בעיה 1. זורקים קובייה פעם אחת. מה ההסתברות לקבל מספר זוגי של נקודות?

מכיוון שהקובייה היא קובייה (או שהיא נקראת גם קובייה רגילה, הקוביה תיפול על כל הפנים באותה הסתברות, מכיוון שהיא מאוזנת), לקובייה יש 6 פרצופים (מספר הנקודות מ-1 עד 6, אשר מסומנים בדרך כלל על ידי נקודות), מה שאומר שבמשימה המספר הכולל של התוצאות: n=6. האירוע מועדף רק על ידי תוצאות שבהן פרצוף עם נקודות זוגיות 2,4 ו-6 נופל, עבור קובייה של פרצופים כאלה: m=3. כעת נוכל לקבוע את ההסתברות הרצויה לקובייה: P=3/6=1/2=0.5.

משימה 2. זורקים קובייה פעם אחת. מה ההסתברות לקבל לפחות 5 נקודות?

בעיה כזו נפתרת באנלוגיה לדוגמא המצוינת לעיל. כאשר זורקים קובייה, המספר הכולל של התוצאות האפשריות באותה מידה הוא: n=6, ומספקים את תנאי הבעיה (לפחות 5 נקודות נפלו, כלומר נפלו 5 או 6 נקודות) רק 2 תוצאות, כלומר m =2. לאחר מכן, נמצא את ההסתברות הרצויה: P=2/6=1/3=0.333.

שתי קוביות, הסתברות.

כשפותרים בעיות בהטלת 2 קוביות, נוח מאוד להשתמש בטבלת ניקוד מיוחדת. עליו משרטטים את מספר הנקודות שנפלו על הקובייה הראשונה בצורה אופקית, ומספר הנקודות שנפלו על הקובייה השנייה נשרטט אנכית. חומר העבודה נראה כך:

אבל נשאלת השאלה, מה יהיה בתאים הריקים של הטבלה? זה תלוי במשימה שיש לפתור. אם הבעיה היא על סכום הנקודות, אז הסכום נכתב שם, ואם זה על ההפרש, אז ההפרש נכתב, וכן הלאה.

בעיה 3. זורקים 2 קוביות בו זמנית. מה ההסתברות לקבל סכום נמוך מ-5 נקודות?

ראשית עליך להבין מה יהיה המספר הכולל של התוצאות של הניסוי. הכל היה ברור כאשר זרקו קובייה אחת 6 פני הקוביה - 6 תוצאות של הניסוי. אבל כאשר יש כבר שתי קוביות, אז ניתן לייצג את התוצאות האפשריות כזוגות מסודרים של מספרים של הצורה (x, y), כאשר x מראה כמה נקודות נפלו על הקובייה הראשונה (מ-1 עד 6), ו-y - כמה נקודות נפלו על הקובייה השנייה (מ-1 עד 6). בסך הכל יהיו זוגות מספריים כאלה: n=6*6=36 (36 תאים מתאימים להם בטבלת התוצאות).

עכשיו אתה יכול למלא את הטבלה, לשם כך, מספר סכום הנקודות שנפל על הקובייה הראשונה והשנייה מוזן בכל תא. הטבלה שהושלמה נראית כך:

הודות לטבלה, נקבע את מספר התוצאות המעדיפות את האירוע "יורד בסך הכל פחות מ-5 נקודות". בואו נספור את מספר התאים, ערך הסכום בו יהיה קטן מהמספר 5 (אלה 2, 3 ו-4). מטעמי נוחות, אנו מציירים על תאים כאלה, הם יהיו m = 6:

בהתחשב בנתוני הטבלה, הסתברות לקוביותשווה: P=6/36=1/6.

בעיה 4. נזרקו שתי קוביות. קבע את ההסתברות שהמכפלה של מספר הנקודות תתחלק ב-3.

כדי לפתור את הבעיה, נערוך טבלה של תוצרי הנקודות שנפלו על הקובייה הראשונה והשנייה. בו אנו בוחרים מיד מספרים שהם כפולות של 3:

נכתוב את המספר הכולל של התוצאות של הניסוי n=36 (הנימוק זהה לבעיה הקודמת) ואת מספר התוצאות החיוביות (מספר התאים המוצללים בטבלה) m=20. ההסתברות לאירוע היא: P=20/36=5/9.

