מוּשָׂג רצף מספריםמרמז על ההתאמה לכל מספר טבעי בעל ערך ממשי כלשהו. סדרה כזו של מספרים יכולה להיות גם שרירותית וגם בעלת תכונות מסוימות - התקדמות. במקרה האחרון, ניתן לחשב כל רכיב (איבר) עוקב ברצף באמצעות הקודמת.

התקדמות אריתמטית היא רצף של ערכים מספריים שבהם האיברים השכנים שלו נבדלים זה מזה באותו מספר (לכל רכיבי הסדרה, החל מה-2, יש תכונה דומה). מספר זה - ההפרש בין האיבר הקודם והאחריו - הוא קבוע ונקרא הפרש ההתקדמות.

הפרש התקדמות: הגדרה

שקול רצף המורכב מערכי j A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j שייך לקבוצת המספרים הטבעיים N. התקדמות אריתמטית, לפי הגדרתו, הוא רצף , שבו a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = ד. הערך של d הוא ההפרש הרצוי של התקדמות זו.

d = a(j) - a(j-1).

לְהַקְצוֹת:

• התקדמות גוברת, ובמקרה זה d > 0. דוגמה: 4, 8, 12, 16, 20, …
• התקדמות יורדת, ואז ד< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

הבדל ההתקדמות והמרכיבים השרירותיים שלה

אם ידועים 2 איברים שרירותיים של ההתקדמות (i-th, k-th), אז ניתן לקבוע את ההבדל עבור רצף זה בהתבסס על היחס:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, כך ד = (a(i) - a(k))/(i-k).

הפרש ההתקדמות והקדנציה הראשונה שלו

ביטוי זה יעזור לקבוע את הערך הלא ידוע רק במקרים בהם המספר של רכיב הרצף ידוע.

הפרש התקדמות וסכומו

סכום התקדמות הוא סכום החברים בה. כדי לחשב את הערך הכולל של רכיבי ה-j הראשונים שלו, השתמש בנוסחה המתאימה:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, אבל מאז a(j) = a(1) + d(j – 1), ואז S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

אם כל מספר טבעי נ להתאים למספר אמיתי א n , אז הם אומרים את זה נתון רצף מספרים :

א 1 , א 2 , א 3 , . . . , א n , . . . .

אז, רצף מספרי הוא פונקציה של ארגומנט טבעי.

מספר א 1 שקוראים לו האיבר הראשון ברצף , מספר א 2 — האיבר השני ברצף , מספר א 3 — שְׁלִישִׁי וכולי. מספר א n שקוראים לו חבר n'רצפים , והמספר הטבעי נ — המספר שלו .

משני חברים שכנים א n ו א n +1 רצפי איברים א n +1 שקוראים לו לאחר מכן (לִקרַאת א n ), א א n — קודם (לִקרַאת א n +1 ).

כדי לציין רצף, עליך לציין שיטה המאפשרת לך למצוא איבר רצף עם כל מספר.

לעתים קרובות הרצף ניתן עם נוסחאות מונח n , כלומר נוסחה המאפשרת לקבוע איבר ברצף לפי מספרו.

לדוגמה,

ניתן לתת את רצף המספרים האי-זוגיים החיוביים על ידי הנוסחה

א n= 2n- 1,

והרצף של מתחלפים 1 ו -1 - נוסחה

בנ = (-1)נ +1 . ◄

ניתן לקבוע את הרצף נוסחה חוזרת, כלומר, נוסחה המבטאת כל איבר ברצף, החל בכמה, דרך האיברים הקודמים (אחד או יותר).

לדוגמה,

אם א 1 = 1 , א א n +1 = א n + 5

א 1 = 1,

א 2 = א 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

א 3 = א 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

א 4 = א 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

א 5 = א 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

אם א 1= 1, א 2 = 1, א n +2 = א n + א n +1 , אז שבעת האיברים הראשונים של הרצף המספרי מוגדרים באופן הבא:

א 1 = 1,

א 2 = 1,

א 3 = א 1 + א 2 = 1 + 1 = 2,

א 4 = א 2 + א 3 = 1 + 2 = 3,

א 5 = א 3 + א 4 = 2 + 3 = 5,

א 6 = א 4 + א 5 = 3 + 5 = 8,

א 7 = א 5 + א 6 = 5 + 8 = 13. ◄

רצפים יכולים להיות סופי ו אינסופי .

הרצף נקרא סופי אם יש לו מספר סופי של איברים. הרצף נקרא אינסופי אם יש בו אינסוף חברים.

לדוגמה,

רצף של מספרים טבעיים דו ספרתיים:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

סופי.

רצף מספרים ראשוניים:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

אינסופי. ◄

הרצף נקרא גָדֵל , אם כל אחד מאבריו, החל מהשני, גדול מהקודם.

הרצף נקרא פְּגִימָה , אם כל אחד מהחברים שלו, החל מהשני, קטן מהקודם.

לדוגמה,

2, 4, 6, 8, . . . , 2נ, . . . הוא רצף עולה;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /נ, . . . הוא רצף יורד. ◄

רצף שהאלמנטים שלו אינם יורדים עם מספר עולה, או להיפך, אינם גדלים, נקרא רצף מונוטוני .

רצפים מונוטוניים, בפרט, הם רצפים הולכים וגדלים ורצפים פוחתים.

התקדמות אריתמטית

התקדמות אריתמטית נקרא רצף, שכל איבר בו, החל מהשני, שווה לקודם, אליו מתווסף אותו מספר.

א 1 , א 2 , א 3 , . . . , א n, . . .

