Arvjada mõiste eeldab, et iga naturaalarv vastab mõnele reaalväärtusele. Selline arvude jada võib olla nii meelevaldne kui ka teatud omadustega - progresseerumine. Viimasel juhul saab jada iga järgneva elemendi (liikme) arvutada eelmise abil.

Aritmeetiline progressioon on arvväärtuste jada, milles selle naaberliikmed erinevad üksteisest sama numbri võrra (kõikidel seeria elementidel, alates teisest, on sarnane omadus). See arv – eelmise ja järgneva liikme vahe – on konstantne ja seda nimetatakse progresseerumise erinevuseks.

Progressi erinevus: definitsioon

Vaatleme jada, mis koosneb j väärtustest A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j kuulub naturaalarvude hulka N. Aritmeetiline progressioon, oma määratluse järgi on jada , milles a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. d väärtus on selle progresseerumise soovitud erinevus.

d = a(j) - a(j-1).

Eraldage:

• Kasvav progressioon, sel juhul d > 0. Näide: 4, 8, 12, 16, 20, …
• progresseerumise vähenemine, seejärel d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progressiooni erinevus ja selle suvalised elemendid

Kui on teada progressiooni 2 suvalist liiget (i-s, k-s), saab selle jada erinevuse kindlaks teha seose põhjal:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, seega d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Progressiooni erinevus ja selle esimene tähtaeg

See avaldis aitab määrata tundmatut väärtust ainult juhul, kui jadaelemendi number on teada.

Progressi vahe ja selle summa

Progressiooni summa on selle liikmete summa. Selle esimese j elemendi koguväärtuse arvutamiseks kasutage vastavat valemit:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, kuid kuna a(j) = a(1) + d(j – 1), siis S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.

Kui iga naturaalarv n vaste reaalarvuga a n , siis nad ütlevad, et antud numbrijada :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Seega on numbriline jada loomuliku argumendi funktsioon.

Number a 1 helistas jada esimene liige , number a 2 — jada teine ​​liige , number a 3 — kolmandaks ja nii edasi. Number a n helistas jada n-s liige ja naturaalarv n — tema number .

Kahelt naaberliikmelt a n ja a n +1 liikmete järjestused a n +1 helistas järgnev ( suunas a n ), a a n — eelmine ( suunas a n +1 ).

Jada määramiseks tuleb määrata meetod, mis võimaldab leida suvalise numbriga jadaliikme.

Sageli on järjestus antud koos n-nda termini valemid , st valem, mis võimaldab määrata jadaliikme numbri järgi.

Näiteks,

positiivsete paaritute arvude jada saab anda valemiga

a n= 2n- 1,

ja vaheldumise järjekord 1 ja -1 - valem

b n = (-1)n +1 . ◄

Järjestust saab määrata korduv valem, see tähendab valem, mis väljendab jada mis tahes liiget, alustades mõnest, läbi eelneva (ühe või mitme) liikme.

Näiteks,

kui a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kui a a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , siis seatakse arvjada esimesed seitse liiget järgmiselt:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Jadad võivad olla lõplik ja lõputu .

Jada nimetatakse ülim kui sellel on piiratud arv liikmeid. Jada nimetatakse lõputu kui sellel on lõpmatult palju liikmeid.

Näiteks,

kahekohaliste naturaalarvude jada:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lõplik.

Algnumbrite jada:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

lõputu. ◄

Jada nimetatakse suureneb , kui iga selle liige, alates teisest, on suurem kui eelmine.

Jada nimetatakse kahanev , kui iga selle liige, alates teisest, on väiksem kui eelmine.

Näiteks,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . on tõusev jada;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . on kahanev jada. ◄

Nimetatakse jada, mille elemendid arvu suurenedes ei vähene või, vastupidi, ei suurene monotoonne jada .

Eelkõige on monotoonsed järjestused suurenevad ja kahanevad järjestused.

Aritmeetiline progressioon

Aritmeetiline progressioon kutsutakse jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelmisega, millele liidetakse sama arv.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

on suvalise naturaalarvu aritmeetiline progressioon n tingimus on täidetud:

a n +1 = a n + d,

kus d - mingi number.

