פתרון של משוואות טריגונומטריות הומוגניות. משוואות טריגונומטריות הומוגניות: ערכת פתרונות כללית

מוסד חינוכי מקצועי תקציבי ממלכתי של הכפר Teeli של הרפובליקה של Tyva

פיתוח שיעור מתמטיקה

נושא השיעור:

"משוואות טריגונומטריות הומוגניות"

מורה: אורז'אק

אילנה מיכאילובנה

נושא השיעור : "משוואות טריגונומטריות הומוגניות"(לפי ספר הלימוד מאת א.ג. מורדקוביץ')

קְבוּצָה : מאסטר בגידול צמחים, קורס אחד

סוג שיעור: שיעור בלימוד חומר חדש.

מטרות השיעור:

2. לפתח חשיבה לוגית, יכולת הסקת מסקנות, יכולת להעריך את תוצאות הפעולות שבוצעו

3. להקנות לתלמידים דיוק, תחושת אחריות, גידול מניעים חיוביים ללמידה

ציוד שיעור: מחשב נייד, מקרן, מסך, כרטיסים, כרזות טריגונומטריה: ערכים של פונקציות טריגונומטריות, נוסחאות בסיסיות של טריגונומטריה.

משך השיעור: 45 דקות.

מבנה השיעור:

במהלך השיעורים.

1. רגע ארגוני (דקה אחת)

בדקו את מוכנות התלמידים לשיעור, הקשיבו לקבוצה התורנית.

2. מימוש ידע בסיסי (3 דקות)

2.1. בודק שיעורי בית.

שלושה תלמידים מחליטים בלוח מס' 18.8 (ג, ד); מס' 18.19. שאר התלמידים עושים ביקורת עמיתים.

3. לימוד חומר חדש (13 דקות)

3.1. מוטיבציה של תלמידים.

התלמידים מוזמנים למנות את המשוואות שהם מכירים ויכולים לפתור (שקופית מספר 1)

1) 3 cos 2 x - 3 cos x \u003d 0;

2) cos (x - 1) =;

3) 2 sin 2 x + 3 sin x \u003d 0;

4) 6 sin 2 x - 5 cos x + 5 = 0; 12

5) sin x cos x + cos² x = 0;

6) tg + 3ctg = 4.

7) 2sin x - 3cos x = 0;

8) sin 2 x + cos 2 x \u003d 0;

9) sin²x - 3sinx cos x + 2cos²x \u003d 0.

תלמידים לא יוכלו לתת שם לפתרון של משוואות 7-9.

3.2. הסבר על הנושא החדש.

מורה: משוואות שלא הצלחת לפתור הן די נפוצות בפועל. הם נקראים משוואות טריגונומטריות הומוגניות. רשמו את נושא השיעור: "משוואות טריגונומטריות הומוגניות". (שקופית מספר 2)

הגדרה של משוואות הומוגניות על מסך המקרן. (שקופית מספר 3)

שקול שיטה לפתרון משוואות טריגונומטריות הומוגניות (שקופית מס' 4, 5)

נתח דוגמאות לפתרונות

דוגמה 1 פתור את המשוואה 2sin x – 3cos x = 0; (שקופית מספר 6)

זוהי משוואה הומוגנית מהמעלה הראשונה. אנו מחלקים את שני הצדדים של המשוואה איבר לפי איבר ב-cos x , נקבל:

2tg x - 3 = 0

tg x =

x = arctg + πn , n Z.

תשובה: x \u003d arctg + π n, n Z.

דוגמה 2 . פתור את המשוואה חטא 2 x + cos 2 x = 0; (שקופית מספר 7)

זוהי משוואה הומוגנית מהמעלה הראשונה. נחלק את שני צדדי המשוואה באיבר ב-cos 2 x , נקבל:

tg2 x + 1 = 0

tg2 x = - 1

2x = arctg (-1) + πn, nZ.

2x = - + πn, nZ.

x = - + , n Z.

תשובה: x = - + , n Z.

דוגמה 3 . פתור את המשוואה sin²x - 3sinx cos x + 2cos²x \u003d 0. (שקופית מס' 8)

לכל איבר במשוואה יש אותה דרגה. זוהי משוואה הומוגנית מהמעלה השנייה. אנו מחלקים את שני הצדדים של המשוואה איבר אחר איבר ל-cos 2 x ≠ 0, נקבל:

tg 2 x-3tg x+2 = 0. בואו נציג משתנה חדש z = tg x, נקבל

z 2 – 3z + 2 =0

z 1 = 1, z 2 = 2

אז או tg x = 1 או tg x = 2

4. איחוד החומר הנלמד (10 דקות)

המורה מנתח בפירוט דוגמאות עם תלמידים חלשים על הלוח, תלמידים חזקים פותרים באופן עצמאי במחברות.

5. עבודה עצמאית מובדלת (15 דקות)

המורה מנפיק כרטיסים עם משימות בשלוש רמות: בסיסי (א), בינוני (ב), מתקדם (ג). התלמידים בעצמם בוחרים באיזו רמה הם יפתרו דוגמאות.

6. לסיכום. השתקפות של פעילות חינוכית בשיעור (2 דקות)

ענה על השאלות:

אילו סוגי משוואות טריגונומטריות למדנו?

כיצד פותרים משוואה הומוגנית ממעלה ראשונה?

כיצד פותרים משוואה הומוגנית מהמעלה השנייה?

התברר לי …

למדתי …

סמנו את העבודה הטובה בשיעור של תלמידים בודדים, קבעו ציונים.

7. שיעורי בית. (דקה 1)

להודיע ​​לתלמידים על שיעורי בית, לתת תדריך קצר על יישומם.

מס' 18.12 (ג, ד), מס' 18.24 (ג, ד), מס' 18.27 (א)

הפניות:

שקופית 2

"משוואות טריגונומטריות הומוגניות"

1. משוואה בצורת a sin x + b cos x \u003d 0, כאשר a ≠ 0, b ≠ 0 נקראת משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה הראשונה. 2. משוואה בצורת a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x \u003d 0, כאשר a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 נקראת משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה השנייה. הַגדָרָה:

אני תואר a sinx + b cosx = 0, (a, b ≠ 0). נחלק את שני חלקי האיבר של המשוואה באיבר ב-cosx ≠ 0. נקבל: a tgx + b = 0 tgx = -b /a המשוואה הטריגונומטרית הפשוטה ביותר כאשר מחלקים את המשוואה ההומוגנית a sinx + b cosx = 0 ב-cos x ≠ 0 , שורשי המשוואה הזו לא הולכים לאיבוד. שיטה לפתרון משוואות טריגונומטריות הומוגניות

a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0. 1) אם a ≠ 0, נחלק את שני חלקי האיבר של המשוואה באיבר ב-cos ² x ≠0 נקבל: a tg ² x + b tgx + c = 0, אנו מקבלים: לפתור על ידי הכנסת משתנה חדש z \u003d tgx 2) אם \u003d 0, אז נקבל: b sinx cosx + c cos ² x \u003d 0, אנו פותרים על ידי פירוק / כאשר מחלקים את המשוואה ההומוגנית a sin ² x + b sinx cosx + c cos ² x \u003d 0 על ידי cos 2 x ≠ 0 השורשים של המשוואה הזו לא הולכים לאיבוד. תואר שני

זוהי משוואה הומוגנית מהמעלה הראשונה. נחלק את שני חלקי האיבר של המשוואה באיבר ב-cos x, נקבל: דוגמה 1. פתור את המשוואה 2 sin x - 3 cos x \u003d 0

זוהי משוואה הומוגנית מהמעלה הראשונה. נחלק את שני חלקי האיבר של המשוואה באיבר ב-cos 2 x , נקבל: דוגמה 2 . פתרו את המשוואה sin 2 x + cos 2 x = 0

לכל איבר במשוואה יש אותה דרגה. זוהי משוואה הומוגנית מהמעלה השנייה. בוא נחלק את שני הצדדים של איבר המשוואה במונח על עם os 2 x ≠ 0, נקבל: דוגמה 3 . פתור את המשוואה sin ² x - 3 sin x cos x + 2 cos ² x = 0

ענו על השאלות: - אילו סוגי משוואות טריגונומטריות למדנו? איך פותרים משוואה הומוגנית ממעלה ראשונה? איך פותרים משוואה הומוגנית מהמעלה השנייה? תִמצוּת

למדתי ... - למדתי ... הרהור

מס' 18.12 (ג, ד), מס' 18.24 (ג, ד), מס' 18.27 (א) שיעורי בית.