הוא התקדמות אריתמטית אם בכלל מספר טבעי נ מתקיים תנאי:

א n +1 = א n + ד,

איפה ד - מספר כלשהו.

לפיכך, ההבדל בין החברים הבאים והקודמים של נתון התקדמות אריתמטיתתמיד קבוע:

א 2 - א 1 = א 3 - א 2 = . . . = א n +1 - א n = ד.

מספר ד שקוראים לו ההבדל של התקדמות אריתמטית.

כדי לקבוע התקדמות אריתמטית, מספיק לציין את האיבר הראשון וההבדל שלו.

לדוגמה,

אם א 1 = 3, ד = 4 , ואז חמשת האיברים הראשונים של הרצף נמצאים כדלקמן:

א 1 =3,

א 2 = א 1 + ד = 3 + 4 = 7,

א 3 = א 2 + ד= 7 + 4 = 11,

א 4 = א 3 + ד= 11 + 4 = 15,

א 5 = א 4 + ד= 15 + 4 = 19. ◄

להתקדמות אריתמטית עם המונח הראשון א 1 והבדל ד שֶׁלָה נ

א n = א 1 + (נ- 1)ד.

לדוגמה,

למצוא את האיבר השלושים של התקדמות אריתמטית

1, 4, 7, 10, . . .

א 1 =1, ד = 3,

30 = א 1 + (30 - 1)ד= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = א 1 + (נ- 2)ד,

א n= א 1 + (נ- 1)ד,

א n +1 = א 1 + נד,

אז ברור

א n=	a n-1 + a n+1
	2

כל איבר בהתקדמות האריתמטית, החל מהשנייה, שווה לממוצע האריתמטי של האיברים הקודמים והבאים.

המספרים a, b ו-c הם איברים עוקבים של התקדמות אריתמטית כלשהי אם ורק אם אחד מהם שווה לממוצע האריתמטי של השניים האחרים.

לדוגמה,

א n = 2נ- 7 , הוא התקדמות אריתמטית.

בואו נשתמש בהצהרה למעלה. יש לנו:

א n = 2נ- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2נ- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2נ- 5.

לָכֵן,

a n+1 + a n-1	=	2נ- 5 + 2נ- 9	= 2נ- 7 = א n,
2		2

◄

ציין זאת נ -החבר בהתקדמות אריתמטית ניתן למצוא לא רק דרך א 1 , אבל גם כל הקודם א ק

א n = א ק + (נ- ק)ד.

לדוגמה,

ל א 5 ניתן לכתוב

א 5 = א 1 + 4ד,

א 5 = א 2 + 3ד,

א 5 = א 3 + 2ד,

א 5 = א 4 + ד. ◄

א n = א נ-ק + kd,

א n = a n+k - kd,

אז ברור

א n=	א n-k + א n+k
	2

כל איבר בהתקדמות אריתמטית, החל מהשנייה, שווה למחצית מסכום האיברים של התקדמות אריתמטית זו המרוחקים ממנו באופן שווה.

בנוסף, עבור כל התקדמות אריתמטית, השוויון נכון:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

לדוגמה,

בהתקדמות אריתמטית

1) א 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (א 9 + א 11 )/2;

2) 28 = 10 = א 3 + 7ד= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, כי

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ א n,

ראשון נ איברים של התקדמות אריתמטית שווים למכפלת מחצית מסכום האיברים הקיצונים במספר האיברים:

מכאן, במיוחד, עולה כי אם יש צורך לסכם את התנאים

א ק, א ק +1 , . . . , א n,

אז הנוסחה הקודמת שומרת על המבנה שלה:

לדוגמה,

בהתקדמות אריתמטית 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ס 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ס 10 - ס 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

אם ניתנת התקדמות אריתמטית, אז הכמויות א 1 , א n, ד, נוס נ מקושרים על ידי שתי נוסחאות:

לכן, אם הערכים של שלוש מהכמויות הללו ניתנים, אז הערכים התואמים של שתי הכמויות האחרות נקבעים מנוסחאות אלו המשולבות למערכת של שתי משוואות עם שני לא ידועים.

התקדמות אריתמטית היא רצף מונוטוני. שבו:

• אם ד > 0 , אז זה הולך וגדל;
• אם ד < 0 , אז זה הולך ופוחת;
• אם ד = 0 , אז הרצף יהיה נייח.

התקדמות גיאומטרית

התקדמות גיאומטרית נקרא רצף, שכל איבר שלו, החל מהשני, שווה לקודם, כפול באותו מספר.

ב 1 , ב 2 , ב 3 , . . . , ב נ, . . .

הוא התקדמות גיאומטרית אם עבור מספר טבעי כלשהו נ מתקיים תנאי:

ב נ +1 = ב נ · ש,

איפה ש ≠ 0 - מספר כלשהו.

לפיכך, היחס בין האיבר הבא של התקדמות גיאומטרית זו לקודם הוא מספר קבוע:

ב 2 / ב 1 = ב 3 / ב 2 = . . . = ב נ +1 / ב נ = ש.

מספר ש שקוראים לו מכנה של התקדמות גיאומטרית.

כדי להגדיר התקדמות גיאומטרית, מספיק לציין את המונח והמכנה הראשון שלו.

לדוגמה,

אם ב 1 = 1, ש = -3 , ואז חמשת האיברים הראשונים של הרצף נמצאים כדלקמן:

ב 1 = 1,

ב 2 = ב 1 · ש = 1 · (-3) = -3,

ב 3 = ב 2 · ש= -3 · (-3) = 9,

ב 4 = ב 3 · ש= 9 · (-3) = -27,

ב 5 = ב 4 · ש= -27 · (-3) = 81. ◄

ב 1 ומכנה ש שֶׁלָה נ ניתן למצוא את המונח ה-th על ידי הנוסחה:

ב נ = ב 1 · q n -1 .

