כיצד לפתור לוגריתמים עם בסיסים שונים. הגדרת הלוגריתם ותכונותיו: תיאוריה ופתרון בעיות

הפרטיות שלך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת ​​כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא קרא את מדיניות הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם כדי לזהות או ליצור קשר עם אדם ספציפי.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

• בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובתך אימיילוכו '

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

• המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר וליידע אותך לגבי הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים אחרים ואירועים קרובים.
• מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח לך הודעות והודעות חשובות.
• אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
• אם תצטרף להגרלת פרס, לתחרות או תמריץ דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

חשיפה לצדדים שלישיים

איננו חושפים מידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

• במקרה שהדבר נחוץ - בהתאם לחוק, לצו שיפוטי, בהליכים משפטיים ו/או בהתבסס על בקשות או בקשות ציבוריות מגופים ממלכתיים בשטח הפדרציה הרוסית - חשפו את המידע האישי שלכם. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו היא הכרחית או מתאימה עבור אבטחה, אכיפת חוק או ציבור אחר אירועים חשובים.
• במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים ליורש הצד השלישי הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם מפני גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

שמירה על פרטיותך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים לעובדים שלנו נוהלי פרטיות ואבטחה ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.

ניתנים המאפיינים העיקריים של הלוגריתם הטבעי, גרף, תחום ההגדרה, קבוצת ערכים, נוסחאות בסיסיות, נגזרת, אינטגרל, הרחבה בסדרת חזקות וייצוג הפונקציה ln x באמצעות מספרים מרוכבים.

הַגדָרָה

לוגריתם טבעיהיא הפונקציה y = ln x, הפוך למעריך, x \u003d e y , והוא הלוגריתם לבסיס המספר e: ln x = log e x.

הלוגריתם הטבעי נמצא בשימוש נרחב במתמטיקה מכיוון שלנגזרת שלו יש את הצורה הפשוטה ביותר: (ln x)′ = 1/ x.

מבוסס הגדרות, הבסיס של הלוגריתם הטבעי הוא המספר ה:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

גרף של הפונקציה y = ln x.

גרף של הלוגריתם הטבעי (פונקציות y = ln x) מתקבל מהחלקה המעריכית תמונת מראהביחס לישר y = x .

הלוגריתם הטבעי מוגדר עבור ערכים חיוביים של x . הוא גדל באופן מונוטוני בתחום ההגדרה שלו.

בתור x → 0 הגבול של הלוגריתם הטבעי הוא מינוס אינסוף ( - ∞ ).

בתור x → + ∞, הגבול של הלוגריתם הטבעי הוא פלוס אינסוף ( + ∞ ). עבור x גדול, הלוגריתם גדל לאט למדי. כל פונקציית כוח x a עם מעריך חיובי a גדל מהר יותר מהלוגריתם.

תכונות הלוגריתם הטבעי

תחום הגדרה, סט ערכים, אקסטרים, עלייה, ירידה

הלוגריתם הטבעי הוא פונקציה הגדלה מונוטונית, ולכן אין לו קיצוניות. המאפיינים העיקריים של הלוגריתם הטבעי מוצגים בטבלה.

ln x ערכי

log 1 = 0

נוסחאות בסיסיות ללוגריתמים טבעיים

נוסחאות הנובעות מהגדרת הפונקציה ההפוכה:

המאפיין העיקרי של לוגריתמים והשלכותיו

נוסחת החלפת בסיס

כל לוגריתם יכול לבוא לידי ביטוי במונחים של לוגריתמים טבעיים באמצעות נוסחת שינוי הבסיס:

ההוכחות של נוסחאות אלו מוצגות בסעיף "לוגריתם".

פונקציה הפוכה

ההדדיות של הלוגריתם הטבעי הוא המעריך.

אם, אז

אם, אז.

נגזרת ln x

נגזרת של הלוגריתם הטבעי:
.
נגזרת של הלוגריתם הטבעי של המודולו x:
.
נגזרת מהסדר ה-n:
.
גזירת נוסחאות > > >

בלתי נפרד

האינטגרל מחושב על ידי אינטגרציה לפי חלקים:
.
כך,

ביטויים במונחים של מספרים מרוכבים

שקול פונקציה של משתנה מורכב z:
.
בואו נבטא את המשתנה המורכב זבאמצעות מודול רוטיעון φ :
.
באמצעות המאפיינים של הלוגריתם, יש לנו:
.
אוֹ
.
הטיעון φ אינו מוגדר באופן ייחודי. אם נשים
, כאשר n הוא מספר שלם,
אז זה יהיה אותו מספר עבור n שונה.

לכן, הלוגריתם הטבעי, כפונקציה של משתנה מורכב, אינו פונקציה בעלת ערך יחיד.

הרחבת סדרת הכוח

עבור , ההרחבה מתרחשת:

הפניות:
I.N. ברונשטיין, ק.א. Semendyaev, מדריך מתמטיקה למהנדסים וסטודנטים של מוסדות חינוך גבוהים, Lan, 2009.

אנו ממשיכים ללמוד לוגריתמים. במאמר זה נדבר על חישוב לוגריתמים, נקרא תהליך זה לוֹגָרִיתְם. ראשית, נעסוק בחישוב לוגריתמים בהגדרה. לאחר מכן, שקול כיצד הערכים של לוגריתמים נמצאים באמצעות המאפיינים שלהם. לאחר מכן, נתעכב על חישוב הלוגריתמים דרך תחילה נקודות קבעלוגריתמים אחרים. לבסוף, בואו נלמד כיצד להשתמש בטבלאות לוגריתמים. כל התיאוריה מסופקת עם דוגמאות עם פתרונות מפורטים.