Seega on erinevus antud aritmeetilise progressiooni järgmise ja eelmise liikme vahel alati konstantne:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Number d helistas aritmeetilise progressiooni erinevus.

Aritmeetilise progressiooni määramiseks piisab selle esimese liikme ja erinevuse määramisest.

Näiteks,

kui a 1 = 3, d = 4 , siis leitakse jada esimesed viis liiget järgmiselt:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Esimese liikmega aritmeetilise progressiooni jaoks a 1 ja erinevus d teda n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Näiteks,

leida aritmeetilise progressiooni kolmekümnes liige

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

siis ilmselgelt

a n=	a n-1 + a n+1
	2

iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, on võrdne eelmise ja järgnevate liikmete aritmeetilise keskmisega.

arvud a, b ja c on mõne aritmeetilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui üks neist on võrdne kahe teise aritmeetilise keskmisega.

Näiteks,

a n = 2n- 7 , on aritmeetiline progressioon.

Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Järelikult

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Pange tähele, et n Aritmeetilise progressiooni -nda liige võib leida mitte ainult läbi a 1 , aga ka kõik varasemad a k

a n = a k + (n- k)d.

Näiteks,

jaoks a 5 saab kirjutada

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

siis ilmselgelt

a n=	a n-k +a n+k
	2

iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, võrdub poolega selle aritmeetilise progressiooni liikmete summast, mis on sellest võrdse vahega.

Lisaks kehtib mis tahes aritmeetilise progressiooni korral võrdsus:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Näiteks,

aritmeetilises progressioonis

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, sest

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

esiteks n aritmeetilise progressiooni liikmed on võrdne poolte äärmiste liikmete summa ja liikmete arvu korrutisega:

Eelkõige sellest järeldub, et kui on vaja tingimusi kokku võtta

a k, a k +1 , . . . , a n,

siis säilitab eelmine valem oma struktuuri:

Näiteks,

aritmeetilises progressioonis 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kui on antud aritmeetiline progressioon, siis suurused a 1 , a n, d, n jaS n ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui on antud nendest kolmest suurusest kolme väärtused, määratakse ülejäänud kahe suuruse vastavad väärtused nendest valemistest, mis kombineeritakse kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.

Aritmeetiline progressioon on monotoonne jada. Kus:

• kui d > 0 , siis see suureneb;
• kui d < 0 , siis see väheneb;
• kui d = 0 , siis on jada paigal.

Geomeetriline progressioon

geomeetriline progressioon kutsutakse jada, mille iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on mis tahes naturaalarvu geomeetriline progressioon n tingimus on täidetud:

b n +1 = b n · q,

kus q ≠ 0 - mingi number.

Seega on selle geomeetrilise progressiooni järgmise liikme ja eelmise liikme suhe konstantne arv:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Number q helistas geomeetrilise progressiooni nimetaja.

Geomeetrilise progressiooni määramiseks piisab selle esimese liikme ja nimetaja määramisest.

Näiteks,

kui b 1 = 1, q = -3 , siis leitakse jada esimesed viis liiget järgmiselt:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimetaja q teda n -nda termini saab leida valemiga:

b n = b 1 · q n -1 .

Näiteks,

leida geomeetrilise progressiooni seitsmes liige 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

geomeetrilise progressiooni iga liige, alates teisest, on võrdne eelmise ja järgnevate liikmete geomeetrilise keskmise (proportsionaalse) väärtusega.

Kuna ka vastupidine on tõsi, kehtib järgmine väide:

arvud a, b ja c on mingi geomeetrilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui neist ühe ruut on võrdne kahe teise korrutisega, see tähendab, et üks arvudest on kahe ülejäänud geomeetriline keskmine.

Näiteks,

tõestame, et valemiga antud jada b n= -3 2 n , on geomeetriline progressioon. Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Järelikult

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

mis tõestab nõutavat väidet. ◄

Pange tähele, et n geomeetrilise progressiooni liiget võib leida mitte ainult läbi b 1 , aga ka mis tahes eelmist terminit b k , mille jaoks piisab valemi kasutamisest

b n = b k · q n - k.

