Moskovská štátna technická univerzita

pomenovaný po N.E. Bauman (pobočka Kaluga)

Katedra vyššej matematiky

Práca na kurze

na kurze "Operačný výskum"

Simulácia systému radenie

Zadanie úlohy: Zostavte simulačný model a vypočítajte ukazovatele výkonnosti systému radenia (QS) s nasledujúcimi charakteristikami:

Počet obslužných kanálov n; maximálna dĺžka frontu t;

Tok požiadaviek vstupujúcich do systému je najjednoduchší s priemernou intenzitou λ a exponenciálnym zákonom rozloženia času medzi príchodom požiadaviek;

Tok požiadaviek obsluhovaných v systéme je najjednoduchší s priemernou intenzitou µ a exponenciálnym zákonom rozloženia času obsluhy.

Porovnajte zistené hodnoty ukazovateľov s výsledkami. získané numerickým riešením Kolmogorovovej rovnice pre pravdepodobnosti stavov sústavy. Hodnoty parametrov QS sú uvedené v tabuľke.

Úvod

Kapitola 1. Hlavné charakteristiky SOT a ukazovatele ich účinnosti

1.1 Pojem Markovovho stochastického procesu

1.2 Streamy udalostí

1.3 Kolmogorovove rovnice

1.4 Konečné pravdepodobnosti a stavový graf QS

1.5 Ukazovatele výkonnosti QS

1.6 Základné pojmy simulácie

1.7 Budovanie simulačných modelov

Kapitola 2

2.1 Stavový graf sústavy a Kolmogorovova rovnica

2.2 Výpočet ukazovateľov výkonnosti systému podľa konečných pravdepodobností

Kapitola 3

3.1 Algoritmus simulačnej metódy QS (krok za krokom)

3.2 Vývojový diagram programu

3.3 Výpočet ukazovateľov výkonnosti QS na základe výsledkov jeho simulácie

3.4 Štatistické spracovanie výsledkov a ich porovnanie s výsledkami analytického modelovania

Záver

Literatúra

Príloha 1

V operačnom výskume sa často stretávame so systémami určenými na to opakovane použiteľné pri riešení podobných problémov. Procesy, ktoré v tomto prípade vznikajú, sa nazývajú servisné procesy a systémy sa nazývajú čakacie systémy (QS).

Každý QS pozostáva z určitého počtu obslužných jednotiek (prístrojov, zariadení, bodov, staníc), ktoré sa nazývajú obslužné kanály. Kanály môžu byť komunikačné linky, operačné body, počítače, predajcovia atď. Podľa počtu kanálov sa QS delia na jednokanálové a viackanálové.

Aplikácie zvyčajne prichádzajú na QS nie pravidelne, ale náhodne, pričom tvoria takzvaný náhodný tok žiadostí (požiadaviek). Služba aplikácií tiež pokračuje nejaký náhodný čas. Náhodná povaha toku aplikácií a servisného času vedie k tomu, že QS sa načítava nerovnomerne: v niektorých časových úsekoch sa hromadí veľmi veľké množstvo aplikácií (buď sa zaraďujú do fronty, alebo nechávajú QS neobslúžené), zatiaľ čo v iných periódy QS pracuje s nízkym zaťažením alebo nečinnosťou.

Predmetom teórie radenia je konštrukcia matematických modelov, ktoré spájajú dané prevádzkové podmienky QS (počet kanálov, ich výkon, charakter toku aplikácií atď.) s výkonnostnými ukazovateľmi QS, ktoré popisujú jeho schopnosť vyrovnať sa s tokom aplikácií.

Nasledujúce sa používajú ako ukazovatele výkonnosti QS:

Absolútna priepustnosť systému (A), t.j. priemerný počet doručených aplikácií za jednotku času;

Relatívna priepustnosť (Q), t.j. priemerný podiel prijatých požiadaviek obsluhovaných systémom;

Pravdepodobnosť zlyhania služby požiadavky (

);

Priemerný počet obsadených kanálov (k);

Priemerný počet žiadostí v SOT (

);

Priemerný čas zotrvania aplikácie v systéme (

);

Priemerný počet aplikácií vo fronte (

);

Priemerný čas, ktorý aplikácia strávi vo fronte (

);

Priemerný počet doručených aplikácií za jednotku času;

Priemerná doba čakania na službu;

Pravdepodobnosť, že počet požiadaviek vo fronte prekročí určitú hodnotu atď.

QS sa delia na 2 hlavné typy: QS s poruchami a QS s čakaním (fronta). V QS s odmietnutiami je žiadosť, ktorá príde v čase, keď sú všetky kanály obsadené, odmietnutá, opustí QS a nezúčastňuje sa na ďalšom servisnom procese (napríklad žiadosť o telefonický rozhovor v čase, keď sú všetky kanály obsadené zaneprázdnený dostane odmietnutie a nechá QS neobslúžený) . V QS s čakaním reklamácia, ktorá príde v čase, keď sú všetky kanály obsadené, neodíde, ale zaradí sa do radu na obsluhu.

Jednou z metód na výpočet ukazovateľov výkonnosti QS je metóda simulácie. Praktické využitie počítačového simulačného modelovania zahŕňa konštrukciu vhodného matematického modelu, ktorý zohľadňuje faktory neurčitosti, dynamické charakteristiky a celý komplex vzťahov medzi prvkami skúmaného systému. Simulačné modelovanie fungovania systému začína určitým špecifickým počiatočným stavom. V dôsledku implementácie rôznych udalostí náhodného charakteru prechádza model systému do svojich ďalších možných stavov v nasledujúcich časových okamihoch. Tento evolučný proces pokračuje až do konca plánovacieho obdobia, t.j. až do konca simulácie.

Nech existuje nejaký systém, ktorý v priebehu času náhodne mení svoj stav. V tomto prípade hovoríme, že v systéme prebieha náhodný proces.

Proces sa nazýva proces s diskrétnym stavom, ak sú jeho stavy

môžu byť uvedené vopred a prechod systému z jedného stavu do druhého nastáva náhle. Proces sa nazýva kontinuálny proces, ak prechody systému zo stavu do stavu nastanú okamžite.

Proces operácie QS je náhodný proces s diskrétnymi stavmi a nepretržitým časom.

Náhodný proces sa nazýva Markov alebo náhodný proces bez následných efektov v akomkoľvek časovom okamihu

pravdepodobnostné charakteristiky procesu v budúcnosti závisia len od jeho aktuálneho stavu a nezávisia od toho, kedy a ako sa systém do tohto stavu dostal.

1.2 Streamy udalostí

Prúd udalostí je sled homogénnych udalostí nasledujúcich po sebe v náhodných časoch.

Prúdenie je charakterizované intenzitou λ - frekvenciou výskytu udalostí alebo priemerným počtom udalostí vstupujúcich do QS za jednotku času.

Prúd udalostí sa nazýva pravidelný, ak udalosti nasledujú za sebou v pravidelných intervaloch.

Prúd udalostí sa nazýva stacionárny, ak jeho pravdepodobnostné charakteristiky nezávisia od času. Najmä intenzita stacionárneho toku je konštantná hodnota:

.

Prúd udalostí sa nazýva obyčajný, ak je pravdepodobnosť, že zasiahne malé časové obdobie

dve alebo viac udalostí je malá v porovnaní s pravdepodobnosťou zasiahnutia jednej udalosti, t. j. ak sa v nej udalosti vyskytujú jednotlivo a nie v skupinách.

Prúd udalostí sa nazýva prúd bez následného účinku, ak pre akékoľvek dva neprekrývajúce sa časové intervaly

Klasifikácia, základné pojmy, prvky modelu, výpočet hlavných charakteristík.

Pri riešení problémov racionálnej organizácie obchodu, spotrebiteľských služieb, skladovania a pod. veľmi užitočný je výklad činností výrobnej štruktúry ako systémy radenia, t.j. systém, v ktorom na jednej strane neustále vznikajú požiadavky na výkon akejkoľvek práce a na druhej strane sú tieto požiadavky neustále uspokojované.

Súčasťou každého SMO je štyri prvky: prichádzajúci prúd, front, server, odchádzajúci prúd.

požiadavka(klient, žiadosť) v QS je každá jednotlivá požiadavka na vykonanie akejkoľvek práce.

servis je vykonanie práce na uspokojenie prichádzajúceho dopytu. Objekt, ktorý vykonáva údržbu požiadaviek, sa nazýva servisné zariadenie (zariadenie) alebo servisný kanál.

Čas služby je obdobie, počas ktorého je splnená požiadavka na službu, t.j. obdobie od začiatku poskytovania služby do jej ukončenia. Obdobie od okamihu, keď požiadavka vstúpi do systému, až po začiatok služby, sa nazýva čakacia doba služby. Čakacia doba na obsluhu je spolu s dobou obsluhy dobou zotrvania požiadavky v systéme.

SMO sú klasifikované podľa rôznych kritérií..

1. Podľa počtu obslužných kanálov sa QS delia na jednokanálové a viackanálové.

2. V závislosti od podmienok čakania požiadavka na spustenie služby rozlišuje QS so stratami (poruchy) a QS s čakaním.

IN QS so stratou dopytu, prijaté v momente, keď sú všetky zariadenia zaneprázdnené údržbou, sú odmietnuté, sú pre tento systém stratené a nemajú žiadny vplyv na ďalší proces údržby. Klasickým príkladom zlyhania systému je telefónna ústredňa – požiadavka na spojenie je odmietnutá, ak je volaný účastník obsadený.

Pre systém s poruchami je hlavnou charakteristikou efektívnosti fungovania pravdepodobnosť zlyhania alebo priemerný podiel požiadaviek, ktoré zostanú nevybavené.

IN CMO s čakaním na dopyt, prijatý v momente, keď sú všetky zariadenia zaneprázdnené servisom, neopustí systém, ale zaradí sa do frontu a čaká, kým sa jeden z kanálov neuvoľní. Keď sa uvoľní ďalšie zariadenie, jedna z aplikácií vo fronte je okamžite prijatá do servisu.

Pre QS s čakaním sú hlavnými charakteristikami matematické očakávania dĺžky frontu a čakacej doby.

Príkladom vyčkávacieho systému je proces obnovy televízorov v opravovni.

Existujú systémy, ktoré ležia medzi týmito dvoma skupinami ( zmiešané CMO). Vyznačujú sa prítomnosťou niektorých prechodných podmienok: obmedzeniami môžu byť obmedzenia čakacej doby na začiatok služby, dĺžky frontu atď.

Ako výkonnostné charakteristiky možno použiť pravdepodobnosť poruchy tak v systémoch so stratami (alebo charakteristikami čakacej doby), ako aj v systémoch s čakaním.

3. Podľa služobnej disciplíny sa QS delia na systémy s prioritou služby a systémy bez priority služby.

Požiadavky môžu byť vybavované v poradí, v akom boli prijaté, buď náhodne, alebo na základe stanovených priorít.

4. QS môže byť jednofázové a viacfázové.

IN jednofázový systémy, požiadavky sú uspokojované kanálmi rovnakého typu (napríklad pracovníci rovnakej profesie) bez ich prenosu z jedného kanála do druhého, v viacfázový systémy takéto prevody sú možné.

5. Podľa umiestnenia zdroja požiadaviek sa QS delia na otvorené (keď je zdroj požiadavky mimo systému) a uzavreté (keď je zdroj v samotnom systéme).

TO ZATVORENÉ zahŕňajú systémy, v ktorých je vstupný tok požiadaviek obmedzený. Napríklad majster, ktorého úlohou je nastavovať stroje v dielni, ich musí pravidelne vykonávať. Každý nastavený stroj sa v budúcnosti stáva potenciálnym zdrojom požiadaviek na nastavenie. V takýchto systémoch je celkový počet obiehajúcich nárokov konečný a najčastejšie konštantný.

Ak má zdroj napájania nekonečný počet požiadaviek, potom sa volajú systémy OTVORENÉ. Príkladmi takýchto systémov sú obchody, pokladne staníc, prístavov atď. Pri týchto systémoch možno vstupný tok požiadaviek považovať za neobmedzený.

Metódy a modely na štúdium QS možno podmienečne rozdeliť na analytické a štatistické (simulačné modelovanie procesov radenia).

Analytické metódy umožňujú získať charakteristiky systému ako niektoré funkcie parametrov jeho fungovania. To umožňuje vykonávať kvalitatívna analýza vplyv jednotlivých faktorov na efektivitu QS.

Bohužiaľ, len pomerne obmedzený okruh problémov v teórii radenia sa dá vyriešiť analyticky. Napriek neustálemu vývoju analytických metód sa v mnohých skutočné prípady analytické riešenie je buď nemožné získať, alebo sa výsledné závislosti ukážu ako také zložité, že ich analýza sa stáva samostatnou náročnou úlohou. Preto, aby bolo možné aplikovať analytické metódy riešenia, je potrebné uchýliť sa k rôznym zjednodušujúcim predpokladom, čo je do istej miery kompenzované možnosťou aplikácie kvalitatívnej analýzy výsledných závislostí (v tomto prípade samozrejme je potrebné, aby vytvorené predpoklady neskresľovali skutočný obraz procesu).

V súčasnosti sú teoreticky najrozvinutejšie a najpohodlnejšie v praktických aplikáciách metódy riešenia takých problémov s radením, pri ktorých je tok požiadaviek najjednoduchší ( jed).