ניווט בדף.

מחשוב לוגריתמים בהגדרה

במקרים הפשוטים ביותר, ניתן לבצע במהירות ובקלות מציאת הלוגריתם בהגדרה. בואו נסתכל מקרוב על איך תהליך זה מתרחש.

המהות שלו היא לייצג את המספר b בצורה a c, ומכאן, לפי הגדרת הלוגריתם, המספר c הוא הערך של הלוגריתם. כלומר, בהגדרה, מציאת הלוגריתם תואמת את שרשרת השוויון הבאה: log a b=log a a c =c .

אז, חישוב הלוגריתם, מעצם הגדרתו, מסתכם במציאת מספר c ש- a c \u003d b, והמספר c עצמו הוא הערך הרצוי של הלוגריתם.

בהתחשב במידע של הפסקאות הקודמות, כאשר המספר מתחת לסימן הלוגריתם ניתן על ידי מידה מסוימת של בסיס הלוגריתם, אז אתה יכול מיד לציין למה שווה הלוגריתם - הוא שווה למעריך. בואו נראה דוגמאות.

דוגמא.

מצא את log 2 2-3, וחשב גם את הלוגריתם הטבעי של e 5.3.

פִּתָרוֹן.

ההגדרה של הלוגריתם מאפשרת לנו לומר מיד שלוג 2 2 −3 = −3. ואכן, המספר מתחת לסימן הלוגריתם שווה לבסיס 2 בחזקת −3.

באופן דומה, אנו מוצאים את הלוגריתם השני: lne 5.3 =5.3.

תשובה:

log 2 2 −3 = −3 ו-lne 5.3 =5.3.

אם המספר b מתחת לסימן הלוגריתם אינו נתון כחזקת הבסיס של הלוגריתם, אז אתה צריך לשקול היטב האם ניתן להמציא ייצוג של המספר b בצורה a c . לעתים קרובות ייצוג זה ברור למדי, במיוחד כאשר המספר מתחת לסימן הלוגריתם שווה לבסיס בחזקת 1, או 2, או 3, ...

דוגמא.

חשב את הלוגריתמים יומן 5 25, ו.

פִּתָרוֹן.

קל לראות ש-25=5 2, זה מאפשר לך לחשב את הלוגריתם הראשון: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

אנו ממשיכים לחישוב הלוגריתם השני. ניתן לייצג מספר בחזקת 7: (ראה במידת הצורך). לָכֵן, .

בואו נכתוב מחדש את הלוגריתם השלישי פנימה הטופס הבא. עכשיו אתה יכול לראות את זה , מכאן אנו מסיקים זאת . לכן, לפי הגדרת הלוגריתם .

בקצרה, ניתן לכתוב את הפתרון כך:

תשובה:

log 5 25=2 , ו .

כאשר יש ערך מספיק גדול מתחת לסימן הלוגריתם מספר טבעי, אז לא יזיק לפרק אותו לגורמים ראשוניים. לעתים קרובות זה עוזר לייצג מספר כזה ככוח כלשהו של בסיס הלוגריתם, ולכן, לחשב את הלוגריתם הזה בהגדרה.

דוגמא.

מצא את הערך של הלוגריתם.

פִּתָרוֹן.

כמה מאפיינים של לוגריתמים מאפשרים לך לציין מיד את הערך של לוגריתמים. מאפיינים אלו כוללים את המאפיין של הלוגריתם של אחד ואת התכונה של הלוגריתם של מספר השווה לבסיס: log 1 1=log a a 0 =0 ו-log a a=log a a 1 =1 . כלומר, כאשר המספר 1 או המספר a נמצאים מתחת לסימן הלוגריתם, שווה לבסיס הלוגריתם, אזי במקרים אלו הלוגריתמים הם 0 ו-1, בהתאמה.

דוגמא.

מהם הלוגריתמים ו-lg10?

פִּתָרוֹן.

מאז , זה נובע מהגדרת הלוגריתם .

בדוגמה השנייה, המספר 10 מתחת לסימן הלוגריתם עולה בקנה אחד עם הבסיס שלו, כך שהלוגריתם העשרוני של עשר שווה לאחד, כלומר lg10=lg10 1 =1 .

תשובה:

ו lg10=1 .

שימו לב שחישוב לוגריתמים בהגדרה (עליהם דנו בפסקה הקודמת) מרמז על שימוש ביומן השוויון a a p =p , שהוא אחד המאפיינים של לוגריתמים.

בפועל, כאשר המספר מתחת לסימן הלוגריתם ובסיס הלוגריתם מיוצגים בקלות בחזקת מספר כלשהו, ​​נוח מאוד להשתמש בנוסחה , התואם לאחת מתכונות הלוגריתמים. שקול דוגמה למציאת הלוגריתם, הממחישה את השימוש בנוסחה זו.

דוגמא.

חשב את הלוגריתם של .

פִּתָרוֹן.

תשובה:

.

המאפיינים של לוגריתמים שלא הוזכרו לעיל משמשים גם בחישוב, אך נדבר על כך בפסקאות הבאות.

