Často len zmienka diferenciálne rovnice znepríjemňuje študentom. Prečo sa to deje? Najčastejšie preto, že pri štúdiu základov materiálu vzniká medzera vo vedomostiach, vďaka ktorej sa ďalšie štúdium difurov stáva jednoducho mučením. Nič nie je jasné, čo robiť, ako sa rozhodnúť, kde začať?

Pokúsime sa vám však ukázať, že difury nie sú také ťažké, ako sa zdá.

Základné pojmy z teórie diferenciálnych rovníc

Zo školy poznáme najjednoduchšie rovnice, v ktorých potrebujeme nájsť neznáme x. v skutočnosti diferenciálne rovnice len mierne odlišné od nich - namiesto premennej X potrebujú nájsť funkciu y(x) , čo zmení rovnicu na identitu.

D diferenciálne rovnice majú veľký praktický význam. Toto nie je abstraktná matematika, ktorá nemá nič spoločné so svetom okolo nás. Pomocou diferenciálnych rovníc je popísaných veľa skutočných prírodných procesov. Napríklad vibrácie strún, pohyb harmonického oscilátora, pomocou diferenciálnych rovníc v úlohách mechaniky zisťujú rýchlosť a zrýchlenie telesa. Tiež DU Nájsť široké uplatnenie v biológii, chémii, ekonómii a mnohých iných vedách.

Diferenciálnej rovnice (DU) je rovnica obsahujúca derivácie funkcie y(x), samotnú funkciu, nezávislé premenné a ďalšie parametre v rôznych kombináciách.

Existuje mnoho typov diferenciálnych rovníc: obyčajné diferenciálne rovnice, lineárne a nelineárne, homogénne a nehomogénne, diferenciálne rovnice prvého a vyššieho rádu, parciálne diferenciálne rovnice atď.

rozhodnutie Diferenciálnej rovnice je funkcia, ktorá ho mení na identitu. Existujú všeobecné a špeciálne riešenia diaľkového ovládania.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice je všeobecná množina riešení, ktoré menia rovnicu na identitu. Konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice je riešenie, ktoré spĺňa dodatočné podmienky špecifikované na začiatku.

Určí sa poradie diferenciálnej rovnice najvyššieho rádu deriváty v ňom zahrnuté.

Obyčajné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice sú rovnice obsahujúce jednu nezávislú premennú.

Zvážte najjednoduchšiu obyčajnú diferenciálnu rovnicu prvého rádu. Vyzerá to ako:

Táto rovnica sa dá vyriešiť jednoducho integráciou jej pravej strany.

Príklady takýchto rovníc:

Oddeliteľné premenné rovnice

IN všeobecný pohľad tento typ rovnice vyzerá takto:

Tu je príklad:

Pri riešení takejto rovnice musíte oddeliť premenné a uviesť ich do tvaru:

Potom zostáva integrovať obe časti a získať riešenie.

Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu

Takéto rovnice majú tvar:

Tu p(x) a q(x) sú niektoré funkcie nezávislej premennej a y=y(x) je požadovaná funkcia. Tu je príklad takejto rovnice:

Pri riešení takejto rovnice najčastejšie využívajú metódu variácie ľubovoľnej konštanty alebo reprezentujú požadovanú funkciu ako súčin dvoch ďalších funkcií y(x)=u(x)v(x).

Na vyriešenie takýchto rovníc je potrebná určitá príprava a bude dosť ťažké ich vziať „z rozmaru“.

Príklad riešenia DE so separovateľnými premennými

Takže sme zvážili najjednoduchšie typy diaľkového ovládania. Teraz sa pozrime na jeden z nich. Nech je to rovnica s oddeliteľnými premennými.