תודה על השיעור! חברים טובים!

תצוגה מקדימה:

ניתוח עצמי של שיעור המתמטיקה של המורה אורז'ק א.מ.

קְבוּצָה : מאסטר בגידול צמחים, קורס אחד.

נושא השיעור : משוואות טריגונומטריות הומוגניות.

סוג שיעור : שיעור לימוד חומר חדש.

מטרות השיעור:

1. ליצור מיומנויות של תלמידים בפתרון משוואות טריגונומטריות הומוגניות, לשקול שיטות לפתרון משוואות הומוגניות ברמות מורכבות בסיסיות ומתקדמות.

2. לפתח חשיבה לוגית, יכולת הסקת מסקנות, יכולת להעריך את תוצאות הפעולות שבוצעו.

3. להקנות לתלמידים דיוק, תחושת אחריות, גידול מניעים חיוביים ללמידה.

השיעור התנהל לפי תכנון נושאי. נושא השיעור משקף את החלק העיוני והמעשי של השיעור ומובן לתלמידים. כל שלבי השיעור נועדו להגשמת מטרות אלו, תוך התחשבות במאפייני הקבוצה.

מבנה השיעור.

1. הרגע הארגוני כלל את הארגון המקדים של הקבוצה, התחלת השיעור המגייסת, יצירת נוחות פסיכולוגית והכנת התלמידים להטמעה אקטיבית ומודעת של חומר חדש. הכנת הקבוצה וכל תלמיד נבדקה על ידי ויזואלית. משימה דידקטית של הבמה: פגישה חיובית לשיעור.

2. השלב הבא הוא מימוש הידע הבסיסי של התלמידים. המשימה העיקרית של שלב זה היא להחזיר לזכר התלמידים את הידע הדרוש ללימוד חומר חדש. המימוש בוצע בצורה של בדיקת שיעורי בית בלוח.

3. (שלב עיקרי של השיעור) גיבוש ידע חדש. בשלב זה יושמו המשימות הדידקטיות הבאות: מתן תפיסה, הבנה ושינון ראשוני של ידע ודרכי פעולה, קשרים ויחסים במושא הלימוד.

זה הוקל על ידי: יצירת מצב בעיה, שיטת השיחות בשילוב עם שימוש בתקשוב. אינדיקטור ליעילות של לימוד ידע חדש על ידי תלמידים הוא נכונות התשובות, עבודה עצמאית, השתתפות פעילה של התלמידים בעבודה.

4. השלב הבא הוא הקיבוע הראשוני של החומר. מטרתו ליצור משוב לקבלת מידע על מידת ההבנה של החומר החדש, שלמותו, נכונות הטמעתו ולתיקון בזמן של טעויות שהתגלו. בשביל זה השתמשתי: פתרון של משוואות טריגונומטריות הומוגניות פשוטות. כאן נעשה שימוש במשימות מתוך ספר הלימוד, המתאימות לתוצרי הלמידה הנדרשים. האיחוד העיקרי של החומר בוצע באווירה של רצון טוב ושיתוף פעולה. בשלב זה עבדתי עם תלמידים חלשים, השאר החליטו לבד, ולאחר מכן בדיקה עצמית מהוועדה.

5. הרגע הבא של השיעור היה השליטה העיקרית בידע. משימה דידקטית של הבמה: חשיפת איכות ורמת השליטה בידע ובשיטות הפעולה, הקפדה על תיקונם. כאן יישמתי גישה מובחנת ללמידה, הצעתי לילדים לבחור משימות בשלוש רמות: בסיסית (א'), בינונית (ב'), מתקדמת (ג'). עשיתי מעקף וסימנתי את התלמידים שבחרו ברמה הבסיסית. תלמידים אלו ביצעו את העבודה בפיקוח המורה.

6. בשלב הבא – לסיכום, נפתרו משימות הניתוח וההערכה של הצלחת השגת המטרה. לסיכום השיעור, ביצעתי במקביל שיקוף של פעילויות חינוכיות. התלמידים למדו כיצד לפתור משוואות טריגונומטריות הומוגניות. ניתנו דירוגים.

7. השלב האחרון הוא מטלת בית. משימה דידקטית: מתן הבנה לתלמידים בתכנים ובשיטות הכנת שיעורי בית. נתן הנחיות קצרות לגבי שיעורי בית.

במהלך השיעור הייתה לי הזדמנות לממש מטרות הוראה, התפתחותיות וחינוכיות. אני חושב שהקלה על כך העובדה שמהדקות הראשונות של השיעור החבר'ה הראו פעילות. הם היו מוכנים לתפיסה של נושא חדש. האווירה בקבוצה הייתה חיובית מבחינה פסיכולוגית.




בעזרת שיעור וידאו זה, התלמידים יוכלו ללמוד את הנושא של משוואות טריגונומטריות הומוגניות.

בואו ניתן הגדרות:

1) משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה הראשונה נראית כמו sin x + b cos x = 0;

2) משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה השנייה נראית כמו sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

שקול את המשוואה a sin x + b cos x = 0. אם a הוא אפס, אז המשוואה תיראה כמו b cos x = 0; אם b הוא אפס, אז המשוואה תיראה כמו sin x = 0. אלו הן המשוואות שקראנו להן הכי פשוטות ופתרנו קודם לכן בנושאים קודמים.

כעת שקול את האפשרות כאשר a ו-b אינם שווים לאפס. על ידי חלוקת חלקי המשוואה בקוסינוס x ונבצע את הטרנספורמציה. נקבל tg x + b = 0, ואז tg x יהיה שווה ל- b/a.

מהאמור לעיל עולה כי המשוואה a sin mx + b cos mx = 0 היא משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה הראשונה. כדי לפתור משוואה, חלקו את חלקיה ב-cos mx.

בואו ננתח דוגמה 1. נפתור 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0. ראשית, חלקו את חלקי המשוואה בקוסינוס (x/2). בידיעה שהסינוס חלקי הקוסינוס הוא הטנגנס, נקבל 7 tg (x / 2) - 5 = 0. בהפיכת הביטוי, נגלה שהערך של הטנגנס (x / 2) הוא 5/7. הפתרון למשוואה זו הוא x = arctan a + πn, במקרה שלנו x = 2 arctan (5/7) + 2πn.

שקול את המשוואה a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

1) עם שווה לאפס, המשוואה תיראה כמו b sin x cos x + c cos 2 x = 0. בהתמרה, נקבל את הביטוי cos x (b sin x + c cos x) = 0 ונמשיך לפתרון של שתי משוואות. לאחר חלוקת חלקי המשוואה בקוסינוס x, נקבל b tg x + c = 0, כלומר tg x = - c/b. בידיעה ש-x \u003d arctan a + πn, אז הפתרון במקרה זה יהיה x \u003d arctg (- c / b) + πn.

2) אם a אינו שווה לאפס, אז על ידי חלוקת חלקי המשוואה בקוסינוס בריבוע, נקבל משוואה המכילה טנגנס, שיהיה ריבוע. ניתן לפתור משוואה זו על ידי הכנסת משתנה חדש.