בעיה 5. זורקים קובייה פעמיים. מה ההסתברות שההפרש בין מספר הנקודות בקובייה הראשונה והשנייה יהיה בין 2 ל-5?

כדי לקבוע הסתברות לקוביותנרשום את טבלת הבדלי הציונים ונבחר את התאים בה, שערך ההפרש בהם יהיה בין 2 ל-5:

מספר התוצאות החיוביות (מספר התאים המוצללים בטבלה) שווה ל-m=10, המספר הכולל של תוצאות אלמנטריות אפשריות באותה מידה יהיה n=36. קובע את ההסתברות לאירוע: P=10/36=5/18.

במקרה של אירוע פשוט וכאשר זורקים 2 קוביות, אתה צריך לבנות טבלה, ולאחר מכן לבחור את התאים הדרושים בה ולחלק את מספרם ב-36, זה ייחשב הסתברות.

אחורה קדימה

תשומת הלב! התצוגה המקדימה של השקופית היא למטרות מידע בלבד וייתכן שאינה מייצגת את מלוא היקף המצגת. אם אתה מעוניין בעבודה זו, אנא הורד את הגרסה המלאה.

טכנולוגיות פדגוגיות: טכנולוגיה של למידה מאוירת הסבר, טכנולוגיית מחשבים, גישה ממוקדת סטודנטים ללמידה, טכנולוגיות חוסכות בריאות.

סוג השיעור: שיעור בהשגת ידע חדש.

משך: שיעור אחד.

כיתה: כיתה ח'.

מטרות השיעור:

הדרכות:

• לחזור על מיומנויות יישום הנוסחה למציאת ההסתברות לאירוע וללמד כיצד ליישם אותה בבעיות עם קוביות;
• לנהל חשיבה מבוססת ראיות בעת פתרון בעיות, להעריך את הנכונות הלוגית של הנמקה, להכיר בהיגיון שגוי מבחינה לוגית.

מתפתח:

• לפתח את המיומנויות של חיפוש, עיבוד והצגת מידע;
• לפתח את היכולת להשוות, לנתח, להסיק מסקנות;
• לפתח מיומנויות התבוננות ותקשורת.

חינוכי:

• לטפח קשב, התמדה;
• לגבש הבנה של חשיבות המתמטיקה כדרך להכיר את העולם מסביב.

ציוד שיעור: מחשב, מולטימדיה, טושים, מכשיר להעתקה של mimio (או לוח אינטראקטיבי), מעטפה (היא מכילה משימה לעבודה מעשית, שיעורי בית, שלושה כרטיסים: צהוב, ירוק, אדום), דגמי קוביות.

מערך שיעור

ארגון זמן.

בשיעור הקודם התוודענו לנוסחת ההסתברות הקלאסית.

ההסתברות P להתרחשות אירוע אקראי A היא היחס בין m ל-n, כאשר n הוא המספר של כל התוצאות האפשריות של הניסוי, ו-m הוא המספר של כל התוצאות החיוביות.

הנוסחה היא מה שנקרא ההגדרה הקלאסית של הסתברות על פי Laplace, שהגיעה מתחום ההימורים, שבו נעשה שימוש בתורת ההסתברות כדי לקבוע את הסיכוי לזכייה. נוסחה זו משמשת לניסויים עם מספר סופי של תוצאות אפשריות באותה מידה.

הסתברות לאירוע = מספר תוצאות חיוביות / מספר כל התוצאות האפשריות באותה מידה

אז הסתברות היא מספר בין 0 ל-1.

ההסתברות היא 0 אם האירוע בלתי אפשרי.

ההסתברות היא 1 אם האירוע בטוח.

בואו נפתור את הבעיה בעל פה: יש 20 ספרים על מדף הספרים, 3 מהם ספרי עיון. מהי ההסתברות שספר שנלקח ממדף אינו ספר עיון?

פִּתָרוֹן:

המספר הכולל של תוצאות סבירות באותה מידה הוא 20

מספר התוצאות הטובות - 20 - 3 = 17

תשובה: 0.85.