לדוגמה,

מצא את האיבר השביעי של התקדמות גיאומטרית 1, 2, 4, . . .

ב 1 = 1, ש = 2,

ב 7 = ב 1 · ש 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = ב 1 · q n -2 ,

ב נ = ב 1 · q n -1 ,

ב נ +1 = ב 1 · q n,

אז ברור

ב נ 2 = ב נ -1 · ב נ +1 ,

כל איבר בהתקדמות הגיאומטרית, החל מהשני, שווה לממוצע הגיאומטרי (פרופורציונלי) של האיברים הקודמים והבאים.

מכיוון שגם ההיפך נכון, מתקיימת הקביעה הבאה:

המספרים a, b ו-c הם איברים עוקבים של התקדמות גיאומטרית כלשהי אם ורק אם הריבוע של אחד מהם שווה למכפלת השניים האחרים, כלומר, אחד המספרים הוא הממוצע הגיאומטרי של השניים האחרים.

לדוגמה,

הבה נוכיח שהרצף שניתן על ידי הנוסחה ב נ= -3 2 נ , הוא התקדמות גיאומטרית. בואו נשתמש בהצהרה למעלה. יש לנו:

ב נ= -3 2 נ,

ב נ -1 = -3 2 נ -1 ,

ב נ +1 = -3 2 נ +1 .

לָכֵן,

ב נ 2 = (-3 2 נ) 2 = (-3 2 נ -1 ) (-3 2 נ +1 ) = ב נ -1 · ב נ +1 ,

מה שמוכיח את הקביעה הנדרשת. ◄

ציין זאת נ המונח של התקדמות גיאומטרית ניתן למצוא לא רק דרך ב 1 , אלא גם כל קדנציה קודמת ב ק , שעבורו מספיק להשתמש בנוסחה

ב נ = ב ק · q n - ק.

לדוגמה,

ל ב 5 ניתן לכתוב

ב 5 = ב 1 · ש 4 ,

ב 5 = ב 2 · ש 3,

ב 5 = ב 3 · ש2,

ב 5 = ב 4 · ש. ◄

ב נ = ב ק · q n - ק,

ב נ = ב נ - ק · q k,

אז ברור

ב נ 2 = ב נ - ק· ב נ + ק

הריבוע של כל איבר בהתקדמות גיאומטרית, החל מהשנייה, שווה למכפלת איברי ההתקדמות הזו במרחק שווה ממנו.

בנוסף, עבור כל התקדמות גיאומטרית, השוויון נכון:

ב מ· ב נ= ב ק· ב ל,

M+ נ= ק+ ל.

לדוגמה,

באופן אקספוננציאלי

1) ב 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ב 5 · ב 7 ;

2) 1024 = ב 11 = ב 6 · ש 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ב 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ב 4 · ב 8 ;

4) ב 2 · ב 7 = ב 4 · ב 5 , כי

ב 2 · ב 7 = 2 · 64 = 128,

ב 4 · ב 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ב 1 + ב 2 + ב 3 + . . . + ב נ

ראשון נ איברים של התקדמות גיאומטרית עם מכנה ש ≠ 0 מחושב לפי הנוסחה:

ומתי ש = 1 - לפי הנוסחה

S n= נ.ב. 1

שימו לב שאם אנחנו צריכים לסכם את התנאים

ב ק, ב ק +1 , . . . , ב נ,

אז נעשה שימוש בנוסחה:

S n- ס ק -1 = ב ק + ב ק +1 + . . . + ב נ = ב ק ·	1 - q n - ק +1	.
	1 - ש

לדוגמה,

באופן אקספוננציאלי 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ס 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ס 10 - ס 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

אם ניתנת התקדמות גיאומטרית, אז הכמויות ב 1 , ב נ, ש, נו S n מקושרים על ידי שתי נוסחאות:

לכן, אם הערכים של כל שלוש מהכמויות הללו ניתנים, אז הערכים המקבילים של שתי הכמויות האחרות נקבעים מנוסחאות אלו המשולבות למערכת של שתי משוואות עם שני לא ידועים.

להתקדמות גיאומטרית עם המונח הראשון ב 1 ומכנה ש הפעולות הבאות מתרחשות תכונות מונוטוניות :

• ההתקדמות גדלה אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

ב 1 > 0 ו ש> 1;

ב 1 < 0 ו 0 < ש< 1;

• התקדמות הולכת ופוחתת אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

ב 1 > 0 ו 0 < ש< 1;

ב 1 < 0 ו ש> 1.

אם ש< 0 , אז ההתקדמות הגיאומטרית היא סימן לסירוגין: למונחים האי-זוגיים שלו יש סימן זהה לאיבר הראשון שלו, ולמונחים זוגיים יש את הסימן ההפוך. ברור שהתקדמות גיאומטרית מתחלפת אינה מונוטונית.

המוצר של הראשון נ ניתן לחשב מונחים של התקדמות גיאומטרית על ידי הנוסחה:

P n= ב 1 · ב 2 · ב 3 · . . . · ב נ = (ב 1 · ב נ) נ / 2 .

לדוגמה,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

התקדמות גיאומטרית פוחתת לאין שיעור

התקדמות גיאומטרית פוחתת לאין שיעור נקרא התקדמות גיאומטרית אינסופית שמודול המכנה שלה קטן מ 1 , זה

|ש| < 1 .

