Seejärel tegi ta sama katse kolme täringuga. Paberile kirjutasin tulpa numbrid 3 kuni 18. Need on summad, mis võivad kolme täringu viskamisel välja kukkuda. Tegin 400 viset. Arvutage tulemus ja kandke see tabelisse. (Lisa 3 ja 4) Summad 10 ja 11 kukuvad sagedamini välja.

Tegin juba nelja täringuga teise katse. Veergu kirjutati numbrid 4 kuni 24. Need on summad, mis võivad nelja täringu viskamisel välja kukkuda. Tegin jälle 400 viset. Arvutage tulemus ja kandke see tabelisse. (Lisa 5 ja 6) Summa 14 langeb sagedamini välja.

Siis otsustasin natuke matemaatikat teha. Tegin kahe täringu jaoks tabeli, täitsin ära. (Lisa 7) Sain tulemuse - summa seitse kukub sagedamini välja. (Lisa 8). Kuus korda kolmekümne kuuest. Tegin samad matemaatilised arvutused kõigepealt kolme täringu jaoks. (Lisa 9) Sagedamini kukuvad välja summad 10 ja 11. See on 27 juhtumit 216-st. Ja kõige harvem - 3 ja 18, ainult 1 juhtum 216-st. (Lisa 10) Ja siis neljale täringule. (Lisa 11) Juhtumeid on kokku 1296. Kõige levinum on 14, mis on 146 juhtu 1296-st. Ja kõige vähem levinud on 4 ja 24, ainult 1 juhtum 1296-st (Lisa 12)

Leidsin täringutrikkide kirjelduse. Mind üllatas mõne nipi lihtsus ja originaalsus. Täringu külgedel olevate märgistuste aktsepteeritud järjekord on paljude täringutega tehtud trikkide aluseks. Ja proovisin mõnda nippi. sain hakkama. Kuid nende edukaks rakendamiseks on vaja kiiresti ja hästi lugeda.

Fookus on osav trikk, mis põhineb silma petmisel nutikate ja kiirete nippidega. Publiku ees on fookus alati pooleldi varjatud: nad teavad, et seal on saladus, kuid nad kujutavad seda ette millegi ebareaalse, arusaamatuna. Matemaatilised trikid on omamoodi matemaatiliste seaduste demonstreerimine.

Iga triki õnnestumine sõltub heast ettevalmistusest ja treenitusest, iga numbri sooritamise lihtsusest, täpsest arvutamisest, triki sooritamiseks vajalike võtete oskuslikust valdamisest. Sellised trikid jätavad publikule suurepärase mulje ja köidavad neid.

Fookus 1. "Summa äraarvamine"

Meeleavaldaja pöörab publiku poole selja ja sel ajal viskab üks neist lauale kolm täringut. Seejärel palutakse pealtvaatajal kolm veeretatud numbrit kokku liita, võtta täringud ja lisada äsja saadud summale alumisel küljel olev number. Seejärel viska uuesti sama täringut ja lisa summale uuesti välja kukkunud number. Meeleavaldaja juhib publiku tähelepanu asjaolule, et ta ei saa mingil juhul teada, kumba kolmest täringust kaks korda visati, siis kogub ta täringud kokku, raputab neid käes ja nimetab kohe õigesti lõppsumma.

Selgitus. Enne täringu kogumist liidetakse ülespoole suunatud numbrid kokku. Lisades saadud summale seitse, leiab ta lõpliku summa.

See trikk tugineb vastaskülgedel olevate arvude summa omadusele - see on alati võrdne seitsmega.

2. peatükk

2.1. Arvutame tulemuse

Selleks, et teada saada, milline kogus kahe, kolme, nelja jne täringut viskamisel sagedamini välja kukub, viisin läbi mitmeid katseid.

Enne tööle asumist koostasin andmete sisestamiseks tabeli. Veerg sisaldab numbreid 2 kuni 12. Need on summad, mis võivad kahe täringu viskamisel välja kukkuda. Laua siledale pinnale, et kõrvalisi segajaid ei oleks, hakkas ta täringut viskama. Iga katse oli märgitud välja kukkunud summa numbri vastas – vertikaalne joon.

1. katse:

1) Võtan kaks täringut ja klaasi.

Katset korratakse 400 korda.

Katse aitas välja selgitada, milline kogus kahe täringu viskamisel sagedamini välja kukub. (1. ja 2. lisa)

2. katse tegin kolme täringuga, et teada saada, milline summa nüüd sagedamini välja kukub.

2. katse:

1) Võtan kolm täringut ja klaasi.

2) Raputan klaasi täringut.

3) viskan täringud lauale.

4) Arvutan summa ja märgin selle tabelisse.

Katset korratakse 400 korda.

Katse aitas välja selgitada, milline kogus kolme täringut viskamisel sagedamini välja kukub. (3. ja 4. lisa)

Katse aitas mul veenduda, et kolme täringu viskamisel on välja kukkunud kogus teistsugune kui kahe täringuga.

3. katse Jooksin juba nelja täringuga, et näha muutuste dünaamikat.

Enne tööle asumist koostasin andmete sisestamiseks taas tabeli.

3. katse:

1) Võtan neli täringut ja klaasi.

2) Raputan klaasi täringut.

3) viskan täringud lauale.

4) Arvutan summa ja märgin selle tabelisse.

Katset korratakse 400 korda.

Katse aitas mul veenduda, et nelja täringu viskamisel on väljakukkuv kogus jällegi erinev. (5. ja 6. lisa)

Pärast katsete tulemustega tutvumist sai mulle selgeks, miks tabeli keskele lähemal olevad summad sagedamini välja langevad. Lõppude lõpuks on vastaskülgedel olevate arvude summa alati võrdne seitsmega. Seetõttu on täringut visates tõenäolisem, et selle keskkoha lähedane summa kukub välja.

2.2. Võrrelge tulemusi

Võrreldes täringutega tehtud katsete tulemusi (lisad 1 - 6) ja matemaatiliste arvutuste tulemusi (lisad 7 - 12), märkasin, et keskmisele lähem summa langeb sagedamini välja. Nii et ma leidsin keskmise aritmeetiline summa numbrid täringu esikülgedel. (1+2+3+4+5+6) : 6 = 3,5. Selgus number 3,5. Seejärel korrutasin selle arvu täringutega. Kui võtta kaks täringut, siis korrutis on 3,5 2 = 7. Arv seitse on number, mis kahe täringu viskamisel kõige sagedamini välja kukub. Kui võtame kolm täringut, saame 3,5 3 = 10,5. Ja kuna arv peab olema täisarv, võetakse kaks kõrvutiasetsevat arvu. Need on numbrid 10 ja 11, need kukuvad sagedamini välja kolme täringu viskamisel. Mis tahes täringu arvu korral saate valemi abil arvutada arvu, mis sagedamini välja kukub 3.5 n , (kus n- täringute arv). Veelgi enam, kui n paaritu arv, siis võetakse kaks kõrvuti asetsevat numbrit, et määrata täringut viskamisel sagedamini välja kukkuv arv.

Vaatasin piiblijoonist ja leidsin lahknevuse. Kaks täringut on valesti märgitud. Kuna vastaskülgedel olevate arvude summa peaks olema võrdne seitsmega. Ja ühel täringul ülemisel küljel - kolm ja küljel - neli, kuigi neli peaks olema alumisel küljel. Teisel täringul, pealmisel küljel - viis ja küljel - kaks. Ja võib-olla sellepärast, et selles piirkonnas võeti täringul kasutusele erinev märgistus.

Järeldus

Oma töös õppisin täringu saladust. See saladus peitub täringu enda pinnal. Saladus on märgistuse paigutuses. Vastaskülgedel olevate arvude summa on alati seitse. Katsete ja matemaatiliste arvutuste abil leidsin täringuviskamisel sagedamini välja kukkuva koguse, mis sõltub täringute arvust. Selle summa saab kirjutada valemina 3,5 · n, Kus n täringute arv. Seda teemat uurides sain teada, et täringud pärinevad umbes 3000 eKr. Kohad, kust arheoloogid on leidnud mängu jaoks kõige iidsemad esemed, on Egiptus, Iraan, Iraak ja India. Õppisin tundma täringu kuju ja tüüpide mitmekesisust. Ja ka see, kus täringuid kasutatakse ja millised omadused neil on. Ma ei võtnud probleemi lahendamise teemat üldse arvesse. Lihtsalt tõenäosusteooria on minu jaoks endiselt raske. Aga ma loodan selle juurde tagasi pöörduda.

Paljud suurepärased matemaatikud lahendasid erinevatel aegadel ülesandeid täringutega. Kuid ma ei leidnud leidmise valemi autorit suurim summa täringute viskamisel. Võib-olla pole ma piisavalt kaua otsinud. Aga ma jätkan otsimist. Mind huvitab, kes selle valemi esimesena välja mõtles.

Bibliograafia

1. Azarjev entsüklopeediline sõnaraamat [Elektrooniline ressurss]http://www. slovarus. et/?di=72219

2., Suvorov tõenäosusest mängudes. Sissejuhatus tõenäosusteooriasse 8.-11.klassi õpilastele. - Jaroslavl: Arenguakadeemia, 2006. -192 lk.

3. Freebusi ülesanded. – M.: Valgustus, 1994. – 128 lk.

4. Vikipeedia vaba entsüklopeedia [Elektrooniline ressurss] https://ru. wikipedia. org/wiki/täringud

5. Hasartmänguäri. Per. inglise keelest. ja fr. /NEC "Bibliomarket"; Ed.-stat. . - M. 1994. - 208 lk.

6. Luud, täringud, kuubikud [Elektrooniline ressurss] http://www. /et/artiklid/igralnye_kosti-34

7. Ljutikas tõenäosusteooriast. – M.: Valgustus, 1983. – 127 lk.

8. Nikiforovski matemaatik Bernoulli. – M.: Nauka, 1984. – 180 lk.

9. Algebraõpiku lehekülgede taga. Raamat. klassi õpilastele 7-9 Üldharidus institutsioonid. – M.: Valgustus, 1999. – 237 lk.

10. 100 suurt teadlast. - M.: Veche, 2000. - 592 lk.

11. Sõnastik võõrsõnad[Elektrooniline ressurss] http:///search

12. Ušakovi seletav sõnaraamat [Elektrooniline allikas] http://www. /3/193/772800.html

13. Shen A. Tõenäosus: näited ja ülesanded. - M.: MTsNMO kirjastus, 2008. - 64 lk.

14. Jakovlevi probleem täringutega tõenäosusteooria elementide uurimisel [Elektrooniline allikas] http://festival.1september. et/articles/517883/

15. Jakovlev ja naljakad nipid täringutega [Elektrooniline ressurss] http://festival.1september. et/articles/624782/

Lisa 1. 2 täringu visete tulemused

Lisa 2. 2 täringu visete tulemused

Tema blogis tõlge kursuse "Principles of Game Balance" järgmisest loengust mängudisainer Jan Schreiberilt, kes töötas selliste projektidega nagu Marvel Trading Card Game ja Playboy: the Mansion.

Kuni tänaseni on peaaegu kõik, millest oleme rääkinud, olnud deterministlik ja eelmisel nädalal uurisime transitiivset mehaanikat lähemalt, tükeldades selle nii üksikasjalikult, kui suudan selgitada. Kuid siiani pole me paljude mängude muudele aspektidele tähelepanu pööranud, nimelt mittedeterministlikele hetkedele – teisisõnu juhuslikkusele.

Juhuslikkuse olemuse mõistmine on mängudisainerite jaoks väga oluline. Loome süsteeme, mis mõjutavad kasutajakogemust antud mängus, seega peame teadma, kuidas need süsteemid töötavad. Kui süsteemis on juhuslikkus, peame mõistma selle juhuslikkuse olemust ja teadma, kuidas seda muuta, et saada vajalikke tulemusi.

Täringud

Alustame millestki lihtsast – täringuveeretamisest. Kui enamik inimesi mõtleb täringutele, mõtlevad nad kuuepoolsele matriitsile, mida tuntakse kui d6. Kuid enamik mängijaid on näinud palju muid täringuid: neljatahuline (d4), kaheksatahuline (d8), kaheteistkümnepoolne (d12), kahekümnepoolne (d20). Kui olete tõeline nohik, võib teil olla kuskil 30- või 100-teraline täring.

Kui te pole selle terminoloogiaga tuttav, tähistab d täringut ja selle järel olev arv on selle tahkude arv. Kui number tuleb enne d, siis näitab see täringu arvu viskamisel. Näiteks Monopolis viskad 2d6.

Niisiis, antud juhul fraas "täring" - sümbol. On veel tohutult palju juhuslike arvude generaatoreid, mis ei näe välja nagu plastilised kujundid, vaid täidavad sama funktsiooni – genereerivad juhusliku arvu vahemikus 1 kuni n. Tavalist münti võib kujutada ka kahetahulise d2 stantsina.

Nägin kahte seitsmetahulise matriitsi kujundust: üks nägi välja nagu täring ja teine ​​nägi rohkem välja nagu seitsmetahuline puidust pliiats. Tetraeedriline dreidell, tuntud ka kui titotum, on tetraeedrilise luu analoog. Pöörleva noolega mängulaud Chutes & Laddersis, kus tulemus võib olla 1 kuni 6, vastab kuuepoolsele täringule.

