Loodan, et pärast selle artikli uurimist saate teada, kuidas leida täieliku ruutvõrrandi juuri.

Diskriminandi abil lahendatakse ainult täielikud ruutvõrrandid, mittetäielike ruutvõrrandite lahendamiseks kasutatakse muid meetodeid, mille leiate artiklist "Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine".

Milliseid ruutvõrrandeid nimetatakse täielikeks? seda võrrandid kujul ax 2 + b x + c = 0, kus koefitsiendid a, b ja c ei ole võrdsed nulliga. Niisiis, täieliku ruutvõrrandi lahendamiseks peate arvutama diskriminandi D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Olenevalt sellest, mis väärtus diskriminandil on, paneme vastuse kirja.

Kui diskriminant on negatiivne arv (D< 0),то корней нет.

Kui diskriminant on null, siis x \u003d (-b) / 2a. Kui diskriminant on positiivne arv (D > 0),

siis x 1 = (-b - √D)/2a ja x 2 = (-b + √D)/2a.

Näiteks. lahendage võrrand x 2– 4x + 4 = 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Vastus: 2.

Lahendage võrrand 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Vastus: pole juuri.

Lahendage võrrand 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Vastus: - 3,5; üks.

Kujutagem ette täielike ruutvõrrandite lahendust joonisel 1 oleva skeemi järgi.

Neid valemeid saab kasutada mis tahes täieliku ruutvõrrandi lahendamiseks. Peate lihtsalt olema ettevaatlik võrrand kirjutati standardkujulise polünoomina

a x 2 + bx + c, muidu võid eksida. Näiteks võrrandi x + 3 + 2x 2 = 0 kirjutamisel võite ekslikult otsustada, et

a = 1, b = 3 ja c = 2. Siis

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 ja siis on võrrandil kaks juurt. Ja see pole tõsi. (Vaata ülaltoodud näite 2 lahendust).

Seega, kui võrrandit ei kirjutata tüüpkuju polünoomina, tuleb esmalt kirjutada täis ruutvõrrand standardkuju polünoomina (esimesel kohal peaks olema suurima eksponendiga monoom, st. a x 2 , siis vähemaga – bx ja seejärel vaba tähtaeg Koos.

Ülaltoodud ruutvõrrandi ja teise liikme paariskoefitsiendiga ruutvõrrandi lahendamisel võib kasutada ka teisi valemeid. Tutvume nende valemitega. Kui teise liikmega täisruutvõrrandis on koefitsient paaris (b = 2k), siis saab võrrandi lahendada joonise 2 diagrammil näidatud valemite abil.

Täielikku ruutvõrrandit nimetatakse redutseerituks, kui koefitsient at x 2 võrdub ühtsusega ja võrrand võtab kuju x 2 + pikslit + q = 0. Sellise võrrandi saab lahendada või saadakse võrrandi kõigi koefitsientide jagamisel koefitsiendiga a juures seistes x 2 .

Joonisel 3 on kujutatud vähendatud ruudu lahenduse skeem
võrrandid. Mõelge käesolevas artiklis käsitletud valemite rakendamise näitele.

Näide. lahendage võrrand

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Lahendame selle võrrandi joonisel 1 näidatud valemite abil.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Vastus: -1 - √3; –1 + √3

Näete, et koefitsient punktis x selles võrrandis on paarisarv, st b \u003d 6 või b \u003d 2k, kust k \u003d 3. Seejärel proovime võrrandit lahendada joonisel diagrammil näidatud valemite abil D 1 \u003d 3 2-3 (- 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Vastus: -1 - √3; –1 + √3. Märgates, et kõik selles ruutvõrrandis olevad koefitsiendid jagavad 3-ga ja jagades, saame taandatud ruutvõrrandi x 2 + 2x - 2 = 0 Lahendame selle võrrandi taandatud ruutvõrrandi valemite abil
võrrandid joonis 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Vastus: -1 - √3; –1 + √3.

Nagu näete, saime selle võrrandi lahendamisel erinevate valemite abil sama vastuse. Seetõttu saate joonisel 1 kujutatud skeemil näidatud valemeid hästi valdades alati lahendada mis tahes täieliku ruutvõrrandi.

blog.site, materjali täieliku või osalise kopeerimisega on nõutav link allikale.

Jätkuks teemal "Võrrandite lahendamine" tutvustab selle artikli materjal ruutvõrrandeid.

Vaatleme kõike üksikasjalikult: ruutvõrrandi olemust ja tähistust, määrame kaasnevad terminid, analüüsime mittetäielike ja täielike võrrandite lahendamise skeemi, tutvume juurte ja diskriminandi valemiga, loome seoseid juurte ja kordajate vahel ning kursusel anname praktiliste näidete visuaalse lahenduse.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ruutvõrrand, selle liigid

Definitsioon 1

Ruutvõrrand on võrrand kirjutatud kujul a x 2 + b x + c = 0, kus x– muutuja, a , b ja c on mõned numbrid, samas a ei ole null.

Sageli nimetatakse ruutvõrrandit ka teise astme võrranditeks, kuna tegelikult on ruutvõrrand teise astme algebraline võrrand.

Toome antud definitsiooni illustreerimiseks näite: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 jne. on ruutvõrrandid.

2. definitsioon

Numbrid a , b ja c on ruutvõrrandi koefitsiendid a x 2 + b x + c = 0, samas koefitsient a nimetatakse esimeseks ehk vanemaks või koefitsiendiks x 2, b - teiseks koefitsiendiks või koefitsiendiks at x, a c kutsuti vabaliikmeks.

Näiteks ruutvõrrandis 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 kõrgeim koefitsient on 6 , teine ​​koefitsient on − 2 , ja vaba termin on võrdne − 11 . Pöörame tähelepanu asjaolule, et kui koefitsiendid b ja/või c on negatiivsed, siis kasutatakse stenogrammi 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, kuid mitte 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Täpsustame ka seda aspekti: kui koefitsiendid a ja/või b võrdne 1 või − 1 , siis ei pruugi nad ruutvõrrandi kirjutamises selgesõnaliselt osaleda, mis on seletatav näidatud arvkordajate kirjutamise iseärasustega. Näiteks ruutvõrrandis y 2 – y + 7 = 0 vanemkoefitsient on 1 ja teine ​​koefitsient on − 1 .

Taandatud ja taandamata ruutvõrrandid

Vastavalt esimese koefitsiendi väärtusele jagatakse ruutvõrrandid taandatud ja taandamata.

3. määratlus

Vähendatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, kus juhtiv koefitsient on 1. Juhtkoefitsiendi muude väärtuste puhul on ruutvõrrand redutseerimata.

Siin on mõned näited: ruutvõrrandid x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 on taandatud, millest igaühe juhtkoefitsient on 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- taandamata ruutvõrrand, kus esimene koefitsient erineb 1 .

Iga taandamata ruutvõrrandi saab teisendada taandatud võrrandiks, jagades selle mõlemad osad esimese koefitsiendiga (ekvivalentne teisendus). Teisendatud võrrandil on samad juured kui antud taandamata võrrandil või puuduvad sellel üldse juured.