שים לב שהתקדמות גיאומטרית הולכת ופוחתת באופן אינסופי עשויה להיות לא רצף יורד. זה מתאים למקרה

1 < ש< 0 .

עם מכנה כזה, הרצף הוא סימן לסירוגין. לדוגמה,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

סכום התקדמות גיאומטרית הולכת ופוחתת באופן אינסופי שם את המספר שאליו הסכום של הראשון נ תנאי ההתקדמות עם עלייה בלתי מוגבלת במספר נ . מספר זה הוא תמיד סופי ומתבטא בנוסחה

ס= ב 1 + ב 2 + ב 3 + . . . =	ב 1	.
	1 - ש

לדוגמה,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

קשר בין התקדמות אריתמטית וגיאומטרית

התקדמות אריתמטית וגאומטרית קשורה קשר הדוק. הבה נבחן רק שתי דוגמאות.

א 1 , א 2 , א 3 , . . . ד , זה

ב א 1 , ב א 2 , ב א 3 , . . . ב ד .

לדוגמה,

1, 3, 5, . . . - התקדמות אריתמטית עם הבדל 2 ו

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . הוא התקדמות גיאומטרית עם מכנה 7 2 . ◄

ב 1 , ב 2 , ב 3 , . . . הוא התקדמות גיאומטרית עם מכנה ש , זה

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - התקדמות אריתמטית עם הבדל יומן אש .

לדוגמה,

2, 12, 72, . . . הוא התקדמות גיאומטרית עם מכנה 6 ו

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - התקדמות אריתמטית עם הבדל lg 6 . ◄

סכום התקדמות אריתמטית.

הסכום של התקדמות אריתמטית הוא דבר פשוט. גם במשמעות וגם בנוסחה. אבל יש כל מיני משימות בנושא הזה. מיסודי לסולידי למדי.

ראשית, נעסוק במשמעות ובנוסחה של הסכום. ואז נחליט. להנאתכם.) משמעות הסכום היא פשוטה כמו הורדה. כדי למצוא את הסכום של התקדמות אריתמטית, אתה רק צריך להוסיף בזהירות את כל האיברים שלה. אם המונחים האלה מועטים, אתה יכול להוסיף בלי שום נוסחאות. אבל אם יש הרבה, או הרבה... הוספה היא מעצבנת.) במקרה זה, הנוסחה חוסכת.

נוסחת הסכום פשוטה:

בואו להבין איזה סוג של אותיות כלולות בנוסחה. זה יבהיר הרבה.

S n הוא סכום של התקדמות אריתמטית. תוצאת הוספה את כלחברים, עם ראשוןעל ידי אחרון.זה חשוב. תחבר בדיוק את כלחברים בשורה, ללא פערים וקפיצות. ובדיוק, החל מ ראשון.בבעיות כמו מציאת סכום האיברים השלישי והשמיני, או סכום האיברים חמש עד עשרים, יישום ישיר של הנוסחה יהיה מאכזב.)

א 1 - ראשוןחבר בהתקדמות. הכל ברור כאן, זה פשוט ראשוןמספר שורה.

א n- אחרוןחבר בהתקדמות. המספר האחרון בשורה. לא שם מאוד מוכר, אבל, כשמיושם על הכמות, הוא מתאים מאוד. ואז תראה בעצמך.

נ הוא המספר של החבר האחרון. חשוב להבין שבנוסחה מספר זה עולה בקנה אחד עם מספר החברים שנוספו.

בואו נגדיר את המושג אחרוןחבר א n. שאלה מילוי: איזה סוג של חבר יהיה אחרון,אם ניתן אינסופיהתקדמות אריתמטית?

לקבלת תשובה בטוחה, עליך להבין את המשמעות היסודית של התקדמות אריתמטית ו... לקרוא את המשימה בעיון!)

במשימה של מציאת סכום התקדמות אריתמטית, תמיד מופיע האיבר האחרון (במישרין או בעקיפין), שאמור להיות מוגבל.אחרת, כמות סופית וספציפית פשוט לא קיים.לפתרון, זה לא משנה איזה סוג של התקדמות ניתן: סופית או אינסופית. זה לא משנה איך זה ניתן: על ידי סדרה של מספרים, או על ידי הנוסחה של האיבר ה-n.

הדבר החשוב ביותר הוא להבין שהנוסחה פועלת מהאיבר הראשון של ההתקדמות למונח עם המספר נ.למעשה, השם המלא של הנוסחה נראה כך: הסכום של n האיברים הראשונים של התקדמות אריתמטית.מספר החברים הראשונים הללו, כלומר. נ, נקבע אך ורק על ידי המשימה. במשימה, כל המידע היקר הזה מוצפן לעתים קרובות, כן... אבל כלום, בדוגמאות שלהלן נחשוף את הסודות הללו.)

דוגמאות למשימות לסכום של התקדמות אריתמטית.

ראשית כל, מידע מועיל:

הקושי העיקרי במשימות עבור סכום התקדמות אריתמטית הוא הגדרה נכונהרכיבי נוסחה.

מחברי המטלות מצפינים את האלמנטים האלה בדמיון חסר גבולות.) העיקר כאן הוא לא לפחד. הבנת מהות היסודות, מספיק רק לפענח אותם. בואו נסתכל על כמה דוגמאות בפירוט. נתחיל במשימה המבוססת על GIA אמיתי.

1. ההתקדמות האריתמטית ניתנת על ידי התנאי: a n = 2n-3.5. מצא את סכום 10 האיברים הראשונים.