מציאת לוגריתמים במונחים של לוגריתמים ידועים אחרים

המידע בפסקה זו ממשיך את נושא השימוש בתכונות הלוגריתמים בחישובם. אבל כאן ההבדל העיקרי הוא שתכונות הלוגריתמים משמשות לבטא את הלוגריתם המקורי במונחים של לוגריתם אחר, שערכו ידוע. ניקח דוגמה להבהרה. נניח שאנו יודעים ש-log 2 3≈1.584963 , אז נוכל למצוא, למשל, log 2 6 על-ידי ביצוע טרנספורמציה קטנה באמצעות המאפיינים של הלוגריתם: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

בדוגמה שלמעלה, זה הספיק לנו להשתמש בתכונה של הלוגריתם של המוצר. עם זאת, לעתים קרובות יותר אתה צריך להשתמש בארסנל רחב יותר של מאפיינים של לוגריתמים על מנת לחשב את הלוגריתם המקורי במונחים של אלה הנתונים.

דוגמא.

חשב את הלוגריתם של 27 לבסיס 60 אם ידוע שלוג 60 2=a ו-log 60 5=b .

פִּתָרוֹן.

אז אנחנו צריכים למצוא יומן 60 27. קל לראות ש-27=3 3, והלוגריתם המקורי, בשל תכונת הלוגריתם של התואר, ניתנים לכתיבה מחדש כ-3·log 60 3 .

עכשיו בואו נראה כיצד ניתן לבטא יומן 60 3 במונחים של לוגריתמים ידועים. התכונה של הלוגריתם של מספר השווה לבסיס מאפשרת לכתוב את יומן השוויון 60 60=1 . מצד שני, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 לוג 60 2+לוג 60 3+לוג 60 5 . לכן, 2 לוג 60 2+לוג 60 3+לוג 60 5=1. לָכֵן, log 60 3=1−2 log 60 2-log 60 5=1−2 a-b.

לבסוף, אנו מחשבים את הלוגריתם המקורי: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 ב.

תשובה:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

בנפרד, כדאי להזכיר את משמעות הנוסחה למעבר לבסיס חדש של הלוגריתם של הצורה . זה מאפשר לך לעבור מלוגריתמים עם כל בסיס ללוגריתמים עם בסיס ספציפי, שהערכים שלהם ידועים או שאפשר למצוא אותם. בדרך כלל, מהלוגריתם המקורי, לפי נוסחת המעבר, עוברים ללוגריתמים באחד מהבסיסים 2, e או 10, שכן עבור בסיסים אלו יש טבלאות לוגריתמים המאפשרות לחשב אותם במידה מסוימת של דיוק. בחלק הבא נראה כיצד זה נעשה.

טבלאות לוגריתמים, השימוש בהם

לחישוב משוער של ערכי הלוגריתמים, אפשר להשתמש טבלאות לוגריתמים. הנפוצים ביותר הם טבלת הלוגריתם בסיס 2, טבלת הלוגריתמים הטבעית וטבלת הלוגריתמים העשרונית. כשעובדים במערכת המספרים העשרוניים, נוח להשתמש בטבלת לוגריתמים לבסיס עשר. בעזרתו, נלמד למצוא את ערכי הלוגריתמים.

הטבלה המוצגת מאפשרת, בדיוק של עשרת אלפים, למצוא את ערכי הלוגריתמים העשרוניים של מספרים מ-1.000 עד 9.999 (עם שלושה מקומות עשרוניים). העיקרון של מציאת ערך הלוגריתם באמצעות טבלת הלוגריתמים העשרוניים ינותח ב דוגמה ספציפית- הרבה יותר ברור. בוא נמצא lg1,256 .

בעמודה השמאלית של טבלת הלוגריתמים העשרוניים אנו מוצאים את שתי הספרות הראשונות של המספר 1.256, כלומר אנו מוצאים 1.2 (מספר זה מוקף בכחול לצורך הבהירות). הספרה השלישית של המספר 1.256 (מספר 5) נמצאת בשורה הראשונה או האחרונה משמאל לקו הכפול (מספר זה מוקף באדום). ספרה רביעית מספר מקורי 1.256 (מספר 6) נמצא בשורה הראשונה או האחרונה מימין לקו הכפול (מספר זה מוקף בירוק). כעת אנו מוצאים את המספרים בתאים של טבלת הלוגריתמים במפגש בין השורה המסומנת והעמודות המסומנות (מספרים אלה מודגשים תפוז). סכום המספרים המסומנים נותן את הערך הרצוי של הלוגריתם העשרוני עד למקום העשרוני הרביעי, כלומר, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

האם ניתן, באמצעות הטבלה לעיל, למצוא את ערכי הלוגריתמים העשרוניים של מספרים שיש להם יותר משלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית, וגם לחרוג מהמגבלות מ-1 עד 9.999? כן אתה יכול. בואו נראה איך זה נעשה עם דוגמה.

בואו לחשב lg102.76332 . קודם כל צריך לכתוב מספר בצורה סטנדרטית: 102.76332=1.0276332 10 2 . לאחר מכן, יש לעגל את המנטיסה למעלה למקום העשרוני השלישי, יש לנו 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, בעוד שהלוגריתם העשרוני המקורי שווה בערך ללוגריתם של המספר המתקבל, כלומר, ניקח lg102.76332≈lg1.028·10 2 . כעת החל את המאפיינים של הלוגריתם: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. לבסוף, נמצא את הערך של הלוגריתם lg1.028 לפי טבלת הלוגריתמים העשרוניים lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. כתוצאה מכך, כל תהליך חישוב הלוגריתם נראה כך: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

לסיכום, ראוי לציין כי באמצעות טבלת הלוגריתמים העשרוניים, ניתן לחשב את הערך המשוער של כל לוגריתם. כדי לעשות זאת, די להשתמש בנוסחת המעבר כדי לעבור ללוגריתמים עשרוניים, למצוא את הערכים שלהם בטבלה ולבצע את שאר החישובים.