3) כאשר c שווה לאפס, המשוואה תקבל את הצורה a sin 2 x + b sin x cos x = 0. ניתן לפתור משוואה זו על ידי הוצאת הסינוס של x מהסוגר.

1. לראות אם יש חטא 2 x במשוואה;

2. אם המונח a sin 2 x כלול במשוואה, אז ניתן לפתור את המשוואה על ידי חלוקת שני החלקים בריבוע הקוסינוס ואז הכנסת משתנה חדש.

3. אם המשוואה a sin 2 x אינה מכילה, אז ניתן לפתור את המשוואה על ידי הוצאת הסוגריים cosx.

קחו דוגמה 2. נוציא את הקוסינוס ונקבל שתי משוואות. השורש של המשוואה הראשונה הוא x = π/2 + πn. כדי לפתור את המשוואה השנייה, נחלק את חלקי המשוואה הזו בקוסינוס x, באמצעות טרנספורמציות נקבל x = π/3 + πn. תשובה: x = π/2 + πn ו-x = π/3 + πn.

נפתור דוגמה 3, משוואה בצורה 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 ונמצא את השורשים שלו השייכים לקטע מ- π עד π. כי מכיוון שמשוואה זו אינה הומוגנית, יש צורך לצמצם אותה לצורה הומוגנית. באמצעות הנוסחה sin 2 x + cos 2 x = 1, נקבל את המשוואה sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. מחלקים את כל חלקי המשוואה ב-cos 2 x, נקבל tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 באמצעות הכנסת משתנה חדש z = tg 2x, נפתור את המשוואה שהשורש שלה הוא z = 1. ואז tg 2x = 1, מה שמרמז ש-x = π/8 + (πn)/2. כי לפי מצב הבעיה, צריך למצוא את השורשים השייכים לקטע מ- π עד π, הפתרון ייראה כמו - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

פירוש טקסט:

משוואות טריגונומטריות הומוגניות

היום ננתח כיצד נפתרות "המשוואות הטריגונומטריות ההומוגניות". אלו משוואות מסוג מיוחד.

בואו נכיר את ההגדרה.

סוג משוואה ו-sinx+בחַסַת עָלִיםאיקס = 0 (וסינוס x פלוס להיות קוסינוס x הוא אפס) נקרא משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה הראשונה;

משוואת הצורה חטא 2 x+בחטא xחַסַת עָלִיםאיקס+cחַסַת עָלִים 2 איקס= 0 (וריבוע סינוס x פלוס להיות סינוס x קוסינוס x פלוס se קוסינוס ריבוע x שווה לאפס) נקרא משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה השנייה.

אם a=0, אז המשוואה תקבל את הצורה בחַסַת עָלִיםאיקס = 0.

אם ב = 0 , אז אנחנו מקבלים ו-sin x = 0.

המשוואות הללו הן טריגונומטריות יסודיות, ושקלנו את הפתרון שלהן בנושאים הקודמים שלנו

לשקולבמקרה שבו שני המקדמים אינם אפס. מחלקים את שני הצדדים של המשוואה אחטאאיקס+ בחַסַת עָלִיםאיקס = 0 מונח אחר מונח על חַסַת עָלִיםאיקס.

אנחנו יכולים לעשות זאת, מכיוון שקוסינוס x אינו אפס. אחרי הכל, אם חַסַת עָלִיםאיקס = 0 , ואז המשוואה אחטאאיקס+ בחַסַת עָלִיםאיקס = 0 ייקח את הטופס אחטאאיקס = 0 , א≠ 0, לפיכך חטאאיקס = 0 . מה שאי אפשר, כי לפי הזהות הטריגונומטרית הבסיסית חטא 2x+חַסַת עָלִים 2 איקס=1 .

חלוקת שני הצדדים של המשוואה אחטאאיקס+ בחַסַת עָלִיםאיקס = 0 מונח אחר מונח על חַסַת עָלִיםאיקס, נקבל: + =0

בואו נעשה את השינויים:

1. מאז = tg x, אז =ו-tg x

2 להפחית ב חַסַת עָלִיםאיקס, לאחר מכן

כך נקבל את הביטוי הבא ו-tg x + b =0.



בואו נעשה את השינוי:

1. הזיזו את b לצד ימין של הביטוי עם הסימן הנגדי

ו-tg x \u003d - ב

2. היפטר מהמכפיל וחלוקת שני הצדדים של המשוואה ב-a

tg x= -.

מסקנה: משוואה של הצורה וחטאMx+בחַסַת עָלִיםmx = 0 (והסינוס em x בתוספת הקוסינוס em x הוא אפס) נקראת גם משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה הראשונה. כדי לפתור את זה, חלק את שני הצדדים ב חַסַת עָלִיםmx.

דוגמה 1. פתרו את המשוואה 7 sin - 5 cos \u003d 0 (שבעה סינוס x על שניים פחות חמישה קוסינוס x על שתיים הוא אפס)

פִּתָרוֹן. אנו מחלקים את שני חלקי האיבר של המשוואה לפי איבר ב-cos, אנו מקבלים

1. \u003d 7 tg (מכיוון שהיחס בין סינוס לקוסינוס הוא משיק, אז שבעה סינוס x על ידי שניים חלקי קוסינוס x בשניים שווה ל-7 טנגנס x על ידי שניים)

2. -5 = -5 (כאשר מקוצר cos)

כך קיבלנו את המשוואה

7tg - 5 = 0, בואו נשנה את הביטוי, נעביר מינוס חמש לצד ימין, ונשנה את הסימן.

צמצמנו את המשוואה לצורה tg t = a, כאשר t=, a =. ומכיוון שלמשוואה זו יש פתרון לכל ערך א והפתרונות האלה נראים

x \u003d arctg a + πn, אז הפתרון למשוואה שלנו ייראה כך:

Arctg + πn, מצא את x

x \u003d 2 arctan + 2πn.

תשובה: x \u003d 2 arctg + 2πn.

נעבור למשוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה השנייה

אsin 2 x+b sin x cos x +עםcos2 x= 0.

הבה נבחן מספר מקרים.

אני. אם a=0, אז המשוואה תקבל את הצורה בחטאאיקסחַסַת עָלִיםאיקס+cחַסַת עָלִים 2 איקס= 0.

בעת פתרון הלאחר מכן אנו משתמשים בשיטת הפירוק לגורמים של המשוואות. בוא נוציא חַסַת עָלִיםאיקססוגריים ונקבל: חַסַת עָלִיםאיקס(בחטאאיקס+cחַסַת עָלִיםאיקס)= 0 . איפה חַסַת עָלִיםאיקס= 0 או

b sin x +עםכי x= 0.ואנחנו כבר יודעים איך לפתור את המשוואות האלה.



אנו מחלקים את שני חלקי המשוואה באיבר לפי איבר ב-cosx, אנו מקבלים

1 (מכיוון שהיחס בין סינוס לקוסינוס הוא הטנגנס).

כך נקבל את המשוואה: ב tg x+c=0

צמצמנו את המשוואה לצורה tg t = a, כאשר t= x, a =. ומכיוון שלמשוואה זו יש פתרון לכל ערך אוהפתרונות האלה נראים

x \u003d arctg a + πn, אז הפתרון למשוואה שלנו יהיה:

x \u003d arctg + πn, .

II. אם a≠0, אז נחלק את שני חלקי המשוואה מונח אחר מונח לתוך חַסַת עָלִים 2 איקס.

(בטענה דומה, כמו במקרה של משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה הראשונה, קוסינוס x אינו יכול להיעלם).

III. אם c=0, אז המשוואה תקבל את הצורה אחטא 2 איקס+ בחטאאיקסחַסַת עָלִיםאיקס= 0. משוואה זו נפתרת בשיטת הפירוק לגורמים (להוציא חטאאיקסעבור סוגריים).

