Alus(vanakreeka βασις, alus) - selliste vektorite kogum vektorruumis, et mis tahes selle ruumi vektorit saab üheselt esitada selle hulga vektorite lineaarse kombinatsioonina - baasvektorid

Alus ruumis R n on mis tahes süsteem, millest pärit n-lineaarselt sõltumatud vektorid. Iga vektorit R n-st, mis ei sisaldu baasis, võib esitada baasvektorite lineaarse kombinatsioonina, st. laiendada üle aluse.
Laskma olema ruumi R n ja . Siis on arvud λ 1 , λ 2 , …, λ n nii, et .
Laienduskoefitsiente λ 1 , λ 2 , ..., λ n nimetatakse baasis B oleva vektori koordinaatideks. Kui alus on antud, siis määratakse vektori koefitsiendid üheselt.

Kommenteeri. Igas n-mõõtmeline vektorruum, saate valida lõpmatu arvu erinevaid aluseid. Erinevates alustes on samal vektoril erinevad koordinaadid, kuid valitud baasis on need ainsad. Näide. Laiendage vektorit .
Lahendus. . Asendage kõigi vektorite koordinaadid ja tehke nendega toiminguid:

Võrdstades koordinaadid, saame võrrandisüsteemi:

Lahendame selle: .
Seega saame laienduse: .
Aluses on vektoril koordinaadid .

Töö lõpp -

See teema kuulub:

Vektori mõiste. Lineaartehted vektoritega

Vektor on suunatud segment, millel on teatud pikkus, st teatud pikkusega segment, millel on üks selle piirpunktidest.

Kui vajate sellel teemal lisamaterjali või te ei leidnud seda, mida otsisite, soovitame kasutada otsingut meie tööde andmebaasis:

Mida teeme saadud materjaliga:

Kui see materjal osutus teile kasulikuks, saate selle sotsiaalvõrgustikes oma lehele salvestada:

Vektorarvutuses ja selle rakendustes suur tähtsus tal on lagunemisprobleem, mis seisneb antud vektori esitamises mitme vektori summana, mida nimetatakse antud vektori komponentideks

vektor. See ülesanne, mis on üldine juhtum lõpmatu arv lahendeid saab üsna kindlateks, kui anda mõned koostisosavektorite elemendid.

2. Näited lagunemisest.

Vaatleme mitmeid väga levinud lagunemise juhtumeid.

1. Jagage antud vektor c kaheks komponentvektoriks, millest üks, näiteks a, on antud suuruse ja suuna poolest.

Probleem taandub kahe vektori erinevuse määramisega. Tõepoolest, kui vektorid on vektori c komponendid, siis võrdsus

Siit määratakse teise komponendi vektor

2. Jagage antud vektor c kaheks komponendiks, millest üks peab asuma antud tasapinnal ja teine ​​sirgel a.

Komponentvektorite määramiseks nihutame vektorit c nii, et selle algus langeks kokku antud sirge lõikepunktiga tasapinnaga (punkt O - vt joon. 18). Joonistage sirgjoon vektori c lõpust (punkt C) kuni

lõikumine tasapinnaga (B on lõikepunkt) ja seejärel punktist C tõmbame paralleelse sirge

Otsitakse vektoreid ja, st loomulikult on näidatud lagunemine võimalik, kui sirge a ja tasapind ei ole paralleelsed.

3. Antud on kolm tasapinnalist vektorit a, b ja c ning vektorid ei ole kollineaarsed. Vektor c on vaja lagundada vektoriteks

Toome kõik kolm antud vektorit ühte punkti O. Siis paiknevad nad oma kaplanaarsuse tõttu samal tasapinnal. Antud vektoril c, nagu ka diagonaalil, konstrueerime rööpküliku, mille küljed on paralleelsed vektorite toimejoontega (joonis 19). See konstruktsioon on alati võimalik (kui vektorid pole kollineaarsed) ja kordumatu. Jooniselt fig. 19 näitab seda

Ruumi alus nimetada sellist vektorite süsteemi, milles kõiki teisi ruumi vektoreid saab esitada baasis sisalduvate vektorite lineaarse kombinatsioonina.
Praktikas on see kõik üsna lihtne. Alust kontrollitakse reeglina tasapinnal või ruumis ja selleks peate leidma vektorite koordinaatidest koosneva teist, kolmandat järku maatriksi determinandi. Skemaatiliselt kirjutatud allpool tingimused, mille korral vektorid moodustavad aluse

To laiendada vektorit b baasvektorite järgi
e,e...,e[n] on vaja leida koefitsiendid x, ..., x[n], mille puhul vektorite e,e...,e[n] lineaarne kombinatsioon on võrdne vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Selleks tuleks vektorvõrrand teisendada lineaarvõrrandisüsteemiks ja leida lahendused. Seda on ka üsna lihtne rakendada.
Nimetatakse leitud koefitsiendid x, ..., x[n] vektori b koordinaadid baasis e,e...,e[n].
Liigume edasi teema praktilise poole juurde.

