Kolmnurkse püramiidi määratlus. Mis võimaldab meil pidada püramiidi geomeetriliseks imeks

Kolmnurkne püramiid on kolmnurgal põhinev püramiid. Selle püramiidi kõrgus on risti, mis on langetatud püramiidi tipust selle aluste poole.

Püramiidi kõrguse leidmine

Kuidas leida püramiidi kõrgust? Väga lihtne! Mis tahes kolmnurkse püramiidi kõrguse leidmiseks võite kasutada mahuvalemit: V = (1/3)Sh, kus S on aluse pindala, V on püramiidi ruumala, h on selle kõrgus. Sellest valemist tuletage kõrgusvalem: kolmnurkse püramiidi kõrguse leidmiseks peate püramiidi ruumala korrutama 3-ga ja jagama saadud väärtuse baaspinnaga, see on: h \u003d (3V ) / S. Kuna kolmnurkse püramiidi alus on kolmnurk, saate kolmnurga pindala arvutamiseks kasutada valemit. Kui teame: kolmnurga S pindala ja selle külje z, siis pindalavalemi S=(1/2)γh järgi: h = (2S)/γ, kus h on püramiidi kõrgus, γ on kolmnurga serv; nurk kolmnurga külgede ja kahe külje vahel, kasutades järgmist valemit: S = (1/2)γφsinQ, kus γ, φ on kolmnurga küljed, leiame kolmnurga pindala. Nurga Q siinuse väärtust tuleb vaadata siinuste tabelist, mis on Internetis. Järgmisena asendame pindala väärtuse kõrguse valemiga: h = (2S)/γ. Kui ülesanne nõuab kolmnurkpüramiidi kõrguse arvutamist, siis on püramiidi ruumala juba teada.

Regulaarne kolmnurkne püramiid

Leidke korrapärase kolmnurkse püramiidi, st püramiidi, mille kõik tahud on võrdkülgsed kolmnurgad, kõrgus, teades serva γ suurust. Sel juhul on püramiidi servad võrdkülgsete kolmnurkade küljed. Korrapärase kolmnurkse püramiidi kõrgus on: h = γ√(2/3), kus γ on võrdkülgse kolmnurga serv, h on püramiidi kõrgus. Kui aluse pindala (S) on teadmata ja antud on vaid hulktahuka serva pikkus (γ) ja ruumala (V), siis tuleb eelmise sammu valemis vajalik muutuja asendada. selle ekvivalendiga, mida väljendatakse serva pikkusena. Kolmnurga pindala (tavaline) võrdub 1/4 selle kolmnurga külje pikkuse korrutisega, ruudus 3 ruutjuurega. Asendame selle valemi eelmise valemi aluspinna asemel , ja saame järgmise valemi: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Tetraeedri ruumala saab väljendada selle serva pikkusega, siis saab kujundi kõrguse arvutamise valemist eemaldada kõik muutujad ja jätta ainult kujundi kolmnurkse tahu külg. Sellise püramiidi ruumala saab arvutada, jagades korrutisest 12-ga selle esikülje pikkuse kuubiku ruutjuurega 2.

Asendame selle avaldise eelmise valemiga, saame arvutamiseks järgmise valemi: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Samuti õige kolmnurkne prisma saab kirjutada sfääri ja teades ainult sfääri raadiust (R), võib leida tetraeedri kõrguse. Tetraeedri serva pikkus on: γ = 4R/√6. Asendame muutuja γ selle avaldisega eelmises valemis ja saame valemi: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Sama valemi saab ka teades tetraeedrisse kantud ringi raadiust (R). Sel juhul võrdub kolmnurga serva pikkus 12 vahelise suhtega ruutjuur 6 ja raadiusega. Asendame selle avaldise eelmise valemiga ja saame: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kuidas leida tavalise nelinurkse püramiidi kõrgust

Et vastata küsimusele, kuidas leida püramiidi kõrguse pikkust, peate teadma, mis on tavaline püramiid. Nelinurkne püramiid on püramiid, mis põhineb nelinurgal. Kui ülesande tingimustes on meil: püramiidi ruumala (V) ja aluse (S) pindala, siis on hulktahuka kõrguse (h) arvutamise valem järgmine - jagage maht, mis on korrutatud 3-ga, pindalaga S: h \u003d (3V) / S. Püramiidi ruudukujulise aluse korral, mille ruumala (V) ja külje pikkus on γ, asendage ala (S) eelmises valemis külje pikkuse ruuduga: S = γ 2 ; H = 3 V/γ2. Korrapärase püramiidi kõrgus h = SO läbib täpselt ringi keskpunkti, mis on ümbritsetud aluse lähedal. Kuna selle püramiidi alus on ruut, on punkt O diagonaalide AD ja BC lõikepunkt. Meil on: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Edasi leiame täisnurksest kolmnurgast SOC (Pythagorase teoreemi järgi): SO = √(SC 2 -OC 2). Nüüd teate, kuidas leida tavalise püramiidi kõrgust.

• apoteem- korrapärase püramiidi külgpinna kõrgus, mis on tõmmatud selle tipust (lisaks on apoteem ristnurga pikkus, mis on langetatud korrapärase hulknurga keskelt ühele küljele);
• külgmised näod (ASB, BSC, CSD, DSA) - ülaosas koonduvad kolmnurgad;
• külgmised ribid ( AS , BS , CS , D.S. ) - külgpindade ühised küljed;
• püramiidi tipp (v. S) - külgservi ühendav punkt, mis ei asu aluse tasapinnas;
• kõrgus ( NII ) - risti segment, mis tõmmatakse läbi püramiidi ülaosa selle aluse tasapinnani (sellise segmendi otsad on püramiidi tipp ja risti alus);
• püramiidi diagonaallõige- püramiidi osa, mis läbib aluse tipu ja diagonaali;
• alus (ABCD) on hulknurk, kuhu püramiidi tipp ei kuulu.

püramiidi omadused.

1. Kui kõik külgmised servad on ühesuurused, siis:

• püramiidi aluse lähedal on ringjoont lihtne kirjeldada, samas kui püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskmesse;
• külgmised ribid moodustavad alustasandiga võrdsed nurgad;
• lisaks kehtib ka vastupidi, st. kui külgservad moodustavad alustasandiga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi püramiidi aluse lähedal ja püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskele, siis on kõik püramiidi külgservad sama suur.

2. Kui külgpindade kaldenurk on aluse tasapinna suhtes sama väärtusega, siis:

• püramiidi aluse lähedal on ringi lihtne kirjeldada, samas kui püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskele;
• külgpindade kõrgused on võrdse pikkusega;
• külgpinna pindala on ½ aluse perimeetri ja külgpinna kõrguse korrutis.

3. Kera saab kirjeldada püramiidi lähedal, kui püramiidi alus on hulknurk, mille ümber saab kirjeldada ringjoont (vajalik ja piisav tingimus). Sfääri keskpunkt on nende tasandite lõikepunkt, mis läbivad nendega risti püramiidi servade keskpunkte. Sellest teoreemist järeldame, et sfääri saab kirjeldada nii mis tahes kolmnurkse kui ka iga korrapärase püramiidi ümber.