Konkreetse näite kaalumine võimaldab meil selgelt näidata üleminekut taandamata ruutvõrrandilt redutseeritud võrrandile.

Näide 1

Arvestades võrrandit 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Algne võrrand on vaja teisendada redutseeritud kujule.

Lahendus

Vastavalt ülaltoodud skeemile jagame mõlemad algvõrrandi osad juhtkoefitsiendiga 6 . Siis saame: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0:3, ja see on sama, mis: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 ja edasi: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Siit: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Seega saadakse võrrand, mis on ekvivalentne antud võrrandiga.

Vastus: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Täielikud ja mittetäielikud ruutvõrrandid

Pöördume ruutvõrrandi definitsiooni juurde. Selles täpsustasime seda a ≠ 0. Võrrandi jaoks on vajalik sarnane tingimus a x 2 + b x + c = 0 oli täpselt kandiline, sest a = 0 see muundub sisuliselt lineaarvõrrandiks b x + c = 0.

Juhul, kui koefitsiendid b ja c on võrdsed nulliga (mis on võimalik nii eraldi kui ka koos), nimetatakse ruutvõrrandit mittetäielikuks.

4. määratlus

Mittetäielik ruutvõrrand on ruutvõrrand a x 2 + b x + c \u003d 0, kus vähemalt üks koefitsientidest b ja c(või mõlemad) on null.

Täielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, milles kõik arvulised koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga.

Arutleme, miks ruutvõrrandite tüüpidele on antud just sellised nimed.

Kui b = 0, saab ruutvõrrand kuju a x 2 + 0 x + c = 0, mis on sama, mis a x 2 + c = 0. Kell c = 0 ruutvõrrand on kirjutatud kujul a x 2 + b x + 0 = 0, mis on samaväärne a x 2 + b x = 0. Kell b = 0 ja c = 0 võrrand võtab kuju a x 2 = 0. Saadud võrrandid erinevad täisruutvõrrandist selle poolest, et nende vasakpoolsed küljed ei sisalda ei muutujaga x ega vaba liiget ega mõlemat korraga. Tegelikult andis see asjaolu seda tüüpi võrranditele nime - mittetäielik.

Näiteks x 2 + 3 x + 4 = 0 ja −7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 on täielikud ruutvõrrandid; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 on mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Ülaltoodud määratlus võimaldab eristada järgmist tüüpi mittetäielikke ruutvõrrandeid:

• a x 2 = 0, koefitsiendid vastavad sellisele võrrandile b = 0 ja c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0 jaoks;
• a x 2 + b x = 0, kui c = 0.

Vaatleme järjestikku igat tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendust.

Võrrandi a x 2 \u003d 0 lahendus

Nagu eespool juba mainitud, vastab selline võrrand koefitsientidele b ja c, võrdne nulliga. Võrrand a x 2 = 0 saab teisendada samaväärseks võrrandiks x2 = 0, mille saame, kui jagame algse võrrandi mõlemad pooled arvuga a, ei ole võrdne nulliga. Ilmselge tõsiasi on see, et võrrandi juur x2 = 0 on null, sest 0 2 = 0 . Sellel võrrandil pole muid juuri, mis on seletatav astme omadustega: mis tahes arvu korral p , ei ole võrdne nulliga, on ebavõrdsus tõsi p2 > 0, millest järeldub, et millal p ≠ 0 võrdsus p2 = 0 ei jõua kunagi kätte.

Definitsioon 5

Seega on mittetäieliku ruutvõrrandi jaoks a x 2 = 0 unikaalne juur x=0.

Näide 2

Näiteks lahendame mittetäieliku ruutvõrrandi − 3 x 2 = 0. See on võrdne võrrandiga x2 = 0, selle ainus juur on x=0, siis on esialgsel võrrandil üks juur - null.

Lahendus on kokku võetud järgmiselt:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Võrrandi a x 2 + c \u003d 0 lahendus

Järgmine on mittetäielike ruutvõrrandite lahendus, kus b \u003d 0, c ≠ 0, see tähendab vormi võrrandid a x 2 + c = 0. Teisendame selle võrrandi, kandes selle võrrandi ühelt küljelt teisele, muutes märgi vastupidiseks ja jagades võrrandi mõlemad pooled arvuga, mis ei ole võrdne nulliga:

• taluma c paremale poole, mis annab võrrandi a x 2 = − c;
• jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga a, saame tulemuseks x = - c a .

Meie teisendused on vastavalt ekvivalentsed, ka saadud võrrand on samaväärne esialgsega ja see asjaolu võimaldab teha järelduse võrrandi juurte kohta. Mis on väärtused a ja c oleneb avaldise väärtusest - c a: sellel võib olla miinusmärk (näiteks kui a = 1 ja c = 2, siis - c a = - 2 1 = - 2) või plussmärki (näiteks kui a = -2 ja c=6, siis - c a = - 6 - 2 = 3); see ei ole võrdne nulliga, sest c ≠ 0. Peatugem üksikasjalikumalt olukordadel, kui - c a< 0 и - c a > 0 .

Juhul kui - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа lk võrdus p 2 = - c a ei saa olla tõene.

Kõik on erinev, kui - c a > 0: pidage meeles ruutjuurt ja selgub, et võrrandi x 2 \u003d - c a juur on arv - c a, kuna - c a 2 \u003d - c a. On lihtne mõista, et arv - - c a - on ka võrrandi x 2 = - c a juur: tõepoolest, - - c a 2 = - c a .

Võrrandil pole muid juuri. Seda saame näidata vastupidise meetodi abil. Esmalt määrame ülalt leitud juurte tähiseks kui x 1 ja − x 1. Oletame, et võrrandil x 2 = - c a on ka juur x2, mis erineb juurtest x 1 ja − x 1. Me teame, et asendades võrrandi asemel x selle juurtest teisendame võrrandi õiglaseks arvuliseks võrduseks.

Sest x 1 ja − x 1 kirjutage: x 1 2 = - c a , ja jaoks x2- x 2 2 \u003d - c a. Arvuliste võrduste omaduste põhjal lahutame teisest liikmest ühe tõelise võrdsuse, mis annab meile: x 1 2 − x 2 2 = 0. Kasutage arvutehte omadusi, et kirjutada viimane võrdus ümber kui (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Teatavasti on kahe arvu korrutis null siis ja ainult siis, kui vähemalt üks arvudest on null. Öeldust järeldub, et x1 − x2 = 0 ja/või x1 + x2 = 0, mis on sama x2 = x1 ja/või x 2 = − x 1. Tekkis ilmne vastuolu, sest algul lepiti kokku, et võrrandi juur x2 erineb x 1 ja − x 1. Seega oleme tõestanud, et võrrandil pole muid juuri kui x = - c a ja x = - - c a .

Võtame kõik ülaltoodud argumendid kokku.

Definitsioon 6

Mittetäielik ruutvõrrand a x 2 + c = 0 on samaväärne võrrandiga x 2 = - c a , mis:

• ei ole juured - c a< 0 ;
• on kaks juurt x = - c a ja x = - - c a , kui - c a > 0 .

Toome näiteid võrrandite lahendamisest a x 2 + c = 0.

Näide 3

Antud ruutvõrrand 9 x 2 + 7 = 0 . Sellele on vaja lahendus leida.

