כיצד להחסיר מספרים עם שונים. הוספת מספרים עם סימנים שונים - ידע היפרמרקט

בשיעור זה נלמד חיבור וחיסור של מספרים שלמים, וכן כללים לחיבור וחיסור שלהם.

נזכיר שמספרים שלמים הם כולם מספרים חיוביים ושליליים, כמו גם המספר 0. לדוגמה, המספרים הבאים הם מספרים שלמים:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

מספרים חיוביים הם קלים, ו. למרבה הצער, לא ניתן לומר זאת על מספרים שליליים, המבלבלים מתחילים רבים עם המינוסים שלהם לפני כל ספרה. כפי שמראה בפועל, טעויות שנעשו עקב מספרים שליליים מטרידות את התלמידים ביותר.

תוכן השיעור

דוגמאות של חיבור וחיסור מספרים שלמים

הדבר הראשון שצריך ללמוד הוא להוסיף ולהחסיר מספרים שלמים באמצעות קו הקואורדינטות. אין צורך לצייר קו קואורדינטות. מספיק לדמיין את זה במחשבות שלך ולראות איפה המספרים השליליים ואיפה החיוביים.

שקול את הביטוי הפשוט ביותר: 1 + 3. הערך של ביטוי זה הוא 4:

ניתן להבין דוגמה זו באמצעות קו הקואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר 1, אתה צריך לזוז שלושה שלבים ימינה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה בה נמצא המספר 4. באיור ניתן לראות כיצד זה קורה:

סימן הפלוס בביטוי 1 + 3 אומר לנו שעלינו לנוע ימינה בכיוון של גידול במספרים.

דוגמה 2בוא נמצא את הערך של הביטוי 1 − 3.

הערך של ביטוי זה הוא −2

ניתן להבין שוב דוגמה זו באמצעות קו הקואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר 1, אתה צריך לזוז שלושה שלבים שמאלה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה שבה נמצא המספר השלילי −2. האיור מראה כיצד זה קורה:

סימן המינוס בביטוי 1 − 3 אומר לנו שעלינו לנוע שמאלה בכיוון של ירידה במספרים.

באופן כללי, עלינו לזכור שאם מתבצעת הוספה, אז צריך לנוע ימינה לכיוון הגידול. אם מתבצעת חיסור, אז אתה צריך לנוע שמאלה לכיוון הירידה.

דוגמה 3מצא את הערך של הביטוי −2 + 4

הערך של ביטוי זה הוא 2

ניתן להבין שוב דוגמה זו באמצעות קו הקואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר השלילי -2, אתה צריך לזוז ארבעה שלבים ימינה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה בה נמצא המספר החיובי 2.

ניתן לראות שעברנו מהנקודה אליה נמצא המספר השלילי −2 צד ימיןארבעה שלבים, והגיעו לנקודה שבה נמצא המספר החיובי 2.

סימן הפלוס בביטוי -2 + 4 אומר לנו שעלינו לנוע ימינה בכיוון של גידול במספרים.

דוגמה 4מצא את הערך של הביטוי −1 − 3

הערך של ביטוי זה הוא −4

ניתן לפתור את הדוגמה הזו שוב באמצעות קו קואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר השלילי −1, אתה צריך לזוז שלושה שלבים שמאלה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה בה נמצא המספר השלילי -4

ניתן לראות שעברנו מהנקודה אליה נמצא המספר השלילי −1 צד שמאלשלושה שלבים, והגיעו לנקודה שבה נמצא המספר השלילי −4.

סימן המינוס בביטוי -1 - 3 אומר לנו שעלינו לנוע שמאלה בכיוון של ירידה במספרים.

דוגמה 5מצא את הערך של הביטוי −2 + 2

הערך של ביטוי זה הוא 0

ניתן לפתור דוגמה זו באמצעות קו קואורדינטות. כדי לעשות זאת, מהנקודה שבה נמצא המספר השלילי −2, אתה צריך לזוז שני שלבים ימינה. כתוצאה מכך, נמצא את עצמנו בנקודה שבה נמצא המספר 0

ניתן לראות שעברנו מהנקודה בה נמצא המספר השלילי −2 ימינה בשני שלבים והגענו לנקודה בה נמצא המספר 0.

סימן הפלוס בביטוי -2 + 2 אומר לנו שעלינו לנוע ימינה בכיוון של גידול במספרים.

כללים לחיבור והפחתה של מספרים שלמים

כדי להוסיף או להחסיר מספרים שלמים, אין בכלל צורך לדמיין קו קואורדינטות בכל פעם, שלא לדבר על לצייר אותו. יותר נוח להשתמש בכללים מוכנים.

בעת יישום הכללים, עליך לשים לב לסימן הפעולה ולסימני המספרים שיש להוסיף או לגרוע. זה יקבע איזה כלל ליישם.

דוגמה 1מצא את הערך של הביטוי −2 + 5

כאן מתווסף מספר חיובי למספר שלילי. במילים אחרות, מספרים מתווספים סימנים שונים. −2 הוא שלילי ו-5 הוא חיובי. במקרים כאלה חל הכלל הבא:

כדי להוסיף מספרים עם סימנים שונים, צריך להחסיר מודול קטן יותר ממודול גדול יותר, ולשים את הסימן של המספר שהמודול שלו גדול יותר לפני התשובה.

אז בואו נראה איזה מודול גדול יותר:

המודולוס של 5 גדול מהמודלוס של -2. הכלל מחייב להחסיר את הקטן מהמודול הגדול יותר. לכן, עלינו להחסיר 2 מ-5, ולפני התשובה המתקבלת לשים את הסימן של המספר שהמודלוס שלו גדול יותר.