לדוגמה, בוא נחשב לוג 2 3 . לפי הנוסחה למעבר לבסיס חדש של הלוגריתם, יש לנו . מטבלת הלוגריתמים העשרוניים אנו מוצאים את lg3≈0.4771 ו-lg2≈0.3010. לכן, .

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ועוד. אלגברה והתחלות הניתוח: ספר לימוד לכיתות י'-יא' של מוסדות חינוך כלליים.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. מתמטיקה (מדריך למועמדים לבתי ספר טכניים).

המוקד של מאמר זה הוא לוֹגָרִיתְם. כאן ניתן את ההגדרה של הלוגריתם, נראה את הסימון המקובל, ניתן דוגמאות ללוגריתמים, ונדבר על לוגריתמים טבעיים ועשרוניים. לאחר מכן, שקול את הזהות הלוגריתמית הבסיסית.

ניווט בדף.

הגדרה של לוגריתם

הרעיון של לוגריתם מתעורר כאשר פותרים בעיה במובן מסוים הפוך, כאשר אתה צריך למצוא את המעריך ב ערך ידועתואר ובסיס ידוע.

אבל די בהקדמה, הגיע הזמן לענות על השאלה "מהו לוגריתם"? בואו ניתן הגדרה הולמת.

הַגדָרָה.

לוגריתם של b לבסיס a, כאשר a>0 , a≠1 ו-b>0 הוא המעריך שאליו אתה צריך להעלות את המספר a כדי לקבל b כתוצאה מכך.

בשלב זה, נציין שהמילה המדוברת "לוגריתם" צריכה להעלות מיד שתי שאלות עוקבות אחריו: "איזה מספר" ו"על איזה בסיס". במילים אחרות, פשוט אין לוגריתם, אלא יש רק לוגריתם של מספר בבסיס כלשהו.

מיד נציג סימון לוגריתם: הלוגריתם של המספר b לבסיס a מסומן בדרך כלל כ-log a b. ללוגריתם של המספר b לבסיס e וללוגריתם לבסיס 10 יש ייעודים מיוחדים משלהם lnb ו-lgb בהתאמה, כלומר, הם כותבים לא log e b, אלא lnb, ולא log 10 b, אלא lgb.

עכשיו אתה יכול להביא: .
והרשומות לא הגיוני, מכיוון שבראשון שבהם יש מספר שלילי מתחת לסימן הלוגריתם, בשני - מספר שלילי בבסיס, ובשלישי - גם מספר שלילי בסימן הלוגריתם וגם יחידה בבסיס.

עכשיו בואו נדבר על כללים לקריאת לוגריתמים. יומן הכניסה a b נקרא כ"לוגריתם של b לבסיס a". לדוגמה, לוג 2 3 הוא הלוגריתם של שלוש לבסיס 2, והוא הלוגריתם של שתי נקודות שני שלישים לבסיס שורש ריבועימתוך חמישה. הלוגריתם לבסיס e נקרא לוגריתם טבעי, והסימון lnb נקרא "הלוגריתם הטבעי של b". לדוגמה, ln7 הוא הלוגריתם הטבעי של שבע, ונקרא אותו כלוגריתם הטבעי של פאי. ללוגריתם לבסיס 10 יש גם שם מיוחד - לוגריתם עשרוני, והסימון lgb נקרא "לוגריתם עשרוני b". לדוגמה, lg1 הוא הלוגריתם העשרוני של אחד, ו-lg2.75 הוא הלוגריתם העשרוני של שתי נקודות שבעים וחמש מאיות.

כדאי להתעכב בנפרד על התנאים a>0, a≠1 ו-b>0, שבהם ניתנת הגדרת הלוגריתם. הבה נסביר מהיכן מגיעות ההגבלות הללו. לשם כך, נעזר בשוויון של הצורה, הנקראת , הנובעת ישירות מהגדרת הלוגריתם שניתנה לעיל.

נתחיל עם a≠1 . מכיוון שאחד שווה לאחד בכל חזקה, אז השוויון יכול להיות נכון רק עבור b=1, אבל log 1 1 יכול להיות כל מספר ממשי. כדי למנוע אי בהירות זו, a≠1 מתקבל.

הבה נבסס את כדאיות התנאי a>0 . עם a=0, לפי הגדרת הלוגריתם, יהיה לנו שוויון, מה שאפשר רק עם b=0 . אבל אז יומן 0 0 יכול להיות כל מספר ממשי שאינו אפס, שכן אפס לכל חזקה שאינה אפס הוא אפס. ניתן למנוע אי בהירות זו על ידי התנאי a≠0 . ובשביל א<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

לבסוף, התנאי b>0 נובע מאי השוויון a>0, שכן, וערך התואר עם בסיס חיובי a תמיד חיובי.