Näiteks,

jaoks b 5 saab kirjutada

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n - k· b n + k

geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme ruut alates teisest on võrdne sellest võrdsel kaugusel olevate liikmete korrutisega.

Lisaks kehtib mis tahes geomeetrilise progressiooni korral võrdsus:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Näiteks,

eksponentsiaalselt

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , sest

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

esiteks n geomeetrilise progressiooni liikmed nimetajaga q ≠ 0 arvutatakse valemiga:

Ja millal q = 1 - vastavalt valemile

S n= n.b. 1

Pange tähele, et kui meil on vaja tingimused kokku võtta

b k, b k +1 , . . . , b n,

siis kasutatakse valemit:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Näiteks,

eksponentsiaalselt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kui on antud geomeetriline progressioon, siis suurused b 1 , b n, q, n ja S n ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui on antud nendest kolmest suurusest mis tahes väärtused, määratakse ülejäänud kahe suuruse vastavad väärtused nendest valemistest, mis kombineeritakse kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.

Esimese liikmega geomeetrilise progressiooni jaoks b 1 ja nimetaja q toimuvad järgmised monotoonsuse omadused :

• progresseerumine suureneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 ja q> 1;

b 1 < 0 ja 0 < q< 1;

• Progressioon väheneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 ja q> 1.

Kui a q< 0 , siis on geomeetriline progressioon märgi vahelduv: selle paaritutel liikmetel on sama märk kui esimesel liikmel ja paarisnumbritel on vastupidine märk. On selge, et vahelduv geomeetriline progressioon ei ole monotoonne.

Esimese toode n geomeetrilise progressiooni termineid saab arvutada järgmise valemiga:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Näiteks,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon nimetatakse lõpmatuks geomeetriliseks progressiooniks, mille nimetaja moodul on väiksem kui 1 , see on

|q| < 1 .

Pange tähele, et lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon ei pruugi olla kahanev jada. See sobib juhtumiga

1 < q< 0 .

Sellise nimetaja korral on jada märk-vahelduv. Näiteks,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa nimeta number, millele esimese summa n progresseerumise tingimustes koos arvu piiramatu suurenemisega n . See arv on alati lõplik ja seda väljendatakse valemiga

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Näiteks,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni seos

Aritmeetiline ja geomeetriline progressioon on omavahel tihedalt seotud. Vaatleme ainult kahte näidet.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , siis

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Näiteks,

1, 3, 5, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega 2 ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon q , siis

logi a b 1, logi a b 2, logi a b 3, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega logi aq .

Näiteks,

2, 12, 72, . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon 6 ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega lg 6 . ◄

Aritmeetilise progressiooni summa.

Aritmeetilise progressiooni summa on lihtne asi. Nii tähenduses kui valemis. Aga sellel teemal on igasuguseid ülesandeid. Algklassidest päris soliidseks.

Kõigepealt käsitleme summa tähendust ja valemit. Ja siis me otsustame. Enda rõõmuks.) Summa tähendus on sama lihtne kui madaldamine. Aritmeetilise progressiooni summa leidmiseks peate lihtsalt hoolikalt lisama kõik selle liikmed. Kui neid termineid on vähe, saate lisada ilma valemiteta. Aga kui on palju, või palju ... lisamine on tüütu.) Sel juhul valem päästab.

Summa valem on lihtne:

Mõelgem välja, millised tähed valemis sisalduvad. See selgitab palju.

S n on aritmeetilise progressiooni summa. Lisamise tulemus kõik liikmed, koos esiteks peal viimane. See on tähtis. Lisage täpselt kõik liikmed reas, ilma vahede ja hüpeteta. Ja täpselt, alates esiteks. Selliste probleemide korral nagu kolmanda ja kaheksanda liikme summa või viie kuni kahekümnenda liikmete summa leidmine valmistab valemi otsene rakendamine pettumuse.)

a 1 - esimene progressi liige. Siin on kõik selge, see on lihtne esiteks rea number.

a n- viimane progressi liige. Rea viimane number. Pole just väga tuttav nimi, aga kogusele kandes sobib väga hästi. Siis näete ise.

n on viimase liikme number. Oluline on mõista, et valemis see arv ühtib lisandunud liikmete arvuga.