Najprv prepíšeme derivát do známejšieho tvaru:

Potom oddelíme premenné, to znamená, že v jednej časti rovnice zhromaždíme všetky „hry“ a v druhej časti „xes“:

Teraz zostáva integrovať obe časti:

Integrujeme a dostaneme spoločné rozhodnutie daná rovnica:

Samozrejme, riešenie diferenciálnych rovníc je istý druh umenia. Musíte byť schopní pochopiť, ku ktorému typu rovnice patrí, a tiež sa naučiť vidieť, aké transformácie s ňou musíte urobiť, aby ste ju dostali do tej či onej podoby, nehovoriac len o schopnosti rozlišovať a integrovať. A na vyriešenie DE treba prax (ako na všetko). A ak momentálne nemáte čas prísť na to, ako sa riešia diferenciálne rovnice, alebo vám Cauchyho problém narástol ako kosť v krku, alebo neviete, kontaktujte našich autorov. V krátkom čase vám poskytneme hotové a podrobné riešenie, ktorého detailom môžete kedykoľvek porozumieť. Medzitým vám odporúčame pozrieť si video na tému „Ako riešiť diferenciálne rovnice“:

V niektorých problémoch fyziky nie je možné stanoviť priamu súvislosť medzi veličinami popisujúcimi proces. Existuje však možnosť získať rovnosť obsahujúcu deriváty skúmaných funkcií. Takto vznikajú diferenciálne rovnice a potreba ich riešenia, aby sme našli neznámu funkciu.

Tento článok je určený pre tých, ktorí stoja pred problémom riešenia diferenciálnej rovnice, v ktorej je neznáma funkcia funkciou jednej premennej. Teória je postavená tak, že s nulovým pochopením diferenciálnych rovníc môžete robiť svoju prácu.

Každý typ diferenciálnych rovníc je spojený s metódou riešenia s podrobným vysvetlením a riešením typických príkladov a problémov. Musíte len určiť typ diferenciálnej rovnice vášho problému, nájsť podobný analyzovaný príklad a vykonať podobné akcie.

Na úspešné riešenie diferenciálnych rovníc budete potrebovať aj schopnosť nájsť množiny primitívnych integrálov (neurčité integrály) rôznych funkcií. V prípade potreby vám odporúčame pozrieť si časť.

Najprv zvážte typy obyčajných diferenciálnych rovníc prvého rádu, ktoré je možné riešiť s ohľadom na deriváciu, potom prejdeme k ODR druhého rádu, potom sa zastavíme pri rovniciach vyššieho rádu a skončíme systémami diferenciálnych rovníc.

Pripomeňme si, že ak y je funkciou argumentu x .

Diferenciálne rovnice prvého rádu.

Najjednoduchšie diferenciálne rovnice prvého rádu tvaru .

Napíšme niekoľko príkladov takéhoto DE .

Diferenciálne rovnice možno vyriešiť vzhľadom na deriváciu vydelením oboch strán rovnosti f(x) . V tomto prípade dospejeme k rovnici , ktorá bude ekvivalentná tej pôvodnej pre f(x) ≠ 0 . Príklady takýchto ODR sú .

Ak existujú hodnoty argumentu x, pre ktoré funkcie f(x) a g(x) súčasne zmiznú, objavia sa ďalšie riešenia. Dodatočné riešenia rovnice dané x sú všetky funkcie definované pre tieto hodnoty argumentov. Príklady takýchto diferenciálnych rovníc sú .

Diferenciálne rovnice druhého rádu.

Lineárne homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

LODE s konštantnými koeficientmi je veľmi bežný typ diferenciálnych rovníc. Ich riešenie nie je nijak zvlášť náročné. Najprv sa nájdu korene charakteristickej rovnice . Pre rôzne p a q sú možné tri prípady: korene charakteristickej rovnice môžu byť skutočné a rôzne, skutočné a zhodné alebo komplexný konjugát. V závislosti od hodnôt koreňov charakteristickej rovnice je všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice napísané ako , alebo , resp.