Lahendus

Viime vaba liikme võrrandi paremale poolele, siis saab võrrand kuju 9 x 2 \u003d - 7.
Jagame saadud võrrandi mõlemad pooled arvuga 9 , jõuame x 2 = - 7 9 . Paremal pool näeme miinusmärgiga arvu, mis tähendab: antud võrrandil pole juuri. Siis algne mittetäielik ruutvõrrand 9 x 2 + 7 = 0 ei oma juuri.

Vastus: võrrand 9 x 2 + 7 = 0 pole juuri.

Näide 4

On vaja lahendada võrrand − x2 + 36 = 0.

Lahendus

Liigume 36 paremale poole: − x 2 = −36.
Jagame mõlemad osad − 1 , saame x2 = 36. Paremal pool on positiivne arv, millest saame selle järeldada x = 36 või x = -36.
Eraldame juure ja kirjutame lõpptulemuse: mittetäieliku ruutvõrrandi − x2 + 36 = 0 on kaks juurt x=6 või x = -6.

Vastus: x=6 või x = -6.

Võrrandi a x 2 +b x=0 lahendus

Analüüsime kolmandat tüüpi mittetäielikke ruutvõrrandeid, mil c = 0. Mittetäieliku ruutvõrrandi lahenduse leidmiseks a x 2 + b x = 0, kasutame faktoriseerimise meetodit. Faktoriseerime polünoomi, mis asub võrrandi vasakul küljel, võttes ühisteguri sulgudest välja x. See samm võimaldab teisendada esialgse mittetäieliku ruutvõrrandi selle ekvivalendiks x (a x + b) = 0. Ja see võrrand on omakorda võrdväärne võrrandite hulgaga x=0 ja a x + b = 0. Võrrand a x + b = 0 lineaarne ja selle juur: x = − b a.

Definitsioon 7

Seega mittetäielik ruutvõrrand a x 2 + b x = 0 on kaks juurt x=0 ja x = − b a.

Koondame materjali näitega.

Näide 5

Vaja on leida võrrandi 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 lahend.

Lahendus

Võtame välja x väljaspool sulgusid ja saada võrrand x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . See võrrand on samaväärne võrranditega x=0 ja 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Nüüd peaksite lahendama saadud lineaarvõrrandi: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Lühidalt kirjutame võrrandi lahendi järgmiselt:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 või 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 või x = 3 3 7

Vastus: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, ruutvõrrandi juurte valem

Ruutvõrrandite lahenduse leidmiseks on juurvalem:

Definitsioon 8

x = - b ± D 2 a, kus D = b 2 − 4 a c on ruutvõrrandi nn diskriminant.

X \u003d - b ± D 2 a kirjutamine tähendab sisuliselt seda, et x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Kasulik on mõista, kuidas näidatud valem tuletati ja kuidas seda rakendada.

Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine

Oletame, et seisame silmitsi ülesandega lahendada ruutvõrrand a x 2 + b x + c = 0. Teeme mitu samaväärset teisendust:

• jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga a, mis erineb nullist, saame redutseeritud ruutvõrrandi: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• valige saadud võrrandi vasakpoolsest servast täisruut:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Pärast seda on võrrand järgmisel kujul: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• nüüd on võimalik kaks viimast liiget üle kanda paremale poole, muutes märgi vastupidiseks, mille järel saame: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• lõpuks teisendame viimase võrdsuse paremale küljele kirjutatud avaldise:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Seega oleme jõudnud võrrandini x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , mis on samaväärne algse võrrandiga a x 2 + b x + c = 0.

Selliste võrrandite lahendust käsitlesime eelmistes lõikudes (mittetäielike ruutvõrrandite lahendus). Juba saadud kogemus võimaldab teha järelduse võrrandi x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 juurte kohta:

• b 2 jaoks - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 korral on võrrand kujul x + b 2 · a 2 = 0, siis x + b 2 · a = 0.

Siit on ilmne ainus juur x = - b 2 · a;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 korral on õige: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 või x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , mis on sama mis x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 või x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, s.o. võrrandil on kaks juurt.

Võib järeldada, et võrrandi x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 juurte olemasolu või puudumine (ja seega ka algne võrrand) sõltub avaldise b 2 - 4 a c märgist. 4 · paremale küljele kirjutatud 2. Ja selle väljendi märgi annab lugeja märk (nimetaja 4 ja 2 on alati positiivne), see tähendab väljendi märk b 2 − 4 a c. See väljend b 2 − 4 a c antakse nimi - ruutvõrrandi diskriminant ja täht D on määratletud selle tähisena. Siin saate kirja panna diskriminandi olemuse - selle väärtuse ja märgi järgi järeldavad nad, kas ruutvõrrandil on reaalsed juured ja kui jah, siis mitu juurt - üks või kaks.

Tuleme tagasi võrrandi x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 juurde. Kirjutame selle ümber diskrimineeriva tähise abil: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Teeme järeldused kokku:

Definitsioon 9

• juures D< 0 võrrandil pole tegelikke juuri;
• juures D = 0 võrrandil on üks juur x = - b 2 · a ;
• juures D > 0 võrrandil on kaks juurt: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 või x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Radikaalide omaduste põhjal saab need juured kirjutada järgmiselt: x \u003d - b 2 a + D 2 a või - b 2 a - D 2 a. Ja kui avame moodulid ja taandame murrud ühise nimetajani, saame: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Niisiis, meie arutluse tulemuseks oli ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D arvutatakse valemiga D = b 2 − 4 a c.

Need valemid võimaldavad, kui diskriminant on suurem kui null, määrata mõlemad tegelikud juured. Kui diskriminant on null, annab mõlema valemi rakendamine ruutvõrrandi ainsa lahendusena sama juure. Juhul, kui diskriminant on negatiivne, proovides kasutada ruutjuure valemit, seisame silmitsi vajadusega eraldada negatiivse arvu ruutjuur, mis viib meid reaalarvudest kaugemale. Negatiivse diskriminandi korral pole ruutvõrrandil reaalseid juuri, kuid võimalik on keerukate konjugeeritud juurte paar, mis määratakse kindlaks samade juurvalemitega, mille saime.

Algoritm ruutvõrrandite lahendamiseks juurvalemite abil

Ruutvõrrandit on võimalik lahendada kohe juurvalemi abil, kuid põhimõtteliselt tehakse seda siis, kui on vaja leida keerulisi juuri.

Enamikul juhtudel ei ole otsing mõeldud tavaliselt ruutvõrrandi keeruliste, vaid reaalsete juurte jaoks. Siis on optimaalne enne ruutvõrrandi juurte valemite kasutamist kõigepealt määrata diskriminant ja veenduda, et see pole negatiivne (vastasel juhul järeldame, et võrrandil pole reaalseid juuri) ja seejärel arvutada juurte väärtus.

Ülaltoodud arutluskäik võimaldab sõnastada ruutvõrrandi lahendamise algoritmi.