אז, כשפותרים את המשוואה אחטא 2 איקס+ בחטאאיקסחַסַת עָלִיםאיקס+cחַסַת עָלִים 2 איקס= 0 אתה יכול לעקוב אחר האלגוריתם:

דוגמה 2. פתרו את המשוואה sinxcosx - cos 2 x= 0 (סינוס x כפול קוסינוס x פחות השורש של שלוש פעמים קוסינוס בריבוע x שווה לאפס).

פִּתָרוֹן. תן לנו לחלק לגורמים (סוגר cosx). לקבל

cos x(sin x - cos x)= 0, כלומר. cos x=0 או sin x - cos x= 0.

תשובה: x \u003d + πn, x \u003d + πn.

דוגמה 3. פתרו את המשוואה 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (שלושה ריבועי סינוס של שניים x מינוס פי שניים המכפלה של הסינוס של שני x והקוסינוס של שני x ועוד שלושה ריבוע קוסינוס של שני x) ולמצוא את השורשים שלו השייכים למרווח (- π; π).

פִּתָרוֹן. משוואה זו אינה הומוגנית, ולכן נבצע טרנספורמציות. המספר 2 המופיע בצד ימין של המשוואה מוחלף במכפלה 2 1

מכיוון שלפי הזהות הטריגונומטרית הבסיסית, חטא 2 x + cos 2 x \u003d 1, אז

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = פתיחת הסוגריים נקבל: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x

אז המשוואה 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 תקבל את הצורה:

3sin 2 2x - 2sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + cos 2 2x =0.

השגנו משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה השנייה. הבה נחיל את החלוקה של מונח אחר מונח ב-cos 2 2x:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

הבה נציג משתנה חדש z=tg2x.

יש לנו z 2 - 2 z + 1 = 0. זוהי משוואה ריבועית. כששמים לב לנוסחת הכפל המקוצר בצד שמאל - ריבוע ההפרש (), נקבל (z - 1) 2 = 0, כלומר. z = 1. נחזור להחלפה הפוכה:



הקטנו את המשוואה לצורה tg t \u003d a, כאשר t \u003d 2x, a \u003d 1. ומכיוון שלמשוואה זו יש פתרון לכל ערך אוהפתרונות האלה נראים

x \u003d arctg x a + πn, אז הפתרון למשוואה שלנו יהיה:

2x \u003d arctg1 + πn,

x \u003d + , (x שווה לסכום של pi כפול שמונה ו-pi en כפול שתיים).

נותר לנו למצוא ערכים כאלה של x הכלולים במרווח

(- π; π), כלומר. לספק את אי השוויון הכפול - π x π. כי

x= + , ואז - π + π. נחלק את כל חלקי אי השוויון ב-π והכפילו ב-8, נקבל

הזז את היחידה ימינה ושמאלה, שינוי הסימן למינוס אחד

נחלק בארבע שנקבל

מטעמי נוחות, בשברים, אנו בוחרים חלקים שלמים

-

אי שוויון זה מסופק על ידי המספר השלם הבא n: -2, -1, 0, 1

משוואות לא ליניאריות בשני לא ידועים

הגדרה 1. תן ל-A להיות חלק קבוצה של זוגות של מספרים (איקס; y). אומרים שהקבוצה A נתונה פונקציה מספריתז משני משתנים x ו-y, אם מצוין כלל, שבעזרתו מוקצה מספר מסוים לכל זוג מספרים מקבוצת A.

ציון פונקציה מספרית z של שני משתנים x ו-y הוא לעתים קרובות לייעדכך:

איפה ו (איקס , y) - כל פונקציה מלבד הפונקציה

ו (איקס , y) = ax+by+c ,

כאשר a, b, c נתונים למספרים.

הגדרה 3. פתרון משוואה (2).שם זוג מספרים איקס; y), שעבורה נוסחה (2) היא שוויון אמיתי.

דוגמה 1. פתור את המשוואה

מכיוון שהריבוע של כל מספר אינו שלילי, נובע מנוסחה (4) שהלא ידועים x ו-y עומדים במערכת המשוואות



הפתרון שלו הוא זוג מספרים (6 ; 3) .

תשובה: (6; 3)

דוגמה 2. פתור את המשוואה

לכן, הפתרון למשוואה (6) הוא מספר אינסופי של זוגות של מספריםסוג

(1 + y ; y) ,

כאשר y הוא מספר כלשהו.

ליניארי

הגדרה 4. פתרון מערכת המשוואות



שם זוג מספרים איקס; y) , תוך החלפתן בכל אחת מהמשוואות של מערכת זו, נקבל את השוויון הנכון.

למערכות של שתי משוואות, אחת מהן לינארית, יש את הצורה



ז(איקס , y)

דוגמה 4. פתור מערכת משוואות

פתרון. הבה נבטא את ה-y הלא ידוע מהמשוואה הראשונה של המערכת (7) במונחים של ה-x הלא ידוע ונחליף את הביטוי המתקבל במשוואה השנייה של המערכת:





פתרון המשוואה

איקס 1 = - 1 , איקס 2 = 9 .

כתוצאה מכך,

y 1 = 8 - איקס 1 = 9 ,
y 2 = 8 - איקס 2 = - 1 .





מערכות של שתי משוואות, אחת מהן הומוגנית

למערכות של שתי משוואות, אחת מהן הומוגנית, יש את הצורה



כאשר a , b , c ניתנים למספרים, ו ז(איקס , y) היא פונקציה של שני משתנים x ו-y.

דוגמה 6. פתור מערכת משוואות

פתרון. בואו נפתור את המשוואה ההומוגנית

3איקס 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3איקס 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

מתייחסים אליו כמשוואה ריבועית ביחס ל-x הלא ידוע:

.

במקרה מתי איקס = - 5y, מהמשוואה השנייה של המערכת (11) נקבל את המשוואה

5y 2 = - 20 ,

שאין לו שורשים.

במקרה מתי

מהמשוואה השנייה של המערכת (11) נקבל את המשוואה

,

ששורשיו הם מספרים y 1 = 3 , y 2 = - 3 . מוצאים עבור כל אחד מהערכים הללו y את הערך המקביל x, אנו מקבלים שני פתרונות למערכת: (- 2 ; 3), (2 ; - 3) .

תשובה: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

דוגמאות לפתרון מערכות משוואות מסוגים אחרים

דוגמה 8. פתרו את מערכת המשוואות (MIPT)

פתרון. אנו מציגים לא ידועים חדשים u ו-v, אשר באים לידי ביטוי במונחים של x ו-y על ידי הנוסחאות:

כדי לשכתב את המערכת (12) במונחים של לא ידועים חדשים, קודם כל מבטאים את הבלתי ידועים x ו-y במונחים של u ו-v. ממערכת (13) עולה כי

אנו פותרים את המערכת הליניארית (14) על ידי אי הכללת המשתנה x מהמשוואה השנייה של מערכת זו. לשם כך, אנו מבצעים את ההמרות הבאות במערכת (14):

• אנו משאירים את המשוואה הראשונה של המערכת ללא שינוי;
• להחסיר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה ולהחליף את המשוואה השנייה של המערכת בהפרש שנוצר.

כתוצאה מכך, מערכת (14) הופכת למערכת מקבילה



שממנו אנו מוצאים

באמצעות נוסחאות (13) ו-(15), אנו משכתבים את המערכת המקורית (12) כ

המשוואה הראשונה של המערכת (16) היא ליניארית, כך שנוכל לבטא את ה-u הלא ידוע ממנה במונחים של ה-v הלא ידוע ולהחליף את הביטוי הזה במשוואה השנייה של המערכת.

"גדולתו של אדם היא ביכולתו לחשוב."
בלייז פסקל.

מטרות השיעור:

1) חינוכית- להכיר לתלמידים משוואות הומוגניות, לשקול שיטות לפתרונן, לתרום ליצירת מיומנויות לפתרון סוגי משוואות טריגונומטריות שנלמדו בעבר.

