בניית מטריצה ​​הפוכה של מטריצה ​​הפוכה. מתמטיקה גבוהה יותר

הנושא הזה הוא אחד השנואים ביותר בקרב תלמידים. גרוע מכך, כנראה, רק גורמים קובעים.

החוכמה היא שעצם המושג של האלמנט ההפוך (ואני לא מדבר רק על מטריצות עכשיו) מפנה אותנו לפעולת הכפל. אפילו ב מערכת של ביהסהכפל נחשב פעולה מסובכת, וכפל המטריצות הוא בדרך כלל נושא נפרד, שאליו יש לי פסקה שלמה וסרטון הדרכה המוקדש לו.

היום לא ניכנס לפרטים של חישובי מטריצה. רק זכרו: כיצד מסומנות מטריצות, כיצד הן מוכפלות ומה נובע מכך.

סקירה: כפל מטריקס

קודם כל, בואו נסכים על סימון. מטריצה ​​$A$ בגודל $\left[ m\times n \right]$ היא פשוט טבלה של מספרים עם בדיוק $m$ שורות ועמודות $n$:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( א)_(21)) & ((א)_(22)) & ... & ((א)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]

כדי לא לבלבל בטעות בין שורות ועמודות במקומות (תאמינו לי, בבחינה אפשר לבלבל אחד עם צמד - מה אפשר לומר על כמה שורות שם), פשוט תסתכל על התמונה:

קביעת אינדקסים לתאי מטריקס

מה קורה? אם נמקם את מערכת הקואורדינטות הסטנדרטית $OXY$ בפינה השמאלית העליונה ונכוון את הצירים כך שיכסו את כל המטריצה, אז כל תא של המטריצה ​​הזו יכול להיות משויך באופן ייחודי לקואורדינטות $\left(x;y \right) $ - זה יהיה מספר השורה ומספר העמודה.

מדוע מערכת הקואורדינטות ממוקמת בדיוק בפינה השמאלית העליונה? כן, כי משם אנחנו מתחילים לקרוא כל טקסט. קל מאוד לזכור.

מדוע ציר $x$ פונה למטה ולא ימינה? שוב, זה פשוט: קחו את מערכת הקואורדינטות הסטנדרטית (הציר $x$ הולך ימינה, ציר $y$ עולה) וסובבו אותה כך שהיא תוחם את המטריצה. זהו סיבוב של 90 מעלות עם כיוון השעון - אנו רואים את התוצאה שלו בתמונה.

באופן כללי, הבנו כיצד לקבוע את המדדים של מרכיבי המטריצה. כעת נעסוק בכפל.

הַגדָרָה. המטריצות $A=\left[ m\times n \right]$ ו-$B=\left[ n\times k \right]$, כאשר מספר העמודות בראשון תואם למספר השורות בשנייה, הן נקרא עקבי.

זה בסדר הזה. אפשר להיות מעורפל ולומר שהמטריצות $A$ ו-$B$ יוצרות זוג מסודר $\left(A;B \right)$: אם הן עקביות בסדר הזה, אז אין צורך בכלל ש-$B $ ו-$A$, אלה. גם הזוג $\left(B;A \right)$ עקבי.

ניתן להכפיל רק מטריצות עקביות.

הַגדָרָה. המכפלה של מטריצות עקביות $A=\left[ m\times n \right]$ ו-$B=\left[ n\times k \right]$ היא המטריצה ​​החדשה $C=\left[ m\times k \right ]$ , שהאלמנטים שלו $((c)_(ij))$ מחושבים על ידי הנוסחה:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

במילים אחרות: כדי לקבל את האלמנט $((c)_(ij))$ של המטריצה ​​$C=A\cdot B$, עליך לקחת את השורה $i$ של המטריצה ​​הראשונה, את $j$ -העמודה של המטריצה ​​השנייה, ולאחר מכן הכפל בזוגות אלמנטים מהשורה והעמודה הזו. תחבר את התוצאות.

כן, זו הגדרה קשה. מספר עובדות נובעות ממנו מיד:

1. כפל מטריצה ​​הוא, באופן כללי, לא קומוטטיבי: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. עם זאת, הכפל הוא אסוציאטיבי: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. ואפילו חלוקתי: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. ושוב מפצה: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

את ההתפלגות של הכפל היה צריך לתאר בנפרד עבור סכום הכפל השמאלי והימני רק בגלל אי-הקומוטטיביות של פעולת הכפל.

אם בכל זאת מתברר ש$A\cdot B=B\cdot A$, מטריצות כאלה נקראות ניתנות לשינוי.

בין כל המטריצות שמוכפלות שם במשהו, יש מיוחדות - כאלו שכאשר מכפילים אותן בכל מטריצה ​​$A$, שוב נותנות $A$:

הַגדָרָה. מטריצה ​​$E$ נקראת זהות אם $A\cdot E=A$ או $E\cdot A=A$. במקרה מטריצה ​​מרובעת$A$ אנחנו יכולים לכתוב:

מטריצת הזהות היא אורח תדיר בפתרון משוואות מטריקס. ובכלל, אורח תדיר בעולם המטריצות. :)

ובגלל $E$ זה, מישהו מצא את כל המשחק שייכתב בהמשך.

מהי מטריצה ​​הפוכה

מכיוון שכפל מטריצה ​​היא פעולה שגוזלת זמן רב (צריך להכפיל חבורה של שורות ועמודות), אז הרעיון מטריצה ​​הפוכהמתברר גם כלא טריוויאלי ביותר. וזה צריך קצת הסבר.

הגדרת מפתח

ובכן, הגיע הזמן לדעת את האמת.

הַגדָרָה. המטריצה ​​$B$ נקראת ההיפוך של המטריצה ​​$A$ if

המטריצה ​​ההפוכה מסומנת ב-$((A)^(-1))$ (לא להתבלבל עם התואר!), כך שניתן לשכתב את ההגדרה כך:

נראה שהכל פשוט וברור ביותר. אך כאשר מנתחים הגדרה כזו, עולות מיד מספר שאלות:

1. האם תמיד קיימת מטריצה ​​הפוכה? ואם לא תמיד, אז איך לקבוע: מתי זה קיים ומתי לא?
2. ומי אמר שמטריצה ​​כזו היא בדיוק אחת? מה אם עבור איזו מטריצה ​​מקורית $A$ יש המון שלם של הפוך?
3. איך נראים כל ה"הפוכים" האלה? ואיך בעצם סופרים אותם?