למספר 5 יש מודולוס גדול יותר, ולכן הסימן של המספר הזה יהיה בתשובה. כלומר, התשובה תהיה חיובית:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

בדרך כלל נכתב קצר יותר: −2 + 5 = 3

דוגמה 2מצא את הערך של הביטוי 3 + (-2)

כאן, כמו בדוגמה הקודמת, מתבצעת הוספה של מספרים עם סימנים שונים. 3 הוא חיובי ו-2 הוא שלילי. שימו לב שהמספר -2 מוקף בסוגריים כדי להבהיר את הביטוי. ביטוי זה הרבה יותר קל להבנה מאשר הביטוי 3+−2.

אז, אנו מיישמים את הכלל של הוספת מספרים עם סימנים שונים. כמו בדוגמה הקודמת, נחסר את המודול הקטן מהמודול הגדול יותר ונשים את הסימן של המספר שהמודול שלו גדול יותר לפני התשובה:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

המודולוס של המספר 3 גדול מהמודלוס של המספר −2, אז הורדנו 2 מ-3, ושמנו את הסימן של מספר המודולוס הגדול יותר לפני התשובה. למספר 3 יש מודול גדול יותר, אז הסימן של המספר הזה מוכנס בתשובה. כלומר, התשובה היא כן.

בדרך כלל נכתב קצר יותר 3 + (−2) = 1

דוגמה 3מצא את הערך של הביטוי 3 - 7

בביטוי זה, המספר הגדול מופחת מהמספר הקטן. במקרה כזה חל הכלל הבא:

כדי להחסיר מספר גדול ממספר קטן יותר, יותרהורידו את הקטן והניחו סימן מינוס לפני התשובה.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

יש סתירה קלה בביטוי הזה. נזכיר שסימן השוויון (=) ממוקם בין ערכים וביטויים כאשר הם שווים זה לזה.

הערך של הביטוי 3 − 7, כפי שלמדנו, הוא −4. המשמעות היא שכל הטרנספורמציות שנבצע בביטוי הזה חייבות להיות שווה ל-4

אבל אנחנו רואים שהביטוי 7 − 3 נמצא בשלב השני, שאינו שווה ל- 4.

כדי לתקן מצב זה, יש לשים את הביטוי 7 - 3 בסוגריים ולשים מינוס לפני סוגריים זה:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

במקרה זה, יישמר שוויון בכל שלב:

לאחר הערכת הביטוי, ניתן להסיר את הסוגריים, מה שעשינו.

אז ליתר דיוק, הפתרון צריך להיראות כך:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

ניתן לכתוב כלל זה באמצעות משתנים. זה ייראה כך:

a − b = − (b − a)

מספר רב של סוגריים וסימני פעולה יכולים לסבך את הפתרון של משימה פשוטה מאוד לכאורה, ולכן כדאי יותר ללמוד כיצד לכתוב דוגמאות כאלה בקצרה, למשל 3 − 7 = − 4.

למעשה, החיבור והחיסור של מספרים שלמים מצטמצמים לחיבור בלבד. זה אומר שאם רוצים להחסיר מספרים, ניתן להחליף את הפעולה הזו בחיבור.

אז בואו נכיר את הכלל החדש:

להחסיר מספר אחד ממספר אחר פירושו להוסיף למינונד מספר שיהיה ההפך מזה שחסר.

לדוגמה, שקול את הביטוי הפשוט ביותר 5 − 3. On שלבים מוקדמיםלומדים מתמטיקה, שמנו סימן שוויון ורשמנו את התשובה:

אבל עכשיו אנחנו מתקדמים בלמידה, אז אנחנו צריכים להסתגל לכללים החדשים. הכלל החדש אומר שהפחתת מספר אחד ממספר אחר פירושו להוסיף למינונד מספר שייגרע.

בעזרת הביטוי 5 − 3 כדוגמה, בואו ננסה להבין את הכלל הזה. המינואנד בביטוי הזה הוא 5, והסיכוי הוא 3. הכלל אומר שכדי להחסיר 3 מ-5, צריך להוסיף ל-5 מספר כזה שיהיה מנוגד ל-3. המספר ההפוך למספר 3 הוא −3. אנו כותבים ביטוי חדש:

ואנחנו כבר יודעים איך למצוא ערכים לביטויים כאלה. זוהי תוספת של מספרים עם סימנים שונים, שעליה דנו קודם. כדי להוסיף מספרים עם סימנים שונים, נחסר מודול קטן יותר ממודול גדול יותר, ונשים את הסימן של המספר שהמודול שלו גדול יותר לפני שהתקבלה התשובה:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

המודולוס של 5 גדול מהמודלוס של -3. לכן, הורדנו 3 מ-5 וקיבלנו 2. למספר 5 יש מודולוס גדול יותר, ולכן סימן המספר הזה הוכנס בתשובה. כלומר, התשובה חיובית.

בהתחלה, לא כולם מצליחים להחליף במהירות חיסור בחיבור. זאת בשל העובדה שמספרים חיוביים נכתבים ללא סימן פלוס.

לדוגמה, בביטוי 3 − 1, סימן המינוס המציין חיסור הוא הסימן של הפעולה ואינו מתייחס לאחד. היחידה במקרה זה היא מספר חיובי, ויש לה סימן פלוס משלה, אבל אנחנו לא רואים אותו, כי פלוס לא נכתב לפני מספרים חיוביים.

וכך, לשם הבהירות, ניתן לכתוב את הביטוי הזה באופן הבא:

(+3) − (+1)

מטעמי נוחות, מספרים עם הסימנים שלהם מוקפים בסוגריים. במקרה זה, החלפת חיסור בחיבור היא הרבה יותר קלה.