Määratleme mõiste viimane liige a n. Täiteküsimus: milline liige saab viimane, kui antakse lõputu aritmeetiline progressioon?

Kindla vastuse saamiseks peate mõistma aritmeetilise progressiooni elementaarset tähendust ja ... lugema ülesannet hoolikalt läbi!)

Aritmeetilise progressiooni summa leidmise ülesandes ilmub alati (otseselt või kaudselt) viimane liige, mida tuleks piirata. Muidu lõplik, konkreetne summa lihtsalt ei eksisteeri. Lahenduse jaoks pole vahet, milline progressioon on antud: lõplik või lõpmatu. Pole tähtis, kuidas see on antud: arvude jada või n-nda liikme valemiga.

Kõige tähtsam on mõista, et valem toimib progressiooni esimesest liikmest numbriga liikmeni n. Tegelikult näeb valemi täisnimi välja selline: aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa. Nende päris esimeste liikmete arv, s.o. n, määrab ainult ülesanne. Ülesandes on kogu see väärtuslik teave sageli krüptitud, jah ... Kuid mitte midagi, allolevates näidetes avaldame need saladused.)

Näited ülesannetest aritmeetilise progressiooni summa jaoks.

Esiteks kasulik teave:

Aritmeetilise progressiooni summa ülesannete peamine raskus on valemi elementide õige määramine.

Ülesannete autorid krüpteerivad piiritu fantaasiaga just need elemendid.) Peaasi, et siin ei pea kartma. Elementide olemuse mõistmisel piisab nende dešifreerimisest. Vaatame mõnda näidet üksikasjalikumalt. Alustame ülesandega, mis põhineb tõelisel GIA-l.

1. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus: a n = 2n-3,5. Leidke esimese 10 liikme summa.

Tubli töö. Lihtne.) Mida me peame teadma, et määrata summa valemi järgi? Esimene liige a 1, viimane ametiaeg a n, jah viimase termini number n.

Kust saada viimane liikmenumber n? Jah, samas kohas, seisukorras! See ütleb, et leia summa esimesed 10 liiget. No mis number see saab olema viimane, kümnes liige?) Te ei usu seda, tema number on kümnes!) Seetõttu selle asemel a n asendame valemiga a 10, aga selle asemel n- kümme. Jällegi on viimase liikme arv sama, mis liikmete arv.

See jääb veel kindlaks teha a 1 ja a 10. Seda saab hõlpsasti arvutada n-nda liikme valemiga, mis on antud ülesande avalduses. Ei tea, kuidas seda teha? Külastage eelmist õppetundi, ilma selleta - mitte midagi.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10\u003d 2 10–3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Saime teada aritmeetilise progressiooni summa valemi kõigi elementide tähenduse. Jääb need asendada ja lugeda:

See on kõik. Vastus: 75.

Teine ülesanne, mis põhineb GIA-l. Natuke keerulisem:

2. Antud aritmeetiline progressioon (a n), mille erinevus on 3,7; a 1 \u003d 2,3. Leidke esimese 15 liikme summa.

Kirjutame kohe summa valemi:

See valem võimaldab meil leida mis tahes liikme väärtuse selle numbri järgi. Otsime lihtsat asendust:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Jääb vaid asendada kõik valemis olevad elemendid aritmeetilise progressiooni summaga ja arvutada vastus:

Vastus: 423.

Muide, kui summa valemis asemel a n lihtsalt asendades n-nda liikme valemi, saame:

Anname sarnased, saame aritmeetilise progressiooni liikmete summa jaoks uue valemi:

Nagu näete, pole siin n-ndat liiget vaja. a n. Mõnes ülesandes aitab see valem palju, jah ... Selle valemi võite meeles pidada. Ja saate selle lihtsalt õigel ajal tagasi võtta, nagu siin. Summa valem ja n-nda liikme valem tuleb ju igati meeles pidada.)

Nüüd ülesanne lühikese krüptimise vormis):

3. Leidke kõigi positiivsete kahekohaliste arvude summa, mis on kolmekordsed.

Kuidas! Pole esimest liiget, pole viimast, ei mingit progressi... Kuidas elada!?