Juhuslike arvude generaator arvutis võib luua suvalise arvu vahemikus 1 kuni 19, kui kujundaja annab sellise käsu, kuigi arvutil pole 19-tahulist täringut (üldiselt räägin lähemalt arvude tõenäosusest arvutis juures järgmine nädal). Kõik need üksused näevad välja erinevad, kuid tegelikult on need samaväärsed: teil on võrdne võimalus mitme võimaliku tulemuse saavutamiseks.

Täringutel on mõned huvitavad omadused millest me peame teadma. Esiteks on mõne näo saamise tõenäosus sama (eeldan, et viskate tavalist geomeetrilist täringut). Kui soovite teada viske keskmist väärtust (neile, kellele meeldib tõenäosusteooria, on see tuntud kui oodatud väärtus), liitke kõigi tahkude väärtused ja jagage see arv tahkude arvuga.

Tavalise kuuepoolse matriitsi kõigi tahkude väärtuste summa on 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Jagage 21 tahkude arvuga ja saate veeremise keskmise väärtuse: 21 / 6 = 3,5. See erijuhtum, sest eeldame, et kõik tulemused on võrdselt tõenäolised.

Mis siis, kui teil on spetsiaalsed täringud? Näiteks nägin hex mängu täringut spetsiaalsete kleebistega nägudel: 1, 1, 1, 2, 2, 3, nii et see käitub nagu kummaline kolmepoolne täring, mis tõenäolisemalt viskab 1 kui 2 ja suurema tõenäosusega 2 kui a 3. Milline keskmine viskeväärtus selle matriitsi jaoks? Niisiis, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, jagage 6-ga - saate 5/3 ehk umbes 1,66. Nii et kui teil on spetsiaalne täring ja mängijad viskavad kolm täringut ja seejärel liidavad tulemused, siis teate, et nende kogusumma on umbes 5 ja saate selle eelduse põhjal mängu tasakaalustada.

Täringud ja iseseisvus

Nagu ma juba ütlesin, lähtume eeldusest, et iga näo väljalangemine on võrdselt tõenäoline. Pole tähtis, mitu täringut siin veeretad. Iga matriitsi rull on sõltumatu, mis tähendab, et eelmised rullid ei mõjuta järgnevate veeremiste tulemusi. Piisava katsetamise korral märkate kindlasti mitmeid numbreid (näiteks veerevad enamasti suuremad või madalamad väärtused) või muid funktsioone, kuid see ei tähenda, et täringud oleksid "kuumad" või "külmad". Sellest räägime hiljem.

Kui viskad tavalist kuuepoolset täringut ja number 6 ilmub kaks korda järjest, on tõenäosus, et järgmise viske tulemuseks on 6, samuti 1/6. Tõenäosus ei suurene, sest täring "soojenes" ". Samas tõenäosus ei vähene: on vale väita, et number 6 on juba kaks korda järjest välja kukkunud, mis tähendab, et nüüd peab välja kukkuma teine ​​nägu.

Muidugi, kui viskate täringut kakskümmend korda ja iga kord ilmub number 6, on kahekümne esimesel korral 6 tõenäosus üsna suur: teil võib lihtsalt olla vale täring. Kuid kui täring on õige, on tõenäosus saada iga nägu sama, olenemata teiste visete tulemustest. Võite ka ette kujutada, et me vahetame täringut iga kord: kui number 6 veeres kaks korda järjest, eemaldage mängust "kuum" täring ja asendage see uuega. Vabandust, kui keegi teist sellest juba teadis, kuid mul oli vaja seda enne edasiliikumist selgitada.

Kuidas panna täringut enam-vähem juhuslikult veerema

Räägime sellest, kuidas erinevatel täringutel erinevaid tulemusi saada. Kui viskate täringut ainult üks või mitu korda, tundub mäng juhuslikum, kui täringul on rohkem servi. Mida sagedamini täringut veeretad ja mida rohkem täringuid veeretad, seda enam lähenevad tulemused keskmisele.

Näiteks 1d6 + 4 korral (st kui viskad standardse kuuepoolse täringuga ühe korra ja lisad tulemusele 4), on keskmine arv vahemikus 5 kuni 10. Kui viskad 5d2, siis keskmine on ka arv vahemikus 5 kuni 10. 5d2 veeremise tulemuseks on enamasti numbrid 7 ja 8, harvemini muud väärtused. Sama seeria, isegi sama keskmine väärtus (mõlemal juhul 7,5), kuid juhuslikkuse olemus on erinev.

Oota hetk. Kas ma lihtsalt ei öelnud, et täringud ei "kuumene" ega "jahtu maha"? Ja nüüd ma ütlen: kui veeretada palju täringuid, on viskamise tulemused keskmisele väärtusele lähemal. Miks?

Las ma seletan. Kui viskate ühe täringuga, on tõenäosus, et kõik näod kerkivad, sama. See tähendab, et kui veerete aja jooksul palju täringuid, kerkib iga nägu umbes sama palju kordi. Mida rohkem täringut viskate, seda enam läheneb kogutulemus keskmisele.

See ei tulene sellest, et veeretatud number "pandab" veerema teise numbri, mida pole veel veeretatud. Sest väikest numbrit 6 (või 20 või mis iganest) veeretav seeria ei muuda lõpuks suurt midagi, kui veeretada täringut veel kümme tuhat korda ja see on enamasti keskmine. Nüüd on teil mitu suured numbrid, ja hiljem mõned väikesed – ja aja jooksul lähenevad need keskmisele väärtusele.

See ei tulene sellest, et eelmised visked täringuid mõjutaksid (tõsiselt, täringud on plastikust, tal pole ajusid, et mõelda: "Oh, 2 on juba palju aega möödas"), vaid sellepärast, et see tavaliselt juhtub rohke veerega.täringu mängimine.

Seega on ühe juhusliku täringuviske kohta üsna lihtne arvutada – arvuta vähemalt välja viske keskmine väärtus. On ka viise, kuidas arvutada "kui juhuslik" miski on ja öelda, et 1d6 + 4 viske tulemused on "juhuslikumad" kui 5d2. 5d2 puhul jaotuvad rullitud tulemused ühtlasemalt. Selleks peate arvutama standardhälbe: mida suurem väärtus, seda juhuslikumad on tulemused. Ma ei tahaks täna nii palju arvutusi anda, selgitan seda teemat hiljem.

Ainus asi, mida ma palun teil meeles pidada, on see, et mida vähem täringut viskate, seda juhuslikum on üldreeglina. Ja mida rohkem servi täringul on, seda suurem on juhuslikkus, sest rohkem valikuid väärtused.

Kuidas arvutada tõenäosust loenduse abil

Teil võib tekkida küsimus: kuidas saame arvutada konkreetse tulemuse täpse tõenäosuse? Tegelikult on see paljude mängude jaoks üsna oluline: kui viskate alguses täringut, on tõenäoliselt optimaalne tulemus. Vastus on: peame arvutama kaks väärtust. Esiteks, koguarv tulemused täringuviskamisel ja teiseks soodsate tulemuste arv. Jagades teise väärtuse esimesega, saate soovitud tõenäosuse. Protsendi saamiseks korrutage tulemus 100-ga.

Näited

Siin on väga lihtne näide. Tahad visata 4 või kõrgemat ja ühe korra kuuepoolset täringut. Maksimaalne tulemuste arv on 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Neist 3 tulemust (4, 5, 6) on soodsad. Seega jagame tõenäosuse arvutamiseks 3 6-ga ja saame 0,5 või 50%.

Siin on näide, mis on veidi keerulisem. Tahad, et 2d6 veeremisel tekiks paarisarv. Maksimaalne tulemuste arv on 36 (iga täringu jaoks 6 võimalust, üks täring ei mõjuta teist, seega korrutame 6 6-ga ja saame 36). Küsimuse keerukus seda tüüpi on see, et seda on lihtne kaks korda lugeda. Näiteks veeretamisel 2d6 on 3 kaks võimalikku tulemust: 1+2 ja 2+1. Need näevad välja ühesugused, kuid erinevus seisneb selles, milline number kuvatakse esimesel täringul ja milline teisel.

Võite ka ette kujutada, et täringud erinevad värvid: nii et näiteks sel juhul on üks täring punane, teine ​​sinine. Seejärel loendage paarisarvu võimalike esinemiste arv:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Selgub, et soodsa tulemuse saamiseks on 18 varianti 36-st – nagu ka eelmisel juhul, on tõenäosus 0,5 ehk 50%. Võib-olla ootamatu, kuid üsna täpne.

Monte Carlo simulatsioon

Mis siis, kui teil on selle arvutuse jaoks liiga palju täringuid? Näiteks soovite teada, kui suur on tõenäosus, et 8d6 veeretamisel tuleb kokku 15 või rohkem. Kaheksa täringu jaoks on tohutu komplekt erinevaid tulemusi, ja nende käsitsi kokkulugemine võtaks väga kaua aega – isegi kui leiaksime mõne hea lahenduse erinevate täringuveeretuste seeriate grupeerimiseks.

Sel juhul on kõige lihtsam mitte käsitsi loendada, vaid kasutada arvutit. Tõenäosuse arvutamiseks arvutis on kaks võimalust. Esimene viis võib saada täpse vastuse, kuid see hõlmab natuke programmeerimist või skriptimist. Arvuti vaatab iga võimalust, hindab ja loendab iteratsioonide koguarvu ja soovitud tulemusele vastavate iteratsioonide arvu ning annab seejärel vastused. Teie kood võib välja näha umbes selline:

Kui sa pole programmeerija ja soovid täpse vastuse asemel ligikaudset vastust, siis saad seda olukorda simuleerida Excelis, kus veeretad paar tuhat korda 8d6 ja saad vastuse. Excelis 1d6 rullimiseks kasutage valemit =PÕRAND(RAND()*6)+1.

Olukorral, kus vastust ei tea ja lihtsalt proovid mitu korda, on nimi – Monte Carlo simulatsioon. See on suurepärane lahendus, mille juurde tagasi pöörduda, kui tõenäosust on liiga raske arvutada. Suurepärane on see, et sel juhul ei pea me aru saama, kuidas matemaatika töötab, ja me teame, et vastus on "päris hea", sest nagu me juba teame, mida rohkem veereb, seda rohkem läheneb tulemus keskmine väärtus.

Kuidas ühendada sõltumatuid katseid

Kui küsida mõne korduva, kuid sõltumatud testid, siis ühe viske tulemus ei mõjuta teiste viske tulemust. Sellele olukorrale on veel üks lihtsam seletus.

Kuidas teha vahet sõltuval ja sõltumatul? Põhimõtteliselt, kui saate matriitsi iga veeremise (või veerede seeria) eraldada eraldi sündmusena, on see sõltumatu. Näiteks viskame 8d6 ja tahame kokku visata 15. Seda sündmust ei saa jagada mitmeks iseseisvaks täringuviskeks. Tulemuse saamiseks arvutate kõigi väärtuste summa, nii et ühel täringul veeretud tulemus mõjutab tulemusi, mis peaksid veerema teistel.

Siin on näide sõltumatutest viskamisest: mängid täringumängu ja veeretad paar korda kuuepoolset täringut. Mängus püsimiseks peab esimene viske viskama 2 või rohkem. Teise rulli jaoks - 3 või rohkem. Kolmandaks on vaja 4 või enamat, neljandaks 5 või enamaks ja viiendaks 6. Kui kõik viis viset on edukad, võidate. Sel juhul on kõik visked iseseisvad. Jah, kui üks vise ebaõnnestub, mõjutab see kogu mängu tulemust, kuid üks vise ei mõjuta teist. Näiteks kui teie teine ​​täringuvise on väga hea, ei tähenda see, et järgmised täringuvisked on sama head. Seetõttu võime iga täringuviske tõenäosust arvestada eraldi.

Kui teil on sõltumatud tõenäosused ja soovite teada, milline on kõigi sündmuste toimumise tõenäosus, määrate iga üksiku tõenäosuse ja korrutate need. Teine võimalus: kui kasutate sidet “ja” mitme tingimuse kirjeldamiseks (näiteks kui suur on mingi juhusliku sündmuse ja mõne muu sõltumatu juhusliku sündmuse toimumise tõenäosus?) - arvutage individuaalsed tõenäosused ja korrutage need.

Pole tähtis, mida arvate – ärge kunagi summeerige sõltumatuid tõenäosusi. See on levinud viga. Et mõista, miks see vale on, kujutage ette olukorda, kus viskate münti ja soovite teada, milline on tõenäosus, et saate kaks korda järjest pead. Tõenäosus kummaltki küljelt välja kukkuda on 50%. Kui liidate need kaks tõenäosust kokku, saate 100% tõenäosusega pead, kuid me teame, et see pole tõsi, sest võib tekkida kaks järjestikust saba. Kui korrutate selle asemel kaks tõenäosust, saate 50% * 50% = 25% – see on õige vastus kaks korda järjest peade saamise tõenäosuse arvutamiseks.

Näide

Lähme tagasi kuuepoolse täringumängu juurde, kus esmalt tuleb visata arv, mis on suurem kui 2, seejärel rohkem kui 3 – ja nii edasi kuni 6. Kui suur on tõenäosus, et antud viiest viskamisest koosnevas seerias kas tulemused on soodsad?

Nagu eespool mainitud, on need sõltumatud katsed, seega arvutame iga üksiku veeremise tõenäosuse ja seejärel korrutame need. Tõenäosus, et esimese viske tulemus on soodne, on 5/6. Teine - 4/6. Kolmas - 3/6. Neljas - 2/6, viies - 1/6. Korrutame kõik tulemused üksteisega ja saame umbes 1,5%. Võidud selles mängus on üsna haruldased, nii et kui lisate selle elemendi oma mängu, on teil vaja päris suurt jackpoti.