בביטוי (+3) − (+1), מספר זה מופחת (+1), והמספר הנגדי הוא (−1).

בוא נחליף חיסור בחיבור ובמקום subtrahend (+1) נרשום את המספר הנגדי (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

חישוב נוסף לא יהיה קשה.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

במבט ראשון, נראה מה הטעם במחוות הנוספות האלה, אם אתה יכול להשתמש בשיטה הישנה והטובה לשים סימן שוויון ולרשום מיד את התשובה 2. למעשה, כלל זה יעזור לנו יותר מפעם אחת.

בואו נפתור את הדוגמה הקודמת 3 − 7 באמצעות כלל החיסור. ראשית, נביא את הביטוי לצורה ברורה, ונציב כל מספר עם הסימנים שלו.

לשלוש יש סימן פלוס כי הוא מספר חיובי. המינוס המציין חיסור אינו חל על השבעה. לשבע יש סימן פלוס כי הוא מספר חיובי:

בואו נחליף חיסור בחיבור:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

חישוב נוסף לא קשה:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

דוגמה 7מצא את הערך של הביטוי −4 − 5

לפנינו שוב פעולת החיסור. יש להחליף פעולה זו בתוספת. למינואנד (-4) נוסיף את המספר שממול ל-subtrahend (+5). המספר ההפוך ל-subtrahend (+5) הוא המספר (-5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

הגענו למצב שצריך להוסיף מספרים שליליים. במקרים כאלה חל הכלל הבא:

כדי להוסיף מספרים שליליים, עליך להוסיף את המודולים שלהם, ולשים מינוס לפני התשובה שהתקבלה.

אז בואו נוסיף את המודולים של המספרים, כפי שהכלל מחייב אותנו, ונשים מינוס לפני התשובה שהתקבלה:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

הערך עם מודולים חייב להיות מוקף בסוגריים ולשים מינוס לפני סוגריים אלו. אז אנחנו מספקים מינוס, שאמור לבוא לפני התשובה:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

הפתרון לדוגמא זו יכול להיכתב בקצרה:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

או אפילו קצר יותר:

−4 − 5 = −9

דוגמה 8מצא את הערך של הביטוי −3 − 5 − 7 − 9

בואו נביא את הביטוי לצורה ברורה. כאן, כל המספרים מלבד המספר −3 הם חיוביים, כך שיהיו להם סימני פלוס:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

בואו נחליף חיסורים בתוספות. כל המינוסים, למעט המינוס שלפני הטריפל, ישתנו לפלוסים, וכל המספרים החיוביים ישתנו להפך:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

כעת החל את הכלל להוספת מספרים שליליים. כדי להוסיף מספרים שליליים, עליך להוסיף את המודולים שלהם ולשים מינוס לפני התשובה שהתקבלה:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

ניתן לכתוב את הפתרון לדוגמא הזו בקצרה יותר:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

או אפילו קצר יותר:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

דוגמה 9מצא את הערך של הביטוי −10 + 6 − 15 + 11 − 7

בואו נביא את הביטוי לצורה ברורה:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

יש כאן שתי פעולות: חיבור וחיסור. החיבור נותר ללא שינוי, והחיסור מוחלף בחיבור:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

בהתבוננות, נבצע כל פעולה בתורה, בהתבסס על הכללים שנלמדו קודם לכן. ניתן לדלג על ערכים עם מודולים:

פעולה ראשונה:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

פעולה שנייה:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

פעולה שלישית:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

פעולה רביעית:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

לפיכך, הערך של הביטוי −10 + 6 − 15 + 11 − 7 הוא −15

הערה. אין צורך להביא את הביטוי לצורה ברורה על ידי הוספת מספרים בסוגריים. כאשר מתרגלים למספרים שליליים, ניתן לדלג על פעולה זו, מכיוון שהיא לוקחת זמן ועלולה לבלבל.

לכן, לחיבור והפחתה של מספרים שלמים, עליך לזכור את הכללים הבאים:

הצטרף לקבוצת Vkontakte החדשה שלנו והתחל לקבל הודעות על שיעורים חדשים

חיבור של מספרים שליליים.

סכום המספרים השליליים הוא מספר שלילי. מודול הסכום שווה לסכום המודולים של המונחים.

בואו נראה מדוע סכום המספרים השליליים יהיה גם מספר שלילי. יעזור לנו בכך קו הקואורדינטות, עליו נבצע את הוספה של המספרים -3 ו-5. נסמן נקודה על קו הקואורדינטות המקביל למספר -3.

למספר -3 עלינו להוסיף את המספר -5. לאן נלך מהנקודה המתאימה למספר -3? זה ימין, לשמאל! עבור 5 קטעים בודדים. אנו מסמנים את הנקודה וכותבים את המספר המתאים לה. המספר הזה הוא -8.

לכן, כאשר מוסיפים מספרים שליליים באמצעות קו קואורדינטות, אנו תמיד נמצאים משמאל לנקודת הייחוס, לכן ברור שהתוצאה של הוספת מספרים שליליים היא גם מספר שלילי.

הערה.הוספנו את המספרים -3 ו-5, כלומר. מצא את הערך של הביטוי -3+(-5). בדרך כלל, כשמוסיפים מספרים רציונליים, הם פשוט רושמים את המספרים האלה עם הסימנים שלהם, כאילו רשומים את כל המספרים שצריך להוסיף. סימון כזה נקרא סכום אלגברי. החל (בדוגמה שלנו) את הרשומה: -3-5=-8.