Definitsioon 10

Ruutvõrrandi lahendamiseks a x 2 + b x + c = 0, vajalik:

• valemi järgi D = b 2 − 4 a c leida diskrimineerija väärtus;
• kohas D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• kui D = 0, leia võrrandi ainus juur valemiga x = - b 2 · a ;
• kui D > 0, määrake ruutvõrrandi kaks reaaljuurt valemiga x = - b ± D 2 · a.

Pange tähele, et kui diskriminant on null, võite kasutada valemit x = - b ± D 2 · a , see annab sama tulemuse kui valem x = - b 2 · a .

Kaaluge näiteid.

Näiteid ruutvõrrandite lahendamisest

Esitame näidete lahenduse diskriminandi erinevate väärtuste jaoks.

Näide 6

On vaja leida võrrandi juured x 2 + 2 x - 6 = 0.

Lahendus

Kirjutame ruutvõrrandi arvulised koefitsiendid: a \u003d 1, b \u003d 2 ja c = −6. Edasi tegutseme algoritmi järgi, s.t. Alustame diskriminandi arvutamist, mille asemel asendame koefitsiendid a , b ja c diskrimineerivasse valemisse: D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28 .

Seega saime D > 0, mis tähendab, et algsel võrrandil on kaks reaaljuurt.
Nende leidmiseks kasutame juurvalemit x \u003d - b ± D 2 · a ja asendades sobivad väärtused, saame: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Lihtsustame saadud avaldist, võttes teguri juuremärgist välja, millele järgneb murdosa vähendamine:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 või x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 või x = - 1 - 7

Vastus: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Näide 7

On vaja lahendada ruutvõrrand − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Lahendus

Määratleme diskrimineerija: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0. Selle diskriminandi väärtusega on algsel võrrandil ainult üks juur, mis määratakse valemiga x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Vastus: x = 3, 5.

Näide 8

On vaja lahendada võrrand 5 a 2 + 6 a + 2 = 0

Lahendus

Selle võrrandi arvulised koefitsiendid on: a = 5 , b = 6 ja c = 2 . Diskriminandi leidmiseks kasutame neid väärtusi: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Arvutatud diskriminant on negatiivne, seega pole algsel ruutvõrrandil tegelikke juuri.

Juhul, kui ülesandeks on näidata keerulisi juuri, rakendame juurvalemit, tehes kompleksarvudega toiminguid:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 või x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i või x = - 3 5 - 1 5 i .

Vastus: pole tõelisi juuri; kompleksjuured on: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Kooli õppekavas ei ole standardina keeruliste juurte otsimise nõuet, mistõttu kui lahenduse käigus defineeritakse diskriminant eitavaks, siis fikseeritakse kohe vastus, et pärisjuuri pole.

Juurvalem isegi teise koefitsiendi jaoks

Juurvalem x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) võimaldab saada teise, kompaktsema valemi, mis võimaldab teil leida lahendusi ruutvõrranditele paariskoefitsiendiga x (või koefitsiendiga) kujul 2 a n, näiteks 2 3 või 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Näitame, kuidas see valem tuletatakse.

Oletame, et seisame silmitsi ülesandega leida lahendus ruutvõrrandile a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Toimime vastavalt algoritmile: määrame diskriminandi D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) ja kasutame seejärel juurvalemit:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Olgu avaldis n 2 − a c tähistatud kui D 1 (mõnikord on see tähistatud D "). Siis saab teise koefitsiendiga 2 n vaadeldava ruutvõrrandi juurte valem järgmiselt:

x \u003d - n ± D 1 a, kus D 1 \u003d n 2 - a c.

On lihtne näha, et D = 4 · D 1 või D 1 = D 4 . Teisisõnu, D 1 on neljandik diskriminandist. Ilmselgelt on D 1 märk sama, mis D, mis tähendab, et D 1 märk võib olla ka ruutvõrrandi juurte olemasolu või puudumise indikaator.

Definitsioon 11

Seega, et leida lahendus ruutvõrrandile teise koefitsiendiga 2 n, on vaja:

• leida D 1 = n 2 − a c ;
• kohas D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kui D 1 = 0, määrake võrrandi ainus juur valemiga x = - n a ;
• D 1 > 0 korral määrake kaks reaaljuurt valemiga x = - n ± D 1 a.

Näide 9

On vaja lahendada ruutvõrrand 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Lahendus

Antud võrrandi teist kordajat saab esitada kui 2 · (− 3) . Seejärel kirjutame antud ruutvõrrandi ümber 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , kus a = 5, n = −3 ja c = −32.

Arvutame diskriminandi neljanda osa: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Saadud väärtus on positiivne, mis tähendab, et võrrandil on kaks reaaljuurt. Määratleme need juurte vastava valemiga:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 või x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 või x = - 2

Arvutusi oleks võimalik teha ruutvõrrandi juurte tavavalemiga, kuid sel juhul oleks lahendus tülikam.

Vastus: x = 3 1 5 või x = - 2 .

Ruutvõrrandite vormi lihtsustamine

Mõnikord on võimalik algse võrrandi vormi optimeerida, mis lihtsustab juurte arvutamise protsessi.

Näiteks ruutvõrrand 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 on lahendamiseks selgelt mugavam kui 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Sagedamini teostatakse ruutvõrrandi vormi lihtsustamine selle mõlema osa korrutamise või jagamise teel teatud arvuga. Näiteks näitasime ülalpool võrrandi 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 lihtsustatud esitust, mis saadakse selle mõlema osa jagamisel 100-ga.

Selline teisendus on võimalik, kui ruutvõrrandi kordajad ei ole suhteliselt algarvud. Seejärel jagatakse tavaliselt mõlemad võrrandi osad selle koefitsientide absoluutväärtuste suurima ühise jagajaga.

Näitena kasutame ruutvõrrandit 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Määratleme selle kordajate absoluutväärtuste gcd: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Jagame mõlemad algse ruutvõrrandi osad 6-ga ja saame ekvivalentse ruutvõrrandi 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Ruutvõrrandi mõlema poole korrutamisel kaotatakse tavaliselt murdosa koefitsiendid. Sel juhul korrutage selle koefitsientide nimetajate väikseima ühiskordsega. Näiteks kui ruutvõrrandi 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 iga osa korrutatakse LCM-iga (6, 3, 1) \u003d 6, siis kirjutatakse see lihtsamal kujul x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Lõpuks märgime, et peaaegu alati vabanege ruutvõrrandi esimese koefitsiendi miinusest, muutes võrrandi iga liikme märke, mis saavutatakse mõlema osa korrutamisel (või jagamisel) -1-ga. Näiteks ruutvõrrandist - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 saate minna selle lihtsustatud versioonile 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Seos juurte ja koefitsientide vahel

Juba tuntud ruutvõrrandite juurte valem x = - b ± D 2 · a väljendab võrrandi juuri selle arvuliste kordajate kaudu. Selle valemi põhjal on meil võimalus seada juurte ja koefitsientide vahel muid sõltuvusi.

Kõige kuulsamad ja rakendatavamad on Vieta teoreemi valemid:

x 1 + x 2 \u003d - b a ja x 2 \u003d c a.

Täpsemalt, antud ruutvõrrandi puhul on juurte summa teine ​​vastupidise märgiga koefitsient ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega. Näiteks ruutvõrrandi 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 abil on võimalik kohe kindlaks teha, et selle juurte summa on 7 3 ja juurte korrutis on 22 3.

