Esimesed on segmendid, mis külgnevad täisnurgaga, ja hüpotenuus on joonise pikim osa ja asub 90-kraadise nurga vastas. Pythagorase kolmnurk on selline, mille küljed on võrdsed naturaalarvud; nende pikkusi nimetatakse sel juhul "Pythagorase kolmikuks".

egiptuse kolmnurk

Selleks, et praegune põlvkond saaks õppida geomeetriat sellisel kujul, nagu seda praegu koolis õpetatakse, on seda arendatud juba mitu sajandit. Põhimõte on Pythagorase teoreem. Ristküliku küljed on kogu maailmale teada) on 3, 4, 5.

Vähesed inimesed ei tunne fraasi "Pythagorase püksid on igas suunas võrdsed". Tegelikult kõlab teoreem aga järgmiselt: c 2 (hüpotenuusi ruut) \u003d a 2 + b 2 (jalgade ruutude summa).

Matemaatikute seas nimetatakse kolmnurka, mille küljed on 3, 4, 5 (cm, m jne), "Egiptuse". Huvitav on see, et joonisel olev on võrdne ühega. Nimi tekkis umbes 5. sajandil eKr, kui Kreeka filosoofid reisisid Egiptusesse.

Püramiidide ehitamisel kasutasid arhitektid ja geodeetid vahekorda 3:4:5. Sellised konstruktsioonid osutusid proportsionaalseks, silmale meeldivaks ja ruumikaks ning kukkusid ka harva kokku.

Täisnurga ehitamiseks kasutasid ehitajad köit, mille külge seoti 12 sõlme. Sel juhul täpselt konstrueerimise tõenäosus täisnurkne kolmnurk tõusis 95%-ni.

Figuuride võrdsuse märgid

• Teravnurk täisnurkses kolmnurgas ja suur külg, mis on võrdsed teise kolmnurga samade elementidega, on kujundite võrdsuse vaieldamatu märk. Võttes arvesse nurkade summat, on lihtne tõestada, et ka teised teravnurgad on võrdsed. Seega on kolmnurgad teises kriteeriumis identsed.
• Kui kaks kujundit on üksteise peale asetatud, pöörame neid nii, et kombineerituna muutuvad need üheks võrdhaarseks kolmnurgaks. Selle omaduse järgi on küljed või pigem hüpotenuusid võrdsed, samuti nurgad aluses, mis tähendab, et need arvud on samad.

Esimese märgiga on väga lihtne tõestada, et kolmnurgad on tõesti võrdsed, peaasi, et kaks väiksemat külge (ehk jalad) oleksid omavahel võrdsed.

Kolmnurgad on samad vastavalt II märgile, mille põhiolemus on jala ja teravnurga võrdsus.

Täisnurga kolmnurga omadused

Kõrgus alandatud alates täisnurk, jagab joonise kaheks võrdseks osaks.

Täisnurkse kolmnurga külgi ja selle mediaani on lihtne ära tunda reegli järgi: mediaan, mis on langetatud hüpotenuusile, on võrdne poolega sellest. võib leida nii Heroni valemi kui ka väitega, et see võrdub poolega jalgade korrutisest.

Täisnurkses kolmnurgas kehtivad nurkade 30 o, 45 o ja 60 o omadused.

• 30 ° nurga all tuleb meeles pidada, et vastasjalg on 1/2 suurimast küljest.
• Kui nurk on 45 o, siis teine terav nurk ka 45 o. See viitab sellele, et kolmnurk on võrdhaarne ja selle jalad on samad.
• 60-kraadise nurga omadus on see, et kolmanda nurga mõõt on 30 kraadi.

Piirkonda on lihtne leida ühe kolmest valemist:

1. läbi kõrguse ja külje, millel see laskub;
2. vastavalt Heroni valemile;
3. mööda külgi ja nende vahelist nurka.

Täisnurkse kolmnurga küljed või õigemini jalad koonduvad kahe kõrgusega. Kolmanda leidmiseks on vaja arvestada saadud kolmnurgaga ja seejärel Pythagorase teoreemi abil arvutada vajalik pikkus. Lisaks sellele valemile on olemas ka kahekordse ala ja hüpotenuusi pikkuse suhe. Kõige levinum väljend õpilaste seas on esimene, kuna see nõuab vähem arvutusi.