Pre najjednoduchší tok sa frekvencia prijímania požiadaviek do systému riadi Poissonovým zákonom, to znamená, že pravdepodobnosť príchodu v čase t rovnajúca sa k požiadavkám je daná vzorcom:

kde λ je parameter prietoku (pozri nižšie).

Najjednoduchší tok má tri hlavné vlastnosti: obyčajný, stacionárny a bez následkov.

Obyčajnosť tok znamená praktickú nemožnosť súčasného prijatia dvoch alebo viacerých požiadaviek. Napríklad pravdepodobnosť, že niekoľko strojov zo skupiny strojov obsluhovaných tímom opravárov naraz zlyhá, je dosť malá.

Stacionárne volal tok, pre ktoré sa matematické očakávanie počtu nárokov vstupujúcich do systému za jednotku času (označuje sa λ) v čase nemení. Pravdepodobnosť vstupu určitého počtu poistných udalostí do systému počas daného časového intervalu Δt teda závisí od jeho hodnoty a nezávisí od jeho vzniku na časovej osi.

Žiadny následný efekt znamená, že počet zákazníkov vstupujúcich do systému pred časom t neurčuje, koľko zákazníkov vstúpi do systému za čas t + Δt.

Ak sa napríklad na tkáčskom stave v danom momente vyskytne pretrhnutie nite a tkáč ho odstráni, nerozhoduje to o tom, či sa na tomto stave v r. ďalší moment alebo nie, tým viac neovplyvňuje pravdepodobnosť rozbitia na iných strojoch.

Dôležitou charakteristikou QS je doba obsluhy požiadaviek v systéme. Obslužný čas je spravidla náhodná veličina, a preto môže byť opísaná distribučným zákonom. Exponenciálny zákon získal najväčšie rozšírenie v teórii a najmä v praktických aplikáciách. Pre tento zákon má funkcia rozdelenia pravdepodobnosti tvar:

F(t) \u003d 1 - e -μt,

tie. pravdepodobnosť, že doba obsluhy nepresiahne určitú hodnotu t, je určená vzorcom (1 - e -μt), kde μ je parameter exponenciálneho zákona doby obsluhy požiadaviek v systéme - prevrátená priemerná hodnota. servisný čas, t.j. .

Zvážte analytické modely QS s očakávaním(najbežnejší QS, v ktorom sú požiadavky prijaté v momente, keď sú všetky obslužné jednotky obsadené, radené do frontu a obsluhované, keď sa obslužné jednotky uvoľňujú).

Úlohy s frontami sú typické vo výrobných podmienkach, napríklad pri organizovaní nastavovacích a opravárenských prác, pri údržbe viacerých strojov atď.

Všeobecné vyhlásenie o probléme je nasledovné.

Systém pozostáva z n obslužných kanálov. Každý z nich môže naraz obsluhovať iba jednu požiadavku. Systém dostáva najjednoduchší (Poissonov) tok požiadaviek s parametrom λ. Ak je v momente príchodu ďalšej požiadavky do systému už v prevádzke aspoň n požiadaviek (t.j. všetky kanály sú obsadené), potom táto požiadavka vstúpi do frontu a čaká na spustenie služby.

Obslužný čas každej požiadavky t asi je náhodná premenná, ktorá sa riadi zákonom exponenciálneho rozdelenia s parametrom μ.

Ako je uvedené vyššie, QS s očakávaním možno rozdeliť do dvoch veľkých skupín: uzavreté a otvorené.

Vlastnosti fungovania každého z týchto dvoch typov systémov vnucujú použitému matematickému aparátu svoj vlastný odtieň. Výpočet prevádzkových charakteristík QS iný druh možno vykonať na základe výpočtu pravdepodobnosti stavov QS (Erlangov vzorec).

Keďže je systém uzavretý, do problémového vyhlásenia by sa mala pridať podmienka: tok prichádzajúcich požiadaviek je obmedzený, t.j. systém zaraďovania nemôže mať súčasne viac ako m požiadaviek (m je počet obsluhovaných objektov).

Ako hlavné kritérium charakterizujúce kvalitu fungovania posudzovaného systému zvolíme: 1) pomer priemernej dĺžky frontu k najväčšiemu počtu požiadaviek, ktoré sú súčasne v systéme obsluhy - koeficient prestojov obsluhovaného objektu; 2) pomer priemerného počtu nečinných obslužných kanálov k ich celkovému počtu je pomer nečinnosti obsluhovaného kanála.

Zvážte výpočet potrebných pravdepodobnostných charakteristík (ukazovatele výkonnosti) uzavretého QS.

1. Pravdepodobnosť, že v systéme existuje k požiadaviek za predpokladu, že ich počet nepresiahne počet servisných zariadení n:

Pk = α kP 0, (1 ≤ k ≤ n),

Kde

λ je frekvencia (intenzita) prijímania požiadaviek do systému z jedného zdroja;

Priemerné trvanie služby jednej požiadavky;

m - najväčší možný počet požiadaviek, ktoré sú súčasne v systéme obsluhy;

n je počet servisných zariadení;

P 0 - pravdepodobnosť, že všetky servisné zariadenia sú voľné.

2. Pravdepodobnosť, že v systéme existuje k požiadaviek za predpokladu, že ich počet ďalšie číslo servírovacie zariadenia:

Pk = α kP 0, (n ≤ k ≤ m),

Kde

3. Pravdepodobnosť, že všetky servery sú voľné, je určená z podmienky

teda,

4. Priemerný počet žiadostí čakajúcich na spustenie služby (priemerná dĺžka frontu):

5. Pomer prestojov dopytu pri čakaní na službu:

6. Pravdepodobnosť, že všetky servisné zariadenia sú obsadené:

7. Priemerný počet požiadaviek v systéme služieb (obsluhované a čakajúce na servis):

8. Pomer úplný výpadok požiadavky na službu a čakajúcu službu:

9. Priemerný čas nečinnosti nároku vo fronte služieb:

10. Priemerný počet voľných účastníkov:

11. Pomer prestojov servisných vozidiel:

12. Pravdepodobnosť, že počet zákazníkov čakajúcich na obsluhu je väčší ako nejaké číslo B (pravdepodobnosť, že v servisnom rade je viac ako B zákazníkov):

Nižšie zvážime príklady najjednoduchších systémov zaraďovania do fronty (QS). Pojem „jednoduchý“ neznamená „elementárny“. Matematické modely týchto systémov sú použiteľné a úspešne používané v praktických výpočtoch.

Jednokanálový smo s poruchami

Dané: systém má jeden servisný kanál, ktorý s intenzitou prijíma najjednoduchší tok požiadaviek. Tok služieb má intenzitu. Požiadavka, ktorá zistí, že systém je zaneprázdnený, ho okamžite opustí.

Nájsť: absolútny a relatívny výkon QS a pravdepodobnosť, že reklamácia, ktorá príde v čase t, bude zamietnutá.

Systém pre každého t> 0 môže byť v dvoch stavoch: S 0 – kanál je voľný; S 1 - kanál je zaneprázdnený. Prechod z S 0 palcov S 1 je spojená s objavením sa požiadavky a okamžitým spustením jej služby. Prechod z S 1 palec S 0 sa vykoná hneď po dokončení nasledujúceho servisu (obr. 4).

Obr.4. Graf stavov jednokanálového QS s poruchami

Výstupné charakteristiky (charakteristiky účinnosti) tohto a iných QS budú uvedené bez záverov a dôkazov.

Absolútna šírka pásma(priemerný počet aplikácií obsluhovaných za jednotku času):

kde - intenzita toku aplikácií (prevrátená hodnota priemerného časového intervalu medzi prichádzajúcimi aplikáciami -);

- intenzita toku služieb (recipročná hodnota priemerného servisného času)

Relatívna šírka pásma(priemerný podiel aplikácií obsluhovaných systémom):

Pravdepodobnosť zlyhania(pravdepodobnosť, že nárok ostane SOT nevybavený):

Nasledujúce vzťahy sú zrejmé: i.

Príklad. Technologický systém pozostáva z jedného stroja. Stroj prijíma žiadosti na výrobu dielov v priemere za 0,5 hodiny. Priemerný čas výroby jednej časti je rovnaký. Ak je stroj pri prijatí žiadosti o výrobu dielu zaneprázdnený, odošle sa (diel) inému stroju. Nájdite absolútnu a relatívnu priepustnosť systému a pravdepodobnosť zlyhania pri výrobe dielu.

Tie. v priemere sa na tomto stroji spracováva asi 46 % dielov.

.

Tie. v priemere sa približne 54 % dielov posiela na spracovanie do iných strojov.

N - kanál smo s poruchami (problém Erlang)

Toto je jeden z prvých problémov teórie radenia. Vznikol z praktických potrieb telefonovania a začiatkom 20. storočia ho vyriešil dánsky matematik Erlang.

Dané: systém má n– kanály, ktoré intenzívne prijímajú tok požiadaviek. Tok služieb má intenzitu. Požiadavka, ktorá zistí, že systém je zaneprázdnený, ho okamžite opustí.

Nájsť: absolútna a relatívna kapacita QS; pravdepodobnosť, že objednávka príde v určitom čase t, bude zamietnutá; priemerný počet súčasne obsluhovaných požiadaviek (alebo inými slovami priemerný počet obsadených kanálov).

Riešenie. Stav systému S(QS) je očíslované podľa maximálneho počtu požiadaviek v systéme (zhoduje sa s počtom obsadených kanálov):

S 0 – v SOT nie sú žiadne žiadosti;

S 1 - v QS je jedna požiadavka (jeden kanál je obsadený, ostatné sú voľné);

S 2 - v QS sú dve aplikácie (dva kanály sú obsadené, ostatné sú voľné);

S n - v QS je n- aplikácie (všetky n– kanály sú obsadené).

Graf stavu QS je znázornený na obr. 5

Obr.5 Stavový graf pre n-kanálový QS s poruchami

Prečo je stavový graf označený týmto spôsobom? Mimo štátu S 0 uviesť S 1 sa systém prenáša prúdom aplikácií s intenzitou (akonáhle príde aplikácia, systém sa prepne z S 0 palcov S 1). Keby bol systém v stave S 1 a prišla ďalšia žiadosť, ide do stavu S 2 atď.

Prečo také intenzity pre dolné šípky (oblúky grafu)? Nech je systém v stave S 1 (jeden kanál funguje). Produkuje služby za jednotku času. Preto prechodový oblúk od štátu S 1 na štát S 0 je zaťažená intenzitou. Teraz nech je systém v stave S 2 (fungujú dva kanály). Aby mohla ísť S 1, musíte dokončiť službu prvého alebo druhého kanála. Celková intenzita ich tokov sa rovná atď.

Výstupné charakteristiky (charakteristiky účinnosti) daného QS sú definované nasledovne.

Absolútnapriepustnosťschopnosť:

Kde n– počet QS kanálov;

je pravdepodobnosť, že QS je v počiatočnom stave, keď sú všetky kanály voľné (konečná pravdepodobnosť, že QS je v stave S 0);

Obr.6. Štátny graf pre schému úmrtia a chovu

Ak chcete napísať vzorec na určenie, zvážte Obr. 6

Graf zobrazený na tomto obrázku sa tiež nazýva stavový graf pre schému „smrť a reprodukcia“. Najprv napíšme všeobecný vzorec pre (bez dôkazu):

Mimochodom, zvyšné konečné pravdepodobnosti stavov QS budú napísané nasledovne.

S 1, keď je jeden kanál obsadený:

Pravdepodobnosť, že QS je v stave S 2, t.j. keď sú dva kanály obsadené:

Pravdepodobnosť, že QS je v stave S n , t.j. keď sú všetky kanály obsadené.

Teraz pre n-kanálový QS s poruchami

Relatívna priepustnosť:

Pripomeňme, že ide o priemerný podiel aplikácií obsluhovaných systémom. V čom

Pravdepodobnosťzlyhanie:

Pripomeňme, že toto je pravdepodobnosť, že aplikácia ponechá SOT neobslúženú. Je zrejmé, že.

Priemerný počet zaneprázdnených kanálov (priemerný počet súčasne obsluhovaných žiadostí):

Základy matematického modelovania

sociálno-ekonomické procesy

Prednáška 3

Téma prednášky: "Modely systémov radenia"

1. Modely organizačných riadiacich štruktúr (OSU).

2. Systémy a modely radenia. Klasifikácia systémov radenia (QS).

3. Modely QS. Indikátory kvality fungovania QS.

1. MODELY ŠTRUKTÚR ORGANIZAČNÉHO RIADENIA (OCS).

Veľa ekonomických problémov je spojených so systémami radenia (QS), teda s takými systémami, v ktorých sú na jednej strane masívne požiadavky (požiadavky) na výkon akýchkoľvek služieb, na druhej strane - uspokojenie týchto požiadaviek.

QS obsahuje nasledujúce prvky: zdroj požiadaviek, prichádzajúci tok požiadaviek, front, obslužné zariadenia (servisné kanály) a odchádzajúci tok požiadaviek. Takéto systémy študuje teória radenia (QMT).