עבודה טובה. קל.) כדי לקבוע את הכמות לפי הנוסחה, מה אנחנו צריכים לדעת? חבר ראשון א 1, סמסטר אחרון א n, כן מספר הקדנציה האחרונה נ.

היכן ניתן להשיג את מספר החבר האחרון נ? כן, באותו מקום, במצב! כתוב למצוא את הסכום 10 החברים הראשונים.ובכן, איזה מספר זה יהיה אחרון,חבר עשירי?) לא תאמינו, המספר שלו עשירי!) לכן, במקום א nנחליף לנוסחה 10, אבל במקום נ- עשר. שוב, מספר החבר האחרון זהה למספר החברים.

נותר לקבוע א 1ו 10. זה מחושב בקלות על ידי הנוסחה של האיבר ה-n, המופיע בהצהרת הבעיה. לא יודע איך לעשות את זה? בקר בשיעור הקודם, בלי זה - כלום.

א 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

גילינו את המשמעות של כל מרכיבי הנוסחה לסכום של התקדמות אריתמטית. נותר להחליף אותם ולספור:

זה כל מה שיש בזה. תשובה: 75.

משימה נוספת המבוססת על GIA. קצת יותר מסובך:

2. בהינתן התקדמות אריתמטית (a n), שההפרש שלה הוא 3.7; a 1 \u003d 2.3. מצא את הסכום של 15 האיברים הראשונים.

נכתוב מיד את נוסחת הסכום:

נוסחה זו מאפשרת לנו למצוא את הערך של כל איבר לפי מספרו. אנחנו מחפשים תחליף פשוט:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

נותר להחליף את כל האלמנטים בנוסחה בסכום של התקדמות אריתמטית ולחשב את התשובה:

תשובה: 423.

אגב, אם בנוסחת הסכום במקום א nפשוט תחליף את הנוסחה של האיבר ה-n, נקבל:

אנו נותנים דומים, אנו מקבלים נוסחה חדשה עבור סכום האיברים של התקדמות אריתמטית:

כפי שאתה יכול לראות, אין צורך חבר n' א n. במשימות מסוימות, הנוסחה הזו עוזרת מאוד, כן... אתה יכול לזכור את הנוסחה הזו. ואתה יכול פשוט למשוך אותו בזמן הנכון, כמו כאן. אחרי הכל, יש לזכור את הנוסחה של הסכום ואת הנוסחה של האיבר ה-n בכל דרך.)

עכשיו המשימה בצורה של הצפנה קצרה):

3. מצא את הסכום של כל החיובים מספרים דו ספרתיים, כפולות של שלוש.

אֵיך! אין חבר ראשון, אין אחרון, אין התקדמות בכלל... איך לחיות!?

תצטרך לחשוב עם הראש ולשלוף מהתנאי את כל המרכיבים של סכום התקדמות אריתמטית. מה הם מספרים דו ספרתיים - אנחנו יודעים. הם מורכבים משני מספרים.) איזה מספר דו ספרתי יהיה ראשון? 10, ככל הנראה.) דבר אחרוןמספר דו ספרתי? 99, כמובן! התלת ספרות ילכו אחריו...

כפולות של שלוש... הממ... אלו מספרים שמתחלקים שווה בשלוש, כאן! עשר אינו מתחלק בשלוש, 11 אינו מתחלק... 12... מתחלק! אז, משהו מתגלה. אתה כבר יכול לכתוב סדרה לפי מצב הבעיה:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

האם הסדרה הזו תהיה התקדמות אריתמטית? בְּהֶחלֵט! כל מונח שונה מהקודם בשלושה. אם 2, או 4, מתווספים למונח, נניח, התוצאה, כלומר. מספר חדש לא יחולק עוד ב-3. אתה יכול מיד לקבוע את ההפרש של ההתקדמות האריתמטית לערימה: d = 3.מוֹעִיל!)

אז אנחנו יכולים לכתוב בבטחה כמה פרמטרים של התקדמות:

מה יהיה המספר נחבר אחרון? כל מי שחושב ש-99 טועה אנושות... מספרים - הם תמיד הולכים ברצף, והחברים שלנו קופצים מעל שלושת הראשונים. הם לא תואמים.

יש כאן שני פתרונות. דרך אחת היא לחרוצים במיוחד. אתה יכול לצבוע את ההתקדמות, את כל סדרת המספרים, ולספור את מספר האיברים עם האצבע.) הדרך השנייה היא עבור המתחשבים. אתה צריך לזכור את הנוסחה של האיבר ה-n. אם הנוסחה מיושמת על הבעיה שלנו, נקבל ש-99 הוא האיבר השלושים בהתקדמות. הָהֵן. n = 30.

אנו מסתכלים על הנוסחה לסכום של התקדמות אריתמטית:

אנחנו מסתכלים ושמחים.) שלפנו את כל הדרוש לחישוב הסכום ממצב הבעיה:

א 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

מה שנשאר זה חשבון יסודי. החליפו את המספרים בנוסחה וחשבו:

תשובה: 1665

סוג נוסף של פאזלים פופולריים:

4. ניתן התקדמות אריתמטית:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

מצא את סכום האיברים מהעשרים עד השלושים וארבע.

אנחנו מסתכלים על נוסחת הסכום ו...אנחנו מוטרדים.) הנוסחה, להזכירכם, מחשבת את הסכום מההתחלהחבר. ובבעיה צריך לחשב את הסכום מאז העשרים...הנוסחה לא תעבוד.

