Mis on kogupindala. Püramiidi külgpindala

- See on hulktahuline kujund, mille põhjas asub hulknurk ja ülejäänud tahud on kujutatud ühise tipuga kolmnurkadega.

Kui alus on ruut, nimetatakse püramiidi nelinurkne, kui kolmnurk on kolmnurkne. Püramiidi kõrgus tõmmatakse selle tipust risti alusega. Kasutatakse ka pindala arvutamiseks apoteem on külgpinna kõrgus selle tipust alla lastud.
Püramiidi külgpinna pindala valem on selle külgpindade pindalade summa, mis on üksteisega võrdsed. Seda arvutusmeetodit kasutatakse aga väga harva. Põhimõtteliselt arvutatakse püramiidi pindala läbi aluse ja apoteemi perimeetri:

Vaatleme näidet püramiidi külgpinna pindala arvutamiseks.

Olgu antud püramiid, mille alus on ABCDE ja tipp on F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apoteem a = 5 cm. Leidke püramiidi külgpinna pindala.
Leiame perimeetri. Kuna aluse kõik küljed on võrdsed, võrdub viisnurga ümbermõõt:
Nüüd leiate külgne ala püramiidid:

Korrapärase kolmnurkse püramiidi pindala

Tavaline kolmnurkne püramiid koosneb alusest, milles asub tavaline kolmnurk, ja kolmest külgpinnast, mille pindala on võrdne.
Õige külgpinna pindala valem kolmnurkne püramiid saab arvutada erinevatel viisidel. Perimeetri ja apoteemi arvutamiseks võite kasutada tavalist valemit või leida ühe näo pindala ja korrutada see kolmega. Kuna püramiidi tahk on kolmnurk, rakendame kolmnurga pindala valemit. See nõuab apoteemi ja aluse pikkust. Vaatleme näidet tavalise kolmnurkse püramiidi külgpinna pindala arvutamiseks.

Antud püramiid, mille apoteem on a = 4 cm ja aluspind b = 2 cm. Leidke püramiidi külgpinna pindala.
Esiteks leidke ühe külgpinna ala. Sel juhul on see:
Asendage valemis olevad väärtused:
Kuna tavalisel püramiidil on kõik küljed ühesugused, võrdub püramiidi külgpinna pindala kolme tahu pindalade summaga. Vastavalt:

Kärbitud püramiidi pindala

kärbitud Püramiid on hulktahukas, mille moodustab püramiid ja selle alusega paralleelne lõik.
Kärbitud püramiidi külgpinna valem on väga lihtne. Pindala on võrdne poole aluste perimeetrite ja apoteemi summa korrutisega:

Suvalise püramiidi külgpinna pindala on võrdne selle külgpindade pindalade summaga. Selle ala väljendamiseks on käändes mõtekas anda spetsiaalne valem õige püramiid. Niisiis, olgu antud tavaline püramiid, mille põhjas asub korrapärane n-nurk, mille külg on võrdne a-ga. Olgu h külgpinna kõrgus, mida nimetatakse ka apoteem püramiidid. Ühe külgpinna pindala on 1/2ah ja kogu püramiidi külgpinna pindala on n/2ha. Kuna na on püramiidi aluse ümbermõõt, saame leitud valemi kirjutada järgmiselt :

Külgmine pindala tavalise püramiidi korrutis on võrdne tema apoteemi korrutisega poole aluse ümbermõõduga.

Mis puudutab kogupindala, seejärel lisage lihtsalt aluse pindala küljele.

Sissekirjutatud ja piiritletud kera ja kuul. Tuleb märkida, et püramiidi sisse kirjutatud sfääri keskpunkt asub püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitajate tasandite ristumiskohas. Püramiidi lähedal kirjeldatud sfääri keskpunkt asub püramiidi servade keskpunkte läbivate ja nendega risti olevate tasandite ristumiskohas.

Kärbitud püramiid. Kui püramiidi lõigatakse selle põhjaga paralleelse tasapinnaga, siis lõiketasandi ja aluse vahele jäävat osa nimetatakse nn. kärbitud püramiid. Joonisel on kujutatud püramiidi, mille lõiketasandi kohal asuva osa kõrvale heites saame kärbitud püramiidi. On selge, et väike püramiid, mis tuleb ära visata, on homoteetiline suure püramiidiga, mille tipus on homoteedi keskpunkt. Sarnasuskoefitsient võrdub kõrguste suhtega: k=h 2 /h 1 ehk mõlema püramiidi külgribid või muud vastavad lineaarmõõtmed. Teame, et sarnaste kujundite pindalad on seotud lineaarsete mõõtmetega ruutudena; seega on mõlema püramiidi aluste pindalad (s.o. kärbitud püramiidi alused säästud) omavahel seotud

Siin on S 1 alumise aluse pindala ja S 2 on kärbitud püramiidi ülemise aluse pindala. Püramiidide külgpinnad on samas vahekorras. Sarnane reegel kehtib ka mahtude kohta.