Vektori lagunemine alusvektorites

Ülesanne 1. Kontrolli, kas vektorid a1, a2 moodustavad tasapinnal aluse

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Lahendus: koostage vektorite koordinaatidest determinant ja arvutage see

Determinant ei ole võrdne nulliga, Järelikult vektorid on lineaarselt sõltumatud, mis tähendab, et nad moodustavad aluse.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Lahendus: Arvutame vektoritest koosneva determinandi

Determinant on võrdne 13-ga (ei võrdu nulliga) - sellest järeldub, et vektorid a1, a2 on tasandi aluseks.

---=================---

Kaaluge tüüpilised näited IAPM programmist erialal "Kõrgmatemaatika".

2. ülesanne. Näidake, et vektorid a1, a2, a3 moodustavad kolmemõõtmelise vektorruumi aluse ja laiendage vektorit b selles baasis (lineaarse süsteemi lahendamisel algebralised võrrandid kasutada Crameri meetodit).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Lahendus: kõigepealt vaatleme vektorite süsteemi a1, a2, a3 ja kontrollige maatriksi A determinanti

ehitatud muudele vektoritele kui null. Maatriksis on üks nullelement, mistõttu on otstarbekam arvutada determinant esimese veeru või kolmanda rea ​​graafikuna.

Arvutuste tulemusena leidsime, et determinant erineb seega nullist vektorid a1, a2, a3 on lineaarselt sõltumatud.
Definitsiooni järgi moodustavad vektorid R3 aluse. Kirjutame üles vektori b ajakava aluse mõttes

Vektorid on võrdsed, kui nende vastavad koordinaadid on võrdsed.
Seetõttu saame vektorvõrrandist lineaarsete võrrandite süsteemi

Lahendage SLAE Crameri meetod. Selleks kirjutame võrrandisüsteemi vormile

SLAE põhideterminant on alati võrdne baasvektoritest koosneva determinandiga

Seetõttu praktikas seda kaks korda ei arvutata. Abideterminantide leidmiseks paneme peadeterminandi iga veeru asemele vabade terminite veeru. Determinandid arvutatakse kolmnurkade reegli järgi



Asenda leitud determinandid Crameri valemis



Seega on vektori b laiendus aluse suhtes kujul b=-4a1+3a2-a3 . Vektori b koordinaadid baasis a1, a2, a3 on (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Lahendus: kontrollime vektoreid aluse jaoks - koostame vektorite koordinaatidest determinandi ja arvutame selle

Seetõttu ei ole determinant võrdne nulliga vektorid moodustavad ruumis aluse. Jääb üle leida vektori b ajakava antud baasi järgi. Selleks kirjutame vektori võrrandi

ja teisendada lineaarvõrrandisüsteemiks

Kirjutame üles maatriksvõrrand

Järgmisena leiame Crameri valemite jaoks abideterminandid



Crameri valemite rakendamine



Seega on antud vektoril b ajakava läbi kahe baasvektori b=-2a1+5a3 ja selle koordinaadid baasis on võrdsed b(-2,0, 5).

Lineaarne sõltuvus ja vektorite lineaarne sõltumatus.
Vektorite alused. afiinne süsteem koordinaadid

Publiku hulgas on käru šokolaadiga ja täna saab iga külastaja endale magusapaari - analüütilise geomeetria koos lineaaralgebraga. See artikkel hõlmab kahte osa korraga. kõrgem matemaatika, ja vaatame, kuidas nad ühes ümbrises läbi saavad. Tehke paus, sööge Twixi! ... kurat, noh, vaidlemine jama. Kuigi okei, ma ei löö, peaks lõpuks olema õppimisse positiivne suhtumine.