Samuti võite leida ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel mitmeid muid seoseid. Näiteks ruutvõrrandi juurte ruutude summat saab väljendada koefitsientide kaudu:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Ruutvõrrandid. Diskrimineeriv. Lahendus, näited.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

Ruutvõrrandite tüübid

Mis on ruutvõrrand? Kuidas see välja näeb? Tähtajaliselt ruutvõrrand märksõna on "ruut". See tähendab, et võrrandis tingimata seal peab olema x-i ruut. Lisaks sellele võib võrrandis olla (või mitte olla!) Lihtsalt x (esimese astmeni) ja ainult arv (vabaliige). Ja kraadides, mis on suuremad kui kaks, ei tohiks x-e olla.

Matemaatilises mõttes on ruutvõrrand järgmise kujuga võrrand:

Siin a, b ja c- mõned numbrid. b ja c- absoluutselt ükskõik, aga a- kõike muud kui null. Näiteks:

Siin a =1; b = 3; c = -4

Siin a =2; b = -0,5; c = 2,2

Siin a =-3; b = 6; c = -18

No saate aru...

Nendes ruutvõrrandites vasakul on täiskomplekt liikmed. x ruudus koefitsiendiga a, x koefitsiendiga esimese astmeni b ja vaba liige

Selliseid ruutvõrrandeid nimetatakse täielik.

Mis siis kui b= 0, mida me saame? Meil on X kaob esimeses astmes. See juhtub nulliga korrutamisest.) Selgub näiteks:

5x 2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Jne. Ja kui mõlemad koefitsiendid b ja c on nulliga, siis on veelgi lihtsam:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Selliseid võrrandeid, kus midagi on puudu, nimetatakse mittetäielikud ruutvõrrandid. Mis on üsna loogiline.) Pange tähele, et x ruudus esineb kõigis võrrandites.

Muide, miks a null ei saa olla? Ja asendate selle asemel a null.) X ruudust kaob! Võrrand muutub lineaarseks. Ja seda tehakse teisiti...

See on kõik ruutvõrrandite peamised tüübid. Täielik ja mittetäielik.

Ruutvõrrandite lahendus.

Täielike ruutvõrrandite lahendus.

Ruutvõrrandeid on lihtne lahendada. Valemite ja selgete lihtsate reeglite järgi. Esimeses etapis on vaja antud võrrand viia standardkujule, s.o. vaatele:

Kui võrrand on teile juba antud kujul, ei pea te esimest etappi tegema.) Peaasi on kõik koefitsiendid õigesti määrata, a, b ja c.

Ruutvõrrandi juurte leidmise valem näeb välja järgmine:

Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskrimineeriv. Temast aga lähemalt allpool. Nagu näete, kasutame x leidmiseks ainult a, b ja c. Need. koefitsiendid ruutvõrrandist. Lihtsalt asendage väärtused ettevaatlikult a, b ja c sellesse valemisse ja loenda. Asendaja oma märkidega! Näiteks võrrandis:

a =1; b = 3; c= -4. Siin me kirjutame:

Näide on peaaegu lahendatud:

See on vastus.

Kõik on väga lihtne. Ja mis sa arvad, sa ei saa valesti minna? No jah, kuidas...

Levinumad vead on segadus väärtuste märkidega a, b ja c. Või pigem mitte nende märkidega (kus siin segadusse ajada?), vaid negatiivsete väärtuste asendamisega juurte arvutamise valemis. Siin salvestatakse valemi üksikasjalik kirje konkreetsete numbritega. Kui arvutustega on probleeme, nii tehke seda!

Oletame, et peame lahendama järgmise näite:

Siin a = -6; b = -5; c = -1

Oletame, et teate, et saate harva vastuseid esimesel korral.

Noh, ära ole laisk. Lisarea kirjutamine võtab aega 30 sekundit ja vigade arv langeb järsult. Nii et me kirjutame üksikasjalikult koos kõigi sulgude ja märkidega:

Tundub uskumatult raske nii hoolikalt maalida. Aga see ainult tundub. Proovi seda. No või vali. Kumb on parem, kiire või õige? Pealegi teen ma sulle rõõmu. Mõne aja pärast pole enam vaja kõike nii hoolikalt värvida. See saab lihtsalt õigeks. Eriti kui kasutate praktilisi võtteid, mida kirjeldatakse allpool. See kuri näide hunniku miinustega lahendatakse lihtsalt ja vigadeta!

Kuid sageli näevad ruutvõrrandid veidi erinevad. Näiteks nii:

Kas teadsite?) Jah! seda mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendus.

Neid saab lahendada ka üldvalemiga. Peate lihtsalt õigesti välja mõtlema, mis on siin võrdne a, b ja c.

Sai aru? Esimeses näites a = 1; b = -4; a c? Seda pole üldse olemas! No jah, see on õige. Matemaatikas tähendab see seda c = 0 ! See on kõik. Asendage valemis selle asemel null c, ja kõik saab meie jaoks korda. Samamoodi ka teise näitega. Ainult nulli meil siin pole Koos, a b !

Kuid mittetäielikke ruutvõrrandeid saab palju lihtsamalt lahendada. Ilma ühegi valemita. Mõelge esimesele mittetäielikule võrrandile. Mida saab teha vasakul küljel? Võite X-i sulgudest välja võtta! Võtame selle välja.

Ja mis sellest? Ja see, et korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui mõni tegur on võrdne nulliga! Ei usu? Mõelge siis välja kaks nullist erinevat arvu, mis korrutatuna annavad nulli!
Ei tööta? Midagi...
Seetõttu võime julgelt kirjutada: x 1 = 0, x 2 = 4.

Kõik. Need on meie võrrandi juured. Mõlemad sobivad. Asendades ükskõik millise neist algsesse võrrandisse, saame õige identiteedi 0 = 0. Nagu näete, on lahendus üldvalemist palju lihtsam. Märgin muide, milline X on esimene ja milline teine ​​- see on täiesti ükskõik. Lihtne järjekorras kirjutada x 1- olenevalt sellest, kumb on väiksem x 2- see, mis on rohkem.

Ka teist võrrandit saab kergesti lahendada. Liigume 9 paremale küljele. Saame:

Jääb üle juur 9-st välja tõmmata ja ongi kõik. Hankige:

ka kaks juurt . x 1 = -3, x 2 = 3.

Nii lahendatakse kõik mittetäielikud ruutvõrrandid. Kas X sulgudest välja võtmisega või lihtsalt numbri paremale kandmisega, millele järgneb juure eraldamine.
Neid meetodeid on äärmiselt raske segi ajada. Lihtsalt sellepärast, et esimesel juhul peate X-st juure välja võtma, mis on kuidagi arusaamatu, ja teisel juhul pole sulgudest midagi välja võtta ...

Diskrimineeriv. Diskrimineeriv valem.