2. קבלת ידע חדש.

ועכשיו נחזור לנושא השיעור שלנו: "הסתברות לאירועים", בואו נחתום על זה במחברות שלנו.

מטרת השיעור: ללמוד כיצד לפתור בעיות למציאת ההסתברות בעת זריקת קובייה או 2 קוביות.

הנושא של היום שלנו קשור לקוביות או שהוא נקרא גם הקוביות. הקוביות ידועות עוד מימי קדם. משחק הקוביות הוא מהעתיקים ביותר, אבות הטיפוס הראשונים של הקוביות נמצאו במצרים, והם מתוארכים למאה ה-20 לפני הספירה. ה. ישנם סוגים רבים, החל מפשוטים (מי שמגלגל הכי הרבה נקודות מנצח) ועד למורכבים, שבהם אתה יכול להשתמש בטקטיקות שונות של המשחק.

העצמות העתיקות ביותר מתוארכות למאה ה-20 לפני הספירה. e., נמצא בתבי. בתחילה שימשו העצמות כלי לניחוש. על פי חפירות ארכיאולוגיות, שיחקו קוביות בכל מקום בכל פינות תבל. השם בא מהחומר המקורי - עצמות בעלי חיים.

היוונים הקדמונים האמינו שהעצמות הומצאו על ידי הלידים, כשהם בורחים מרעב, כדי לפחות משהו שיעסיק את דעתם.

משחק הקוביות בא לידי ביטוי במיתולוגיה המצרית העתיקה, היוונית-רומית, הוודית. מוזכרים בתנ"ך, האיליאדה, האודיסאה, המהבהראטה, אוסף המזמורים הוודיים ריגבדה. בפנתיאון האלים, אל אחד לפחות היה הבעלים של קוביות כתכונה אינטגרלית http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

לאחר נפילת האימפריה הרומית, המשחק התפשט ברחבי אירופה, במיוחד במהלך ימי הביניים. מכיוון שקוביות שימשו לא רק למשחק, אלא גם לניחוש, הכנסייה ניסתה שוב ושוב לאסור את המשחק, העונשים המתוחכמים ביותר הומצאו למטרה זו, אך כל הניסיונות הסתיימו בכישלון.

על פי נתונים ארכיאולוגיים, שיחקו קוביות גם ברוס הפגאנית. לאחר הטבילה ניסתה הכנסייה האורתודוקסית למגר את המשחק, אך בקרב פשוטי העם הוא נשאר פופולרי, בניגוד לאירופה, שם חטאו בקוביות האצולה הגבוהה ביותר ואפילו אנשי הדת.

המלחמה שהוכרזה על ידי השלטונות של מדינות שונות במשחק הקוביות הולידה טריקים רבים ושונים.

בעידן הנאורות, התשוקה לקוביות ירדה בהדרגה, לאנשים היו תחביבים חדשים, הם התעניינו יותר בספרות, מוזיקה וציור. כעת משחק הקוביות אינו נפוץ כל כך.

קוביות רגילות מספקות את אותו סיכוי לקבל פרצוף. לשם כך, כל הפנים חייבים להיות זהים: חלקים, שטוחים, בעלי אותו שטח, פילטים (אם יש), יש לקדוח חורים לאותו עומק. סכום הנקודות על הפנים הנגדיות הוא 7.

הקובייה המתמטית, המשמשת בתורת ההסתברות, היא הייצוג המתמטי של קובייה רגילה. מָתֵימָטִילעצם אין גודל, אין צבע, אין משקל וכו'.

כשזורקים משחק עצמות(קוּבִּיָה) כל אחד מששת הפנים שלו יכול ליפול, כלומר. כל אחד מה אירועים- הפסד מ-1 ל-6 נקודות (נקודות). אבל אף אחד שתייםופרצופים נוספים לא יכולים להופיע בו-זמנית. כגון התפתחויותנקראים לא תואמים.

קחו בחשבון את המקרה שבו שוללת קובייה אחת. בוא נעשה את מספר 2 בצורה של טבלה.

עכשיו שקול את המקרה שבו מטילים 2 קוביות.