Uvažujme napríklad lineárnu homogénnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Korene jeho charakteristickej rovnice sú k 1 = -3 a k 2 = 0. Korene sú skutočné a odlišné, preto je všeobecné riešenie LDE s konštantnými koeficientmi


Lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

Všeobecné riešenie LIDE druhého rádu s konštantnými koeficientmi y sa hľadá ako súčet všeobecného riešenia zodpovedajúcej LODE a konkrétne riešenie pôvodnej nehomogénnej rovnice, teda . Predchádzajúci odsek je venovaný hľadaniu všeobecného riešenia homogénnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi. A konkrétne riešenie je určené buď metódou neurčitých koeficientov pre určitý tvar funkcie f (x) , stojacej na pravej strane pôvodnej rovnice, alebo metódou variácie ľubovoľných konštánt.

Ako príklady LIDE druhého rádu s konštantnými koeficientmi uvádzame


Pre pochopenie teórie a zoznámenie sa s podrobnými riešeniami príkladov vám na stránke ponúkame lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

Lineárne homogénne diferenciálne rovnice (LODE) a lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu (LNDE).

Špeciálnym prípadom diferenciálnych rovníc tohto typu sú LODE a LODE s konštantnými koeficientmi.

Všeobecné riešenie LODE na určitom intervale je reprezentované lineárnou kombináciou dvoch lineárne nezávislých partikulárnych riešení y 1 a y 2 tejto rovnice, tj. .

Hlavná ťažkosť spočíva práve v hľadaní lineárne nezávislých parciálnych riešení tohto typu diferenciálnych rovníc. Zvyčajne sa konkrétne riešenia vyberajú z nasledujúcich systémov lineárne nezávislých funkcií:


Konkrétne riešenia však nie sú vždy prezentované v tejto forme.

Príkladom LODU je .

Všeobecné riešenie LIDE sa hľadá v tvare , kde je všeobecné riešenie zodpovedajúcej LODE a je konkrétnym riešením pôvodnej diferenciálnej rovnice. Práve sme hovorili o hľadaní, ale dá sa určiť pomocou metódy variácie ľubovoľných konštánt.

Príkladom LNDE je .

Diferenciálne rovnice vyššieho rádu.

Diferenciálne rovnice pripúšťajúce redukciu rádu.

Poradie diferenciálnej rovnice , ktorá neobsahuje požadovanú funkciu a jej derivácie do k-1 rádu, možno redukovať na n-k nahradením .

V tomto prípade sa pôvodná diferenciálna rovnica zníži na . Po nájdení jeho riešenia p(x) zostáva vrátiť sa k náhrade a určiť neznámu funkciu y .

Napríklad diferenciálna rovnica po výmene sa stane oddeliteľnou rovnicou a jej poradie sa zníži z tretej na prvú.

Rovnice riešené priamou integráciou

Zvážte diferenciálnu rovnicu nasledujúceho tvaru:
.
Integrujeme n-krát.
;
;
a tak ďalej. Môžete tiež použiť vzorec:
.
Pozri Priamo vyriešené diferenciálne rovnice integrácia >> >

Rovnice, ktoré explicitne neobsahujú závislú premennú y

Substitúcia vedie k zníženiu poradia rovnice o jednu. Tu je funkcia .
Pozrite si Diferenciálne rovnice vyššieho rádu, ktoré neobsahujú explicitnú funkciu >> >

Rovnice, ktoré explicitne neobsahujú nezávislú premennú x

.
Predpokladáme, že ide o funkciu . Potom
.
Podobne pre ostatné deriváty. V dôsledku toho sa poradie rovnice zníži o jednu.
Pozrite si diferenciálne rovnice vyššieho rádu, ktoré neobsahujú explicitnú premennú > > >

Rovnice homogénne vzhľadom na y, y′, y′′, ...