Peate mõtlema oma peaga ja võtma tingimusest välja kõik aritmeetilise progressiooni summa elemendid. Mis on kahekohalised numbrid - me teame. Need koosnevad kahest numbrist.) Milline kahekohaline arv esiteks? 10, arvatavasti.) viimane asi kahekohaline number? 99 muidugi! Kolmekohalised järgivad teda ...

Kolme kordsed... Hm... Need on arvud, mis jaguvad võrdselt kolmega, siin! Kümme ei jagu kolmega, 11 ei jagu... 12... jagub! Niisiis, midagi on ilmnemas. Saate juba kirjutada seeria vastavalt probleemi seisukorrale:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Kas see seeria on aritmeetiline progressioon? Muidugi! Iga termin erineb eelmisest rangelt kolme võrra. Kui terminile lisada 2 või 4, siis ütleme, et tulemus, s.t. uut arvu enam 3-ga ei jagata. Saate kohe määrata kuhja aritmeetilise progressiooni erinevuse: d = 3. Kasulik!)

Seega võime julgelt üles kirjutada mõned edenemise parameetrid:

Mis saab numbriks n viimane liige? Kõik, kes arvavad, et 99, on saatuslikult eksinud... Numbrid - need lähevad alati järjest ja meie liikmed hüppavad üle esikolmiku. Need ei sobi kokku.

Siin on kaks lahendust. Üks võimalus on ülitöökatele. Saate maalida progressi, terve arvude jada ja lugeda näpuga liikmete arvu.) Teine võimalus on mõeldud mõtlikule. Peate meeles pidama n-nda liikme valemit. Kui valemit meie probleemile rakendada, saame, et 99 on progressiooni kolmekümnes liige. Need. n = 30.

Vaatame aritmeetilise progressiooni summa valemit:

Vaatame ja rõõmustame.) Tõmbasime probleemi seisukorrast välja kõik summa arvutamiseks vajaliku:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Alles jääb elementaarne aritmeetika. Asendage valemis olevad arvud ja arvutage:

Vastus: 1665

Teist tüüpi populaarsed mõistatused:

4. Antakse aritmeetiline progressioon:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Leidke terminite summa kahekümnendast kuni kolmekümne neljandani.

Vaatame summa valemit ja ... oleme ärritunud.) Lubage mul teile meelde tuletada, et valem arvutab summa esimesest liige. Ja ülesandes peate arvutama summa alates kahekümnendast... Valem ei tööta.

Võite muidugi värvida kogu käigu järjest ja panna liikmed 20-lt 34-le. Aga ... see tuleb kuidagi rumalalt ja pikaks ajaks, eks?)

On elegantsem lahendus. Jagame oma sarja kaheks osaks. Esimene osa saab esimesest ametiajast kuni üheksateistkümnendani. Teine osa - kakskümmend kuni kolmkümmend neli. On selge, et kui arvutame esimese osa tingimuste summa S 1-19, liidame selle teise osa liikmete summale S 20-34, saame esimesest liikmest kolmekümne neljandani progressiooni summa S 1-34. Nagu nii:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

See näitab, et leida summa S 20-34 saab teha lihtsa lahutamise teel

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Arvesse võetakse mõlemad paremal pool olevad summad esimesest liige, s.o. standardsumma valem on neile üsna rakendatav. Kas alustame?

Eraldame ülesande tingimusest edenemise parameetrid:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Esimese 19 ja esimese 34 liikme summade arvutamiseks vajame 19. ja 34. liiget. Loendame need n-nda liikme valemi järgi, nagu ülesandes 2:

a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Ei jää midagi järele. Lahutage 34 termini summast 19 termini summa:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Vastus: 262,5

Üks oluline märkus! Selle probleemi lahendamiseks on väga kasulik funktsioon. Otsese arvutamise asemel mida vajate (S 20-34), me loendasime mida, näib, pole vaja - S 1-19. Ja siis nad otsustasid S 20-34, jättes kogu tulemusest ebavajaliku kõrvale. Selline "kõrvade pettus" päästab sageli kurjade mõistatuste puhul.)