אם נקודה אחת נפלה על הקוביה הראשונה, אז 1, 2, 3, 4, 5, 6 יכולים ליפול בשנייה. נקבל זוגות (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1;5), (1;6) וכן הלאה עם כל פנים. ניתן לייצג את כל המקרים כטבלה עם 6 שורות ו-6 עמודות:

טבלת אירועים יסודיים

יש לך מעטפה על השולחן שלך.

קח את דף העבודה מהמעטפה.

כעת תשלימו משימה מעשית באמצעות טבלת האירועים היסודיים.

הצג על ידי הצללת האירועים המתאימים לאירועים:

משימה 1. "נפלו אותו מספר נקודות";

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

משימה 2. "סכום הנקודות הוא 7";

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

משימה 3. "סכום הנקודות אינו קטן מ-7".

מה זאת אומרת "לא פחות"? (התשובה היא "גדול או שווה")

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

ועכשיו בואו נמצא את ההסתברויות של אירועים שעבורם הוצללו אירועים נוחים בעבודה מעשית.

נכתוב במחברות מס' 3

תרגיל 1.

המספר הכולל של התוצאות - 36

תשובה: 1/6.

משימה 2.

המספר הכולל של התוצאות - 36

מספר תוצאות חיוביות - 6

תשובה: 1/6.

משימה 3.

המספר הכולל של התוצאות - 36

מספר תוצאות חיוביות - 21

P \u003d 21/36 \u003d 7/12.

תשובה: 7/12.

№4. סשה ולאד משחקים בקוביות. כל אחד מטיל את הקובייה פעמיים. זה עם הכי הרבה נקודות בסך הכל מנצח. אם הציונים שווים, המשחק מסתיים בתיקו. סשה היה הראשון להטיל את הקוביות, והוא זרק 5 נקודות ו-3 נקודות. עכשיו ולאד מטיל את הקוביות.

א) בטבלת האירועים היסודיים, ציין אירועי יסוד (מוצללים) המעדיפים את האירוע "ולד ינצח".

ב) מצא את ההסתברות לאירוע "ולד ינצח".

3. חינוך גופני.

אם האירוע אמין, כולנו מוחאים כפיים יחד,

אם האירוע בלתי אפשרי - כולנו רוקעים יחד,

אם האירוע אקראי - נענע בראש / ימין-שמאל

"יש 3 תפוחים בסל (2 אדומים, 1 ירוק).

3 אדומים נשלפו מהסל - (בלתי אפשרי)

תפוח אדום נשלף מהסל - (אקראי)

תפוח ירוק נשלף מהסל - (אקראי)

2 אדומים וירוק אחד נשלפו מהסל - (אותנטי)

בואו נחליט את המספר הבא.

קובייה תקפה נזרקת פעמיים. איזה אירוע סביר יותר:

ת: "5 נקודות התגלגלו בשתי הפעמים";

ש: "בפעם הראשונה נפלו 2 נקודות, השנייה 5 נקודות";

S: "אחד גלגל 2 נקודות, אחד גלגל 5 נקודות"?

בואו ננתח אירוע א': המספר הכולל של התוצאות הוא 36, מספר התוצאות החיוביות הוא 1 (5; 5)

בואו ננתח אירוע ב': המספר הכולל של התוצאות הוא 36, מספר התוצאות החיוביות הוא 1 (2; 5)

בואו ננתח אירוע ג': המספר הכולל של התוצאות הוא 36, מספר התוצאות החיוביות הוא 2 (2; 5 ו-5; 2)

תשובה: אירוע ג'.

4. הצהרת שיעורי בית.

1. גזרו את הסריקה, הדביקו את הקוביות. תביא את זה לשיעור הבא.

2. בצע 25 זריקות. רשום את התוצאות בטבלה: (בשיעור הבא תוכל להציג את מושג התדירות)

3. פתרו את הבעיה: זרוק שתי קוביות. חשב את ההסתברות:

א) "סכום הנקודות הוא 6";

ב) "סכום הנקודות אינו קטן מ-5";

ג) "יש יותר נקודות על העצם הראשונה מאשר על השנייה".