Täisnurksele kolmnurgale kehtivad teoreemid

Täisnurkse kolmnurga geomeetria hõlmab selliste teoreemide kasutamist nagu:

Täisnurkset kolmnurka leidub tegelikkuses peaaegu igal nurgal. Teadmised selle joonise omadustest, aga ka selle pindala arvutamise oskus on teile kahtlemata kasulikud mitte ainult geomeetria probleemide lahendamisel, vaid ka elusituatsioonides.

kolmnurga geomeetria

Elementaargeomeetrias on täisnurkne kolmnurk kujund, mis koosneb kolmest ühendatud segmendist, mis moodustavad kolm nurka (kaks teravnurka ja üks sirge). Täisnurkne kolmnurk on algne kujund, mida iseloomustab arv olulised omadused, mis moodustavad trigonomeetria aluse. Erinevalt tavalisest kolmnurgast on ristkülikukujulise kuju külgedel oma nimed:

• Hüpotenuus on kolmnurga pikim külg, mis asub täisnurga vastas.
• Jalad - segmendid, mis moodustavad täisnurga. Sõltuvalt vaadeldavast nurgast võib jalg olla sellega külgnev (moodustab selle nurga hüpotenuusiga) või vastupidine (asub nurga vastas). Mitteristkülikukujuliste kolmnurkade jaoks pole jalgu.

Trigonomeetria aluseks on jalgade ja hüpotenuusi suhe: siinused, puutujad ja sekantid on defineeritud täisnurkse kolmnurga külgede suhtena.

Täisnurkne kolmnurk tegelikkuses

See näitaja sai laialdane kasutamine päriselt. Kolmnurki kasutatakse disainis ja tehnoloogias, seega peavad kujundi pindala arvutama insenerid, arhitektid ja disainerid. Tetraeedrite ehk prismade alused on kolmnurga kujulised – kolmemõõtmelised kujundid, mida on igapäevaelus lihtne kohata. Lisaks on ruut tegelikkuses "lameda" täisnurkse kolmnurga lihtsaim esitus. Ruut on lukksepa-, joonestus-, ehitus- ja puutöötööriist, mida kasutavad nurkade ehitamiseks nii kooliõpilased kui ka insenerid.

Kolmnurga pindala

Geomeetrilise kujundi pindala on kvantitatiivne hinnang selle kohta, kui suur osa tasapinnast on piiratud kolmnurga külgedega. Tavalise kolmnurga pindala saab leida viiel viisil, kasutades Heroni valemit või tehes arvutusi selliste muutujatega nagu sissekirjutatud või piiritletud ringi alus, külg, nurk ja raadius. Kõige lihtne valem pindala väljendatakse järgmiselt:

kus a on kolmnurga külg, h on selle kõrgus.

Täisnurkse kolmnurga pindala arvutamise valem on veelgi lihtsam:

kus a ja b on jalad.

Meie veebikalkulaatoriga töötades saate kolmnurga pindala arvutada kolme parameetripaari abil:

• kaks jalga;
• jalg ja külgnev nurk;
• jalg ja vastasnurk.

Ülesannetes või igapäevastes olukordades antakse teile erinevad muutujate kombinatsioonid, nii et see kalkulaatori vorm võimaldab teil arvutada kolmnurga pindala mitmel viisil. Vaatame paari näidet.

Näited elust

Keraamiline plaat

Oletame, et soovite vooderdada köögi seinad keraamiliste plaatidega, millel on täisnurkse kolmnurga kuju. Plaatide tarbimise määramiseks peate välja selgitama voodri ühe elemendi pindala ja töödeldava pinna kogupindala. Oletame, et peate töötlema 7 ruutmeetrit. Ühe elemendi jalgade pikkus on 19 cm, siis on plaadi pindala võrdne:

See tähendab, et ühe elemendi pindala on 24,5 ruutsentimeetrit ehk 0,01805 ruutmeetrit. Neid parameetreid teades saate arvutada, et 7 ruutmeetri seina viimistlemiseks vajate 7 / 0,01805 = 387 katteplaati.

kooli ülesanne

Oletame, et kooli geomeetriaülesandes on vaja leida täisnurkse kolmnurga pindala, teades ainult seda, et ühe jala külg on 5 cm ja vastasnurga väärtus on 30 kraadi. Meie veebikalkulaatoriga on kaasas illustratsioon, mis näitab täisnurkse kolmnurga külgi ja nurki. Kui külg a = 5 cm, on selle vastasnurk nurk alfa, võrdne 30 kraadiga. Sisestage need andmed kalkulaatori vormi ja saate tulemuse:

Seega ei arvuta kalkulaator mitte ainult antud kolmnurga pindala, vaid määrab ka külgneva jala ja hüpotenuusi pikkuse ning teise nurga väärtuse.

Järeldus

Ristkülikukujulisi kolmnurki leidub meie elus sõna otseses mõttes iga nurga peal. Selliste figuuride pindala määramine on teile kasulik mitte ainult geomeetria kooliülesannete lahendamisel, vaid ka igapäevases ja tööalases tegevuses.

Interneti-kalkulaator.
Kolmnurkade lahendus.