2) חינוכית- לפתח את הפעילות היצירתית של התלמידים, הפעילות הקוגניטיבית שלהם, החשיבה הלוגית, הזיכרון, היכולת לעבוד במצב בעייתי, להשיג את היכולת לבטא בצורה נכונה, עקבית, רציונלית את מחשבותיהם, להרחיב את אופקי התלמידים, להעלות רמת התרבות המתמטית שלהם.

3) חינוכית- לטפח את הרצון לשיפור עצמי, עבודה קשה, ליצור את היכולת לבצע רשומות מתמטיות בצורה מוכשרת ומדויקת, לטפח פעילות, לקדם עניין במתמטיקה.

סוג שיעור:מְשׁוּלָב.

צִיוּד:

1. כרטיסי ניקוב לשישה תלמידים.
2. קלפים לעבודה עצמאית ופרטנית של תלמידים.
3. עומד "פתרון משוואות טריגונומטריות", "מעגל יחידה נומרית".
4. טבלאות מחושמלות על טריגונומטריה.
5. מצגת לשיעור (תקשורת 1).

במהלך השיעורים

1. שלב ארגוני (2 דקות)

ברכה הדדית; בדיקת מוכנות התלמידים לשיעור (מקום עבודה, מראה חיצוני); ארגון תשומת הלב.

המורה מספר לתלמידים את נושא השיעור (שקופית 2)ומסבירה שהידף שנמצא על השולחנות ישמש במהלך השיעור.

2. חזרה על חומר תיאורטי (15 דקות)

משימות על כרטיסי ניקוב(6 אנשים) . זמן עבודה על כרטיסים מחוררים - 10 דקות (נספח 2)

על ידי פתרון משימות, התלמידים ילמדו היכן מיושמים חישובים טריגונומטריים. מתקבלות התשובות הבאות: טריאנגולציה (טכניקה המאפשרת מדידת מרחקים לכוכבים סמוכים באסטרונומיה), אקוסטיקה, אולטרסאונד, טומוגרפיה, גיאודזיה, קריפטוגרפיה.

(שקופית 5)

סקר קדמי.

1. אילו משוואות נקראות טריגונומטריות?
2. אילו סוגי משוואות טריגונומטריות אתה מכיר?
3. אילו משוואות נקראות המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר?
4. אילו משוואות נקראות טריגונומטריות ריבועיות?
5. נסח את ההגדרה של arcsine של a.
6. נסח את ההגדרה של קוסינוס הקשת של a.
7. נסח את ההגדרה של טנגנס הקשת של a.
8. נסח את ההגדרה של הטנגנס ההפוך של a.

משחק "נחש את מילת הצופן"

בלייז פסקל אמר פעם שמתמטיקה היא מדע כל כך רציני שאסור לפספס הזדמנות להפוך אותה לקצת יותר מבדרת. אז אני מציע לך לשחק. לאחר פתרון הדוגמאות, קבע את רצף הספרות שבאמצעותו מורכבת המילה המוצפנת. בלטינית, משמעות המילה הזו היא "סינוס". (שקופית 3)

2) ארקטן (-√3)

4) tg(arc cos(1/2))

5) tg (arc ctg √3)

תשובה: "תכופף"

המשחק "מתמטיקאי מפוזר»

משימות לעבודה בעל פה מוקרנות על המסך:

בדוק את נכונות פתרון המשוואות.(התשובה הנכונה מופיעה בשקופית לאחר תשובת התלמיד). (שקופית 4)

	תשובות עם שגיאות	תשובות נכונות
	x = ± π/6+2πn	x = ± π/3+2πn
	x = π/3+πn	איקס = (-1) nπ/3+πn
tg x = π/4	x = 1 +πn	tg x \u003d 1, x \u003d π / 4 + πn
	x = ±π/6+ π נ	x = ± π/6+2πנ
	x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + 2πn	x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + P n
	x = ± π/6+2πn	x = ± 5π/6+2πn
כי x = π/3	x = ± 1/2 +2πn	cos x = 1/2, x = ± π/3+2πn

בודק שיעורי בית.

המורה מבסס את נכונות ומודעות שיעורי הבית על ידי כל התלמידים; מזהה פערים בידע; משפר את הידע, הכישורים והיכולות של התלמידים בתחום פתרון המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר.

1 משוואה. התלמיד מעיר על פתרון המשוואה ששורותיה מופיעות בשקופית לפי סדר ההערה). (שקף 6)

√3tg2x = 1;

tg2x=1/√3;

2х= arctg 1/√3 +πn, n ∈ז.

2x \u003d π / 6 + πn, n ∈ז.

x \u003d π / 12 + π/2 n, נ ∈ז.

משוואת 2. פִּתָרוֹן חנכתב לתלמידים על הלוח.

2 sin 2 x + 3 cosx = 0.

3. מימוש ידע חדש (3 דקות)

התלמידים, לבקשת המורה, נזכרים בדרכים לפתור משוואות טריגונומטריות. הם בוחרים את המשוואות שהם כבר יודעים לפתור, שמות את שיטת הפתרון של המשוואה ואת התוצאה . התשובות מופיעות בשקופית. (שקף 7) .

הכנסת משתנה חדש:

מס' 1. 2sin 2x - 7sinx + 3 = 0.

תנו sinx = t, ואז:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

פירוק לגורמים:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

cos4x(3sinx - 1) = 0;

cos4x = 0 או 3 sinx - 1 = 0; …

מספר 3. 2 sinx - 3 cosx = 0,

מס' 4. 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

מוֹרֶה:אתה עדיין לא יודע איך לפתור את שני סוגי המשוואות האחרונים. שניהם מאותו סוג. לא ניתן לצמצם אותם למשוואה עבור פונקציות sinx או cosx. נקראים משוואות טריגונומטריות הומוגניות.אבל רק הראשונה היא משוואה הומוגנית מהמעלה הראשונה, והשנייה היא משוואה הומוגנית מהמעלה השנייה. היום בשיעור תכירו משוואות כאלה ותלמדו איך לפתור אותן.

4. הסבר על חומר חדש (25 דקות)

המורה נותן לתלמידים את ההגדרות של משוואות טריגונומטריות הומוגניות, מציג את הדרכים לפתור אותן.

הַגדָרָה.משוואה בצורה a sinx + b cosx =0, כאשר a ≠ 0, b ≠ 0 נקראת משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה הראשונה.(שקף 8)

דוגמה למשוואה כזו היא משוואה מס' 3. הבה נכתוב את הצורה הכללית של המשוואה וננתח אותה.

ו-sinx + b cosx = 0.

אם cosx = 0, אז sinx = 0.

- האם מצב כזה יכול לקרות?

- לא. השגנו סתירה לזהות הטריגונומטרית הבסיסית.

לפיכך, cosx ≠ 0. בוא נבצע חלוקה של מונח אחר מונח לפי cosx:

a tgx + b = 0

tgx = -b / aהיא המשוואה הטריגונומטרית הפשוטה ביותר.

סיכום:משוואות טריגונומטריות הומוגניות מהמעלה הראשונה נפתרות על ידי חלוקה של שני הצדדים של המשוואה ב-cosx (sinx).

לדוגמה: 2 sinx - 3 cosx = 0,

כי cosx ≠ 0, אם כן



tgx = 3/2 ;

x = arctg (3/2) + πn, n ∈Z.

הַגדָרָה.משוואה בצורת a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 , כאשר a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 נקראת משוואה טריגונומטרית מהמעלה השנייה. (שקף 8)

דוגמה למשוואה כזו היא משוואה מס' 4. הבה נכתוב את הצורה הכללית של המשוואה וננתח אותה.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

אם cosx = 0, אז sinx = 0.

שוב קיבלנו סתירה לזהות הטריגונומטרית הבסיסית.