Maagiline sõna diskrimineeriv ! Harv gümnaasiumiõpilane pole seda sõna kuulnud! Fraas "otsustage diskrimineerija kaudu" on rahustav ja rahustav. Sest pole vaja oodata diskrimineerija trikke! Seda on lihtne ja probleemivaba kasutada.) Tuletan meelde kõige üldisemat lahendamise valemit ükskõik milline ruutvõrrandid:

Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskriminandiks. Diskriminanti tähistatakse tavaliselt tähega D. Diskrimineeriv valem:

D = b2-4ac

Ja mis on selles väljendis nii erilist? Miks see erilist nime väärib? Mida diskrimineerija tähendus? Pealegi -b, või 2a selles valemis ei nimeta nad konkreetselt ... tähti ja tähti.

Asi on selles. Selle valemi abil ruutvõrrandi lahendamisel on see võimalik ainult kolm juhtumit.

1. Diskriminant on positiivne. See tähendab, et saate sellest juure eraldada. Kas juur on hästi või halvasti välja võetud, on teine ​​küsimus. Oluline on see, mida põhimõtteliselt kaevandatakse. Siis on teie ruutvõrrandil kaks juurt. Kaks erinevat lahendust.

2. Diskriminant on null. Siis on teil üks lahendus. Kuna lugejas nulli liitmine või lahutamine ei muuda midagi. Rangelt võttes pole see üks juur, vaid kaks identset. Kuid lihtsustatud versioonis on tavaks rääkida üks lahendus.

3. Diskriminant on negatiivne. Negatiivne arv ei võta ruutjuurt. No okei. See tähendab, et lahendusi pole.

Kui aus olla, siis ruutvõrrandite lihtsa lahenduse puhul pole diskriminandi mõistet tegelikult vaja. Asendame valemis koefitsientide väärtused ja arvestame. Seal selgub kõik iseenesest ja kaks juurt ja üks, mitte ükski. Keerulisemate ülesannete lahendamisel aga teadmisteta tähendus ja diskrimineeriv valem mitte piisavalt. Eriti - parameetritega võrrandites. Sellised võrrandid on aerobaatika GIA ja ühtse riigieksami jaoks!)

Niisiis, kuidas lahendada ruutvõrrandid läbi diskrimineerija, mis sulle meelde jäi. Või õppinud, mis pole samuti halb.) Sa tead, kuidas õigesti tuvastada a, b ja c. Kas sa tead, kuidas hoolikalt asendage need juurvalemis ja hoolikalt loe tulemust. Kas saite aru, et võtmesõna siin on - hoolikalt?

Nüüd pange tähele praktilisi võtteid, mis vähendavad oluliselt vigade arvu. Just need, mis on tingitud tähelepanematusest ... mille pärast see on siis valus ja solvav ...

Esimene vastuvõtt . Ärge olge laisk enne ruutvõrrandi lahendamist, et viia see standardvormi. Mida see tähendab?
Oletame, et pärast mis tahes teisendusi saate järgmise võrrandi:

Ärge kiirustage juurte valemit kirjutama! Peaaegu kindlasti ajate koefitsiendid segamini a, b ja c. Ehitage näide õigesti. Kõigepealt x ruudus, siis ilma ruuduta, siis vabaliige. Nagu nii:

Ja veelkord, ärge kiirustage! Miinus enne x ruutu võib teid palju häirida. Selle unustamine on lihtne... Vabane miinusest. Kuidas? Jah, nagu eelmises teemas õpetati! Peame kogu võrrandi korrutama -1-ga. Saame:

Ja nüüd võite julgelt üles kirjutada juurte valemi, arvutada diskriminandi ja täiendada näidet. Otsustage ise. Peaksite jõudma juurtega 2 ja -1.

Teine vastuvõtt. Kontrolli oma juuri! Vastavalt Vieta teoreemile. Ärge muretsege, ma selgitan kõike! Kontrollimine viimane asi võrrand. Need. see, mille järgi kirjutasime üles juurte valemi. Kui (nagu selles näites) koefitsient a = 1, kontrollige juuri lihtsalt. Piisab nende korrutamisest. Peaks saama vaba tähtaja, st. meie puhul -2. Pange tähele, mitte 2, vaid -2! vaba liige oma märgiga . Kui see ei õnnestunud, tähendab see, et nad on juba kuskil sassi ajanud. Otsige viga.

Kui see õnnestus, peate juured kokku voltima. Viimane ja viimane kontroll. Peaks olema suhe b Koos vastupidine märk. Meie puhul -1+2 = +1. Koefitsient b, mis on enne x, on võrdne -1. Niisiis, kõik on õige!
Kahju, et see on nii lihtne ainult näidete puhul, kus x ruudus on puhas, koefitsiendiga a = 1. Kuid vähemalt kontrollige selliseid võrrandeid! Vigu tuleb vähem.

Vastuvõtt kolmas . Kui teie võrrandil on murdosakoefitsiendid, vabanege murdudest! Korrutage võrrand ühise nimetajaga, nagu on kirjeldatud õppetükis "Kuidas võrrandeid lahendada? Identiteeditesendused". Murdudega töötades tekivad vead mingil põhjusel ...

Muide, ma lubasin lihtsustamiseks kurja näite hunniku miinustega. Palun! Siin ta on.

Et mitte miinustes segadusse sattuda, korrutame võrrandi -1-ga. Saame:

See on kõik! Otsustamine on lõbus!

Nii et võtame teema kokku.

Praktilised näpunäited:

1. Enne lahendamist viime ruutvõrrandi tüüpvormile, ehitame selle õige.

2. Kui ruudus x ees on negatiivne koefitsient, siis elimineerime selle, korrutades kogu võrrandi -1-ga.

3. Kui koefitsiendid on murdarvulised, siis elimineerime murrud, korrutades kogu võrrandi vastava teguriga.

4. Kui x ruudus on puhas, on selle koefitsient võrdne ühega, saab lahendit hõlpsasti kontrollida Vieta teoreemi abil. Tee seda!

Nüüd saate otsustada.)

Lahenda võrrandid:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Vastused (segaduses):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - suvaline arv

x 1 = -3
x 2 = 3

lahendusi pole

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Kas kõik sobib? Suurepärane! Ruutvõrrandid pole teie peavalu. Esimesed kolm osutusid, aga ülejäänud mitte? Siis pole probleem ruutvõrrandites. Probleem seisneb võrrandite identsetes teisendustes. Vaata linki, see on abiks.

Ei tööta päris? Või ei tööta üldse? Siis aitab sind paragrahv 555. Seal on kõik need näited kontide järgi sorteeritud. Kuvatakse peamine vead lahenduses. Loomulikult kirjeldatakse ka identsete teisenduste rakendamist erinevate võrrandite lahendamisel. Aitab palju!

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Kopjevskaja maagümnaasium

10 võimalust ruutvõrrandite lahendamiseks

Juht: Patrikeeva Galina Anatoljevna,

matemaatika õpetaja

s.Kopyevo, 2007

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid muistses Babülonis

1.2 Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas

1.3 Ruutvõrrandid Indias

1.4 Ruutvõrrandid al-Khwarizmis

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII sajand

1.6 Vieta teoreemi kohta

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Järeldus

Kirjandus

1. Ruutvõrrandite kujunemise ajalugu

1.1 Ruutvõrrandid muistses Babülonis

Vajaduse lahendada iidsetel aegadel mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis vajadus lahendada sõjalise iseloomuga maa-alade ja mullatöödega seotud ülesandeid, samuti astronoomia ja astronoomia arengut. matemaatika ise. Ruutvõrrandid suutsid lahendada umbes 2000 eKr. e. babüloonlased.