Eitus

Siin on veel üks kasulik vihje: mõnikord on sündmuse toimumise tõenäosust raske välja arvutada, kuid sündmuse toimumise tõenäosust on lihtsam määrata. Näiteks oletame, et meil on veel üks mäng: viskad 6d6 ja võidad, kui viskad vähemalt korra 6. Kui suur on võidu tõenäosus?

Sel juhul tuleb kaaluda palju võimalusi. Võimalik, et üks number 6 kukub välja, see tähendab, et number 6 kukub ühele täringule ja numbrid 1 kuni 5 langevad teistele, siis on 6 võimalust, kumb täringust saab. a 6. Võite saada numbri 6 kahel täringuluul või kolmel või isegi enamal ja iga kord peate tegema eraldi arvutuse, nii et siin on lihtne segadusse sattuda.

Aga vaatame probleemi teisest küljest. Kaotad, kui ükski täring ei viska 6. Sel juhul on meil 6 sõltumatut katset. Tõenäosus, et iga täring viskab mõne muu arvu kui 6, on 5/6. Korrutage need - ja saate umbes 33%. Seega on kaotuse tõenäosus üks kolmest. Seega on võidu tõenäosus 67% (ehk kaks kuni kolm).

Sellest näitest on ilmne, et kui arvutate sündmuse mittetoimumise tõenäosust, peate tulemuse 100% -st lahutama. Kui võidu tõenäosus on 67%, siis kaotuse tõenäosus on 100% miinus 67% ehk 33% ja vastupidi. Kui ühte tõenäosust on raske arvutada, kuid vastupidist on lihtne, arvutage vastupidine ja lahutage see arv 100% -st.

Ühe sõltumatu testi ühendamise tingimused

Ma ütlesin veidi varem, et sõltumatutes katsetes ei tohiks kunagi tõenäosusi summeerida. Kas on juhtumeid, kus on võimalik tõenäosusi summeerida? Jah, ühes konkreetses olukorras.

Kui soovite arvutada sama katse puhul mitme omavahel mitteseotud soodsa tulemuse tõenäosuse, liidage iga soodsa tulemuse tõenäosus kokku. Näiteks 4, 5 või 6 veeremise tõenäosus 1d6 peal on võrdne 4 veeremise tõenäosuse, 5 veeremise tõenäosuse ja 6 veeremise tõenäosuse summaga. See olukord saab esitada järgmiselt: kui kasutate tõenäosuse küsimuses ühendust "või" (näiteks kui suur on ühe juhusliku sündmuse ühe või teise tulemuse tõenäosus?) - arvutage individuaalsed tõenäosused ja summeerige need.

Pange tähele: kui arvutate välja kõik mängu võimalikud tulemused, peab nende esinemise tõenäosuste summa olema võrdne 100%, vastasel juhul tehti teie arvutus valesti. See hea viis kontrollige oma arvutusi uuesti. Näiteks analüüsisite kõigi kombinatsioonide saamise tõenäosust pokkeris. Kui liidate kõik saadud tulemused kokku, peaksite saama täpselt 100% (või vähemalt 100% lähedase väärtuse: kui kasutate kalkulaatorit, võib esineda väike ümardamisviga, aga kui lisate täpsed numbrid käsitsi, peaks kõik kokku saama. ). Kui summa ei summeeru, siis tõenäoliselt ei võtnud te mõnda kombinatsiooni arvesse või arvutasite mõne kombinatsiooni tõenäosuse valesti ja arvutused tuleb uuesti üle kontrollida.

Ebavõrdsed tõenäosused

Siiani oleme eeldanud, et matriitsi iga tahk kukub välja sama sagedusega, sest nii töötab matriit. Kuid mõnikord võite kokku puutuda olukorraga, kus on võimalikud erinevad tulemused ja neil on erinevad võimalused välja kukkuda.

Näiteks ühes täienduses kaardimäng Tuumasõjal on mänguväli noolega, mis määrab raketi stardi tulemuse. Enamasti tekitab see tavalisi kahjustusi, rohkem või vähem, kuid mõnikord on kahju kahe- või kolmekordistunud või rakett plahvatab stardiplatvormil ja kahjustab teid või juhtub mõni muu sündmus. Erinevalt Chutes & Laddersi või A Game of Life'i noolelauast ei ole laua tulemused tuumasõjas võrdselt tõenäolised. Mõned mänguvälja lõigud on suuremad ja nool peatub neil palju sagedamini, samas kui teised osad on väga väikesed ja nool peatub neil harva.

Nii et esmapilgul näeb luu välja umbes selline: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - me juba rääkisime sellest, see on midagi kaalutud 1d3 sarnast. Seetõttu peame jagama kõik need lõigud võrdseteks osadeks, leidma väikseima mõõtühiku, jagaja, millele kõik on kordne, ja seejärel esitama olukorra kujul d522 (või mõnel muul kujul), kus täringu kogum näod tähistavad sama olukorda, nina suur summa tulemusi. See on üks viis probleemi lahendamiseks ja see on tehniliselt teostatav, kuid on ka lihtsam variant.

Läheme tagasi meie standardse kuuepoolse täringu juurde. Me ütlesime, et tavalise täringu veeremise keskmise väärtuse arvutamiseks peate liitma kõigi nägude väärtused ja jagama need nägude arvuga, kuid kuidas täpselt arvutus tehakse? Saate seda väljendada erinevalt. Kuuepoolse täringu puhul on iga näo esilekerkimise tõenäosus täpselt 1/6. Nüüd korrutame iga tahu tulemuse selle tulemuse tõenäosusega (antud juhul 1/6 iga tahu kohta) ja seejärel liideme saadud väärtused. Seega liidetakse (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6), saame sama tulemuse (3.5) nagu ülaltoodud arvutuses. Tegelikult arvutame selle iga kord: korrutame iga tulemuse selle tulemuse tõenäosusega.

Kas saame tuumasõjas teha sama arvutuse mängulaual oleva noolega? Muidugi saame. Ja kui kõik leitud tulemused kokku võtta, saame keskmise väärtuse. Peame vaid arvutama mänguväljal oleva noole iga tulemuse tõenäosuse ja korrutama tulemuse väärtusega.

Veel üks näide

Mainitud keskmise arvutamise meetod sobib ka siis, kui tulemused on võrdselt tõenäolised, kuid neil on erinevad eelised – näiteks kui viskad täringut ja võidad mõne näo pealt rohkem kui teistel. Võtame näiteks mängu, mis toimub kasiinos: panustad ja viskad 2d6. Kui tuleb kolm numbrit väikseim väärtus(2, 3, 4) või neli kõrge väärtusega numbrit (9, 10, 11, 12) – võidad oma panusega võrdse summa. Väikseima ja kõrgeima väärtusega numbrid on erilised: kui ilmub 2 või 12, võidate kaks korda rohkem kui teie panus. Kui ilmub mõni muu number (5, 6, 7, 8), kaotate oma panuse. See on kaunis lihtne mäng. Aga kui suur on võidu tõenäosus?

Alustuseks loendame, mitu korda võite võita. Maksimaalne tulemuste arv 2d6 veeretamisel on 36. Kui palju on soodsaid tulemusi?

• On 1 variant, mis annab 2, ja 1 variant, mis annab 12.
• 3 jaoks on 2 võimalust ja 11 jaoks 2 valikut.
• 4 jaoks on 3 valikut ja 10 jaoks 3 valikut.
• On 4 võimalust, millest saab 9.

Kõik võimalused kokku võttes saame 16 soodsat tulemust 36-st. Seega koos normaalsetes tingimustes võidad 16 korda 36-st võimalikust – võidu tõenäosus on veidi alla 50%.

Kuid kaks korda neist kuueteistkümnest võidate kaks korda rohkem – see on nagu kaks korda võitmine. Kui mängite seda mängu 36 korda, panustades iga kord 1 dollarile, ja kõik võimalikud tulemused ilmnevad üks kord, võidate kokku 18 dollarit (tegelikult võidate 16 korda, kuid kaks neist lähevad arvesse kahe võiduna). Kui mängite 36 korda ja võidate 18 dollarit, kas see ei tähenda, et tõenäosused on võrdsed?

Võta aega. Kui loendate, mitu korda võite kaotada, saate 20, mitte 18. Kui mängite 36 korda, panustades iga kord 1 dollari, võidate kõigi koefitsientide korral kokku 18 dollarit. Kuid kõigi 20 halva tulemuse eest kaotate kokku 20 dollarit. Selle tulemusena jääte veidi alla: kaotate keskmiselt 2 dollarit neto iga 36 mängu kohta (võib ka öelda, et kaotate keskmiselt 1/18 dollarit päevas). Nüüd näete, kui lihtne on sel juhul viga teha ja tõenäosust valesti arvutada.

permutatsioon

Seni oleme eeldanud, et täringut veeretades ei oma tähtsust see, millises järjekorras numbrid visatakse. Veeretamine 2 + 4 on sama, mis 4 + 2. Enamikul juhtudel loendame soodsate tulemuste arvu käsitsi, kuid mõnikord nii ebapraktiline ja parem on kasutada matemaatilist valemit.

Selle olukorra näide on Farkle täringumängust. Iga uue ringi jaoks viskad 6d6. Kui teil veab ja kõik võimalikud tulemused 1-2-3-4-5-6 (sirge) tulevad, saate suure boonuse. Kui suur on tõenäosus, et see juhtub? Sel juhul on selle kombinatsiooni kaotamiseks palju võimalusi.

Lahendus on järgmine: ühel täringul (ja ainult ühel) peaks välja kukkuma number 1. Mitu varianti, et number 1 ühel täringul välja kukub? Võimalusi on 6, kuna täringuid on 6 ja number 1 võib langeda ükskõik millisele. Seetõttu võtke üks täring ja pange see kõrvale. Nüüd peaks ühele ülejäänud täringule langema number 2. Selleks on 5 võimalust. Võtke veel üks täring ja asetage see kõrvale. Seejärel võib 4 allesjäänud täringut maanduda 3-le, 3 ülejäänud täringut võib maanduda 4-le ja 2 allesjäänud täringut 5-le. Selle tulemusena jääb sulle üks täring, millel number 6 peaks kukkuma (viimasel juhul on täringul ainult üks luu ja valikut pole).

Rea soodsate tulemuste arvu arvutamiseks korrutame kõik erinevad sõltumatud valikud: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 – tundub, et neid on üsna vähe suur hulk selle kombinatsiooni väljalangemise võimalused.

Sirge kombinatsiooni saamise tõenäosuse arvutamiseks peame jagama 720 kõigi 6d6 veeretamise võimalike tulemuste arvuga. Kui suur on kõigi võimalike tulemuste arv? Iga täringut saab veeretada 6 tahku, seega korrutame 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (palju suurem arv kui eelmine). Jagame 720 46656-ga ja saame tõenäosuseks umbes 1,5%. Kui te seda mängu kavandaksite, oleks teil kasulik seda teada, et saaksite luua sobiva punktisüsteemi. Nüüd mõistame, miks saate Farkle'is nii suure boonuse, kui tabate sirge kombinatsiooni: see olukord on üsna haruldane.

Tulemus on huvitav ka teisel põhjusel. Näide näitab, kui harva lühike periood tõenäosusele vastav tulemus langeb välja. Muidugi, kui veeretaks mitu tuhat täringut, kerkiksid täringu erinevad küljed üsna sageli esile. Kuid kui me viskame ainult kuut täringut, ei juhtu peaaegu kunagi, et iga täring kerkib esile. Saab selgeks, et rumal on loota, et nüüd kukub välja nägu, mida pole veel olnud, sest "numbrit 6 pole me ammu maha lasknud." Vaata, teie juhuslike numbrite generaator on katki.

See viib meid levinud eksiarvamusele, et kõik tulemused tulevad lühikese aja jooksul sama kiirusega. Kui me täringut mitu korda veeretame, ei ole kummagi näo sagedus sama.

Kui olete kunagi varem mõne juhusliku arvu generaatoriga võrgumängu kallal töötanud, siis suure tõenäosusega olete kokku puutunud olukorraga, kus mängija kirjutab tehnilisele toele kaebusega, et juhuslike numbrite generaator ei näita juhuslikke numbreid. Ta jõudis sellisele järeldusele, kuna tappis 4 koletist järjest ja sai 4 täpselt samasugust preemiat ning need hüved peaksid langema vaid 10% juhtudest, seega ei tohiks seda ilmselgelt peaaegu kunagi juhtuda.

Sa tegeled matemaatikaga. Tõenäosus on 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, see tähendab, et piisab 1 tulemusest 10 tuhandest harv juhus. Seda üritab mängija teile öelda. Kas antud juhul on probleem?

Kõik oleneb asjaoludest. Kui palju mängijaid teie serveris praegu on? Oletame, et teil on piisavalt populaarne mäng ja seda mängib iga päev 100 000 inimest. Kui palju mängijaid tapab neli koletist järjest? Tõenäoliselt kõike, mitu korda päevas, aga oletame, et pooled neist lihtsalt kauplevad oksjonitel erinevate esemetega, vestlevad RP serverites või teevad muid mängutegevusi – seega vaid pooled jahivad koletisi. Kui suur on tõenäosus, et keegi saab sama tasu? Sellises olukorras võite eeldada, et see juhtub vähemalt paar korda päevas.