Metódy teórie radenia (QMT) môžu byť použité na riešenie mnohých problémov štúdia procesov prebiehajúcich v ekonomike. Pri organizácii obchodu teda tieto metódy umožňujú určiť optimálny počet predajní daného profilu, počet predajcov, frekvenciu dodávky tovaru a ďalšie parametre. Ďalším typickým príkladom čakacích systémov môžu byť sklady alebo základne dodávateľských a marketingových organizácií. A úlohou teórie radenia v tomto prípade je stanoviť optimálny pomer medzi počtom servisných požiadaviek prichádzajúcich na základňu a počtom obslužných zariadení, v ktorých by boli celkové náklady na obsluhu a straty z prestojov dopravy minimálne. Teória radenia môže nájsť uplatnenie aj pri výpočte plochy skladovacie zariadenia, pričom skladovacia plocha sa považuje za obslužné zariadenie a podmienkou je príchod vozidiel na vykládku.

Modely teórie radenia sa využívajú aj pri riešení množstva úloh organizácie a stanovovania pracovných noriem a iných sociálno-ekonomických problémov. Prechod na trh vyžaduje od všetkých podnikateľských subjektov zvýšenú spoľahlivosť a efektivitu výroby, flexibilitu a schopnosť prežitia v reakcii na dynamické zmeny vonkajšieho podnikateľského prostredia, znižovanie druhov rizík a strát z oneskorených a nekompetentných manažérskych rozhodnutí.

SERVISNÉ SYSTÉMY (QS) SÚ MATEMATICKÉ MODELY ŠTRUKTÚR ORGANIZAČNÉHO RIADENIA (OCS).

ŠTRUKTÚRY ORGANIZAČNÉHO RIADENIA (OSU) sú navrhnuté tak, aby rýchlo monitorovali výkyvy na trhu a robili kompetentné manažérske rozhodnutia v závislosti od vznikajúcich situácií.

Preto je zrejmé, že trhové subjekty (nadnárodné korporácie, priemyselné podniky, komerčné banky, firmy, organizácie, malé podniky atď.) venujú voľbe efektívne fungujúcich organizačných riadiacich štruktúr (OSU).

Namiesto OSU podnikov (hierarchické, maticové, duálne, paralelné a pod.) v 90. rokoch 20. storočia hojne využívané ALTERNATÍVNE FORMY MULTIFUNKČNÝCH ŠTRUKTÚR na báze tzv. princípy sebaorganizácie, adaptácie, autonómie jednotlivých jednotiek s mäkkými väzbami medzi nimi.

Podobnú štruktúru má mnoho vyspelých zahraničných firiem, ktoré zahŕňajú mnoho pracovných skupín so sieťovými vzťahmi medzi nimi. V poslednej dobe sa za populárne považujú organizácie zamerané na minimalizáciu spotreby zdrojov, ktoré majú výraznú horizontálnu formu s koordináciou nie na hierarchickom základe, ale samotnými pracovnými skupinami organizovanými v sieti.

Alternatívne modely, ktoré sú proti modelom OSU vytvoreným na základe organizačnej logiky a prísnej regulácie, sú fuzzy štruktúry bez hierarchických úrovní a štruktúrnych pododdielov na základe koordinácie osobnej zodpovednosti a profilovania samostatne riadených skupín s týmito vlastnosťami:

a) prítomnosť relatívne nezávislých pracovných skupín s účasťou zástupcov rôznych oddelení vytvorených na riešenie určitých projektov a problémov so širokou slobodou konania a autonómiou v oblasti koordinácie úloh a rozhodovania;

b) odstránenie rigidných väzieb medzi pododdeleniami OSU zavedením flexibilných vzťahov.

Na základe podobných princípov moderný koncept výroba s minimálnymi zdrojmi: v takýchto podnikoch sa ako organizačné jednotky používajú pracovné skupiny so širokými právomocami a väčšími možnosťami samosprávy s konečným cieľom vytvoriť rozumnú flexibilnú organizáciu práce založenú na nezávisle konajúcich umelcoch, a nie na racionálnych štruktúrach syntetizovaných odborníkmi ; zamestnanci vyhodnocujú vznikajúce problémy, určujú možnosti kontaktov s odborníkmi vo vnútri aj mimo systému. Samoriadený personál sa zameriava na sebaorganizáciu, ktorá nahrádza zvonku zavedenú rigidnú usporiadanú štruktúru (nastavenú zhora).

Extrémnym prípadom tohto prístupu je vytvorenie neorganizačnej, neustále „nezamrazenej“ štruktúry s nasledujúcimi vlastnosťami:

Široká kreatívna diskusia o akýchkoľvek spracovaných postupoch a signáloch prichádzajúcich zvonku, bez zohľadnenia šablónových riešení a minulých skúseností;

Autonómna práca členov tímu s nezávislou organizáciou dočasných vzťahov a výrobných dohôd medzi partnermi podľa potreby pri riešení vznikajúcich problémov.

Všimnite si, že prílišná orientácia na jednu systémovú funkciu – flexibilitu, pri úplnom ignorovaní ostatných funkcií – integrácie, identifikácie, účtovníctva a kontroly, je pre stabilne fungujúce systémy vždy nebezpečná, keďže je ťažké zabezpečiť úspešnú koordináciu v rámci danej organizácie bez vysokokvalifikovaných zamestnancov, ich schopnosti vzdelávať sa a zdokonaľovať sa, nadväzovať efektívne kontakty a koordináciu. Pri tejto forme organizácie treba venovať hlavnú pozornosť vytváraniu podmienok pre maximálne využitie intelektu ľudských zdrojov a zlepšovaniu ich zručností, alokácii vysokokvalifikovaných odborníkov - systémoví inžinieri, spájajúci činnosť členov organizácie na dosiahnutie konečného cieľa. Zároveň vo sfére systémovej koordinácie existuje možnosť možných porúch, konfliktov a negatívne dôsledky, keďže dôraz je kladený aj na schopnosť zamestnancov samoorganizovať sa a sebakoordinovať všeobecný charakter. Hoci vysoká kompetencia, iniciatíva a vôľa každého zamestnanca ovplyvňuje životaschopnosť akejkoľvek decentralizovanej organizácie, vo všeobecnosti nemôžu nahradiť regulačnú funkciu celej organizačnej štruktúry.

Dnes sa vo svete intenzívne rozvíja nový smer syntézy OSU ako vzdelávacích systémov, ktorý sa vyznačuje nasledujúcimi charakteristickými črtami:

a) zapojenie vysokokvalifikovaných odborných odborníkov do procesov vnímania a zhromažďovania informácií, ako aj do vzdelávania a rozširovania schopností personálu;

b) neustála zmena v procese fungovania, rozširovanie ich schopnosti interakcie s okolitým podnikateľským prostredím a rýchle prispôsobovanie sa neustále sa meniacim vonkajším a vnútorným podmienkam;

V) rozšírené otvorené počítačové siete, ktoré pokrývajú nielen jednotlivé organizácie, podniky alebo ich konglomeráty, ale aj celé veľké regióny a dokonca aj súbory krajín (UES, SWIFT atď.), čo poskytuje nové príležitosti na organizovanie a zvyšovanie efektívnosti podnikov a odvetví v celom svete. krajiny a dokonca aj celého sveta.

Predpokladá sa, že OSU by mala byť vytvorená na princípoch multifunkčnosti a multidimenzionality, čo umožňuje efektívne kontrolovať komplexné trhy a prideľovať dostupné zdroje. Z analýzy svetových skúseností s fungovaním OSU v trhových podmienkach vo vzťahu k ruskej ekonomike a jej podnikateľským subjektom možno rozlíšiť tieto odporúčania:

1) hierarchickú OSU možno udržiavať a uplatňovať s minimálnym rizikom pre podnik, ak vrcholový manažment firmy dokáže pôsobiť ako problémoví koordinátori a ich podriadení ako „malí podnikatelia“; zároveň sa podnikateľská iniciatíva a zodpovednosť prenášajú z vyšších na nižšie úrovne korporátnej moci, keď hierarchovia vykonávajú skutočne koordinačné funkcie;

2) maticovú OSU možno uložiť, ak firma nemá mechanickú duplikáciu inštancií služieb a existuje organická sieťová štruktúra s optimálnou komunikáciou;

3) duálne OSU by sa mali uplatňovať s prehľadnosťou a ovládateľnosťou kľúčových väzieb medzi hlavnými a sprievodnými štruktúrami a transparentnosťou funkcií systému sprievodných sekundárnych štruktúr a mali by byť multifunkčné a viacúčelové (ako napr. "), a nie špecializované, orientované len pre Vaše vlastné potreby;

4) mala by sa uplatňovať paralelná OSU s formovanou konštruktívnou súťažnou kultúrou, spoluprácou partnerov založenou na dôvere, tolerancii, pripravenosti riešiť konflikty av akútnych situáciách mať neutrálnu „arbitrážnu“ inštanciu.

V prítomnosti stredných podnikov, ktoré pozostávajú zo slabo integrovaných funkčných celkov, môžu byť sekundárne štruktúry poverené riešením integračných problémov, ale efekt implementácie tohto mechanizmu sa dosiahne, ak vedenie jednotiek zrealizuje vytvorenie štrukturálnej nadstavby. ako prostriedok na podporu vlastného postavenia, a nie ako ohrozenie ich existencie.

Rozvoj na priesečníku kybernetiky, počítačových sietí, manažmentu a sociálnej psychológie smeru Groupware (USA), spojený s elektronickými informačnými systémami, lokálnymi dialógovými sieťami a ich podpornými nástrojmi, zabezpečuje distribuovanú prácu veľkých tímov ľudí v režime priameho prístupu. , ktorá vám umožní uložiť do pamäte počítača obrovské množstvo informácií.informácií (akákoľvek obchodná, výrobná, technická a iná dokumentácia, stretnutia, rokovania organizácie a aj bežné rozhovory jej zamestnancov, ako aj všetky podklady a pracovné skúsenosti), pomocou nej v prípade potreby upraviť štruktúru, funkcie, úlohy, stratégiu a taktiku riadenia v činnostiach konkrétnej organizácie. Tento prístup odhaľuje koncept učiacej sa organizácie novým spôsobom, poskytuje analógiu medzi procesmi vyskytujúcimi sa v živých a v interaktívnych počítačových systémoch.

Ak učenie a pamäť určujú prežitie živých systémov, potom podobne organizačné učenie a pamäť ovplyvňujú výkon akejkoľvek organizácie, keď sa zmení podnikateľské prostredie. Učenie, ako živé, tak organizačné systémy nevyhnutne vedie k štrukturálne zmeny. Dobre organizovaná organizácia počítačová sieť môže spôsobiť kvalitatívny posun v zlepšovaní výkonnosti podniku. Flexibilita a šírka funkčných schopností pracovných skupín, ktoré realizujú projektové riadenie s minimálnymi nákladmi na koordináciu svojej práce, určujú rast a kvalitu plnenia hlavných úloh, ktorým firmy čelia, potrebu optimalizácie funkčných celkov a organizačných štruktúr ako celku, meniť väzby medzi funkčnými celkami v závislosti od vznikajúcich situácií.

Kvalita reštrukturalizácie v životných a organizačných systémoch je určená súhrnom zdedeného a získaného správania, efektívnosťou učenia a pamäte, organizáciou infraštruktúr, ktoré zabezpečujú zlepšenie vzťahov a dialógov medzi ľuďmi. Zvýšenie rýchlosti učenia a efektívnosti pamäte v organizácii závisí od spôsobu riadenia vzťahov a dialógov medzi ľuďmi. Dnes je komunikácia koordináciou akcií, nie prenosom informácií. Organizačné infraštruktúry by mali rozširovať možnosti formovania a podpory dialógov medzi ľuďmi bez ohľadu na ich tradície, kultúru a pod. Príkladom toho je organizácia a distribúcia internetu a pod.

Zohľadnenie špecifík modelov odrôd QS v praktickej činnosti trhových subjektov umožňuje:

Vykonajte hlbšiu analýzu funkcií fungovania komplexných systémov, vyhodnoťte ich kvalitu a efektívnosť so získaním konkrétnych kvantitatívnych odhadov;

Odhaľte existujúce rezervy a príležitosti na optimalizáciu prebiehajúcich procesov, šetrenie finančných a iných zdrojov, znižovanie rizík pri neistote v externom a internom prostredí podniku.

Pozrime sa na tieto otázky podrobnejšie.

2. SYSTÉMY A MODELY RADY. KLASIFIKÁCIA SERVISNÝCH SYSTÉMOV (QS).

Teória radenia je založená na teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike. Počiatočný rozvoj teórie radenia sa spája s menom dánskeho vedca A.K. Erlanga (1878-1929), s jeho prácami v oblasti projektovania a prevádzky telefónnych ústrední.

Teória radenia je oblasť aplikovanej matematiky, ktorá sa zaoberá analýzou procesov vo výrobe, službách a riadiacich systémoch, v ktorých sa homogénne udalosti mnohokrát opakujú, napríklad v podnikoch spotrebiteľských služieb; v systémoch na príjem, spracovanie a prenos informácií; automatické výrobné linky atď.

Veľký prínos k rozvoju tejto teórie mali ruskí matematici A. Ya. Khinchin, B. V. Gnedenko, A. N. Kolmogorov, E. S. Wentzel a ďalší.