בהגדרה הקלאסית, ההסתברות לאירוע מוגדרת על ידי השוויון

איפה מ - מספר תוצאות המבחן היסודי המתאימים להתרחשות אירוע א';נ הוא המספר הכולל של תוצאות המבחן היסודי האפשריות. ההנחה היא שתוצאות אלמנטריות אפשריות באופן ייחודי ואפשריות באותה מידה.

התדירות היחסית של אירוע א' נקבעת על פי השוויון

איפה מ הוא מספר הניסויים שבהם התרחש אירוע A;נ הוא המספר הכולל של הבדיקות שבוצעו. בהגדרה סטטיסטית, השכיחות היחסית של אירוע נלקחת כהסתברות לאירוע.

דוגמה 1.1. זורקים שתי קוביות. מצא את ההסתברות שסכום הנקודות על הפרצופים שנפלו הוא זוגי, ושישייה מופיעה על פניה של לפחות אחת מהקוביות.

פִּתָרוֹן.על פני הקובייה "הראשונה" שנפלו, יכולות להופיע נקודה אחת, שתי נקודות, ..., שש נקודות. באופן דומה, שש תוצאות בסיסיות אפשריות בעת זריקת הקוביה ה"שנייה". ניתן לשלב כל אחת מתוצאות סיבוב הקוביות ה"ראשונות" עם כל אחת מתוצאות סיבוב הקוביות ה"שניות". לפיכך, המספר הכולל של התוצאות היסודיות האפשריות של המבחן הוא 6∙6 = 36.

תוצאות טובות לאירוע שמעניין אותנו (לפחות על פרצוף אחד מופיעה שישה, סכום הנקודות שנפלו הוא זוגי) הן חמש התוצאות הבאות (הראשונה היא מספר הנקודות שנפלו על הקוביה "הראשונה", השני הוא מספר הנקודות שנפלו על הקובייה ה"שנייה"; ואז סכום הנקודות שלהן:

1.6, 2, 6 + 2 = 8,

2.6, 4, 6 + 4 = 10,

3.6, 6, 6 + 6 = 12.

4.2, 6, 2 + 6 = 8,

5.4, 6, 4 + 6 = 10.

ההסתברות הרצויה שווה ליחס בין מספר התוצאות המעדיפות את האירוע למספר כל התוצאות היסודיות האפשריות:

משימה 1.1זורקים שתי קוביות. מצא את ההסתברות שסכום הנקודות על הפרצופים שנפלו הוא שבע.

משימה 1.2.זורקים שתי קוביות. מצא את ההסתברות לאירועים הבאים: א) סכום הנקודות המגולגלות שווה לשמונה, וההפרש הוא ארבע, ב) סכום הנקודות המגולגלות שווה לשמונה, אם ידוע שההפרש שלהן שווה ל ארבע.

משימה 1.3.זורקים שתי קוביות. מצא את ההסתברות שסכום הנקודות על הפרצופים שנפלו הוא חמש והמכפלה הוא ארבע.

משימה 1.4. המטבע מתהפך פעמיים. מצא את ההסתברות שהסמל מופיע לפחות פעם אחת.

לאחר מכן, שקול דוגמה כאשר מספר האובייקטים גדל, וכתוצאה מכך, הן המספר הכולל של התוצאות היסודיות והן התוצאות החיוביות גדל, ומספרם כבר ייקבע על ידי נוסחאות שילוב והצבה.

דוגמה 1.2 הקופסה מכילה 10 חלקים זהים, מסומנים במספרים 1, 2, ..., 10. 6 חלקים נלקחים באקראי. מצא את ההסתברות שבין החלקים שחולצו יהיו: א) חלק מס' 1; ב) פרטים מס' 1 ומס' 2.

פִּתָרוֹן.המספר הכולל של התוצאות האלמנטריות האפשריות של המבחן שווה למספר הדרכים (שילובים) שבהם ניתן לחלץ 6 פרטים מ-10, כלומר. מ 6 10 .

א) הבה נחשב את מספר התוצאות המעדיפות את האירוע שאנו מעוניינים בו: בין ששת החלקים הנבחרים יש חלק מס' 1, ולכן, ל-5 החלקים הנותרים יש מספרים שונים. מספר התוצאות הללו שווה ללא ספק למספר הדרכים שבהן ניתן לבחור 5 חלקים מתוך 9 הנותרים, כלומר. מ 5 9 .