לגבי אלגוריתמי החישוב - נדבר על זה קצת מאוחר יותר. אבל אנחנו נענה על שאר השאלות כבר עכשיו. הבה נסדר אותם בצורה של קביעות-למות נפרדות.

מאפיינים בסיסיים

נתחיל עם איך המטריצה ​​$A$ צריכה להיראות כדי שיהיה לה $((A)^(-1))$. כעת נוודא ששתי המטריצות הללו חייבות להיות מרובעות, ובאותו גודל: $\left[ n\times n \right]$.

למה 1. נתון מטריצה ​​$A$ והיפוך שלה $((A)^(-1))$. אז שתי המטריצות הללו הן מרובעות ובעלות אותו סדר $n$.

הוכחה. הכל פשוט. תן למטריצה ​​$A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. מכיוון שהמוצר $A\cdot ((A)^(-1))=E$ קיים בהגדרה, המטריצות $A$ ו-$((A)^(-1))$ עקביות בסדר הזה:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( יישר)\]

זוהי תוצאה ישירה של אלגוריתם הכפל המטריצה: המקדמים $n$ ו-$a$ הם "טרנזיט" וחייבים להיות שווים.

במקביל, גם הכפל ההפוך מוגדר: $((A)^(-1))\cdot A=E$, כך שהמטריצות $((A)^(-1))$ ו-$A$ הן עקבי גם בסדר הזה:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( יישר)\]

לפיכך, ללא אובדן כלליות, אנו יכולים להניח ש$A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. עם זאת, לפי ההגדרה של $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, כך שהמידות של המטריצות זהות לחלוטין:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

אז מסתבר שכל שלושת המטריצות - $A$, $((A)^(-1))$ ו-$E$ - הן בגודל של $\left[ n\times n \right]$. הלמה מוכחת.

טוב, זה כבר טוב. אנו רואים שרק מטריצות מרובעות ניתנות להפיכה. עכשיו בואו נוודא שהמטריקס ההפוכה תמיד זהה.

למה 2. נתון מטריצה ​​$A$ והיפוך שלה $((A)^(-1))$. אז המטריצה ​​ההפוכה הזו היא ייחודית.

הוכחה. נתחיל מההפך: תנו למטריצה ​​$A$ להיות לפחות שני מקרים של הפוך - $B$ ו-$C$. אז, על פי ההגדרה, השוויון הבא נכונים:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

מלמה 1 אנו מסיקים שכל ארבע המטריצות $A$, $B$, $C$ ו-$E$ הן ריבוע באותו סדר: $\left[ n\times n \right]$. לכן, המוצר מוגדר:

מכיוון שכפל מטריצה ​​הוא אסוציאטיבי (אך לא קומוטטיבי!), אנו יכולים לכתוב:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(align)\]

התקבל בלבד גרסה אפשרית: שני מופעים של המטריצה ​​ההפוכה שווים. הלמה מוכחת.

ההנמקה לעיל חוזרת כמעט מילה במילה על ההוכחה לייחודיות של האלמנט ההפוך עבור כל המספרים הממשיים $b\ne 0$. התוספת המשמעותית היחידה היא לקחת בחשבון את מימד המטריצות.

עם זאת, אנחנו עדיין לא יודעים כלום אם מטריצה ​​מרובעת כלשהי היא הניתנת להפיכה. כאן בא לעזרתנו הקובע - זהו מאפיין מרכזי לכל המטריצות המרובעות.

למה 3. נתון מטריצה ​​$A$. אם המטריצה ​​$((A)^(-1))$ הפוכה אליה קיימת, אזי הקובע של המטריצה ​​המקורית אינו אפס:

\[\left| \right|\ne 0\]

הוכחה. אנחנו כבר יודעים ש$A$ ו-$((A)^(-1))$ הם מטריצות מרובעות בגודל $\left[ n\times n \right]$. לכן, עבור כל אחד מהם ניתן לחשב את הקובע: $\left| A \right|$ ו-$\left| ((A)^(-1)) \right|$. עם זאת, הקובע של המכפלה שווה למכפלת הקובעים:

\[\left| A\cdot B \right|=\left| \right|\cdot \left| B \right|\rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]

אבל לפי ההגדרה של $A\cdot ((A)^(-1))=E$, והקביעה של $E$ תמיד שווה ל-1, אז

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \left| \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

המכפלה של שני מספרים שווה לאחד רק אם כל אחד מהמספרים הללו שונה מאפס:

\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

אז מסתבר ש$\left| \right|\ne 0$. הלמה מוכחת.

למעשה, דרישה זו הגיונית למדי. כעת ננתח את האלגוריתם למציאת המטריצה ​​ההפוכה - ויתברר לחלוטין מדוע, באופן עקרוני, אין מטריצה ​​הפוכה יכולה להתקיים עם דטרמיננט אפס.

אבל ראשית, בואו ננסח הגדרה של "עזר":

הַגדָרָה. מטריצה ​​מנוונת היא מטריצה ​​מרובעת בגודל $\left[ n\times n \right]$ שהקביעה שלה היא אפס.

לפיכך, אנו יכולים לטעון שכל מטריצה ​​הפיכה אינה מנוונת.

כיצד למצוא את המטריצה ​​ההפוכה

כעת נשקול אלגוריתם אוניברסלי למציאת מטריצות הפוכות. באופן כללי, ישנם שני אלגוריתמים מקובלים, וגם את השני נשקול היום.

זה שייחשב כעת יעיל מאוד עבור מטריצות בגודל $\left[ 2\times 2 \right]$ ו- בחלקו - בגודל $\left[ 3\times 3 \right]$. אבל החל מהגודל $\left[ 4\times 4 \right]$ עדיף לא להשתמש בו. למה - עכשיו תבין הכל.

תוספות אלגבריות

להתכונן. עכשיו יהיה כאב. לא, אל דאגה: אחות יפה בחצאית, גרביים עם תחרה לא מגיעות אליך ולא יתנו לך זריקה בישבן. הכל הרבה יותר פרוזאי: תוספות אלגבריות והוד מלכותה "מטריקס האיחוד" מגיעים אליכם.

