הסטטיסטיקה באה לעזרתנו בפתרון בעיות רבות, למשל: כשלא ניתן לבנות מודל דטרמיניסטי, כשיש יותר מדי גורמים או כשצריך להעריך את הסבירות למודל שנבנה תוך התחשבות בנתונים הזמינים. הקשר לסטטיסטיקה אינו ברור. מאמינים שיש שלושה סוגים של שקרים: שקרים, שקרים בוטים וסטטיסטיקה. מצד שני, הרבה "משתמשים" בסטטיסטיקה מאמינים בזה יותר מדי, לא מבינים עד הסוף איך זה עובד: יישום, למשל, מבחן על כל נתון מבלי לבדוק את תקינותו. רשלנות כזו עלולה ליצור טעויות חמורות ולהפוך את "מעריצי" המבחן לשונאי סטטיסטיקה. בואו ננסה לשים זרמים על i ולהבין באילו מודלים של משתנים אקראיים יש להשתמש כדי לתאר תופעות מסוימות ואיזה סוג של קשר גנטי קיים ביניהם.

קודם כל, החומר הזה יעניין סטודנטים הלומדים תורת הסתברות וסטטיסטיקה, אם כי מומחים "בוגרים" יוכלו להשתמש בו כאסמכתא. באחד מ עבודות הבאותאראה דוגמה לשימוש בסטטיסטיקה כדי לבנות מבחן להערכת המשמעות של אינדיקטורים של אסטרטגיות מסחר בבורסה.

העבודה תשקול:

בסוף המאמר יינתן לרפלקציה. אשתף את מחשבותיי על כך במאמר הבא שלי.

חלק מהנתונים הפצות רציפותהם מקרים מיוחדים.

הפצות בדידות

התפלגויות בדידות משמשות לתיאור אירועים עם מאפיינים שאינם ניתנים להבדלה המוגדרים בנקודות מבודדות. במילים פשוטות, עבור אירועים שאת תוצאותיהם ניתן לייחס לקטגוריה נפרדת כלשהי: הצלחה או כישלון, מספר שלם (לדוגמה, משחק רולטה, קוביות), ראשים או זנבות וכו'.

מְתוּאָר הפצה בדידהההסתברות של כל אחת מהתוצאות האפשריות של האירוע להתרחש. באשר לכל התפלגות (כולל רציפה), המושגים של ציפייה ושונות מוגדרים עבור אירועים בדידים. עם זאת, יש להבין כי הציפייה לאירוע אקראי בדיד היא ערך ב מקרה כלליבלתי ניתן למימוש כתוצאה של אירוע אקראי בודד, אלא כערך שאליו הממוצע האריתמטי של תוצאות האירועים נוטה לעלות ככל שמספרם יגדל.

במודלים של אירועים אקראיים בדידים, קומבינטוריקה משחקת תפקיד חשוב, שכן ניתן להגדיר את ההסתברות לתוצאה של אירוע כיחס בין מספר הצירופים שנותנים את התוצאה הרצויה למספר הכולל של הצירופים. לדוגמא: יש בסלסלה 3 כדורים לבנים ו-7 שחורים. כאשר אנו בוחרים כדור אחד מהסל, נוכל להפוך אותו לעשירי דרכים שונות(מספר שילובים כולל), אך רק 3 אפשרויות בהן ייבחר הכדור הלבן (3 שילובים הנותנים את התוצאה הנדרשת). לפיכך, ההסתברות לבחירת כדור לבן היא: ().

כמו כן, יש צורך להבחין בין דגימות עם החלפה וללא החלפה. לדוגמה, כדי לתאר את ההסתברות לבחירת שני כדורים לבנים, חשוב לקבוע האם הכדור הראשון יוחזר לסל. אם לא, אז עסקינן במדגם ללא החלפה () וההסתברות תהיה כדלקמן: - ההסתברות לבחירת כדור לבן מהמדגם הראשוני כפול ההסתברות לבחירת שוב כדור לבן מאלה שנותרו בסל. . אם הכדור הראשון מוחזר לסל, אז זה שליפה חזרה (). במקרה זה, ההסתברות לבחירת שני כדורים לבנים היא .

אם ננסח מעט את דוגמת הסל באופן הבא: תן לתוצאה של אירוע לקחת אחד משני ערכים 0 או 1 עם הסתברויות ובהתאמה, אז התפלגות ההסתברות להשגת כל אחת מהתוצאות המוצעות תיקרא התפלגות ברנולי :

באופן מסורתי, תוצאה עם ערך 1 נקראת "הצלחה", ותוצאה עם ערך 0 נקראת "כישלון". ברור שהשגת התוצאה "הצלחה או כישלון" מתרחשת בסבירות.