לפיכך, cosx ≠ 0. בוא נבצע חלוקה של איבר אחר איבר ב-cos 2 x:



ו-tg 2 x + b tgx + c = 0 היא משוואה ריבועית.

מסקנה: אהמשוואות טריגונומטריות הומוגניות מהמעלה השנייה נפתרות על ידי חלוקת שני הצדדים של המשוואה ב-cos 2 x (sin 2 x).

לדוגמה: 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

כי cos 2 x ≠ 0, אם כן



3tg 2 x - 4 tgx + 1 = 0 (הזמינו את התלמיד ללכת ללוח ולהשלים את המשוואה בעצמו).

החלפה: tgx = y. 3y 2 - 4y + 1 = 0

D = 16 - 12 = 4

y 1 = 1 או y 2 = 1/3

tgx=1 או tgx=1/3

x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z.

x = arctg1 + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

5. שלב בדיקת ההבנה של התלמידים בחומר חדש (דקה אחת)

בחר את המשוואה הנוספת:

sinx=2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x - 2 sinx cosx + 4cos 2 x \u003d 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(שקף 9)

6. איחוד חומר חדש (24 דקות).

התלמידים, יחד עם העונים על הלוח, פותרים משוואות לחומר חדש. משימות נכתבות על השקף בצורה של טבלה. בעת פתרון המשוואה, החלק המתאים בתמונה בשקופית נפתח. כתוצאה מביצוע 4 משוואות, נפתח בפני התלמידים דיוקן של מתמטיקאי שהייתה לו השפעה משמעותית על התפתחות הטריגונומטריה. (התלמידים יזהו את דיוקנו של פרנסואה ויטה - המתמטיקאי הדגול שתרם תרומה גדולה לטריגונומטריה, גילה את תכונת השורשים של המשוואה הריבועית המוקטנת ועסק בקריפטוגרפיה) . (שקף 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

כי cosx ≠ 0, אם כן

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

х = arctg (–1/√3) + πn, n ∈Z.

x = –π/6 + πn, n ∈Z.

2) sin 2 x - 10 sinx cosx + 21cos 2 x \u003d 0.

כי cos 2 x ≠ 0, ואז tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0

תַחֲלִיף: tgx = y.

y 2 - 10 y + 21 = 0

y 1 = 7 או y 2 = 3

tgx=7 או tgx=3

x = arctg7 + πn, n ∈Z

x = arctg3 + πn, n ∈Z

3) sin 2 2x - 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

כי cos 2 2x ≠ 0, ואז 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

תַחֲלִיף: tg2x = y.

3y 2 - 6y + 5 = 0

D \u003d 36 - 20 \u003d 16

y 1 = 5 או y 2 = 1

tg2x=5 או tg2x=1

2x = arctg5 + πn, n ∈Z

x = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z

2x = arctg1 + πn, n ∈Z

x = π/8 + π/2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx - sin 2 x - cos 2 x \u003d 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx - cos 2 x \u003d 0.

כי cos 2 x ≠0, ואז 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

תַחֲלִיף: tg x = y.

5y 2 + 4y - 1 = 0

D=16+20=36

y 1 = 1/5 או y 2 = -1

tgx = 1/5 או tgx = -1

x = arctg1/5 + πn, n ∈Z

x = arctg(–1) + πn, n ∈Z

x = –π/4 + πn, n ∈Z

תוספות (על הכרטיס):

פתרו את המשוואה ובחירת אפשרות אחת מבין הארבע המוצעות, נחשו את שמו של המתמטיקאי שהפיק את נוסחאות ההפחתה:

2sin 2 x - 3 sinx cosx - 5cos 2 x = 0.

אפשרויות תשובה:

х = arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π/2 + πn, n ∈Z – P. Chebyshev

x = arctan 12.5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – אוקלידס

х = arctg 5 + πn, n ∈Z х = –π/3 + πn, n ∈Z – Sofia Kovalevskaya

x = arctg2.5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – לאונרד אוילר

תשובה נכונה: לאונרד אוילר.

7. עבודה עצמאית מובדלת (8 דקות)

המתמטיקאי והפילוסוף הגדול לפני יותר מ-2500 שנה הציע דרך לפתח יכולות שכליות. "חשיבה מתחילה בפליאה," אמר. שוכנענו שוב ושוב בנכונות המילים הללו היום. לאחר השלמת עבודה עצמאית על 2 אפשרויות, תוכל להראות כיצד למדת את החומר ולגלות את שמו של המתמטיקאי הזה. לעבודה עצמאית, השתמש בדפי המידע שנמצא על שולחנותיך. אתה יכול לבחור בעצמך אחת משלוש המשוואות המוצעות. אבל זכור שעל ידי פתרון המשוואה המתאימה לצהוב, אתה יכול לקבל רק "3", פתרון המשוואה המקבילה לירוק - "4", אדום - "5". (נספח 3)

בכל רמת קושי שהתלמידים בוחרים, לאחר הפתרון הנכון של המשוואה, האפשרות הראשונה מקבלת את המילה "ARIST", השנייה - "HOTEL". בשקופית מתקבלת המילה: "ARIST-HOTEL". (שקף 11)

עלונים עם עבודה עצמאית נמסרים לאימות. (נספח 4)

8. הקלטת שיעורי בית (דקה אחת)

D/z: §7.17. חבר ופתור 2 משוואות הומוגניות מהמעלה הראשונה ומשוואה הומוגנית אחת מהמעלה השנייה (באמצעות משפט Vieta לצורך הידור). (שקף 12)

9. סיכום השיעור, ציון (2 דקות)

המורה שוב מפנה את תשומת הלב לאותם סוגי משוואות ואותן עובדות תיאורטיות שנזכרו בשיעור, מדברות על הצורך ללמוד אותן.

התלמידים עונים על השאלות:

1. איזה סוג של משוואות טריגונומטריות אנחנו מכירים?
2. איך פותרים את המשוואות האלה?

המורה מציין את העבודה המוצלחת ביותר בשיעור של תלמידים בודדים, שם סימנים.

היום נעסוק במשוואות טריגונומטריות הומוגניות. ראשית, נעסוק בטרמינולוגיה: מהי משוואה טריגונומטרית הומוגנית. יש לו את המאפיינים הבאים:

1. זה צריך לכלול כמה מונחים;
2. כל המונחים חייבים להיות באותה מידה;
3. כל הפונקציות הנכללות בזהות טריגונומטרית הומוגנית חייבות להיות בעל אותו ארגומנט.

אלגוריתם פתרון

הפרידו את התנאים

ואם הכל ברור עם הנקודה הראשונה, אז כדאי לדבר על השני ביתר פירוט. מה המשמעות של אותה דרגת מונחים? בואו נסתכל על המשימה הראשונה:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

האיבר הראשון במשוואה זו הוא 3cosx 3\cos x. שימו לב שיש כאן רק פונקציה טריגונומטרית אחת - cosx\cos x - ואין כאן פונקציות טריגונומטריות אחרות, כך שהדרגה של האיבר הזה היא 1. אותו דבר עם השני - 5sinx 5 \ sin x - רק הסינוס קיים כאן, כלומר גם מידת האיבר הזה שווה לאחד. לכן, לפנינו זהות המורכבת משני יסודות, שכל אחד מהם מכיל פונקציה טריגונומטרית, ובו בזמן רק אחד. זוהי משוואה מדרגה ראשונה.

נעבור לביטוי השני:

4חטא2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

המונח הראשון של בנייה זו הוא 4חטא2 איקס 4((\sin )^(2))x.

כעת נוכל לכתוב את הפתרון הבא:

חטא2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

במילים אחרות, המונח הראשון מכיל שתי פונקציות טריגונומטריות, כלומר, המידה שלו היא שתיים. בואו נעסוק באלמנט השני - חטא 2x\sin 2x. זכור את הנוסחה הבאה - נוסחת הזווית הכפולה:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

ושוב, בנוסחה המתקבלת, יש לנו שתי פונקציות טריגונומטריות - סינוס וקוסינוס. לפיכך, גם ערך ההספק של חבר זה בקונסטרוקציה שווה לשניים.