Vektorite lineaarne sõltuvus, vektorite lineaarne sõltumatus, vektori alus ja teistel terminitel pole mitte ainult geomeetriline tõlgendus, vaid eelkõige algebraline tähendus. "Vektori" mõiste lineaaralgebra seisukohast pole kaugeltki alati "tavaline" vektor, mida saame kujutada tasapinnal või ruumis. Tõestust pole vaja kaugelt otsida, proovige joonistada viiemõõtmelise ruumi vektor . Või ilmavektor, mille pärast just Gismeteos käisin: - vastavalt temperatuur ja atmosfäärirõhk. Näide on vektorruumi omaduste seisukohalt muidugi vale, kuid sellegipoolest ei keela keegi neid parameetreid vektorina vormistada. Sügise hingeõhk...

Ei, ma ei hakka teid tüütama teooriaga, lineaarsete vektorruumidega, ülesanne on aru saada definitsioonid ja teoreemid. Uued terminid (lineaarne sõltuvus, sõltumatus, lineaarne kombinatsioon, alus jne) kehtivad kõigile vektorid algebralisest vaatepunktist, kuid näited tuuakse geomeetriliselt. Seega on kõik lihtne, ligipääsetav ja visuaalne. Lisaks analüütilise geomeetria probleemidele käsitleme ka mõnda tüüpilised ülesanded algebra. Materjali omandamiseks on soovitatav tutvuda õppetundidega Mannekeenide vektorid ja Kuidas determinanti arvutada?

Tasapinnavektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus.
Tasapinnaline alus ja afiinne koordinaatsüsteem

Mõelge oma arvutilaua tasapinnale (ainult laud, öökapp, põrand, lagi, mis iganes teile meeldib). Ülesanne saab olema järgmised sammud:

1) Valige tasapinna alus. Jämedalt öeldes on lauaplaadil pikkus ja laius, seega on intuitiivselt selge, et aluse ehitamiseks on vaja kahte vektorit. Ühest vektorist selgelt ei piisa, kolm vektorit on liiga palju.

2) Valitud alusel määrata koordinaatsüsteem(koordinaatide ruudustik), et määrata koordinaadid kõigile tabeli üksustele.

Ärge imestage, esialgu jäävad selgitused näppudele. Pealegi sinu omal. Palun asetage nimetissõrm vasak käsi lauaplaadi servale, nii et ta vaatab monitori. Sellest saab vektor. Nüüd koht väike sõrm parem käsi laua servale samamoodi - nii, et see on suunatud monitori ekraanile. Sellest saab vektor. Naerata, sa näed hea välja! Mida saab öelda vektorite kohta? Andmevektorid kollineaarne, mis tähendab lineaarselt väljendatakse üksteise kaudu:
, hästi või vastupidi: , kus on nullist erinev arv.

Pilti sellest tegevusest näete õppetükis. Mannekeenide vektorid , kus selgitasin vektori arvuga korrutamise reeglit.

Kas teie sõrmed panevad aluse arvutilaua tasapinnale? Ilmselgelt mitte. Kollineaarsed vektorid liiguvad edasi-tagasi üksi suunas, samas kui tasapinnal on pikkus ja laius.

Selliseid vektoreid nimetatakse lineaarselt sõltuv.

Viide: Sõnad "lineaarne", "lineaarne" tähistavad seda, et matemaatilistes võrrandites, avaldistes pole ruute, kuupe, muid astmeid, logaritme, siinusi jne. On ainult lineaarsed (1. astme) avaldised ja sõltuvused.

Kaks tasapinnalist vektorit lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis kui need on kollineaarsed.

Ristke oma sõrmed lauale nii, et nende vahel oleks mis tahes nurk, välja arvatud 0 või 180 kraadi. Kaks tasapinnalist vektoritlineaarselt mitte on sõltuvad siis ja ainult siis, kui nad ei ole kollineaarsed. Niisiis, alus on kätte saadud. Pole vaja häbeneda, et alus osutus erineva pikkusega mitteperpendikulaarsete vektoritega "viltuks". Varsti näeme, et selle ehitamiseks ei sobi mitte ainult 90-kraadine nurk, vaid mitte ainult võrdse pikkusega ühikvektorid

Ükskõik milline tasapinnaline vektor ainus viis laiendatud aluse poolest:
, kus - reaalarvud. Numbrid kutsutakse vektori koordinaadid sellel alusel.