נתחיל מהעיקרי. תהיה מטריצה ​​מרובעת בגודל $A=\left[ n\times n \right]$ שהאלמנטים שלה נקראים $((a)_(ij))$. לאחר מכן, עבור כל אלמנט כזה, אפשר להגדיר משלים אלגברי:

הַגדָרָה. השלמה אלגברית $((A)_(ij))$ לאלמנט $((a)_(ij))$ בשורה $i$-th ובעמודה $j$-th של המטריצה ​​$A=\left [ n \times n \right]$ הוא בנייה של הצורה

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

כאשר $M_(ij)^(*)$ הוא הקובע של המטריצה ​​המתקבלת מה-$A$ המקורי על ידי מחיקת אותה שורה $i$-th ועמודה $j$-th.

שוב. המשלים האלגברי לאלמנט המטריצה ​​עם הקואורדינטות $\left(i;j \right)$ מסומן כ-$((A)_(ij))$ ומחושב לפי הסכימה:

1. ראשית, אנו מוחקים את השורה $i$ ואת העמודה $j$-th מהמטריצה ​​המקורית. נקבל מטריצה ​​מרובעת חדשה, ונסמן את הקובע שלה כ-$M_(ij)^(*)$.
2. לאחר מכן נכפיל את הקובע הזה ב-$((\left(-1 \right))^(i+j))$ - בהתחלה הביטוי הזה אולי נראה מעורר מחשבה, אבל למעשה אנחנו רק מגלים את הסימן שלפני $ M_(ij)^(*) $.
3. אנחנו סופרים - אנחנו מקבלים מספר מסוים. הָהֵן. התוספת האלגברית היא רק מספר, לא איזו מטריצה ​​חדשה, וכן הלאה.

המטריצה ​​$M_(ij)^(*)$ עצמה נקראת המינור המשלים לאלמנט $((a)_(ij))$. ובמובן זה, ההגדרה הנ"ל של משלים אלגברי היא מקרה מיוחד של הגדרה מורכבת יותר - זו שחשבנו עליה בשיעור על הקובע.

הערה חשובה. למעשה, במתמטיקה "למבוגרים", תוספות אלגבריות מוגדרות כך:

1. אנחנו לוקחים $k$ שורות ו$k$ עמודות במטריצה ​​מרובעת. בצומת שלהם, נקבל מטריצה ​​בגודל $\left[ k\times k \right]$ - הקובע שלה נקרא מינור בסדר $k$ ומסומן ב-$((M)_(k))$.
2. לאחר מכן נחצה את שורות $k$ ה"נבחרות" ואת העמודות $k$. שוב, נקבל מטריצה ​​מרובעת - הקובע שלה נקרא מינור משלים ומסומן ב-$M_(k)^(*)$.
3. הכפל $M_(k)^(*)$ ב-$((\left(-1 \right))^(t))$, כאשר $t$ הוא (שים לב עכשיו!) סכום המספרים של כל השורות שנבחרו ועמודים . זו תהיה התוספת האלגברית.

תסתכל על השלב השלישי: יש למעשה סכום של $2k$ מונחים! דבר נוסף הוא שעבור $k=1$ נקבל רק 2 איברים - אלה יהיו אותם $i+j$ - ה"קואורדינטות" של האלמנט $((a)_(ij))$, שעבורו אנחנו נמצאים מחפש משלים אלגברי.

אז היום אנחנו משתמשים בהגדרה מעט פשוטה. אבל כפי שנראה בהמשך, זה יהיה די והותר. הרבה יותר חשוב הוא הדברים הבאים:

הַגדָרָה. מטריצת האיחוד $S$ למטריצה ​​הריבועית $A=\left[ n\times n \right]$ היא מטריצה ​​חדשה בגודל $\left[ n\times n \right]$, המתקבלת מ-$A$ על ידי החלפת $(( a)_(ij))$ בהשלמות אלגבריות $((A)_(ij))$:

\\rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(מטריקס) \right]\]

המחשבה הראשונה שעולה ברגע מימוש ההגדרה הזו היא "זה כמה אתה צריך לספור בסך הכל!" תירגע: אתה צריך לספור, אבל לא כל כך. :)

ובכן, כל זה נחמד מאוד, אבל למה זה נחוץ? אבל למה.

משפט ראשי

בוא נחזור קצת אחורה. זכור, למה 3 קבעה שמטריצה ​​הניתנת להפיכה $A$ היא תמיד לא יחידה (כלומר, הקובע שלה אינו אפס: $\left| A \right|\ne 0$).

אז, ההיפך הוא גם נכון: אם המטריצה ​​$A$ אינה מנוונת, אז היא תמיד ניתנת להפיכה. ויש אפילו סכימת חיפוש $((A)^(-1))$. תבדוק את זה:

משפט המטריצה ​​ההפוכה. נותנים מטריצה ​​מרובעת $A=\left[ n\times n \right]$, והקובע שלה אינו אפס: $\left| \right|\ne 0$. אז המטריצה ​​ההפוכה $((A)^(-1))$ קיימת ומחושבת על ידי הנוסחה:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

ועכשיו - בכל זאת, אבל בכתב יד קריא. כדי למצוא את המטריצה ​​ההפוכה, אתה צריך:

1. חשב את הקובע $\left| A \right|$ וודא שהוא לא אפס.
2. הרכיב את מטריצת האיחוד $S$, כלומר. ספור 100500 תוספות אלגבריות $((A)_(ij))$ והצב אותן במקום $((a)_(ij))$.
3. העבר את המטריצה ​​הזו $S$ ולאחר מכן הכפל אותו במספר כלשהו $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

וזה הכל! נמצאה המטריצה ​​ההפוכה $((A)^(-1))$. בואו נסתכל על דוגמאות:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

פִּתָרוֹן. בוא נבדוק את ההפיכות. בוא נחשב את הקובע:

\[\left| A \right|=\left| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

הקובע שונה מאפס. אז המטריצה ​​ניתנת להפיכה. בואו ניצור מטריצת איחוד:

בוא נחשב את התוספות האלגבריות:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\ימין|=3. \\ \end(align)\]

שימו לב: קובעים |2|, |5|, |1| ו |3| הם הקובעים של מטריצות בגודל $\left[ 1\x 1 \right]$, לא מודולים. הָהֵן. אם היו מספרים שליליים בקובעים, אין צורך להסיר את ה"מינוס".

בסך הכל, מטריצת האיחוד שלנו נראית כך:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (מערך)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(מערך) \right]\]

בסדר הכל נגמר עכשיו. הבעיה נפתרה.