Kasutades kaasaegset algebralist tähistust, võime öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele tekstidele ka näiteks täielikud ruutvõrrandid:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Babüloonia tekstides toodud nende võrrandite lahendamise reegel langeb sisuliselt kokku tänapäevase reegliga, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reeglini jõudsid. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid annavad ainult retseptidena välja toodud lahendusprobleeme, viitamata nende leidmise viisidele.

Vaatamata algebra kõrgele arengutasemele Babülonis, puudub kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodid.

1.2 Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas.

Diophantose aritmeetika ei sisalda algebra süstemaatilist kirjeldust, kuid see sisaldab süstemaatilist ülesannete jada, millele on lisatud selgitused ja mida lahendatakse erineva astme võrrandite formuleerimisega.

Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid.

Siin on näiteks üks tema ülesannetest.

Ülesanne 11."Leia kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja nende korrutis on 96"

Diophantus väidab järgmiselt: ülesande tingimusest tuleneb, et soovitud arvud ei ole võrdsed, kuna kui need oleksid võrdsed, siis oleks nende korrutis võrdne mitte 96, vaid 100-ga. Seega on üks neist suurem kui pool nende summast, st. 10+x, teine ​​on väiksem, st. 10-ndad. Erinevus nende vahel 2x .

Siit ka võrrand:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Siit x = 2. Üks soovitud numbritest on 12 , muu 8 . Lahendus x = -2 Diophantost ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve.

Kui lahendame selle ülesande valides ühe soovitud numbritest tundmatuks, siis jõuame võrrandi lahenduseni

y(20 - y) = 96,

y 2 – 20 a + 96 = 0. (2)

Selge on see, et Diophantus lihtsustab lahendust, valides tundmatuks soovitud arvude poole vahe; tal õnnestub taandada probleem mittetäieliku ruutvõrrandi (1) lahendamiseks.

1.3 Ruutvõrrandid Indias

Ruutvõrrandite ülesandeid leidub juba astronoomilises traktaadis "Aryabhattam", mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) kirjeldas üldreeglit ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Võrrandis (1) on koefitsiendid, välja arvatud a, võib olla ka negatiivne. Brahmagupta reegel langeb sisuliselt kokku meie omaga.

Vana-Indias olid avalikud võistlused keeruliste probleemide lahendamisel tavalised. Ühes vanas India raamatus öeldakse selliste võistluste kohta järgmist: "Nii nagu päike särab oma säraga tähti, ületab õpetatud inimene avalikel koosolekutel, pakkudes ja lahendades algebralisi ülesandeid." Ülesanded olid sageli poeetilises vormis.

Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara.

Ülesanne 13.

"Kõrk ahvikari ja kaksteist viinapuudes ...

Jõudu söönud, oli lõbus. Nad hakkasid hüppama, rippuma ...

Kaheksas osa neist ruudus Kui palju ahve seal oli,

Heinamaal lõbutsemas. Ütle mulle, selles karjas?

Bhaskara lahendus näitab, et ta teadis ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest (joonis 3).

Ülesandele 13 vastav võrrand on järgmine:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara kirjutab varjus:

x 2 - 64x = -768

ja et selle võrrandi vasak pool oleks ruuduks, lisab ta mõlemale poolele 32 2 , saan siis:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ruutvõrrandid al-Khorezmis

Al-Khorezmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autor loetleb 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

1) "Ruut võrdub juurtega", st. ax 2 + c = b X.

2) "Ruudmed on võrdsed arvuga", s.o. kirves 2 = s.

3) "Juured on võrdsed arvuga", s.o. ah = s.

4) "Ruudud ja arvud on võrdsed juurtega", s.o. ax 2 + c = b X.

5) "Ruut ja juured on võrdsed arvuga", s.o. ah 2+ bx = s.

6) "Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", s.o. bx + c \u003d kirves 2.

Al-Khwarizmi jaoks, kes vältis negatiivsete arvude kasutamist, on kõigi nende võrrandite tingimused liitmised, mitte lahutamised. Sel juhul ei võeta ilmselgelt arvesse võrrandeid, millel pole positiivseid lahendeid. Autor toob välja meetodid nende võrrandite lahendamiseks, kasutades al-jabri ja al-muqabala meetodeid. Tema otsused muidugi meie omadega täielikult kokku ei lähe. Rääkimata sellest, et see on puhtalt retooriline, tuleb näiteks märkida, et esimest tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamisel

al-Khorezmi, nagu kõik matemaatikud enne 17. sajandit, ei võta nulllahendust arvesse ilmselt seetõttu, et see ei oma konkreetsete praktiliste ülesannete puhul tähtsust. Täielike ruutvõrrandite lahendamisel esitab al-Khorezmi konkreetsete numbriliste näidete abil lahendamise reeglid ja seejärel geomeetrilised tõestused.

14. ülesanne.“Ruut ja arv 21 on võrdne 10 juurega. Leia juur" (oletades, et võrrandi juur on x 2 + 21 = 10x).

Autori lahendus käib umbes nii: jaga juurte arv pooleks, saad 5, korrutad 5 iseendaga, korrutisest lahutad 21, jääb 4. Võta 4 juur, saad 2. Lahuta 5-st 2, sa saad saad 3, see on soovitud juur. Või lisage 2 kuni 5, mis annab 7, see on ka juur.

Traktaat al - Khorezmi on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt välja toodud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja toodud nende lahendamise valemid.

1.5 Ruutvõrrandid Euroopas XIII - XVII sajandite jooksul

Valemid ruutvõrrandite lahendamiseks al - Khorezmi mudelil Euroopas esitati esmakordselt "Abakuse raamatus", mille kirjutas 1202. aastal Itaalia matemaatik Leonardo Fibonacci. See mahukas teos, mis peegeldab matemaatika mõju nii islami kui ka Vana-Kreeka riikides, eristub nii esitusviisi terviklikkuse kui ka selguse poolest. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised probleemide lahendamise näited ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud "Abakuse raamatu" ülesanded jõudsid peaaegu kõigisse 16.-17. sajandi Euroopa õpikutesse. ja osaliselt XVIII.

Ruutvõrrandite lahendamise üldreegel, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

x 2+ bx = koos,

koefitsientide kõigi võimalike märkide kombinatsioonide jaoks b , Koos sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid Vieta tundis ära ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. Arvestage lisaks positiivsetele ja negatiivsetele juurtele. Alles XVII sajandil. Tänu Girardi, Descartes'i, Newtoni ja teiste teadlaste tööle saab ruutvõrrandite lahendamise viis kaasaegse ilme.

1.6 Vieta teoreemi kohta

Vieta nime kandva ruutvõrrandi kordajate ja selle juurte vahelist seost väljendava teoreemi sõnastas ta esimest korda 1591. aastal järgmiselt: „Kui B + D korrutatud A - A 2 , võrdub BD, siis A võrdub AT ja võrdne D ».