Sarnaste kehade mahud on seotud nende lineaarsete mõõtmetega kuubikutena; Näiteks püramiidide ruumalad on nende kõrguste korrutisena seotud aluste pindalaga, millest tuleneb kohe meie reegel. Sellel on absoluutselt üldine iseloom ja tuleneb otseselt sellest, et mahul on alati pikkuse kolmanda astme mõõde. Seda reeglit kasutades tuletame valemi, mis väljendab kärbitud püramiidi ruumala aluste kõrguse ja pindalade järgi.

Olgu antud kärbitud püramiid kõrgusega h ja aluse pindaladega S 1 ja S 2. Kui kujutada ette, et see on laiendatud täispüramiidini, siis täispüramiidi ja väikese püramiidi sarnasuskoefitsiendi on lihtne leida S 2 /S 1 suhte juurena. Kärbitud püramiidi kõrgust väljendatakse h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Nüüd on meil kärbitud püramiidi ruumala (V 1 ja V 2 tähistavad täis- ja väikese püramiidi ruumala)

kärbitud püramiidi mahuvalem

Tuletame aluste perimeetrite P 1 ja P 2 läbiva korrapärase tüvipüramiidi külgpinna pindala S valemi ning apoteemi a pikkuse. Me vaidleme täpselt samamoodi nagu mahu valemi tuletamisel. Püramiidi täiendamine üleval, meil on P 2 \u003d kP 1, S 2 \u003d k 2 S 1, kus k on sarnasuse koefitsient, P 1 ja P 2 on aluste perimeetrid ning S 1 ja S 2 on külje hobused vastavalt kogu saadud püramiidi ja selle ülemise osa pinnad. Külgpinna jaoks leiame (a 1 ja a 2 - püramiidide apoteemid, a \u003d a 1 - a 2 \u003d a 1 (1-k))

tavalise kärbitud püramiidi külgpinna valem

Matemaatika eksamiks valmistudes peavad õpilased süstematiseerima oma algebra ja geomeetria teadmised. Tahaksin ühendada kogu teadaoleva teabe, näiteks püramiidi pindala arvutamise kohta. Lisaks alustades alus- ja külgpindadest kuni kogu pinnani. Kui külgpindade puhul on olukord selge, kuna need on kolmnurgad, siis on alus alati erinev.

Mida teha püramiidi aluse pindala leidmisel?

See võib olla täiesti ükskõik milline kujund: suvalisest kolmnurgast kuni n-nurgani. Ja see alus võib lisaks nurkade arvu erinevusele olla tavaline või vale kujund. Koolilastele huvipakkuvates KASUTUSülesannetes on põhjas vaid õigete joonistega ülesanded. Seetõttu räägime ainult neist.

täisnurkne kolmnurk

See on võrdkülgne. Selline, mille kõik küljed on võrdsed ja tähistatud tähega "a". Sel juhul arvutatakse püramiidi aluse pindala järgmise valemiga:

S = (a 2 * √3) / 4.

Ruut

Selle pindala arvutamise valem on kõige lihtsam, siin on "a" jälle külg:

Suvaline korrapärane n-nurk

Hulknurga küljel on sama tähistus. Nurkade arvu jaoks kasutatakse ladina tähte n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Kuidas toimida külg- ja kogupindala arvutamisel?

Sest vundament on õige figuur, siis on püramiidi kõik tahud võrdsed. Pealegi on igaüks neist võrdhaarne kolmnurk, kuna külgmised servad on võrdsed. Seejärel vajate püramiidi külgpinna arvutamiseks valemit, mis koosneb identsete monomialide summast. Terminite arv määratakse aluse külgede arvu järgi.

Võrdhaarse kolmnurga pindala arvutatakse valemiga, milles pool aluse korrutist korrutatakse kõrgusega. Seda kõrgust püramiidis nimetatakse apoteemiks. Selle tähis on "A". Külgpinna üldvalem on järgmine:

S \u003d ½ P * A, kus P on püramiidi aluse ümbermõõt.

On olukordi, kus aluse küljed pole teada, kuid on antud külgservad (c) ja tasanurk selle tipus (α). Siis peaks püramiidi külgpinna arvutamiseks kasutama sellist valemit:

S = n/2 * 2 sin α .