אפשר כמובן לצבוע את כל ההתקדמות ברצף, ולשים את החברים מ-20 ל-34. אבל... איכשהו זה יוצא מטופש ולאורך זמן, נכון?)

יש פתרון אלגנטי יותר. בואו נחלק את הסדרה שלנו לשני חלקים. החלק הראשון יהיה מהקדנציה הראשונה ועד התשע עשרה.חלק שני - עשרים עד שלושים וארבע.ברור שאם נחשב את סכום האיברים של החלק הראשון ס 1-19, נוסיף אותו לסכום האיברים של החלק השני ש' 20-34, נקבל את סכום ההתקדמות מהמונח הראשון לשלושים וארבעה ס 1-34. ככה:

ס 1-19 + ש' 20-34 = ס 1-34

זה מראה כי כדי למצוא את הסכום ש' 20-34ניתן לעשות על ידי חיסור פשוט

ש' 20-34 = ס 1-34 - ס 1-19

שני הסכומים בצד ימין נחשבים מההתחלהחבר, כלומר. נוסחת הסכום הסטנדרטית די ישימה עליהם. אנחנו מתחילים?

אנו מחלצים את פרמטרי ההתקדמות מתנאי המשימה:

d = 1.5.

א 1= -21,5.

כדי לחשב את הסכומים של 19 האיברים הראשונים ו-34 האיברים הראשונים, נצטרך את האיברים ה-19 וה-34. אנו סופרים אותם לפי הנוסחה של האיבר ה-n, כמו בבעיה 2:

19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

א 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

דבר לא נותר. הפחת את הסכום של 19 איברים מסכום של 34 איברים:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

תשובה: 262.5

הערה אחת חשובה! יש תכונה שימושית מאוד בפתרון בעיה זו. במקום חישוב ישיר מה שאתה צריך (S 20-34),ספרנו מה, כך נראה, אינו נחוץ - S 1-19.ואז הם קבעו ש' 20-34, לזרוק את המיותר מהתוצאה המלאה. "חטיף עם האוזניים" כזה חוסך לעתים קרובות בחידות מרושעות.)

בשיעור זה בדקנו בעיות שעבורן מספיק להבין את המשמעות של סכום התקדמות אריתמטית. ובכן, אתה צריך לדעת כמה נוסחאות.)

עצות מעשיות:

כאשר פותרים בעיה כלשהי עבור סכום התקדמות אריתמטית, אני ממליץ לכתוב מיד את שתי הנוסחאות העיקריות מהנושא הזה.

נוסחת המונח ה-n:

נוסחאות אלו יגידו לך מיד מה לחפש, באיזה כיוון לחשוב על מנת לפתור את הבעיה. עוזר.

ועכשיו המשימות לפתרון עצמאי.

5. מצא את הסכום של כל המספרים הדו ספרתיים שאינם מתחלקים בשלוש.

מגניב?) הרמז חבוי בהערה לבעיה 4. ובכן, בעיה 3 תעזור.

6. התקדמות אריתמטית ניתנת על ידי התנאי: a 1 =-5.5; a n+1 = a n +0.5. מצא את הסכום של 24 האיברים הראשונים.

יוצא דופן?) זוהי נוסחה חוזרת. תוכל לקרוא על כך בשיעור הקודם. אל תתעלם מהקישור, חידות כאלה נמצאות לעתים קרובות ב-GIA.

7. ואסיה חסכה כסף לחג. עד 4550 רובל! והחלטתי לתת לאדם הכי אהוב (עצמי) כמה ימים של אושר). תחיה יפה בלי למנוע מעצמך כלום. הוצא 500 רובל ביום הראשון, והוציא 50 רובל יותר בכל יום שלאחר מכן מאשר ביום הקודם! עד שיגמר הכסף. כמה ימים של אושר היו לווסיה?

זה קשה?) נוסחה נוספת ממשימה 2 תעזור.

תשובות (בחוסר סדר): 7, 3240, 6.

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. למידה - בעניין!)

אתה יכול להכיר פונקציות ונגזרות.

רבים שמעו על התקדמות אריתמטית, אך לא כולם יודעים היטב מהי. במאמר זה, ניתן את ההגדרה המתאימה, ונבחן גם את השאלה כיצד למצוא את ההבדל של התקדמות אריתמטית, וניתן מספר דוגמאות.

הגדרה מתמטית

אז אם אנחנו מדבריםלגבי התקדמות אריתמטית או אלגברית (מושגים אלו מגדירים את אותו הדבר), זה אומר שיש איזו סדרת מספרים שעומדת בחוק הבא: כל שני מספרים סמוכים בסדרה נבדלים באותו ערך. מבחינה מתמטית, זה כתוב כך:

כאן n פירושו מספר האלמנט a n ברצף, והמספר d הוא ההפרש של ההתקדמות (שמו נובע מהנוסחה המוצגת).

מה המשמעות של לדעת את ההבדל d? כמה רחוקים זה מזה מספרים סמוכים. עם זאת, ידיעת d הוא תנאי הכרחי אך לא מספיק לקביעת (שיקום) ההתקדמות כולה. אתה צריך לדעת עוד מספר אחד, שיכול להיות כל רכיב של הסדרה הנבדקת, למשל, 4, a10, אבל, ככלל, המספר הראשון משמש, כלומר, 1.

נוסחאות לקביעת מרכיבי ההתקדמות

באופן כללי, המידע לעיל כבר מספיק כדי לעבור לפתרון בעיות ספציפיות. עם זאת, לפני שניתן התקדמות אריתמטית, ויהיה צורך למצוא את ההבדל שלה, אנו מציגים כמה נוסחאות שימושיות, ובכך להקל על התהליך הבא של פתרון בעיות.