Muide, seetõttu tundub, et iga paari nädala tagant võidab keegi loterii, isegi kui see keegi pole kunagi olnud sina või keegi, keda sa tead. Kui piisav inimesed mängivad regulaarselt - on võimalus, et kuskil on vähemalt üks õnnelik. Aga kui mängite ise loterii, siis tõenäoliselt te ei võida, pigem kutsutakse teid Infinity Wardi tööle.

Kaardid ja sõltuvus

Oleme arutanud iseseisvaid sündmusi, nagu täringu viskamine, ja nüüd teame palju võimsaid tööriistu juhuslikkuse analüüsimiseks paljudes mängudes. Tõenäosuse arvutamine on kaardipakist kaartide tõmbamisel veidi keerulisem, sest iga väljavõetud kaart mõjutab pakki jäävaid.

Kui teil on 52 kaardist koosnev standardpakk, siis tõmbate sealt 10 südant ja soovite teada tõenäosust, et järgmine kaart on sama mastiga – tõenäosus on võrreldes algse kaardiga muutunud, kuna olete juba ühe südamekaardi kaardist eemaldanud. tekil. Iga eemaldatud kaart muudab järgmise kaardi kaardipakki ilmumise tõenäosust. Sel juhul mõjutab eelmine sündmus järgmist, seega nimetame seda tõenäosusest sõltuvaks.

Pange tähele, et kui ma ütlen "kaardid", pean silmas mis tahes mängumehaanikut, kellel on objektide komplekt ja te eemaldate ühe objekti ilma seda asendamata. “Kaardipakk” on antud juhul analoogne krõpsude kotiga, millest võtad välja ühe chipi või urniga, millest võetakse välja värvilised pallid (ma pole kunagi näinud mänge urniga, kust värvilisi palle välja võtta välja, kuid tõenäosusteooria õpetajad mille kohta millegipärast eelistatakse seda näidet).

Sõltuvusomadused

Tahaksin täpsustada, millal me räägime kaartide osas eeldan, et tõmbate kaarte, vaatate neid ja eemaldate kaardipakist. Kõik need toimingud on olulised omadused. Kui mul oleks näiteks kuuest kaardist koosnev pakk numbritega 1 kuni 6, siis ma segaksin need ja tõmbaksin ühe kaardi, seejärel segaksin uuesti kõik kuus kaarti – see oleks sarnane kuuepoolse täringu viskamisega, sest üks tulemus ei anna mõju siin järgmistele. Ja kui ma tõmban kaarte ja ei asenda neid, siis 1 kaardi tõmbamisega suurendan tõenäosust, et järgmine kord tõmban kaardi numbriga 6. Tõenäosus suureneb kuni lõpuks tõmban selle kaardi või segan paki.

Oluline on ka asjaolu, et me vaatame kaarte. Kui ma võtan kaardi pakist välja ja ei vaata seda, siis mul ei ole Lisainformatsioon ja tegelikult tõenäosus ei muutu. See võib kõlada ebaloogiliselt. Kuidas saab lihtsalt kaardi ümberpööramine maagiliselt koefitsiente muuta? Kuid see on võimalik, kuna saate arvutada tundmatute üksuste tõenäosuse ainult teie teadmiste põhjal.

Näiteks kui segate tavalist kaardipakki, paljastate 51 kaarti ja ükski neist ei ole klubide kuninganna, siis võite olla 100% kindel, et ülejäänud kaart on klubide kuninganna. Kui segada tavalist kaardipakki ja tõmmata 51 kaarti ilma neid vaatamata, siis tõenäosus, et allesjäänud kaart on klubide kuninganna, on ikkagi 1/52. Iga kaardi avamisel saate rohkem teavet.

Sõltuvate sündmuste tõenäosuse arvutamisel järgitakse samu põhimõtteid, mis sõltumatute sündmuste puhul, välja arvatud see, et see on veidi keerulisem, kuna kaartide paljastamisel tõenäosused muutuvad. Nii et peate palju korrutama erinevad väärtused, selle asemel, et sama väärtust korrutada. Tegelikult tähendab see, et peame ühendama kõik tehtud arvutused üheks kombinatsiooniks.

Näide

Segate standardse 52 kaardist koosneva paki ja tõmbate kaks kaarti. Kui suur on tõenäosus, et võtate paari välja? Selle tõenäosuse arvutamiseks on mitu võimalust, kuid kõige lihtsam on võib-olla järgmine: kui suur on tõenäosus, et pärast ühe kaardi tõmbamist ei saa te paari tõmmata? See tõenäosus on null, seega pole tegelikult vahet, millise esimese kaardi tõmbate, kui see sobib teise kaardiga. Pole tähtis, millise kaardi me esimesena tõmbame, meil on siiski võimalus paar tõmmata. Seetõttu on paari väljavõtmise tõenäosus pärast esimese kaardi väljavõtmist 100%.

Kui suur on tõenäosus, et teine ​​kaart sobib esimesega? Pakki on jäänud 51 kaarti ja neist 3 vastavad esimesele kaardile (tegelikult oleks see 4 52-st, aga ühe sobiva kaardi eemaldasite juba esimese kaardi tõmbamisel), seega on tõenäosus 1/ 17. Nii et järgmine kord, kui sinu vastas olev tüüp mängib Texas Hold'emi, ütleb ta: „Lahe, veel üks paar? Mul on täna vedanud", teate, et suure tõenäosusega ta blufib.

Mis siis, kui lisame kaks jokkerit, nii et pakis on 54 kaarti ja me tahame teada, milline on paari tõmbamise tõenäosus? Esimene kaart võib olla jokker ja siis on pakis ainult üks sobiv kaart, mitte kolm. Kuidas sel juhul tõenäosust leida? Jagame tõenäosused ja korrutame iga võimaluse.

Meie esimene kaart võib olla jokker või mõni muu kaart. Jokkeri tõmbamise tõenäosus on 2/54, mõne muu kaardi tõmbamise tõenäosus on 52/54. Kui esimene kaart on jokker (2/54), on tõenäosus, et teine ​​kaart sobib esimesega, 1/53. Korrutame väärtused (saame neid korrutada, kuna need on eraldi sündmused ja me tahame, et mõlemad sündmused juhtuksid) ja saame 1/1431 - vähem kui kümnendik protsenti.

Kui tõmbate esimesena mõne teise kaardi (52/54), on teise kaardi sobitamise tõenäosus 3/53. Korrutame väärtused ja saame 78/1431 (veidi rohkem kui 5,5%). Mida me nende kahe tulemusega peale hakkame? Need ei ristu ja me tahame teada igaühe tõenäosust, seega võtame väärtused kokku. Lõpptulemuse saame 79/1431 (ikka umbes 5,5%).

Kui tahtsime vastuse õigsuses kindlad olla, võiksime arvutada kõigi muude võimalike tulemuste tõenäosuse: jokkeri tõmbamine ja teise kaardi mittesobimine või mõne muu kaardi tõmbamine ja teise kaardi mittevastavuse puudumine. Kui need tõenäosused ja võidu tõenäosus kokku võtta, saaksime täpselt 100%. Ma ei anna siin matemaatikat, kuid võite proovida matemaatikat, et kontrollida.

Monty Halli paradoks

See toob meid üsna tuntud paradoksi, mis ajab paljud sageli segadusse, Monty Halli paradoksini. Paradoks on oma nime saanud telesaate Let's Make a Deal saatejuhi järgi, kes pole seda telesaadet näinud, ütlen, et see oli The Price Is Right vastand.

Filmis The Price Is Right on saatejuht (varem Bob Barker, nüüd Drew Carey? Pole tähtis) teie sõber. Ta tahab, et sa võidaksid raha või lahedaid auhindu. See püüab anda teile kõik võimalused võitmiseks, kui suudate arvata, kui palju sponsoreeritud esemed tegelikult väärt on.

Monty Hall käitus teisiti. Ta oli nagu Bob Barkeri kuri kaksik. Tema eesmärk oli muuta sind rahvustelevisioonis idioodiks. Kui sa olid saates, oli ta sinu vastane, sa mängisid tema vastu ja koefitsiendid olid tema kasuks. Võib-olla olen ma liiga karm, aga vaadates etendust, millesse satute tõenäolisemalt, kui kannate naeruväärset kostüümi, siis just sellele ma tulen.

Üks etenduse kuulsamaid meeme oli selline: teie ees on kolm ust, uks number 1, uks number 2 ja uks number 3. Ühe ukse saad valida tasuta. Neist ühe taga on uhke auhind – näiteks uus auto. Ülejäänud kahe ukse taga pole auhindu, mõlemal pole väärtust. Need peaksid sind alandama, nii et nende taga pole mitte midagi, vaid midagi rumalat, näiteks kits või tohutu hambapastatuub – kõike muud kui uus auto.

Valite ühe ustest, Monty hakkab selle kohe avama, et anda teile teada, kas võitsite või mitte... aga oodake. Enne kui saame teada, vaatame ühte neist ustest, mida te ei valinud. Monty teab, millise ukse taga auhind on, ja ta suudab alati avada ukse, mille taga pole auhinda. “Kas valite ukse number 3? Seejärel avame ukse number 1, et näidata, et selle taga pole auhinda." Ja nüüd pakub ta suuremeelsusest teile võimalust vahetada valitud uks number 3 selle vastu, mis on ukse number 2 taga.

Siinkohal kerkib küsimus tõenäosusest: kas see võimalus suurendab või vähendab seda või jääb muutumatuks? Kuidas sa arvad?

Õige vastus: võimalus valida mõni muu uks suurendab võiduvõimalust 1/3-lt 2/3-le. See on ebaloogiline. Kui te pole selle paradoksiga varem kokku puutunud, siis suure tõenäosusega mõtlete: oot, kuidas on: ühe ukse avades muutsime võluväel tõenäosust? Nagu nägime kaartide näites, juhtub see täpselt nii, kui saame rohkem teavet. Ilmselgelt, kui valite esimest korda, on võidu tõenäosus 1/3. Kui üks uks avaneb, ei muuda see esimese valiku võidu tõenäosust sugugi: tõenäosus on ikkagi 1/3. Aga tõenäosus, et teine ​​uks on õige, on nüüd 2/3.

Vaatame seda näidet teisest küljest. Sina valid ukse. Võidutõenäosus on 1/3. Soovitan teil vahetada kaks ülejäänud ust, mida Monty Hall teebki. Muidugi avab ta ühe ukse, et näidata, et selle taga pole auhinda, kuid ta saab seda alati teha, nii et see ei muuda tegelikult midagi. Loomulikult soovite valida teistsuguse ukse.

Kui te ei saa küsimusest päris hästi aru ja vajate veenvamat selgitust, klõpsake sellel lingil, et avada suurepärane väike Flash-rakendus, mis võimaldab teil seda paradoksi üksikasjalikumalt uurida. Võite alustada umbes 10 uksega ja seejärel liikuda järk-järgult kolme uksega mänguni. Samuti on olemas simulaator, kus saate mängida suvalise arvu ustega 3 kuni 50 või käivitada mitu tuhat simulatsiooni ja vaadata, mitu korda võidaksite, kui mängiksite.

Vali üks kolmest uksest – võidu tõenäosus on 1/3. Nüüd on teil kaks strateegiat: muuta valikut pärast vale ukse avamist või mitte. Kui te oma valikut ei muuda, jääb tõenäosuseks 1/3, kuna valik on alles esimeses etapis ja peate kohe ära arvama. Kui muudate, siis võite võita, kui valite esmalt vale ukse (siis avavad nad teise vale, jääb õige - otsust muutes, lihtsalt võtate selle). Tõenäosus, et valite alguses vale ukse, on 2/3 – seega selgub, et oma otsust muutes kahekordistate võidu tõenäosust.

Märkus õpetajalt kõrgem matemaatika ja mängutasakaalu spetsialist Maxim Soldatov - loomulikult polnud Schreiberil teda, kuid ilma temata sellest aru saama maagiline transformatsioon piisavalt raske

Monty Halli paradoksi uuesti külastamine

Mis puudutab etendust ennast, siis isegi kui Monty Halli rivaalid polnud matemaatikas head, oskas ta seda hästi. Siin on see, mida ta tegi, et mängu veidi muuta. Kui valisite ukse, mille taga auhind oli, siis 1/3 tõenäosusega pakkus ta teile alati võimalust valida mõni muu uks. Valite auto ja vahetate selle kitse vastu ja näete üsna rumal välja – just seda vajate, sest Hall on omamoodi kuri tüüp.

Aga kui valite ukse, millel pole auhinda, siis ta pakub teile ainult poole ajast teist ust või lihtsalt näitab teie uut kitse ja te lahkute lavalt. Analüüsime seda uus mäng, kus Monty Hall saab otsustada, kas pakkuda teile võimalust valida mõni muu uks või mitte.

Oletame, et ta järgib seda algoritmi: kui valite auhinnaga ukse, pakub ta teile alati võimalust valida mõni muu uks, vastasel juhul pakub ta teile sama suure tõenäosusega teise ukse valimist või kinkib teile kitse. Kui suur on teie võidu tõenäosus?

Ühes kolmest variandist valite kohe ukse, mille taga auhind asub, ja saatejuht kutsub teist valima.

Ülejäänud kahest võimalusest kolmest (valid esialgu ukse ilma auhinnata) pooltel juhtudel pakub võõrustaja sulle otsust muuta ja teisel poolel mitte.