לסיכום פסקה זו, אנו אומרים שההגדרה המושמעת של הלוגריתם מאפשרת לך לציין מיד את ערך הלוגריתם כאשר המספר מתחת לסימן הלוגריתם הוא מידה מסוימת של בסיס. ואכן, הגדרת הלוגריתם מאפשרת לנו לקבוע שאם b=a p, אז הלוגריתם של המספר b לבסיס a שווה ל-p . כלומר, יומן השוויון a a p =p נכון. לדוגמה, אנו יודעים ש-2 3 =8 , ואז log 2 8=3 . נדבר על כך יותר במאמר.

מאפיינים בסיסיים.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

אותם נימוקים

log6 4 + log6 9.

עכשיו בואו נסבך מעט את המשימה.

דוגמאות לפתרון לוגריתמים

מה אם יש תואר בבסיס או בארגומנט של הלוגריתם? אז ניתן להוציא את המעריך של תואר זה מהסימן של הלוגריתם לפי הכללים הבאים:

כמובן, כל הכללים הללו הגיוניים אם הלוגריתם של ODZ מתקיים: a > 0, a ≠ 1, x >

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:

מעבר לקרן חדשה

תנו ללוגקס הלוגריתם להינתן. אז עבור כל מספר c כך ש-c > 0 ו-c ≠ 1, השוויון נכון:

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:

ראה גם:

מאפיינים בסיסיים של הלוגריתם

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

המעריך הוא 2.718281828... כדי לזכור את המעריך, אתה יכול ללמוד את הכלל: המעריך הוא 2.7 ופעמיים בשנת הלידה של ליאו טולסטוי.

מאפיינים בסיסיים של לוגריתמים

הכרת הכלל הזה תדע ו ערך מדויקמציגים, ותאריך לידתו של ליאו טולסטוי.

דוגמאות ללוגריתמים

קח את הלוגריתם של הביטויים

דוגמה 1
א). x=10ac^2 (a>0, c>0).

לפי מאפיינים 3,5 אנו מחשבים

2.

3.

4. איפה .

דוגמה 2 מצא את x if

דוגמה 3. ניתן לתת את הערך של הלוגריתמים

חשב log(x) if

מאפיינים בסיסיים של לוגריתמים

לוגריתמים, כמו כל מספר, ניתן להוסיף, לגרוע ולהמיר בכל דרך אפשרית. אבל מכיוון שהלוגריתמים אינם מספרים רגילים לגמרי, יש כאן חוקים שנקראים מאפיינים בסיסיים.

חוקים אלו חייבים להיות ידועים - לא ניתן לפתור בעיה לוגריתמית רצינית בלעדיהם. בנוסף, יש מעט מאוד מהם - הכל ניתן ללמוד ביום אחד. אז בואו נתחיל.

חיבור וחיסור של לוגריתמים

שקול שני לוגריתמים עם אותו בסיס: לוגקס ולוגאי. לאחר מכן ניתן להוסיף ולהחסיר אותם, ו:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

אז, סכום הלוגריתמים שווה ללוגריתם של המכפלה, וההבדל הוא הלוגריתם של המנה. הערה: רגע מפתחכאן - אותם נימוקים. אם הבסיסים שונים, הכללים האלה לא עובדים!

נוסחאות אלו יסייעו בחישוב הביטוי הלוגריתמי גם כאשר חלקיו הבודדים אינם נחשבים (ראה השיעור "מהו לוגריתם"). תסתכל על הדוגמאות וראה:

מכיוון שהבסיסים של הלוגריתמים זהים, אנו משתמשים בנוסחת הסכום:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log2 48 − log2 3.

הבסיסים זהים, אנו משתמשים בנוסחת ההבדל:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log3 135 − log3 5.

שוב, הבסיסים זהים, אז יש לנו:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

כפי שניתן לראות, הביטויים המקוריים מורכבים מלוגריתמים "רעים", שאינם נחשבים בנפרד. אבל לאחר טרנספורמציות מסתבר מספרים נורמליים למדי. בהתבסס על עובדה זו, רבים עבודות מבחן. כן, שליטה - ביטויים דומים במלוא הרצינות (לפעמים - כמעט ללא שינויים) מוצעים בבחינה.

הסרת המעריך מהלוגריתם

קל לראות שהכלל האחרון עוקב אחר השניים הראשונים שלהם. אבל עדיף בכל זאת לזכור - במקרים מסוימים זה יקטין משמעותית את כמות החישובים.

כמובן, כל הכללים האלה הגיוניים אם מתקיים הלוגריתם של ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. ועוד דבר: למד ליישם את כל הנוסחאות לא רק משמאל לימין, אלא גם להיפך, כלומר. אתה יכול להזין את המספרים לפני הסימן של הלוגריתם לתוך הלוגריתם עצמו. זה מה שנדרש לרוב.

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log7 496.

בואו נפטר מהדרגה בטיעון לפי הנוסחה הראשונה:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:

שימו לב שהמכנה הוא לוגריתם שהבסיס והארגומנט שלו הם בחזקות מדויקות: 16 = 24; 49 = 72. יש לנו:

אני חושב שהדוגמה האחרונה דורשת הבהרה. לאן נעלמו הלוגריתמים? עד הרגע האחרון אנחנו עובדים רק עם המכנה.

נוסחאות לוגריתמים. לוגריתמים הם דוגמאות לפתרונות.

הם הציגו את הבסיס והטיעון של הלוגריתם שעומד שם בצורה של מעלות והוציאו את האינדיקטורים - הם קיבלו שבר של "שלוש קומות".