ההסתברות הרצויה שווה ליחס בין מספר התוצאות המעדיפות את האירוע הנחשב למספר הכולל של התוצאות היסודיות האפשריות:

ב) מספר התוצאות המעדיפות את האירוע המעניין אותנו (בין ששת הפריטים הנבחרים יש פריט מס' 1 ופריט מס' 2, לכן, ל-4 הפריטים הנותרים יש מספרים שונים) שווה למספר הדרכים שבהן 4 פריטים ניתן לבחור מבין 8 הנותרים, כלומר. מ 4 8 .

הסתברות רצויה

.

דוגמה 1.3 . בעת חיוג למספר טלפון, המנוי שכח את שלוש הספרות האחרונות, ורק לזכור שהן שונות, חייג אותן באקראי. מצא את ההסתברות שהספרות הנכונות מחויגות.

פִּתָרוֹן.המספר הכולל של צירופי שלושה אלמנטים בסיסיים אפשריים של 10 ספרות, הנבדלים הן בהרכב והן בסדר הספרות, שווה למספר המיקומים של 10 ספרות ב-3, כלומר. א 3 10 .

.

תוצאה חיובית - אחת.

הסתברות רצויה

דוגמה 1.4.יש n באצווה של N חלקים תֶקֶן. נבחר באקראי M פרטים. מצא את ההסתברות שבין הנבחרים בדיוקק חלקים סטנדרטיים.

פִּתָרוֹן.המספר הכולל של התוצאות היסודיות האפשריות של המבחן שווה למספר הדרכים שבהן ניתן לחלץ m חלקים מתוך N חלקים, כלומר. ג מ נ - מספר השילובים שלנ על ידי מ.

הבה נחשב את מספר התוצאות המעדיפות את האירוע המעניין אותנו (בין היתרמ חלקים בדיוק k סטנדרטיים): ק ניתן לקחת חלקים סטנדרטייםנ חלקים סטנדרטיים Cק נ דרכים; בעוד השארמ-ק חלקים חייבים להיות לא סטנדרטיים: קח אותו דברמ-ק חלקים לא סטנדרטיים מנ–נ ניתן לקחת חלקים לא סטנדרטייםמ-קנ-נ דרכים. לכן, מספר התוצאות החיוביות הוא Cק נ ג מ - ק נ - נ .

ההסתברות הרצויה שווה ל

משימה 1.5.בחנות מועסקים 6 גברים ו-4 נשים. 7 אנשים נבחרו באקראי לפי מספרי כוח אדם. מצא את ההסתברות שיהיו 3 נשים בין האנשים שנבחרו.

הסתברויות גיאומטריות

תן לפלח למהווה חלק מהקטע ל. בשביל קטע לנקודה אקראית. אם נניח שההסתברות של נקודה ליפול על קטעלהוא פרופורציונלי לאורכו של קטע זה ואינו תלוי במיקומו ביחס לקטעל, ואז ההסתברות שנקודה תיפול על הקטעלמוגדר על ידי השוויון

תן דמות שטוחהז מהווה חלק מדמות שטוחה G. על הדמות G נקודה נזרקת באקראי. אם נניח שההסתברות שנקודה זרוקה תפגע בדמותז פרופורציונלי לשטח של דמות זו ואינו תלוי במיקומה ביחס לז, וגם לא מהצורה ז , ואז ההסתברות לפגוע בנקודה באיורז מוגדר על ידי השוויון

באופן דומה, נקבעת ההסתברות שנקודה תפגע באיור מרחבי v , שהוא חלק מהדמות V :

דוגמה 1.5על הקטע L אורך 20 ס"מ. הניח קטע קטן יותרל אורך 10 ס"מ. מצא את ההסתברות שנקודה הממוקמת באקראי על קטע גדול תיפול גם על קטע קטן יותר.