קל להראות שכל רכיב ברצף עם מספר n ניתן למצוא באופן הבא:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * ד

ואכן, כל אחד יכול לבדוק את הנוסחה הזו באמצעות ספירה פשוטה: אם נחליף את n=1, אז נקבל את היסוד הראשון, אם נחליף את n=2, אז הביטוי נותן את סכום המספר הראשון וההפרש, וכן הלאה.

התנאים של בעיות רבות מורכבים בצורה כזו שעבור זוג מספרים ידוע, שגם המספרים שלו ניתנים ברצף, יש צורך לשחזר את כל סדרת המספרים (מצא את ההפרש והאלמנט הראשון). כעת נפתור בעיה זו באופן כללי.

אז נניח שניתנים לנו שני אלמנטים עם המספרים n ו-m. בעזרת הנוסחה שהתקבלה לעיל, נוכל להרכיב מערכת של שתי משוואות:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * ד

כדי למצוא כמויות לא ידועות, אנו משתמשים בידוע טריק פשוטפתרונות של מערכת כזו: אנו מפחיתים בזוג את החלק השמאלי והימני, בעוד השוויון נשאר בתוקף. יש לנו:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - מ')

לפיכך, חיסלנו אחד לא ידוע (א 1). כעת נוכל לכתוב את הביטוי הסופי לקביעת d:

d = (a n - a m) / (n - m), כאשר n > m

קיבלנו מאוד נוסחה פשוטה: כדי לחשב את ההפרש d בהתאם לתנאי הבעיה, יש צורך לקחת רק את היחס בין ההבדלים של האלמנטים עצמם ואת המספרים הסידוריים שלהם. צריך להתמקד באחד נקודה חשובהתשומת לב: ההבדלים נלקחים בין האיברים "הגבוהים" וה"נמוכים יותר", כלומר, n > m ("גבוהה יותר" פירושו לעמוד רחוק יותר מתחילת הרצף, ערכו המוחלט יכול להיות גדול או קטן יותר מה"צעיר" "אלמנט).

יש להחליף את הביטוי להפרש d של ההתקדמות בכל אחת מהמשוואות בתחילת פתרון הבעיה כדי לקבל את הערך של האיבר הראשון.

בעידן שלנו של פיתוח טכנולוגיית מחשבים, תלמידי בית ספר רבים מנסים למצוא פתרונות למשימות שלהם באינטרנט, כך ששאלות מסוג זה עולות לא פעם: למצוא את ההבדל בהתקדמות אריתמטית באינטרנט. עם בקשה כזו, מנוע החיפוש יציג מספר דפי אינטרנט, שעל ידי מעבר אליהם תצטרכו להזין את הנתונים הידועים מהתנאי (זה יכול להיות שני איברים של ההתקדמות, או סכום של חלק מהם ) ומיד לקבל תשובה. אף על פי כן, גישה כזו לפתרון הבעיה אינה פרודוקטיבית מבחינת התפתחות התלמיד והבנת מהות המשימה שהוטלה עליו.

פתרון ללא שימוש בנוסחאות

בואו נפתור את הבעיה הראשונה, בעוד שלא נשתמש באף אחת מהנוסחאות לעיל. תנו למרכיבי הסדרה להיות ניתנים: a6 = 3, a9 = 18. מצאו את ההבדל של ההתקדמות האריתמטית.

אלמנטים ידועים קרובים זה לזה בשורה. כמה פעמים יש להוסיף את ההפרש d לקטן ביותר כדי לקבל את ההפרש הגדול ביותר? שלוש פעמים (בפעם הראשונה בהוספת d, נקבל את האלמנט השביעי, בפעם השנייה - השמינית, לבסוף, בפעם השלישית - התשיעית). איזה מספר יש להוסיף לשלוש שלוש פעמים כדי לקבל 18? זה המספר חמש. בֶּאֱמֶת:

לפיכך, ההבדל הלא ידוע הוא d = 5.

כמובן שניתן היה לעשות את הפתרון באמצעות הנוסחה המתאימה, אך הדבר לא נעשה בכוונה. הסבר מפורט על הפתרון לבעיה צריך להיות ברור ומובן. דוגמה מובהקתמהי התקדמות אריתמטית.

משימה דומה לקודמתה

כעת נפתור בעיה דומה, אך נשנה את נתוני הקלט. אז אתה צריך למצוא אם a3 = 2, a9 = 19.

כמובן, אתה יכול לפנות שוב לשיטת הפתרון "על המצח". אבל מכיוון שהמרכיבים של הסדרה נתונים, שהם רחוקים יחסית זה מזה, שיטה כזו הופכת להיות לא נוחה במיוחד. אבל השימוש בנוסחה המתקבלת יוביל אותנו במהירות לתשובה:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2.83

כאן עיגלנו את המספר הסופי. עד כמה עיגול זה הוביל לטעות ניתן לשפוט על ידי בדיקת התוצאה:

a 9 \u003d a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 \u003d 18.98

תוצאה זו שונה ב-0.1% בלבד מהערך שניתן בתנאי. לכן, עיגול לאיתות בשימוש יכול להיחשב כבחירה טובה.

משימות ליישום הנוסחה עבור חבר

הבה נבחן דוגמה קלאסית לבעיה בקביעת ה-d הלא ידוע: מצא את ההפרש של ההתקדמות האריתמטית אם a1 = 12, a5 = 40.