Pool 2/3-st on 1/3 ehk ühel juhul kolmest saad kitse, ühel juhul kolmest valid vale ukse ja peremees pakub sulle teise valida ja sisse ühel juhul kolmest valite teie õige ukse, kuid tema pakub jälle teist.

Kui mängujuht pakub välja teise ukse valida, siis me juba teame, et üks kolmest juhtumist, kui ta annab meile kitse ja me lahkume, ei juhtunud. See kasulikku teavet: see tähendab, et meie võiduvõimalused on muutunud. Kaks kolmest juhtumist, kus meil on valida: ühel juhul tähendab see seda, et arvasime õigesti ja teisel juhul, et arvasime valesti, nii et kui meile üldse valikut pakutaks, on meie võidu tõenäosus 1 /2 , ja matemaatiliselt pole vahet, kas jääd oma valiku juurde või valid mõne muu ukse.

Nagu pokker, on see psühholoogiline, mitte matemaatiline mäng. Miks Monty teile valikut pakkus? Kas ta arvab, et sa oled lihtlabane, kes ei tea, et teise ukse valimine on “õige” otsus ja hoiab kangekaelselt oma valikust kinni (jutu on psühholoogiliselt keerulisem, kui valid auto ja siis kaotad selle) ?

Või pakub ta, otsustades, et olete tark ja valite teise ukse, teile seda võimalust, sest ta teab, et arvasite alguses õigesti ja kukkusite konksu otsa? Või on ta ebaloomulikult lahke ja sunnib sind tegema midagi kasulikku, sest ta pole ammu autosid kinkinud ja produtsendid ütlevad, et publikul hakkab igav ning parem oleks ruttu suur auhind välja anda, et kas reitingud langesid?

Seega õnnestub Montyl vahel valikut pakkuda, samas kui üldine võidutõenäosus jääb võrdseks 1/3-ga. Pidage meeles, et tõenäosus, et kaotate kohe, on 1/3. On 1/3 tõenäosus, et arvate kohe ära ja 50% nendest kordadest võidate (1/3 x 1/2 = 1/6).

Tõenäosus, et arvad alguses valesti, kuid siis on võimalus valida mõni muu uks, on 1/3 ja pooltel juhtudel võidad (samuti 1/6). Liitke kaks sõltumatut võiduvõimalust ja saate tõenäosuseks 1/3, seega pole vahet, kas jääte oma valiku juurde või valite mõne muu ukse – teie võidu kogutõenäosus kogu mängu jooksul on 1/3.

Tõenäosus ei muutu suuremaks kui olukorras, kus arvasite ära ukse ja peremees näitas teile lihtsalt, mis selle taga on, pakkumata teist valida. Ettepaneku mõte pole mitte tõenäosust muuta, vaid otsustamisprotsessi telerivaatamise jaoks lõbusamaks muuta.

Muide, see on üks põhjusi, miks pokker võib olla nii huvitav: enamikes vormingutes voorude vahel, panuste tegemisel (näiteks Texas Hold'emis flop, turn ja river) paljastatakse kaardid järk-järgult, ja kui mängu alguses on sul üks võimalus võita, siis pärast iga panustamisvooru, kui rohkem kaarte on lahti, muutub see tõenäosus.

Poisi ja tüdruku paradoks

See toob meid teise tuntud paradoksini, mis kipub kõiki hämmeldama, poisi-tüdruku paradoksini. Ainuke asi, millest ma täna kirjutan, mis pole otseselt mängudega seotud (kuigi pean vist lihtsalt sundima sobiva mängumehaanika loomiseks). See on rohkem mõistatus, kuid huvitav ja selle lahendamiseks peate mõistma tingimuslikku tõenäosust, millest me eespool rääkisime.

Ülesanne: Mul on sõber kahe lapsega, vähemalt üks neist on tüdruk. Kui suur on tõenäosus, et ka teine ​​laps on tüdruk? Oletame, et igas peres on tüdruku ja poisi sünni tõenäosus 50/50 ja see kehtib iga lapse kohta.

Tegelikult on mõnel mehel spermas rohkem X- või Y-kromosoomiga spermatosoide, mistõttu on tõenäosus veidi erinev. Kui teate, et üks laps on tüdruk, on teise tüdruku saamise võimalus veidi suurem ja on ka muid haigusi, näiteks hermafroditism. Kuid selle probleemi lahendamiseks me seda ei arvesta ja eeldame, et lapse sünd on iseseisev sündmus ning poisi ja tüdruku sünd on võrdselt tõenäoline.

Kuna me räägime 1/2 võimalusest, eeldame intuitiivselt, et vastus on 1/2 või 1/4 või mõni muu kahe kordne nimetajas. Aga vastus on 1/3. Miks?

Sel juhul on raskuseks see, et meie käsutuses olev teave vähendab võimaluste arvu. Oletame, et vanemad on Sesame Streeti fännid ja olenemata laste soost panid neile nimeks A ja B. Tavatingimustes on neli võrdselt tõenäolist võimalust: A ja B on kaks poissi, A ja B on kaks tüdrukut, A on poiss ja B on tüdruk, A on tüdruk ja B on poiss. Kuna me teame, et vähemalt üks laps on tüdruk, võime välistada, et A ja B on kaks poissi. Nii et meil on kolm võimalust – endiselt võrdselt tõenäoline. Kui kõik võimalused on võrdselt tõenäolised ja neid on kolm, siis on igaühe tõenäosus 1/3. Ainult ühes neist kolmest variandist on mõlemad lapsed tüdrukud, seega on vastus 1/3.

Ja jälle poisi ja tüdruku paradoksist

Probleemi lahendus muutub veelgi ebaloogilisemaks. Kujutage ette, et mu sõbral on kaks last ja üks neist on teisipäeval sündinud tüdruk. Oletame, et tavatingimustes sünnib laps võrdselt igal seitsmel nädalapäeval. Kui suur on tõenäosus, et ka teine ​​laps on tüdruk?

Võib arvata, et vastus on ikkagi 1/3: mida tähendab teisipäev? Kuid sel juhul veab intuitsioon meid alt. Vastus on 13/27, mis pole lihtsalt mitte intuitiivne, vaid väga kummaline. Milles on antud juhul asi?

Tegelikult muudab teisipäev tõenäosust, sest me ei tea, milline laps sündis teisipäeval või võib-olla sündisid mõlemad teisipäeval. Sel juhul kasutame sama loogikat: loeme kõik võimalikud kombinatsioonid, kui vähemalt üks laps on teisipäeval sündinud tüdruk. Nagu eelmises näites, oletame, et lastele on pandud nimed A ja B. Kombinatsioonid näevad välja järgmised:

• A on teisipäeval sündinud tüdruk, B on poiss (selles olukorras on 7 võimalust, üks iga nädalapäeva kohta, mil oleks võinud sündida poiss).
• B - tüdruk, kes sündis teisipäeval, A - poiss (samuti 7 võimalust).
• A on tüdruk, kes sündis teisipäeval, B on tüdruk, kes sündis erineval nädalapäeval (6 võimalust).
• B - teisipäeval sündinud tüdruk, A - teisipäeval mittesündinud tüdruk (samuti 6 tõenäosust).
• A ja B on kaks tüdrukut, kes sündisid teisipäeval (1 võimalus, peate sellele tähelepanu pöörama, et mitte kaks korda lugeda).

Teeme kokkuvõtte ja saame 27 erinevat võrdselt võimalikku kombinatsiooni laste sünnist ja päevadest, kus on vähemalt üks võimalus, et tüdruk sünnib teisipäeval. Neist 13 võimalust on siis, kui sünnib kaks tüdrukut. See näeb ka täiesti ebaloogiline välja – paistab antud ülesanne leiutati ainult esile kutsumiseks peavalu. Kui olete endiselt hämmingus, on mänguteoreetik Jesper Juhli veebisaidil selle kohta hea selgitus.

Kui töötate praegu mõne mängu kallal

Kui teie kujundatavas mängus on juhuslikkust, on see suurepärane võimalus seda analüüsida. Valige mis tahes element, mida soovite analüüsida. Kõigepealt küsige endalt, milline on teie arvates antud elemendi tõenäosus mängu kontekstis.

Näiteks kui teete RPG-d ja mõtlete sellele, kui tõenäoline peaks olema, et mängija võidab lahingus koletise, küsige endalt, milline võiduprotsent teile õige tundub. Tavaliselt saavad mängijad konsooli RPG-de puhul kaotuse korral väga ärritunud, seega on parem, kui nad kaotavad harva – 10% juhtudest või vähem. Kui olete RPG-disainer, teate ilmselt paremini kui mina, kuid teil on vaja põhiidee milline peaks olema tõenäosus.

Seejärel küsige endalt, kas teie tõenäosused on sõltuvad (nagu kaartide puhul) või sõltumatud (nagu täringutega). Arutage kõiki võimalikke tulemusi ja nende tõenäosusi. Veenduge, et kõigi tõenäosuste summa on 100%. Ja muidugi võrrelge oma tulemusi ootustega. Kas on võimalik täringut veeretada või kaarte joonistada nii, nagu soovid, või on selge, et väärtusi tuleb korrigeerida. Ja muidugi, kui leiate vigu, saate samade arvutuste abil määrata, kui palju peate väärtusi muutma.

Kodutöö

Selle nädala "kodutöö" aitab sul lihvida oma tõenäosusoskusi. Siin on kaks täringumängu ja kaardimäng, mida tuleb tõenäosuse abil analüüsida, samuti üks imelik mängumehaanik, mille kunagi välja töötasin ja mille peal Monte Carlo meetodit testida.

Mäng nr 1 – Dragon Bones

See on täringumäng, mille me kolleegidega kunagi välja mõtlesime (tänu Jeb Havensile ja Jesse Kingile) – see ajab oma tõenäosustega meelega pähe. See on lihtne kasiinomäng nimega "Dragon Dice" ja see on hasartmängu täringuvõistlus mängija ja ettevõtte vahel.

Sulle antakse tavaline 1d6 täring. Mängu eesmärk on veeretada maja omast suurem number. Tomile antakse ebastandardne 1d6 – sama, mis sinu oma, kuid selle ühele näole ühe asemel – draakoni kujutis (seega on kasiinol draakoni 2-3-4-5-6 täring). Kui asutus saab draakoni, võidab see automaatselt ja teie kaotate. Kui mõlemad saavad sama numbri, on viik ja te viskate täringut uuesti. Võidab see, kes veeretab suurima numbri.

Kõik ei ole muidugi täielikult mängija kasuks, sest kasiinol on eelis draakoni näo näol. Aga kas see on tõesti nii? See on see, mida peate arvutama. Kuid kõigepealt kontrollige oma intuitsiooni.

Oletame, et võit on 2:1. Nii et kui võidad, hoiad oma panust ja saad topeltsumma. Näiteks kui panustate 1 dollari ja võidate, jätate selle dollari alles ja saate lisaks veel 2 dollarit, kokku 3 dollarit. Kui kaotate, kaotate ainult oma panuse. Kas sa mängiksid? Kas tunnete intuitiivselt, et tõenäosus on suurem kui 2:1 või arvate siiski, et see on väiksem? Teisisõnu, kas loodate keskmiselt üle 3 mängu võita rohkem kui ühe, vähem või ühe korra?

Kui olete oma intuitsiooni teelt välja saanud, rakendage matemaatikat. Mõlema täringu jaoks on ainult 36 võimalikku positsiooni, nii et saate need kõik hõlpsalt üles lugeda. Kui te pole selles 2-1 pakkumises kindel, kaaluge järgmist: Oletame, et mängisite mängu 36 korda (iga kord panustate 1 dollariga). Iga võidu eest saate 2 dollarit, iga kaotuse eest kaotate 1 dollari ja viik ei muuda midagi. Lugege kokku kõik oma tõenäolised võidud ja kaotused ning otsustage, kas kaotate mõned dollarid või võidate. Seejärel küsi endalt, kui õigeks su intuitsioon osutus. Ja siis saan aru, milline kaabakas ma olen.

Ja jah, kui olete sellele küsimusele juba mõelnud – ajasin teid meelega segadusse, moonutades täringumängude tegelikku mehaanikat, kuid olen kindel, et saate sellest takistusest üle hea mõttega. Proovige see probleem ise lahendada.

Mäng nr 2 – Roll of Luck

See hasartmängud Lucky Roll nimelises täringus (ka Birdcage, sest vahel täringut ei veeretata, vaid pannakse suurde traatpuuri, mis meenutab Bingost pärit puuri). Mäng on lihtne, põhimõtteliselt taandub see järgmisele: panusta näiteks 1 dollar numbrile 1 kuni 6. Seejärel viskad 3d6. Iga täringu eest, mis tabab teie numbrit, saate 1 dollari (ja säilitate oma esialgse panuse). Kui teie number ei lange ühelegi täringule, saab kasiino teie dollari ja teie ei saa midagi. Nii et kui panustate 1-le ja saate kolm korda 1, saate 3 dollarit.

Intuitiivselt tundub, et selles mängus on võimalused võrdsed. Iga täring on individuaalne võiduvõimalus 1:6, seega on teie võiduvõimalus kolmel viskel 3 kuni 6. Kuid pidage muidugi meeles, et virnastate kolm erinevat täringut ja teil on lubatud lisada ainult siis, kui oleme räägime sama täringu erinevatest võidukombinatsioonidest. Midagi, mida peate korrutama.