Nad ütlevad ka seda vektorkujul lineaarne kombinatsioon baasvektorid. See tähendab, et väljendit nimetatakse vektori laguneminealus või lineaarne kombinatsioon baasvektorid.

Näiteks võib öelda, et vektorit laiendatakse tasandi ortonormaalses aluses, või võib öelda, et see on kujutatud vektorite lineaarse kombinatsioonina.

Sõnastame aluse määratlus ametlikult: lennuki alusel on lineaarselt sõltumatute (mittekollineaarsete) vektorite paar, , kus ükskõik milline tasapindvektor on baasvektorite lineaarne kombinatsioon.

Definitsiooni põhipunkt on asjaolu, et vektorid on võetud kindlas järjekorras. alused Need on kaks täiesti erinevat alust! Nagu öeldakse, vasaku käe väikest sõrme ei saa liigutada parema käe väikese sõrme kohale.

Arvutasime aluse välja, kuid sellest ei piisa, kui määrata koordinaatide ruudustiku ja määrata igale arvutilaua elemendile koordinaadid. Miks mitte piisavalt? Vektorid on vabad ja rändavad üle kogu tasapinna. Niisiis, kuidas määrata koordinaadid neile väikestele määrdunud lauatäppidele, mis on jäänud metsikust nädalavahetusest järele? Lähtepunkti on vaja. Ja selline võrdluspunkt on kõigile tuttav punkt – koordinaatide alguspunkt. Koordinaatsüsteemi mõistmine:

Alustan "kooli" süsteemist. Juba sissejuhatavas tunnis Mannekeenide vektorid Tõin esile mõned erinevused ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi ja ortonormaalse aluse vahel. Siin on standardpilt:

Kui räägitakse ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, siis enamasti tähendavad need alguspunkti, koordinaattelgesid ja skaalat piki telge. Proovige otsingumootorisse sisestada “ristkülikukujuline koordinaatsüsteem” ja näete, et paljud allikad räägivad teile 5.-6. klassist tuttavatest koordinaattelgedest ja punktide joonistamisest tasapinnal.

Teisest küljest jääb mulje, et ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi saab ortonormaalse aluse kaudu hästi määratleda. Ja peaaegu on. Sõnastus on järgmine:

päritolu ja ortonormaalne baaskomplekt Tasapinna ristkoordinaatide süsteem . See tähendab, et ristkülikukujuline koordinaatsüsteem kindlasti on defineeritud ühe punkti ja kahe ühikulise ortogonaalvektoriga. Seetõttu näete joonist, mille ma ülal andsin - geomeetrilistes ülesannetes joonistatakse sageli (kuid kaugeltki mitte alati) nii vektoreid kui ka koordinaatide telgi.

Ma arvan, et kõik saavad sellest aru punkti (päritolu) ja ortonormaalse aluse abil Lennuki MIS TAHES PUNKT ja lennuki MIS TAHES VEKTOR koordinaate saab määrata. Piltlikult öeldes "lennukis saab kõike nummerdada".

Kas koordinaatvektorid peavad olema ühikulised? Ei, neil võib olla suvaline nullist erinev pikkus. Vaatleme punkti ja kahte suvalise nullist erineva pikkusega ortogonaalvektorit:

Sellist alust nimetatakse ortogonaalne. Koordinaatide alguspunkt vektoritega määrab koordinaatide ruudustiku ja igal tasandi punktil, igal vektoril on antud baasil oma koordinaadid. Näiteks või. Ilmselge ebamugavus seisneb selles, et koordinaatvektorid üldiselt on erineva pikkusega peale ühtsuse. Kui pikkused on võrdsed ühega, saadakse tavaline ortonormaalne alus.

! Märge : ortogonaalses aluses, samuti allpool tasapinna ja ruumi afiinsetes alustes arvestatakse ühikuid piki telge TINGIMUSLIK. Näiteks üks ühik abstsissil sisaldab 4 cm, üks ühik ordinaadil 2 cm. Sellest teabest piisab, et vajaduse korral "mittestandardsed" koordinaadid "meie tavalisteks sentimeetriteks" teisendada.

Ja teine ​​küsimus, millele on tegelikult juba vastatud – kas baasvektorite vaheline nurk on tingimata 90 kraadi? Mitte! Nagu definitsioon ütleb, peavad baasvektorid olema ainult mittekollineaarne. Vastavalt sellele võib nurk olla mis tahes peale 0 ja 180 kraadi.