נפנה ליסוד השלישי - 3. מהקורס במתמטיקה בתיכון, אנו זוכרים שניתן להכפיל כל מספר ב-1, ולכן אנו כותבים:

˜ 3=3⋅1

ואת היחידה המשתמשת בזהות הטריגונומטרית הבסיסית ניתן לכתוב בצורה הבאה:

1=חטא2 x⋅ חַסַת עָלִים2 איקס

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x

לכן, נוכל לשכתב את 3 באופן הבא:

3=3(חטא2 x⋅ חַסַת עָלִים2 איקס)=3חטא2 x+3 חַסַת עָלִים2 איקס

3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

לפיכך, מונח 3 שלנו פוצל לשני אלמנטים, שכל אחד מהם הומוגני ובעל תואר שני. הסינוס באיבר הראשון מופיע פעמיים, הקוסינוס בשני מופיע גם פעמיים. לפיכך, 3 יכול להיות מיוצג גם כאיבר עם מעריך של שניים.

אותו דבר עם הביטוי השלישי:

חטא3 x+ חטא2 xcosx=2 חַסַת עָלִים3 איקס

בוא נראה. הקדנציה הראשונה - חטא3 איקס((\sin )^(3))x היא פונקציה טריגונומטרית מהמעלה השלישית. האלמנט השני הוא חטא2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

חטא2 ((\sin )^(2)) הוא קישור בעל ערך חזק של שתיים כפול cosx\cos x הוא האיבר של הראשון. בסך הכל, גם למונח השלישי יש ערך כוח של שלוש. לבסוף, בצד ימין יש עוד קישור - 2חַסַת עָלִים3 איקס 2((\cos )^(3))x הוא אלמנט מהמעלה השלישית. לפיכך, יש לנו משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה השלישית.

רשמנו שלוש זהויות בדרגות שונות. שימו לב שוב לביטוי השני. בערך המקורי יש לאחד החברים ויכוח 2x 2x. אנו נאלצים להיפטר מהטיעון הזה על ידי הפיכתו לפי הנוסחה של הסינוס של זווית כפולה, כי כל הפונקציות הכלולות בזהות שלנו חייבות להיות בעל אותו ארגומנט. וזוהי דרישה למשוואות טריגונומטריות הומוגניות.

אנו משתמשים בנוסחה של הזהות הטריגונומטרית הראשית ורושמים את הפתרון הסופי

הבנו את התנאים, עברו לפתרון. ללא קשר למעריך ההספק, פתרון שוויון מסוג זה מתבצע תמיד בשני שלבים:

1) להוכיח זאת

cosx≠0

\cos x\ne 0. לשם כך, די להיזכר בנוסחה של הזהות הטריגונומטרית הבסיסית (חטא2 x⋅ חַסַת עָלִים2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) והחליפו לנוסחה זו cosx=0\cosx=0. נקבל את הביטוי הבא:

חטא2 x=1sinx=±1

\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)

החלפת הערכים שהושגו, כלומר במקום cosx\cos x הוא אפס, ובמקום סינקס\sin x - 1 או -1, בביטוי המקורי, נקבל שוויון מספרי שגוי. זה הנימוק לכך

cosx≠0

2) השלב השני נובע באופן הגיוני מהראשון. בגלל ה

cosx≠0

\cos x\ne 0, אנו מחלקים את שני הצדדים של הבנייה שלנו ב חַסַת עָלִיםנאיקס((\cos )^(n))x, שבו נ n הוא מעריך ההספק של המשוואה הטריגונומטרית ההומוגנית. מה זה נותן לנו:

\[\begin(array)((35)(l))

סינקסcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \end(מערך)\]

בשל כך, הבנייה הראשונית המסורבלת שלנו מצטמצמת למשוואה נ n-חזקה ביחס למשיק, שהפתרון שלו נכתב בקלות באמצעות שינוי משתנה. זה כל האלגוריתם. בואו נראה איך זה עובד בפועל.

אנחנו פותרים בעיות אמיתיות

משימה 1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

כבר גילינו שזו משוואה טריגונומטרית הומוגנית עם מעריך כוח שווה לאחד. לכן, קודם כל, בואו נגלה את זה cosx≠0\cos x\ne 0. נניח להפך

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

נחליף את הערך המתקבל בביטוי שלנו, נקבל:

3⋅0+5⋅(±1)=0±5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end(align)

על סמך זה, ניתן לומר זאת cosx≠0\cos x\ne 0. חלקו את המשוואה שלנו ב cosx\cos x מכיוון שלכל הביטוי שלנו יש ערך כוח של אחד. אנחנו מקבלים:

3(cosxcosx) +5(סינקסcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(align)

זה לא ערך טבלה, אז התשובה תכלול arctgx arctgx:

x=arctg (−3 5 ) + πn,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

בגלל ה arctg arctg arctg היא פונקציה מוזרה, אנחנו יכולים להוציא את ה"מינוס" מהארגומנט ולשים אותו לפני arctg. אנחנו מקבלים את התשובה הסופית:

x=−arctg 3 5 + πn,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

משימה מס' 2

4חטא2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

כפי שאתה זוכר, לפני שתמשיך עם הפתרון שלה, אתה צריך לבצע כמה טרנספורמציות. אנו מבצעים טרנספורמציות:

4חטא2 x+2sinxcosx−3 (חטא2 x+ חַסַת עָלִים2 איקס)=0 4חטא2 x+2sinxcosx−3 חטא2 x−3 חַסַת עָלִים2 x=0חטא2 x+2sinxcosx−3 חַסַת עָלִים2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (ליישר)

קיבלנו מבנה המורכב משלושה אלמנטים. בקדנציה הראשונה אנו רואים חטא2 ((\sin )^(2)), כלומר ערך ההספק שלו הוא שניים. בקדנציה השנייה, אנחנו רואים סינקס\sin x ו cosx\cos x - שוב, יש שתי פונקציות, הן מוכפלות, אז המעלה הכוללת היא שוב שתיים. בקישור השלישי אנו רואים חַסַת עָלִים2 איקס((\cos )^(2))x - דומה לערך הראשון.

בואו נוכיח את זה cosx=0\cos x=0 אינו פתרון לבנייה זו. כדי לעשות זאת, נניח שההפך:

\[\begin(array)((35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\end(מערך)\]

הוכחנו זאת cosx=0\cos x=0 לא יכול להיות פתרון. אנחנו עוברים לשלב השני - אנחנו מחלקים את כל הביטוי שלנו ב חַסַת עָלִים2 איקס((\cos )^(2))x. למה בריבוע? מכיוון שהמעריך של המשוואה ההומוגנית הזו שווה לשניים:

חטא2 איקסחַסַת עָלִים2 איקס+2sinxcosxחַסַת עָלִים2 איקס−3=0 ט ז2 x+2tgx−3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end(align)

האם ניתן לפתור את הביטוי הזה באמצעות המבחין? כן, בהחלט ייתכן. אבל אני מציע להיזכר במשפט הפונה למשפט של וייטה, ואנו מבינים שניתן לייצג את הפולינום הזה כשני פולינומים פשוטים, כלומר:

(tgx+3) (tgx−1)=0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + πk,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(align)

תלמידים רבים שואלים האם כדאי לכתוב מקדמים נפרדים לכל קבוצת פתרונות לזהויות, או לא לטרוח ולכתוב את אותו מקדם בכל מקום. אני אישית חושב שעדיף ואמין יותר להשתמש באותיות שונות, כך שבמקרה שבו נכנסים לאוניברסיטה טכנית רצינית עם מבחנים נוספים במתמטיקה, המפקחים לא מוצאים פגם בתשובה.