Kui olete kõik võimalikud tulemused välja arvutanud (tõenäoliselt on seda lihtsam Excelis teha kui käsitsi, neid on 216), tundub mäng esmapilgul ikkagi paaris-veider. Tegelikult on kasiino võidu tõenäosus ikkagi suurem – kui palju rohkem? Täpsemalt, kui palju raha loodate keskmiselt mänguvoorus kaotada?

Kõik, mida pead tegema, on liita kõigi 216 tulemuse võidud ja kaotused ning seejärel jagada 216-ga, mis peaks olema üsna lihtne. Kuid nagu näete, on mõned lõksud, millesse võite sattuda, mistõttu ma ütlen, et kui arvate, et selles mängus on ühtlane võiduvõimalus, olete valesti aru saanud.

Mäng nr 3 – 5 Card Stud

Kui olete eelmiste mängudega juba soojenduse teinud, kontrollime seda kaardimängu näitel, mida teame tingimusliku tõenäosuse kohta. Kujutagem ette pokkerit 52 kaardipakiga. Kujutagem ette ka 5 card studi, kus iga mängija saab ainult 5 kaarti. Ei saa kaarti ära visata, ei saa uut tõmmata, pole ühist pakki – saad ainult 5 kaarti.

Kuninglik masti on ühes kombinatsioonis 10-J-Q-K-A, neid on kokku neli, seega on neli võimalikud viisid saada ROYAL FLUSH. Arvutage tõenäosus, et saate ühe neist kombinatsioonidest.

Mul on teid hoiatada ühe asja eest: pidage meeles, et saate need viis kaarti tõmmata mis tahes järjekorras. See tähendab, et alguses võite tõmmata ässa või kümne, see pole oluline. Seega pidage oma arvutusi tehes meeles, et kuningliku masti saamiseks on tegelikult rohkem kui neli võimalust, eeldades, et kaardid jagati järjekorras.

Mäng nr 4 – IMFi loterii

Neljandat ülesannet ei ole nii lihtne lahendada meetodite abil, millest me täna rääkisime, kuid saate olukorda hõlpsasti simuleerida programmeerimise või Exceli abil. Selle probleemi näitel saate välja töötada Monte Carlo meetodi.

Mainisin varem mängu Chron X, mille kallal kunagi töötasin, ja seal oli üks väga huvitav kaart- IMFi loterii. See toimis järgmiselt: kasutasite seda mängus. Pärast vooru lõppu jagati kaardid ümber ja oli 10% tõenäosus, et kaart jääb mängust välja ja juhuslik mängija saab 5 igat tüüpi ressurssi, millel oli sellel kaardil märk. Kaart pandi mängu ilma ühegi märgita, kuid iga kord, kui see järgmise vooru alguses mängu jäi, sai see ühe märgi.

Seega oli 10% tõenäosus, et paned selle mängu, voor lõppeb, kaart lahkub mängust ja keegi ei saa midagi. Kui seda ei juhtu (90% tõenäosusega), on 10% tõenäosus (tegelikult 9%, kuna see on 10% 90%), et ta lahkub mängust järgmises voorus ja keegi saab 5 ressurssi. Kui kaart lahkub mängust pärast ühte vooru (10% saadaolevast 81% -st, seega on tõenäosus 8,1%), saab keegi 10 ühikut, teine ​​​​voor - 15, teine ​​​​20 jne. Küsimus: kui suur on eeldatavasti sellelt kaardilt saadavate ressursside arv, kui see lõpuks mängust lahkub?

Tavaliselt proovime seda probleemi lahendada, arvutades iga tulemuse tõenäosuse ja korrutades selle kõigi tulemuste arvuga. On 10% tõenäosus, et saate 0 (0,1 * 0 = 0). 9%, et saate 5 ühikut ressursse (9% * 5 = 0,45 ressurssi). 8,1% sellest, mida saate, on 10 (8,1% * 10 = 0,81 ressurssi – üldiselt eeldatav väärtus). Ja nii edasi. Ja siis võtame kõik kokku.

Ja nüüd on probleem teie jaoks ilmselge: alati on võimalus, et kaart ei lahku mängust, see võib jääda mängu igaveseks, lõpmatu arvu voorude jaoks, nii et tõenäosust pole võimalik arvutada. Täna õpitud meetodid ei võimalda meil arvutada lõpmatut rekursiooni, seega peame selle kunstlikult looma.

Kui olete programmeerimises piisavalt hea, kirjutage programm, mis simuleerib seda kaarti. Teil peaks olema ajasilmus, mis toob muutuja nulli algpositsiooni, näitab juhuslikku arvu ja 10% tõenäosusega muutuja väljub tsüklist. Vastasel juhul lisab see muutujale 5 ja tsükkel kordub. Kui see lõpuks tsüklist väljub, suurendage proovikäibete koguarvu 1 võrra ja ressursside koguarvu (kui palju sõltub muutuja peatumise kohast). Seejärel lähtestage muutuja ja alustage otsast peale.

Käivitage programm mitu tuhat korda. Lõpuks jagage koguressursid käituste koguarvuga – see on teie eeldatav Monte Carlo meetodi väärtus. Käivitage programm mitu korda, veendumaks, et saadud numbrid on ligikaudu samad. Kui vahe on endiselt suur, suurenda korduste arvu välimises silmuses, kuni hakkad tikke saama. Võite olla kindel, et kõik numbrid, milleni jõuate, on ligikaudu õiged.

Kui olete programmeerimises uus (isegi kui olete), on siin väike harjutus oma Exceli oskuste testimiseks. Kui olete mängudisainer, ei lähe need oskused kunagi üleliigseks.

Nüüd on funktsioonid if ja rand teile väga kasulikud. Rand ei nõua väärtusi, see loob lihtsalt juhusliku kümnendarvu vahemikus 0 kuni 1. Tavaliselt kombineerime selle põranda ning plusside ja miinustega, et simuleerida matriitsi veeremist, mida ma varem mainisin. Kuid sel juhul jätame 10% võimaluse, et kaart lahkub mängust, nii et saame lihtsalt kontrollida, kas rand on väiksem kui 0,1, ja mitte enam selle pärast muretseda.

Kui sellel on kolm väärtust. Järjekorras tingimus, mis on tõene või mitte, siis väärtus, mis tagastatakse, kui tingimus on tõene, ja väärtus, mis tagastatakse, kui tingimus on väär. Seega tagastab järgmine funktsioon 5% ajast ja 0 ülejäänud 90% ajast: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Selle käsu määramiseks on palju võimalusi, kuid ma kasutaksin seda valemit lahtri jaoks, mis esindab esimest ringi, oletame, et see on lahter A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

Siin kasutan negatiivset muutujat, mis tähendab "see kaart pole mängust lahkunud ega andnud veel ressursse". Nii et kui esimene ring on läbi ja kaart on mängust väljas, on A1 0; muidu on -1.

Järgmise lahtri jaoks, mis esindab teist vooru: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Nii et kui esimene voor lõpeb ja kaart kohe mängust lahkub, on A1 0 (ressursside arv) ja see lahter lihtsalt kopeerib selle väärtuse. Vastasel juhul on A1 -1 (kaart pole veel mängust lahkunud) ja see lahter jätkab juhuslikku liikumist: 10% ajast tagastab see 5 ühikut ressursse, ülejäänud aja on selle väärtus endiselt - 1. Kui rakendame seda valemit täiendavatele lahtritele, saame lisaringe ja ükskõik millisesse lahtrisse jõuate, saate lõpptulemuse (või -1, kui kaart ei ole pärast kõiki teie mängitud voorusid mängust lahkunud).

Võtke see lahtririda, mis on selle kaardiga ainus voor, ning kopeerige ja kleepige paarsada (või tuhat) rida. Võib-olla ei saa me Exceli jaoks lõputut testi teha (tabelis on piiratud arv lahtreid), kuid vähemalt saame enamiku juhtudest katta. Seejärel vali üks lahter, kuhu paned kõigi voorude tulemuste keskmise – Excel pakub selleks lahkesti funktsiooni medium().

Windowsis saate kõigi juhuslike arvude ümberarvutamiseks vajutada vähemalt klahvi F9. Nagu varemgi, tehke seda paar korda ja vaadake, kas saate samad väärtused. Kui vahe on liiga suur, kahekordistage jooksude arvu ja proovige uuesti.

Lahendamata probleemid

Kui sul juhtub olema tõenäosusteooria kõrgharidus ja ülaltoodud ülesanded tunduvad sulle liiga lihtsad - siin on kaks ülesannet, mille kallal olen juba aastaid kukalt kratsinud, aga paraku pole ma matemaatikas nii osav, et neid lahendada.

Lahendamata probleem nr 1: IMFi loterii

Esimene lahendamata probleem on eelmine kodutöö. Saan hõlpsasti kasutada Monte Carlo meetodit (kasutades C++ või Excelit) ja olla kindel vastuses küsimusele "kui palju ressursse mängija saab", kuid ma ei tea täpselt, kuidas matemaatiliselt täpset tõestatavat vastust anda (see on lõpmatu seeria).

Lahendamata probleem nr 2: kujundite järjestused

Selle ülesande (see läheb ka palju kaugemale siin blogis lahendatavatest ülesannetest) viskas mulle tuttav mängumees üle kümne aasta tagasi. Vegases blackjacki mängides märkas ta üht huvitavat omadust: 8-pakist kingast kaarte tõmmates nägi ta kümmet tükki järjest (nupp või näokaart on 10, Joker, King või Queen, seega on neid kokku 16 standardpakis 52 kaarti või 128 kaarti 416 kaardiga kingas).

Kui suur on tõenäosus, et selles kingas on vähemalt üks kümnest või enamast tükist koosnev jada? Oletame, et need segati ausalt, juhuslikus järjekorras. Või kui eelistate, siis kui suur on tõenäosus, et kümnest või enamast kujundist koosnev jada pole kuskil?

Saame ülesannet lihtsustada. Siin on 416 osast koosnev jada. Iga osa on 0 või 1. Kogu jadas on juhuslikult hajutatud 128 ühte ja 288 nulli. Mitu võimalust on 128 ühe 288 nulliga juhuslikult vahele jätmiseks ja mitu korda on sel viisil vähemalt üks kümnest või enamast ühest koosnev rühm?

Iga kord, kui ma seda probleemi lahendama asusin, tundus see mulle lihtne ja enesestmõistetav, kuid niipea, kui ma detailidesse süvenesin, lagunes see ootamatult ja tundus lihtsalt võimatu.

Nii et ärge kiirustage vastust välja ütlema: istuge maha, mõelge hoolikalt, uurige tingimusi, proovige ühendada reaalarvud, sest kõik inimesed, kellega ma sellest probleemist rääkisin (sealhulgas mitmed sellel alal töötavad magistrandid), reageerisid palju. samamoodi: "See on täiesti ilmne... oh ei, oota, see pole üldse ilmne." Seda juhul, kui mul pole kõigi valikute arvutamise meetodit. Muidugi võin ma probleemi toores jõuga läbi arvutialgoritmi teha, kuid palju huvitavam oleks leida selle lahendamise matemaatiline viis.

Ülesanded jaoks täringu tõenäosus mitte vähem populaarne kui mündiviskamise probleemid. Sellise ülesande tingimus kõlab tavaliselt järgmiselt: kui heidetakse üks või mitu täringut (2 või 3), kui suur on tõenäosus, et punktide summa on 10 või punktide arv on 4, või siis, kui visatakse üks või mitu täringut (2 või 3). punktide arv või jagub 2-ga punktide arvu korrutis jne.

Klassikalise tõenäosusvalemi rakendamine on seda tüüpi ülesannete lahendamise peamine meetod.

Üks surm, tõenäosus.

Ühe täringuga on olukord üsna lihtne. määratakse valemiga: P=m/n, kus m on sündmuse soodsate tulemuste arv ja n on täringu või täringu viskamise katse kõigi elementaarsete võrdselt võimalike tulemuste arv.

Ülesanne 1. Täringut visatakse üks kord. Kui suur on tõenäosus saada paarisarv punkte?

Kuna täring on kuubik (või seda nimetatakse ka tavaliseks täringuks, kukub kuubik võrdse tõenäosusega kõikidele tahkudele, kuna see on tasakaalus), on täringul 6 tahku (punktide arv 1 kuni 6, mis on tavaliselt tähistatud punktidega), mis tähendab, et ülesande tulemuste koguarv: n=6. Sündmust soosivad vaid tulemused, mille puhul langeb välja paarispunktidega 2,4 ja 6 nägu, selliste nägude kuubi puhul: m=3. Nüüd saame määrata soovitud täringu tõenäosuse: P=3/6=1/2=0,5.

Ülesanne 2. Täringut visatakse üks kord. Kui suur on tõenäosus saada vähemalt 5 punkti?

Selline probleem lahendatakse analoogia põhjal ülaltoodud näitega. Täringu viskamisel on võrdselt võimalike tulemuste koguarv: n=6 ja ülesande tingimuse rahuldamine (välja langes vähemalt 5 punkti ehk 5 või 6 punkti) ainult 2 tulemust, mis tähendab m =2. Järgmisena leiame soovitud tõenäosuse: P=2/6=1/3=0,333.

Kaks täringut, tõenäosus.

2 täringu viskamise ülesannete lahendamisel on väga mugav kasutada spetsiaalset punktitabelit. Sellel on horisontaalselt joonistatud esimesele täringule langenud punktide arv ja vertikaalselt teisele täringule langenud punktide arv. Töödeldav detail näeb välja selline:

Kuid tekib küsimus, mis jääb tabeli tühjadesse lahtritesse? See sõltub lahendatavast ülesandest. Kui ülesanne on punktide summas, siis kirjutatakse sinna summa ja kui erinevuse kohta, siis kirjutatakse vahe jne.