Predmetom teórie radenia je vytvoriť vzťahy medzi povahou toku aplikácií, počtom obslužných kanálov, výkonom jedného kanála a efektívnou službou s cieľom nájsť najlepšie spôsoby riadenia týchto procesov. Úlohy teórie radenia sú optimalizačného charakteru a v konečnom dôsledku zahŕňajú ekonomické hľadisko stanovenia takého variantu systému, ktorý zabezpečí minimálne celkové náklady z čakania na obsluhu, straty času a prostriedkov na obsluhu a od prestoje servisných kanálov.

Úlohy organizovania hromadných služieb vznikajú takmer vo všetkých sférach ľudskej činnosti, napríklad obsluha kupujúcich v obchodoch predávajúcimi, obsluha návštevníkov v podnikoch Stravovanie, zákaznícky servis v podnikoch spotrebiteľských služieb, poskytovanie telefonických rozhovorov na telefónnej ústredni, poskytovanie zdravotná starostlivosť pacientov na klinike a pod. Vo všetkých vyššie uvedených príkladoch existuje potreba uspokojiť potreby veľkého počtu spotrebiteľov.

Uvedené úlohy je možné úspešne riešiť pomocou metód a modelov teórie radenia (QMT) špeciálne vytvorených pre tieto účely. Táto teória vysvetľuje, že je potrebné niekomu alebo niečomu slúžiť, čo je definované pojmom „aplikácia (požiadavka) na službu“ a servisné operácie vykonáva niekto alebo niečo, čo sa nazýva obslužné kanály (uzly).

Žiadosti, vzhľadom na hromadný charakter príchodu do servisu, tvoria toky, ktoré sa nazývajú prichádzajúce pred vykonaním servisných operácií a po prípadnom čakaní na začiatok servisu, t.j. prestoje vo fronte, toky služieb formulára v kanáloch a potom sa vytvorí odchádzajúci tok požiadaviek. Vo všeobecnosti tvorí súbor prvkov prichádzajúcich aplikácií, front, servisné kanály a odchádzajúci tok aplikácií. najjednoduchší systém radenie - QS.

Jedným z parametrov vstupného toku požiadaviek je intenzitu toku prichádzajúcich aplikácií λ ;

Parametre kanálov aplikačných služieb zahŕňajú: intenzita služby μ , počet servisných kanálov n .

Možnosti fronty sú: maximálny počet miest v rade Lmax ; frontová disciplína D („prvý dovnútra, prvý von“ (FIFO); „posledný dovnútra, prvý von“ (LIFO); s prioritami; náhodný výber z radu).

Servisný postup sa považuje za ukončený, keď servisná požiadavka opustí systém. Trvanie časového intervalu potrebného na implementáciu servisnej procedúry závisí hlavne od charakteru požiadavky na službu, stavu samotného servisného systému a servisného kanála.

Napríklad dĺžka pobytu kupujúceho v supermarkete závisí na jednej strane od osobných vlastností kupujúceho, jeho požiadaviek, od sortimentu tovaru, ktorý sa chystá kúpiť, a na druhej strane, o forme organizácie obsluhy a obsluhy, čo môže výrazne, ale výrazne ovplyvniť čas strávený kupujúcim v supermarkete a intenzitu obsluhy.

Obsluhou požiadaviek pochopíme proces uspokojenia potreby. Služba má iný charakter. Vo všetkých príkladoch však prijaté požiadavky musí obsluhovať nejaké zariadenie.

Obsluhu v niektorých prípadoch vykonáva jedna osoba (obsluha zákazníkov jedným predajcom), v niektorých prípadoch skupina osôb (obsluha zákazníkov v reštaurácii), v niektorých prípadoch technické zariadenia (predaj sódovej vody, strojové sendviče ).

Súbor fondov, ktoré obsluhujú aplikácie, sa nazýva servisný kanál.

Ak sú servisné kanály schopné uspokojiť rovnaké požiadavky, potom sú volané servisné kanály homogénne.

Súbor homogénnych obslužných kanálov sa nazýva obslužný systém.

Systém radenia prijíma veľké množstvo požiadaviek v náhodných časoch, ktorých trvanie služby je tiež náhodnou premennou. Volá sa postupné prijímanie požiadaviek v systéme služieb prichádzajúci tok aplikácií a postupnosť požiadaviek opúšťajúcich systém služby je odtok .

Ak je maximálna dĺžka frontu L max = 0 , potom je QS systém bez front.

Ak L max = N 0 , kde N 0 > 0 je nejaké kladné číslo, potom QS je systém s obmedzeným radom.

Ak Lmax → ∞, potom je QS systém s nekonečným radom.

Náhodná povaha rozloženia trvania vykonávania servisných operácií spolu s náhodným charakterom prijímania servisných požiadaviek vedie k tomu, že v servisných kanáloch dochádza k náhodnému procesu, ktorý možno volať (analogicky s vstupný tok požiadaviek) tok servisných požiadaviek alebo jednoducho tok služieb .

Upozorňujeme, že zákazníci vstupujúci do systému radenia ho môžu opustiť bez toho, aby boli obsluhovaní. Napríklad, ak zákazník nenájde požadovaný produkt v predajni, potom opustí predajňu bez toho, aby bol obsluhovaný. Kupujúci môže tiež opustiť obchod, ak je požadovaný produkt k dispozícii, ale je tu dlhý rad a kupujúci nemá čas.

Teória radenia sa zaoberá štúdiom procesov spojených s radením, vývojom metód riešenia typických problémov radenia.

Pri štúdiu efektívnosti systému služieb zohráva dôležitú úlohu rôznymi spôsobmi umiestnenie v systéme obslužných kanálov.

O paralelné usporiadanie servisných kanálov žiadosť môže byť obsluhovaná akýmkoľvek bezplatným kanálom.

Príkladom takéhoto servisného systému je zúčtovací uzol v samoobslužných predajniach, kde sa počet obslužných kanálov zhoduje s počtom pokladníkov-kontrolórov.

V praxi sa často obsluhuje jedna aplikácia postupne niekoľko servisných kanálov .

V tomto prípade nasledujúci obslužný kanál začne obsluhovať požiadavku potom, čo predchádzajúci kanál dokončí svoju prácu. V takýchto systémoch je servisný proces viacfázový charakter, volá sa obsluha požiadavky jedným kanálom udržiavacia fáza . Napríklad, ak má samoobslužný obchod oddelenia s predajcami, potom kupujúcich najskôr obsluhujú predajcovia a potom pokladníci-kontrolóri.

Organizácia systému služieb závisí od vôle človeka. Pod kvalitou fungovania systému v teórii radenia nerozumejú tomu, ako dobre sa služba vykonáva, ale tomu, ako je plne načítaný servisný systém, či sú servisné kanály nečinné, či je vytvorený rad.

Práca systému služieb je charakterizovaná takými ukazovateľmi, ako sú čakacia doba na spustenie služby, dĺžka frontu, možnosť prijatia odmietnutia služby, možnosť výpadku servisných kanálov, cena služby a v konečnom dôsledku spokojnosť s kvalitou služieb.

Na zlepšenie kvality servisného systému je potrebné určiť, ako distribuovať prichádzajúce požiadavky medzi servisné kanály, koľko servisných kanálov musíte mať, ako usporiadať alebo zoskupiť servisné kanály alebo servisné zariadenia na zlepšenie výkonu. Na vyriešenie týchto problémov existuje účinná metóda modelovania, ktorá zahŕňa a kombinuje výsledky rôznych vied vrátane matematiky.

Streamy udalostí.

Prechody QS z jedného stavu do druhého sa vyskytujú pod vplyvom presne definovaných udalostí - príjmu žiadostí a ich obsluhy. Postupnosť výskytu udalostí nasledujúcich po sebe v náhodných časových momentoch tvorí tzv stream udalostí.

Príkladom takýchto tokov sú toky rôzneho charakteru – toky tovarov, peňazí, dokladov; dopravné toky; toky zákazníkov, kupujúcich; toky telefónnych hovorov, rozhovorov atď. Správanie systému zvyčajne neurčuje jeden, ale niekoľko tokov udalostí naraz. Napríklad zákaznícky servis v obchode je určený tokom zákazníkov a tokom služieb; v týchto tokoch sú momenty objavenia sa kupujúcich, čas strávený v rade a čas strávený obsluhou každého kupujúceho náhodné.

Zároveň hlavné vlastnosť tokov je pravdepodobnostné rozdelenie času medzi susednými udalosťami. Existujú rôzne prúdy, ktoré sa líšia svojimi vlastnosťami.

Prúd udalostí je tzv pravidelné , ak udalosti v ňom nasledujú za sebou vo vopred určených a presne definovaných časových intervaloch. Takéto prúdenie je ideálne a v praxi je veľmi zriedkavé. Častejšie sa vyskytujú nepravidelné toky, ktoré nemajú vlastnosť pravidelnosti.

Prúd udalostí je tzv stacionárny, ak pravdepodobnosť ľubovoľného počtu udalostí spadajúcich do časového intervalu závisí len od dĺžky tohto intervalu a nezávisí od toho, ako ďaleko sa tento interval nachádza od začiatku časového počítania.

Teda tok sa nazýva stacionárny , pre ktoré sa matematické očakávanie počtu nárokov vstupujúcich do systému za jednotku času (označuje sa λ) v čase nemení. Pravdepodobnosť vstupu určitého počtu požiadaviek do systému počas daného časového intervalu?t teda závisí od jeho hodnoty a nezávisí od jeho pôvodu na časovej osi.

Stacionarita toku znamená, že jeho pravdepodobnostné charakteristiky sú nezávislé od času; najmä intenzita takéhoto toku je priemerný počet udalostí za jednotku času a zostáva konštantná. V praxi sa toky zvyčajne môžu považovať za stacionárne iba počas určitého obmedzeného časového intervalu. Typicky sa tok zákazníkov, napríklad v obchode, výrazne mení počas pracovného dňa. Je však možné vyčleniť určité časové intervaly, v rámci ktorých možno tento prúd považovať za stacionárny, s konštantnou intenzitou.

Žiadny následný efekt znamená, že počet požiadaviek, ktoré vstúpili do systému pred okamihom t, neurčuje, koľko požiadaviek vstúpi do systému v časovom intervale od t do t+?t.

Ak sa napríklad na tkáčskom stave v danom momente vyskytne pretrhnutie nite a tkáč ho odstráni, nerozhoduje to o tom, či na tomto stave v nasledujúcom okamihu dôjde k novému pretrhnutiu nite alebo nie, o to viac. neovplyvní pravdepodobnosť prestávky na iných strojoch.

Prúd udalostí je tzv plynúť bez následkov , ak počet udalostí, ktoré pripadajú na jeden z ľubovoľne zvolených časových intervalov, nezávisí od počtu udalostí pripadajúcich na iný, tiež ľubovoľne zvolený interval, za predpokladu, že sa tieto intervaly navzájom nepretínajú.

V toku bez následkov sa udalosti objavujú v po sebe nasledujúcich časoch nezávisle od seba. Napríklad tok zákazníkov vstupujúcich do obchodu možno považovať za tok bez následkov, pretože dôvody, ktoré viedli k príchodu každého z nich, nesúvisia s podobnými dôvodmi pre iných kupujúcich.

Prúd udalostí je tzv obyčajný , ak je pravdepodobnosť zasiahnutia dvoch alebo viacerých udalostí naraz počas veľmi krátkeho časového úseku zanedbateľná v porovnaní s pravdepodobnosťou zasiahnutia iba jednej udalosti.

Inými slovami , obyčajný tok znamená praktickú nemožnosť súčasného prijatia dvoch alebo viacerých požiadaviek. Napríklad pravdepodobnosť, že zo skupiny strojov obsluhovaných tímom opravárov naraz zlyhá niekoľko strojov, je dosť malá. V bežnom toku sa udalosti vyskytujú po jednej, nie dve (alebo viac) naraz.

Ak má prúd súčasne vlastnosti stacionárnosť, obyčajnosť a nedostatok dôsledkov, potom sa takýto tok nazýva najjednoduchší (alebo Poissonov) tok udalostí .

Matematický popis vplyvu takéhoto toku na systémy je najjednoduchší. Preto najmä najjednoduchší tok zohráva osobitnú úlohu medzi ostatnými existujúcimi tokmi.

Metódy a modely používané v teórii radenia (QT) možno podmienečne rozdeliť na ANALYTICKÉ a SIMULAČNÉ.

Analytické metódy teórie radenia umožňujú získať charakteristiky systému ako niektoré funkcie parametrov jeho fungovania. To umožňuje vykonať kvalitatívnu analýzu vplyvu jednotlivých faktorov na efektívnosť QS.

Simulačné metódy sú založené na modelovaní procesov radenia na počítači a používajú sa, ak nie je možné použiť analytické modely.

V súčasnosti sú teoreticky najrozvinutejšie a v praktických aplikáciách najpohodlnejšie metódy riešenia takých problémov s radením, v ktorých prichádzajúci tok požiadaviek je najjednoduchší (Poisson).

Pre najjednoduchší tok sa frekvencia požiadaviek vstupujúcich do systému riadi Poissonovým zákonom, t.j. pravdepodobnosť prijatia včasthladkékpožiadavky daný vzorcom:

Dôležitou charakteristikou QS je čas potrebný na obsluhu požiadaviek v systéme.

Obslužný čas jednej požiadavky je spravidla náhodná veličina, a preto ju možno opísať distribučným zákonom.