4. Püramiidi saab sisse kirjutada kera, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad 1. punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.

Lihtsaim püramiid.

Püramiidi aluse nurkade arvu järgi jagunevad need kolmnurkseteks, nelinurkseteks jne.

Püramiid tahe kolmnurkne, nelinurkne ja nii edasi, kui püramiidi alus on kolmnurk, nelinurk jne. Kolmnurkne püramiid on tetraeeder – tetraeedr. Nelinurkne - viiseeder ja nii edasi.

Definitsioon

Püramiid on hulktahukas, mis koosneb hulknurgast \(A_1A_2...A_n\) ja \(n\) kolmnurgast, mille tipp on \(P\) (mis ei asu hulknurga tasapinnal) ja mille vastasküljed langevad kokku hulknurk.
Nimetus: \(PA_1A_2...A_n\) .
Näide: viisnurkne püramiid \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Kolmnurgad \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) jne. helistas külgmised näod püramiidid, segmendid \(PA_1, PA_2\) jne. - külgmised ribid, hulknurk \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – alus, punkt \(P\) – tippkohtumisel.

Kõrgus Püramiidid on risti, mis on langetatud püramiidi tipust aluse tasapinnale.

Püramiidi, mille põhjas on kolmnurk, nimetatakse tetraeeder.

Püramiidi nimetatakse õige, kui selle alus on tavaline hulknurk ja üks järgmistest tingimustest on täidetud:

\((a)\) püramiidi külgservad on võrdsed;

\(b)\) püramiidi kõrgus läbib aluse lähedal asuva ümberpiiratud ringi keskpunkti;

\((c)\) külgmised ribid on kallutatud põhitasandi suhtes sama nurga all.

\(d)\) külgpinnad on põhitasandi suhtes sama nurga all.

korrapärane tetraeeder- See kolmnurkne püramiid, mille kõik tahud on võrdsed võrdkülgsed kolmnurgad.

Teoreem

Tingimused \((a), (b), (c), (d)\) on samaväärsed.

Tõestus

Joonistage püramiidi kõrgus \(PH\) . Olgu \(\alpha\) püramiidi aluse tasapind.

1) Tõestame, et \((a)\) tähendab \((b)\) . Olgu \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Sest \(PH\perp \alpha\) , siis \(PH\) on risti mis tahes sellel tasapinnal asuva sirgega, seega on kolmnurgad täisnurksed. Seega on need kolmnurgad võrdsed ühises jaos \(PH\) ja hüpotenuusis \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Seega \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . See tähendab, et punktid \(A_1, A_2, ..., A_n\) on punktist \(H\) samal kaugusel, seega asuvad nad samal ringil raadiusega \(A_1H\) . See ring on definitsiooni järgi piiritletud hulknurga \(A_1A_2...A_n\) ümber.

2) Tõestame, et \((b)\) tähendab \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) ristkülikukujuline ja võrdne kahe jalaga. Seega on ka nende nurgad võrdsed, seega \(\nurk PA_1H=\nurk PA_2H=...=\nurk PA_nH\).

3) Tõestame, et \((c)\) tähendab \((a)\) .

Sarnaselt esimese punktiga kolmnurgad \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) ristkülikukujuline ja piki jalga ja terav nurk. See tähendab, et ka nende hüpotenuusid on võrdsed, st \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Tõestame, et \((b)\) tähendab \((d)\) .

Sest korrapärases hulknurgas langevad piiritletud ja sisse kirjutatud ringide keskpunktid kokku (üldiselt nimetatakse seda punkti korrapärase hulknurga keskpunktiks), siis \(H\) on sisse kirjutatud ringi keskpunkt. Joonistame punktist \(H\) aluse külgedele ristid: \(HK_1, HK_2\) jne. Need on sisse kirjutatud ringi raadiused (definitsiooni järgi). Siis on TTP järgi (\(PH\) tasapinnaga risti, \(HK_1, HK_2\) jne on külgedega risti olevad projektsioonid) kaldus \(PK_1, PK_2\) jne. risti külgedega \(A_1A_2, A_2A_3\) jne. vastavalt. Niisiis, definitsiooni järgi \(\nurk PK_1H, \nurk PK_2H\) võrdne külgpindade ja aluse vaheliste nurkadega. Sest kolmnurgad \(PK_1H, PK_2H, ...\) on võrdsed (täisnurgana kahel jalal), siis nurgad \(\nurk PK_1H, \nurk PK_2H, ...\) on võrdsed.

5) Tõestame, et \((d)\) tähendab \((b)\) .

Sarnaselt neljanda punktiga on kolmnurgad \(PK_1H, PK_2H, ...\) võrdsed (ristkülikukujulistena piki jalga ja teravnurka), mis tähendab, et lõigud \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) on võrdsed. Seega on \(H\) definitsiooni järgi alusesse kantud ringi keskpunkt. Aga kuna korrapäraste hulknurkade korral langevad sissekirjutatud ja piiritletud ringide keskpunktid kokku, siis \(H\) on piiritletud ringi keskpunkt. Chtd.

Tagajärg

Tavalise püramiidi külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad.

Definitsioon

Tavalise püramiidi külgpinna kõrgust, mis on tõmmatud selle tipust, nimetatakse apoteem.
Korrapärase püramiidi kõigi külgpindade apoteemid on üksteisega võrdsed ning on ühtlasi ka mediaanid ja poolitajad.

Olulised märkused

1. Korrapärase kolmnurkse püramiidi kõrgus langeb aluse kõrguste (ehk poolitajate ehk mediaanide) lõikepunkti (alus on korrapärane kolmnurk).

2. Korrapärase nelinurkse püramiidi kõrgus langeb aluse diagonaalide lõikepunktini (alus on ruut).

3. Korrapärase kuusnurkse püramiidi kõrgus langeb aluse diagonaalide lõikepunktini (alus on korrapärane kuusnurk).

4. Püramiidi kõrgus on risti mis tahes aluses asuva sirge suhtes.

Definitsioon

Püramiidi nimetatakse ristkülikukujuline kui selle üks külgserv on risti aluse tasapinnaga.

Olulised märkused

1. Ristkülikukujulise püramiidi puhul on põhjaga risti olev serv püramiidi kõrgus. See tähendab, et \(SR\) on kõrgus.

2. Sest \(SR\) risti mis tahes joonega alusest, siis \(\triangle SRM, \triangle SRP\) on täisnurksed kolmnurgad.

3. Kolmnurgad \(\kolmnurk SRN, \kolmnurk SRK\) on ka ristkülikukujulised.
See tähendab, et iga kolmnurk, mille moodustab see serv ja selle serva tipust väljuv diagonaal, mis asub aluses, on täisnurkne.

\[(\Large(\text(Püramiidi maht ja pindala)))\]

Teoreem

Püramiidi ruumala on võrdne ühe kolmandikuga püramiidi aluse pindala ja kõrguse korrutisest: \

Tagajärjed

Olgu \(a\) aluse külg, \(h\) püramiidi kõrgus.