ציפיות ושונות של התפלגות ברנולי:

מספר ההצלחות בניסויים, שתוצאתם מתחלקת עם הסתברות להצלחה (דוגמה להחזרת הכדורים לסל), מתוארת על ידי ההתפלגות הבינומית:

בדרך אחרת, אנו יכולים לומר שההתפלגות הבינומית מתארת ​​את סכום המשתנים האקראיים הבלתי תלויים שניתן להפיץ בהסתברות להצלחה.
ציפיות ושונות:

ההתפלגות הבינומית תקפה רק עבור דגימה חוזרת, כלומר כאשר ההסתברות להצלחה נשארת קבועה עבור כל סדרת הניסויים.

אם הכמויות ויש התפלגויות בינומיותעם פרמטרים ובהתאמה, אז הסכום שלהם יתחלק גם בבינומי עם פרמטרים .

תארו לעצמכם מצב בו נשלף כדורים מהסל ונחזיר אותם בחזרה עד לשליפה של כדור לבן. מספר פעולות כאלה מתואר על ידי התפלגות גיאומטרית. במילים אחרות: ההתפלגות הגיאומטרית מתארת ​​את מספר הניסויים להצלחה הראשונה בהינתן הסתברות ההצלחה בכל ניסוי. אם מספר הניסוי שבו התרחשה ההצלחה משתמע, אז ההתפלגות הגיאומטרית תתואר על ידי הנוסחה הבאה:

תוחלת ושונות של ההתפלגות הגיאומטרית:

ההתפלגות הגיאומטרית קשורה גנטית להתפלגות, המתארת ​​משתנה אקראי רציף: הזמן שלפני האירוע, בעוצמה קבועה של אירועים. ההתפלגות הגיאומטרית היא גם מקרה מיוחד.

התפלגות פסקל היא הכללה של ההתפלגות: היא מתארת ​​את התפלגות מספר הכישלונות בניסויים עצמאיים, שתוצאתם מתחלקת על פני הסתברות ההצלחה לפני סכום ההצלחות. שכן, אנו מקבלים התפלגות עבור הכמות.

היכן מספר השילובים מ-to .

תוחלת ושונות של ההתפלגות הבינומית השלילית:

סכום המשתנים האקראיים הבלתי תלויים המחולקים לפי פסקל מתחלק גם לפי פסקל: תן לו התפלגות , ו- . בואו גם להיות עצמאיים, אז הסכום שלהם יהיה חלוקה

עד כה, הסתכלנו על דוגמאות של דגימות חוזרות, כלומר, ההסתברות לתוצאה אינה משתנה מניסוי לניסוי.

כעת שקול מצב ללא החלפה ותאר את ההסתברות למספר הדגימות המוצלחות מהאוכלוסייה עם מספר ידוע מראש של הצלחות וכישלונות (מספר קבוע מראש של כדורים לבנים ושחורים בסל, קלפי מנצח בחפיסה, חלקים פגומים בסל משחק וכו').

תן לאוסף הכולל להכיל אובייקטים, שמתוכם מסומנים כ-"1" וכ-"0". נשקול את הבחירה של אובייקט עם התווית "1" כהצלחה, ועם התווית "0" ככישלון. הבה נבצע n בדיקות, והאובייקטים שנבחרו לא ישתתפו עוד בבדיקות נוספות. ההסתברות להצלחה תבוא בעקבות התפלגות היפרגיאומטרית:

היכן מספר השילובים מ-to .

ציפיות ושונות:

התפלגות פואסון

(נלקח מכאן)

התפלגות ה-Poisson שונה משמעותית מההתפלגויות שנחשבו לעיל בתחום ה"נושא" שלה: כעת לא נחשבת ההסתברות לתוצאה מסוימת של מבחן, אלא עוצמת האירועים, כלומר מספר האירועים הממוצע ליחידת זמן.

התפלגות Poisson מתארת ​​את ההסתברות להתרחשות של אירועים בלתי תלויים לאורך זמן בעוצמה ממוצעת של אירועים:

הציפייה והשונות של התפלגות הפואסון:

השונות והממוצע של התפלגות הפואסון שווים באופן זהה.

התפלגות Poisson בשילוב עם , המתארת ​​את מרווחי הזמן בין הופעת אירועים עצמאיים, מהווים את הבסיס המתמטי של תורת המהימנות.

צפיפות ההסתברות של המכפלה של משתנים אקראיים x ו-y () עם התפלגויות וניתן לחשב אותה באופן הבא:

חלק מההתפלגויות שלהלן הן מקרים מיוחדים של התפלגות פירסון, שבתורה מהווה פתרון למשוואה:

היכן ומהם פרמטרי הפצה. ישנם 12 סוגים של התפלגות פירסון, בהתאם לערכי הפרמטרים.