דוגמא.מצא את סכום המספרים השליליים: -23-42-54. (מסכים שהערך הזה קצר ונוח יותר ככה: -23+(-42)+(-54))?

אנחנו מחליטיםלפי הכלל של הוספת מספרים שליליים: נוסיף את המודולים של המונחים: 23+42+54=119. התוצאה תהיה עם סימן מינוס.

בדרך כלל הם רושמים את זה כך: -23-42-54 \u003d -119.

הוספת מספרים עם סימנים שונים.

לסכום של שני מספרים עם סימנים שונים יש את הסימן של התוספת עם מודולוס גדול. כדי למצוא את המודולוס של הסכום, עליך להחסיר את המודולוס הקטן מהמודלוס הגדול יותר.

בואו נבצע חיבור של מספרים עם סימנים שונים באמצעות קו הקואורדינטות.

1) -4+6. יש צורך להוסיף את המספר -4 למספר 6. אנו מסמנים את המספר -4 בנקודה על קו הקואורדינטות. המספר 6 הוא חיובי, כלומר מהנקודה עם קואורדינטה -4 אנחנו צריכים ללכת ימינה ב-6 קטעי יחידות. סיימנו מימין למקור (מאפס) ב-2 מקטעי יחידה.

התוצאה של סכום המספרים -4 ו-6 היא המספר החיובי 2:

— 4+6=2. איך יכולת להשיג את המספר 2? הורידו 4 מ-6, כלומר. להחסיר את הקטן מהגדול. לתוצאה יש סימן זהה למונח בעל מודולוס גדול.

2) בוא נחשב: -7+3 באמצעות קו הקואורדינטות. אנו מסמנים את הנקודה המתאימה למספר -7. אנחנו הולכים ימינה לפי 3 קטעי יחידות ומקבלים נקודה עם קואורדינטה -4. היינו ונשארנו משמאל למקור: התשובה היא מספר שלילי.

— 7+3=-4. נוכל לקבל את התוצאה הזו באופן הבא: הורדנו את הקטן מהמודול הגדול יותר, כלומר. 7-3=4. כתוצאה מכך, סימן המונח עם מודול גדול יותר נקבע: |-7|>|3|.

דוגמאות.לחשב: א) -4+5-9+2-6-3; ב) -10-20+15-25.

במאמר זה נסקור מפורט כיצד תוספת מספר שלם. ראשית, בואו ניצור רעיון כללי של הוספת מספרים שלמים, ונראה מהי הוספת מספרים שלמים על קו קואורדינטות. ידע זה יעזור לנו לגבש את הכללים להוספת מספרים חיוביים, שליליים ושלמים עם סימנים שונים. כאן ננתח בפירוט את יישום כללי ההוספה בעת פתרון דוגמאות ונלמד כיצד לבדוק את התוצאות שהתקבלו. לסיכום המאמר, נדבר על תוספת של שלושה ו יותרמספרים שלמים.

ניווט בדף.

הבנת הוספת מספרים שלמים

הבה ניתן דוגמאות לחיבור של מספרים שלמים מול מספרים. סכום המספרים −5 ו-5 הוא אפס, הסכום של 901+(−901) הוא אפס, וגם סכום המספרים השלמים המנוגדים 1,567,893 ו-1,567,893 הוא אפס.

הוספת מספר שלם ואפס שרירותיים

בואו נשתמש בקו הקואורדינטות כדי להבין מהי התוצאה של הוספת שני מספרים שלמים, שאחד מהם שווה לאפס.

הוספת מספר שלם שרירותי a לאפס פירושה העברת קטעי יחידה מהמקור למרחק a. לפיכך, אנו מוצאים את עצמנו בנקודה עם קואורדינטה א. לכן, התוצאה של הוספת אפס ומספר שלם שרירותי היא המספר השלם שנוסף.

מצד שני, הוספת אפס למספר שלם שרירותי פירושה מעבר מהנקודה שהקואורדינטה שלה ניתנת על ידי המספר השלם הנתון למרחק של אפס. במילים אחרות, נישאר בנקודת ההתחלה. לכן, התוצאה של הוספת מספר שלם ואפס שרירותיים היא המספר השלם הנתון.

כך, הסכום של שני מספרים שלמים, שאחד מהם הוא אפס, שווה למספר השלם השני. בפרט, אפס פלוס אפס הוא אפס.

בוא ניתן כמה דוגמאות. סכום המספרים השלמים 78 ו-0 הוא 78; התוצאה של הוספת אפס ו-903 היא -903; גם 0+0=0.

בדיקת תוצאת ההוספה

לאחר הוספת שני מספרים שלמים, כדאי לבדוק את התוצאה. אנחנו כבר יודעים שכדי לבדוק את התוצאה של חיבור שני מספרים טבעיים, צריך להחסיר כל אחד מהאיברים מהסכום המתקבל, וצריך לקבל איבר נוסף. בדיקת התוצאה של הוספת מספרים שלמיםבוצע באופן דומה. אבל החיסור של מספרים שלמים מצטמצם להוספת למינואנד את המספר המנוגד לזה שנגרע. לפיכך, כדי לבדוק את התוצאה של חיבור שני מספרים שלמים, צריך להוסיף לסכום המתקבל את המספר שממול לכל אחד מהאיברים, וצריך לקבל איבר נוסף.

בואו נסתכל על דוגמאות עם בדיקת התוצאה של הוספת שני מספרים שלמים.

דוגמא.

כאשר מוסיפים שני מספרים שלמים 13 ו-9, התקבל המספר 4, בדוק את התוצאה.

פִּתָרוֹן.