Selles õppetükis uurisime ülesandeid, mille puhul piisab aritmeetilise progressiooni summa tähenduse mõistmisest. Noh, sa pead teadma paari valemit.)

Praktilised nõuanded:

Mis tahes ülesande lahendamisel aritmeetilise progressiooni summa eest, soovitan sellest teemast kohe välja kirjutada kaks peamist valemit.

N-nda liikme valem:

Need valemid ütlevad kohe, mida otsida, millises suunas mõelda, et probleem lahendada. Aitab.

Ja nüüd iseseisva lahenduse ülesanded.

5. Leia kõigi kahekohaliste arvude summa, mis ei jagu kolmega.

Lahe?) Vihje on peidetud märkuses ülesandele 4. Noh, ülesanne 3 aitab.

6. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Leidke esimese 24 liikme summa.

Ebatavaline?) See on korduv valem. Selle kohta saate lugeda eelmises õppetükis. Ärge ignoreerige linki, selliseid mõistatusi leidub sageli GIA-s.

7. Vasya kogus puhkuseks raha. Koguni 4550 rubla! Ja otsustasin kinkida kõige armastatumale inimesele (endale) paar päeva õnne). Elage ilusti ilma endale midagi keelamata. Kulutage esimesel päeval 500 rubla ja igal järgmisel päeval kulutage 50 rubla rohkem kui eelmisel! Kuni raha saab otsa. Mitu päeva oli Vasjal õnnelik?

Kas see on raske?) Abiks on ülesande 2 lisavalem.

Vastused (segaselt): 7, 3240, 6.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Paljud on kuulnud aritmeetilisest progressioonist, kuid mitte kõik ei tea, mis see on. Selles artiklis anname vastava määratluse ja käsitleme ka küsimust, kuidas leida aritmeetilise progressiooni erinevust, ja toome mitmeid näiteid.

Matemaatiline määratlus

Seega, kui me räägime aritmeetilisest või algebralisest progressioonist (need mõisted defineerivad sama asja), siis see tähendab, et on mõni arvuseeria, mis vastab järgmisele seadusele: jada iga kaks kõrvutiasetsevat arvu erinevad sama väärtuse võrra. Matemaatiliselt on see kirjutatud nii:

Siin tähistab n elemendi a n arvu jadas ja arv d on progressiooni erinevus (selle nimi tuleneb esitatud valemist).

Mida tähendab erinevuse d teadmine? Umbes sellest, kui kaugel on kõrvuti asetsevad numbrid. d teadmine on aga vajalik, kuid mitte piisav tingimus kogu progresseerumise määramiseks (taandamiseks). Peate teadma veel ühte arvu, mis võib olla absoluutselt mis tahes vaadeldava seeria element, näiteks 4, a10, kuid reeglina kasutatakse esimest numbrit, see tähendab 1.

Progressiooni elementide määramise valemid

Üldiselt on ülaltoodud teave juba piisav, et liikuda konkreetsete probleemide lahendamiseni. Sellegipoolest esitame enne aritmeetilise progressiooni andmist ja selle erinevuse leidmist paar kasulikku valemit, mis hõlbustavad järgnevat ülesannete lahendamise protsessi.

Lihtne on näidata, et jada mis tahes elemendi numbriga n võib leida järgmiselt:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Tõepoolest, igaüks saab seda valemit kontrollida lihtsa loendamisega: kui asendame n = 1, siis saame esimese elemendi, kui asendame n = 2, siis avaldis annab esimese arvu ja erinevuse summa jne.

Paljude ülesannete tingimused on koostatud nii, et teadaoleva arvupaari jaoks, mille numbrid on ka jadas antud, on vaja taastada kogu arvurida (leia vahe ja esimene element). Nüüd lahendame selle probleemi üldiselt.