תשובה. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

מְשִׁימָה. מצא את המטריצה ​​ההפוכה:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

פִּתָרוֹן. שוב, אנו רואים את הקובע:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix) ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

הקובע שונה מאפס - המטריצה ​​ניתנת להפיכה. אבל עכשיו זה יהיה הכי פח: אתה צריך לספור עד 9 (תשע, לעזאזל!) תוספות אלגבריות. וכל אחד מהם יכיל את הסמכה $\left[ 2\times 2 \right]$. טס:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(מטריקס)\]

בקיצור, מטריצת האיחוד תיראה כך:

לכן, המטריצה ​​ההפוכה תהיה:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(מערך) \right]\]

טוב זה הכל. הנה התשובה.

תשובה. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

כפי שניתן לראות, בסוף כל דוגמה, ביצענו בדיקה. בהקשר זה, הערה חשובה:

אל תתעצלו לבדוק. הכפל את המטריצה ​​המקורית בהיפוך שנמצא - אתה אמור לקבל $E$.

הרבה יותר קל ומהיר לבצע בדיקה זו מאשר לחפש שגיאה בחישובים נוספים, כאשר, למשל, פותרים משוואת מטריצה.

דרך חלופית

כפי שאמרתי, משפט המטריצה ​​ההפוכה עובד מצוין עבור הגדלים $\left[ 2\times 2 \right]$ ו-$\left[ 3\times 3 \right]$ (במקרה האחרון, זה לא כל כך "יפה" יותר). ”), אלא למטריצות מידות גדולותעצב מתחיל.

אבל אל דאגה: יש אלגוריתם חלופי שניתן להשתמש בו כדי למצוא בנחת את היפוך גם עבור המטריצה ​​$\left[ 10\times 10 \right]$. אבל, כפי שקורה לעתים קרובות, כדי לשקול את האלגוריתם הזה, אנחנו צריכים רקע תיאורטי קטן.

טרנספורמציות אלמנטריות

בין התמורות השונות של המטריצה, יש כמה מיוחדים - הם נקראים יסודיים. יש בדיוק שלוש טרנספורמציות כאלה:

1. כֶּפֶל. אתה יכול לקחת את השורה $i$-th (עמודה) ולהכפיל אותה בכל מספר $k\ne 0$;
2. חיבור. הוסף לשורה (עמודה) $i$-th כל שורה אחרת $j$-th (עמודה) כפול כל מספר $k\ne 0$ (כמובן, אפשר גם $k=0$, אבל מה הטעם של זה? אבל שום דבר לא ישתנה).
3. תְמוּרָה. קח את השורות (עמודות) $i$-th ו-$j$-th והחלף אותן.

מדוע הטרנספורמציות הללו נקראות אלמנטריות (עבור מטריצות גדולות הן לא נראות כל כך אלמנטריות) ומדוע יש רק שלוש מהן - השאלות הללו הן מעבר להיקף השיעור של היום. לכן לא ניכנס לפרטים.

דבר נוסף חשוב: עלינו לבצע את כל ההסטות הללו על המטריצה ​​המשויכת. כן, כן, שמעתם נכון. עכשיו תהיה עוד הגדרה אחת - האחרונה בשיעור של היום.

מטריקס מצורפת

בטח בבית הספר פתרת מערכות משוואות בשיטת החיבור. ובכן, הנה, תחסיר עוד אחד משורה אחת, תכפיל שורה כלשהי במספר - זה הכל.

אז: עכשיו הכל יהיה אותו דבר, אבל כבר "בצורה בוגרת". מוּכָן?

הַגדָרָה. תן למטריצה ​​$A=\left[ n\times n \right]$ ו מטריצת זהות$E$ זהה לגודל של $n$. לאחר מכן המטריצה ​​המשויכת $\left[ A\left| נכון. \right]$ הוא מטריצת $\left[ n\times 2n \right]$ חדשה שנראית כך:

\[\left[ A\left| נכון. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((א)_(21)) & ((א)_(22)) & ... & ((א)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(מערך) \right]\]

בקיצור, אנחנו לוקחים את המטריצה ​​$A$, בצד ימין אנחנו מקצים לה את מטריצת הזהות $E$ גודל נכון, אנו מפרידים אותם עם קו אנכי ליופי - הנה המצורף בשבילך. :)

מה המלכוד? והנה מה:

מִשׁפָּט. תן למטריצה ​​$A$ להיות הפיכה. שקול את המטריצה ​​הצמודה $\left[ A\left| נכון. \right]$. אם משתמשים טרנספורמציות יסודיותשורותהביאו אותו לצורה $\left[ E\left| בָּהִיר. \right]$, כלומר. על ידי הכפלה, חיסור וסידור מחדש של שורות כדי לקבל מ-$A$ את המטריצה ​​$E$ מימין, ואז המטריצה ​​$B$ המתקבלת משמאל היא ההיפוך של $A$:

\[\left[ A\left| נכון. \right]\to \left[ E\left| בָּהִיר. \right]\rightarrow B=((A)^(-1))\]

זה כזה פשוט! בקיצור, האלגוריתם למציאת המטריצה ​​ההפוכה נראה כך:

1. כתוב את המטריצה ​​המשויכת $\left[ A\left| נכון. \right]$;
2. בצע המרות מחרוזות יסודיות עד שמופיע הימין במקום $A$ $E$;
3. כמובן שיופיע גם משהו בצד שמאל - מטריצה ​​מסוימת $B$. זה יהיה הפוך;
4. רווחים! :)

כמובן, הרבה יותר קל לומר מאשר לעשות. אז בואו נסתכל על כמה דוגמאות: עבור הגדלים $\left[ 3\times 3 \right]$ ו-$\left[ 4\times 4 \right]$.

מְשִׁימָה. מצא את המטריצה ​​ההפוכה:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

פִּתָרוֹן. אנו מרכיבים את המטריצה ​​המצורפת:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 ו-1 \\\end(מערך) \right]\]

מכיוון שהעמודה האחרונה של המטריצה ​​המקורית מלאה באחדים, החסר את השורה הראשונה מהשאר:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(מערך) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(מערך) \right] \\ \end(align)\]

אין יותר יחידות, מלבד השורה הראשונה. אבל אנחנו לא נוגעים בזה, אחרת היחידות החדשות שהוסרו יתחילו "להתרבות" בעמודה השלישית.