Najrozšírenejšie v teórii a najmä v praktických aplikáciách sa dočkal exponenciálne rozdelenie servisného času. Distribučná funkcia pre tento zákon je:

F(t) = 1 - e - μ t, (2)

tie. pravdepodobnosť, že doba obsluhy nepresiahne určitú hodnotu t, je určená vzorcom (2), kde μ je parameter exponenciálneho distribučného zákona pre dobu obsluhy požiadaviek v systéme. To znamená, že μ je prevrátená hodnota priemerného servisného času ? o6 . :

μ = 1/ ? o6 . (3)

Okrem konceptu najjednoduchšieho toku udalostí je často potrebné použiť aj koncepty tokov iných typov.

Tok udalostí sa nazýva palmový prúd , keď v tomto toku sú časové intervaly medzi po sebe nasledujúcimi udalosťami T1, T2, ..., Tn nezávislé, rovnomerne rozdelené, náhodné premenné, ale na rozdiel od najjednoduchšieho toku nie nevyhnutne rozdelené podľa exponenciálneho zákona.

Najjednoduchší tok je špeciálny prípad toku Palm.

Dôležitým špeciálnym prípadom Palm flow je tzv Erlangov tok . Tento prúd sa získa „preriedením“ najjednoduchšieho prúdu. Takéto „preriedenie“ sa vykonáva výberom udalostí z najjednoduchšieho prúdu podľa určitého pravidla. Napríklad, ak súhlasíme s tým, že vezmeme do úvahy iba každú druhú udalosť z tých, ktoré tvoria najjednoduchší tok, získame Erlangov tok druhého rádu. Ak vezmeme len každú tretiu udalosť, potom sa vytvorí Erlangov tok tretieho rádu atď. Môžete získať prúdy Erlang akéhokoľvek k-tého rádu. Je zrejmé, že najjednoduchší tok je Erlangov tok prvého rádu.

KLASIFIKÁCIA SYSTÉMOV RADY.

Akékoľvek štúdium systému radenia (QS) začína štúdiom toho, čo je potrebné obsluhovať, teda štúdiom prichádzajúcich aplikácií a ich charakteristík.

1. V závislosti od podmienok čakania na začiatok služby rozlišovať:

QS so stratami (zlyhaním),

CMO s očakávaním.

IN CMO s poruchami požiadavky prichádzajúce v čase, keď sú všetky servisné kanály obsadené, sú odmietnuté a stratené. Klasickým príkladom systému s poruchami je telefónna ústredňa. Ak je volaný účastník zaneprázdnený, žiadosť o spojenie sa zamietne a stratí sa.

IN CMO s očakávaním požiadavka, keď sú všetky obslužné kanály obsadené, sa zaradí do radu a čaká, kým sa jeden z obslužných kanálov neuvoľní.

Radenie QS ale s obmedzeným počtom požiadaviek v ňom sa nazývajú systémy s obmedzenou dĺžkou frontu .

fronty umožňujúce QS, ale s obmedzenou dobou zotrvania každej požiadavky v nej, sa nazývajú systémy s limitovaný čas očakávania.

2. Podľa počtu servisných kanálov SMO sa delia na

- jednokanálový ;

- viackanálový .

3. Podľa miesta zdroja požiadaviek

SMO sa delia na:

- OTVORENÉ keď je zdroj požiadavky mimo systému;

- ZATVORENÉ keď je zdroj v samotnom systéme.

Príkladom systému s otvorenou slučkou je servis a opravovňa domácich spotrebičov. Tu sú chybné zariadenia zdrojom požiadaviek na ich údržbu, sú umiestnené mimo samotného systému, počet požiadaviek možno považovať za neobmedzený.

Medzi uzavreté QS patrí napríklad strojáreň, v ktorej obrábacie stroje sú zdroj zlyhania, a preto zdrojom požiadaviek na ich údržbu, napríklad tím nastavovačov.

Možné sú aj iné znaky klasifikácie QS, napr. služobná disciplína , jednofázové a viacfázové SMO atď.

3. MODELY QS. UKAZOVATELE KVALITY FUNGOVANIA QS.

Analytické modely najbežnejších QS uvažujme s očakávaním, t.j. taký QS, v ktorom sú požiadavky prijaté v momente, keď sú všetky obslužné kanály obsadené, zaradené do frontu a obsluhované, keď sa kanály uvoľnia.

VŠEOBECNÁ FORMULÁCIA PROBLÉMU POSKYTUJE NASLEDUJÚCEMU.

Systém má nobslužné kanály, z ktorých každá môže naraz obsluhovať iba jednu požiadavku.

Vstúpi do systému najjednoduchší (Poissonov) tok požiadaviek s parametromλ .

Ak je v čase prijatia ďalšej požiadavky systém už v prevádzke nie menej npožiadavky(t. j. všetky kanály sú obsadené), potom je táto požiadavka zaradená do frontu a čaká na spustenie služby.

Servisný čas podľa požiadavky t obj.- náhodná veličina, ktorá sa riadi exponenciálnym zákonom rozdelenia s parametromμ .

CMO S OČAKÁVANÍM JE MOŽNÉ ROZDIEŤ DO DVOCH VEĽKÝCH SKUPÍN: ZATVORENÉ A OTVORENÉ.

TO ZATVORENÉ zahŕňajú systémy, ktoré prichádzajúci prúd požiadaviek má pôvod v samotnom systéme a je obmedzený.

Napríklad majster, ktorého úlohou je nastavovať stroje v dielni, ich musí pravidelne opravovať. Každý dobre zabehnutý stroj sa stáva potenciálnym zdrojom požiadaviek na výstelku. V takýchto systémoch je celkový počet cirkulujúcich požiadaviek konečný a najčastejšie konštantný.

Ak napájací zdroj má nekonečné množstvo požiadaviek, potom sa volajú systémy OTVORENÉ.

Príkladmi takýchto systémov sú obchody, pokladne železničných staníc, prístavov atď. Pre tieto systémy možno vstupný tok požiadaviek považovať za neobmedzený.

Zaznamenané znaky fungovania systémov týchto dvoch typov kladú určité podmienky na použitý matematický aparát. Výpočet charakteristík QS rôznych typov je možné uskutočniť na základe výpočtu pravdepodobnosti stavov QS (tzv. Erlangove vzorce).

1. 1. SYSTÉM OTVORENEJ SLUČKY RADY S POČKANÍM.

Uvažujme o algoritmoch na výpočet indikátorov kvality fungovania QS s otvorenou slučkou s očakávaním.

Pri štúdiu takýchto systémov sa počítajú rôzne ukazovatele efektívnosti systému služieb. Hlavnými indikátormi môže byť pravdepodobnosť, že všetky kanály sú voľné alebo obsadené, matematické očakávanie dĺžky frontu (priemerná dĺžka frontu), koeficienty obsadenosti a čas nečinnosti obslužných kanálov atď.

Predstavme si parameter α = λ/μ . Všimnite si, že ak nerovnosť α / n < 1, potom rad nemôže rásť donekonečna.

Táto podmienka má nasledujúci význam: λ - priemerný počet prijatých požiadaviek pozadu jednotku času, 1/μ je potom priemerný čas obsluhy jednej požiadavky jedným kanálom α = λ (1/ μ) - priemerný počet kanálov, ktoré musíte obsluhovať za jednotku času všetky prichádzajúce požiadavky. Potom μ je priemerný počet požiadaviek obsluhovaných jedným kanálom za jednotku času.

Preto podmienka je: α / n < 1, znamená, že počet obslužných kanálov musí byť väčší ako priemerný počet kanálov požadovaných na obsluhu všetkých prichádzajúcich požiadaviek za jednotku času.

NAJDÔLEŽITEJŠIE CHARAKTERISTIKY PRÁCE QS ( pre systém radenia s otvorenou slučkou s čakaním):

1. PravdepodobnosťP 0 skutočnosť, že všetky kanály poskytovania sú bezplatné:

2. PravdepodobnosťP k skutočnosť, že je obsadených presne k obslužných kanálov, za predpokladu, že celkový počet zákazníkov v prevádzke nepresiahne počet obslužných zariadení, teda s 1 ≤ k≤ n:

3. PravdepodobnosťP k skutočnosť, že v systéme existuje k požiadaviek v prípade, keď je ich počet väčší ako počet obslužných kanálov, teda keď k > n:

4. PravdepodobnosťPNže všetky servisné kanály sú obsadené:

5. Priemerný čas čakania na požiadavku na spustenie služby v systéme:

6. Priemerná dĺžka frontu:

7. Priemerný počet bezplatných kanálov:

8. Kanál nečinný pomer:

9. Priemerný počet kanálov obsadených obsluhou:

10. Koeficient zaťaženia kanála

Spoločnosť zaoberajúca sa servisom a opravou domácich spotrebičov a elektroniky má dcérsku spoločnosť: opravovňu mobilných telefónov, kde n = 5 skúsených remeselníkov. V priemere počas pracovného dňa do opravy vstupuje obyvateľov λ =10 mobilné telefóny. Celkový počet Počet mobilných telefónov používaných obyvateľstvom je veľmi veľký a nezávisle od seba zlyhávajú v rôznych časoch. Preto existuje dôvod domnievať sa, že tok žiadostí o opravu zariadení je náhodný, Poisson. Každý mobilný telefón si zasa v závislosti od povahy poruchy vyžaduje aj iný náhodný čas na opravu. Čas na vykonanie opráv závisí vo veľkej miere od závažnosti prijatého poškodenia, kvalifikácie kapitána a mnohých ďalších dôvodov. Nech štatistiky ukazujú, že čas opravy sa riadi exponenciálnym zákonom; zároveň v priemere počas pracovného dňa stihne opraviť každý z majstrov μ = 2,5 mobilné telefóny.

Vyžaduje sa hodnotenie práce pobočky opravárenskej firmy -domáce prístroje a elektronika, po vypočítaní niekoľkých hlavných charakteristík tohto QS.

Ako časovú jednotku berieme 1 pracovný deň (7 hodín).

1. Definujte parameter

α \u003d λ / μ \u003d 10 / 2,5 \u003d 4.

Keďže α< n = 5, то можно сделать вывод: очередь не может расти безгранично.

2. Pravdepodobnosť P 0, že všetci kapitáni sú bez opravy zariadenia, sa rovná podľa (4):

P0 = (1 + 4 + 16/2 + 64/3! + 256/4! + 1024/5!(1- 4/5)) -1 = (77) -1 ≈ 0,013.

3. Pravdepodobnosť P5, že všetci majstri sú zaneprázdnení opravami, sa zistí podľa vzorca (7) (Pn pre n=5):

P5 = P0 1024 /5! (1-4/5) = P0 256/6 ≈ 0,554.

To znamená, že 55,4 % času je majster plne zaťažený prácou.

4. Priemerný čas údržby (opravy) jedného prístroja podľa vzorca (3):

? o6. = 1/μ = 7/2,5 \u003d 2,8 hodiny / zariadenie (dôležité: časová jednotka je 1 pracovný deň, t.j. 7 hodín).

5. V priemere sa čakacia doba každého chybného mobilného telefónu na začatie opravy rovná vzorcu (8):

počkaj. \u003d Pn / (μ (n-α)) \u003d 0,554 2,8 / (5 - 4) \u003d 1,55 hodiny.

6. Veľmi dôležitou charakteristikou je priemerná dĺžka frontu, ktorý definuje požadovaný priestor na skladovanie zariadení vyžadujúcich opravu; nájdeme to podľa vzorca (9):

Pts. = 4 P5/ (5-4) ≈ 2,2 mob. telefón.

7. Určte priemerný počet majstrov voľných podľa vzorca (10):

Ñ0 = P0 (5 + 16 + 24+ 64/3 + 32/3) = P0 77 ≈ 1 hlavný.

Opravám sa tak počas pracovného dňa venujú v priemere štyria z piatich remeselníkov.

1. 2. UZATVORENÝ SYSTÉM RADY.

Prejdime k úvahe o algoritmoch na výpočet charakteristík fungovania uzavretého QS.

Keďže je systém uzavretý, do problémového vyhlásenia by sa mala pridať podmienka: tok prichádzajúcich požiadaviek je obmedzený, t.j. v servisnom systéme nemôže byť súčasne viac m požiadavky ( m- počet obsluhovaných objektov).

Pre kritérium charakterizujúce kvalitu fungovania posudzovaného systému zvolíme pomer priemernej dĺžky frontu k najväčšiemu počtu požiadaviek, ktoré sú súčasne v obslužnom systéme - faktor prestojov obsluhovaného objektu .

Ako ďalšie kritérium si vezmime pomer priemerného počtu nečinných obslužných kanálov k ich celkovému počtu - pomer nečinnosti servisného kanála .

Prvé z týchto kritérií charakterizuje strata času v dôsledku čakania na spustenie služby; druhý ukazuje úplnosť načítania servisného systému.

Je zrejmé, že rad môže vzniknúť len vtedy, keď je počet obslužných kanálov menší ako najväčší počet požiadaviek, ktoré sú súčasne v servisnom systéme (n< m).

Uvádzame postupnosť výpočtov charakteristík uzavretých QS a potrebné vzorce.

PARAMETRE UZATVORENÝCH SYSTÉMOV RADY.