1. Korrapärase kolmnurkse püramiidi ruumala on \(V_(\text(parem kolmnurk pür.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Korrapärase nelinurkse püramiidi ruumala on \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Korrapärase kuusnurkse püramiidi ruumala on \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Korrapärase tetraeedri ruumala on \(V_(\text(parem tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teoreem

Tavalise püramiidi külgpinna pindala on võrdne poolega aluse perimeetri ja apoteemi korrutisest.

\[(\Large(\text(Truncated püramiid)))\]

Definitsioon

Vaatleme suvalist püramiidi \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Joonistame püramiidi põhjaga paralleelse tasapinna läbi teatud punkti, mis asub püramiidi külgserval. See tasapind jagab püramiidi kaheks polüheedriks, millest üks on püramiid (\(PB_1B_2...B_n\) ) ja teine ​​on nn. kärbitud püramiid(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Kärbitud püramiidil on kaks alust – hulknurgad \(A_1A_2...A_n\) ja \(B_1B_2...B_n\) , mis on üksteisega sarnased.

Tüvipüramiidi kõrgus on risti, mis on tõmmatud ülemise aluse mõnest punktist alumise aluse tasapinnaga.

Olulised märkused

1. Kõik kärbitud püramiidi külgpinnad on trapetsikujulised.

2. Lõik, mis ühendab korrapärase tüvipüramiidi (st korrapärase püramiidi lõiguga saadud püramiidi) aluste keskpunkte, on kõrgus.

Hüpotees: me usume, et püramiidi kuju täiuslikkus on tingitud selle kuju sisseehitatud matemaatilistest seadustest.

Sihtmärk: olles uurinud püramiidi kui geomeetrilist keha, selgitada selle vormi täiuslikkust.

Ülesanded:

1. Andke püramiidi matemaatiline definitsioon.

2. Uurige püramiidi kui geomeetrilist keha.

3. Saage aru, milliseid matemaatilisi teadmisi panid egiptlased oma püramiididesse.

Privaatsed küsimused:

1. Mis on püramiid kui geomeetriline keha?

2. Kuidas saab matemaatiliselt seletada püramiidi ainulaadset kuju?

3. Mis seletab püramiidi geomeetrilisi imesid?

4. Mis seletab püramiidi kuju täiuslikkust?

Püramiidi määratlus.

PÜRAMID (kreeka sõnast pyramis, perekond n. pyramidos) - hulktahukas, mille alus on hulknurk ja ülejäänud tahud on ühise tipuga kolmnurgad (joonis). Vastavalt aluse nurkade arvule on püramiidid kolmnurksed, nelinurksed jne.

PÜRAMID - monumentaalne ehitis, millel on püramiidi geomeetriline kuju (mõnikord ka astmeline või tornikujuline). Vana-Egiptuse vaaraode 3.–2. aastatuhandel eKr hiiglaslikke haudu nimetatakse püramiidideks. e., samuti iidsed Ameerika templite postamendid (Mehhikos, Guatemalas, Hondurases, Peruus), mis on seotud kosmoloogiliste kultustega.

Võimalik, et Kreeka sõna"püramiid" tuleb egiptlaste väljendist per-em-us, s.t terminist, mis tähendas püramiidi kõrgust. Väljapaistev vene egüptoloog V. Struve arvas, et kreeka "puram…j" pärineb Vana-Egiptuse sõnast "p"-mr.

Ajaloost. Olles uurinud Atanasyani autorite õpiku "Geomeetria" materjali. Butuzova ja teised, saime teada, et: Hulktahukat, mis koosneb n-nurgast A1A2A3 ... An ja n kolmnurgast RA1A2, RA2A3, ..., RANA1, nimetatakse püramiidiks. Hulknurk A1A2A3 ... An on püramiidi alus ja kolmnurgad RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 on püramiidi külgmised tahud, P on püramiidi tipp, lõigud RA1, RA2, .. ., RAn on külgmised servad.

Sellist püramiidi määratlust ei olnud aga alati olemas. Näiteks Vana-Kreeka matemaatik, meieni jõudnud matemaatikateoreetiliste traktaatide autor Euclid defineerib püramiidi kui tahket kuju, mida piiravad tasapinnad, mis koonduvad ühest tasapinnast ühte punkti.

Kuid seda määratlust on kritiseeritud juba antiikajal. Niisiis pakkus Heron välja järgmise püramiidi määratluse: "See on kujund, mida piiravad ühes punktis koonduvad kolmnurgad ja mille alus on hulknurk."

Meie rühm jõudis neid definitsioone võrreldes järeldusele, et neil puudub mõiste "vundament" selge sõnastus.

Uurisime neid definitsioone ja leidsime Adrien Marie Legendre'i definitsiooni, kes 1794. aastal oma teoses "Geomeetria elemendid" defineerib püramiidi järgmiselt: "Püramiid on kehakuju, mis on moodustatud ühes punktis koonduvatest kolmnurkadest, mis lõpevad ühe punkti eri külgedel. tasane alus."

Meile tundub, et viimane määratlus annab püramiidist selge ettekujutuse, kuna selles kõnealune et põhi oleks tasane. Teine püramiidi määratlus ilmus 19. sajandi õpikus: "püramiid on ruuminurk, mida lõikab tasapind."

Püramiid kui geomeetriline keha.

See. Püramiid on hulktahukas, mille üks tahk (põhi) on hulknurk, ülejäänud tahud (küljed) on kolmnurgad, millel on üks ühine tipp (püramiidi tipp).

Püramiidi tipust aluse tasapinnani tõmmatud risti nimetatakse pikkh püramiidid.

Lisaks suvalisele püramiidile on olemas parempoolne püramiid, mille põhjas on korrapärane hulknurk ja kärbitud püramiid.

Joonisel - püramiid PABCD, ABCD - selle alus, PO - kõrgus.

Täispind Püramiidi nimetatakse kõigi selle tahkude pindalade summaks.

Täis = Sside + Sbase, Kus Sside on külgpindade pindalade summa.

püramiidi maht leitakse järgmise valemi järgi:

V=1/3Sbase h, kus Sosn. - baaspindala h- kõrgus.

Tavalise püramiidi telg on sirgjoon, mis sisaldab selle kõrgust.
Apothem ST – tavalise püramiidi külgpinna kõrgus.

Tavalise püramiidi külgpinna pindala väljendatakse järgmiselt: külg. =1/2P h, kus P on aluse ümbermõõt, h- külgpinna kõrgus (tavalise püramiidi apoteem). Kui püramiidi läbib alusega paralleelne tasapind A'B'C'D', siis:

1) külgservad ja kõrgus jagatakse selle tasapinnaga proportsionaalseteks osadeks;

2) lõigus saadakse sarnaselt alusele hulknurk A'B'C'D';

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Tüvipüramiidi alused on sarnased hulknurgad ABCD ja A`B`C`D`, külgpinnad on trapetsikujulised.

Kõrgus kärbitud püramiid - aluste vaheline kaugus.

Kärbitud maht püramiid leitakse järgmise valemiga:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Tavalise kärbitud püramiidi külgpindala väljendatakse järgmiselt: Sside. = ½(P+P') h, kus P ja P’ on aluste perimeetrid, h- külgpinna kõrgus (pühade poolt kärbitud tavapära apoteem

Püramiidi lõigud.

Püramiidi lõigud selle tippu läbivate tasanditega on kolmnurgad.

Püramiidi kahte mittekülgnevat külgserva läbivat lõiku nimetatakse diagonaalne lõik.

Kui lõik läbib punkti külgserval ja aluse küljel, siis on see külg selle jälg püramiidi aluse tasapinnal.

Lõik, mis läbib püramiidi esiküljel asuvat punkti ja selle lõigu antud jälg aluse tasapinnal, tuleks konstruktsioon läbi viia järgmiselt:

leida antud tahu tasapinna ja püramiidi lõike jälje lõikepunkt ning määrata see;

konstrueerida läbiv sirgjoon antud punkt ja sellest tulenev ristumispunkt;

· Korrake neid samme järgmiste nägude puhul.

, mis vastab täisnurkse kolmnurga jalgade suhtele 4:3. Selline jalgade suhe vastab hästi tuntud täisnurksele kolmnurgale külgedega 3:4:5, mida nimetatakse "täiuslikuks", "pühaks" või "Egiptuse" kolmnurgaks. Ajaloolaste sõnul anti "Egiptuse" kolmnurgale maagiline tähendus. Plutarchos kirjutas, et egiptlased võrdlesid universumi olemust "püha" kolmnurgaga; nad võrdlesid sümboolselt vertikaalset jalga abikaasaga, alust naisega ja hüpotenuusi mõlemast sündivaga.

Kolmnurga 3:4:5 puhul on võrdus tõene: 32 + 42 = 52, mis väljendab Pythagorase teoreemi. Kas pole see teoreem, mida Egiptuse preestrid tahtsid põlistada, püstitades kolmnurga 3:4:5 alusel püramiidi? Raske leida rohkem hea näide illustreerimaks Pythagorase teoreemi, mis oli egiptlastele teada juba ammu enne selle avastamist Pythagorase poolt.

Seega geniaalsed loojad Egiptuse püramiidid püüdsid kaugetele järeltulijatele muljet avaldada oma teadmiste sügavusega ja nad saavutasid selle, valides Cheopsi püramiidi peamiseks geomeetriliseks ideeks - "kuldse" täisnurkne kolmnurk, ja Khafre püramiidi jaoks - "püha" või "Egiptuse" kolmnurk.

Väga sageli kasutavad teadlased oma uurimistöös kuldse lõigu proportsioonidega püramiidide omadusi.

Matemaatikas entsüklopeediline sõnaraamat antakse järgmine kuldlõike definitsioon - see on harmooniline jaotus, jagamine äärmises ja keskmises suhtes - lõigu AB jagamine kaheks osaks selliselt, et suurem osa selle AC on keskmine proportsionaalne kogu lõigu AB vahel ja selle väiksem osa CB.

Lõigu kuldse lõigu algebraline leid AB = a taandub võrrandi a lahendamisele: x = x: (a - x), kus x on ligikaudu võrdne 0,62a. Suhet x saab väljendada murdudena 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, kus 2, 3, 5, 8, 13, 21 on Fibonacci arvud.

Lõigu AB kuldse lõigu geomeetriline konstruktsioon viiakse läbi järgmiselt: punktis B taastatakse risti AB-ga, sellele asetatakse segment BE \u003d 1/2 AB, A ja E on ühendatud, DE \ u003d BE lükatakse edasi ja lõpuks AC \u003d AD, siis on võrdsus AB täidetud: CB = 2: 3.

Kuldlõiget kasutatakse sageli kunstiteostes, arhitektuuris ja seda leidub looduses. Erksad näited on Apollo Belvedere skulptuur, Parthenon. Parthenoni ehitamisel kasutati hoone kõrguse ja pikkuse suhet ja see suhe on 0,618. Ka meid ümbritsevad objektid toovad näiteid Kuldse Suhtarvu kohta, näiteks on paljude raamatute köite laiuse ja pikkuse suhe 0,618 lähedal. Arvestades lehtede asetust taimede ühisel varrel, võib märgata, et iga kahe lehepaari vahel asub Kuldse Ratio (slaidide) asemel kolmas. Igaüks meist "kannab" kuldset suhet "kätes" - see on sõrmede falangide suhe.

Tänu mitme matemaatilise papüüruse avastamisele on egüptoloogid õppinud midagi Vana-Egiptuse arvutus- ja mõõtmissüsteemide kohta. Neis sisalduvaid ülesandeid lahendasid kirjatundjad. Üks kuulsamaid on Rhindi matemaatiline papüürus. Neid mõistatusi uurides said egüptoloogid teada, kuidas muistsed egiptlased käsitlesid erinevaid suurusi, mis tekkisid kaalu, pikkuse ja ruumala mõõtude arvutamisel, milleks kasutati sageli murde, ning kuidas nad käsitlesid nurki.

Muistsed egiptlased kasutasid nurkade arvutamise meetodit, mis põhines täisnurkse kolmnurga kõrguse ja aluse suhtel. Nad väljendasid gradiendi keeles mis tahes nurka. Kallaku gradienti väljendati täisarvu suhtena, mida nimetatakse "seked". Richard Pillins selgitab raamatus Mathematics in the Time of the Pharaohs: "Regulaarse püramiidi seked on mis tahes nelja kolmnurkse tahu kalle aluse tasapinna suhtes, mõõdetuna n-nda arvu horisontaalühikutega vertikaalse kõrgusühiku kohta. . Seega on see mõõtühik samaväärne meie kaasaegse kaldenurga kotangensiga. Seega Egiptuse sõna"seced" on seotud meie omaga tänapäevane sõna"gradient"".

Püramiidide numbriline võti seisneb nende kõrguse ja aluse suhtes. IN praktilises mõttes- see on lihtsaim viis teha malle, mis on vajalikud pidevaks õige kaldenurga kontrollimiseks kogu püramiidi ehitamise ajal.

Egiptoloogid veenaksid meid hea meelega, et iga vaarao soovis innukalt väljendada oma individuaalsust, millest tuleneb ka iga püramiidi kaldenurkade erinevus. Kuid põhjus võib olla ka muu. Võib-olla tahtsid nad kõik kehastada erinevaid sümboolseid assotsiatsioone, mis on peidetud erinevates proportsioonides. Khafre püramiidi nurk (mis põhineb kolmnurgal (3:4:5)) ilmneb aga kolmes ülesandes, mille püramiidid esitavad Rhindi matemaatilises papüüruses. Nii et see suhtumine oli vanadele egiptlastele hästi teada.

Et olla õiglane egüptoloogide suhtes, kes väidavad, et muistsed egiptlased ei teadnud 3:4:5 kolmnurka, oletame, et hüpotenuusi 5 pikkust ei mainitud kunagi. Aga matemaatika ülesandeid, mis puudutab püramiide, lahendatakse alati kaldenurga – kõrguse ja aluse suhte alusel. Kuna hüpotenuusi pikkust kordagi ei mainitud, jõuti järeldusele, et egiptlased ei arvutanud kunagi kolmanda külje pikkust.

Giza püramiidides kasutatud kõrguse ja aluse suhted olid iidsed egiptlased kahtlemata teada. Võimalik, et need suhted valiti iga püramiidi jaoks meelevaldselt. See on aga vastuolus numbrilise sümboolika tähtsusega igat tüüpi Egiptuse kujutavas kunstis. On väga tõenäoline, et sellised suhted olid olulise tähtsusega, kuna need väljendasid konkreetseid religioosseid ideid. Teisisõnu, kogu Giza kompleks allus ühtsele kujundusele, mis oli kavandatud peegeldama mingit jumalikku teemat. See selgitaks, miks disainerid valisid kolme püramiidi jaoks erinevad nurgad.

Raamatus "Orioni saladus" esitasid Bauval ja Gilbert veenvaid tõendeid Giza püramiidide seotusest Orioni tähtkujuga, eriti Orioni vöö tähtedega. Sama tähtkuju esineb ka Isise ja Osirise müüdis ning on põhjust käsitleda iga püramiidi kui ühe kolmest peamisest jumalusest – Osirise, Isise ja Horuse – kujutist.

IMED "GEOMETRIC".

Egiptuse suurejooneliste püramiidide seas on eriline koht Vaarao Cheopsi suur püramiid (Khufu). Enne Cheopsi püramiidi kuju ja suuruse analüüsimist peaksime meeles pidama, millist mõõtmissüsteemi egiptlased kasutasid. Egiptlastel oli kolm pikkusühikut: "küünar" (466 mm), mis võrdub seitsme "peopesaga" (66,5 mm), mis omakorda võrdus nelja "sõrmega" (16,6 mm).

Analüüsime Cheopsi püramiidi suurust (joonis 2), järgides Ukraina teadlase Nikolai Vasjutinski imelises raamatus "Kuldne proportsioon" (1990) toodud põhjendusi.

Enamik teadlasi nõustub, et näiteks püramiidi aluse külje pikkus GF on võrdne L\u003d 233,16 m. See väärtus vastab peaaegu täpselt 500 "küünrale". Täielik järgimine 500 küünart on siis, kui "küünra" pikkuseks loetakse 0,4663 m.

Püramiidi kõrgus ( H) on teadlaste hinnangul erinevalt 146,6–148,2 m Ja sõltuvalt püramiidi aktsepteeritud kõrgusest muutuvad kõik selle geomeetriliste elementide suhted. Millest on tingitud püramiidi kõrguse hinnangu erinevused? Fakt on see, et rangelt võttes on Cheopsi püramiid kärbitud. Selle ülemise platvormi suurus on tänapäeval ligikaudu 10 × 10 m ja sajand tagasi oli see 6 × 6 m. On ilmne, et püramiidi tipp on lahti võetud ja see ei vasta algsele.

Püramiidi kõrguse hindamisel tuleb arvestada sellistega füüsiline tegur"visand" kujundusena. Taga kaua aega kolossaalse rõhu mõjul (ulatades 500 tonni 1 m2 alumise pinna kohta) vähenes püramiidi kõrgus võrreldes algse kõrgusega.

Mis oli püramiidi algne kõrgus? Selle kõrguse saab uuesti luua, kui leiate püramiidi põhilise "geomeetrilise idee".

Joonis 2.

1837. aastal mõõtis inglise kolonel G. Wise püramiidi tahkude kaldenurka: see osutus võrdseks a= 51°51". Seda väärtust tunneb enamik teadlasi ka tänapäeval. Nurga näidatud väärtus vastab puutujale (tg a) võrdub 1,27306. See väärtus vastab püramiidi kõrguse suhtele AC pooleni selle alusest CB(joon.2), st. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Ja siin ootas teadlasi suur üllatus!.png" width="25" height="24">= 1,272. Selle väärtuse võrdlemine tg väärtusega a= 1,27306, näeme, et need väärtused on üksteisele väga lähedased. Kui võtame nurga a\u003d 51 ° 50", st selle vähendamiseks ainult ühe kaareminuti võrra, siis väärtus a muutub võrdseks 1,272-ga, see tähendab, et see langeb kokku väärtusega . Tuleb märkida, et 1840. aastal kordas G. Wise oma mõõtmisi ja selgitas, et nurga väärtus a=51°50".

Need mõõtmised viisid teadlased järgmise väga huvitava hüpoteesini: Cheopsi püramiidi kolmnurk ASV põhines seosel AC / CB = = 1,272!

Mõelge nüüd täisnurksele kolmnurgale ABC, milles jalgade suhe AC / CB= (joonis 2). Kui nüüd ristküliku külgede pikkused ABC tähistama x, y, z, ja arvestage ka sellega, et suhe y/x= , siis vastavalt Pythagorase teoreemile pikkus z saab arvutada järgmise valemiga:

Kui aktsepteerida x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Joonis 3"Kuldne" täisnurkne kolmnurk.

Täisnurkne kolmnurk, mille küljed on seotud nagu t:kuldne" täisnurkne kolmnurk.

Siis, kui võtta aluseks hüpotees, et Cheopsi püramiidi peamiseks "geomeetriliseks ideeks" on "kuldne" täisnurkne kolmnurk, siis siit on lihtne arvutada Cheopsi püramiidi "disaini" kõrgust. See on võrdne:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Tuletagem nüüd mõned teised seosed Cheopsi püramiidi jaoks, mis tulenevad "kuldsest" hüpoteesist. Eelkõige leiame püramiidi välispinna ja selle aluse pindala suhte. Selleks võtame jala pikkuse CBühiku kohta, see tähendab: CB= 1. Aga siis püramiidi aluse külje pikkus GF= 2 ja aluse pindala EFGH on võrdne SEFGH = 4.

Arvutame nüüd Cheopsi püramiidi külgpinna pindala SD. Kuna kõrgus AB kolmnurk AEF on võrdne t, siis on külgpinna pindala võrdne SD = t. Siis on püramiidi kõigi nelja külgpinna kogupindala 4 t, ja püramiidi kogu välispinna ja aluspinna suhe on võrdne kuldse lõikega! See on see - Cheopsi püramiidi peamine geomeetriline saladus!

Cheopsi püramiidi "geomeetriliste imede" rühm hõlmab püramiidi erinevate mõõtmete vahelise seose tegelikke ja väljamõeldud omadusi.

Reeglina saadakse need mõne "konstandi" otsimisel, eriti arvu "pi" (Ludolfi arv), mis on võrdne 3,14159...; naturaallogaritmide alused "e" (Napieri arv) võrdub 2,71828...; arv "F", "kuldse lõigu" number võrdub näiteks 0,618 ... jne.

Võite nimetada näiteks: 1) Herodotose omadus: (kõrgus) 2 \u003d 0,5 st. peamine x Apothem; 2) V kinnistu. Hind: Kõrgus: 0,5 st. osn \u003d "Ф" ruutjuur; 3) M. Eisti omadus: Aluse ümbermõõt: 2 Kõrgus = "Pi"; erinevas tõlgenduses - 2 spl. peamine : Kõrgus = "Pi"; 4) G. Reberi omadus: Sissekirjutatud ringi raadius: 0,5 st. peamine = "F"; 5) K. Kleppishi omand: (St. main.) 2: 2 (st. Main. x Apothem) \u003d (St. Main. W. Apothem) \u003d. 2 (St. Main. x Apothem) : (( 2 st. main X Apothem) + (st. main) 2). Jne. Selliseid omadusi saate välja mõelda palju, eriti kui ühendate kaks külgnevat püramiidi. Näiteks kui "A. Arefjevi omadused" võib mainida, et Cheopsi püramiidi ja Khafre püramiidi mahtude vahe on võrdne Menkaure püramiidi kahekordse ruumalaga...

Palju huvitavaid positsioone, eriti püramiidide ehitamist vastavalt "kuldsele lõikele" on kirjeldatud D. Hambidge'i raamatutes "Dünaamiline sümmeetria arhitektuuris" ja M. Geek "Proportsiooni esteetika looduses ja kunstis". Tuletame meelde, et "kuldlõige" on segmendi jaotus sellises suhtes, kui osa A on sama mitu korda suurem kui osa B, mitu korda on A väiksem kui kogu segment A + B. Suhe A / B on võrdne arvuga "Ф" == 1,618. .. "Kuldse lõigu" kasutamine on näidatud mitte ainult üksikutes püramiidides, vaid kogu Giza püramiidikompleksis.

Kõige kurioossem on aga see, et seesama Cheopsi püramiid lihtsalt "ei mahuta" nii palju imelised omadused. Võttes teatud omaduse ükshaaval, saate seda "kohandada", kuid korraga need ei sobi - nad ei lange kokku, vaid lähevad üksteisele vastu. Seega, kui näiteks kõigi omaduste kontrollimisel võtta algselt püramiidi aluse üks ja sama külg (233 m), siis on ka erinevate omadustega püramiidide kõrgused erinevad. Teisisõnu on olemas teatud püramiidide "perekond", mis väliselt sarnaneb Cheopsiga, kuid vastab erinevad omadused. Pange tähele, et "geomeetrilistes" omadustes pole midagi eriti imelist – palju tuleneb puhtalt automaatselt, figuuri enda omadustest. "Imeks" tuleks pidada vaid midagi ilmselgelt võimatut muistsete egiptlaste jaoks. See hõlmab eelkõige "kosmilisi" imesid, kus Cheopsi püramiidi või Giza püramiidikompleksi mõõtmisi võrreldakse mõne astronoomilise mõõtmisega ja näidatakse "paarisarvulisi" numbreid: miljon korda, miljard korda vähem jne. . Vaatleme mõningaid "kosmilisi" suhteid.

Üks väidetest on järgmine: "kui jagame püramiidi aluse külje aasta täpse pikkusega, saame täpselt 10 miljondiku maakera teljest." Arvutage: jagage 233 365-ga, saame 0,638. Maa raadius on 6378 km.

Teine väide on tegelikult eelmise vastand. F. Noetling juhtis tähelepanu sellele, et kui kasutada tema leiutatud "Egiptuse küünarnukki", siis püramiidi külg vastab "päikeseaasta kõige täpsemale kestusele, väljendatuna päeva miljardindiku täpsusega" - 365.540.903.777. .

P. Smithi väide: "Püramiidi kõrgus on täpselt üks miljardik kaugusest Maa ja Päikese vahel." Kuigi tavaliselt võetakse kõrguseks 146,6 m, võttis Smith selle 148,2 m. Tänapäevaste radarimõõtmiste järgi on Maa orbiidi poolpeatelg 149 597 870 + 1,6 km. See on keskmine kaugus Maast Päikeseni, kuid periheelis on see 5 000 000 kilomeetrit väiksem kui afeelis.

Viimane uudishimulik väide:

"Kuidas seletada, et Cheopsi, Khafre ja Menkaure püramiidide massid on omavahel seotud nagu planeetide Maa, Veenus, Marss massid?" Arvutame. Kolme püramiidi massid on omavahel seotud: Khafre - 0,835; Cheops - 1000; Mikerin - 0,0915. Kolme planeedi masside suhted: Veenus - 0,815; Maa - 1000; Marss - 0,108.

Niisiis, vaatamata skepsisele, pangem tähele väidete ülesehituse üldtuntud harmooniat: 1) püramiidi kõrgus kui "kosmosesse minev" joon – vastab kaugusele Maast Päikeseni; 2) püramiidi aluse "substraadile" ehk Maale lähim külg vastutab maa raadiuse ja maa tsirkulatsiooni eest; 3) püramiidi mahud (loe - massid) vastavad Maale lähimate planeetide masside suhtele. Sarnast "šifrit" saab jälgida näiteks mesilaskeeles, analüüsis Karl von Frisch. Siiski hoidume praegu seda kommenteerimast.

PÜRAMIIDI KUJU

Püramiidide kuulus tetraeedriline kuju ei ilmnenud kohe. Sküüdid matsid muldmägede - kärude kujul. Egiptlased ehitasid kivist "künkaid" - püramiide. Esimest korda juhtus see pärast Ülem- ja Alam-Egiptuse ühendamist, 28. sajandil eKr, kui III dünastia rajaja vaarao Džoser (Zoser) seisis silmitsi ülesandega tugevdada riigi ühtsust.

Ja siin mängis ajaloolaste hinnangul keskvõimu tugevdamisel olulist rolli tsaari "uus jumalikustamise kontseptsioon". Kuigi kuninglikud matused ja erinesid suurema hiilguse poolest, põhimõtteliselt ei erinenud nad õukonnaaadlike hauakambritest, need olid samad rajatised – mastabad. Muumiat sisaldava sarkofaagiga kambri kohale valati väikestest kividest ristkülikukujuline küngas, kuhu seejärel asetati suurtest kiviplokkidest väike hoone - "mastaba" (araabia keeles - "pink"). Vaarao Djoser püstitas oma eelkäija Sanakhti mastaba kohale esimese püramiidi. See oli astmeline ja oli nähtav üleminekuetapp ühest arhitektuurivormist teise, mastabast püramiidini.

Nii "kasvatas" vaarao üles tark ja arhitekt Imhotep, keda hiljem peeti mustkunstnikuks ja kreeklased samastasid jumal Asklepiosega. Tundus, nagu oleks järjest kuus mastabat püsti pandud. Veelgi enam, esimene püramiid hõivas ala 1125 x 115 meetrit, hinnangulise kõrgusega 66 meetrit (Egiptuse mõõtude järgi - 1000 "palmi"). Algul plaanis arhitekt ehitada mastaba, kuid mitte pikliku, vaid ruudukujulise plaaniga. Hiljem laiendati, aga kuna pikendus tehti madalamaks, siis tekkis justkui kaks astet.

Selline olukord arhitekti ei rahuldanud ja tohutu lameda mastaba ülemisele platvormile asetas Imhotep veel kolm, kahanes järk-järgult tipu poole. Haud asus püramiidi all.

Teada on veel mitmeid astmelisi püramiide, kuid hiljem asusid ehitajad ehitama tuttavamaid tetraeedrilisi püramiide. Miks aga mitte kolmnurkne või näiteks kaheksanurkne? Kaudse vastuse annab asjaolu, et peaaegu kõik püramiidid on ideaalselt orienteeritud neljale põhipunktile ja seetõttu on neil neli külge. Lisaks oli püramiid "maja", nelinurkse matmiskambri kest.

Mis aga põhjustas nägude kaldenurga? Raamatus "Proportsioonide põhimõte" on sellele pühendatud terve peatükk: "Mis võiks määrata püramiidide nurgad." Eelkõige on märgitud, et "kujutis, mille poole suured püramiidid graviteerivad iidne kuningriik- kolmnurk, mille tipus on täisnurk.

Ruumis on see pooloktaeedr: püramiid, mille aluse servad ja küljed on võrdsed, tahud on võrdkülgsed kolmnurgad.Hambidge'i, Geeki jt raamatutes on sellel teemal teatud kaalutlusi.

Mis on pooloktaeedri nurga eelis? Arheoloogide ja ajaloolaste kirjelduste järgi varisesid mõned püramiidid oma raskuse all kokku. Vaja oli "vastupidavusnurka", mis on energeetiliselt kõige usaldusväärsem. Puhtalt empiiriliselt saab selle nurga võtta mureneva kuiva liiva hunnikus tipunurgast. Kuid täpsete andmete saamiseks peate kasutama mudelit. Võttes neli kindlalt fikseeritud palli, tuleb neile panna viies ja mõõta kaldenurgad. Kuid siin võite teha vea, seetõttu aitab teoreetiline arvutus: peaksite ühendama pallide keskpunktid joontega (vaimselt). Alusel saate ruudu, mille külg on kahekordne raadius. Ruut on lihtsalt püramiidi alus, mille servade pikkus on samuti võrdne kahekordse raadiusega.

Seega 1:4 tüüpi kuulide tihe pakend annab meile korrapärase pooloktaeedri.

Miks aga paljud püramiidid, mis kalduvad sarnase kuju poole, seda siiski ei säilita? Tõenäoliselt hakkavad püramiidid vananema. Vastupidiselt kuulsale ütlusele:

"Kõik maailmas kardab aega ja aeg kardab püramiide", püramiidide ehitised peavad vananema, neis saavad ja peaksid toimuma mitte ainult välise ilmastiku, vaid ka sisemise "kahanemise" protsessid. , millest püramiidid võivad langeda. Kokkutõmbumine on võimalik ka seetõttu, et nagu D. Davidovitsi töödest selgus, kasutasid iidsed egiptlased lubjalaastudest ehk teisisõnu "betoonist" plokkide valmistamise tehnoloogiat. Just need protsessid võivad selgitada Kairost 50 km lõuna pool asuva Medumi püramiidi hävimise põhjust. See on 4600 aastat vana, aluse mõõdud 146 x 146 m, kõrgus 118 m. „Miks see nii rikutud on?“ küsib V. Zamarovsky. „Tavalised viited aja hävitavale mõjule ja „kivi kasutamisele teiste hoonete jaoks“ siia ei sobi.

Lõppude lõpuks on enamik selle plokke ja katteplaate endiselt paigal, selle jalamil varemetes. "Nagu näeme, panevad mitmed sätted isegi arvama, et ka kuulus Cheopsi püramiid" on kahanenud". Igal juhul , kõigil iidsetel piltidel on püramiidid teravad ...

Püramiidide kuju võiks tekitada ka imitatsiooniga: mõned looduslikud mustrid, "imeline täiuslikkus", ütleme, mõned kristallid oktaeedri kujul.

Sellised kristallid võivad olla teemant- ja kullakristallid. Iseloomulikult suur hulk"ristuvad" märgid selliste mõistete jaoks nagu vaarao, päike, kuld, teemant. Kõikjal – üllas, geniaalne (särav), suurepärane, veatu ja nii edasi. Sarnasused pole juhuslikud.

Nagu teate, oli päikesekultus Vana-Egiptuse religiooni oluline osa. "Ükskõik, kuidas me tõlgime suurima püramiidi nime," ütleb üks tänapäeva õpikutest "Sky Khufu" või "Sky Khufu", see tähendas, et kuningas on päike. Kui Khufu kujutles end oma jõu säras teiseks päikeseks, siis tema poeg Jedef-Ra sai esimeseks Egiptuse kuningatest, kes hakkas end nimetama "Ra pojaks", see tähendab Päike. Peaaegu kõik rahvad sümboliseerisid päikest kui "päikesemetalli", kulda. "Suur heledast kullast ketas" - nii nimetasid egiptlased meie päevavalgust. Egiptlased teadsid kulda väga hästi, teadsid selle looduslikke vorme, kus kullakristallid võivad tekkida oktaeedritena.

"Vorminäidisena" on siin huvitav ka "päikesekivi" - teemant. Teemandi nimi tuli just araabia maailmast "almas" – kõige kõvem, kõvem, hävimatu. Vanad egiptlased tundsid teemanti ja selle omadused on üsna head. Mõnede autorite sõnul kasutasid nad puurimiseks isegi teemantlõikuritega pronkstorusid.

Lõuna-Aafrika on praegu peamine teemantide tarnija, kuid ka Lääne-Aafrika on teemantide poolest rikas. Mali Vabariigi territooriumi kutsutakse seal isegi "Teemantmaaks". Vahepeal elab just Mali territooriumil dogon, kellega paleovisiidi hüpoteesi toetajad loodavad palju (vt allpool). Teemandid ei saanud olla iidsete egiptlaste kontaktide põhjuseks selle piirkonnaga. Kuid nii või teisiti on võimalik, et just teemandi- ja kullakristallide oktaeedrite kopeerimisega jumalikustasid iidsed egiptlased vaaraod, "hävimatud" nagu teemant ja "hiilgavad" nagu kuld, Päikese pojad, võrreldavad. ainult looduse imelisema loominguga.

Järeldus:

Olles uurinud püramiidi kui geomeetrilist keha, tutvunud selle elementide ja omadustega, veendusime püramiidi kuju ilu puudutava arvamuse paikapidavuses.

Uurimistöö tulemusena jõudsime järeldusele, et egiptlased, olles kogunud kõige väärtuslikumad matemaatilised teadmised, kehastasid need püramiidis. Seetõttu on püramiid tõesti looduse ja inimese kõige täiuslikum looming.

BIBLIOGRAAFIA

"Geomeetria: Proc. 7-9 raku jaoks. Üldharidus asutused \ jne - 9. väljaanne - M .: Haridus, 1999

Matemaatika ajalugu koolis, M: "Valgustus", 1982

Geomeetria klass 10-11, M: "Valgustus", 2000. a

Peter Tompkins "Cheopsi suure püramiidi saladused", M: "Centropoligraph", 2005

Interneti-ressursid

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Õpilased puutuvad püramiidi kontseptsiooniga kokku ammu enne geomeetria õppimist. Süüdistada kuulsaid suuri Egiptuse maailmaimesid. Seetõttu kujutab enamik õpilasi selle imelise hulktahuka uurimist alustades seda juba selgelt ette. Kõik ülaltoodud sihikud on õiges vormis. Mis on juhtunud parempoolne püramiid, ja millised omadused sellel on ning sellest räägitakse edaspidi.

Kokkupuutel

Definitsioon

Püramiidi määratlusi on palju. Alates iidsetest aegadest on see olnud väga populaarne.

Näiteks defineeris Euclid seda kui tahket kujundit, mis koosneb tasapindadest, mis ühest alustades koonduvad teatud punktis.