נוסיף לסכום המתקבל 4 את המספר -13, ההפך מהאיבר 13, ונראה אם ​​נקבל איבר נוסף -9.

אז בואו נחשב את הסכום 4+(−13) . זהו סכום המספרים השלמים עם סימנים מנוגדים. המודולים של המונחים הם 4 ו-13, בהתאמה. למונח, שהמודלוס שלו גדול יותר, יש סימן מינוס, אותו אנו זוכרים. כעת נחסר מהמודול הגדול יותר את הקטן: 13−4=9 . נותר לשים סימן מינוס בעל זיכרון לפני המספר המתקבל, יש לנו -9.

בעת הבדיקה קיבלנו מספר השווה למונח אחר, לכן, הסכום המקורי חושב נכון.-19 . מכיוון שקיבלנו מספר השווה לאיבר אחר, הוספת המספרים −35 ו−19 בוצעה בצורה נכונה.

הוספת שלושה מספרים שלמים או יותר

עד לנקודה זו, דיברנו על הוספת שני מספרים שלמים. במילים אחרות, שקלנו סכומים המורכבים משני איברים. עם זאת, התכונה האסוציאטיבית של הוספת מספרים שלמים מאפשרת לנו לקבוע באופן ייחודי את הסכום של שלושה, ארבעה או יותר.

בהתבסס על המאפיינים של חיבור של מספרים שלמים, אנו יכולים לקבוע שסכום של שלושה, ארבע וכן הלאה המספרים אינו תלוי באופן שבו ממוקמים הסוגריים, המציין את הסדר שבו מתבצעות הפעולות, כמו גם בסדר של התנאים בסכום. ביססנו את ההצהרות הללו כשדיברנו על חיבור של שלושה מספרים טבעיים או יותר. עבור מספרים שלמים, כל הארגומנטים זהים לחלוטין, ולא נחזור על עצמנו.0+(−101) +(−17)+5 . לאחר מכן, בהצבת הסוגריים בכל דרך מותרת, אנו עדיין מקבלים את המספר -113.

תשובה:

5+(−17)+0+(−101)=−113 .

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

• Vilenkin N.Ya. וכו' מתמטיקה. כיתה ו': ספר לימוד למוסדות חינוך.

>> מתמטיקה: הוספת מספרים עם סימנים שונים

33. הוספת מספרים עם סימנים שונים

אם טמפרטורת האוויר הייתה שווה ל-9 מעלות צלזיוס, ואז היא השתנתה ב-6 מעלות צלזיוס (כלומר, ירדה ב-6 מעלות צלזיוס), אז היא הפכה שווה ל-9 + (- 6) מעלות (איור 83).

כדי להוסיף את המספרים 9 ו- 6 בעזרת, עליך להזיז את נקודה A (9) שמאלה ב-6 מקטעי יחידות (איור 84). נקבל את נקודה B (3).

לפיכך, 9+(- 6) = 3. למספר 3 יש סימן זהה למונח 9, והמספר שלו מודולשווה להפרש בין המודולים של המונחים 9 ו-6.

אכן, |3| =3 ו-|9| - |- 6| == 9 - 6 = 3.

אם אותה טמפרטורת אוויר של 9 מעלות צלזיוס השתנתה ב-12 מעלות צלזיוס (כלומר, ירדה ב-12 מעלות צלזיוס), אז היא הפכה להיות שווה ל-9 + (-12) מעלות (איור 85). הוספת המספרים 9 ו-12 באמצעות קו הקואורדינטות (איור 86), נקבל 9 + (-12) \u003d -3. למספר -3 יש סימן זהה למונח -12, והמודלוס שלו שווה להפרש בין המודולים של האיברים -12 ו-9.

אכן, | - 3| = 3 ו | -12| - | -9| \u003d 12 - 9 \u003d 3.

כדי להוסיף שני מספרים עם סימנים שונים:

1) הורידו את הקטן מהמודול הגדול יותר של מונחים;

2) שימו לפני המספר המתקבל את הסימן של המונח, שהמודלוס שלו גדול יותר.

בדרך כלל, סימן הסכום נקבע תחילה ונרשם, ולאחר מכן נמצא ההפרש של המודולים.

לדוגמה:

1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
או קצר מ-6.1+(-4.2) = 6.1 - 4.2 = 1.9;

בעת הוספת מספרים חיוביים ושליליים, אתה יכול להשתמש מַחשְׁבוֹן. כדי להזין מספר שלילי למחשבון, עליך להזין את המודולוס של מספר זה, ולאחר מכן ללחוץ על מקש "שינוי סימן" |/-/|. לדוגמה, כדי להזין את המספר -56.81, עליך ללחוץ על המקשים ברצף: | 5 |, | 6 |, | ¦ |, | 8 |, | 1 |, |/-/|. פעולות על מספרים של כל סימן מבוצעות על מחשבון מיקרו באותו אופן כמו על מספרים חיוביים.

לדוגמה, הסכום -6.1 + 3.8 מחושב מתוך תכנית

? למספרים a ו-b יש סימנים שונים. איזה סימן יהיה לסכום המספרים הללו אם למודולוס הגדול יותר יש מספר שלילי?

אם למודול הקטן יותר יש מספר שלילי?

אם למודול הגדול יותר יש מספר חיובי?

אם למודול הקטן יש מספר חיובי?

נסח כלל להוספת מספרים עם סימנים שונים. כיצד להזין מספר שלילי במיקרו מחשבון?

ל 1045. המספר 6 שונה ל-10. באיזה צד של המקור נמצא המספר המתקבל? כמה רחוק מהמקור? למה שווה סְכוּם 6 ו-10?