Ülesanne 3. Korraga visatakse 2 täringut. Kui suur on tõenäosus saada summa, mis on väiksem kui 5 punkti?

Kõigepealt peate välja mõtlema, milline on katse tulemuste koguarv. Kõik oli ilmselge, kui visata ühe täringu 6 tahku – katse 6 tulemust. Aga kui täringut on juba kaks, siis saab võimalikke tulemusi esitada järjestatud arvupaaridena kujul (x, y), kus x näitab, mitu punkti langes esimesele täringule (1 kuni 6), ja y - mitu punkti langes teisele täringule (1-st 6-ni). Kokku saab olema sellised arvupaarid: n=6*6=36 (tulemuste tabelis vastavad neile 36 lahtrit).

Nüüd saate tabelit täita, selleks sisestatakse igasse lahtrisse esimesele ja teisele täringule langenud punktide summa. Täidetud tabel näeb välja selline:

Tänu tabelile selgitame välja sündmust soodustavate tulemuste arvu "langeb kokku alla 5 punkti". Loendame lahtrite arvu, mille summa väärtus on väiksem kui arv 5 (need on 2, 3 ja 4). Mugavuse huvides värvime sellised lahtrid üle, need on m = 6:

Arvestades tabeli andmeid, täringu tõenäosus võrdub: P=6/36=1/6.

Ülesanne 4. Visati kaks täringut. Määrake tõenäosus, et punktide arvu korrutis jagub 3-ga.

Ülesande lahendamiseks teeme tabeli esimesele ja teisele täringule langenud punktide korrutistest. Selles valime kohe arvud, mis on 3-kordsed:

Kirjutame üles katse tulemuste koguarv n=36 (põhjendus on sama, mis eelmises ülesandes) ja soodsate tulemuste arv (tabelis varjutatud lahtrite arv) m=20. Sündmuse tõenäosus on: P=20/36=5/9.

Ülesanne 5. Täringut visatakse kaks korda. Kui suur on tõenäosus, et esimese ja teise täringu punktide arvu vahe jääb 2 ja 5 vahele?

Teha kindlaks täringu tõenäosus Kirjutame üles punktide erinevuste tabeli ja valime sealt need lahtrid, mille erinevuse väärtus jääb vahemikku 2 kuni 5:

Soodsate tulemuste arv (tabelis varjutatud lahtrite arv) võrdub m=10, võrdselt võimalike elementaarsete tulemuste koguarv on n=36. Määrab sündmuse tõenäosuse: P=10/36=5/18.

Lihtsa sündmuse puhul ja 2 täringu viskamisel tuleb ehitada tabel, seejärel valida selles vajalikud lahtrid ja jagada nende arv 36-ga, seda peetakse tõenäosuseks.

Tagasi ette

Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada esitluse kogu ulatust. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

Pedagoogilised tehnoloogiad: Selgitava-illustreeritud õppe tehnoloogia, arvutitehnoloogia, õpilasekeskne lähenemine õppimisele, tervist säästvad tehnoloogiad.

Tunni tüüp: õppetund uute teadmiste omandamisel.

Kestus: 1 õppetund.

Hinne: 8. klass.

Tunni eesmärgid:

Õpetused:

• korrata sündmuse tõenäosuse leidmise valemi rakendamise oskusi ja õpetada seda rakendama täringuülesannetes;
• juhtida ülesannete lahendamisel tõenduspõhist arutluskäiku, hinnata arutluse loogilist õigsust, tunda ära loogiliselt ebaõiget arutlust.

Arendamine:

• arendada teabe otsimise, töötlemise ja esitamise oskusi;
• arendada oskust võrrelda, analüüsida, teha järeldusi;
• arendada vaatlus- ja suhtlemisoskust.

Hariduslik:

• kasvatada tähelepanelikkust, visadust;
• kujundada arusaam matemaatika tähtsusest ümbritseva maailma tundmise viisina.

Tunni varustus: arvuti, multimeedia, markerid, mimio kopeerimisseade (või interaktiivne tahvel), ümbrik (selles on praktilise töö ülesanne, kodutöö, kolm kaarti: kollane, roheline, punane), täringumudelid.

Tunniplaan

Aja organiseerimine.

Eelmises tunnis tutvusime klassikalise tõenäosuse valemiga.

Juhusliku sündmuse A toimumise tõenäosus P on suhe m ja n, kus n on katse kõigi võimalike tulemuste arv ja m on kõigi soodsate tulemuste arv.

Valemiks on Laplace’i järgi nn klassikaline tõenäosuse definitsioon, mis pärines hasartmängude valdkonnast, kus võiduväljavaate määramisel kasutati tõenäosusteooriat. Seda valemit kasutatakse katsete jaoks, millel on piiratud arv võrdselt võimalikke tulemusi.

Sündmuse tõenäosus = soodsate tulemuste arv / kõigi võrdselt võimalike tulemuste arv

Seega on tõenäosus arv vahemikus 0 kuni 1.

Tõenäosus on 0, kui sündmus on võimatu.

Tõenäosus on 1, kui sündmus on kindel.

Lahendame ülesande suuliselt: Raamaturiiulis on 20 raamatut, neist 3 on teatmeteosed. Kui suur on tõenäosus, et riiulilt võetud raamat ei ole teatmeteos?

Lahendus:

Võrdselt tõenäoliste tulemuste koguarv on 20

Soodsate tulemuste arv - 20 - 3 = 17

Vastus: 0,85.

2. Uute teadmiste saamine.

Ja nüüd pöördume tagasi meie õppetunni teema juurde: “Sündmuste tõenäosus”, kirjutame sellele oma märkmikusse alla.

Tunni eesmärk: õppida lahendama ülesandeid täringu või 2 täringu viskamisel tõenäosuse leidmiseks.

Meie tänane teema on seotud täringutega või seda nimetatakse ka täringuks. Täringut tuntakse juba antiikajast. Täringumäng on üks vanemaid, esimesed täringu prototüübid leiti Egiptusest ja need pärinevad 20. sajandist eKr. e. Variante on palju, alates lihtsatest (võidab see, kes kõige rohkem punkte veeretab) kuni keerukateni, milles saab kasutada erinevaid mängu taktikaid.

Vanimad luud pärinevad 20. sajandist eKr. e., leitud Teebast. Esialgu olid luud ennustamise vahendiks. Arheoloogiliste väljakaevamiste andmetel mängiti täringut kõikjal maakera kõigis nurkades. Nimi pärineb algmaterjalist – loomaluud.

Vanad kreeklased uskusid, et luud leiutasid nälja eest põgenevad lüüdlased, et vähemalt midagi nende meelt hõivata.

Täringumäng kajastus Vana-Egiptuse, Kreeka-Rooma, Veda mütoloogias. Mainitud Piiblis, Iliases, Odüsseias, Mahabharatas, Veda hümnide kogumikus Rig Veda. Jumalate panteonides oli vähemalt üks jumal täringu kui lahutamatu atribuudi omanik http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

Pärast Rooma impeeriumi langemist levis mäng üle Euroopa, eriti keskajal. Kuna täringuid ei kasutatud mitte ainult mängimiseks, vaid ka ennustamiseks, püüdis kirik korduvalt mängu keelata, selleks mõeldi välja kõige keerukamad karistused, kuid kõik katsed lõppesid ebaõnnestumisega.

Arheoloogilistel andmetel mängiti täringuid ka paganlikus Venemaal. Õigeusu kirik püüdis pärast ristimist mängu välja juurida, kuid lihtrahva seas jäi see populaarseks, erinevalt Euroopast, kus täringutega patustas kõrgeim aadel ja isegi vaimulikud.

Erinevate riikide võimude poolt täringumängule kuulutatud sõda on tekitanud palju erinevaid petunippe.

Valgustusajastul taandus täringukirg järk-järgult, inimestel tekkisid uued hobid, tekkis suurem huvi kirjanduse, muusika ja maalimise vastu. Nüüd pole täringumäng nii laialt levinud.

Tavalised täringud annavad sama võimaluse näo saamiseks. Selleks peavad kõik tahud olema ühesugused: siledad, tasased, sama pindalaga, fileed (kui neid on), augud tuleb puurida sama sügavusega. Vastaskülgede punktide summa on 7.

Tõenäosusteoorias kasutatav matemaatiline täring on tavalise täringu matemaatiline esitus. Matemaatiline luul pole suurust, värvi, kaalu jne.

Kui visatakse mängides luud(kuubik) mis tahes selle kuuest näost võib välja kukkuda, s.t. ükskõik milline sündmused- kaotus 1-lt 6 punktile (punktid). Aga mitte ühtegi kaks ja rohkem nägusid ei saa korraga ilmuda. Sellised sündmused nimetatakse kokkusobimatuks.

Mõelge juhtumile, kui veeretatakse 1 täringut. Teeme numbri 2 tabeli kujul.

Mõelge nüüd juhtumile, kus veeretatakse 2 täringut.

Kui esimesel täringul kukkus välja üks punkt, siis teisel võib välja kukkuda 1, 2, 3, 4, 5, 6. Saame paarid (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4) , (1;5), (1;6) ja nii edasi iga näoga. Kõiki juhtumeid saab esitada 6 rea ja 6 veeruga tabelina:

Elementaarsete sündmuste tabel

Sul on laual ümbrik.

Võtke tööleht ümbrikust.

Nüüd täidate elementaarsete sündmuste tabeli abil praktilise ülesande.

Näidake sündmustele soodsaid sündmusi varjutades:

Ülesanne 1. “Välja kukkus sama palju punkte”;

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Ülesanne 2. “Punktide summa on 7”;

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Ülesanne 3. “Punktide summa ei ole väiksem kui 7”.

Mida tähendab "mitte vähem"? (Vastus on "suurem või võrdne")

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Ja nüüd leiame nende sündmuste tõenäosused, mille jaoks soodsaid sündmusi praktilises töös varjutati.

Kirjutame vihikutesse nr 3

1. harjutus.

Tulemuste koguarv – 36

Vastus: 1/6.

2. ülesanne.

Tulemuste koguarv – 36

Soodsate tulemuste arv – 6

Vastus: 1/6.

3. ülesanne.

Tulemuste koguarv – 36

Soodsate tulemuste arv – 21

P \u003d 21/36 \u003d 7/12.

Vastus: 7/12.

№4. Sasha ja Vlad mängivad täringuid. Kumbki viskab täringut kaks korda. Võidab see, kellel on kokku kõige rohkem punkte. Kui punktid on võrdsed, lõpeb mäng viigiga. Esimesena viskas täringut Sasha, kes viskas 5 punkti ja 3 punkti. Nüüd veeretab Vlad täringuid.

a) Märkige elementaarsündmuste tabelis (varjutatud) elementaarsündmused, mis soosivad sündmust “Vlad võidab”.

b) Leidke sündmuse “Vlad võidab” tõenäosus.

3. Kehaline kasvatus.

Kui üritus on usaldusväärne, plaksutame kõik koos,

Kui sündmus on võimatu - trampime kõik koos,

Kui sündmus on juhuslik - raputage pead / paremale-vasakule

“Korvis on 3 õuna (2 punast, 1 roheline).

Korvist tõmmati välja 3 punast – (võimatu)

Korvist tõmmati välja punane õun – (juhuslikult)

Korvist tõmmati välja roheline õun - (juhuslikult)

Korvist tõmmati välja 2 punast ja 1 roheline – (autentne)

Otsustame järgmise numbri.

Kehtivat täringut visatakse kaks korda. Milline sündmus on tõenäolisem:

V: “Mõlemal korral visati 5 punkti”;

K: “Esimesel korral kukkus välja 2 punkti, teisel 5 punkti”;

S: "Üks veeres 2 punkti, üks veeres 5 punkti"?

Analüüsime sündmust A: tulemuste koguarv on 36, soodsate tulemuste arv on 1 (5; 5)

Analüüsime sündmust B: tulemuste koguarv on 36, soodsate tulemuste arv on 1 (2; 5)

Analüüsime sündmust C: tulemuste koguarv on 36, soodsate tulemuste arv on 2 (2; 5 ja 5; 2)

Vastus: sündmus C.

4. Kodutöö väljavõte.

1. Lõigake skaneering välja, liimige kuubikud. Tooge see järgmisse õppetundi.

2. Soorita 25 viset. Kirjutage tulemused tabelisse: (järgmises õppetükis saate tutvustada sageduse mõistet)

3. Lahendage ülesanne: viska kaks täringut. Arvutage tõenäosus:

a) "Punktide summa on 6";

b) “Punktide summa ei ole väiksem kui 5”;

c) "Esimesel luul on rohkem punkte kui teisel."

Klassikalises definitsioonis on sündmuse tõenäosus defineeritud võrdsusega

kus m - sündmuse A toimumisele vastav elementaarse testi tulemuste arv; n on võimalike elementaartesti tulemuste koguarv. Eeldatakse, et elementaarsed tulemused on üheselt võimalikud ja võrdselt võimalikud.

Sündmuse A suhteline sagedus määratakse võrdsusega

kus m on katsete arv, mille käigus sündmus A toimus; n on tehtud testide koguarv. Statistilises definitsioonis võetakse sündmuse suhtelist sagedust sündmuse tõenäosusena.