Vieta mõistmiseks tuleb seda meeles pidada AGA, nagu iga täishäälik, tähendas tema jaoks tundmatut (meie X), täishäälikud AT, D- tundmatu koefitsiendid. Tänapäeva algebra keeles tähendab Vieta ülaltoodud sõnastus: kui

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 – (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Väljendades võrrandite juurte ja kordajate vahelisi seoseid sümbolite abil kirjutatud üldvalemitega, kehtestas Viet võrrandite lahendamise meetodite ühtsuse. Samas on Vieta sümboolika tänapäevasest vormist veel kaugel. Ta ei tundnud ära negatiivseid arve ja seetõttu arvestas ta võrrandite lahendamisel ainult juhtumeid, kus kõik juured on positiivsed.

2. Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Ruutvõrrandid on alus, millel toetub algebra majesteetlik ehitis. Ruutvõrrandeid kasutatakse laialdaselt trigonomeetriliste, eksponentsiaalsete, logaritmiliste, irratsionaalsete ja transtsendentaalsete võrrandite ja võrratuste lahendamisel. Me kõik teame, kuidas lahendada ruutvõrrandi koolist (8. klass) kuni kooli lõpetamiseni.

Ruutvõrrandeid õpitakse 8. klassis, seega pole siin midagi keerulist. Oluline on oskus neid lahendada.

Ruutvõrrand on võrrand kujul ax 2 + bx + c = 0, kus koefitsiendid a , b ja c on suvalised arvud ja a ≠ 0.

Enne konkreetsete lahendusmeetodite uurimist märgime, et kõik ruutvõrrandid võib jagada kolme klassi:

1. ei oma juuri;
2. Neil on täpselt üks juur;
3. Neil on kaks erinevat juurt.

See on oluline erinevus ruut- ja lineaarvõrrandite vahel, kus juur on alati olemas ja kordumatu. Kuidas teha kindlaks, mitu juurt võrrandil on? Selle jaoks on imeline asi - diskrimineeriv.

Diskrimineeriv

Olgu antud ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0. Siis on diskriminandiks lihtsalt arv D = b 2 − 4ac .

See valem peab olema peast teada. Kust see tuleb, pole praegu oluline. Oluline on veel üks asi: diskriminandi märgi abil saate määrata ruutvõrrandi juurte arvu. Nimelt:

1. Kui D< 0, корней нет;
2. Kui D = 0, on täpselt üks juur;
3. Kui D > 0, on kaks juurt.

Pange tähele: diskriminant näitab juurte arvu ja mitte üldse nende märke, nagu paljud inimesed mingil põhjusel arvavad. Vaadake näiteid ja saate ise kõigest aru:

Ülesanne. Kui palju juuri on ruutvõrranditel:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 – 6x + 9 = 0.

Kirjutame esimese võrrandi koefitsiendid ja leiame diskriminandi:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Seega on diskriminant positiivne, seega on võrrandil kaks erinevat juurt. Analüüsime teist võrrandit samal viisil:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant on negatiivne, juured puuduvad. Viimane võrrand jääb alles:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant on võrdne nulliga - juur on üks.

Pange tähele, et iga võrrandi jaoks on koefitsiendid välja kirjutatud. Jah, see on pikk, jah, see on tüütu – aga te ei aja koefitsiente segamini ega tee rumalaid vigu. Valige ise: kiirus või kvaliteet.

Muide, kui "täidate oma käe", ei pea te mõne aja pärast enam kõiki koefitsiente välja kirjutama. Selliseid toiminguid teete oma peas. Enamik inimesi hakkab seda tegema kuskil pärast 50-70 lahendatud võrrandit – üldiselt mitte nii palju.

Ruutvõrrandi juured

Liigume nüüd lahenduse juurde. Kui diskriminant D > 0, saab juured leida valemite abil:

Ruutvõrrandi juurte põhivalem

Kui D = 0, võite kasutada mõnda neist valemitest – saate sama arvu, mis on vastuseks. Lõpuks, kui D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Esimene võrrand:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ võrrandil on kaks juurt. Leiame need:

Teine võrrand:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ võrrandil on jällegi kaks juurt. Otsime nad üles

\[\begin(joona) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(joonda)\]

Lõpuks kolmas võrrand:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ võrrandil on üks juur. Kasutada võib mis tahes valemit. Näiteks esimene:

Nagu näidetest näha, on kõik väga lihtne. Kui tead valemeid ja oskad lugeda, siis probleeme ei teki. Kõige sagedamini tekivad vead negatiivsete koefitsientide asendamisel valemis. Siin aitab jällegi ülalkirjeldatud tehnika: vaadake valemit sõna otseses mõttes, värvige iga samm - ja vabanege vigadest väga kiiresti.

Mittetäielikud ruutvõrrandid

Juhtub, et ruutvõrrand erineb definitsioonis esitatust mõnevõrra. Näiteks:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2–16 = 0.

On lihtne näha, et nendes võrrandites puudub üks terminitest. Selliseid ruutvõrrandeid on isegi lihtsam lahendada kui standardseid: nende jaoks pole vaja isegi diskriminanti arvutada. Nii et tutvustame uut kontseptsiooni:

Võrrandit ax 2 + bx + c = 0 nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks, kui b = 0 või c = 0, s.t. muutuja x ehk vaba elemendi koefitsient on võrdne nulliga.

Muidugi on väga keeruline juhtum võimalik, kui mõlemad koefitsiendid on võrdsed nulliga: b \u003d c \u003d 0. Sel juhul on võrrand kujul ax 2 \u003d 0. Ilmselgelt on sellisel võrrandil üks juur: x \u003d 0.

Vaatleme teisi juhtumeid. Olgu b \u003d 0, siis saame mittetäieliku ruutvõrrandi kujul ax 2 + c \u003d 0. Teisendame seda veidi:

Kuna aritmeetiline ruutjuur eksisteerib ainult mittenegatiivsest arvust, on viimasel võrrandil mõtet ainult siis, kui (−c / a ) ≥ 0. Järeldus:

1. Kui mittetäielik ruutvõrrand kujul ax 2 + c = 0 rahuldab ebavõrdsust (−c / a ) ≥ 0, on kaks juurt. Valem on toodud ülal;
2. Kui (-c / a )< 0, корней нет.

Nagu näete, ei olnud diskriminant vaja - mittetäielike ruutvõrrandite puhul pole keerulisi arvutusi üldse. Tegelikult pole isegi vaja meeles pidada ebavõrdsust (−c / a ) ≥ 0. Piisab kui väljendada x 2 väärtust ja vaadata, mis on võrdusmärgi teisel poolel. Kui on positiivne arv, on kaks juurt. Kui see on negatiivne, pole juuri üldse.

Nüüd käsitleme võrrandeid kujul ax 2 + bx = 0, milles vaba element on võrdne nulliga. Siin on kõik lihtne: alati on kaks juurt. Piisab polünoomi faktoriseerimisest:

Ühise teguri väljavõtmine sulgudest

Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Siit tulevad juured. Kokkuvõtteks analüüsime mõnda neist võrranditest:

Ülesanne. Lahendage ruutvõrrandid:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Juured puuduvad, sest ruut ei saa olla võrdne negatiivse arvuga.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.