עכשיו בואו נסתכל על השבר העיקרי. למונה ולמכנה יש אותו מספר: log2 7. מכיוון ש-log2 7 ≠ 0, נוכל לצמצם את השבר - 2/4 יישאר במכנה. לפי כללי החשבון ניתן להעביר את הארבעה למונה, מה שנעשה. התוצאה היא התשובה: 2.

מעבר לקרן חדשה

כשדיברתי על הכללים לחיבור והפחתה של לוגריתמים, הדגשתי במיוחד שהם עובדים רק עם אותם בסיסים. מה אם הבסיסים שונים? מה אם הם לא חזקות מדויקות של אותו מספר?

נוסחאות למעבר לבסיס חדש באות לעזרה. אנו מנסחים אותם בצורה של משפט:

תנו ללוגקס הלוגריתם להינתן. אז עבור כל מספר c כך ש-c > 0 ו-c ≠ 1, השוויון נכון:

בפרט, אם נשים את c = x, נקבל:

מהנוסחה השנייה עולה שאפשר להחליף בין הבסיס לבין הטיעון של הלוגריתם, אבל במקרה זה הביטוי כולו "מתהפך", כלומר. הלוגריתם נמצא במכנה.

נוסחאות אלה נמצאות רק לעתים נדירות בביטויים מספריים רגילים. אפשר להעריך עד כמה הם נוחים רק כאשר פותרים משוואות ואי-שוויון לוגריתמיות.

עם זאת, ישנן משימות שלא ניתן לפתור כלל מלבד מעבר לקרן חדשה. בואו נשקול כמה כאלה:

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log5 16 log2 25.

שימו לב שהארגומנטים של שני הלוגריתמים הם אקספוננטים מדויקים. הבה נוציא את האינדיקטורים: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

כעת נהפוך את הלוגריתם השני:

מכיוון שהמכפלה לא משתנה מתמורה של גורמים, הכפלנו בשלווה ארבע ושתיים, ואז הבנו את הלוגריתמים.

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log9 100 lg 3.

הבסיס והטיעון של הלוגריתם הראשון הם חזקות מדויקות. בואו נרשום את זה ונפטר מהאינדיקטורים:

עכשיו בואו נפטר מהלוגריתם העשרוני על ידי מעבר לבסיס חדש:

זהות לוגריתמית בסיסית

לעתים קרובות בתהליך הפתרון נדרש לייצג מספר כלוגריתם לבסיס נתון. במקרה זה, הנוסחאות יעזרו לנו:

במקרה הראשון, המספר n הופך למעריך בארגומנט. המספר n יכול להיות כל דבר, כי זה רק הערך של הלוגריתם.

הנוסחה השנייה היא למעשה הגדרה פרפרזה. זה נקרא כך:

ואכן, מה יקרה אם המספר b יועלה לדרגה כזו שהמספר b בדרגה זו נותן את המספר a? נכון: זה אותו מספר א'. קרא שוב את הפסקה הזו בעיון - אנשים רבים "תולים" בה.

כמו נוסחאות המרת הבסיס החדשות, הזהות הלוגריתמית הבסיסית היא לפעמים הפתרון האפשרי היחיד.

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:

שימו לב ש-log25 64 = log5 8 - פשוט הוציאו את הריבוע מהבסיס ואת הארגומנט של הלוגריתם. בהינתן הכללים להכפלת כוחות עם אותו בסיס, אנחנו מקבלים:

אם מישהו לא יודע, זו הייתה משימה אמיתית מבחינת המדינה המאוחדת 🙂

יחידה לוגריתמית ואפס לוגריתמי

לסיכום, אתן שתי זהויות שקשה לקרוא להן מאפיינים – אלא אלו השלכות מהגדרת הלוגריתם. הם נמצאים כל הזמן בבעיות ובאופן מפתיע יוצרים בעיות גם לתלמידים "מתקדמים".

1. logaa = 1 הוא. זכור אחת ולתמיד: הלוגריתם לכל בסיס a מאותו בסיס עצמו שווה לאחד.
2. loga 1 = 0 הוא. הבסיס a יכול להיות כל דבר, אבל אם הארגומנט הוא אחד, הלוגריתם הוא אפס! כי a0 = 1 היא תוצאה ישירה של ההגדרה.

זה כל הנכסים. הקפד לתרגל ליישם אותם! הורידו את דף הצ'יט בתחילת השיעור, הדפיסו אותו ופתרו את הבעיות.

ראה גם:

הלוגריתם של המספר b לבסיס a מציין את הביטוי. לחשב את הלוגריתם פירושו למצוא חזקת x() כזו שבה השוויון נכון

מאפיינים בסיסיים של הלוגריתם

המאפיינים שלעיל צריכים להיות ידועים, שכן, על בסיסם, כמעט כל הבעיות והדוגמאות נפתרות על סמך לוגריתמים. את המאפיינים האקזוטיים הנותרים ניתן להפיק על ידי מניפולציות מתמטיות עם נוסחאות אלה

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

בעת חישוב הנוסחאות עבור הסכום וההפרש של לוגריתמים (3.4) נתקלים לעתים קרובות למדי. השאר מורכבים במקצת, אך במספר משימות הם הכרחיים לפישוט ביטויים מורכבים וחישוב ערכיהם.

מקרים נפוצים של לוגריתמים

חלק מהלוגריתמים הנפוצים הם אלו שבהם הבסיס הוא אפילו עשר, אקספוננציאלי או דווק.
הלוגריתם של בסיס עשר נקרא בדרך כלל לוגריתם הבסיס עשר והוא מסומן בפשטות lg(x).