Kolmnurga lahendus on kõigi selle kuue elemendi (st kolme külje ja kolme nurga) leidmine mis tahes kolme antud kolmnurka määratleva elemendi abil.

See matemaatikaprogramm leiab külje \(c \), nurgad \(\alpha \) ja \(\beta \) kasutaja määratud küljed \(a, b \) ning nendevahelise nurga \(\gamma \)

Programm mitte ainult ei anna probleemile vastust, vaid kuvab ka lahenduse leidmise protsessi.

See veebikalkulaator võib olla abiks keskkooliõpilastele valmistumisel kontrolltööd ja eksamid, enne eksamit teadmiste kontrollimisel vanemad kontrollivad paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamist. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt oma matemaatika või algebra kodutöö võimalikult kiiresti valmis saada? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjaliku lahendusega.

Sel viisil saate ise koolitust läbi viia ja/või oma koolitust läbi viia nooremad vennad või õed, samal ajal kui haridustase lahendatavate ülesannete vallas tõuseb.

Kui te pole numbrite sisestamise reeglitega kursis, soovitame teil nendega tutvuda.

Numbrite sisestamise reeglid

Numbreid saab määrata mitte ainult täis-, vaid ka murdosa.
Täis- ja murdosa kümnendmurdudes saab eraldada kas punkti või komaga.
Näiteks võite sisestada kümnendkohad nii 2,5 või nii 2,5

Sisestage küljed \(a, b \) ja nendevaheline nurk \(\gamma \)

\(a = \)
\(b = \)
\(\gamma = \)	(kraadides)

Lahenda kolmnurk

Leiti, et mõnda selle ülesande lahendamiseks vajalikku skripti ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.

Teie brauseris on JavaScript keelatud.
Lahenduse ilmumiseks peab JavaScript olema lubatud.
Siin on juhised JavaScripti lubamiseks brauseris.

Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on järjekorras.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sek...

Kui sa märkasid lahenduses viga, siis saad sellest kirjutada Tagasisidevormi .
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.

Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:

Natuke teooriat.

Siinuse teoreem

Teoreem

Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Koosinusteoreem

Teoreem
Olgu kolmnurgas ABC AB = c, BC = a, CA = b. Siis
Kolmnurga külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, millest on lahutatud nende külgede kahekordne korrutis nendevahelise nurga koosinus.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Kolmnurkade lahendamine

Kolmnurga lahendus on kõigi selle kuue elemendi leidmine (st. kolm pidu ja kolm nurka) vastavalt kolmele antud kolmnurka määratlevale elemendile.

Mõelge kolmnurga lahendamiseks kolmele ülesandele. Sel juhul kasutame kolmnurga ABC külgede jaoks järgmist tähistust: AB = c, BC = a, CA = b.

Kolmnurga lahendus, mis on antud kaks külge ja nendevaheline nurk

Antud on: \(a, b, \nurk C \). Otsi \(c, \nurk A, \nurk B \)

Lahendus
1. Koosinuste seadusega leiame \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Koosinusteoreemi kasutades saame:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\nurk B = 180^\circ -\nurk A -\nurk C \)

Kolmnurga lahendus antud külje ja külgnevate nurkade jaoks

Antud on: \(a, \nurk B, \nurk C \). Leia \(\nurk A, b, c \)

Lahendus
1. \(\nurk A = 180^\circ -\nurk B -\nurk C \)

2. Siinuse teoreemi abil arvutame b ja c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Kolme küljega kolmnurga lahendamine

Antud on: \(a, b, c\). Leia \(\nurk A, \nurk B, \nurk C \)

Lahendus
1. Koosinusteoreemi järgi saame:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

\(\cos A \) järgi leiame \(\angle A \), kasutades mikrokalkulaatorit või tabelit.

2. Samamoodi leiame nurga B.
3. \(\nurk C = 180^\circ -\nurk A -\nurk B \)

Kolmnurga lahendamine, mis on antud kaks külge ja teadaoleva külje vastasnurk

Antud on: \(a, b, \nurk A \). Leia \(c, \nurk B, \nurk C \)

Lahendus
1. Siinuse teoreemiga leiame \(\sin B \) saame:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Paremnool \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Tutvustame tähistust: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). Olenevalt numbrist D on võimalikud järgmised juhtumid:
Kui D > 1, siis sellist kolmnurka ei eksisteeri, sest \(\sin B \) ei saa olla suurem kui 1
Kui D = 1, on kordumatu \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Paremnool \nurk B = 90^\circ \)
Kui D Kui D 2. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

3. Siinuse teoreemi abil arvutame külje c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Raamatud (õpikud) Ühtse riigieksami ja OGE-testide kokkuvõtted võrgus Mängud, mõistatused Funktsioonide graafikute koostamine Õigekiri Vene keele sõnaraamat Noorte slängi sõnaraamat Vene koolide kataloog Venemaa keskkoolide kataloog Venemaa ülikoolide kataloog Ülesannete loetelu

Elus peame sageli leppima matemaatika ülesandeid: koolis, ülikoolis ja seejärel lapse abistamisel kodutööde tegemisel. Teatud elukutsete inimesed puutuvad matemaatikaga iga päev kokku. Seetõttu on kasulik matemaatilisi reegleid pähe õppida või meelde tuletada. Selles artiklis analüüsime ühte neist: täisnurkse kolmnurga jala leidmist.