להתפלגויות שיידונו בחלק זה יש קשרים הדוקים זה עם זה. קשרים אלו מתבטאים בכך שהתפלגויות מסוימות הן מקרים מיוחדים של התפלגויות אחרות, או מתארות טרנספורמציות של משתנים אקראיים עם התפלגויות אחרות.

התרשים שלהלן מציג את הקשרים בין כמה מההתפלגויות הרציפות שיידונו במאמר זה. בתרשים, החצים המוצקים מציגים את הטרנספורמציה של משתנים אקראיים (תחילת החץ מציינת את ההתפלגות הראשונית, סוף החץ - המתקבל), והחצים המקווקוים מציגים את יחס ההכללה (תחילת החץ מציינת התפלגות, שהיא מקרה מיוחד של זה שמצוין על ידי סוף החץ). במקרים מיוחדים של התפלגות פירסון מעל החצים המנוקדים, מצוין הסוג המתאים של התפלגות פירסון.

הסקירה הכללית הבאה של התפלגויות מכסה מקרים רבים המתרחשים בניתוח נתונים ובמודל תהליכים, אם כי, כמובן, היא אינה מכילה לחלוטין את כל ההפצות המוכרות למדע.

התפלגות נורמלית (התפלגות גאוסית)

(נלקח מכאן)

צפיפות ההסתברות של התפלגות נורמלית עם פרמטרים ומתוארת על ידי הפונקציה גאוסית:

אם ו, אז התפלגות כזו נקראת סטנדרטית.

צפי ושונות של ההתפלגות הנורמלית:

תחום ההגדרה של התפלגות נורמלית הוא קבוצת המספרים הממשיים.

ההתפלגות הנורמלית היא התפלגות מסוג VI.

לסכום הריבועים של ערכים נורמליים בלתי תלויים יש , והיחס בין ערכי גאוס עצמאיים מתחלק על .

ההתפלגות הנורמלית ניתנת לחלוקה אינסופית: סכום הכמויות המחולקות נורמלית ועם פרמטרים ובהתאמה יש גם התפלגות נורמליתעם פרמטרים, איפה ו.

ההתפלגות הנורמלית מדגמנת היטב את הכמויות המתארות תופעת טבע, רעשים בעלי אופי תרמודינמי ושגיאות מדידה.

בנוסף, לפי משפט הגבול המרכזי, סכום של מספר רב של איברים עצמאיים מאותו סדר מתכנס להתפלגות נורמלית, ללא קשר להתפלגות האיברים. בשל תכונה זו, ההתפלגות הנורמלית פופולרית בניתוח סטטיסטי, מבחנים סטטיסטיים רבים מיועדים לנתונים בחלוקה נורמלית.

מבחן z מבוסס על ההתחלקות האינסופית של ההתפלגות הנורמלית. מבחן זה משמש כדי לבדוק אם התוחלת ממדגם של משתנים בחלוקה נורמלית שווה לערך כלשהו. ערך השונות צריך להיות ידוע. אם ערך השונות אינו ידוע ומחושב על סמך המדגם המנותח, אזי מבחן t מבוסס על .

הבה נקבל מדגם של n משתנים בלתי תלויים בחלוקה נורמלית מהאוכלוסייה הכללית עם סטיית תקןהבה נניח את זה. אז לערך תהיה התפלגות נורמלית סטנדרטית. על ידי השוואת ערך z המתקבל עם הכמותיות של ההתפלגות הסטנדרטית, ניתן לקבל או לדחות את ההשערה ברמת המובהקות הנדרשת.

בשל השכיחות של התפוצה גאוסית, רבים, אינם טובים במיוחד לדעת סטטיסטיקהחוקרים שוכחים לבדוק את תקינות הנתונים, או להעריך את עלילת צפיפות ההתפלגות "לפי עין", מתוך אמונה עיוורת שהם מתמודדים עם נתונים גאוסים. בהתאם, יישום באומץ של בדיקות המיועדות להתפלגות נורמלית וקבלת תוצאות שגויות לחלוטין. כנראה מכאן הגיעה השמועה על סטטיסטיקה כסוג השקר הנורא ביותר.

קחו דוגמה: אנחנו צריכים למדוד את ההתנגדות של קבוצת נגדים בערך מסוים. להתנגדות יש אופי פיזיקלי, הגיוני להניח שהתפלגות סטיות ההתנגדות מהערך הנומינלי תהיה תקינה. אנו מודדים, אנו מקבלים פונקציית צפיפות הסתברות בצורת פעמון עבור הערכים הנמדדים עם מצב בקרבת דירוג הנגד. האם זו התפלגות נורמלית? אם כן, אז נחפש נגדים פגומים באמצעות , או מבחן z אם אנחנו יודעים את שונות ההתפלגות מראש. אני חושב שרבים יעשו בדיוק את זה.