ניתן לראות מהרשומה שהיסודות אינם כתובים ברשומה. לדוגמה

הלוגריתם הטבעי הוא הלוגריתם שהבסיס שלו הוא המעריך (מסומן ln(x)).

המעריך הוא 2.718281828... כדי לזכור את המעריך, אתה יכול ללמוד את הכלל: המעריך הוא 2.7 ופעמיים בשנת הלידה של ליאו טולסטוי. בידיעת הכלל הזה, תדע גם את הערך המדויק של המעריך וגם את תאריך הלידה של ליאו טולסטוי.

ועוד לוגריתם בסיס שני חשוב הוא

הנגזרת של הלוגריתם של הפונקציה שווה לאחד חלקי המשתנה

הלוגריתם האינטגרלי או האנטי-נגזרת נקבע על פי התלות

החומר הנ"ל מספיק בשבילך כדי לפתור מחלקה רחבה של בעיות הקשורות ללוגריתמים וללוגריתמים. למען הבנת החומר, אתן רק כמה דוגמאות נפוצות מ מערכת של ביהסואוניברסיטאות.

דוגמאות ללוגריתמים

קח את הלוגריתם של הביטויים

דוגמה 1
א). x=10ac^2 (a>0, c>0).

לפי מאפיינים 3,5 אנו מחשבים

2.
לפי תכונת ההבדל של לוגריתמים, יש לנו

3.
באמצעות מאפיינים 3.5 אנו מוצאים

4. איפה .

לפי המבט ביטוי מורכבשימוש בסדרה של כללים מפושט לטופס

מציאת ערכי לוגריתם

דוגמה 2 מצא את x if

פִּתָרוֹן. לצורך החישוב, אנו מיישמים את המאפיינים 5 ו-13 עד לקדנציה האחרונה

מחליף בפרוטוקול ומתאבל

מכיוון שהבסיסים שווים, אנו משווים את הביטויים

לוגריתמים. שלב ראשון.

תן את הערך של הלוגריתמים

חשב log(x) if

פתרון: קח את הלוגריתם של המשתנה כדי לכתוב את הלוגריתם דרך סכום האיברים

זוהי רק ההתחלה של היכרות עם לוגריתמים ותכונותיהם. תרגל חישובים, העשיר את הכישורים המעשיים שלך - בקרוב תזדקק לידע הנרכש כדי לפתור משוואות לוגריתמיות. לאחר שלמדנו את השיטות הבסיסיות לפתרון משוואות כאלה, נרחיב את הידע שלך לנושא חשוב לא פחות - אי שוויון לוגריתמי ...

מאפיינים בסיסיים של לוגריתמים

לוגריתמים, כמו כל מספר, ניתן להוסיף, לגרוע ולהמיר בכל דרך אפשרית. אבל מכיוון שהלוגריתמים אינם מספרים רגילים לגמרי, יש כאן חוקים שנקראים מאפיינים בסיסיים.

חוקים אלו חייבים להיות ידועים - לא ניתן לפתור בעיה לוגריתמית רצינית בלעדיהם. בנוסף, יש מעט מאוד מהם - הכל ניתן ללמוד ביום אחד. אז בואו נתחיל.

חיבור וחיסור של לוגריתמים

שקול שני לוגריתמים עם אותו בסיס: לוגקס ולוגאי. לאחר מכן ניתן להוסיף ולהחסיר אותם, ו:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

אז, סכום הלוגריתמים שווה ללוגריתם של המכפלה, וההבדל הוא הלוגריתם של המנה. שימו לב: נקודת המפתח כאן היא - אותם נימוקים. אם הבסיסים שונים, הכללים האלה לא עובדים!

נוסחאות אלו יסייעו בחישוב הביטוי הלוגריתמי גם כאשר חלקיו הבודדים אינם נחשבים (ראה השיעור "מהו לוגריתם"). תסתכל על הדוגמאות וראה:

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log6 4 + log6 9.

מכיוון שהבסיסים של הלוגריתמים זהים, אנו משתמשים בנוסחת הסכום:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log2 48 − log2 3.

הבסיסים זהים, אנו משתמשים בנוסחת ההבדל:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log3 135 − log3 5.

שוב, הבסיסים זהים, אז יש לנו:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

כפי שניתן לראות, הביטויים המקוריים מורכבים מלוגריתמים "רעים", שאינם נחשבים בנפרד. אבל לאחר טרנספורמציות מסתבר מספרים נורמליים למדי. בדיקות רבות מבוססות על עובדה זו. כן, שליטה - ביטויים דומים במלוא הרצינות (לפעמים - כמעט ללא שינויים) מוצעים בבחינה.

הסרת המעריך מהלוגריתם

עכשיו בואו נסבך מעט את המשימה. מה אם יש תואר בבסיס או בארגומנט של הלוגריתם? אז ניתן להוציא את המעריך של תואר זה מהסימן של הלוגריתם לפי הכללים הבאים:

קל לראות שהכלל האחרון עוקב אחר השניים הראשונים שלהם. אבל עדיף בכל זאת לזכור - במקרים מסוימים זה יקטין משמעותית את כמות החישובים.