Niisiis, oletame, et meile on antud kaks elementi numbritega n ja m. Kasutades ülaltoodud valemit, saame koostada kahe võrrandi süsteemi:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Tundmatute suuruste leidmiseks kasutame sellise süsteemi lahendamiseks tuntud lihtsat meetodit: lahutame paarikaupa vasaku ja parema osa, kusjuures võrdsus jääb kehtima. Meil on:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Seega oleme elimineerinud ühe tundmatu (a 1). Nüüd saame kirjutada lõpliku avaldise d määramiseks:

d = (a n - a m) / (n - m), kus n > m

Saime väga lihtsa valemi: erinevuse d arvutamiseks vastavalt ülesande tingimustele on vaja võtta ainult elementide endi ja nende seerianumbrite erinevuste suhe. Tähelepanu tuleks pöörata ühele olulisele punktile: erinevused võetakse "vanemate" ja "nooremate" liikmete vahel, see tähendab n\u003e m ("vanem" - see tähendab, et see seisneb jada algusest kaugemal, selle absoluutväärtus võib olla kas enam-vähem "noorem" element).

Progressiooni erinevuse d avaldis tuleks asendada mis tahes võrrandiga ülesande lahendamise alguses, et saada esimese liikme väärtus.

Meie arvutitehnoloogia arengu ajastul püüavad paljud koolilapsed oma ülesannetele lahendusi leida Internetist, mistõttu tekivad sageli seda tüüpi küsimused: leidke aritmeetilise progressiooni erinevus Internetist. Sellise päringu peale kuvab otsingumootor hulga veebilehti, millele minnes tuleb sisestada tingimusest teada olevad andmed (see võib olla kas kaks progressi liiget või mõne summa ) ja saate kohe vastuse. Sellegipoolest on selline lähenemine probleemi lahendamisele ebaproduktiivne õpilase arengu ja talle pandud ülesande olemuse mõistmise seisukohalt.

Lahendus ilma valemeid kasutamata

Lahendame esimese ülesande, samas kui me ei kasuta ühtegi ülaltoodud valemit. Olgu antud jada elemendid: a6 = 3, a9 = 18. Leia aritmeetilise progressiooni erinevus.

Tuntud elemendid on reas üksteise lähedal. Mitu korda tuleb erinevus d lisada väikseimale, et saada suurim? Kolm korda (esimest korda d lisamisel saame 7. elemendi, teist korda - kaheksanda, lõpuks, kolmandal korral - üheksanda). Millise arvu tuleb kolmele kolm korda lisada, et saada 18? See on number viis. Tõesti:

Seega on tundmatu erinevus d = 5.

Loomulikult sai lahenduse teha vastava valemi abil, kuid seda ei tehtud tahtlikult. Probleemi lahenduse üksikasjalik selgitus peaks saama selgeks ja ilmekaks näiteks sellest, mis on aritmeetiline progressioon.

Eelmisega sarnane ülesanne

Nüüd lahendame sarnase probleemi, kuid muutke sisendandmeid. Seega peaksite leidma, kas a3 = 2, a9 = 19.

Muidugi võite uuesti kasutada "otsmikul" lahendamise meetodit. Kuid kuna seeria elemendid on antud, mis on üksteisest suhteliselt kaugel, ei muutu selline meetod eriti mugavaks. Kuid saadud valemi kasutamine viib meid kiiresti vastuseni:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17/6 ≈ 2,83

Siin oleme lõpliku arvu ümardanud. Kui palju see ümardamine viga põhjustas, saab hinnata tulemust kontrollides:

a 9 = 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

See tulemus erineb tingimuses antud väärtusest vaid 0,1%. Seetõttu võib kasutatud sajandikuteks ümardamist pidada heaks valikuks.

Liikme valemi rakendamise ülesanded

Vaatleme klassikalist näidet tundmatu d määramise ülesandest: leidke aritmeetilise progressiooni erinevus, kui a1 = 12, a5 = 40.

Kui on antud kaks tundmatu algebralise jada numbrit ja üks neist on element a 1 , siis ei pea kaua mõtlema, vaid tuleks kohe rakendada a n liikme valemit. Sel juhul on meil:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Täpse arvu saime jagamisel, seega pole mõtet arvutatud tulemuse õigsust kontrollida, nagu tehti eelmises lõigus.

Lahendame veel ühe sarnase ülesande: peaksime leidma aritmeetilise progressiooni erinevuse, kui a1 = 16, a8 = 37.