Ülesanne nr 1

Seisund. Leidke püramiidi kogupindala, kui selle aluse külg on 4 cm ja apoteemi väärtus on √3 cm.

Lahendus. Alustuseks peate arvutama aluse ümbermõõdu. Kuna see on tavaline kolmnurk, siis P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Kuna apoteem on teada, saate kohe arvutada kogu külgpinna pindala: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.

Alus asuva kolmnurga puhul saadakse järgmine pindala väärtus: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Kogu ala määramiseks peate liitma kaks saadud väärtust: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Vastus. 10√3 cm2.

Ülesanne nr 2

Seisund. Seal on tavaline nelinurkne püramiid. Aluse külje pikkus on 7 mm, külgserv 16 mm. Peate teadma selle pindala.

Lahendus. Kuna hulktahukas on nelinurkne ja korrapärane, siis on selle alus ruut. Olles õppinud aluse ja külgpindade pindala, on võimalik arvutada püramiidi pindala. Ruudu valem on toodud ülal. Ja külgpindade juures on kolmnurga kõik küljed teada. Seetõttu saate nende pindalade arvutamiseks kasutada Heroni valemit.

Esimesed arvutused on lihtsad ja viivad selle numbrini: 49 mm 2. Teise väärtuse jaoks peate arvutama poolperimeetri: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Nüüd saate arvutada võrdhaarse kolmnurga pindala: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Selliseid kolmnurki on ainult neli, nii et lõpliku arvu arvutamisel peate selle korrutama 4-ga.

Selgub: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.

Vastus. Soovitud väärtus on 267,576 mm 2.

Ülesanne nr 3

Seisund. Tavalise nelinurkse püramiidi jaoks peate arvutama pindala. Selles on ruudu külg 6 cm ja kõrgus 4 cm.

Lahendus. Lihtsaim viis on kasutada valemit perimeetri ja apoteemi korrutisega. Esimest väärtust on lihtne leida. Teine on veidi keerulisem.

Peame meeles pidama Pythagorase teoreemi ja arvestama, et selle moodustavad püramiidi kõrgus ja apoteem, mis on hüpotenuus. Teine jalg on võrdne poole ruudu küljega, kuna hulktahuka kõrgus langeb selle keskele.

Soovitud apoteem (täisnurkse kolmnurga hüpotenuus) on √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Nüüd saate arvutada soovitud väärtuse: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Vastus. 96 cm2.

Ülesanne nr 4

Seisund. Selle põhja õige külg on 22 mm, külgmised ribid on 61 mm. Kui suur on selle hulktahuka külgpinna pindala?

Lahendus. Põhjendus selles on sama, mis on kirjeldatud ülesandes nr 2. Ainult seal anti püramiid, mille põhjas on ruut, ja nüüd on see kuusnurk.

Esiteks arvutatakse aluse pindala ülaltoodud valemi abil: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.

Nüüd peate välja selgitama võrdhaarse kolmnurga poolperimeetri, mis on külgpind. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Jääb üle arvutada iga sellise kolmnurga pindala, kasutades Heroni valemit, ja seejärel korrutada see kuuega ja lisada see kolmnurga pindalale, mis osutus tulemuseks. alus.

Arvutused Heroni valemi abil: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Arvutused, mis annavad külgpinna: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Kogu pinna väljaselgitamiseks tuleb need kokku liita: 5217,47≈5217 cm 2.

Vastus. Alus - 726√3 cm 2, külgpind - 3960 cm 2, kogu ala - 5217 cm 2.

Tüüpilised geomeetrilised ülesanded tasapinnas ja kolmemõõtmelises ruumis on erinevate kujundite pindalade määramise ülesanded. Selles artiklis esitame tavalise nelinurkse püramiidi külgpinna pindala valemi.

Mis on püramiid?

Anname püramiidi range geomeetrilise määratluse. Oletame, et on mõni hulknurk, millel on n külge ja n nurka. Valime suvalise ruumipunkti, mis ei asu määratud n-nurga tasapinnal, ja ühendame selle hulknurga iga tipuga. Saame mingi ruumalaga kujundi, mida nimetatakse n-nurkseks püramiidiks. Näiteks näitame alloleval joonisel, milline näeb välja viisnurkne püramiid.

Kaks oluline element iga püramiid on selle alus (n-nurk) ja tipp. Need elemendid on omavahel ühendatud n kolmnurgaga, mis sisse üldine juhtum ei ole üksteisega võrdsed. Ülaosast alusele langetatud risti nimetatakse kujundi kõrguseks. Kui see lõikub alusega geomeetrilises keskpunktis (kattub hulknurga massikeskmega), siis nimetatakse sellist püramiidi sirgeks. Kui lisaks sellele tingimusele on aluseks korrapärane hulknurk, siis nimetatakse kogu püramiidi korrapäraseks. Alloleval joonisel on näha, kuidas näevad välja tavalised kolmnurkse, nelinurkse, viisnurkse ja kuusnurkse alusega püramiidid.