אבל בואו נסתכל מקרוב על טכנולוגיית מדידת התנגדות: התנגדות מוגדרת כיחס בין המתח המופעל לזרימת הזרם. מדדנו את הזרם והמתח עם מכשירים, שבתורם, חילקו שגיאות בדרך כלל. כלומר, הערכים הנמדדים של זרם ומתח הם משתנים אקראיים בחלוקה נורמליתעם ציפיות מתמטיות המתאימות לערכים האמיתיים של הכמויות הנמדדות. וזה אומר שערכי ההתנגדות שהתקבלו מחולקים לאורך, ולא לפי גאוס.

ההתפלגות מתארת ​​את סכום הריבועים של משתנים אקראיים, שכל אחד מהם מתחלק לפי חוק הנורמלי הסטנדרטי:

איפה מספר דרגות החופש, .

הציפייה והשונות של ההתפלגות:

תחום ההגדרה הוא קבוצת הלא-שליליים מספרים טבעיים. היא התפלגות הניתנת לחלוקה אינסופית. אם ו- יתחלקו על ויש ודרגות חופש, בהתאמה, אזי הסכום שלהם יתחלק גם על פני ויש להם דרגות חופש.

זה מקרה מיוחד (ולכן התפלגות סוג III) והכללה. היחס בין הכמויות המחולקות על פני התפלגות על פני .

מבחן הכושר של פירסון מבוסס על הפצה. ניתן להשתמש בקריטריון זה כדי לבדוק האם מדגם של משתנה אקראי שייך להתפלגות תיאורטית מסוימת.

נניח שיש לנו מדגם של משתנה אקראי כלשהו. בהתבסס על מדגם זה, אנו מחשבים את ההסתברויות שהערכים ייפלו לתוך המרווחים (). תהיה גם הנחה לגבי הביטוי האנליטי של ההתפלגות, לפיה ההסתברויות ליפול למרווחים שנבחרו צריכות להיות . לאחר מכן יחולקו הכמויות לפי החוק הרגיל.

אנו מביאים להתפלגות הנורמלית הסטנדרטית: ,
איפה ו .

לכמויות המתקבלות יש התפלגות נורמלית עם פרמטרים (0, 1), ולכן, סכום הריבועים שלהן מתחלק בדרגת חופש. הירידה בדרגת החופש קשורה להגבלה נוספת על סכום ההסתברויות של ערכים ליפול למרווחים: הוא חייב להיות שווה ל-1.

על ידי השוואת הערך לכמויות ההתפלגות, ניתן לקבל או לדחות את ההשערה לגבי ההתפלגות התיאורטית של הנתונים ברמת המובהקות הנדרשת.

התפלגות הסטודנט משמשת לביצוע מבחן t: מבחן לשוויון הערך הצפוי של מדגם של משתנים אקראיים מבוזרים לערך מסוים, או שוויון הערכים הצפויים של שני מדגמים עם אותה שונות ( יש לבדוק את שוויון השונות). התפלגות t של התלמיד מתארת ​​את היחס בין משתנה אקראי מבוזר לערך המחולק על .

אפשר ולהיות משתנים אקראיים בלתי תלויים עם דרגות חופש ובהתאמה. אז לכמות תהיה התפלגות פישר עם דרגות חופש, ולכמות תהיה התפלגות פישר עם דרגות חופש.
התפלגות פישר מוגדרת עבור טיעונים אמיתיים לא שליליים ויש לה צפיפות הסתברות:


ציפיות ושונות של התפלגות פישר:

הציפייה מוגדרת עבור והשונות מוגדרת עבור .

מספר מבחנים סטטיסטיים מבוססים על התפלגות פישר, כגון הערכת המובהקות של פרמטרי רגרסיה, המבחן להטרוסקדסטיות ומבחן השוויון של שונות המדגם (מבחן f, להבדיל בין מְדוּיָקמבחן פישר).

F-test: תהיינה שתי דגימות עצמאיות ונפחי נתונים מבוזרים ובהתאמה. הבה נעלה השערה לגבי השוויון של שונות המדגם ונבדוק אותה סטטיסטית.

בוא נחשב את הערך. תהיה לו הפצת פישר עם דרגות חופש.

על ידי השוואת הערך עם הקוונטילים של התפלגות פישר המקבילה, נוכל לקבל או לדחות את ההשערה ששונות המדגם שוות לרמת המובהקות הנדרשת.

התפלגות אקספוננציאלית (מעריכית) והתפלגות לפלס (מעריכית כפולה, מעריכית כפולה)

(נלקח מכאן)

ההתפלגות המעריכית מתארת ​​את מרווחי הזמן בין אירועים בלתי תלויים המתרחשים בעוצמה ממוצעת. מספר ההתרחשויות של אירוע כזה על פני פרק זמן מסוים מתואר על ידי דיסקרטי. התפלגות אקספוננציאלית יחד עם מהווים את הבסיס המתמטי של תורת המהימנות.