1. Definujte parameterα = λ / μ - indikátor zaťaženia systému, teda matematické očakávanie počtu požiadaviek vstupujúcich do systému za čas rovnajúci sa priemernej dobe trvania služby (1/μ = ?o6.).

2. PravdepodobnosťP k skutočnosť, že k obslužných kanálov je obsadených za predpokladu, že počet zákazníkov v systéme nepresiahne počet obslužných kanálov systému (to znamená, keď m≤ n) :

3. PravdepodobnosťP k skutočnosť, že v systéme existuje k požiadaviek pre prípad, keď je ich počet väčší ako počet obslužných kanálov (teda keď k> n, kdek≤ m):

4. PravdepodobnosťP 0 skutočnosť, že všetky obslužné kanály sú bezplatné, určíme pomocou zrejmého podmienka:

Potom sa hodnota P 0 bude rovnať:

5. PriemerMoch.požiadavky čakajúce na spustenie služby (priemerná dĺžka frontu):

Alebo berúc do úvahy vzorec (15)

6. Pomer prestojov servisovanej požiadavky (objektu):

7. PriemerMpožiadavky umiestnené v servisnom systéme, servisované a čakajúce na servis:

kde vzorce (14) a (15) sa používajú na výpočet prvého a druhého súčtu.

8. Priemerný počet bezplatných kanálov

kde P k sa vypočíta podľa vzorca (14).

9. Kľudový pomer servisného kanála

Zvážte príklad výpočtu charakteristík uzavretého QS.

Pracovník obsluhuje skupinu strojov, ktorá sa skladá z 3 strojov. Tok prichádzajúcich požiadaviek na servisné stroje je Poisson s parametrom λ = 2 st./h.

Údržba jedného stroja trvá pracovníkovi v priemere 12 minút a čas údržby podlieha exponenciálnemu zákonu.

Potom 1/μ = 0,2 hodiny/st., t.j. μ = 5 st./h., Parameter α = λ/μ = 0,4.

Je potrebné určiť priemerný počet strojov čakajúcich na obsluhu, pomer prestojov stroja, pomer prestojov pracovníkov.

Servisným kanálom je tu pracovník; keďže stroje obsluhuje jeden pracovník, tak n = 1 . Celkový počet požiadaviek nemôže presiahnuť počet strojov, t.j. m = 3 .

Systém môže byť v štyroch rôznych stavoch: 1) všetky stroje bežia; 2) jeden stojí a obsluhuje pracovník a dvaja pracujú; 3) dvaja stoja, jeden sa obsluhuje, jeden čaká na obsluhu; 4) traja stoja, jeden z nich je obsluhovaný a dvaja čakajú v rade.

Na zodpovedanie položených otázok možno použiť vzorce (14) a (15).

P1 = P06 0,4/2 = 1,2 P0;

P2 = P06 0,4 0,4 ​​= 0,96 P0;

P3 = P06 0,4 0,4 ​​0,4 ​​= 0,384 P0;

Zhrňme si výpočty do tabuľky (obr. 1).

		∑Pk/Po = 3,5440		∑ (k-n)Pk = 0,4875	∑k P k = 1,2053

Ryža. 1. Výpočet charakteristík uzavretého QS.

V tejto tabuľke je najskôr vypočítaný tretí stĺpec, t.j. pomery P ​​k /P 0 pre k = 0,1,2,3.

Potom sčítaním hodnôt v treťom stĺpci a berúc do úvahy, že ∑ P k = 1, dostaneme 1/P 0 = 3,544. Kde P 0 ≈ 0,2822.

Vynásobením hodnôt v treťom stĺpci P 0 získame hodnoty štvrtého stĺpca v zodpovedajúcich riadkoch.

Hodnotu P 0 = 0,2822, rovnajúcu sa pravdepodobnosti, že všetky stroje fungujú, možno interpretovať ako pravdepodobnosť, že pracovník je voľný. Ukazuje sa, že v posudzovanom prípade bude mať pracovník voľno viac ako 1/4 celého pracovného času. To však neznamená, že vždy nebude existovať „porada“ strojov čakajúcich na servis. Matematické očakávanie počtu automatov stojacich v rade je

Zhrnutím hodnôt v piatom stĺpci tabuľky dostaneme priemernú dĺžku frontu M och. = 0,4875. Preto v priemere z troch strojov bude 0,49 stroja nečinných a čaká, kým sa pracovník uvoľní.

Zhrnutím hodnôt v šiestom stĺpci tabuľky dostaneme matematický predpoklad počtu nečinných strojov (opravených a čakajúcich na opravu): M = 1,2053. To znamená, že v priemere 1,2 stroja nebude vyrábať produkty.

Koeficient prestojov stroja sa rovná K pr.ob. = M och. /3 = 0,1625. To znamená, že každý stroj je nečinný približne 0,16 pracovného času a čaká, kým sa pracovník uvoľní.

Nečinný faktor pracovníka sa v tomto prípade zhoduje s P 0, pretože n \u003d 1 (všetky obslužné kanály sú voľné), preto

Do pr.kan. \u003d N 0 / n \u003d 0,2822.

Abchuk V.A. Ekonomické a matematické metódy: Elementárna matematika a logika. Metódy operačného výskumu. - Petrohrad: Sojuz, 1999. - 320.

Eltarenko E.A. Operačný výskum (systémy radenia, teória hier, modely riadenia zásob). Návod. - M.: MEPhI, 2007. - S. 157.

Fomin G.P. Matematické metódy a modelky v komerčnej činnosti: Učebnica. - 2. vyd., prepracované. a dodatočné - M .: Financie a štatistika, 2005. - 616 s.: chor.

Shelobaev S. I. Matematické metódy a modely v ekonomike, financiách, obchode: Proc. príspevok pre vysoké školy. - M.: UNITI-DANA, 2001. - 367 s.

Ekonomické a matematické metódy a aplikované modely: Učebnica pre vysoké školy / V.V. Fedoseev, A.N. Garmash, D.M. Dayitbegov a ďalší; Ed. V.V. Fedosejev. - M.: UNITI, 1999. - 391 s.

Práca na kurze

"Simulácia systému radenia"

na kurze "Operačný výskum"

Úvod

V operačnom výskume sa často stretávame so systémami určenými na opakované použitie pri riešení rovnakého typu problémov. Procesy, ktoré v tomto prípade vznikajú, sa nazývajú servisné procesy a systémy sa nazývajú čakacie systémy (QS). Každý QS pozostáva z určitého počtu obslužných jednotiek (prístrojov, zariadení, bodov, staníc), ktoré sa nazývajú obslužné kanály. Kanály môžu byť komunikačné linky, operačné body, počítače, predajcovia atď. Podľa počtu kanálov sa QS delia na jednokanálové a viackanálové.

Aplikácie zvyčajne prichádzajú na QS nie pravidelne, ale náhodne, pričom tvoria takzvaný náhodný tok žiadostí (požiadaviek). Služba aplikácií tiež pokračuje nejaký náhodný čas. Náhodná povaha toku aplikácií a servisného času vedie k tomu, že QS sa načítava nerovnomerne: v niektorých časových úsekoch sa hromadí veľmi veľké množstvo aplikácií (buď sa zaraďujú do fronty, alebo nechávajú QS neobslúžené), zatiaľ čo v iných periódy QS pracuje s nízkym zaťažením alebo nečinnosťou.

Predmetom teórie radenia je konštrukcia matematických modelov, ktoré spájajú dané prevádzkové podmienky QS (počet kanálov, ich výkon, charakter toku aplikácií atď.) s výkonnostnými ukazovateľmi QS, ktoré popisujú jeho schopnosť vyrovnať sa s tokom aplikácií. Nasledujúce sa používajú ako ukazovatele výkonnosti QS:

- Absolútna priepustnosť systému ( A

Q

- pravdepodobnosť odmietnutia doručenia žiadosti ();

k);

- priemerný počet žiadostí vo fronte ();

QS sa delia na 2 hlavné typy: QS s poruchami a QS s čakaním (fronta). V QS s odmietnutiami je žiadosť, ktorá príde v čase, keď sú všetky kanály obsadené, odmietnutá, opustí QS a nezúčastňuje sa na ďalšom servisnom procese (napríklad žiadosť o telefonický rozhovor v čase, keď sú všetky kanály obsadené zaneprázdnený dostane odmietnutie a nechá QS neobslúžený) . V QS s čakaním reklamácia, ktorá príde v čase, keď sú všetky kanály obsadené, neodíde, ale zaradí sa do radu na obsluhu.

Jednou z metód na výpočet ukazovateľov výkonnosti QS je metóda simulácie. Praktické využitie počítačového simulačného modelovania zahŕňa konštrukciu vhodného matematického modelu, ktorý zohľadňuje faktory neurčitosti, dynamické charakteristiky a celý komplex vzťahov medzi prvkami skúmaného systému. Simulačné modelovanie fungovania systému začína určitým špecifickým počiatočným stavom. V dôsledku implementácie rôznych udalostí náhodného charakteru prechádza model systému do svojich ďalších možných stavov v nasledujúcich časových okamihoch. Tento evolučný proces pokračuje až do konca plánovacieho obdobia, t.j. až do konca simulácie.

1. Hlavné charakteristiky SOT a ukazovatele ich účinnosti

1.1 Pojem Markovovho stochastického procesu

Nech existuje nejaký systém, ktorý v priebehu času náhodne mení svoj stav. V tomto prípade hovoríme, že v systéme prebieha náhodný proces.

Proces sa nazýva proces s diskrétnymi stavmi, ak je možné jeho stavy vopred vyčísliť a prechod systému z jedného stavu do druhého nastáva skokom. Proces sa nazýva kontinuálny proces, ak prechody systému zo stavu do stavu nastanú okamžite.

Proces operácie QS je náhodný proces s diskrétnymi stavmi a nepretržitým časom.

Náhodný proces sa nazýva Markov alebo náhodný proces bez následkov, ak pravdepodobnostné charakteristiky procesu v budúcnosti závisia v akomkoľvek okamihu iba od jeho súčasného stavu a nezávisia od toho, kedy a ako sa systém do tohto stavu dostal.

Pri analýze procesov prevádzky QS je vhodné použiť geometrickú schému - stavový graf. Stavy systému sú zvyčajne znázornené obdĺžnikmi a možné prechody zo stavu do stavu sú znázornené šípkami. Príklad stavového grafu je na obr. 1.

Prúd udalostí je sled homogénnych udalostí nasledujúcich po sebe v náhodných časoch.

Prúdenie je charakterizované intenzitou λ - frekvenciou výskytu udalostí alebo priemerným počtom udalostí vstupujúcich do QS za jednotku času.

Prúd udalostí sa nazýva pravidelný, ak udalosti nasledujú za sebou v pravidelných intervaloch.

Prúd udalostí sa nazýva stacionárny, ak jeho pravdepodobnostné charakteristiky nezávisia od času. Najmä intenzita stacionárneho prúdenia je konštantná hodnota: .

Prúd udalostí sa nazýva obyčajný, ak pravdepodobnosť, že dve alebo viac udalostí zasiahne malý časový úsek, je malá v porovnaní s pravdepodobnosťou zasiahnutia jednej udalosti, t. j. ak sa v ňom udalosti vyskytujú po jednej, nie v skupinách.

Prúd udalostí sa nazýva prúd bez následkov, ak pre ľubovoľné dva nepretínajúce sa časové intervaly a počet udalostí pripadajúcich na jeden z nich nezávisí od počtu udalostí pripadajúcich na ostatné.

Prúd udalostí sa nazýva najjednoduchší (alebo stacionárny Poisson), ak je stacionárny, obyčajný a nemá žiadny následný efekt.

1.2 Kolmogorovove rovnice

Všetky prechody v systéme zo stavu do stavu sa vyskytujú v rámci určitého toku udalostí. Nech je systém v nejakom stave, z ktorého je možný prechod do stavu, potom môžeme predpokladať, že systém je ovplyvnený najjednoduchším tokom s intenzitou , ktorý ho prenáša zo stavu do . Hneď ako nastane prvá udalosť vlákna, dôjde k jeho prechodu. Kvôli prehľadnosti je na grafe stavu každá šípka zodpovedajúca prechodu označená intenzitou . Takto označený stavový graf umožňuje zostaviť matematický model procesu, t.j. nájsť pravdepodobnosti všetkých stavov ako funkciu času. Pre nich sa zostavujú diferenciálne rovnice, nazývané Kolmogorovove rovnice.

Pravidlo na zostavovanie Kolmogorovových rovníc: Na ľavej strane každej rovnice je časová derivácia pravdepodobnosti daný stav. Na pravej strane je súčet súčinov všetkých stavov, z ktorých je možný prechod do daného stavu, intenzitou zodpovedajúcich tokov udalostí mínus celková intenzita všetkých tokov, ktoré vyvedú systém z tohto stavu, vynásobený pravdepodobnosť tohto stavu.

Napríklad pre stavový graf znázornený na obr. 1 majú Kolmogorovove rovnice tvar:

Pretože na pravej strane systému každý člen vstúpi raz so znamienkom a raz so znamienkom , potom pridaním všetkých rovníc dostaneme, že

,

,

Preto je možné jednu z rovníc systému zahodiť a nahradiť rovnicou (1.2.1).

Pre získanie konkrétneho riešenia je potrebné poznať počiatočné podmienky, t.j. pravdepodobnosti v počiatočnom čase.