Heron esitas täpsema sõnastuse. Ta väitis, et see oli kujund sellel on alus ja tasapinnad kolmnurkade kujul, koonduvad ühel hetkel.

Toetudes kaasaegne tõlgendus, püramiid on kujutatud ruumilise hulktahukana, mis koosneb teatud k-nurgast ja k lamedast kolmnurkse kujuga kujundist, millel on üks ühine punkt.

Vaatame lähemalt, Millistest elementidest see koosneb?

• k-gon loetakse joonise aluseks;
• 3-nurksed figuurid ulatuvad küljeosa külgedena välja;
• ülemist osa, millest külgmised elemendid pärinevad, nimetatakse ülaosaks;
• kõiki tippu ühendavaid segmente nimetatakse servadeks;
• kui sirgjoon on ülaosast joonise tasapinnale langetatud 90 kraadise nurga all, siis on selle siseruumis olev osa püramiidi kõrgus;
• mis tahes külgelemendis meie hulktahuka küljes saate joonistada risti, mida nimetatakse apoteemiks.

Servade arv arvutatakse valemiga 2*k, kus k on k-nurga külgede arv. Kui palju tahkusid on püramiidi sarnasel hulktahukal, saab määrata avaldise k + 1 abil.

Tähtis! Püramiid õige vorm nimetatakse stereomeetriliseks kujundiks, mille alustasand on võrdsete külgedega k-nurk.

Põhiomadused

Õige püramiid omab palju omadusi mis on talle ainulaadsed. Loetleme need:

1. Alus on õige kujuga kujund.
2. Püramiidi servad, mis piiravad külgelemente, on võrdsete arvväärtustega.
3. Külgelemendid on võrdhaarsed kolmnurgad.
4. Figuuri kõrguse alus langeb hulknurga keskpunkti, samal ajal kui see on sisse kirjutatud ja kirjeldatava keskpunkt.
5. Kõik külgmised ribid on kallutatud aluspinna suhtes sama nurga all.
6. Kõigil külgpindadel on aluse suhtes sama kaldenurk.

Tänu kõigile loetletud omadustele on elementide arvutuste tegemine oluliselt lihtsustatud. Ülaltoodud omaduste põhjal pöörame tähelepanu kaks märki:

1. Kui hulknurk mahub ringi, on külgpinnad alusega võrdsed nurgad.
2. Hulknurga ümber oleva ringi kirjeldamisel on kõik tipust lähtuvad püramiidi servad ühepikkused ja võrdsed nurgad alusega.

Väljak põhineb

Regulaarne nelinurkne püramiid - ruudul põhinev hulktahukas.

Sellel on neli külgpinda, mis on välimuselt võrdhaarsed.

Tasapinnal on kujutatud ruut, kuid need põhinevad kõigil korrapärase nelinurga omadustel.

Näiteks kui on vaja ühendada ruudu külg selle diagonaaliga, siis kasutatakse järgmist valemit: diagonaal võrdub ruudu külje ja kahe ruutjuure korrutisega.

Põhineb tavalisel kolmnurgal

Korrapärane kolmnurkne püramiid on hulktahukas, mille alus on korrapärane 3-nurkne.

Kui alus on tavaline kolmnurk ja külgservad on võrdsed aluse servadega, siis selline joonis nimetatakse tetraeedriks.

Kõik tetraeedri tahud on võrdkülgsed 3-nurksed. Sel juhul peate teadma mõnda punkti ja mitte raiskama nende arvutamisel aega:

• ribide kaldenurk mis tahes aluse suhtes on 60 kraadi;
• kõigi sisepindade väärtus on samuti 60 kraadi;
• mis tahes nägu võib toimida alusena;
• joonise sees on võrdsed elemendid.

Hulktahuka lõiked

Igas hulktahukas on mitut tüüpi sektsioone lennuk. Sageli töötavad nad kooli geomeetria kursusel kahega:

• aksiaalne;
• paralleelselt.

Telglõik saadakse polüeedri lõikumisel tasandiga, mis läbib tippu, külgservi ja telge. Sel juhul on teljeks tipust tõmmatud kõrgus. Lõiketasapind on piiratud kõikide tahkudega lõikejoontega, mille tulemuseks on kolmnurk.

Tähelepanu! Tavalises püramiidis on telglõikeks võrdhaarne kolmnurk.

Kui lõiketasand jookseb alusega paralleelselt, siis on tulemuseks teine ​​variant. Sel juhul on meil taustaga sarnane joonis.

Näiteks kui alus on ruut, siis on ka alusega paralleelne lõik ruut, ainult väiksema suurusega.

Selle tingimuse probleemide lahendamisel kasutatakse jooniste sarnasuse märke ja omadusi, põhineb Thalese teoreemil. Kõigepealt on vaja kindlaks määrata sarnasuse koefitsient.

Kui tasapind tõmmatakse paralleelselt alusega ja see lõikab ära ülemine osa hulktahukas, siis saadakse alumises osas tavaline kärbitud püramiid. Siis öeldakse, et kärbitud hulktahuka alused on sarnased hulknurgad. Sel juhul on külgpinnad võrdhaarsed trapetsid. Telglõik on samuti võrdhaarne.

Kärbitud hulktahuka kõrguse määramiseks on vaja kõrgus joonestada telglõikes ehk trapetsis.

Pinnaalad

Peamised geomeetriaülesanded, mida tuleb kooli geomeetria kursusel lahendada, on püramiidi pindala ja ruumala leidmine.

Pindala on kahte tüüpi:

• külgmiste elementide pindala;
• kogu pinna pindala.

Pealkirjast endast on aru saada, millega tegu. Külgpind sisaldab ainult külgmisi elemente. Sellest järeldub, et selle leidmiseks tuleb lihtsalt liita külgtasandite pindalad, st võrdhaarsete 3-nurksete pindalad. Proovime tuletada külgelementide pindala valemit:

1. Võrdhaarse 3-nurga pindala on Str=1/2(aL), kus a on aluse külg, L on apoteem.
2. Külgtasapindade arv sõltub aluses oleva k-goni tüübist. Näiteks tavalisel nelinurksel püramiidil on neli külgtasapinda. Seetõttu on vaja liita nelja numbri pindalad Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Avaldist on sel viisil lihtsustatud, kuna väärtus 4a=POS, kus POS on aluse ümbermõõt. Ja avaldis 1/2 * Rosn on selle poolperimeeter.
3. Seega järeldame, et tavalise püramiidi külgelementide pindala on võrdne aluse poolperimeetri ja apoteemi korrutisega: Sside \u003d Rosn * L.

Püramiidi täispinna pindala koosneb külgtasandite ja aluse pindalade summast: Sp.p. = Sside + Sbase.

Mis puutub aluse pindala, siis siin kasutatakse valemit vastavalt hulknurga tüübile.

Tavalise püramiidi ruumala on võrdne põhitasandi pindala ja kõrguse korrutisega jagatuna kolmega: V=1/3*Sbase*H, kus H on hulktahuka kõrgus.

Mis on geomeetrias tavaline püramiid

Korrapärase nelinurkse püramiidi omadused