Punkt lennukis kutsus päritolu ja mittekollineaarne vektorid, , komplekt tasapinna afiinne koordinaatsüsteem :

Mõnikord nimetatakse seda koordinaatsüsteemi kaldus süsteem. Punktid ja vektorid on näidatud joonisel näidetena:

Nagu teate, on afiinne koordinaatsüsteem veelgi vähem mugav, vektorite ja segmentide pikkuste valemid, mida me õppetunni teises osas käsitlesime, selles ei tööta. Mannekeenide vektorid , palju maitsvaid valemeid, mis on seotud vektorite skalaarkorrutis . Kuid vektorite liitmise ja vektori arvuga korrutamise reeglid kehtivad, segmentide jagamise valemid, aga ka mõnda muud tüüpi ülesanded, mida peagi vaatleme.

Ja järeldus on, et kõige mugavam afiinse koordinaatsüsteemi erijuhtum on Descartes'i ristkülikukujuline süsteem. Seetõttu tuleb teda, tema oma, kõige sagedamini näha. ... Samas on siin elus kõik suhteline – on palju olukordi, kus sobib kaldus (või mõni muu nt. polaarne) koordinaatsüsteem. Jah, ja humanoididele võivad sellised süsteemid maitsele tulla =)

Liigume edasi praktilise osa juurde. Kõik selle õppetüki ülesanded kehtivad nii ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi kui ka üldise afiinse käände puhul. Siin pole midagi keerulist, kogu materjal on isegi koolipoisile kättesaadav.

Kuidas määrata tasapinnaliste vektorite kollineaarsust?

Tüüpiline asi. Selleks, et kaks tasapinnalist vektorit on kollineaarsed, on vajalik ja piisav, et nende vastavad koordinaadid oleksid proportsionaalsed.Sisuliselt on see ilmse seose koordinaatide-koordinaatide haaval täpsustamine.

Näide 1

a) Kontrollige, kas vektorid on kollineaarsed .
b) Kas vektorid moodustavad aluse? ?

Lahendus:
a) Uurige, kas vektorite jaoks on olemas proportsionaalsuskoefitsient, nii et võrdsused on täidetud:

Kindlasti räägin teile selle reegli rakendamise "foppish" versioonist, mis praktikas töötab üsna hästi. Idee on kohe koostada proportsioon ja vaadata, kas see on õige:

Teeme vektorite vastavate koordinaatide suhetest proportsiooni:

Lühendame:
, seega on vastavad koordinaadid võrdelised, seega

Seost saab luua ja vastupidi, see on samaväärne variant:

Enesetestimiseks võib kasutada tõsiasja, et kolineaarsed vektorid väljendatakse üksteise kaudu lineaarselt. Sel juhul on võrdsused . Nende kehtivust saab hõlpsasti kontrollida vektoritega tehtavate elementaarsete toimingute abil:

b) Kaks tasapinnalist vektorit moodustavad aluse, kui nad ei ole kollineaarsed (lineaarselt sõltumatud). Uurime vektorite kollineaarsust . Loome süsteemi:

Esimesest võrrandist järeldub, et , teisest võrrandist järeldub, et , mis tähendab, süsteem on ebaühtlane (lahendused puuduvad). Seega ei ole vektorite vastavad koordinaadid võrdelised.

Järeldus: vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Lahenduse lihtsustatud versioon näeb välja selline:

Koostage vektorite vastavatest koordinaatidest proportsioon :
, seega on need vektorid lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Tavaliselt arvustajad seda võimalust ei lükka, kuid probleem tekib juhtudel, kui mõned koordinaadid on nulliga võrdsed. Nagu nii: . Või niimoodi: . Või niimoodi: . Kuidas siin proportsiooni läbi töötada? (Tõesti, nulliga jagada ei saa). Just sel põhjusel nimetasin lihtsustatud lahendust "foppiks".

Vastus: a) , b) vorm.

Väike loominguline näide iseseisva lahenduse jaoks:

Näide 2

Millise parameetrivektorite väärtuse juures on kollineaarne?

Näidislahenduses leitakse parameeter proportsiooni kaudu.