אבל אנחנו יכולים להחסיר את השורה השנייה פעמיים מהאחרונה - נקבל יחידה בפינה השמאלית התחתונה:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(מערך) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(מערך) \right] \\ \end(align)\]

כעת נוכל להחסיר את השורה האחרונה מהראשונה ופעמיים מהשנייה - בדרך זו "נאפס" את העמודה הראשונה:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(מערך) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ ל-\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(מערך) \right] \\ \end(align)\]

הכפלו את השורה השנייה ב-1 ואז הפחיתו אותה 6 פעמים מהראשונה והוסיפו פעם אחת לאחרת:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(מערך) \right]\begin(מטריקס) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(מטריקס)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(מערך) \right]\begin(מטריקס) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (מטריקס)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(מערך) \right] \\ \end(align)\]

נותר רק להחליף שורות 1 ו-3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(מערך) \right]\]

מוּכָן! מימין נמצאת המטריצה ​​ההפוכה הנדרשת.

תשובה. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

מְשִׁימָה. מצא את המטריצה ​​ההפוכה:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(מטריקס) \right]\]

פִּתָרוֹן. שוב אנו מחברים את המצורף:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(מערך) \right]\]

בואו נלווה קצת, נדאג כמה אנחנו צריכים לספור עכשיו... ונתחיל לספור. מלכתחילה, אנו "מאפסים" את העמודה הראשונה על ידי הפחתת שורה 1 משורות 2 ו-3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(מערך) \right] \\ \end(align)\]

אנו רואים יותר מדי "מינוסים" בשורות 2-4. הכפל את כל שלוש השורות ב-1, ולאחר מכן שרוף את העמודה השלישית על ידי הפחתת שורה 3 מהשאר:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(מערך) \right]\begin(מטריקס) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (מערך) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(מערך) \right] \\ \end(align)\]

עכשיו הגיע הזמן "לטגן" את העמודה האחרונה של המטריצה ​​המקורית: הורידו שורה 4 מהשאר:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(מערך ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(מערך) \right] \\ \end(align)\]

גלגול אחרון: "לשרוף" את העמודה השנייה על ידי הפחתת שורה 2 משורה 1 ו-3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(מערך) \right] \\ \end(align)\]

ושוב, מטריצת הזהות משמאל, אז היפוך מימין. :)

תשובה. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(מטריקס) \right]$

שקול את הבעיה של הגדרת הפעולה ההפוכה לכפל מטריצה.

תן A להיות מטריצה ​​מרובעת בסדר n. מטריצה ​​A^(-1) , שיחד עם מטריצה ​​נתונה A מספקת את השוויון הבא:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

שקוראים לו לַהֲפוֹך. המטריצה ​​A נקראת הָפִיך, אם יש לזה הפוך, אחרת - בלתי הפיך.

מההגדרה עולה שאם קיימת מטריצה ​​הפוכה A^(-1), אז היא ריבועית באותו סדר כמו A . עם זאת, לא לכל מטריצה ​​מרובעת יש הפוך. אם הקובע של מטריצה ​​A שווה לאפס (\det(A)=0), אז אין הפוך עבורו. ואכן, יישום המשפט על הקובע של מכפלת המטריצות עבור מטריצת הזהות E=A^(-1)A, נקבל סתירה

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

שכן הקובע של מטריצת הזהות שווה ל-1. מסתבר שההפרש מאפס של הקובע של המטריצה ​​הריבועית הוא התנאי היחיד לקיומה של מטריצה ​​הפוכה. נזכיר שמטריצה ​​מרובעת שהקביעה שלה שווה לאפס נקראת מנוונת (יחיד), אחרת - לא יחידה (לא יחיד).

משפט 4.1 על קיומה וייחוד המטריצה ​​ההפוכה. מטריצה ​​מרובעת A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), שהקביעה שלו אינה אפס, יש לה מטריצה ​​הפוכה, ויותר מכך, רק אחת:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

כאשר A^(+) היא המטריצה ​​המוטרפת עבור המטריצה ​​המורכבת מההשלמות האלגבריות של מרכיבי המטריצה ​​A .

המטריצה ​​A^(+) נקראת מטריצה ​​מצורפתביחס למטריצה ​​A.

אכן, המטריצה \frac(1)(\det(A))\,A^(+)קיים בתנאי \det(A)\ne0 . עלינו להראות שהוא הפוך ל-A, כלומר. עונה על שני תנאים:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)

בואו נוכיח את השוויון הראשון. לפי סעיף 4 להערות 2.3, עולה מתכונות הקובע כי AA^(+)=\det(A)\cdot E. בגלל זה

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

שהיה אמור להיות מוצג. השוויון השני מוכח באופן דומה. לכן, בתנאי \det(A)\ne0, למטריצה ​​A יש הפוך

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

אנו מוכיחים את הייחודיות של המטריצה ​​ההפוכה על ידי סתירה. תנו מלבד המטריצה ​​A^(-1) קיימת עוד מטריצה ​​הפוכה אחת B\,(B\ne A^(-1)) כך ש-AB=E . מכפילים את שני הצדדים של השוויון הזה משמאל במטריצה ​​A^(-1) , נקבל \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. מכאן B=A^(-1) , הסותרת את ההנחה B\ne A^(-1) . לכן, המטריצה ​​ההפוכה היא ייחודית.

הערות 4.1

1. מההגדרה עולה כי המטריצות A ו-A^(-1) ניתנות לשינוי.

2. המטריצה ​​הפוכה לאלכסון לא מנוון היא גם אלכסונית:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.

3. המטריצה ​​הפוכה למטריצה ​​משולשת תחתונה (עליון) לא מנוונת היא משולשת תחתונה (עליון).

4. למטריצות יסודיות יש הפכים, שגם הם אלמנטריים (ראה פריט 1 בהערות 1.11).

מאפייני מטריקס הפוכים

לפעולת היפוך המטריצה ​​יש את המאפיינים הבאים:

\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1) )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(מיושר)

אם הפעולות המצוינות בשוויון 1-4 הגיוניות.

בואו נוכיח נכס 2: אם למכפלה AB של מטריצות ריבועיות לא יחידות מאותו סדר יש מטריצה ​​הפוכה, אז (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

אכן, הקובע של מכפלת המטריצות AB אינו שווה לאפס, שכן

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), איפה \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

לכן, המטריצה ​​ההפוכה (AB)^(-1) קיימת והיא ייחודית. הבה נראה בהגדרה כי המטריצה ​​B^(-1)A^(-1) הפוכה ביחס למטריצה ​​AB . בֶּאֱמֶת.