1046. המספר 10 שונה ל-6. באיזה צד של המקור נמצא המספר המתקבל? כמה רחוק מהמקור? מהו הסכום של 10 ו-6?

1047. המספר -10 שונה ל-3. באיזה צד מהמקור נמצא המספר המתקבל? כמה רחוק מהמקור? מה הסכום של -10 ו-3?

1048. המספר -10 שונה ל-15. באיזה צד של המקור נמצא המספר המתקבל? כמה רחוק מהמקור? מה הסכום של -10 ו-15?

1049. במחצית הראשונה של היום הטמפרטורה השתנתה ב -4 מעלות צלזיוס, ובשנייה - ב -12 מעלות צלזיוס. בכמה מעלות השתנתה הטמפרטורה במהלך היום?

1050. בצע הוספה:

1051. הוסף:

א) לסכום של -6 ו -12 המספר 20;
ב) למספר 2.6 הסכום הוא -1.8 ו-5.2;
ג) לסכום של -10 ו -1.3 הסכום של 5 ו-8.7;
ד) לסכום של 11 ו-6.5 הסכום של -3.2 ו-6.

1052. איזה מהמספרים 8; 7.1; -7.1; -7; -0.5 הוא השורש משוואות- 6 + x \u003d -13.1?

1053. נחשו את שורש המשוואה ובדקו:

א) x + (-3) = -11; ג) m + (-12) = 2;
ב) - 5 + y=15; ד) 3 + n = -10.

1054. מצא את הערך של הביטוי:

1055. בצע פעולות בעזרת מחשבון מיקרו:

א) - 3.2579 + (-12.308); ד) -3.8564+ (-0.8397) +7.84;
ב) 7.8547+ (- 9.239); ה) -0.083 + (-6.378) + 3.9834;
ג) -0.00154 + 0.0837; ו) -0.0085+ 0.00354+ (-0.00921).

פ 1056. מצא את הערך של הסכום:

1057. מצא את הערך של הביטוי:

1058. כמה מספרים שלמים נמצאים בין מספרים:

א) 0 ו-24; ב) -12 ו -3; ג) -20 ו-7?

1059. הבע את המספר -10 כסכום של שני איברים שליליים כך:

א) שני האיברים היו מספרים שלמים;
ב) שני האיברים היו שברים עשרוניים;
ג) אחד המונחים היה רגיל רגיל בְּעִיטָה.

1060. מהו המרחק (בקטעי יחידה) בין נקודות קו הקואורדינטות עם קואורדינטות:

א) 0 ו-a; ב) -א ו-א; ג) -a ו-0; ד) א ו-זא?

M 1061. רדיוסי ההקבלה הגיאוגרפית של פני כדור הארץ, שעליהם ממוקמות הערים אתונה ומוסקבה, הם 5040 ק"מ ו-3580 ק"מ בהתאמה (איור 87). כמה קצרה המקבילה במוסקבה מהמקבילה באתונה?

1062. ערכו משוואה לפתרון הבעיה: "שדה בשטח של 2.4 דונם חולק לשני חלקים. למצוא כיכרכל סעיף, אם ידוע שאחד מהסעיפים:

א) 0.8 דונם יותר מהשני;
ב) 0.2 דונם פחות מהשני;
ג) פי 3 מהשני;
ד) פי 1.5 פחות מהשני;
ה) מהווה אחר;
ו) הוא 0.2 של אחר;
ז) הוא 60% מהשני;
ח) הוא 140% מהאחר."

1063. פתור את הבעיה:

1) ביום הראשון נסעו המטיילים 240 ק"מ, ביום השני 140 ק"מ, ביום השלישי נסעו פי 3 מאשר ביום השני, וביום הרביעי נחו. כמה קילומטרים הם נסעו ביום החמישי אם הם נסעו בממוצע 230 קילומטרים ביום ב-5 ימים?

2) ההכנסה החודשית של האב היא 280 רובל. המלגה של הבת קטנה פי 4. כמה מרוויחה אמא ​​לחודש אם יש 4 אנשים במשפחה, הבן הצעיר הוא תלמיד בית ספר ולכל אחד יש בממוצע 135 רובל?

1064. בצע את הפעולות הבאות:

1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);

2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).

1066. הבע כסכום של שני איברים שווים כל אחד מהמספרים:

1067. מצא את הערך a + b אם:

a) a = -1.6, b = 3.2; ב) a = - 2.6, b = 1.9; ב)

1068. בקומה אחת של בניין מגורים היו 8 דירות. 2 דירות בשטח מגורים של 22.8 מ"ר, 3 דירות - 16.2 מ"ר כל אחת, 2 דירות - 34 מ"ר כל אחת. איזה אזור מגורים היה לדירה השמינית אם בקומה זו, בממוצע, לכל דירה היה 24.7 מ"ר של שטח מגורים?

1069. ברכבת המשא היו 42 קרונות. היו פי 1.2 יותר קרונות מכוסים מאשר רציפים, ומספר הטנקים היה שווה למספר הרציפים. כמה קרונות מכל סוג היו ברכבת?