Mis on täisnurkne kolmnurk

Kõigepealt tuletagem meelde, mis on täisnurkne kolmnurk. Täisnurkne kolmnurk on geomeetriline kujund kolmest segmendist, mis ühendavad punkte, mis ei asu samal sirgel, ja selle joonise üks nurkadest on 90 kraadi. Külgesid, mis moodustavad täisnurga, nimetatakse jalgadeks ja külge, mis asetseb täisnurga vastas, nimetatakse hüpotenuusiks.

Täisnurkse kolmnurga jala leidmine

Jala pikkuse väljaselgitamiseks on mitu võimalust. Tahaksin neid üksikasjalikumalt käsitleda.

Pythagorase teoreem täisnurkse kolmnurga jala leidmiseks

Kui teame hüpotenuusi ja jalga, saame Pythagorase teoreemi abil leida tundmatu jala pikkuse. See kõlab järgmiselt: "Hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga." Valem: c²=a²+b², kus c on hüpotenuus, a ja b on jalad. Teisendame valemi ja saame: a²=c²-b².

Näide. Hüpotenuus on 5 cm ja jalg on 3 cm. Teisendame valemi: c²=a²+b² → a²=c²-b². Järgmisena otsustame: a²=5²-3²; a² = 25-9; a² = 16; a=√16; a = 4 (cm).

Trigonomeetrilised seosed täisnurkse kolmnurga jala leidmiseks

Samuti on võimalik leida tundmatu jalg, kui on teada täisnurkse kolmnurga mõni teine ​​külg ja mõni teravnurk. Jala leidmiseks trigonomeetriliste funktsioonide abil on neli võimalust: siinus, koosinus, puutuja, kotangens. Probleemide lahendamiseks aitab meid allolev tabel. Vaatleme neid võimalusi.

Leidke siinuse abil täisnurkse kolmnurga jalg

Nurga siinus (sin) on vastasjala ja hüpotenuusi suhe. Valem: sin \u003d a / c, kus a on antud nurga vastas olev jalg ja c on hüpotenuus. Järgmiseks teisendame valemi ja saame: a=sin*c.

Näide. Hüpotenuus on 10 cm ja nurk A on 30 kraadi. Tabeli järgi arvutame nurga A siinuse, see on võrdne 1/2-ga. Seejärel lahendame teisendatud valemi abil: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a = 5 (cm).

Otsige koosinuse abil täisnurkse kolmnurga jalg

Nurga koosinus (cos) on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe. Valem: cos \u003d b / c, kus b on antud nurgaga külgnev jalg ja c on hüpotenuus. Teisendame valemi ja saame: b=cos*c.

Näide. Nurk A on 60 kraadi, hüpotenuus on 10 cm. Tabeli järgi arvutame nurga A koosinuse, see on võrdne 1/2-ga. Järgmisena lahendame: b=cos∠A*c; b = 1/2 * 10, b = 5 (cm).

Leidke puutuja abil täisnurkse kolmnurga jalg

Nurga puutuja (tg) on ​​vastasharu ja külgneva jala suhe. Valem: tg \u003d a / b, kus a on nurga vastas olev jalg ja b külgnev. Teisendame valemi ja saame: a=tg*b.

Näide. Nurk A on 45 kraadi, hüpotenuus 10 cm Tabeli järgi arvutame nurga A puutuja, see on võrdne Lahenda: a=tg∠A*b; a=1*10; a = 10 (cm).

Leidke kotangensi abil täisnurkse kolmnurga jalg

Nurga kootangens (ctg) on ​​külgneva jala ja vastasjala suhe. Valem: ctg \u003d b / a, kus b on nurgaga külgnev jalg ja on selle vastas. Teisisõnu, kootangens on "pööratud puutuja". Saame: b=ctg*a.

Näide. Nurk A on 30 kraadi, vastasjalg on 5 cm. Nurga A puutuja on tabeli järgi √3. Arvuta: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Niisiis, nüüd teate, kuidas leida jalg täisnurksest kolmnurgast. Nagu näete, pole see nii keeruline, peamine on valemeid meeles pidada.