מטריצה ​​A -1 נקראת המטריצה ​​ההפוכה ביחס למטריצה ​​A, אם A * A -1 \u003d E, כאשר E היא מטריצת הזהות מהסדר ה-n. המטריצה ​​ההפוכה יכולה להתקיים רק עבור מטריצות מרובעות.

הקצאת שירות. על ידי שימוש ב השירות הזה V מצב מקווןאפשר למצוא משלים אלגבריים, המטריצה ​​המוטרפת A T , מטריצת האיחוד והמטריצה ​​ההפוכה. הפתרון מתבצע ישירות באתר (באינטרנט) והוא בחינם. תוצאות החישוב מוצגות בדוח בפורמט וורד ובפורמט אקסל (כלומר, אפשר לבדוק את הפתרון). ראה דוגמה עיצובית.

הוראה. כדי לקבל פתרון, עליך לציין את מימד המטריצה. לאחר מכן, בתיבת הדו-שיח החדשה, מלא את המטריצה ​​A .

ממד מטריקס 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ראה גם מטריצה ​​הפוכה בשיטת ג'ורדן-גאוס

אלגוריתם למציאת המטריצה ​​ההפוכה

1. מציאת המטריצה ​​המוטרפת A T.
2. הגדרה של תוספות אלגבריות. החלף כל רכיב של המטריצה ​​עם המשלים האלגברי שלו.
3. קומפילציה של מטריצה ​​הפוכה מתוספות אלגבריות: כל רכיב של המטריצה ​​המתקבלת מחולק בדטרמיננטה של ​​המטריצה ​​המקורית. המטריצה ​​המתקבלת היא ההיפוך של המטריצה ​​המקורית.

הַבָּא אלגוריתם מטריצה ​​הפוכהדומה לקודם, למעט כמה שלבים: ראשית, משלימים אלגבריים מחושבים, ולאחר מכן נקבעת מטריצת האיחוד C.

1. קבע אם המטריצה ​​היא מרובעת. אם לא, אז אין מטריצה ​​הפוכה עבורו.
2. חישוב הקובע של המטריצה ​​A. אם הוא לא שווה לאפס, נמשיך את הפתרון, אחרת המטריצה ​​ההפוכה לא קיימת.
3. הגדרה של תוספות אלגבריות.
4. מילוי מטריצת האיחוד (הדדית, צמודה) ג'.
5. קומפילציה של המטריצה ​​ההפוכה מתוספות אלגבריות: כל אלמנט של המטריצה ​​הצמודה C מחולק בדטרמיננטה של ​​המטריצה ​​המקורית. המטריצה ​​המתקבלת היא ההיפוך של המטריצה ​​המקורית.
6. בצע בדיקה: הכפל את המטריצות המקוריות והמטריצות המתקבלות. התוצאה צריכה להיות מטריצת זהות.

דוגמה מס' 1. אנו כותבים את המטריצה ​​בצורה:

תוספות אלגבריות.

A 1.1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1.3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2.1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2.2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2.3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3.1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3.2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3.3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
לאחר מכן מטריצה ​​הפוכהניתן לכתוב כך:

A -1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

אלגוריתם נוסף למציאת המטריצה ​​ההפוכה

אנו מציגים סכמה נוספת למציאת המטריצה ​​ההפוכה.

1. מצא את הקובע של מטריצת הריבוע הנתונה A.
2. אנו מוצאים תוספות אלגבריות לכל האלמנטים של המטריצה ​​A.
3. אנו כותבים את המשלים האלגבריים של מרכיבי השורות לתוך העמודות (טרנספוזיציה).
4. אנו מחלקים כל רכיב של המטריצה ​​המתקבלת בדטרמיננטה של ​​המטריצה ​​A.

כפי שאתה יכול לראות, ניתן ליישם את פעולת הטרנספוזיציה הן בהתחלה, על המטריצה ​​המקורית, ובסוף, על התוספות האלגבריות המתקבלות.

מקרה מיוחד: ההיפוך, ביחס למטריצת הזהות E, הוא מטריצת הזהות E.

תהיה מטריצה ​​מרובעת מהסדר ה-n

מטריצה ​​A -1 נקראת מטריצה ​​הפוכהביחס למטריצה ​​A, אם A * A -1 = E, כאשר E היא מטריצת הזהות של הסדר ה-n.

מטריצת זהות- מטריצה ​​מרובעת כזו, שבה כל האלמנטים נמצאים לאורך האלכסון הראשי, העובר משמאל פינה עליונהבפינה הימנית התחתונה יש אחדים, והשאר הם אפסים, למשל:

מטריצה ​​הפוכהעשוי להתקיים רק למטריצות מרובעותהָהֵן. עבור אותן מטריצות שיש להן אותו מספר של שורות ועמודות.

משפט תנאי קיום מטריצה ​​הפוכה

כדי שלמטריקס תהיה מטריצה ​​הפוכה, יש צורך ומספיק שהיא תהיה לא מנוונת.

המטריצה ​​A = (A1, A2,...A n) נקראת לא מנווןאם וקטורי העמודה הם בלתי תלויים באופן ליניארי. מספר וקטורי העמודות הבלתי תלויים באופן ליניארי של מטריצה ​​נקרא דרגת המטריצה. לכן, ניתן לומר שכדי שתתקיים מטריצה ​​הפוכה, יש צורך ומספיק שדרגת המטריצה ​​תהיה שווה למימד שלה, כלומר. r = n.

אלגוריתם למציאת המטריצה ​​ההפוכה

1. כתוב את המטריצה ​​A בטבלה לפתרון מערכות משוואות בשיטת גאוס ומימין (במקום החלקים הימניים של המשוואות) הקצה לה מטריצה ​​E.
2. באמצעות טרנספורמציות ג'ורדן, הביאו מטריצה ​​A למטריצה ​​המורכבת מעמודות בודדות; במקרה זה, יש צורך להפוך את המטריצה ​​E בו זמנית.
3. במידת הצורך, סדר מחדש את השורות (המשוואות) של הטבלה האחרונה כך שמטריצת הזהות E תתקבל מתחת למטריצה ​​A של הטבלה המקורית.
4. כתוב את המטריצה ​​ההפוכה A -1, שנמצאת בטבלה האחרונה מתחת למטריצה ​​E של הטבלה המקורית.