בנוסף לתורת המהימנות, ההתפלגות האקספוננציאלית משמשת בתיאור תופעות חברתיות, בכלכלה, בתיאוריה הִזדַנְבוּת,V לוגיסטיקת תחבורה- בכל מקום בו יש צורך לדגמן את זרימת האירועים.

ההתפלגות המעריכית היא מקרה מיוחד (עבור n=2), ומכאן . מכיוון שהכמות המחולקת אקספוננציאלית היא כמות צ'י ריבועית בעלת 2 דרגות חופש, ניתן לפרש אותה כסכום הריבועים של שתי כמויות מחולקות נורמלית בלתי תלויות.

כמו כן, ההתפלגות המעריכית היא מקרה כנה

ערכת מבחן ברנולי. נוסחת ברנולי

בוא נעשה כמה בדיקות. יתרה מכך, ההסתברות להתרחשות האירוע $A$ בכל ניסוי אינה תלויה בתוצאות של ניסויים אחרים. ניסויים כאלה נקראים עצמאיים ביחס לאירוע A. בניסויים עצמאיים שונים, לאירוע A יכולים להיות הסתברויות שונות, או זהות. נשקול רק כאלה בדיקות עצמאיות, שבו לאירוע $A$ יש אותה הסתברות.

באירוע מורכב אנו מתכוונים לשילוב של אירועים פשוטים. תן n ניסויים להתבצע. בכל ניסיון, האירוע $A$ עשוי להתרחש או לא. אנו מניחים שבכל ניסוי ההסתברות להתרחשות האירוע $A$ זהה ושווה ל-$p$. אז ההסתברות $\קו עילי A $ (או אי התרחשות של A ) שווה ל-$P(( \overline A ))=q=1-p$.

יידרש לחשב את ההסתברות שב נאירוע בדיקה $A$ יתרחש ק- פעמים ו-$n-k$ פעמים - לא יבואו. הסתברות זו תסומן ב-$P_n (k)$. יתרה מכך, רצף התרחשות האירוע $A$ אינו חשוב. לדוגמה: $(( AAA\קו על A , AA\קו על A A, A\קו על A AA, \overline A AAA ))$

$P_5 (3)-$ בחמישה ניסויים אירוע $A$ הופיע 3 פעמים ו-2 לא הופיעו. ניתן למצוא הסתברות זו באמצעות נוסחת ברנולי.

גזירת נוסחת ברנולי

לפי משפט הכפלת הסתברויות של אירועים בלתי תלויים, ההסתברות שהאירוע $A$ מתרחש $k$ פעמים ו$n-k$ פעמים לא מתרחש שווה ל$p^k\cdot q^ ( n-k ) $. ויכולים להיות אירועים מורכבים כמו $C_n^k $ שיכולים להיות. מכיוון שאירועים מורכבים אינם תואמים, אז לפי המשפט על סכום ההסתברויות של אירועים בלתי תואמים, עלינו להוסיף את ההסתברויות של כל האירועים המורכבים, ויש בדיוק $C_n^k $ מהם. אז ההסתברות להתרחשות האירוע $A$ היא בדיוק קפעם א נבדיקות, יש $P_n (( A,\,k ))=P_n (k)=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ (n-k) $ הנוסחה של ברנולי.

דוגמא. קוביותנזרק 4 פעמים. מצא את ההסתברות שאחד יופיע במחצית מהזמן.

פִּתָרוֹן. $A=$ (הופעה של אחד)

$ P(A)=p=\frac ( 1 ) ( 6 ) \, \,P(( \overline A ))=q=1-\frac ( 1 ) ( 6 ) =\frac ( 5 ) ( 6 ) $ $ P_4 (2)=C_4^2 \cdot p^2\cdot q^ ( 4-2 ) =\frac ( 4! ) ( 2!\cdot 2! ) \cdot 6^2\cdot (( \frac ( 5 ) ( 6 ) ))^2=$0.115

קל לראות שמתי ערכים גדולים נדי קשה לחשב את ההסתברות בגלל המספרים העצומים. מסתבר שאפשר לחשב הסתברות זו לא רק באמצעות נוסחת ברנולי.

1

1. בוגוליובוב א.נ. מָתֵימָטִיקָה. מכניקה: מדריך ביוגרפי. - קייב: נאוקובה דומקה, 1983.

2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. ניתוח והערכה של העדיפות של חלקים של דיסציפלינות מתמטיות שנלמדו על ידי סטודנטים להתמחויות כלכליות של אוניברסיטאות חקלאיות // עלון ה-APK של Stavropol. - 2013. - מס' 1 (9). - עמ' 6-10.