Näide 1.1. Visatakse kaks täringut. Leidke tõenäosus, et mahavisatud tahkude punktide summa on paaris ja vähemalt ühe täringu esiküljele ilmub kuus.

Lahendus.“Esimese” täringu mahavisatud näol võib ilmuda üks punkt, kaks punkti, ..., kuus punkti. Samamoodi on "teise" täringu viskamisel võimalik kuus elementaarset tulemust. Iga "esimese" matriitsiviskamise tulemust saab kombineerida iga "teise" matriitsiviske tulemusega. Seega on testi võimalike elementaarsete tulemuste koguarv 6∙6 = 36.

Meid huvitava sündmuse soodsad tulemused (vähemalt ühel näol on kuus, langenud punktide summa on paaris) on järgmised viis tulemust (esimene on punktide arv, mis langesid "esimesele" täringule, teine ​​on punktide arv, mis langesid "teisel" täringul; siis nende punktide summa:

1.6, 2, 6 + 2 = 8,

2.6, 4, 6 + 4 = 10,

3.6, 6, 6 + 6 = 12.

4.2, 6, 2 + 6 = 8,

5.4, 6, 4 + 6 = 10.

Soovitav tõenäosus võrdub sündmust soodustavate tulemuste arvu ja kõigi võimalike elementaarsete tulemuste arvu suhtega:

Ülesanne 1.1Visatakse kaks täringut. Leidke tõenäosus, et langenud tahkude punktide summa on seitse.

Ülesanne 1.2.Visatakse kaks täringut. Leidke järgmiste sündmuste tõenäosus: a) veeretatud punktide summa on võrdne kaheksaga ja vahe on neli, b) veeretatud punktide summa on võrdne kaheksaga, kui on teada, et nende vahe on võrdne neli.

Ülesanne 1.3.Visatakse kaks täringut. Leidke tõenäosus, et langenud tahkude punktide summa on viis ja korrutis neli.

Ülesanne 1.4. Münti visatakse kaks korda ümber. Leidke tõenäosus, et vapp esineb vähemalt korra.

Järgmiseks vaatleme näidet, kui objektide arv suureneb ja sellest tulenevalt suureneb nii elementaarsete tulemuste kui ka soodsate tulemuste koguarv ning nende arv määratakse juba kombinatsiooni- ja paigutusvalemitega.

Näide 1.2 Karbis on 10 ühesugust osa, mis on tähistatud numbritega 1, 2, ..., 10. Juhuslikult võetakse 6 osa. Leidke tõenäosus, et väljavõetud osade hulgas on: a) osa nr 1; b) üksikasjad nr 1 ja nr 2.

Lahendus.Testi võimalike elementaarsete tulemuste koguarv on võrdne viiside (kombinatsioonide) arvuga, mille abil saab 10-st eraldada 6 detaili, s.t. Alates 6 10 .

a) Arvutame välja meid huvitavat sündmust soosivate tulemuste arv: valitud kuue osa hulgas on osa nr 1 ja seetõttu on ülejäänud 5 osa erineva numbriga. Selliste tulemuste arv on ilmselgelt võrdne viisidega, kuidas saab ülejäänud 9-st valida 5 osa, s.o. Alates 5 9 .

Soovitav tõenäosus võrdub vaadeldavat sündmust soodustavate tulemuste arvu ja võimalike elementaarsete tulemuste koguarvu suhtega:

b) meid huvitavat sündmust soodustavate tulemuste arv (valitud kuue üksuse hulgas on üksus nr 1 ja üksus nr 2, seega on ülejäänud 4 üksust erinevad numbrid) võrdub 4 üksuse viiside arvuga saab valida ülejäänud 8 hulgast, s.o. Alates 4 8 .

Soovitud tõenäosus

.

Näide 1.3 . Telefoninumbrit valides unustas abonent kolm viimast numbrit ja, pidades meeles vaid, et need erinevad, valis need juhuslikult. Leidke tõenäosus, et valitakse õiged numbrid.

Lahendus.Võimalike 10-kohaliste elementaarsete kolmeelemendiliste kombinatsioonide koguarv, mis erinevad nii koostiselt kui ka numbrite järjestuse poolest, võrdub 10-kohaliste paigutuste arvuga 3 võrra, s.o. A 3 10 .

.

Soodne tulemus - üks.

Soovitud tõenäosus

Näide 1.4. N osa partiis on n standard. Juhuslikult valitud m üksikasjad. Leidke tõenäosus, et valitud hulgast täpselt k standardsed osad.

Lahendus.Testi võimalike elementaarsete tulemuste koguarv on võrdne väljavõtmisviiside arvuga m osa N osast, st. C m N - kombinatsioonide arv N poolt m.

Arvutagem välja meid huvitavat sündmust soodustavate tulemuste arv (sealhulgas m osa täpselt k standardset): k standardseid osi saab võtta n standardsed osad C k n viisid; samas kui ülejäänud m-k osad peavad olema mittestandardsed: võtke sama m-k mittestandardsed osad alates N–n mittestandardseid osi saab võtta m-kN-n viise. Seetõttu on soodsate tulemuste arv C k n C m - k N - n .

Soovitud tõenäosus on võrdne

Ülesanne 1.5.Poes töötab 6 meest ja 4 naist. Juhuslikult valiti personalinumbrite järgi 7 inimest. Leia tõenäosus, et valitud isikute hulgas on 3 naist.

geomeetrilised tõenäosused

Laske segment lmoodustab osa segmendist L. Segmendi jaoks Ljuhuslik punkt. Kui eeldame, et lõigule langeva punkti tõenäosuslon võrdeline selle lõigu pikkusega ega sõltu selle asukohast segmendi suhtesL, siis tõenäosus, et punkt langeb lõigulelon määratletud võrdsusega

Laske lame kuju g moodustab osa lamedast figuurist G. Joonisel G juhuslikult visatakse täpp. Kui eeldame, et tõenäosus, et visatud punkt tabab kujundit g proportsionaalne selle joonise pindalaga ega sõltu selle asukohast G, ega ka vormist g , siis joonisel punkti tabamise tõenäosus g on määratletud võrdsusega

Samamoodi määratakse tõenäosus, et punkt tabab ruumikujundit v , mis on osa joonisest V :

Näide 1.5 Segmendil L pikkus 20 cm.paigutatud väiksem segment l pikkus 10 cm Leia tõenäosus, et suurele lõigule juhuslikult paigutatud punkt langeb ka väiksemale lõigule.

Lahendus: Kuna tõenäosus, et punkt tabab lõiku, on võrdeline selle pikkusega ega sõltu selle asukohast, kasutame ülaltoodud seost ja leiame:

Näide 1.6 Ringi raadiusega R asetas väikese raadiusega ringi r . Leia tõenäosus, et juhuslikult suurele ringile visatud punkt langeb ka väikesesse ringi.

Lahendus: kuna tõenäosus, et punkt langeb ringi, on võrdeline ringi pindalaga ega sõltu selle asukohast, kasutame ülaltoodud seost ja leiame:

.

Probleem 1.6. Siseringi raadius R juhuslikult visatakse täpp. Leidke tõenäosus, et punkt asub ringi sees, millesse on kirjutatud: a) ruut; b) täisnurkne kolmnurk. Eeldatakse, et tõenäosus, et punkt langeb ringi ossa, on võrdeline selle osa pindalaga ega sõltu selle asukohast ringi suhtes.

Probleem 1.7. Kiiresti pöörlev ketas on jagatud paarisarvuks võrdseteks sektoriteks, mis on vaheldumisi valged ja mustad. Ketta pihta tulistati lask. Leidke tõenäosus, et kuul tabab mõnda valget sektorit. Eeldatakse, et tasapinnalise kuju tabamise tõenäosus on võrdeline selle kujundi pindalaga.

Tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreemid

KOOSkokkusobimatute sündmuste tõenäosus. Kahest kokkusobimatust sündmusest ühe toimumise tõenäosus, olenemata sellest, milline neist on, on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Tagajärg. Ühe mitmest paaris kokkusobimatust sündmusest esinemise tõenäosus, olenemata sellest, milline neist on, on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga:

P(A1 + A2 +…+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An).

Ühiste sündmuste tõenäosuste liitmine. Kahest ühisest sündmusest vähemalt ühe toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga, ilma nende ühise toimumise tõenäosuseta:

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Teoreemi saab üldistada mis tahes lõplikule arvule ühissündmustele. Näiteks kolme ühisürituse jaoks:

P (A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C) - P (AB) - P (AC) - P (BC) + P (ABC).

Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreem. Kahe sõltumatu sündmuse ühise toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega:

P(AB) = P(A)*P(B).

Tagajärg. Mitme sõltumatu sündmuse ühise toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega:

P (A1A2 ... An) \u003d P (A1) * P (A2) ... P (An).

Sõltuvate sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreem. Kahe sõltuva sündmuse ühise toimumise tõenäosus on võrdne neist ühe korrutisega teise tingimusliku tõenäosusega:

P (AB) \u003d P (A) * PA (B),

P (AB) \u003d P (B) * PB (A).

Tagajärg. Mitme sõltuva sündmuse ühise toimumise tõenäosus on võrdne neist ühe korrutisega kõigi teiste tingimuslike tõenäosustega ja iga järgneva tõenäosus arvutatakse eeldusel, et kõik eelnevad sündmused on arvutatud eeldusel, et kõik varasemad sündmused on juba ilmunud:

R(A1A2…An) = R(A1)*RA1(A2)*RA1A2(A3)…RA1A2…An-1(An),

kus RA1A2…An-1(An) on sündmuse An tõenäosus, mis on arvutatud eeldusel, et sündmused А1А2…An-1 on aset leidnud.

Näide 1.7. Raamatukogu riiulile on juhuslikult paigutatud 15 õpikut, neist 5 köidetud. Raamatukoguhoidja võtab juhuslikult 3 õpikut. Leia tõenäosus, et vähemalt üks võetud õpikutest köidetakse (sündmus A).

Lahendus. Nõue, et vähemalt üks võetud õpikutest peab olema köidetud, on täidetud, kui toimub mõni kolmest järgmisest kokkusobimatust sündmusest: B - üks köidetud raamat, kaks köitmata, C - kaks köidetud raamatut, üks köitmata, E - kolm köidetud raamatut kõvas köites.

Meid huvitava sündmuse A (vähemalt üks kolmest köidetud õpikust) võib esitada kolme sündmuse summana:

A = B + C + D.

Ühildumatute sündmuste liitmise teoreemiga

p(A) = p(B) + p(C) + p(D) (1).

Leiame sündmuste B, C ja D tõenäosused (vt näite 1.4 lahendust):

Asendades need tõenäosused võrrandiga (1), saame lõpuks tulemuse

p(A) = 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.

Näide 1.8. Mitu täringut tuleb veeretada, et tõenäosusega alla 0,3 võiks eeldada, et ühelegi maha visatud näole ei ilmuks 6 punkti?

Lahendus. Tutvustame sündmuste tähistust: A - 6 punkti ei ilmu ühelegi langenud näole; Аi – 6 punkti ei ilmu i-nda matriitsi mahavisatud pinnale (i = 1, 2, …n).

Sündmus A, mis meid huvitab, seisneb sündmuste kombineerimises

A1, A2, …, An

see tähendab A \u003d A1A2 ... An.

Tõenäosus, et igale kukkunud näole ilmub mõni muu number kui kuus, on

p(Ai) = 5/6.

Sündmused Аi on üksteisest sõltumatud, seega kehtib korrutusteoreem:

p(A) = p(A1A2…An) = p(A1)*p(A2)*…p(An) = (5/6)n.

Tingimuse järgi (5/6)n< 0,3. Следовательно n*log(5/6) < log0,3, отсюда найдем n >6.6. Seega on vajalik täringute arv n ≥ 7.

Näide 1.9. Lugemissaalis on 6 tõenäosusteooria õpikut, millest 3 on köidetud. Raamatukoguhoidja võttis juhuslikult kaks õpikut. Leidke tõenäosus, et mõlemad õpikud köidetakse.

Lahendus. Tutvustame sündmuste tähistust: A - esimesel võetud õpikul on köide, B - teisel õpikul on köide.

Tõenäosus, et esimesel õpikul on köide,

p(A) = 3/6 = 1/2.

Tõenäosus, et teine ​​õpik köidetakse, eeldusel, et esimene võetud raamat oli köidetud, st sündmuse B tingimuslik tõenäosus on:

pA(B) = 2/5.

Soovitav tõenäosus, et mõlemad õpikud on seotud sõltuvate sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemiga, on võrdne

p (AB) \u003d p (A) * pA (B) = 1/2 * 2/5 \u003d 0,2.

Ülesanne 1.8 Kaks laskurit tulistavad märklauda. Esimese jahimehe ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,7 ja teisel - 0,8. Leidke tõenäosus, et ühes löögis tabab sihtmärki ainult üks jahimeestest.

Probleem 1.9. Õpilane otsib vajaliku valemi kolmest teatmeraamatust. Tõenäosused, et valem sisaldub vastavalt esimeses, teises, kolmandas kataloogis, on 0,6; 0,7; 0.8. Leia tõenäosus, et valem sisaldub: a) ainult ühes kataloogis; b) ainult kahes kataloogis; c) kõigis kataloogides.

Ülesanne 1.10 . Poes töötab 7 meest ja 3 naist. Juhuslikult valiti personalinumbrite järgi 3 inimest. Leidke tõenäosus, et kõik valitud isikud on mehed.