כאשר ניתנים שני מספרים של רצף אלגברי לא ידוע, ואחד מהם הוא האלמנט a 1 , אז אתה לא צריך לחשוב הרבה, אבל אתה צריך מיד ליישם את הנוסחה לאיבר a n. במקרה זה יש לנו:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

קיבלנו את המספר המדויק בחלוקה, ולכן אין טעם לבדוק את דיוק התוצאה המחושבת, כפי שנעשה בפסקה הקודמת.

בוא נפתור עוד בעיה דומה: עלינו למצוא את ההפרש של ההתקדמות האריתמטית אם a1 = 16, a8 = 37.

אנו משתמשים בגישה דומה לזו הקודמת ומקבלים:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

מה עוד כדאי לדעת על התקדמות אריתמטית

בנוסף לבעיות של מציאת הבדל לא ידוע או אלמנטים בודדים, לעתים קרובות יש צורך לפתור בעיות של סכום האיברים הראשונים של רצף. ההתייחסות לבעיות אלו היא מעבר לתחום הנושא של המאמר, אולם, לשם שלמות המידע, אנו מציגים נוסחה כללית לסכום של n מספרים של הסדרה:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

התקדמות אריתמטיתשם רצף של מספרים (איברים של התקדמות)

שבו כל מונח עוקב שונה מהקודם במונח פלדה, הנקרא גם הבדל שלב או התקדמות.

לפיכך, על ידי הגדרת שלב ההתקדמות והמונח הראשון שלו, אתה יכול למצוא כל אחד מהאלמנטים שלו באמצעות הנוסחה

מאפיינים של התקדמות אריתמטית

1) כל איבר בהתקדמות האריתמטית, החל מהמספר השני, הוא הממוצע האריתמטי של האיבר הקודם והבא של ההתקדמות

גם ההיפך נכון. אם הממוצע האריתמטי של איברים אי זוגיים (זוגיים) שכנים של ההתקדמות שווה לאיבר שעומד ביניהם, אז רצף המספרים הזה הוא התקדמות אריתמטית. על ידי קביעה זו קל מאוד לבדוק כל רצף.

גם לפי התכונה של התקדמות אריתמטית, ניתן להכליל את הנוסחה לעיל לדברים הבאים

קל לאמת זאת אם נכתוב את התנאים מימין לסימן השוויון

הוא משמש לעתים קרובות בפועל כדי לפשט חישובים בבעיות.

2) סכום n האיברים הראשונים של התקדמות אריתמטית מחושב על ידי הנוסחה

זכור היטב את הנוסחה של סכום התקדמות אריתמטית, היא הכרחית בחישובים והיא נפוצה למדי במצבי חיים פשוטים.

3) אם אתה צריך למצוא לא את כל הסכום, אלא חלק מהרצף שמתחיל מהאיבר ה-k שלו, אזי נוסחת הסכום הבאה תועיל לך

4) יש עניין מעשי למצוא את הסכום של n איברים של התקדמות אריתמטית החל מהמספר kth. לשם כך, השתמש בנוסחה

כאן מסתיים החומר התיאורטי ואנו עוברים לפתרון בעיות שכיחות בפועל.

דוגמה 1. מצא את האיבר הארבעים של ההתקדמות האריתמטית 4;7;...

פִּתָרוֹן:

לפי התנאי, יש לנו

הגדר את שלב ההתקדמות

על ידי נוסחה ידועהלמצוא את האיבר הארבעים של ההתקדמות

דוגמה2. ההתקדמות האריתמטית ניתנת על ידי האיברים השלישי והשביעי שלה. מצא את האיבר הראשון של ההתקדמות ואת הסכום של עשר.

פִּתָרוֹן:

אנו כותבים את המרכיבים הנתונים של ההתקדמות לפי הנוסחאות

נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה, כתוצאה מכך נמצא את שלב ההתקדמות

הערך שנמצא מוחלף בכל אחת מהמשוואות כדי למצוא את האיבר הראשון של ההתקדמות האריתמטית

חשב את סכום עשרת האיברים הראשונים של ההתקדמות

מבלי ליישם חישובים מורכבים, מצאנו את כל הערכים הנדרשים.

דוגמה 3. התקדמות אריתמטית ניתנת על ידי המכנה ואחד מאיבריו. מצא את האיבר הראשון של ההתקדמות, את סכום 50 האיברים שלו החל מ-50, ואת סכום ה-100 הראשונים.

פִּתָרוֹן:

בוא נכתוב את הנוסחה למרכיב המאה של ההתקדמות

ולמצוא את הראשון

בהתבסס על הראשון, אנו מוצאים את המונח ה-50 של ההתקדמות

מציאת סכום החלק של ההתקדמות

וסכום ה-100 הראשונים

סכום ההתקדמות הוא 250.

דוגמה 4

מצא את מספר האיברים של התקדמות אריתמטית אם:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

פִּתָרוֹן:

אנו כותבים את המשוואות במונחים של האיבר הראשון ושלב ההתקדמות ומגדירים אותם

אנו מחליפים את הערכים המתקבלים בנוסחת הסכום כדי לקבוע את מספר האיברים בסכום

עושים הפשטות

ולפתור את המשוואה הריבועית

מבין שני הערכים שנמצאו, רק המספר 8 מתאים למצב הבעיה. לפיכך הסכום של שמונת האיברים הראשונים של ההתקדמות הוא 111.

דוגמה 5

פתור את המשוואה

1+3+5+...+x=307.

פתרון: משוואה זו היא סכום התקדמות אריתמטית. אנו כותבים את המונח הראשון שלו ומוצאים את ההבדל של ההתקדמות