3. Dolgopolova A.F., Gulay T.A., Litvin D.B. סיכויי יישום שיטות מתמטיותבמחקר כלכלי // מדע חקלאי, יצירתיות, צמיחה. - 2013. - ס' 255-257.

במתמטיקה, לעתים קרובות למדי יש בעיות שיש בהן מספר גדול שלחזרות על אותו מצב, מבחן או ניסוי. התוצאה של כל בדיקה תיחשב לתוצאה שונה לחלוטין מהקודמת. גם תלות בתוצאות לא תיבחן. כתוצאה מבדיקה ניתן להבחין במספר אפשרויות של השלכות אלמנטריות: התרחשות אירוע (A) או התרחשות אירוע המשלים את A.

אז בוא ננסה להניח שההסתברות להתרחשות האירוע Р(А) היא סדירה ושווה ל-р (0<р<1).

דוגמאות לאתגר כזה יכולות להיות מספר רב של משימות, כמו הטלת מטבע, חילוץ כדורים שחורים ולבנים מתיק כהה או לידה של ארנבים שחורים ולבנים.

ניסוי כזה נקרא תצורת בדיקה עצמאית חוזרת או סכימת ברנולי.

יעקב ברנולי נולד למשפחה של רוקח. האב ניסה להדריך את בנו על מסלול הרפואה, אך ג'יי ברנולי החל להתעניין במתמטיקה בכוחות עצמו, ולימים זה הפך למקצוע שלו. בבעלותו גביעים שונים בעבודות בנושאים בתורת ההסתברות והמספרים, סדרות וחשבון דיפרנציאלי. לאחר שלמד את תורת ההסתברות מאחת מיצירותיו של הויגנס "על חישובים בהימורים", ג'ייקוב התעניין בכך. בספר זה אפילו לא הייתה הגדרה ברורה למושג "הסתברות". זה היה ג'יי ברנולי שהכניס את רוב המושגים המודרניים של תורת ההסתברות למתמטיקה. ברנולי היה גם הראשון שהביע את גרסתו לחוק המספרים הגדולים. שמו של יעקב נישא בעבודות, משפטים וסכמות שונות: "מספרי ברנולי", "פולינום ברנולי", "משוואת ברנולי דיפרנציאלית", "התפלגות ברנולי" ו"משוואת ברנולי".

בואו נחזור לחזרה. כפי שכבר צוין לעיל, כתוצאה מבדיקות שונות, שתי תוצאות אפשריות: או אירוע A יופיע, או ההפך מאירוע זה. סכימת ברנולי עצמה מציינת את הפקת המספר ה-N של ניסויים חופשיים טיפוסיים, ובכל אחד מהניסויים הללו עשוי להופיע האירוע A שאנו צריכים (ההסתברות לאירוע זה ידועה: P (A) \u003d p), ההסתברות לאירוע ההפוך לאירוע A מסומנת על ידי q \u003d P (A)=1-p. נדרש לקבוע את ההסתברות שכאשר בודקים מספר לא ידוע, אירוע A יתרחש בדיוק k פעמים.

חשוב לזכור שהתנאי העיקרי בעת פתרון בעיות באמצעות ערכת ברנולי הוא קביעות. בלעדיו, התוכנית מאבדת כל משמעות.

ניתן להשתמש בסכמה זו כדי לפתור בעיות ברמות מורכבות שונות: מפשוט (אותו מטבע) ועד מורכב (ריבית). עם זאת, לעתים קרובות יותר נעשה שימוש בסכימת ברנולי בפתרון בעיות כאלה הקשורות לשליטה במאפיינים של מוצרים שונים ואמון במגוון מנגנונים. רק כדי לפתור את הבעיה, לפני תחילת העבודה, כל התנאים והערכים חייבים להיות ידועים מראש.

לא כל הבעיות בתורת ההסתברות מצטמצמות לקביעות בתנאים. גם אם ניקח לדוגמא כדורים שחורים ולבנים בשקית כהה: כאשר מציירים כדור אחד, היחס בין מספר וצבעי הכדורים בשקית השתנה, מה שאומר שההסתברות עצמה השתנתה.

עם זאת, אם התנאים שלנו קבועים, אז נוכל לקבוע במדויק את ההסתברות הנדרשת מאתנו שהאירוע A יתרחש בדיוק k פעמים מתוך n אפשרי.

עובדה זו חוברה על ידי יעקב ברנולי למשפט, שלימים נודע בשם שלו. "משפט ברנולי" הוא אחד המשפטים המרכזיים בתורת ההסתברות. הוא פורסם לראשונה בעבודתו של ג'יי ברנולי "אמנות ההנחות". מה זה המשפט הזה? "אם ההסתברות p להתרחשות אירוע A בכל ניסוי היא קבועה, אזי ההסתברות Pk,n שהאירוע יתרחש k פעמים ב-n ניסויים שאינם תלויים זה בזה שווה ל: , כאשר q=1-p ."