פִּתָרוֹן: מכיוון שההסתברות שנקודה תפגע בקטע היא פרופורציונלית לאורכו ואינה תלויה במיקומו, אנו משתמשים ביחס לעיל ומוצאים:

דוגמה 1.6במעגל ברדיוס R הניח עיגול קטן ברדיוסר . מצא את ההסתברות שנקודה שנזרקת באקראי לתוך מעגל גדול תיפול גם למעגל קטן.

פִּתָרוֹן: מכיוון שההסתברות של נקודה ליפול לתוך מעגל היא פרופורציונלית לשטח המעגל ואינה תלויה במיקומה, אנו משתמשים ביחס לעיל ומוצאים:

.

בעיה 1.6.רדיוס מעגל פנימיר נקודה נזרקת באקראי. מצא את ההסתברות שהנקודה תהיה בתוך עיגול הכתוב ב: א) ריבוע; ב) משולש ישר זווית. ההנחה היא שההסתברות של נקודה ליפול לחלק של מעגל היא פרופורציונלית לשטח של חלק זה ואינה תלויה במיקומה ביחס למעגל.

בעיה 1.7.דיסק מסתובב במהירות מחולק למספר זוגי של מגזרים שווים, בצבע לבן ושחור לסירוגין. נורתה ירייה לעבר הדיסק. מצא את ההסתברות שהכדור יפגע באחד מהמגזרים הלבנים. ההנחה היא שההסתברות לפגיעה בדמות שטוחה היא פרופורציונלית לשטח של נתון זה.

משפטי חיבור וכפל הסתברויות

מהסתברויות לאירועים לא תואמים. ההסתברות להתרחשות של אחד משני אירועים בלתי תואמים, לא משנה איזה מהם, שווה לסכום ההסתברויות של אירועים אלה:

P(A + B) = P(A) + P(B).

תוֹצָאָה. ההסתברות להתרחשות של אחד מכמה אירועים שאינם תואמים בזוגיות, לא משנה איזה מהם, שווה לסכום ההסתברויות של אירועים אלה:

P(A1 + A2 +…+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An).

הוספת הסתברויות לאירועים משותפים.ההסתברות להתרחשות של לפחות אחד משני האירועים המשותפים שווה לסכום ההסתברויות של אירועים אלה ללא ההסתברות להתרחשותם המשותפת:

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).

ניתן להכליל את המשפט לכל מספר סופי של אירועים משותפים. לדוגמה, עבור שלושה אירועים משותפים:

P (A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C) - P (AB) - P (AC) - P (BC) + P (ABC).

משפט הכפל של הסתברויות של אירועים בלתי תלויים.ההסתברות להתרחשות משותפת של שני אירועים בלתי תלויים שווה למכפלת ההסתברויות של אירועים אלה:

P(AB) = P(A)*P(B).

תוֹצָאָה. ההסתברות להתרחשות משותפת של מספר אירועים שאינם תלויים במצטבר שווה למכפלת ההסתברויות של אירועים אלה:

P (A1A2 ... An) \u003d P (A1) * P (A2) ... P (An).

משפט הכפל של הסתברויות של אירועים תלויים.ההסתברות להתרחשות משותפת של שני אירועים תלויים שווה למכפלת אחד מהם בהסתברות המותנית של השני:

P (AB) \u003d P (A) * PA (B),

P (AB) \u003d P (B) * PB (A).

תוֹצָאָה. ההסתברות להתרחשות משותפת של מספר אירועים תלויים שווה למכפלת אחד מהם בהסתברויות המותנות של כל האחרים, וההסתברויות של כל אחד לאחר מכן מחושבות בהנחה שכל האירועים הקודמים מחושבים בהנחה ש כל האירועים הקודמים כבר הופיעו:

R(A1A2…An) = R(A1)*RA1(A2)*RA1A2(A3)…RA1A2…An-1(An),

כאשר RA1A2…An-1(An) היא ההסתברות לאירוע An, מחושב בהנחה שהאירועים А1А2…An-1 התרחשו.

דוגמה 1.7. 15 ספרי לימוד מונחים באופן אקראי על מדף הספרייה, 5 מהם כרוכים. הספרנית לוקחת 3 ספרי לימוד באקראי. מצא את ההסתברות שלפחות אחד מספרי הלימוד שנלקחו יהיה כרוך (אירוע א').