1070. מצא את הערך של הביטוי

נ.יא.וילנקין, א.ס. צ'סנוקוב, ש.י. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, מתמטיקה לכיתה ו', ספר לימוד לתיכון

תכנון מתמטיקה, ספרי לימוד וספרים באינטרנט, קורסים ומשימות במתמטיקה לכיתה ו' להורדה

תוכן השיעור סיכום שיעורתמיכה מסגרת שיעור מצגת שיטות האצה טכנולוגיות אינטראקטיביות תרגול משימות ותרגילים סדנאות בדיקה עצמית, הדרכות, מקרים, קווסטים שאלות דיון שיעורי בית שאלות רטוריות של תלמידים איורים אודיו, וידאו קליפים ומולטימדיהתצלומים, תמונות גרפיקה, טבלאות, תוכניות הומור, אנקדוטות, בדיחות, משלי קומיקס, אמרות, תשבצים, ציטוטים תוספות תקציריםמאמרים שבבים עבור גיליונות רמאות סקרנים ספרי לימוד בסיסי ומילון מונחים נוסף של מונחים אחרים שיפור ספרי לימוד ושיעוריםתיקון שגיאות בספר הלימודעדכון קטע בספר הלימוד אלמנטים של חדשנות בשיעור החלפת ידע מיושן בידע חדש רק למורים שיעורים מושלמיםתוכנית לוח שנה לשנה הנחיותתוכניות דיון שיעורים משולבים

מערך שיעור:

א. רגע ארגוני

בדיקת שיעורי בית פרטניים.

II. עדכון הידע הבסיסי של התלמידים

1. פעילות גופנית הדדית. שאלות בקרה (צורת עבודה ארגונית זוגית - אימות הדדי).
2. עבודה בעל פה עם הערות (צורת עבודה ארגונית קבוצתית).
3. עבודה עצמאית (צורת עבודה ארגונית פרטנית, בדיקה עצמית).

III. הודעת נושא השיעור

צורת עבודה ארגונית קבוצתית, הצגת השערה, ניסוח כלל.

1. מילוי משימות הדרכה לפי ספר הלימוד (צורת עבודה ארגונית קבוצתית).
2. עבודת תלמידים חזקים בקלפים (צורת עבודה ארגונית פרטנית).

VI. הפסקה פיזית

ט. שיעורי בית.

יַעַד:היווצרות המיומנות של הוספת מספרים עם סימנים שונים.

משימות:

• נסח כלל להוספת מספרים עם סימנים שונים.
• תרגל הוספת מספרים עם סימנים שונים.
• לפתח חשיבה לוגית.
• לטפח את היכולת לעבוד בזוגות, כבוד הדדי.

חומר לשיעור:קלפים לאימון הדדי, טבלאות תוצאות עבודה, קלפים בודדים לחזרה וגיבוש חומר, מוטו לעבודה אישית, קלפים עם כלל.

במהלך השיעורים

אני. ארגון זמן

נתחיל את השיעור בבדיקת שיעורי בית בודדים. המוטו של השיעור שלנו יהיו דבריו של יאן עמוס קמנסקי. בבית, היית צריך לחשוב על דבריו. איך אתה מבין את זה? ("תחשיב לעצמך את היום או השעה ההיא שבה לא למדת שום דבר חדש ולא הוספת שום דבר להשכלתך")
– איך אתה מבין את דברי המחבר? (אם לא נלמד שום דבר חדש, לא נקבל ידע חדש, אז יום זה יכול להיחשב אבוד או לא מאושר. עלינו לשאוף לרכוש ידע חדש).
– והיום לא יהיה אומלל כי שוב נלמד משהו חדש.

II. עדכון הידע הבסיסי של התלמידים

- ללמוד חומר חדש, יש צורך לחזור על העבר.
בבית הייתה משימה - לחזור על הכללים ועכשיו תראה את הידע שלך על ידי עבודה עם שאלות בקרה.

(שאלות מבחן בנושא "מספרים חיוביים ושליליים")

עבודה זוגית. אימות הדדי. תוצאות העבודה מצוינות בטבלה)

איך קוראים למספרים מימין למקור?	חִיוּבִי
מהם המספרים ההפוכים?	שני מספרים הנבדלים זה מזה רק בסימנים נקראים מספרים מנוגדים.
מהו המודולוס של מספר?	מרחק מנקודה א(א)לפני תחילת הספירה לאחור, כלומר לנקודה O(0),נקרא מודולוס של מספר
מהו המודולוס של מספר?	סוֹגְרַיִם
מהו הכלל להוספת מספרים שליליים?	כדי להוסיף שני מספרים שליליים, צריך להוסיף את המודולוס שלהם ולשים סימן מינוס
איך קוראים למספרים משמאל למקור?	שלילי
מה ההפך מאפס?	0
האם הערך המוחלט של מספר כלשהו יכול להיות שלילי?	לא. מרחק לעולם אינו שלילי
תן שם את הכלל להשוואת מספרים שליליים	מבין שני מספרים שליליים, הגדול הוא זה שהמודלוס שלו קטן וקטן מזה שהמודלוס שלו גדול יותר
מהו סכום המספרים ההפוכים?	0

התשובות לשאלות "+" נכונות, "-" אינו נכון קריטריוני הערכה: 5 - "5"; 4 - "4"; 3 - "3"

	1	2	3	4	5	כיתה
שאלה/שאלות
עצמי/עבודה
אינד'/ עבודה
תוֹצָאָה

אילו שאלות היו הקשות ביותר?
מה אתה צריך כדי לעבור את שאלות המבחן בהצלחה? (הכר את החוקים)

2. עבודה בעל פה עם פרשנות

– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)

– איזה ידע היית צריך כדי לפתור 1-5 דוגמאות?

3. עבודה עצמאית

– 86, 52 + (– 6, 3) =	– 92,82
– 49/91 + (– 27/91) =	– 76/91
– 76 + (– 99) =	– 175
– 14 + (– 47) =	– 61
– 123,5 + (– 25, 18) =	– 148,68
6 + (– 10) =

(בדיקה עצמית. פתוח בזמן תשובות למבחן)

למה הדוגמה האחרונה הקשה עליך?
- סכום אילו מספרים צריכים להימצא, ואת סכום אילו מספרים אנו יודעים למצוא?