Vektorite kollineaarsuse kontrollimiseks on olemas elegantne algebraline viis. Süstematiseerime oma teadmised ja lisame need lihtsalt viienda punktina:

Kahe tasapinnalise vektori puhul on järgmised väited samaväärsed:

2) vektorid moodustavad aluse;
3) vektorid ei ole kollineaarsed;

+ 5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on nullist erinev.

vastavalt järgmised vastupidised väited on samaväärsed:
1) vektorid on lineaarselt sõltuvad;
2) vektorid ei moodusta alust;
3) vektorid on kollineaarsed;
4) vektoreid saab üksteise kaudu lineaarselt väljendada;
+ 5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga.

Ma väga-väga loodan, et hetkel te juba mõistate kõiki termineid ja väiteid, mis ette on tulnud.

Vaatame lähemalt uut, viiendat punkti: kaks tasapinnalist vektorit on kollineaarsed siis ja ainult siis, kui antud vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga:. Selle funktsiooni kasutamiseks peate loomulikult suutma seda teha determinante leidma .

Meie otsustame Näide 1 teisel viisil:

a) Arvutage vektorite koordinaatidest koosnev determinant :
, seega on need vektorid kollineaarsed.

b) Kaks tasapinnalist vektorit moodustavad aluse, kui nad ei ole kollineaarsed (lineaarselt sõltumatud). Arvutame vektorite koordinaatidest koosneva determinandi :
, seega on vektorid lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Vastus: a) , b) vorm.

See näeb välja palju kompaktsem ja ilusam kui proportsioonidega lahendus.

Vaadeldava materjali abil on võimalik tuvastada mitte ainult vektorite kollineaarsust, vaid ka tõestada lõikude, sirgete paralleelsust. Mõelge paarile probleemile konkreetsete geomeetriliste kujunditega.

Näide 3

Antud on nelinurga tipud. Tõesta, et nelinurk on rööpkülik.

Tõestus: Ülesandes pole vaja joonist koostada, kuna lahendus on puhtalt analüütiline. Pidage meeles rööpküliku määratlust:
Parallelogramm Nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.

Seega on vaja tõestada:
1) vastaskülgede paralleelsus ja;
2) vastaskülgede paralleelsus ja .

Tõestame:

1) Leidke vektorid:

2) Leidke vektorid:

Tulemuseks on sama vektor ("kooli järgi" - võrdsed vektorid). Kollineaarsus on üsna ilmne, kuid parem on teha otsus õigesti, korraldusega. Arvutage vektorite koordinaatidest koosnev determinant:
, Nii et need vektorid on kollineaarsed ja .

Järeldus: nelinurga vastasküljed on paarikaupa paralleelsed, seega on see definitsiooni järgi rööpkülik. Q.E.D.

Veel häid ja erinevaid figuure:

Näide 4

Antud on nelinurga tipud. Tõesta, et nelinurk on trapets.

Tõestuse rangemaks sõnastamiseks on muidugi parem saada trapetsi definitsioon, kuid piisab, kui mäletada, kuidas see välja näeb.

See on iseseisva otsuse ülesanne. Terviklahendus tunni lõpus.

Ja nüüd on aeg aeglaselt lennukist kosmosesse liikuda:

Kuidas määrata ruumivektorite kollineaarsust?

Reegel on väga sarnane. Et kaks ruumivektorit oleksid kollineaarsed, vajalik ja piisav et nende vastavad koordinaadid oleksid proportsionaalsed.

Näide 5

Uurige, kas järgmised ruumivektorid on kollineaarsed:

a) ;
b)
sisse)

Lahendus:
a) Kontrollige, kas vektorite vastavate koordinaatide jaoks on olemas proportsionaalsuskordaja:

Süsteemil pole lahendust, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed.

"Lihtsustatud" saadakse proportsiooni kontrollimise teel. Sel juhul:
– vastavad koordinaadid ei ole proportsionaalsed, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed.

Vastus: vektorid ei ole kollineaarsed.

b-c) Need on punktid iseseisvaks otsustamiseks. Proovige seda kahel viisil.

On olemas meetod ruumivektorite kollineaarsuse kontrollimiseks ja kolmandat järku determinandi abil, seda meetodit artiklis käsitletud Vektorite ristkorrutis .

Sarnaselt tasapinnalise juhtumiga saab vaadeldavaid tööriistu kasutada ruumilõikude ja sirgete paralleelsuse uurimiseks.