Na vyriešenie tejto rovnice vykonáme substitúciu
,
kde je funkcia . Potom
.
Podobne transformujeme deriváty atď. V dôsledku toho sa poradie rovnice zníži o jednu.
Pozri Diferenciálne rovnice vyššieho rádu homogénne vzhľadom na funkciu a jej derivácie > > >

Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov

Zvážte lineárna homogénna diferenciálna rovnica n-tého rádu:
(1) ,
kde sú funkcie nezávislej premennej . Nech existuje n lineárne nezávislých riešení tejto rovnice. Potom má všeobecné riešenie rovnice (1) tvar:
(2) ,
kde sú ľubovoľné konštanty. Samotné funkcie tvoria základný systém riešení.
Základný rozhodovací systém lineárna homogénna rovnica n-tého rádu je n lineárne nezávislých riešení tejto rovnice.

Zvážte lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica n-tého rádu:
.
Nech existuje konkrétne (akékoľvek) riešenie tejto rovnice. Potom všeobecné riešenie vyzerá takto:
,
kde je všeobecné riešenie homogénnej rovnice (1).

Lineárne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi a ich redukcie

Lineárne homogénne rovnice s konštantnými koeficientmi

Toto sú rovnice tvaru:
(3) .
Tu sú reálne čísla. Aby sme našli všeobecné riešenie tejto rovnice, musíme nájsť n lineárne nezávislých riešení, ktoré tvoria základný systém riešení. Potom je všeobecné riešenie určené vzorcom (2):
(2) .

Hľadajte riešenie vo forme . Dostaneme charakteristická rovnica :
(4) .

Ak má táto rovnica rôzne korene, potom má základný systém riešení tvar:
.

Ak je k dispozícii komplexný koreň
,
potom existuje aj komplexný konjugovaný koreň . Tieto dva korene zodpovedajú riešeniam a , ktoré zaraďujeme do základného systému namiesto komplexných riešení a .

Viaceré korene násobnosti zodpovedajú lineárne nezávislým riešeniam: .

Viaceré zložité korene násobnosti a ich komplexne konjugované hodnoty zodpovedajú lineárne nezávislým riešeniam:
.

Lineárne nehomogénne rovnice so špeciálnou nehomogénnou časťou

Zvážte rovnica tvaru
,
kde sú polynómy stupňov s 1 a s 2 ; - trvalý.

Najprv hľadáme všeobecné riešenie homogénnej rovnice (3). Ak charakteristická rovnica (4) neobsahuje koreň, potom hľadáme konkrétne riešenie v tvare:
,
Kde
;
;
s - najväčší zo s 1 a s 2 .

Ak charakteristická rovnica (4) má koreň multiplicity , potom hľadáme konkrétne riešenie v tvare:
.

Potom dostaneme všeobecné riešenie:
.

Lineárne nehomogénne rovnice s konštantnými koeficientmi

Tu sú tri možné riešenia.

1) Bernoulliho metóda.
Najprv nájdeme akékoľvek nenulové riešenie homogénnej rovnice
.
Potom urobíme striedanie
,
kde je funkcia premennej x. Dostaneme diferenciálnu rovnicu pre u, ktorá obsahuje iba derivácie u vzhľadom na x . Dosadením získame rovnicu n - 1 - poradie.

2) Lineárna substitučná metóda.
Urobme náhradu
,
kde je jeden z koreňov charakteristickej rovnice (4). V dôsledku toho dostaneme lineárny nehomogénna rovnica s konštantnými koeficientmi poriadku . Dôsledným uplatňovaním tejto substitúcie zredukujeme pôvodnú rovnicu na rovnicu prvého poriadku.

3) Metóda variácie Lagrangeových konštánt.
Pri tejto metóde najskôr riešime homogénnu rovnicu (3). Jeho riešenie vyzerá takto:
(2) .
Ďalej predpokladáme, že konštanty sú funkciami premennej x . Potom má riešenie pôvodnej rovnice tvar:
,
kde sú neznáme funkcie. Dosadením do pôvodnej rovnice a zavedením určitých obmedzení získame rovnice, z ktorých môžeme nájsť tvar funkcií .