Kasutame eelmisega sarnast lähenemist ja saame:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Mida veel peaksite aritmeetilise progressiooni kohta teadma?

Lisaks tundmatu erinevuse või üksikute elementide leidmise probleemidele on sageli vaja lahendada jada esimeste liikmete summa ülesandeid. Nende probleemide käsitlemine jääb artikli teemast välja, kuid teabe täielikkuse huvides esitame seeria n numbrite summa üldvalemi:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Aritmeetiline progressioon nimeta numbrijada (jada liikmed)

Milles iga järgnev liige erineb eelmisest terastermini võrra, mida nimetatakse ka sammu või edenemise erinevus.

Seega, määrates progressiooni sammu ja selle esimese liikme, saate valemi abil leida selle mis tahes elemendi

Aritmeetilise progressiooni omadused

1) Iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest arvust, on progressiooni eelmise ja järgmise liikme aritmeetiline keskmine

Ka vastupidine on tõsi. Kui progressiooni paaritute (paaris) liikmete aritmeetiline keskmine on võrdne nende vahel asuva liikmega, siis on see arvujada aritmeetiline progressioon. Selle väite kohaselt on mis tahes järjestust väga lihtne kontrollida.

Ka aritmeetilise progressiooni omaduse järgi saab ülaltoodud valemi üldistada järgmiseks

Seda on lihtne kontrollida, kui kirjutame terminid võrdusmärgist paremale

Praktikas kasutatakse seda sageli ülesannete arvutuste lihtsustamiseks.

2) Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa arvutatakse valemiga

Pidage hästi meeles aritmeetilise progressiooni summa valem, see on arvutustes asendamatu ja lihtsates elusituatsioonides üsna tavaline.

3) Kui teil on vaja leida mitte kogu summa, vaid osa jadast, mis algab selle k-ndast liikmest, siis on teile kasulik järgmine summa valem

4) Praktilist huvi pakub leida k-ndast arvust algava aritmeetilise progressiooni n liikme summa. Selleks kasutage valemit

Siin lõpeb teoreetiline materjal ja liigume edasi praktikas levinud probleemide lahendamise juurde.

Näide 1. Leidke aritmeetilise progressiooni neljakümnes liige 4;7;...

Lahendus:

Vastavalt seisukorrale on meil

Määratlege edenemise samm

Tuntud valemi järgi leiame progressiooni neljakümnenda liikme

Näide2. Aritmeetilise progressiooni annavad selle kolmas ja seitsmes liige. Leidke progressiooni esimene liige ja kümne summa.

Lahendus:

Kirjutame etteantud progressiooni elemendid valemite järgi

Me lahutame esimese võrrandi teisest võrrandist, mille tulemusena leiame progresseerumisastme

Leitud väärtus asendatakse aritmeetilise progressiooni esimese liikme leidmiseks mis tahes võrrandiga

Arvutage progressiooni esimese kümne liikme summa

Keerulisi arvutusi rakendamata leidsime kõik vajalikud väärtused.

Näide 3. Aritmeetiline progressioon on antud nimetaja ja ühe selle liikmega. Leidke progressiooni esimene liige, selle 50 liikme summa alates 50-st ja esimese 100 summa.

Lahendus:

Kirjutame progressiooni sajanda elemendi valemi

ja leia esimene

Esimese põhjal leiame progressiooni 50. liikme

Progressiooni osa summa leidmine

ja esimese 100 summa

Progressiooni summa on 250.

Näide 4

Leidke aritmeetilise progressiooni liikmete arv, kui:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Lahendus:

Kirjutame võrrandid esimese liikme ja progressiooniastme järgi ning defineerime need

Asendame saadud väärtused summa valemiga, et määrata summas olevate liikmete arv

Lihtsuste tegemine

ja lahendage ruutvõrrand

Kahest leitud väärtusest sobib probleemi olukorra jaoks ainult number 8. Seega on progressiooni esimese kaheksa liikme summa 111.

Näide 5

lahendage võrrand

1+3+5+...+x=307.

Lahendus: see võrrand on aritmeetilise progressiooni summa. Kirjutame välja selle esimese liikme ja leiame progressiooni erinevuse