בהוכחת יעילות הנוסחה ניתן לתת משימות.

משימה 1:

מתוך n צנצנות זכוכית לחודש אחסון, K נשברו. לקח באקראי M פחיות. מצא את ההסתברות שבין הצנצנות האלה אני לא ישבר. n=250, k=10, m=8, l=4.

פתרון: יש לנו ערכת ברנולי עם ערכים:

p=10/250=0.04 (הסתברות שהבנקים יישברו);

n=8 (מספר ניסויים);

k=8-4=4 (מספר צנצנות שבורות).

אנו משתמשים בנוסחת ברנולי

יש:

תשובה: 0.0141

משימה מס' 2:

ההסתברות לייצור מוצר פגום בייצור היא 0.2. מצא את ההסתברות שמתוך 10 מוצרים המיוצרים במתקן ייצור זה, בדיוק k חייב להיות במצב טוב. הפעל פתרון עבור k = 0, 1, 10.

אנו מעוניינים באירוע א' - ייצור חלקים ניתנים לשירות, המתרחש פעם בשעה בהסתברות p=1-0.2=0.8. עלינו למצוא את ההסתברות שהאירוע הנתון יתרחש k פעמים. אירוע א' מנוגד לאירוע "לא א'", כלומר. ייצור מוצר פגום.

לכן, יש לנו: n=10; p=0.8; q=0.2.

כתוצאה מכך, אנו מוצאים את ההסתברות שמתוך 10 מוצרים מיוצרים כל המוצרים פגומים (k=0), שמוצר אחד במצב תקין (k=1), שאין פגומים כלל (k=10) :

לסיכום, ברצוני לציין שבעת המודרנית, מדענים רבים מנסים להוכיח ש"נוסחת ברנולי" אינה תואמת את חוקי הטבע וכי ניתן לפתור בעיות מבלי ליישם אותה לשימוש. כמובן שזה אפשרי, את רוב הבעיות בתורת ההסתברות ניתן לבצע ללא נוסחת ברנולי, העיקר לא להתבלבל בכמויות גדולות של מספרים.

קישור ביבליוגרפי

Khomutova E.A., Kalinichenko V.A. הנוסחה של ברנולי בתורת ההסתברות // עלון מדעי בינלאומי לסטודנטים. - 2015. - מס' 3-4 .;
כתובת אתר: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (תאריך גישה: 03/12/2019). אנו מביאים לידיעתכם את כתבי העת בהוצאת ההוצאה "האקדמיה להיסטוריה של הטבע"

אם מבוצעים מספר ניסויים, וההסתברות לאירוע A בכל ניסוי אינה תלויה בתוצאות של ניסויים אחרים, אזי ניסויים כאלה נקראים עצמאי ביחס לאירוע א .

בניסויים עצמאיים שונים, לאירוע A עשויות להיות הסתברויות שונות או אותה הסתברות. עוד נשקול רק ניסויים עצמאיים כאלה שבהם לאירוע A יש אותה הסתברות.

להלן אנו משתמשים במושג מורכב אירועים, הבנה לפי זה שילוב של מספר אירועים נפרדים, הנקראים פָּשׁוּט .

תן לזה להיות מיוצר נ ניסויים עצמאיים, שבכל אחד מהם אירוע A עשוי להתרחש או לא. הבה נסכים להניח שההסתברות לאירוע A בכל ניסוי זהה, כלומר, היא שווה ל ר . לכן, ההסתברות לאי התרחשות של אירוע A בכל ניסוי היא גם קבועה ושווה ל q = 1 - p .

הבה נציב לעצמנו את המשימה לחשב את ההסתברות לכך נבדיקות, אירוע A יתרחש בדיוק ק פעמים ולכן לא יתממשו n-k פַּעַם. חשוב להדגיש שאין חובה שהאירוע א' יחזור בדיוק ק פעמים ברצף מסוים.

למשל, אם אנחנו מדברים על התרחשות של אירוע אשלוש פעמים בארבעה ניסויים, האירועים המורכבים הבאים אפשריים: AAA, AAA, AAA, AAA. הקלטה AAAאומר שבניסויים הראשון, השני והשלישי האירוע אהגיע, אבל במבחן הרביעי זה לא הופיע, כלומר. ההפך קרה א;לערכים אחרים יש משמעות מתאימה.

סמן את ההסתברות הרצויה R p (k) . למשל, הסמל R 5 (3) פירושו ההסתברות שבחמישה ניסויים האירוע יתרחש בדיוק 3 פעמים, ולכן לא יתרחש 2 פעמים.

ניתן לפתור את הבעיה באמצעות מה שנקרא נוסחת ברנולי.