Eulerova rovnica

Substitúciou sa redukuje na lineárnu rovnicu s konštantnými koeficientmi:
.
Na vyriešenie Eulerovej rovnice však nie je potrebné vykonať takúto substitúciu. Okamžite možno hľadať riešenie homogénnej rovnice vo forme
.
Vo výsledku dostaneme rovnaké pravidlá ako pre rovnicu s konštantnými koeficientmi, v ktorej namiesto premennej potrebujeme dosadiť .

Referencie:
V.V. Stepanov, Kurz diferenciálnych rovníc, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh na vyššia matematika, "Lan", 2003.

Diferenciálne rovnice druhého a vyšších rádov.
Lineárne DE druhého rádu s konštantnými koeficientmi.
Príklady riešení.

Prechádzame k úvahám o diferenciálnych rovniciach druhého rádu a diferenciálnych rovniciach vyšších rádov. Ak máte nejasnú predstavu o tom, čo je diferenciálna rovnica (alebo vôbec nerozumiete, čo to je), odporúčam začať lekciou Diferenciálne rovnice prvého rádu. Príklady riešení. Mnohé princípy riešenia a základné koncepty difúr prvého rádu sa automaticky rozšíria na diferenciálne rovnice vyššieho rádu, takže je veľmi dôležité najprv pochopiť rovnice prvého poriadku.

Mnohí čitatelia môžu mať predsudok, že DE 2., 3. a iných rádov je niečo veľmi ťažké a pre zvládnutie nedostupné. Toto je nesprávne . Naučiť sa riešiť difúzy vyššieho rádu je sotva ťažšie ako „obyčajné“ DE 1. rádu. A na niektorých miestach je to ešte jednoduchšie, keďže pri rozhodovaní sa aktívne využíva materiál školských osnov.

Najpopulárnejší diferenciálne rovnice druhého rádu. Do diferenciálnej rovnice druhého rádu Nevyhnutne zahŕňa druhý derivát a nezahŕňa

Treba si uvedomiť, že niektoré z bábätiek (a dokonca všetky naraz) môžu v rovnici chýbať, dôležité je, aby bol otec doma. Najprimitívnejšia diferenciálna rovnica druhého rádu vyzerá takto:

Diferenciálne rovnice tretieho rádu v praktických úlohách sú oveľa menej bežné, podľa mojich subjektívnych pozorovaní v Štátnej dume by získali asi 3-4% hlasov.

Do diferenciálnej rovnice tretieho rádu Nevyhnutne zahŕňa tretiu deriváciu a nezahŕňa deriváty vyšších rádov:

Najjednoduchšia diferenciálna rovnica tretieho rádu vyzerá takto: - otec je doma, všetky deti sú na prechádzke.

Podobne je možné definovať diferenciálne rovnice 4., 5. a vyššieho rádu. V praktických problémoch takéto DE skĺzne extrémne zriedkavo, pokúsim sa však uviesť relevantné príklady.

Diferenciálne rovnice vyššieho rádu, ktoré sa navrhujú v praktických úlohách, možno rozdeliť do dvoch hlavných skupín.

1) Prvá skupina – tzv rovnice nižšieho rádu. Lietať v!

2) Druhá skupina - lineárne rovnice vyšších rádov s konštantnými koeficientmi. O čom začneme uvažovať práve teraz.

Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu
s konštantnými koeficientmi

V teórii a praxi sa rozlišujú dva typy takýchto rovníc - homogénna rovnica A nehomogénna rovnica.

Homogénna DE druhého rádu s konštantnými koeficientmi Má ďalší pohľad:
, kde a sú konštanty (čísla) a na pravej strane - prísne nula.

Ako vidíte, s homogénnymi rovnicami nie sú žiadne zvláštne ťažkosti, hlavná vec je, že rozhodnúť sa správne kvadratická rovnica .