משימה מס' 3

חטא3 x+ חטא2 xcosx=2 חַסַת עָלִים3 איקס

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

אנחנו כבר יודעים שזו משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה השלישית, אין צורך בנוסחאות מיוחדות, וכל מה שנדרש מאיתנו הוא להעביר את המונח 2חַסַת עָלִים3 איקס 2((\cos )^(3))x משמאל. שִׁכתוּב:

חטא3 x+ חטא2 xcosx−2 חַסַת עָלִים3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

אנו רואים שכל אלמנט מכיל שלוש פונקציות טריגונומטריות, כך שלמשוואה זו יש ערך חזק של שלוש. אנחנו פותרים את זה. קודם כל צריך להוכיח את זה cosx=0\cos x=0 אינו שורש:

\[\begin(array)((35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(מערך)\]

החלף את המספרים האלה במבנה המקורי שלנו:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0-0=0±1=0

\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end(align)

כתוצאה מכך, cosx=0\cos x=0 אינו פתרון. הוכחנו את זה cosx≠0\cos x\ne 0. כעת, לאחר שהוכחנו זאת, אנו מחלקים את המשוואה המקורית שלנו ב חַסַת עָלִים3 איקס((\cos )^(3))x. למה בקובייה? כי זה עתה הוכחנו שלמשוואה המקורית שלנו יש חזקה שלישית:

חטא3 איקסחַסַת עָלִים3 איקס+חטא2 xcosxחַסַת עָלִים3 איקס−2=0 ט ז3 x+t ז2 x−2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\end(align)

בואו נציג משתנה חדש:

tgx=t

שכתוב המבנה:

ט3 +ט2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

יש לנו משוואה מעוקבת. איך לפתור את זה? בתחילה, כשרק ערכתי את סרטון ההדרכה הזה, תכננתי לדבר תחילה על פירוק פולינומים לגורמים ותחבולות אחרות. אבל במקרה הזה, הכל הרבה יותר פשוט. תראה, הזהות המופחתת שלנו, עם המונח בעל הדרגה הגבוהה ביותר, היא 1. בנוסף, כל המקדמים הם מספרים שלמים. וזה אומר שאנחנו יכולים להשתמש בתוצאה של משפט בזוט, שאומר שכל השורשים הם מחלקים של המספר -2, כלומר, מונח חופשי.

נשאלת השאלה: מה מחולק ב-2. מכיוון ש-2 הוא מספר ראשוני, אין כל כך הרבה אפשרויות. זה יכול להיות המספרים הבאים: 1; 2; -אחד; -2. שורשים שליליים נעלמים מיד. למה? מכיוון ששניהם גדולים מ-0 בערך המוחלט, לכן, ט3 ((t)^(3)) יהיה גדול יותר במודולוס מאשר ט2 ((t)^(2)). ומכיוון שהקוביה היא פונקציה אי זוגית, אז המספר בקובייה יהיה שלילי, ו ט2 ((t)^(2)) הוא חיובי, וכל המבנה הזה, עם t=−1 t=-1 ו t=−2 t=-2 לא יהיה גדול מ-0. נחסר ממנו -2 ונקבל מספר שכמובן קטן מ-0. נותרו רק 1 ו-2. בוא נחליף כל אחד מהמספרים האלה:

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0

קיבלנו את השוויון המספרי הנכון. כתוצאה מכך, t=1 t=1 הוא השורש.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0

t=2 t=2 אינו שורש.

לפי המסקנה ואותו משפט בזוט, כל פולינום שהשורש שלו הוא איקס0 ((x)_(0)), מייצגים כ:

Q(x)=(x= איקס0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

במקרה שלנו, כמו איקס x הוא משתנה ט t, ובתפקיד איקס0 ((x)_(0)) הוא שורש השווה ל-1. נקבל:

ט3 +ט2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

איך למצוא פולינום פ (ט) P\left(t\right)? ברור שאתה צריך לעשות את הפעולות הבאות:

P(t)= ט3 +ט2 −2 t-1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

אנו מחליפים:

ט3 +ט2 +0⋅t−2t-1=ט2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

אז, הפולינום המקורי שלנו מחולק ללא שארית. לפיכך, אנו יכולים לשכתב את השוויון המקורי שלנו כ:

(t-1)( ט2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

המכפלה שווה לאפס כאשר לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס. כבר שקלנו את הגורם הראשון. בואו נסתכל על השני:

ט2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

סטודנטים מנוסים כנראה כבר הבינו שלבנייה הזו אין שורשים, אבל בואו בכל זאת נחשב את המבחין.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

המבחין קטן מ-0, כך שלביטוי אין שורשים. בסך הכל צומצמה הבנייה הענקית לשוויון הרגיל:

\[\begin(array)((35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(מערך)\]

לסיכום, אני רוצה להוסיף כמה הערות על המשימה האחרונה:

1. האם התנאי תמיד יתקיים cosx≠0\cos x\ne 0, והאם יש לבצע בדיקה זו בכלל. כמובן, לא תמיד. במקרים שבהם cosx=0\cos x=0 הוא פתרון לשוויון שלנו, עלינו להוציא אותו מסוגריים ואז משוואה הומוגנית מלאה תישאר בסוגריים.
2. מהי החלוקה של פולינום בפולינום. ואכן, רוב בתי הספר אינם לומדים זאת, וכאשר תלמידים רואים מבנה כזה לראשונה, הם חווים זעזוע קל. אבל, למעשה, זוהי טכניקה פשוטה ויפה שמקלה מאוד על פתרון משוואות בדרגות גבוהות יותר. כמובן שיוקדש לו סרטון הדרכה נפרד, אותו אפרסם בעתיד הקרוב.

נקודות מפתח

משוואות טריגונומטריות הומוגניות הן נושא מועדף במבחנים שונים. הם נפתרים בפשטות רבה - מספיק להתאמן פעם אחת. כדי להבהיר על מה אנחנו מדברים, אנו מציגים הגדרה חדשה.

משוואה טריגונומטרית הומוגנית היא כזו שבה כל איבר שאינו אפס מורכב מאותו מספר של גורמים טריגונומטריים. אלה יכולים להיות סינוסים, קוסינוסים או שילובים שלהם - שיטת הפתרון היא תמיד זהה.

הדרגה של משוואה טריגונומטרית הומוגנית היא מספר הגורמים הטריגונומטריים הכלולים במונחים שאינם אפס. דוגמאות:

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 — זהות מדרגה ראשונה;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text(sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - דרגה 2;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - דרגה שלישית;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - והמשוואה הזו אינה הומוגנית, שכן ישנה יחידה מימין - איבר שאינו אפס, שאין בו גורמים טריגונומטריים;

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 היא גם משוואה לא הומוגנית. אֵלֵמֶנט חטא 2x\sin 2x - התואר השני (כי אתה יכול לדמיין

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2 \ sin x - הראשון, והמונח 3 הוא בדרך כלל אפס, מכיוון שאין בו סינוסים או קוסינוסים.

ערכת פתרונות כללית

סכימת הפתרונות תמיד זהה:

בואו נעמיד פנים כך cosx=0\cosx=0. לאחר מכן sinx=±1\sin x=\pm 1 - זה נובע מהזהות הראשית. תחליף סינקס\sin x ו cosx\cos x לתוך הביטוי המקורי, ואם התוצאה היא שטות (לדוגמה, הביטוי 5=0 5=0), עבור לנקודה השנייה;

אנחנו מחלקים הכל בחזקת הקוסינוס: cosx, cos2x, cos3x... - תלוי בערך ההספק של המשוואה. אנו מקבלים את השוויון הרגיל עם משיקים, שנפתר בהצלחה לאחר ההחלפה tgx=t.

tgx=tהשורשים שנמצאו יהיו התשובה לביטוי המקורי.