דוגמה 1

עבור מטריצה ​​A, מצא את המטריצה ​​ההפוכה A -1

פתרון: נרשום את המטריצה ​​A ומצד ימין נקצה את מטריצת הזהות E. באמצעות טרנספורמציות הירדן, נצמצם את המטריצה ​​A למטריצת הזהות E. החישובים מוצגים בטבלה 31.1.

הבה נבדוק את נכונות החישובים על ידי הכפלת המטריצה ​​המקורית A והמטריצה ​​ההפוכה A -1.

כתוצאה מכפל מטריצה, מתקבלת מטריצת הזהות. לכן החישובים נכונים.

תשובה:

פתרון משוואות מטריצה

משוואות מטריקס יכולות להיראות כך:

AX = B, XA = B, AXB = C,

כאשר A, B, C ניתנות למטריצות, X היא המטריצה ​​הרצויה.

משוואות מטריצה ​​נפתרות על ידי הכפלת המשוואה במטריצות הפוכות.

לדוגמה, כדי למצוא את המטריצה ​​מתוך משוואה, עליך להכפיל את המשוואה הזו בצד שמאל.

לכן, כדי למצוא פתרון למשוואה, צריך למצוא את המטריצה ​​ההפוכה ולהכפיל אותה במטריצה ​​בצד ימין של המשוואה.

משוואות אחרות נפתרות באופן דומה.

דוגמה 2

פתרו את המשוואה AX = B if

פִּתָרוֹן: מכיוון שההיפוך של המטריצה ​​שווה (ראה דוגמה 1)

שיטת מטריקס בניתוח כלכלי

יחד עם אחרים, הם גם מוצאים יישום שיטות מטריצות . שיטות אלו מבוססות על אלגברה ליניארית ומטריצה ​​וקטורית. שיטות כאלה משמשות למטרות ניתוח של תופעות כלכליות מורכבות ורב-ממדיות. לרוב, שיטות אלו משמשות כאשר יש צורך להשוות את תפקוד הארגונים והחלוקות המבניות שלהם.

בתהליך יישום שיטות ניתוח מטריצות, ניתן להבחין במספר שלבים.

בשלב הראשוןמערכת מתהווה אינדיקטורים כלכלייםועל בסיסה, מורכבת מטריצה ​​של נתונים ראשוניים, שהיא טבלה שבה מספרי מערכת מוצגים בשורות הבודדות שלה (i = 1,2,....,n), ולאורך הגרפים האנכיים - מספרי אינדיקטורים (j = 1,2,....,m).

בשלב השניעבור כל עמודה אנכית, נחשף הגדול מבין הערכים הזמינים של האינדיקטורים, הנלקח כיחידה.

לאחר מכן, כל הסכומים המשתקפים בעמודה זו מחולקים ב הערך הגבוה ביותרונוצרת מטריצה ​​של מקדמים מתוקננים.

בשלב השלישיכל מרכיבי המטריצה ​​בריבוע. אם יש להם משמעות שונה, אז לכל אינדיקטור של המטריצה ​​מוקצה מקדם ניפוח מסוים ק. ערכו של האחרון נקבע על ידי מומחה.

על האחרון שלב רביעינמצאו ערכים של דירוגים Rjמקובצים לפי סדר גידול או ירידה.

יש להשתמש בשיטות המטריצה ​​לעיל, למשל, מתי ניתוח השוואתישׁוֹנִים פרויקטי השקעה, כמו גם בהערכת מדדי ביצועים כלכליים אחרים של ארגונים.

מציאת המטריצה ​​ההפוכה- בעיה שנפתרת לרוב בשתי שיטות:

• שיטת התוספות האלגבריות, שבה נדרש למצוא דטרמיננטים ולהמיר מטריצות;
• שיטת חיסול גאוס לא ידוע, שבו נדרש לבצע טרנספורמציות יסודיות של מטריצות (הוספת שורות, הכפלת שורות באותו מספר וכו').

למי שסקרן במיוחד, ישנן שיטות נוספות, למשל שיטת הטרנספורמציות ליניאריות. בשיעור זה ננתח את שלוש השיטות שהוזכרו ואת האלגוריתמים למציאת המטריצה ​​ההפוכה בשיטות אלו.

מטריצה ​​הפוכה א, מטריצה ​​כזו נקראת

א
. (1)

מטריצה ​​הפוכה , שנדרש למצוא עבור מטריצה ​​מרובעת נתונה א, מטריצה ​​כזו נקראת

המוצר שלפיו המטריצות אבצד ימין נמצאת מטריצת הזהות, כלומר,
. (1)

מטריצת זהות היא מטריצה ​​אלכסונית שבה כל הערכים האלכסוניים שווים לאחד.

מִשׁפָּט.עבור כל מטריצה ​​ריבועית לא יחידה (לא יחיד, לא יחיד), אפשר למצוא מטריצה ​​הפוכה, ויותר מכך, רק אחת. עבור מטריצה ​​מרובעת מיוחדת (מנוונת, יחידה), המטריצה ​​ההפוכה אינה קיימת.

המטריצה ​​הריבועית נקראת לא מיוחד(אוֹ לא מנוון, לא יחיד) אם הקובע שלו אינו שווה לאפס, ו מיוחד(אוֹ דֵגֵנֵרָט, יָחִיד) אם הקובע שלו הוא אפס.

ניתן למצוא את המטריצה ​​ההפוכה רק עבור מטריצה ​​מרובעת. באופן טבעי, גם המטריצה ​​ההפוכה תהיה מרובעת ובאותו סדר כמו המטריצה ​​הנתונה. מטריצה ​​שעבורה ניתן למצוא מטריצה ​​הפוכה נקראת מטריצה ​​הפיכה.

ל מטריצה ​​הפוכה יש אנלוגיה הולמת להדדיות של מספר. לכל מספר א, שאינו שווה לאפס, קיים מספר בכי העבודה או בשווה לאחד: אב= 1 . מספר בנקרא הגומלין של מספר ב. לדוגמה, עבור המספר 7, ההיפוך הוא המספר 1/7, שכן 7*1/7=1.

מציאת המטריצה ​​ההפוכה בשיטת התוספות אלגבריות (מטריצת איחוד)

עבור מטריצה ​​מרובעת שאינה יחידה אההפוך הוא המטריצה

היכן קובע המטריצה א, а היא המטריצה ​​הקשורה למטריצה א.