גזירת נוסחת ברנולי. ההסתברות לאירוע מורכב אחד המורכב מהעובדה שב פ אירוע מבחן איבוא ק פעם אחת ולא יבוא נ - ק פעמים, על פי המשפט של כפל הסתברויות של אירועים בלתי תלויים שווה ל p k q n - k . יכולים להיות כמה אירועים מורכבים כמו שיש שילובים של פ אלמנטים על ידי ק אלמנטים, כלומר. C n k .

מאז האירועים המורכבים האלה שאינו עולה בקנה אחד, זה על פי המשפט של הוספת הסתברויות לאירועים לא תואמים ההסתברות הרצויה שווה לסכום ההסתברויות של כל האירועים המורכבים האפשריים. מכיוון שההסתברויות של כל האירועים המורכבים הללו זהים, ההסתברות הרצויה (להתרחשות ק זמני אירועים א V פ מבחנים) שווה להסתברות של אירוע מורכב אחד, כפול מספרם:

הנוסחה המתקבלת נקראת נוסחת ברנולי .

דוגמה 1. ההסתברות שצריכת החשמל במהלך יום אחד לא תחרוג מהנורמה שנקבעה שווה ל p = 0.75 . מצא את ההסתברות שב-6 הימים הבאים צריכת החשמל למשך 4 ימים לא תחרוג מהנורמה.

פִּתָרוֹן. ההסתברות לצריכה רגילה של חשמל בכל אחד מ-6 הימים קבועה ושווה ל p = 0.75 . לכן, ההסתברות להוצאת יתר של חשמל בכל יום היא גם קבועה ושווה ל q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0.75 \u003d 0.25.

ההסתברות הרצויה לפי נוסחת ברנולי שווה ל:

תיאוריה קצרה

תורת ההסתברות עוסקת בניסויים שניתן לחזור עליהם (לפחות בתיאוריה) מספר בלתי מוגבל של פעמים. אפשר לחזור על ניסוי פעם אחת, והתוצאות של כל חזרה אינן תלויות בתוצאות של חזרות קודמות. סדרה כזו של חזרות נקראת ניסויים עצמאיים. מקרה מיוחד של בדיקות כאלה הם משפטי ברנולי עצמאיים, המאופיינים בשני תנאים:

1) התוצאה של כל מבחן היא אחת משתי תוצאות אפשריות, הנקראות בהתאמה "הצלחה" או "כישלון".

2) ההסתברות ל"הצלחה" בכל מבחן עוקב אינה תלויה בתוצאות של בדיקות קודמות ונשארת קבועה.

משפט ברנולי

אם נעשית סדרה של ניסויים עצמאיים של ברנולי, שבכל אחד מהם "הצלחה" מתרחשת בהסתברות, אזי ההסתברות ש"הצלחה" בניסויים מתרחשת פעם אחת בדיוק מתבטאת בנוסחה:

איפה ההסתברות לכישלון.

- מספר השילובים של אלמנטים לפי (ראה את הנוסחאות הבסיסיות של קומבינטוריקה)

נוסחה זו נקראת נוסחת ברנולי.

נוסחת ברנולי מאפשרת לך להיפטר ממספר רב של חישובים - חיבור וכפל הסתברויות - עם מספר גדול מספיק של מבחנים.

סכימת מבחן ברנולי נקראת גם סכמה בינומיאלית, וההסתברויות המתאימות נקראות בינומיות, הקשורות לשימוש במקדמים בינומיים.

ההתפלגות לפי סכימת ברנולי מאפשרת, במיוחד, למצוא את המספר הסביר ביותר של התרחשות של אירוע.

אם מספר הניסיונות ננהדר, אז תהנה:

דוגמה לפתרון בעיות

המשימה

הנביטה של ​​זרעים של צמח מסוים היא 70%. מה ההסתברות שמתוך 10 זרעים שנזרעו: 8, לפחות 8; לפחות 8?

פתרון הבעיה

בואו נשתמש בנוסחת ברנולי:

במקרה שלנו

תן לאירוע - מתוך 10 זרעים לנבוט 8:

תן לאירוע - לעלות לפחות 8 (זה אומר 8, 9 או 10)

תן לאירוע לעלות לפחות 8 (כלומר 8.9 או 10)

תשובה

בינוניעלות פתרון עבודת הבקרה היא 700 - 1200 רובל (אך לא פחות מ 300 רובל עבור כל ההזמנה). המחיר מושפע מאוד מדחיפות ההחלטה (מימים עד מספר שעות). עלות העזרה המקוונת בבחינה / מבחן - מ 1000 רובל. לפתרון הכרטיסים.

ניתן להשאיר את האפליקציה ישירות בצ'אט, לאחר שבעבר זרקו את מצב המשימות והודיעו לכם על המועדים לפתרון. זמן התגובה הוא מספר דקות.