Niekedy existujú neštandardné homogénne rovnice, napríklad rovnica vo forme , kde pri druhej derivácii je nejaká konštanta odlišná od jednoty (a samozrejme odlišná od nuly). Algoritmus riešenia sa vôbec nemení, treba pokojne zostaviť charakteristickú rovnicu a nájsť jej korene. Ak je charakteristická rovnica bude mať dva rôzne skutočné korene, napríklad: , potom je možné všeobecné riešenie napísať obvyklým spôsobom: .

V niektorých prípadoch sa v dôsledku preklepu v stave môžu ukázať „zlé“ korene, niečo ako . Čo robiť, odpoveď bude musieť byť napísaná takto:

So "zlými" konjugovanými komplexnými koreňmi ako žiadny problém, všeobecné riešenie:

teda v každom prípade existuje všeobecné riešenie. Pretože každá kvadratická rovnica má dva korene.

V poslednom odseku, ako som sľúbil, stručne zvážime:

Lineárne homogénne rovnice vyššieho rádu

Všetko je veľmi, veľmi podobné.

Lineárna homogénna rovnica tretieho rádu má nasledujúci tvar:
, kde sú konštanty.
Pre túto rovnicu je potrebné zostaviť aj charakteristickú rovnicu a nájsť jej korene. Charakteristická rovnica, ako mnohí uhádli, vyzerá takto:
, a to Každopádne Má presne tri koreň.

Nech sú napríklad všetky korene skutočné a odlišné: , potom môže byť všeobecné riešenie napísané takto:

Ak je jeden koreň skutočný a ostatné dva sú konjugované komplexy, potom napíšeme všeobecné riešenie takto:

Špeciálny prípad keď všetky tri korene sú násobky (rovnaké). Uvažujme o najjednoduchšom homogénnom DE 3. rádu s osamelým otcom: . Charakteristická rovnica má tri zhodné nulové korene. Všeobecné riešenie napíšeme takto:

Ak je charakteristická rovnica má napríklad tri viacnásobné korene, potom všeobecné riešenie je:

Príklad 9

Vyriešte homogénnu diferenciálnu rovnicu tretieho rádu

Riešenie: Zostavíme a vyriešime charakteristickú rovnicu:

, - získa sa jeden skutočný koreň a dva konjugované komplexné korene.

odpoveď: spoločné rozhodnutie

Podobne môžeme uvažovať o lineárnej homogénnej rovnici štvrtého rádu s konštantnými koeficientmi: , kde sú konštanty.

Rovnica v tvare: sa nazýva lineárna diferenciálna rovnica vyššieho rádu, kde a 0, a 1, ... a n sú funkcie premennej x alebo konštanty a a 0, a 1, ... a n a f (x) sa považujú za spojité.

Ak a 0 = 1 (ak
potom sa to dá rozdeliť)
rovnica bude mať tvar:

Ak
rovnica je nehomogénna.

rovnica je homogénna.

Lineárne homogénne diferenciálne rovnice rádu n

Rovnice tvaru: sa nazývajú lineárne homogénne diferenciálne rovnice rádu n.

Pre tieto rovnice platia nasledujúce vety:

Veta 1: Ak
- Riešenie , potom súčet
- tiež riešenie

Dôkaz: Nahraďte sumu v

Keďže derivácia akéhokoľvek rádu súčtu sa rovná súčtu derivácií, môžete ich preskupiť otvorením zátvoriek:

pretože y 1 a y 2 sú riešením.

0 = 0 (správne)
výška je tiež rozhodnutie.

veta je dokázaná.

Veta 2: Ak y 0 -roztok , To
- tiež riešenie .

Dôkaz: Náhradník
do rovnice

keďže C je vyňaté zo znamienka derivácie, potom

pretože riešenie, 0 = 0 (správne)
Cy 0 je tiež riešením.

veta je dokázaná.

Dôsledok z T1 a T2: Ak
- riešenia (*)
lineárna kombinácia je tiež riešením (*).

Lineárne nezávislé a lineárne závislé systémy funkcií. Vronského determinant a jeho vlastnosti

Definícia: Funkčný systém
- sa nazýva lineárne nezávislý, ak je lineárna kombinácia koeficientov
.