1.3 Konečné pravdepodobnosti a stavový graf QS

Na dostatočne dlhý čas procesov v systéme (at ) možno stanoviť pravdepodobnosti stavov, ktoré nezávisia od času, ktoré sa nazývajú konečné pravdepodobnosti, t.j. systém je v stacionárnom režime. Ak je počet stavov systému konečný a z každého z nich v konečnom počte krokov je možné prejsť do akéhokoľvek iného stavu, potom existujú konečné pravdepodobnosti, t.j.

Význam konečných pravdepodobností je, že sa rovnajú priemernému relatívnemu času strávenému systémom v danom stave.

Pretože v stacionárnom stave sa časové derivácie rovnajú nule, potom sa rovnice pre konečné pravdepodobnosti získajú z Kolmogorovových rovníc prirovnaním ich pravej strany k nule.

Stavové grafy používané v modeloch čakacích systémov sa nazývajú schéma smrti a plemena. Tento názov je spôsobený skutočnosťou, že táto schéma sa používa v biologických problémoch súvisiacich so štúdiom veľkosti populácie. Jeho zvláštnosť spočíva v tom, že všetky stavy systému možno znázorniť ako reťazec, v ktorom je každý zo stavov prepojený s predchádzajúcimi a nasledujúcimi (obr. 2).

Ryža. 2. Graf stavov v modeloch QS

Predpokladajme, že všetky toky, ktoré prenášajú systém z jedného stavu do druhého, sú tie najjednoduchšie. Podľa grafu na obr. 2 zostavíme rovnice pre konečné pravdepodobnosti sústavy. Vyzerajú takto:

Systém je získaný z ( n +1) rovnice, ktorá sa rieši eliminačnou metódou. Táto metóda spočíva v tom, že postupne všetky pravdepodobnosti systému sú vyjadrené prostredníctvom pravdepodobnosti.

,

.

Dosadením týchto výrazov do poslednej rovnice systému nájdeme , potom nájdeme zostávajúce pravdepodobnosti stavov QS.

1.4 Ukazovatele výkonnosti QS

Účelom modelovania QS je vypočítať výkon systému prostredníctvom jeho charakteristík. Nasledujúce sa používajú ako ukazovatele výkonnosti QS:

je absolútna kapacita systému ( A), t.j. priemerný počet doručených aplikácií za jednotku času;

je relatívna priepustnosť ( Q), t.j. priemerný podiel prijatých požiadaviek obsluhovaných systémom;

je pravdepodobnosť zlyhania (), t.j. pravdepodobnosť, že aplikácia ponechá QS neobslúžený;

je priemerný počet obsadených kanálov ( k);

- priemerný počet aplikácií v QS ();

– priemerný čas zotrvania aplikácie v systéme ();

- priemerný počet žiadostí vo fronte () - dĺžka frontu;

- priemerný počet aplikácií v systéme ();

- priemerný čas, počas ktorého aplikácia zostáva vo fronte ();

- priemerný čas, počas ktorého aplikácia zostáva v systéme ()

– stupeň zaťaženia kanála (), t.j. pravdepodobnosť, že kanál je obsadený;

je priemerný počet aplikácií obsluhovaných za jednotku času;

– priemerný čas čakania na servis;

– pravdepodobnosť, že počet žiadostí vo fronte prekročí určitú hodnotu atď.

Bolo dokázané, že pre akúkoľvek povahu toku požiadaviek, pre akúkoľvek distribúciu času služby, pre akúkoľvek disciplínu služby sa priemerný čas požiadavky v systéme (vo fronte) rovná priemernému počtu požiadaviek v systéme. (front) delené intenzitou toku požiadaviek, t.j.

(1.4.1)

Vzorce (1.4.1) a (1.4.2) sa nazývajú malé vzorce. Vyplývajú zo skutočnosti, že v obmedzujúcom stacionárnom režime sa priemerný počet škôd prichádzajúcich do systému rovná priemernému počtu škôd, ktoré z neho odchádzajú, t. oba prúdy aplikácií majú rovnakú intenzitu.

Vzorce na výpočet ukazovateľov výkonnosti sú uvedené v tabuľke. 1.

Stôl 1.

Ukazovatele	Jednokanálový QS s obmedzený rad	Viackanálové QS s obmedzený rad
Finálny pravdepodobnosti
Pravdepodobnosť
Absolútna priepustnosť schopnosť
Relatívna priepustnosť schopnosť
Priemerný počet aplikácií na
Priemerný počet aplikácií pod služby
Priemerný počet aplikácií v systéme

1.5 Základné pojmy simulácie

Hlavným cieľom simulačného modelovania je reprodukovať správanie skúmaného systému na základe analýzy najvýznamnejších vzťahov jeho prvkov.

Počítačová simulácia by sa mala považovať za statický experiment.

Z teórie funkcií náhodných veličín je známe, že na modelovanie náhodnej premennej s akoukoľvek spojitou a monotónne rastúcou distribučnou funkciou stačí vedieť modelovať náhodnú premennú rovnomerne rozloženú na intervale . Po získaní realizácie náhodnej premennej je možné nájsť zodpovedajúcu realizáciu náhodnej premennej , pretože sú spojené rovnosťou

Predpokladajme, že v niektorom systéme radenia je čas obsluhy jedného zákazníka rozdelený podľa exponenciálneho zákona s parametrom , kde je intenzita toku služieb. Potom funkcia rozdelenia času obsluhy má tvar

Nech je realizácia náhodnej premennej , rovnomerne rozloženej na intervale , a nech je jej zodpovedajúca realizácia náhodného servisného času jednej požiadavky. Potom podľa (1.5.1)

1.6 Budovanie simulačných modelov

Prvou fázou pri vytváraní akéhokoľvek simulačného modelu je fáza opisu reálneho systému z hľadiska charakteristík hlavných udalostí. Tieto udalosti sú spravidla spojené s prechodmi skúmaného systému z jedného možného stavu do druhého a sú označené ako body na časovej osi. Na dosiahnutie hlavného cieľa modelovania stačí sledovať systém v momentoch realizácie hlavných udalostí.

Uvažujme o príklade jednokanálového systému radenia. Účelom simulačného modelovania takéhoto systému je určiť odhady jeho hlavných charakteristík, ako je priemerný čas strávený aplikáciou vo fronte, priemerná dĺžka frontu a podiel prestojov systému.

Charakteristiky samotného procesu zaraďovania môžu meniť svoje hodnoty buď v momente prijatia novej požiadavky na službu, alebo na konci obsluhy ďalšej požiadavky. QS môže začať obsluhovať nasledujúcu požiadavku okamžite (servisný kanál je voľný), ale nie je vylúčená nutnosť čakať, kedy sa požiadavka musí zaradiť do frontu (QS s frontom, obslužný kanál je obsadený). Po dokončení obsluhy ďalšej požiadavky môže QS okamžite začať obsluhovať ďalšiu požiadavku, ak existuje, ale môže tiež zostať nečinná, ak žiadna neexistuje. Potrebné informácie možno získať pozorovaním rôznych situácií, ktoré vznikajú pri realizácii hlavných udalostí. Takže, keď do QS príde reklamácia s frontom s obsadeným obslužným kanálom, dĺžka frontu sa zväčší o 1. Podobne sa dĺžka frontu zníži o 1, ak sa dokončí obsluha ďalšej reklamácie a súbor nárokov vo fronte nie je prázdny.

Pre fungovanie akéhokoľvek simulačného modelu je potrebné zvoliť jednotku času. V závislosti od charakteru modelovaného systému môže byť takouto jednotkou mikrosekunda, hodina, rok atď.

Keďže počítačová simulácia je vo svojej podstate výpočtovým experimentom, jej pozorované výsledky v súhrne musia mať vlastnosti implementácie náhodnej vzorky. Len v tomto prípade bude zabezpečená správna štatistická interpretácia simulovaného systému.

Pri počítačovom simulačnom modelovaní sú hlavným záujmom pozorovania získané po tom, ako sa skúmaný systém dostane do stacionárneho režimu prevádzky, pretože v tomto prípade sa rozptyl vzorky prudko znižuje.

Čas potrebný na to, aby systém dosiahol stacionárny režim prevádzky, je určený hodnotami jeho parametrov a počiatočným stavom.

Keďže hlavným cieľom je získať pozorovacie údaje s najmenšou možnou chybou, na dosiahnutie tohto cieľa môžete:

1) zvýšiť trvanie simulačného modelovania procesu fungovania skúmaného systému. V tomto prípade sa zvyšuje nielen pravdepodobnosť, že systém dosiahne stacionárny režim prevádzky, ale zvyšuje sa aj počet použitých pseudonáhodných čísel, čo tiež pozitívne ovplyvňuje kvalitu získaných výsledkov.

2) na dobu určitú T simulačné modelovanie N výpočtové experimenty, nazývané aj modelové chody, s rôznymi súbormi pseudonáhodných čísel, z ktorých každý poskytuje jedno pozorovanie. Všetky behy začínajú s rovnakým počiatočným stavom simulovaného systému, ale s použitím rôznych súborov pseudonáhodných čísel. Výhodou tejto metódy je nezávislosť získaných pozorovaní, ukazovateľov účinnosti systému. Ak číslo N model je dostatočne veľký, potom hranice symetrické interval spoľahlivosti pre parameter sú definované takto:

, , t.j. , Kde

korigovaný rozptyl, ,

N– počet spustení programu, – spoľahlivosť, .

2. Analytické modelovanie QS

2.1 Stavový graf sústavy a Kolmogorovova rovnica

Zvážte dvojkanálový systém zaraďovania do frontu (n = 2) s obmedzeným radom rovným šiestim (m = 4). QS prijíma najjednoduchší tok aplikácií s priemernou intenzitou λ = 4,8 a exponenciálnym zákonom rozloženia času medzi príchodom aplikácií. Tok požiadaviek obsluhovaných v systéme je najjednoduchší s priemernou intenzitou μ = 2 a exponenciálnym zákonom rozloženia času obsluhy.

Tento systém má 7 stavov, označujeme ich:

S 0 - systém je bezplatný, neexistujú žiadne požiadavky;

S 1 - 1 servisná požiadavka, front je prázdny;

S 2 - 2 požiadavky na službu, rad je prázdny;

S 3 - 2 požiadavky na službu, 1 požiadavka vo fronte;

S 4 - 2 požiadavky na obsluhu, 2 požiadavky v rade;

S 5 - 2 požiadavky na službu, 3 požiadavky v rade;

S 6 - 2 požiadavky na obsluhu, 4 požiadavky v rade;

Pravdepodobnosti vstupu systému do stavov S 0 , S 1 , S 2 , …, S 6 sú v tomto poradí rovné Р 0 , Р 1 , Р 2 , …, Р 6 .

Stavový graf systému zaraďovania je schéma smrti a reprodukcie. Všetky stavy systému možno znázorniť ako reťazec, v ktorom je každý zo stavov spojený s predchádzajúcim a nasledujúcim.

Ryža. 3. Graf stavov dvojkanálového QS

Pre zostrojený graf napíšeme Kolmogorovove rovnice:

Na vyriešenie tohto systému nastavíme počiatočné podmienky:

Kolmogorovov systém rovníc (systém diferenciálne rovnice) riešime numerickou Eulerovou metódou pomocou programového balíka Maple 11 (pozri prílohu 1).

Eulerova metóda

Kde - v našom prípade sú to správne časti Kolmogorovových rovníc, n=6.

Vyberme si časový krok. Predpokladajme kde T je čas, ktorý systém potrebuje na dosiahnutie ustáleného stavu. Odtiaľ dostaneme počet krokov . Dôsledne N po výpočte podľa vzorca (1) získame závislosti pravdepodobnosti stavov sústavy od času, znázornené na obr. 4.

Hodnoty pravdepodobnosti QS sa rovnajú:

Ryža. 4. Závislosti pravdepodobnosti stavov sústavy na čase

P0

P5

P4

P3

P2

P1

2.2 Konečné pravdepodobnosti systému

Pri dostatočne dlhom čase pre procesy v systéme () možno stanoviť pravdepodobnosti stavov, ktoré nezávisia od času, ktoré sa nazývajú konečné pravdepodobnosti, t.j. systém je v stacionárnom režime. Ak je počet stavov sústavy konečný a z každého z nich je možné v konečnom počte krokov prejsť do akéhokoľvek iného stavu, potom existujú konečné pravdepodobnosti, t.j.

Pretože v stacionárnom stave sú časové derivácie rovné 0, potom rovnice pre konečné pravdepodobnosti získame z Kolmogorovových rovníc rovnaním pravej strany k 0. Napíšme rovnice pre konečné pravdepodobnosti pre naše QS.

Poďme vyriešiť tento systém lineárne rovnice pomocou softvérového balíka Maple 11 (pozri prílohu 1).

Dostaneme konečné pravdepodobnosti systému:

Porovnanie pravdepodobností získaných zo systému Kolmogorovových rovníc pre , s konečnými pravdepodobnosťami ukazuje, že chyby sú si rovné:

Tie. dostatočne malý. To potvrdzuje správnosť získaných výsledkov.

2.3 Výpočet ukazovateľov výkonnosti systému podľa konečných pravdepodobností

Poďme nájsť ukazovatele výkonnosti systému radenia.

Najprv vypočítame zníženú intenzitu toku požiadaviek:

1) Pravdepodobnosť odmietnutia doručenia aplikácie, t.j. pravdepodobnosť, že zákazník opustí systém bez obsluhy V našom prípade je zákazníkovi odmietnutá služba, ak sú všetky 2 kanály obsadené a front je maximálne plný (t.j. 4 ľudia vo fronte), to zodpovedá stavu systému S 6 . Pretože pravdepodobnosť, že systém vstúpi do stavu S 6 je P 6 , potom

4) Priemerná dĺžka frontu, t.j. priemerný počet požiadaviek vo fronte sa rovná súčtu súčinov počtu požiadaviek vo fronte a pravdepodobnosti zodpovedajúceho stavu.

5) Priemerný čas, ktorý aplikácia strávi vo fronte, je určený Littleovým vzorcom:

3. Simulačné modelovanie QS

3.1 Algoritmus simulačnej metódy QS (prístup krok za krokom)

Zvážte dvojkanálový systém zaraďovania do frontu (n = 2) s maximálnou dĺžkou frontu šesť (m = 4). QS prijíma najjednoduchší tok aplikácií s priemernou intenzitou λ = 4,8 a exponenciálnym zákonom rozloženia času medzi príchodom aplikácií. Tok požiadaviek obsluhovaných v systéme je najjednoduchší s priemernou intenzitou μ = 2 a exponenciálnym zákonom rozloženia času obsluhy.

Na simuláciu QS použijeme jednu z metód štatistického modelovania - simulačné modelovanie. Použijeme postup krok za krokom. Podstatou tohto prístupu je, že stavy systému sa zvažujú v nasledujúcich časových okamihoch, pričom krok medzi nimi je dostatočne malý na to, aby v jeho čase nenastala viac ako jedna udalosť.

Vyberieme si časový krok (). Mala by byť oveľa menšia ako priemerný čas prijatia žiadosti () a priemerný čas jej doručenia (), t.j.

Kde (3.1.1)

Na základe podmienky (3.1.1) určíme časový krok .

Čas prijatia žiadosti v QS a čas jej doručenia sú náhodné premenné. Preto sa pri simulácii QS počítajú pomocou náhodných čísel.

Zvážte prijatie žiadosti v SOT. Pravdepodobnosť, že objednávka príde do QS počas intervalu, sa rovná: . Vygenerujme náhodné číslo a ak , potom budeme predpokladať, že požiadavka v tomto kroku vstúpila do systému, ak , potom nevstúpil.

Toto sa robí v programe isRequested () . Vezmeme časový interval konštantný a rovný 0,0001, potom bude pomer rovný 10000. Ak je požiadavka prijatá, potom nadobudne hodnotu "true", inak je hodnota "false".

bool isRequested()

double r = R.NextDouble();

ak (r< (timeStep * lambda))

Uvažujme teraz o službe aplikácie v QS. Čas obsluhy aplikácie v systéme je určený výrazom , kde je náhodné číslo. V programe je čas obsluhy určený pomocou funkcie GetServiceTime () .

double GetServiceTime()

double r = R.NextDouble();

return(-1/mu*Math. Log(1-r, Math.E));

Algoritmus simulačnej metódy možno formulovať nasledovne. Prevádzkové hodiny QS ( T) je rozdelená do časových krokov dt, každý z nich vykoná sériu akcií. Najprv sa určia stavy systému (obsadené kanály, dĺžka frontu), potom pomocou funkcie isRequested () , zisťuje sa, či bola žiadosť v tomto kroku prijatá alebo nie.

Ak sú prijaté a zároveň sú k dispozícii voľné kanály, použite funkciu GetServiceTime () vygenerujeme čas spracovania žiadosti a uvedieme ju do prevádzky. Ak sú všetky kanály obsadené a dĺžka frontu je menšia ako 4, potom zaradíme požiadavku do frontu; ak je dĺžka frontu 4, potom bude žiadosť zamietnutá.

V prípade, že v tomto kroku nebola požiadavka prijatá a servisný kanál bol voľný, skontrolujeme, či existuje fronta. Ak existuje, potom z fronty vložíme požiadavku na servis na bezplatný kanál. Po vykonaných operáciách sa servisný čas pre obsadené kanály zníži o hodnotu kroku dt .

Po uplynutí času T t.j. po namodelovaní prevádzky QS sa vypočítajú ukazovatele výkonu systému a výsledky sa zobrazia na obrazovke.

3.2 Vývojový diagram programu

Bloková schéma programu, ktorý implementuje opísaný algoritmus, je znázornená na obr. 5.

Ryža. 5. Vývojový diagram programu

Napíšme si niektoré bloky podrobnejšie.

Blok 1. Nastavenie počiatočných hodnôt parametrov.

Náhodné R; // Generátor náhodných čísel

public uint maxQueueLength; // Maximálna dĺžka frontu

počet kanálov verejnej jednotky; // Počet kanálov v systéme

verejná dvojitá lambda; // Intenzita toku prichádzajúcich požiadaviek

verejné dvojité mu; // Intenzita toku obsluhy požiadaviek

verejný dvojitý časKrok; // Časový krok

public double timeOfFinishProcessingReq; // Čas ukončenia obsluhy požiadavky vo všetkých kanáloch

verejný dvojitý timeInQueue; // Čas strávený QS v štátoch s frontom

verejné dvojité spracovanieČas; // Čas behu systému

public double totalProcessingTime; // Celkový čas na servisné požiadavky

public uint requestEntryCount; // Počet prijatých žiadostí

public uint odmietnutýPočet žiadostí; // Počet zamietnutých žiadostí

public uint prijatýPočet žiadostí; // Počet obsluhovaných žiadostí

uint queueLength; // Dĺžka fronty //

Typ popisujúci stavy QS

enum SysCondition(SO, S1, S2, S3, S4, S5, S6);

SysCondition currentSystemCondition; // Aktuálny stav systému

Nastavenie stavov systému. Vyberme 7 rôznych stavov pre tento 2-kanálový systém: S 0 , S 1 . S 6. QS je v stave S 0, keď je systém voľný; S 1 – aspoň jeden kanál je voľný; v stave S2, keď sú všetky kanály obsadené a vo fronte je miesto; v stave S 6 sú všetky kanály obsadené a front dosiahol maximálnu dĺžku (dĺžka frontu = 4).

Pomocou funkcie zisťujeme aktuálny stav systému GetCondition()

SysCondition GetCondition()

SysCondition p_currentCondit = SysCondition.S0;

int busyChannelCount = 0;

pre (int i = 0; i< channelCount; i++)

if (timeOfFinishProcessingReq[i] > 0)

busyChannelCount++;

p_currentCondit += k * (i + 1);

if (busyChannelCount > 1)

(p_currentCondit++;)

return p_currentCondit + (int) QueueLength;

Zmena času pobytu QS v štátoch s dĺžkou frontu 1, 2, 3, 4. Toto je implementované nasledujúcim kódom:

if (dĺžka frontu > 0)

timeInQueue += timeStep;

if (dĺžka frontu > 1)

(timeInQueue += timeStep;)

Existuje taká operácia ako umiestnenie požiadavky na službu na bezplatný kanál. Všetky kanály sa prehľadajú, počnúc prvým, keď je splnená podmienka timeOfFinishProcessingReq [ i ] <= 0 (kanál je bezplatný), odošle sa naň prihláška, t.j. vygeneruje sa čas ukončenia spracovania požiadavky.

pre (int i = 0; i< channelCount; i++)

if (timeOfFinishProcessingReq[i]<= 0)

timeOfFinishProcessingReq[i] = GetServiceTime();

totalProcessingTime+= timeOfFinishProcessingReq[i];

Obsluha aplikácií v kanáloch je modelovaná kódom:

pre (int i = 0; i< channelCount; i++)

if (timeOfFinishProcessingReq[i] > 0)

timeOfFinishProcessingReq[i] -= timeStep;

Algoritmus simulačnej metódy je implementovaný v programovacom jazyku C#.

3.3 Výpočet QS ukazovatele výkonnosti založené na výsledky jeho simulácie

Najdôležitejšie ukazovatele sú:

1) Pravdepodobnosť odmietnutia doručenia žiadosti, t.j. pravdepodobnosť, že zákazník opustí systém neobslúžený. V našom prípade je zákazníkovi odmietnutá služba, ak sú všetky 2 kanály obsadené a front je maximálne zaplnený (t. j. 4 ľudia vo fronte). Na zistenie pravdepodobnosti zlyhania vydelíme čas, počas ktorého QS zostane v stave s frontom 4, celkovým časom systému.

2) Relatívna priepustnosť je priemerný podiel prichádzajúcich požiadaviek obsluhovaných systémom.

3) Absolútna priepustnosť je priemerný počet aplikácií obsluhovaných za jednotku času.

4) Dĺžka frontu, t.j. priemerný počet aplikácií vo fronte. Dĺžka frontu sa rovná súčtu súčinov počtu ľudí vo fronte a pravdepodobnosti zodpovedajúceho stavu. Pravdepodobnosti stavov nájdeme ako pomer času QS v tomto stave k celkovému času prevádzky systému.

5) Priemerný čas, ktorý aplikácia strávi vo fronte, je určený Littleovým vzorcom

6) Priemerný počet obsadených kanálov je definovaný takto:

7) Percento aplikácií, ktorým bola služba odmietnutá, sa zistí podľa vzorca

8) Percento obsluhovaných požiadaviek sa zistí podľa vzorca

3.4 Štatistické spracovanie výsledkov a ich porovnanie s výsledkami analytického modelovania

Pretože ukazovatele výkonnosti sa získavajú ako výsledok modelovania QS na konečný čas, obsahujú náhodnú zložku. Pre získanie spoľahlivejších výsledkov je preto potrebné vykonať ich štatistické spracovanie. Na tento účel im odhadujeme interval spoľahlivosti na základe výsledkov 20 spustení programu.

Hodnota spadá do intervalu spoľahlivosti, ak je nerovnosť

, Kde

matematické očakávanie (priemerná hodnota), sa zistí podľa vzorca

korigovaný rozptyl,

,

N =20 - počet jázd

- spoľahlivosť. Pri a N =20 .

Výsledok programu je znázornený na obr. 6.

Ryža. 6. Typ programu

Pre uľahčenie porovnania výsledkov získaných rôznymi metódami modelovania ich uvádzame vo forme tabuľky.

Tabuľka 2

Ukazovatele Účinnosť QS	výsledky analytické modelovanie	výsledky simulačné modelovanie (posledný krok)	Výsledky simulácie
			Spodná čiara zverenec interval	Horná hranica zverenec interval
Pravdepodobnosť zlyhania		0,174698253017626	0,158495148639101	0,246483801571923
Relatívna šírka pásma		0,825301746982374	0,753516198428077	0,841504851360899
Absolútna šírka pásma		3,96144838551539	3,61687775245477	4,03922328653232
Priemerná dĺžka frontu		1,68655313447018	1,62655862750852	2,10148609204869
Priemerný čas, ktorý aplikácia strávi vo fronte	0,4242558575	0,351365236347954	0,338866380730942	0,437809602510145
Priemerne obsadené kanály		1,9807241927577	1,80843887622738	2,01961164326616

Z tabuľky. Obrázok 2 ukazuje, že výsledky získané pri analytickom modelovaní QS spadajú do intervalu spoľahlivosti získaného z výsledkov simulácie. To znamená, že výsledky získané rôznymi metódami sú konzistentné.

Záver

V tomto článku sú zvažované hlavné metódy modelovania QS a výpočtu ich výkonnostných ukazovateľov.

Simulácia dvojkanálového QS s maximálnou dĺžkou frontu 4 bola vykonaná pomocou Kolmogorovových rovníc a boli zistené konečné pravdepodobnosti stavov systému. Vypočítajú sa ukazovatele jeho účinnosti.

Uskutočnilo sa simulačné modelovanie činnosti takéhoto QS. V programovacom jazyku C# bol zostavený program, ktorý simuluje jeho činnosť. Bola vykonaná séria výpočtov, na základe ktorých boli zistené hodnoty ukazovateľov efektívnosti systému a bolo vykonané ich štatistické spracovanie.

Výsledky získané počas simulačného modelovania sú v súlade s výsledkami analytického modelovania.

Literatúra

1. Wentzel E.S. Operačný výskum. – M.: Drop, 2004. – 208 s.

2. Volkov I.K., Zagoruiko E.A. Operačný výskum. - M .: Vydavateľstvo MSTU im. N.E. Bauman, 2002. - 435 s.

3. Volkov I.K., Zuev S.M., Tsvetkova G.M. náhodné procesy. - M .: Vydavateľstvo MSTU im. N.E. Bauman, 2000. - 447 s.

4. Gmurman V.E. Sprievodca riešením problémov v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike. - M.: Vyššia škola, 1979. - 400 s.

5. Ivnitsky V.L. Teória radiacich sietí. – M.: Fizmatlit, 2004. – 772 s.

6. Výskumné operácie v hospodárstve / vyd. N.Sh. Kremer. - M.: Jednota, 2004. - 407 s.

7. Takha H.A. Úvod do operačného výskumu. - M.: Vydavateľstvo "Williams", 2005. - 902 s.

8. Kharin Yu.S., Malyugin V.I., Kirlitsa V.P. et al Základy simulácie a štatistického modelovania. - Minsk: Design PRO, 1997. - 288 s.