כמובן, כל הכללים האלה הגיוניים אם מתקיים הלוגריתם של ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. ועוד דבר: למד ליישם את כל הנוסחאות לא רק משמאל לימין, אלא גם להיפך, כלומר. אתה יכול להזין את המספרים לפני הסימן של הלוגריתם לתוך הלוגריתם עצמו.

כיצד לפתור לוגריתמים

זה מה שנדרש לרוב.

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log7 496.

בואו נפטר מהדרגה בטיעון לפי הנוסחה הראשונה:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:

שימו לב שהמכנה הוא לוגריתם שהבסיס והארגומנט שלו הם בחזקות מדויקות: 16 = 24; 49 = 72. יש לנו:

אני חושב שהדוגמה האחרונה דורשת הבהרה. לאן נעלמו הלוגריתמים? עד הרגע האחרון אנחנו עובדים רק עם המכנה. הם הציגו את הבסיס והטיעון של הלוגריתם שעומד שם בצורה של מעלות והוציאו את האינדיקטורים - הם קיבלו שבר של "שלוש קומות".

עכשיו בואו נסתכל על השבר העיקרי. למונה ולמכנה יש אותו מספר: log2 7. מכיוון ש-log2 7 ≠ 0, נוכל לצמצם את השבר - 2/4 יישאר במכנה. לפי כללי החשבון ניתן להעביר את הארבעה למונה, מה שנעשה. התוצאה היא התשובה: 2.

מעבר לקרן חדשה

כשדיברתי על הכללים לחיבור והפחתה של לוגריתמים, הדגשתי במיוחד שהם עובדים רק עם אותם בסיסים. מה אם הבסיסים שונים? מה אם הם לא חזקות מדויקות של אותו מספר?

נוסחאות למעבר לבסיס חדש באות לעזרה. אנו מנסחים אותם בצורה של משפט:

תנו ללוגקס הלוגריתם להינתן. אז עבור כל מספר c כך ש-c > 0 ו-c ≠ 1, השוויון נכון:

בפרט, אם נשים את c = x, נקבל:

מהנוסחה השנייה עולה שאפשר להחליף בין הבסיס לבין הטיעון של הלוגריתם, אבל במקרה זה הביטוי כולו "מתהפך", כלומר. הלוגריתם נמצא במכנה.

נוסחאות אלה נמצאות רק לעתים נדירות בביטויים מספריים רגילים. אפשר להעריך עד כמה הם נוחים רק כאשר פותרים משוואות ואי-שוויון לוגריתמיות.

עם זאת, ישנן משימות שלא ניתן לפתור כלל מלבד מעבר לקרן חדשה. בואו נשקול כמה כאלה:

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log5 16 log2 25.

שימו לב שהארגומנטים של שני הלוגריתמים הם אקספוננטים מדויקים. הבה נוציא את האינדיקטורים: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

כעת נהפוך את הלוגריתם השני:

מכיוון שהמכפלה לא משתנה מתמורה של גורמים, הכפלנו בשלווה ארבע ושתיים, ואז הבנו את הלוגריתמים.

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי: log9 100 lg 3.

הבסיס והטיעון של הלוגריתם הראשון הם חזקות מדויקות. בואו נרשום את זה ונפטר מהאינדיקטורים:

עכשיו בואו נפטר מהלוגריתם העשרוני על ידי מעבר לבסיס חדש:

זהות לוגריתמית בסיסית

לעתים קרובות בתהליך הפתרון נדרש לייצג מספר כלוגריתם לבסיס נתון. במקרה זה, הנוסחאות יעזרו לנו:

במקרה הראשון, המספר n הופך למעריך בארגומנט. המספר n יכול להיות כל דבר, כי זה רק הערך של הלוגריתם.

הנוסחה השנייה היא למעשה הגדרה פרפרזה. זה נקרא כך:

ואכן, מה יקרה אם המספר b יועלה לדרגה כזו שהמספר b בדרגה זו נותן את המספר a? נכון: זה אותו מספר א'. קרא שוב את הפסקה הזו בעיון - אנשים רבים "תולים" בה.

כמו נוסחאות המרת הבסיס החדשות, הזהות הלוגריתמית הבסיסית היא לפעמים הפתרון האפשרי היחיד.

מְשִׁימָה. מצא את הערך של הביטוי:

שימו לב ש-log25 64 = log5 8 - פשוט הוציאו את הריבוע מהבסיס ואת הארגומנט של הלוגריתם. בהינתן הכללים להכפלת חזקות עם אותו בסיס, אנו מקבלים:

אם מישהו לא יודע, זו הייתה משימה אמיתית מבחינת המדינה המאוחדת 🙂

יחידה לוגריתמית ואפס לוגריתמי

לסיכום, אתן שתי זהויות שקשה לקרוא להן מאפיינים – אלא אלו השלכות מהגדרת הלוגריתם. הם נמצאים כל הזמן בבעיות ובאופן מפתיע יוצרים בעיות גם לתלמידים "מתקדמים".

1. logaa = 1 הוא. זכור אחת ולתמיד: הלוגריתם לכל בסיס a מאותו בסיס עצמו שווה לאחד.
2. loga 1 = 0 הוא. הבסיס a יכול להיות כל דבר, אבל אם הארגומנט הוא אחד, הלוגריתם הוא אפס! כי a0 = 1 היא תוצאה ישירה של ההגדרה.

זה כל הנכסים. הקפד לתרגל ליישם אותם! הורידו את דף הצ'יט בתחילת השיעור, הדפיסו אותו ופתרו את הבעיות.