Tere tulemast teise sektsiooni:

Kolmemõõtmeliste ruumivektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus.
Ruumiline alus ja afiinne koordinaatsüsteem

Paljud seaduspärasused, millega oleme lennukis arvestanud, kehtivad ka kosmose kohta. Üritasin teooria kokkuvõtet minimeerida, kuna lõviosa infost on juba näritud. Sellegipoolest soovitan sissejuhatav osa hoolikalt läbi lugeda, kuna ilmuvad uued terminid ja mõisted.

Nüüd uurime arvutilaua tasapinna asemel kolmemõõtmelist ruumi. Esiteks loome selle aluse. Keegi on praegu toas, keegi on väljas, kuid igal juhul ei saa me eemale kolmest mõõtmest: laius, pikkus ja kõrgus. Seetõttu on aluse konstrueerimiseks vaja kolme ruumivektorit. Ühest või kahest vektorist ei piisa, neljas on üleliigne.

Ja jälle soojendame sõrmedel. Palun tõstke käsi üles ja sirutage laiali erinevates suundades pöial, nimetissõrm ja keskmine sõrm. Need on vektorid, nad näevad eri suundades erineva pikkusega ja neil on üksteise suhtes erinevad nurgad. Õnnitleme, kolmemõõtmelise ruumi alus on valmis! Muide, te ei pea seda õpetajatele demonstreerima, ükskõik kuidas sõrmi keerate, kuid definitsioonidest te ei pääse =)

Järgmiseks esitame olulise küsimuse, kas kolm vektorit moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse? Palun vajutage kolme sõrmega tugevalt arvuti lauaplaadile. Mis juhtus? Kolm vektorit asuvad samal tasapinnal ja jämedalt öeldes oleme kaotanud ühe mõõtmise - kõrguse. Sellised vektorid on koplanaarne ja täiesti ilmselgelt, et kolmemõõtmelise ruumi alust ei looda.

Tuleb märkida, et samatasandilised vektorid ei pea asuma samal tasapinnal, nad võivad olla paralleelsetes tasandites (ära tee seda sõrmedega, ainult Salvador Dali tuli niimoodi ära =)).

Definitsioon: kutsutakse vektoreid koplanaarne kui on olemas tasapind, millega nad on paralleelsed. Siin on loogiline lisada, et kui sellist tasandit ei eksisteeri, siis vektorid ei ole ka tasapinnalised.

Kolm samatasandilist vektorit on alati lineaarselt sõltuvad, see tähendab, et neid väljendatakse lineaarselt üksteise kaudu. Lihtsuse huvides kujutage jälle ette, et need asuvad samal tasapinnal. Esiteks, vektorid pole mitte ainult koplanaarsed, vaid võivad olla ka kollineaarsed, siis saab mis tahes vektorit väljendada mis tahes vektori kaudu. Teisel juhul, kui näiteks vektorid ei ole kollineaarsed, siis kolmandat vektorit väljendatakse nende kaudu ainulaadsel viisil: (ja miks, seda on lihtne arvata eelmise osa materjalidest).

Tõsi on ka vastupidine: kolm mittetasatasandilist vektorit on alati lineaarselt sõltumatud st need ei väljendu kuidagi üksteise kaudu. Ja ilmselgelt saavad ainult sellised vektorid moodustada kolmemõõtmelise ruumi aluse.

Definitsioon: Kolmemõõtmelise ruumi alus nimetatakse lineaarselt sõltumatute (mittetasandiliste) vektorite kolmikuks, võetud kindlas järjekorras, samas kui mis tahes ruumi vektor ainus viis laieneb antud baasis , kus on antud baasis vektori koordinaadid

Meeldetuletuseks võite ka öelda, et vektorit kujutatakse kui lineaarne kombinatsioon baasvektorid.

Koordinaatsüsteemi mõiste tutvustatakse täpselt samamoodi nagu tasapinnalise juhtumi puhul, piisab ühest punktist ja mis tahes kolmest lineaarselt sõltumatust vektorist:

päritolu ja mitte-tasapinnaline vektorid, võetud kindlas järjekorras, komplekt kolmemõõtmelise ruumi afiinne koordinaatsüsteem :

Muidugi on koordinaatide ruudustik "kaldus" ja ebamugav, kuid sellegipoolest võimaldab konstrueeritud koordinaatsüsteem meil kindlasti määrata mis tahes vektori koordinaadid ja mis tahes ruumipunkti koordinaadid. Sarnaselt tasapinnaga ei tööta ka ruumi afiinses koordinaatsüsteemis mõned valemid, mida ma juba mainisin.