III. הודעת נושא השיעור

- היום בשיעור נלמד את הכלל של הוספת מספרים עם סימנים שונים. נלמד להוסיף מספרים עם סימנים שונים. לימוד עצמי בסוף השיעור יראה את ההתקדמות שלך.

IV. לימוד חומר חדש

- נפתח מחברות, נכתוב תאריך, עבודה בכיתה, נושא השיעור הוא "הוספת מספרים בסימנים שונים".
- מה יש על הלוח? (קו קואורדינטות)

- להוכיח שזה קו קואורדינטות? (יש נקודת התייחסות, כיוון התייחסות, קטע בודד)
- כעת נלמד יחד להוסיף מספרים עם סימנים שונים באמצעות קו קואורדינטות.

(הסבר על התלמידים בהנחיית מורה).

- בוא נמצא את המספר 0 על קו הקואורדינטות. יש להוסיף את המספר 6 ל-0. אנחנו עושים 6 צעדים מימין למקור, כי המספר 6 חיובי (שמנו מגנט צבעוני על המספר 6 שהתקבל). נוסיף את המספר (-10) ל-6, נלך 10 צעדים משמאל למקור, כי (- 10) הוא מספר שלילי (שים מגנט צבעוני על המספר המתקבל (- 4).)
- מה הייתה התשובה? (- ארבע)
איך השגת את המספר 4? (10 - 6)
מסקנה: מהמספר בעל מודולוס גדול, מפחיתים את המספר בעל מודולוס קטן יותר.
- איך השגת את סימן המינוס בתשובה?
מסקנה: לקחנו את הסימן של מספר עם מודול גדול.
בוא נכתוב דוגמה במחברת:

6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (-3) = + (10 - 3) = 7 (פתור באופן דומה)

הכניסה מתקבלת:

6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7

- חבר'ה, אתם בעצמכם ניסחתם עכשיו את הכלל להוספת מספרים עם סימנים שונים. אנחנו נכנה את הניחושים שלך הַשׁעָרָה. עשית עבודה אינטלקטואלית חשובה מאוד. כמו מדענים העלו השערה וגילו כלל חדש. בוא נבדוק את ההשערה שלך עם הכלל (הגיליון עם הכלל המודפס מונח על השולחן). בואו נקרא ביחד כְּלָלהוספת מספרים עם סימנים שונים

- הכלל חשוב מאוד! זה מאפשר לך להוסיף מספרים של סימנים שונים ללא עזרה של קו קואורדינטות.
- מה לא ברור?
- איפה אפשר לטעות?
- כדי לחשב נכון וללא שגיאות משימות עם מספרים חיוביים ושליליים, צריך לדעת את הכללים.

ו. איחוד החומר הנלמד

האם אתה יכול למצוא את סכום המספרים הללו על קו הקואורדינטות?
- קשה לפתור דוגמה כזו בעזרת קו קואורדינטות, ולכן נשתמש בכלל שגיליתם בעת הפתרון.
המשימה כתובה על הלוח:
ספר לימוד - עמ'. 45; מס' 179 (ג, ד); מס' 180 (א, ב); מס' 181 (ב, ג)
(תלמיד חזק פועל כדי לחזק את הנושא הזה עם כרטיס נוסף.)

VI. הפסקה פיזית(בצע עמידה)

- לאדם יש תכונות חיוביות ושליליות. חלק את התכונות הללו על קו הקואורדינטות.
(איכויות חיוביות נמצאות מימין לנקודת ההתייחסות, איכויות שליליות נמצאות משמאל לנקודת הייחוס.)
- אם האיכות שלילית - מחאו כפיים פעם אחת, חיובית - פעמיים. הזהר!
– חסד, כעס, חמדנות , סיוע הדדי, הֲבָנָה, גסות רוח, וכמובן, כוח הרצוןו שואפים לניצחון, אשר תזדקק לו כעת, כי לפניך עבודה עצמאית)
VII. עבודת יחידואחריו ביקורת עמיתים

אופציה 1	אפשרות 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =

עבודה פרטנית (עבור חָזָקתלמידים) עם אימות הדדי לאחר מכן

אופציה 1	אפשרות 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =
100 + (– 28) =	100 + (– 39) =
56 + (– 27) =	73 + (– 24) =
– 4,61 + (– 2,22) =	– 5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 68 =	– 43 + 39 =

ח. מסכם את השיעור. הִשׁתַקְפוּת

– אני מאמין שעבדת באופן פעיל, בחריצות, השתתפת בגילוי ידע חדש, הבעת את דעתך, עכשיו אני יכול להעריך את עבודתך.
- תגידו לי, חבר'ה, מה יותר יעיל: לקבל מידע מוכן או לחשוב בעצמכם?
- מה למדנו בשיעור? (למד כיצד להוסיף מספרים עם סימנים שונים.)
תן שם את הכלל להוספת מספרים עם סימנים שונים.
– תגיד לי, השיעור שלנו היום לא היה לשווא?
- למה? (קבל ידע חדש.)
נחזור לסלוגן. אז יאן עמוס קמנסקי צדק כשאמר: "תחשוב על היום או השעה המצערת שבה לא למדת שום דבר חדש ולא הוספת שום דבר להשכלתך."

ט. שיעורי בית

למד את הכלל (כרטיס), עמ' 45, מס' 184.
משימה אישית - איך אתה מבין את המילים של רוג'ר בייקון: "אדם שאינו יודע מתמטיקה אינו מסוגל לשום מדעים אחרים. יתרה מכך, הוא אפילו לא מסוגל להעריך את רמת הבורות שלו?