פִּתָרוֹן. הדרישה שלפחות אחד מספרי הלימוד שנלקחו יהיה כרוך תתקיים אם מתרחש אחד משלושת האירועים הבאים שאינם תואמים: ב' - ספר אחד כרוך, שניים לא כרוכים, ג' - שני ספרים כרוכים, אחד לא כרוך, E - שלושה ספרים כרוכים בכריכה קשה.

אירוע א' שמעניין אותנו (לפחות אחד משלושת ספרי הלימוד הכרוכים שנלקחו) יכול להיות מיוצג כסכום של שלושה אירועים:

A = B + C + D.

לפי משפט החיבור לאירועים לא תואמים

p(A) = p(B) + p(C) + p(D) (1).

הבה נמצא את ההסתברויות של אירועים B, C ו-D (ראה את הפתרון של דוגמה 1.4.):

החלפת ההסתברויות הללו במשוואה (1), לבסוף נקבל

p(A) = 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.

דוגמה 1.8. כמה קוביות יש להטיל כדי שעם הסתברות נמוכה מ-0.3, ניתן לצפות שלא יופיעו 6 נקודות על אף אחת מהפרצופים שנפלו?

פִּתָרוֹן. הבה נציג את סימון האירועים: A - 6 נקודות לא יופיעו על אף אחת מהפנים שנשרו; Аi - 6 נקודות לא יופיעו על הפנים שנפלו של הקובייה ה-i (i = 1, 2, …n).

אירוע א' שמעניין אותנו מורכב משילוב של אירועים

A1, A2, …, An

כלומר, A \u003d A1A2 ... An.

ההסתברות שמספר אחר מאשר שש יופיע על כל פנים שנפלו היא

p(Ai) = 5/6.

האירועים Аi אינם תלויים זה בזה, ולכן משפט הכפל חל:

p(A) = p(A1A2…An) = p(A1)*p(A2)*...p(An) = (5/6)n.

לפי תנאי (5/6)נ< 0,3. Следовательно n*log(5/6) < log0,3, отсюда найдем n >6.6. לפיכך, מספר הקוביות הנדרש הוא n ≥ 7.

דוגמה 1.9. בחדר הקריאה ישנם 6 ספרי לימוד על תורת ההסתברות, מתוכם 3 כרוכים. הספרנית לקחה שני ספרי לימוד באקראי. מצא את ההסתברות ששני ספרי הלימוד יהיו כרוכים.

פִּתָרוֹן. הבה נציג את סימון האירועים: א' - לספר הלימוד הראשון שנלקח יש כריכה, ב' - לספר הלימוד השני יש כריכה.

ההסתברות שלספר הלימוד הראשון יש כריכה,

p(A) = 3/6 = 1/2.

ההסתברות שספר הלימוד השני כרוך, בתנאי שהספר הראשון שנלקח היה כרוך, כלומר, ההסתברות המותנית לאירוע ב' היא:

pA(B) = 2/5.

ההסתברות הרצויה לכך ששני ספרי הלימוד קשורים, לפי משפט הכפל של ההסתברויות של אירועים תלויים, שווה ל

p (AB) \u003d p (A) * pA (B) \u003d 1/2 * 2/5 \u003d 0.2.

משימה 1.8 שני יורים יורים לעבר מטרה. ההסתברות לפגוע במטרה עם ירייה אחת עבור הצייד הראשון היא 0.7, ולשנייה - 0.8. מצא את ההסתברות שבמטח אחד רק אחד מהציידים יפגע במטרה.

בעיה 1.9. התלמיד מחפש את הנוסחה הדרושה לו בשלושה ספרי עיון. ההסתברויות שהנוסחה כלולה בספרייה הראשונה, השנייה, השלישית, בהתאמה, שוות ל-0.6; 0.7; 0.8. מצא את ההסתברויות שהנוסחה מכילה: א) בספרייה אחת בלבד; ב) רק בשתי ספריות; ג) בכל המדריכים.

משימה 1.10 . בחנות מועסקים 7 גברים ו-3 נשים. 3 אנשים נבחרו באופן אקראי לפי מספרי כוח אדם. מצא את ההסתברות שכל האנשים שנבחרו הם גברים.