Afiinse koordinaatsüsteemi kõige tuttavam ja mugavam erijuhtum, nagu igaüks võib arvata, on ristkülikukujuline ruumi koordinaatsüsteem:

ruumipunkt, mida nimetatakse päritolu ja ortonormaalne baaskomplekt Ruumi ristkoordinaatide süsteem . tuttav pilt:

Enne praktiliste ülesannete juurde asumist süstematiseerime teabe uuesti:

Kolme ruumivektori puhul on järgmised väited samaväärsed:
1) vektorid on lineaarselt sõltumatud;
2) vektorid moodustavad aluse;
3) vektorid ei ole tasapinnalised;
4) vektoreid ei saa üksteise kaudu lineaarselt väljendada;
5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant erineb nullist.

Vastupidised väited on minu arvates arusaadavad.

Ruumivektorite lineaarset sõltuvust / sõltumatust kontrollitakse traditsiooniliselt determinandi abil (punkt 5). Ülejäänud praktilised ülesanded on selgelt algebralise iseloomuga. On aeg riputada geomeetriline kepp küünele ja vehkida lineaarse algebra pesapallikurikaga:

Kolm ruumivektorit on tasapinnalised siis ja ainult siis, kui antud vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga: .

Juhin teie tähelepanu väikesele tehnilisele nüansile: vektorite koordinaate saab kirjutada mitte ainult veergudesse, vaid ka ridadesse (determinandi väärtus sellest ei muutu - vt allpool). determinantide omadused). Kuid veergudes on see palju parem, kuna see on kasulikum mõne praktilise probleemi lahendamisel.

Neile lugejatele, kes on determinantide arvutamise meetodid pisut unustanud või on nad üldse halvasti orienteeritud, soovitan ühte oma vanimaid õppetükke: Kuidas determinanti arvutada?

Näide 6

Kontrollige, kas järgmised vektorid moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse:

Lahendus: Tegelikult taandub kogu lahendus determinandi arvutamisele.

a) Arvutage vektorite koordinaatidest koosnev determinant (determinant laiendatakse esimesel real):

, mis tähendab, et vektorid on lineaarselt sõltumatud (mitte tasapinnalised) ja moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse.

Vastus: need vektorid moodustavad aluse

b) See on sõltumatu otsuse punkt. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Samuti on loomingulised ülesanded:

Näide 7

Millise parameetri väärtuse korral on vektorid tasapinnalised?

Lahendus: vektorid on tasapinnalised siis ja ainult siis, kui antud vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga:

Põhimõtteliselt on vaja võrrandit lahendada determinandiga. Lendame nullidesse nagu tuulelohed jerboadesse - kõige tulusam on avada determinant teises reas ja kohe miinustest lahti saada:

Teostame täiendavaid lihtsustusi ja taandame asja kõige lihtsamale lineaarvõrrand:

Vastus: kell

Siin on lihtne kontrollida, selleks peate asendama saadud väärtuse algse determinandiga ja veenduma, et selle uuesti avamisega.

Kokkuvõtteks vaatleme veel ühte tüüpilist ülesannet, mis on pigem algebralist laadi ja kuulub traditsiooniliselt lineaaralgebra käigus. See on nii tavaline, et väärib eraldi teemat:

Tõesta, et 3 vektorit moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse
ja leida antud baasis 4. vektori koordinaadid

Näide 8

Vektorid on antud. Näidake, et vektorid moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse ja leidke sellel alusel vektori koordinaadid.

Lahendus: Tegeleme kõigepealt tingimusega. Tingimuse järgi on antud neli vektorit ja nagu näha, on neil juba mingis aluses koordinaadid. Mis on alus - meid ei huvita. Ja järgmine asi pakub huvi: kolm vektorit võivad tekkida uus alus. Ja esimene samm on täiesti sama, mis näite 6 lahendus, on vaja kontrollida, kas vektorid on tõesti lineaarselt sõltumatud:

Arvutage vektorite koordinaatidest koosnev determinant:

, seega on vektorid lineaarselt sõltumatud ja moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse.

! Tähtis : vektori koordinaadid tingimata Kirjuta üles veergudeks determinant, mitte stringid. Vastasel juhul tekib edasises lahendusalgoritmis segadus.