Püramiidi pind

Enne kui asuda küsimusele tavalise nelinurkse püramiidi külgpinna pindala kohta, tuleks üksikasjalikumalt peatuda pinna enda kontseptsioonil.

Nagu ülalpool mainitud ja joonistel näidatud, on mis tahes püramiid moodustatud tahkude või külgede komplektist. Üks külg on alus ja n külge kolmnurgad. Kogu joonise pind on selle iga külje pindalade summa.

Pinda on mugav uurida lahtivolditava figuuri näitel. Tavalise nelinurkse püramiidi skaneerimine on näidatud allolevatel joonistel.

Näeme, et selle pindala on võrdne nelja identse võrdhaarse kolmnurga pindala ja ruudu pindala summaga.

Kõikide joonise külgi moodustavate kolmnurkade kogupindala nimetatakse külgpinna pindalaks. Järgmisena näitame, kuidas seda tavalise nelinurkse püramiidi jaoks arvutada.

Ristkülikukujulise korrapärase püramiidi külgpindala

Määratud joonise külgpinna arvutamiseks pöördume uuesti ülaltoodud pühkimise poole. Oletame, et teame ruudu aluse külge. Tähistame seda sümboliga a. On näha, et kõigil neljal identsel kolmnurgal on alus pikkusega a. Nende kogupindala arvutamiseks peate teadma seda väärtust ühe kolmnurga kohta. Geomeetria käigus on teada, et kolmnurga pindala S t võrdub aluse ja kõrguse korrutisega, mis tuleks jagada pooleks. See on:

Kus h b on aluse a külge tõmmatud võrdhaarse kolmnurga kõrgus. Püramiidi jaoks on see kõrgus apoteem. Nüüd jääb üle saadud avaldis korrutada 4-ga, et saada kõnealuse püramiidi külgpinna pindala S b:

S b = 4 * S t = 2 * h b * a.

See valem sisaldab kahte parameetrit: apoteemi ja aluse külge. Kui viimane on enamiku ülesannete tingimustes teada, siis esimest tuleb arvutada teisi suurusi teades. Siin on valemid apoteema h b arvutamiseks kahel juhul:

• kui külgribi pikkus on teada;
• kui püramiidi kõrgus on teada.

Kui tähistame külgserva (võrdhaarse kolmnurga külje) pikkust sümboliga L, siis apoteema h b määratakse valemiga:

h b \u003d √ (L 2 - a 2/4).

See avaldis on Pythagorase teoreemi rakendamise tulemus külgpinna kolmnurga jaoks.

Kui on teada püramiidi kõrgus h, saab apoteemi h b arvutada järgmiselt:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

Samuti ei ole selle avaldise saamine keeruline, kui arvestada püramiidi sisemust täisnurkne kolmnurk, mille moodustavad jalad h ja a/2 ning hüpotenuus h b .

Näitame, kuidas neid valemeid rakendada, lahendades kaks huvitavat ülesannet.

Probleem teadaoleva pinnaga

On teada, et nelinurkse külgpinna pindala on 108 cm 2 . Kui püramiidi kõrgus on 7 cm, on vaja arvutada selle apoteemi pikkuse väärtus h bi.

Kirjutame läbi kõrguse külgpinna pindala S b valemi. Meil on:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Siin oleme lihtsalt asendanud vastava apoteema valemi S b avaldisesse. Tõstame võrrandi mõlemad pooled ruutu:

S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.

A väärtuse leidmiseks muudame muutujaid:

t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 = 0.

Asendage kohe teadaolevad väärtused ja otsustada ruutvõrrand:

t 2 + 196 * t - 11664 = 0.

Oleme kirjutanud ainult selle võrrandi positiivse juure. Siis on püramiidi aluse küljed võrdsed:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Apoteema pikkuse saamiseks kasutage lihtsalt valemit:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2 / 4) ≈ 7,808 cm.

Cheopsi püramiidi külgpind

Määrame suurima külgpinna väärtuse Egiptuse püramiid. Teadaolevalt asub selle aluses ruut, mille külje pikkus on 230,363 meetrit. Ehitise kõrgus oli algselt 146,5 meetrit. Asendage need arvud S b vastavasse valemisse, saame:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a = 2 * √ (146,5 2 + 230,363 2 / 4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.

Leitud väärtus on veidi suurem kui 17 jalgpalliväljaku pindala.