ברית עם מטריצה ​​מרובעת אהיא מטריצה ​​מאותו סדר שהאלמנטים שלה הם המשלימים האלגבריים של האלמנטים המקבילים של הקובע של המטריצה ​​המוטרפים ביחס למטריצה ​​A. לפיכך, אם

זֶה

ו

אלגוריתם למציאת המטריצה ​​ההפוכה בשיטת תוספות אלגבריות

1. מצא את הקובע של מטריצה ​​זו א. אם הקובע שווה לאפס, מציאת המטריצה ​​ההפוכה נעצרת, שכן המטריצה ​​מנוונת ואין לה הפוך.

2. מצא מטריצה ​​שעברה טרנספורמציה ביחס ל א.

3. חשב את המרכיבים של מטריצת האיחוד כמשלימים האלגבריים של המריטה שנמצאו בשלב 2.

4. החל נוסחה (2): הכפל את ההדדיות של הקובע של המטריצה א, למטריצת האיחוד שנמצאה בשלב 4.

5. בדוק את התוצאה שהתקבלה בשלב 4 על ידי הכפלת מטריצה ​​זו אלמטריצה ​​ההפוכה. אם המכפלה של מטריצות אלו שווה למטריצת הזהות, אז המטריצה ​​ההפוכה נמצאה בצורה נכונה. אחרת התחל שוב את תהליך הפתרון.

דוגמה 1למטריצה

מצא את המטריצה ​​ההפוכה.

פִּתָרוֹן. כדי למצוא את המטריצה ​​ההפוכה, יש צורך למצוא את הקובע של המטריצה א. אנו מוצאים לפי כלל המשולשים:

לכן, המטריצה אהוא לא יחיד (לא מנוון, לא יחיד) ויש לזה הפוך.

בואו נמצא את המטריצה ​​הקשורה למטריצה ​​הנתונה א.

הבה נמצא את המטריצה ​​המוטרפת ביחס למטריצה א:

אנו מחשבים את האלמנטים של מטריצת האיחוד כהשלמה אלגברית של המטריצה ​​המוטרפת ביחס למטריצה א:

לכן, המטריצה ​​מצומדת עם המטריצה א, יש את הצורה

תגובה.סדר החישוב של האלמנטים והטרנספוזיציה של המטריצה ​​עשוי להיות שונה. אפשר לחשב תחילה את המשלים האלגבריים של המטריצה א, ולאחר מכן תמיר את המטריצה ​​של משלים אלגבריים. התוצאה צריכה להיות אותם אלמנטים של מטריצת האיחוד.

ביישום נוסחה (2), נמצא את המטריצה ​​הפוכה למטריצה א:

מציאת המטריצה ​​ההפוכה על ידי חיסול גאוס של אלמונים

הצעד הראשון למציאת המטריצה ​​ההפוכה על ידי חיסול גאוס הוא להקצות למטריצה אמטריצת זהות מאותו סדר, המפרידה ביניהם עם פס אנכי. אנחנו מקבלים מטריצה ​​כפולה. תכפיל את שני החלקים של המטריצה ​​הזו ב-, ואז נקבל

,

אלגוריתם למציאת המטריצה ​​ההפוכה על ידי חיסול גאוס של אלמונים

1. אל המטריצה אלהקצות מטריצת זהות באותו סדר.

2. הפוך את המטריצה ​​הכפולה שנוצרה כך שמטריצת הזהות תתקבל בחלק השמאלי שלה, ואז המטריצה ​​ההפוכה תתקבל אוטומטית בחלק הימני במקום מטריצת הזהות. מַטרִיצָה אבצד שמאל מומר למטריצת הזהות על ידי טרנספורמציות יסודיות של המטריצה.

2. אם בתהליך של טרנספורמציה מטריצה אלתוך מטריצת הזהות בכל שורה או בכל עמודה יהיו רק אפסים, ואז הקובע של המטריצה ​​שווה לאפס, ולכן המטריצה איהיה מנוון, ואין לו מטריצה ​​הפוכה. במקרה זה, ממצא נוסף של המטריצה ​​ההפוכה נעצר.

דוגמה 2למטריצה

מצא את המטריצה ​​ההפוכה.

ונהפוך אותו כך שמטריצת הזהות תתקבל בצד שמאל. בואו נתחיל בשינוי.

תכפילו את השורה הראשונה של המטריצה ​​השמאלית והימנית ב- (-3) והוסיפו אותה לשורה השנייה, ואז נכפיל את השורה הראשונה ב- (-4) ונוסיף אותה לשורה השלישית, ואז נקבל

.

להימנע, אם אפשר מספרים שבריםבטרנספורמציות הבאות, ניצור תחילה יחידה בשורה השנייה בצד שמאל של המטריצה ​​הכפולה. כדי לעשות זאת, נכפיל את השורה השנייה ב-2 ונחסיר ממנה את השורה השלישית, ואז נקבל

.

בואו נוסיף את השורה הראשונה לשורה השנייה, ולאחר מכן נכפיל את השורה השנייה ב-(-9) ונוסיף אותה לשורה השלישית. ואז אנחנו מקבלים

.

לאחר מכן חלקו את השורה השלישית ב-8

.

הכפילו את השורה השלישית ב-2 והוסיפו אותה לשורה השנייה. מתברר:

.

החלפת המקומות של השורה השנייה והשלישית, ואז סוף סוף נקבל:

.

אנו רואים שמטריצת הזהות מתקבלת בצד שמאל, לכן המטריצה ​​ההפוכה מתקבלת בצד ימין. לכן:

.

אתה יכול לבדוק את נכונות החישובים על ידי הכפלת המטריצה ​​המקורית במטריצה ​​ההפוכה שנמצאה:

התוצאה צריכה להיות מטריצה ​​הפוכה.

דוגמה 3למטריצה

מצא את המטריצה ​​ההפוכה.

פִּתָרוֹן. הידור מטריצה ​​כפולה

ואנחנו נשנה אותו.

נכפיל את השורה הראשונה ב-3, ואת השנייה ב-2, ונחסר מהשנייה, ואז נכפיל את השורה הראשונה ב-5, ואת השלישית ב-2 ונחסיר מהשורה השלישית, ואז נקבל

.

נכפיל את השורה הראשונה ב-2 ונוסיף אותה לשניה, ואז נחסר את השנייה מהשורה השלישית, ואז נקבל

.

אנו רואים כי בשורה השלישית בצד שמאל, כל האלמנטים התבררו כשווים לאפס. לכן, המטריצה ​​מנוונת ואין לה מטריצה ​​הפוכה. אנחנו מפסיקים למצוא עוד את המריה ההפוכה.