Definícia: funkčný systém
- sa nazýva lineárne závislé, ak a existujú koeficienty
.

Zoberme si systém dvoch lineárne závislých funkcií
pretože
alebo
- stav lineárna nezávislosť dve funkcie.

1)
lineárne nezávislé

2)
lineárne závislé

3) lineárne závislé

Definícia: Daný systém funkcií
- funkcie premennej x.

Determinant
-Vronského determinant pre systém funkcií
.

Pre systém dvoch funkcií vyzerá Wronského determinant takto:

Vlastnosti Vronského determinantu:

Veta: O všeobecnom riešení lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice 2. rádu.

Ak y 1 a y 2 sú lineárne nezávislé riešenia lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice druhého rádu, potom

všeobecné riešenie vyzerá takto:

dôkaz:
- rozhodnutie o následku z T1 a T2.

Ak sú dané počiatočné podmienky A musia byť jasne umiestnené.

- počiatočné podmienky.

Urobme si systém na hľadanie A . Za týmto účelom dosadíme počiatočné podmienky do všeobecného riešenia.

determinant tohto systému:
- Vronského determinant vypočítaný v bode x 0

pretože A lineárne nezávislé
(o 2 0)

keďže determinant sústavy sa nerovná 0, tak sústava má jedinečné riešenie a A sú jednoznačne mimo systému.

Všeobecné riešenie lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice rádu n

Dá sa ukázať, že rovnica má n lineárne nezávislých riešení

Definícia: n lineárne nezávislé riešenia
lineárna homogénna diferenciálna rovnica rádu n sa nazýva základný systém riešenia.

Všeobecné riešenie lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice rádu n, t.j. (*) je lineárna kombinácia základného systému riešení:

Kde
- základný systém riešenia.

Lineárne homogénne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnými koeficientmi

Toto sú rovnice tvaru:
, kde p a g sú čísla (*)

Definícia: Rovnica
- volal charakteristická rovnica diferenciálna rovnica (*) je obyčajná kvadratická rovnica, ktorej riešenie závisí od D, sú možné tieto prípady:

1)D>0
sú dve skutočne odlišné riešenia.

2) D = 0
- jeden skutočný koreň násobnosti 2.

3)D<0
sú dva komplexne konjugované korene.

Pre každý z týchto prípadov uvádzame základný systém riešení, ktorý sa skladá z 2 funkcií A .

Ukážeme, že:

1) A - LNZ

2) A - Riešenie (*)

Zvážte 1 prípad D>0
- 2 skutočné odlišné korene.

X
charakteristická rovnica:

Vezmime si ako FSR:

a) ukážte LNZ

b) ukázať to - roztok (*), náhrada

+p
+g
=0

skutočná rovnosť

Riešenie (*)

podobne zobrazené pre y2.

Záver:
- FSR (*)
spoločné rozhodnutie

Zvážte 2 prípady: D = 0
- 1 skutočný koreň násobnosti 2.

Vezmime si ako FSR:

LNZ:
LNZ je.

-riešenie rovnice (pozri prípad 1). Ukážme to
- Riešenie.

náhradník v DU

-Riešenie.

Záver: FSR

Príklad:

3 prípad: D<0
- 2 komplexne konjugované korene.

náhrada
v charaktere rovnica

Komplexné číslo je 0, keď skutočná aj imaginárna časť sú 0.

- budeme používať.

Ukážme to
- tvoria FSR.

A) LNZ:

B)
- riešenie diaľkového ovládania

skutočná rovnosť
- rozhodnutie DU.

Podobne sa ukazuje, že tiež riešenie.

Záver: FSR:

Spoločné rozhodnutie:

Ak n.o.s.

- potom najprv nájdite všeobecné riešenie
, jeho derivát:
a potom sa do tohto systému dosadí n.u a nájdu A .

no: