Lineaarsüsteemide lahendus algebralised võrrandid(SLAE) on kahtlemata lineaaralgebra kursuse kõige olulisem teema. Suur hulk matemaatika kõigist harudest pärit ülesandeid taandatakse süsteemide lahendamisele lineaarvõrrandid. Need tegurid selgitavad selle artikli loomise põhjust. Artikli materjal on valitud ja struktureeritud nii, et selle abiga saate

• valida oma lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks optimaalne meetod,
• uurida valitud meetodi teooriat,
• lahendage oma lineaarvõrrandisüsteem, olles üksikasjalikult kaalunud tüüpiliste näidete ja ülesannete lahendusi.

Artikli materjali lühikirjeldus.

Esiteks anname kõik vajalikud definitsioonid, mõisted ja tutvustame mõningaid tähistusi.

Järgmisena käsitleme meetodeid lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks, milles võrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja millel on kordumatu lahendus. Esiteks keskendume Crameri meetodile, teiseks näitame maatriksmeetodit selliste võrrandisüsteemide lahendamiseks, kolmandaks analüüsime Gaussi meetodit (meetod järjestikune välistamine tundmatud muutujad). Teooria kinnistamiseks lahendame kindlasti mitu SLAE-d erineval viisil.

Seejärel pöördume lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamise poole üldine vaade, milles võrrandite arv ei lange kokku tundmatute muutujate arvuga või on süsteemi põhimaatriks degenereerunud. Sõnastame Kroneckeri-Capelli teoreemi, mis võimaldab kindlaks teha SLAE-de ühilduvuse. Analüüsime süsteemide lahendust (nende ühilduvuse korral) maatriksi alusmolli mõistet kasutades. Vaatleme ka Gaussi meetodit ja kirjeldame üksikasjalikult näidete lahendusi.

Peatuge kindlasti lineaarsete algebraliste võrrandite homogeensete ja mittehomogeensete süsteemide üldlahenduse struktuuril. Toome välja põhimõttelise lahendussüsteemi kontseptsiooni ja näitame, kuidas kirjutada ühine otsus SLAE põhilahenduste süsteemi vektorite abil. Parema mõistmise huvides vaatame mõnda näidet.

Kokkuvõtteks vaatleme nii lineaarseteks taandatud võrrandisüsteeme kui ka erinevaid probleeme, mille lahendamisel tekivad SLAE-d.

Leheküljel navigeerimine.

Definitsioonid, mõisted, tähistused.

Vaatleme p lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme n tundmatu muutujaga (p võib olla võrdne n ) kujul

Tundmatud muutujad, - koefitsiendid (mõned reaal- või kompleksarvud), - vabaliikmed (ka reaal- või kompleksarvud).

Seda SLAE vormi nimetatakse koordineerida.

IN maatriksvorm sellel võrrandisüsteemil on vorm,
Kus - süsteemi põhimaatriks, - tundmatute muutujate maatriks-veerg, - vabaliikmete maatriks-veerg.

Kui liita maatriksile A (n + 1)-ndaks veeruks vabade liikmete maatriks-veerg, siis saame nn. laiendatud maatriks lineaarvõrrandisüsteemid. Tavaliselt tähistatakse suurendatud maatriksit tähega T ja vabade liikmete veerg eraldatakse ülejäänud veergudest vertikaalse joonega, st

Lahendades lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi Seda nimetatakse tundmatute muutujate väärtuste kogumiks, mis muudab kõik süsteemi võrrandid identiteetideks. Maatriksvõrrand tundmatute muutujate antud väärtuste jaoks muutub ka identiteediks .

Kui võrrandisüsteemil on vähemalt üks lahend, siis seda nimetatakse liigend.

Kui võrrandisüsteemil pole lahendeid, siis nimetatakse seda Sobimatu.

Kui SLAE-l on ainulaadne lahendus, nimetatakse seda teatud; kui lahendusi on rohkem kui üks, siis - ebakindel.

Kui süsteemi kõigi võrrandite vabaliikmed on võrdsed nulliga , siis kutsutakse süsteem välja homogeenne, muidu - heterogeenne.

Lineaaralgebralise võrrandi elementaarsüsteemide lahendus.

Kui süsteemivõrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja selle põhimaatriksi determinant ei ole võrdne nulliga, siis kutsume selliseid SLAE-sid elementaarne. Sellistel võrrandisüsteemidel on ainulaadne lahendus ja juhul homogeenne süsteem kõik tundmatud muutujad on nullid.

Sellist SLAE-d hakkasime õppima keskkoolis. Nende lahendamisel võtsime ühe võrrandi, väljendasime ühe tundmatu muutuja teistega ja asendasime selle ülejäänud võrranditega, seejärel võtsime järgmise võrrandi, väljendasime järgmise tundmatu muutuja ja asendasime selle teiste võrranditega jne. Või kasutasid nad liitmismeetodit, st lisasid kaks või enam võrrandit, et kõrvaldada mõned tundmatud muutujad. Me ei peatu nendel meetoditel üksikasjalikult, kuna need on sisuliselt Gaussi meetodi modifikatsioonid.

Lineaarvõrrandi elementaarsüsteemide lahendamise peamised meetodid on Crameri meetod, maatriksmeetod ja Gaussi meetod. Sorteerime need ära.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Crameri meetodil.

Peame lahendama lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi

milles võrrandite arv võrdub tundmatute muutujate arvuga ja süsteemi põhimaatriksi determinant erineb nullist ehk .

Laskma olema süsteemi põhimaatriksi determinant ja on maatriksite determinandid, mis saadakse A-st asendamise teel 1., 2., …, n veerus vastavalt vabade liikmete veergu:

Sellise tähistusega arvutatakse tundmatud muutujad Crameri meetodi valemitega as . Nii leitakse Crameri meetodil lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendus.

Näide.

Crameri meetod .

Lahendus.

Süsteemi põhimaatriksil on vorm . Arvutage selle determinant (vajadusel vaadake artiklit):

Kuna süsteemi põhimaatriksi determinant on nullist erinev, on süsteemil ainulaadne lahendus, mille saab leida Crameri meetodil.

Koostage ja arvutage vajalikud determinandid (determinant saadakse maatriksi A esimese veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinant - teise veeru asendamisega vabade liikmete veeruga, - maatriksi A kolmanda veeru asendamisega vabade liikmete veeruga ):

Tundmatute muutujate leidmine valemite abil :

Vastus:

Crameri meetodi peamiseks puuduseks (kui seda võib nimetada puuduseks) on determinantide arvutamise keerukus, kui süsteemivõrrandite arv on suurem kui kolm.

Lineaaralgebralise võrrandi süsteemide lahendamine maatriksmeetodil (pöördmaatriksi abil).

Olgu lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem antud maatriksi kujul , kus maatriksi A mõõtmed on n korda n ja selle determinant on nullist erinev.

Kuna , siis on maatriks A inverteeritav, st on olemas pöördmaatriks . Kui korrutada mõlemad võrdsuse osad vasakul olevaga, siis saame valemi tundmatute muutujate veerumaatriksi leidmiseks. Nii saime lahenduse lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemile maatriks meetod.

Näide.

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine maatriks meetod.

Lahendus.

Kirjutame võrrandisüsteemi ümber maatriksi kujul:

Sest

siis saab SLAE-d lahendada maatriksmeetodil. Kasutades pöördmaatriks selle süsteemi lahenduse võib leida järgmiselt .

Koostame pöördmaatriksi maatriksi A elementide algebraliste täiendite maatriksi abil (vajadusel vaata artiklit):

Jääb üle arvutada - tundmatute muutujate maatriks pöördmaatriksi korrutamisega vabaliikmete maatriks-veerul (vajadusel vaata artiklit):

Vastus:

või mõnes teises tähises x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Peamine probleem lineaaralgebraliste võrrandite süsteemidele maatriksmeetodi abil lahenduse leidmisel on pöördmaatriksi leidmise keerukus, eriti ruutmaatriksid järjekord kõrgem kui kolmas.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodil.

Oletame, et peame leidma lahenduse n lineaarse võrrandi süsteemile, millel on n tundmatu muutuja
mille põhimaatriksi determinant erineb nullist.

Gaussi meetodi olemus seisneb tundmatute muutujate järjestikuses välistamises: esiteks jäetakse süsteemi kõigist võrranditest välja x 1, alates teisest, seejärel jäetakse x 2 kõigist võrranditest välja, alustades kolmandast ja nii edasi, kuni ainult tundmatu muutujani. x n jääb viimasesse võrrandisse. Sellist süsteemi võrrandite teisendamise protsessi tundmatute muutujate järjestikuseks elimineerimiseks nimetatakse otsene Gaussi meetod. Pärast Gaussi meetodi edasikäigu lõpetamist leitakse x n viimasest võrrandist, x n-1 arvutatakse seda väärtust kasutades eelviimasest võrrandist ja nii edasi, x 1 leitakse esimesest võrrandist. Tundmatute muutujate arvutamise protsessi süsteemi viimaselt võrrandilt esimesele liikumisel nimetatakse vastupidine Gaussi meetod.

Kirjeldame lühidalt tundmatute muutujate kõrvaldamise algoritmi.

Eeldame, et , kuna me saame selle alati saavutada süsteemi võrrandite ümberkorraldamisega. Tundmatu muutuja x 1 jätame süsteemi kõikidest võrranditest välja, alates teisest. Selleks liida esimene võrrand korrutatuna süsteemi teisele võrrandile, liida esimene korrutatud võrrand kolmandale võrrandile ja nii edasi, liida esimene korrutatuna n-ndale võrrandile. Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus , a .

Sama tulemuseni jõuaksime, kui väljendaksime x 1 süsteemi esimeses võrrandis teiste tundmatute muutujate kaudu ja asendaksime saadud avaldise kõigi teiste võrranditega. Seega jäetakse muutuja x 1 kõigist võrranditest välja, alates teisest.

Järgmisena toimime sarnaselt, kuid ainult saadud süsteemi osaga, mis on joonisel märgitud

Selleks liida süsteemi kolmandale võrrandile teine ​​korrutatud, neljandale võrrandile liidetakse teine ​​korrutatuna ja nii edasi, liidetakse teine ​​korrutatuna n-ndale võrrandile. Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus , a . Seega jäetakse muutuja x 2 kõigist võrranditest välja, alates kolmandast.

Järgmisena jätkame tundmatu x 3 kõrvaldamist, toimides samamoodi joonisel märgitud süsteemiosaga

Seega jätkame Gaussi meetodi otsest kulgu, kuni süsteem võtab kuju

Sellest hetkest alustame Gaussi meetodi vastupidist kulgu: arvutame x n viimasest võrrandist kui , kasutades saadud väärtust x n leiame eelviimasest võrrandist x n-1 ja nii edasi, leiame esimesest võrrandist x 1 võrrand.

Näide.

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetod.

Lahendus.

Jätame süsteemi teisest ja kolmandast võrrandist välja tundmatu muutuja x 1. Selleks lisame teise ja kolmanda võrrandi mõlemale osale esimese võrrandi vastavad osad, korrutatuna vastavalt ja arvuga:

Nüüd jätame x 2 kolmandast võrrandist välja, lisades selle vasak- ja parempoolsele osale teise võrrandi vasak- ja parempoolsed osad, korrutatuna järgmisega:

Sellega on Gaussi meetodi edasiliikumine lõpetatud, alustame vastupidist kurssi.

Saadud võrrandisüsteemi viimasest võrrandist leiame x 3:

Teisest võrrandist saame .

Esimesest võrrandist leiame ülejäänud tundmatu muutuja ja see lõpetab Gaussi meetodi vastupidise käigu.

Vastus:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamine.

IN üldine juhtum süsteemivõrrandite arv p ei ühti tundmatute muutujate arvuga n:

Sellistel SLAE-del ei pruugi olla lahendusi, neil võib olla üks lahendus või lõpmatult palju lahendusi. See väide kehtib ka võrrandisüsteemide kohta, mille põhimaatriks on ruudukujuline ja degenereerunud.

Kroneckeri-Capelli teoreem.

Enne lineaarvõrrandisüsteemi lahenduse leidmist on vaja kindlaks teha selle ühilduvus. Vastus küsimusele, millal SLAE ühildub ja millal mitte, annab vastuse Kronecker-Capelli teoreem:
n tundmatuga võrrandite süsteemi p (p võib olla võrdne n ) järjepidevuse tagamiseks on vajalik ja piisav, et süsteemi põhimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi astmega, st Rank( A)=Aste(T) .

Vaatleme näiteks Kroneckeri-Cappelli teoreemi rakendamist lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvuse määramiseks.

Näide.

Uurige, kas lineaarvõrrandisüsteemil on lahendusi.

Lahendus.

. Kasutagem alaealiste piiritlemise meetodit. Teise järgu alaealine nullist erinev. Vaatame seda ümbritsevaid kolmanda järgu alaealisi:

Kuna kõik piirnevad kolmanda järgu alaealised on võrdsed nulliga, on põhimaatriksi auaste kaks.

Omakorda suurendatud maatriksi auaste on võrdne kolmega, kuna kolmanda järgu moll

nullist erinev.

Seega Vahemik(A) , seega võime Kroneckeri-Capelli teoreemi järgi järeldada, et algne lineaarvõrrandisüsteem on vastuolus.

Vastus:

Lahendussüsteemi ei ole.

Niisiis, oleme õppinud tuvastama süsteemi ebakõla Kroneckeri-Capelli teoreemi abil.

Aga kuidas leida SLAE lahendus, kui selle ühilduvus on kindlaks tehtud?

Selleks vajame maatriksi põhimolli kontseptsiooni ja maatriksi järgu teoreemi.

Alaealine kõrgeim järjekord nimetatakse maatriksit A, mis on nullist erinev põhilised.

Põhimolli definitsioonist järeldub, et selle järjekord on võrdne maatriksi auastmega. Nullist erineva maatriksi A puhul võib olla mitu põhimolli, alati on üks põhimoll.

Mõelge näiteks maatriksile .

Kõik selle maatriksi kolmandat järku minoorsed väärtused on võrdsed nulliga, kuna selle maatriksi kolmanda rea ​​elemendid on esimese ja teise rea vastavate elementide summa.

Järgmised teist järku alaealised on põhilised, kuna need on nullist erinevad

Alaealised ei ole põhilised, kuna need on võrdsed nulliga.

Maatriksjärgu teoreem.

Kui maatriksi järku p järgi n on r, siis kõik maatriksi ridade (ja veergude) elemendid, mis ei moodusta valitud põhimolli, väljendatakse lineaarselt ridade (ja veergude) vastavate elementidena. ), mis on aluseks mollile.

Mida annab meile maatriksi auaste teoreem?

Kui oleme Kroneckeri-Capelli teoreemi abil tuvastanud süsteemi ühilduvuse, siis valime süsteemi põhimaatriksist suvalise põhimolli (selle järjekord on võrdne r-ga) ja jätame süsteemist välja kõik võrrandid, mis ei moodustada valitud põhimoll. Sel viisil saadud SLAE on samaväärne esialgsega, kuna kõrvalejäetud võrrandid on endiselt üleliigsed (maatriksi järgu teoreemi järgi on need ülejäänud võrrandite lineaarne kombinatsioon).

Selle tulemusena on pärast süsteemi liigsete võrrandite kõrvalejätmist võimalikud kaks juhtumit.

Kui saadud süsteemis on võrrandite arv r võrdne tundmatute muutujate arvuga, siis on see kindel ja ainsa lahenduse saab leida Crameri meetodil, maatriksmeetodil või Gaussi meetodil.

Näide.

.

Lahendus.

Süsteemi põhimaatriksi aste on võrdne kahega, kuna teist järku moll nullist erinev. Laiendatud maatriksi auaste on samuti võrdne kahega, kuna ainus kolmanda järgu moll on võrdne nulliga

ja eespool vaadeldud teist järku moll erineb nullist. Kroneckeri-Capelli teoreemi põhjal võib väita algse lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvust, kuna Rank(A)=Aste(T)=2 .

Aluseks võtame kõrvaleriala . See moodustub esimese ja teise võrrandi koefitsientidest:


Süsteemi kolmas võrrand ei osale põhimolli moodustamises, seega jätame selle maatriksjärgu teoreemi alusel süsteemist välja:


Nii oleme saanud lineaarsete algebraliste võrrandite elementaarse süsteemi. Lahendame selle Crameri meetodil:


Vastus:

x 1 \u003d 1, x 2 = 2.

Kui saadud SLAE võrrandite arv r on väiksem kui tundmatute muutujate arv n , siis jätame põhiminoori moodustavad terminid võrrandite vasakpoolsetesse osadesse ja ülejäänud liikmed kanname võrrandite parempoolsetesse osadesse. süsteemist vastupidise märgiga.

Tundmatuid muutujaid (neid on r), mis jäävad võrrandite vasakule poolele, nimetatakse peamine.

Nimetatakse tundmatuid muutujaid (neid on n - r), mis sattusid paremale poole tasuta.

Nüüd eeldame, et vabad tundmatud muutujad võivad võtta suvalisi väärtusi, samas kui r peamist tundmatut muutujat väljendatakse vabade tundmatute muutujatena ainulaadsel viisil. Nende väljenduse saab leida, lahendades saadud SLAE Crameri meetodil, maatriksmeetodil või Gaussi meetodil.

Võtame näite.

Näide.

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamine .

Lahendus.

Leidke süsteemi põhimaatriksi auaste piirnevate alaealiste meetodil. Võtame 1 1 = 1 kui nullist erinevat esimest järku minoori. Alustame selle molli ümber nullist erineva teist järku molli otsimist:


Seega leidsime teist järku nullist erineva molli. Hakkame otsima kolmandat järku nullist erineva piiriga molli:


Seega on põhimaatriksi auaste kolm. Laiendatud maatriksi auaste on samuti võrdne kolmega, see tähendab, et süsteem on järjekindel.

Põhiliseks võetakse kolmanda järgu leitud nullist erinev moll.

Selguse huvides näitame elemente, mis moodustavad põhialuse:


Jätame põhimollis osalevad terminid süsteemi võrrandite vasakusse serva ja ülejäänud kanname vastasmärkidega paremale poole:


Anname vabadele tundmatutele muutujatele x 2 ja x 5 suvalised väärtused, st võtame , kus on suvalised arvud. Sel juhul võtab SLAE vormi


Saadud lineaarsete algebraliste võrrandite elementaarsüsteemi lahendame Crameri meetodil:


Seega,.

Ärge unustage vastuses märkida tasuta tundmatuid muutujaid.

Vastus:

Kus on suvalised arvud.

Tehke kokkuvõte.

Üldkujuga lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks selgitame esmalt välja selle ühilduvuse Kroneckeri-Capelli teoreemi abil. Kui põhimaatriksi auaste ei ole võrdne laiendatud maatriksi auastmega, siis järeldame, et süsteem on vastuolus.

Kui põhimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi auastmega, siis valime põhimolli ja jätame kõrvale süsteemi võrrandid, mis ei osale valitud põhimolli moodustamisel.

Kui alusmolli järjekord on võrdne tundmatute muutujate arvuga, siis on SLAE-l unikaalne lahendus, mille saab leida mistahes meile teadaoleva meetodiga.

Kui alusminoori järjekord on väiksem kui tundmatute muutujate arv, siis jätame põhitundmatute muutujatega liikmed süsteemi võrrandite vasakusse serva, ülejäänud liikmed kanname paremale poole ja omistame suvalised väärtused ​vabadele tundmatutele muutujatele. Saadud lineaarvõrrandisüsteemist leiame peamised tundmatud muutujad Crameri meetodil, maatriksmeetodil või Gaussi meetodil.

Gaussi meetod üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks.

Gaussi meetodit kasutades saab lahendada mis tahes tüüpi lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme ilma nende ühilduvuse eeluuringuta. Tundmatute muutujate järjestikuse kõrvaldamise protsess võimaldab teha järelduse nii SLAE ühilduvuse kui ka ebakõla kohta ning kui lahendus on olemas, võimaldab see selle leida.

Arvutustöö seisukohalt eelistatakse Gaussi meetodit.

Vaata ette Täpsem kirjeldus ja analüüsis näiteid artiklis Gaussi meetod üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks.

Homogeensete ja ebahomogeensete lineaaralgebrasüsteemide üldlahenduse registreerimine, kasutades põhilahenduste süsteemi vektoreid.

Selles jaotises keskendume lineaarsete algebraliste võrrandite homogeensetele ja mittehomogeensetele ühendatud süsteemidele, millel on lõpmatu arv lahendusi.

Kõigepealt käsitleme homogeenseid süsteeme.

Fundamentaalne otsustussüsteem P lineaarsete algebraliste võrrandite homogeenne süsteem n tundmatu muutujaga on selle süsteemi (n – r) lineaarselt sõltumatute lahendite hulk, kus r on süsteemi põhimaatriksi alusmolli järjekord.

Kui tähistame homogeense SLAE lineaarselt sõltumatuid lahendusi X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) on maatriksite veerud mõõtmetega n 1 ) , siis on selle homogeense süsteemi üldlahend kujutatud põhilahenduste süsteemi vektorite lineaarse kombinatsioonina suvalise konstantsed koefitsiendidС 1 , С 2 , …, С (n-r) , see tähendab .

Mida tähendab mõiste homogeense lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi (oroslau) üldlahend?

Tähendus on lihtne: valem määrab kõik võimalikud lahendused algne SLAE, teisisõnu, võttes suvaliste konstantide С 1 , С 2 , …, С (n-r) väärtuste komplekti, saame valemi järgi ühe algse homogeense SLAE lahendustest.

Seega, kui leiame fundamentaalse lahenduste süsteemi, saame kõik selle homogeense SLAE lahendused seada .

Näitame homogeense SLAE põhilahenduste süsteemi konstrueerimise protsessi.

Valime algse lineaarvõrrandisüsteemi põhimolli, jätame süsteemist välja kõik teised võrrandid ja kanname vastasmärkidega süsteemi võrrandite paremale poolele kõik vabu tundmatuid muutujaid sisaldavad terminid. Anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused 1,0,0,…,0 ja arvutame peamised tundmatud, lahendades saadud lineaarvõrrandi elementaarsüsteemi mis tahes viisil, näiteks Crameri meetodil. Seega saadakse X (1) – põhisüsteemi esimene lahendus. Kui anname vabadele tundmatutele väärtused 0,1,0,0,…,0 ja arvutame peamised tundmatud, siis saame X (2) . Ja nii edasi. Kui anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused 0,0,…,0,1 ja arvutame peamised tundmatud, siis saame X (n-r) . Nii konstrueeritakse homogeense SLAE põhilahenduste süsteem ja saab kirjutada selle üldlahenduse kujul .

Lineaarsete algebraliste võrrandite ebahomogeensete süsteemide korral esitatakse üldlahend järgmiselt

Vaatame näiteid.

Näide.

Leia põhilahenduste süsteem ja homogeense lineaaralgebralise võrrandisüsteemi üldlahendus .

Lahendus.

Homogeensete lineaarvõrrandisüsteemide põhimaatriksi järg on alati võrdne laiendatud maatriksi astmega. Leiame põhimaatriksi auastme alaealiste ääristamise meetodil. Esimest järku nullist erineva minoorina võtame süsteemi põhimaatriksi elemendi a 1 1 = 9. Leidke teist järku ääristav nullist erinev moll:

Leitakse teist järku moll, mis erineb nullist. Vaatame nullist erinevat otsides läbi sellega piirnevad kolmanda järgu alaealised:

Kõik külgnevad kolmanda järgu alaealised on võrdsed nulliga, seetõttu on põhi- ja laiendatud maatriksi auaste kaks. Võtame põhilise molli. Selguse huvides märgime selle moodustava süsteemi elemendid:

Algse SLAE kolmas võrrand ei osale põhimolli moodustamises, seetõttu võib selle välistada:

Peamisi tundmatuid sisaldavad terminid jätame võrrandite paremale poolele ja vabade tundmatutega terminid kanname paremale poolele:

Koostagem algse homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste põhisüsteem. Selle SLAE põhilahenduste süsteem koosneb kahest lahendusest, kuna algne SLAE sisaldab nelja tundmatut muutujat ja selle põhimollide järjekord on kaks. X (1) leidmiseks anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, seejärel leiame võrrandisüsteemist peamised tundmatud
.

Kus x* - üks mittehomogeense süsteemi (2) lahendustest (näiteks (4)), (E−A + A) moodustab maatriksi tuuma (nullruumi). A.

Teeme maatriksi skeleti lagunemise (E−A + A):

E−A + A=Q S

Kus K n × n-r- järgu maatriks (Q)=n-r, S n-r×n-järgu maatriks (S)=n-r.

Siis saab (13) sisse kirjutada järgmine vorm:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

Kus k=Sz.

Niisiis, üldine lahendusprotseduur pseudoinversset maatriksit kasutavaid lineaarvõrrandisüsteeme saab esitada järgmisel kujul:

1. Arvutage pseudoinversne maatriks A + .
2. Arvutame ebahomogeense lineaarvõrrandisüsteemi (2) konkreetse lahenduse: x*=A + b.
3. Kontrollime süsteemi ühilduvust. Selleks arvutame AA + b. Kui AA + b≠b, siis on süsteem ebajärjekindel. Vastasel juhul jätkame protseduuri.
4. vyssylyaem E−A+A.
5. Skeleti lagunemise tegemine E−A + A=Q·S.
6. Lahenduse loomine

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine võrgus

Veebikalkulaator võimaldab leida lineaarvõrrandisüsteemi üldlahenduse koos üksikasjalike selgitustega.

Praktikas on aga laialt levinud veel kaks juhtumit:

– süsteem on ebaühtlane (pole lahendusi);
Süsteem on järjepidev ja sellel on lõpmatult palju lahendusi.

Märge : mõiste "järjepidevus" tähendab, et süsteemil on vähemalt mingi lahendus. Paljude ülesannete puhul tuleb eelnevalt uurida süsteemi ühilduvust, kuidas seda teha - vaadake artiklit maatriksi auaste.

Nende süsteemide jaoks kasutatakse kõigist lahendusmeetoditest kõige universaalsemat - Gaussi meetod. Tegelikult viib “kooli” viis ka vastuseni, kuid sisse kõrgem matemaatika Tundmatute järjestikuseks kõrvaldamiseks on tavaks kasutada Gaussi meetodit. Kes Gaussi meetodi algoritmiga kursis pole, palun tutvuge esmalt õppetunniga Gaussi meetod mannekeenide jaoks.

Elementaarmaatriksiteisendused ise on täpselt samad, on erinevus lahenduse lõpus. Esiteks kaaluge paari näidet, kus süsteemil pole lahendusi (ebajärjekindlad).

Näide 1

Mis sulle selles süsteemis kohe silma hakkab? Võrrandite arv on väiksem kui muutujate arv. Kui võrrandite arv on väiksem kui muutujate arv, siis võime kohe öelda, et süsteem on kas ebaühtlane või sellel on lõpmatult palju lahendusi. Ja jääb üle vaid välja selgitada.

Lahenduse algus on üsna tavaline - kirjutame süsteemi liitmaatriksi ja kasutades elementaarsed teisendused Toome selle astmelisele kujule:

(1) Ülemises vasakpoolses astmes peame saama +1 või -1. Esimeses veerus selliseid numbreid pole, seega ridade ümberpaigutamine ei toimi. Üksus tuleb organiseerida iseseisvalt ja seda saab teha mitmel viisil. Tegin nii: lisage esimesele reale kolmas rida, korrutatuna -1-ga.

(2) Nüüd saame esimesse veergu kaks nulli. Teisele reale lisame esimese rea korrutatuna 3-ga. Kolmandale reale lisame esimese rea korrutatuna 5-ga.

(3) Pärast teisenduse tegemist on alati soovitatav vaadata, kas saadud stringe on võimalik lihtsustada? Saab. Jagame teise rea 2-ga, saades samal ajal teisel sammul soovitud -1. Jagage kolmas rida -3-ga.

(4) Lisage teine ​​rida kolmandale reale.

Tõenäoliselt pöörasid kõik tähelepanu halvale joonele, mis selgus elementaarsete ümberkujundamiste tulemusena: . On selge, et see ei saa nii olla. Tõepoolest, me kirjutame saadud maatriksi ümber tagasi lineaarvõrrandi süsteemi juurde:

Kui elementaarteisenduste tulemusena saadakse vormi string, kus on nullist erinev arv, siis on süsteem ebajärjekindel (lahendeid pole) .

Kuidas salvestada ülesande lõppu? Joonistame valge kriidiga: "elementaarteisenduste tulemusena saadakse vormi rida, kus" ja anname vastuse: süsteemil pole lahendusi (ebajärjekindel).

Kui vastavalt tingimusele on vaja süsteemi ühilduvuse jaoks UURIDA, siis on vaja väljastada soliidsemas stiilis lahendus, mis hõlmab kontseptsiooni maatriksi auaste ja Kroneckeri-Capelli teoreem.

Pange tähele, et siin puudub Gaussi algoritmi vastupidine liikumine - lahendusi pole ja lihtsalt pole midagi leida.

Näide 2

Lahendage lineaarvõrrandi süsteem

See on tee-seda-ise näide. Täislahendus ja vastus tunni lõpus. Jällegi tuletan meelde, et sinu lahendustee võib minu lahendusteest erineda, Gaussi algoritmil puudub tugev “jäikus”.

Veel üks lahenduse tehniline omadus: elementaarteisendusi saab peatada Korraga, niipea kui rida nagu , kus . Kaaluge tingimuslik näide: oletame, et pärast esimest teisendust saame maatriksi . Maatriksit ei ole veel taandatud astmeliseks vormiks, kuid täiendavaid elementaarteisendusi pole vaja, kuna on tekkinud vormi rida, kus . Kohe tuleks vastata, et süsteem ei ühildu.

Kui lineaarvõrrandisüsteemil pole lahendusi, on see peaaegu kingitus, sest saadakse lühike lahendus, mõnikord sõna otseses mõttes 2-3 sammuga.

Kuid siin maailmas on kõik tasakaalus ja probleem, milles süsteemil on lõpmatult palju lahendusi, on lihtsalt pikem.

Näide 3

Lahendage lineaarvõrrandi süsteem

Seal on 4 võrrandit ja 4 tundmatut, nii et süsteemil võib olla üks lahend, lahendeid ei tohi olla või võib olla lõpmatult palju lahendeid. Mis iganes see oli, kuid Gaussi meetod viib meid igal juhul vastuseni. Selles peitub selle mitmekülgsus.

Algus on jälle standardne. Kirjutame süsteemi laiendatud maatriksi ja toome selle elementaarsete teisenduste abil astmelisele kujule:

See on kõik ja sa kartsid.

(1) Pange tähele, et kõik esimeses veerus olevad numbrid jaguvad 2-ga, nii et 2 sobib ülemisel vasakpoolsel pulgal. Teisele reale lisame esimese rea, korrutatuna -4-ga. Kolmandale reale lisame esimese rea, korrutatuna -2-ga. Neljandale reale lisame esimese rea, korrutatuna -1-ga.

Tähelepanu! Paljudel võib tekkida kiusatus neljandast reast lahutada esimene rida. Seda saab teha, kuid see pole vajalik, kogemus näitab, et arvutustes suureneb vea tõenäosus mitu korda. Lihtsalt liitke: neljandale reale lisage esimene rida, korrutatuna -1-ga - täpselt!

(2) Viimased kolm rida on proportsionaalsed, kaks neist on kustutatavad.

Siin on jälle vaja näidata suurenenud tähelepanu, aga kas jooned on tõesti proportsionaalsed? Edasikindlustuse jaoks (eriti teekannu puhul) ei oleks üleliigne korrutada teine ​​rida -1-ga ja jagada neljas rida 2-ga, mille tulemuseks on kolm identset rida. Ja alles pärast seda eemaldage neist kaks.

Elementaarteisenduste tulemusena taandatakse süsteemi laiendatud maatriks astmelisele kujule:

Märkmikus ülesande täitmisel on soovitav selguse huvides teha samad märkmed pliiatsiga.

Kirjutame vastava võrrandisüsteemi ümber:

Süsteemi “tavaline” ainus lahendus siin ei haise. Pole ka halba rida. See tähendab, et see on kolmas järelejäänud juhtum – süsteemil on lõpmatult palju lahendusi. Mõnikord on tingimusel vaja uurida süsteemi ühilduvust (st tõestada, et lahendus on üldse olemas), selle kohta saate lugeda artikli viimasest lõigust. Kuidas leida maatriksi auastet? Kuid praegu jagame põhitõed lahti:

Süsteemi lõpmatu lahenduste hulk on lühidalt kirjas kujul nn süsteemi üldine lahendus .

Süsteemi üldlahenduse leiame Gaussi meetodi pöördliikumise abil.

Kõigepealt peame kindlaks määrama, millised muutujad meil on põhilised ja millised muutujad tasuta. Lineaaralgebra terminitega pole vaja pead vaevata, piisab, kui meeles pidada, et selliseid on baasmuutujad Ja vabad muutujad.

Põhimuutujad "istuvad" alati rangelt maatriksi astmetel.
Selles näites on põhimuutujad ja

Vabad muutujad on kõik allesjäänud muutujad, mis ei saanud sammugi. Meie puhul on neid kaks: - vabad muutujad.

Nüüd vajate Kõik baasmuutujad väljendada ainult läbi vabad muutujad.

Gaussi algoritmi vastupidine liikumine toimib traditsiooniliselt alt üles.
Süsteemi teisest võrrandist väljendame põhimuutujat:

Nüüd vaadake esimest võrrandit: . Esiteks asendame sellega leitud väljendi:

Jääb üle põhimuutuja väljendada vabade muutujatena:

Tulemus on see, mida vajate - Kõik väljendatakse baasmuutujad ( ja ). ainult läbi vabad muutujad:

Tegelikult on üldine lahendus valmis:

Kuidas üldist lahendust kirja panna?
Vabad muutujad kirjutatakse üldlahendusse "iseenesest" ja rangelt oma kohtadele. Sel juhul tuleks vabad muutujad kirjutada teisele ja neljandale positsioonile:
.

Saadud avaldised põhimuutujatele ja ilmselt tuleb kirjutada esimesse ja kolmandasse positsiooni:

Vabade muutujate andmine suvalised väärtused, neid on lõpmatult palju eraotsused. Kõige populaarsemad väärtused on nullid, kuna konkreetset lahendust on kõige lihtsam saada. Asendage üldlahenduses:

on isiklik otsus.

Need on veel üks armas paar, asendame üldise lahendusega:

on veel üks konkreetne lahendus.

On lihtne näha, et võrrandisüsteemil on lõpmatult palju lahendusi(kuna saame anda vabad muutujad ükskõik milline väärtused)

Iga konkreetne lahendus peab rahuldama igale süsteemi võrrand. See on lahenduse õigsuse “kiire” kontrollimise aluseks. Võtke näiteks konkreetne lahendus ja asendage see vasak pool iga algse süsteemi võrrand:

Kõik peab kokku saama. Ja mis tahes konkreetse lahendusega, mille saate, peaks kõik ka lähenema.

Kuid rangelt võttes võib teatud lahenduse kontrollimine mõnikord petta; mõni konkreetne lahendus võib rahuldada süsteemi iga võrrandit ja üldlahend ise leitakse tegelikult valesti.

Seetõttu on üldlahenduse kontrollimine põhjalikum ja usaldusväärsem. Kuidas kontrollida saadud üldlahendust ?

See on lihtne, kuid üsna tüütu. Peame võtma väljendeid põhilised muutujad, antud juhul ja , ning asendage need süsteemi iga võrrandi vasakpoolsesse serva.

Süsteemi esimese võrrandi vasakul küljel:

Süsteemi teisest võrrandist vasakule:


Vastu võetud parem osa algne võrrand.

Näide 4

Lahendage süsteem Gaussi meetodil. Leidke üldine lahendus ja kaks privaatset lahendust. Kontrollige üldist lahendust.

See on tee-seda-ise näide. Siin, muide, on võrrandite arv jällegi väiksem kui tundmatute arv, mis tähendab, et kohe on selge, et süsteem on kas vastuoluline või lõpmatu arvu lahendustega. Mis on otsustamisprotsessis endas oluline? Tähelepanu ja veelkord tähelepanu. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Ja veel paar näidet materjali tugevdamiseks

Näide 5

Lahendage lineaarvõrrandi süsteem. Kui süsteemil on lõpmata palju lahendusi, leidke kaks konkreetset lahendust ja kontrollige üldist lahendust

Lahendus: Kirjutame süsteemi liitmaatriksi ja elementaarteisenduste abil viime selle astmelisele kujule:

(1) Lisage esimene rida teisele reale. Kolmandale reale lisame esimese rea korrutatuna 2-ga. Neljandale reale lisame esimese rea korrutatuna 3-ga.
(2) Lisage kolmandale reale teine ​​rida, korrutatuna -5-ga. Neljandale reale lisame teise rea, korrutatuna -7-ga.
(3) Kolmas ja neljas rida on samad, ühe neist kustutame.

Siin on selline kaunitar:

Põhimuutujad asuvad astmetel, seega on need põhimuutujad.
On ainult üks vaba muutuja, mis ei saanud sammu:

Tagurpidi liikumine:
Põhimuutujaid väljendame vaba muutuja kaudu:
Kolmandast võrrandist:

Mõelge teisele võrrandile ja asendage leitud avaldis sellega:

Mõelge esimesele võrrandile ja asendage leitud avaldised sellesse:

Jah, tavalisi murde lugev kalkulaator on endiselt mugav.

Seega on üldine lahendus:

Veel kord, kuidas see juhtus? Vaba muutuja on üksi oma õiguspärasel neljandal kohal. Saadud põhimuutujate avaldised võtsid samuti oma järgukohad.

Kontrollime kohe üldist lahendust. Töötage mustanahaliste jaoks, aga ma olen seda juba teinud, nii et võtke kinni =)

Asendame süsteemi iga võrrandi vasakpoolsesse serva kolm kangelast , :

Saadakse võrrandite vastavad parempoolsed küljed, seega leitakse üldlahend õigesti.

Nüüd leitud üldlahendusest saame kaks konkreetset lahendust. Peakokk on siin ainus vaba muutuja. Pole vaja pead murda.

Lase siis on isiklik otsus.
Lase siis on veel üks konkreetne lahendus.

Vastus: Ühine otsus: , konkreetsed lahendused: , .

Asjata meenusid siin mustanahalised ... ... sest pähe tulid igasugused sadistlikud motiivid ja meenus tuntud fotozhaba, kus valgetes kombinesoonides Ku Klux Klansmen mustanahalise jalgpalluri järel üle väljaku jookseb. . Istun ja naeratan vaikselt. Teate, kui häirib…

Suur osa matemaatikast on kahjulik, seega sarnane lõplik näide iseseisva lahenduse jaoks.

Näide 6

Leidke lineaarvõrrandisüsteemi üldlahend.

Üldlahendust olen juba kontrollinud, vastust võib usaldada. Teie lahendus võib minu lahendusest erineda, peaasi, et üldlahendused ühtiksid.

Tõenäoliselt märkasid paljud lahendustes ebameeldivat momenti: väga sageli tuli Gaussi meetodi vastupidisel kulgemisel askeldada tavalised murrud. Praktikas on see tõsi, juhtumid, kus murde pole, on palju harvemad. Olge vaimselt ja mis kõige tähtsam - tehniliselt valmis.

Peatun mõnel lahenduse tunnusel, mida lahendatud näidetes ei leitud.

Süsteemi üldlahendus võib mõnikord sisaldada konstanti (või konstante), näiteks: . Siin on üks põhimuutujatest võrdne konstantse arvuga: . Selles pole midagi eksootilist, see juhtub. Ilmselgelt sisaldab iga konkreetne lahendus sel juhul viit esimesel kohal.

Harva, kuid on süsteeme, milles võrrandite arv rohkem kogust muutujad. Gaussi meetod töötab kõige raskemates tingimustes, süsteemi laiendatud maatriks tuleks rahulikult standardalgoritmi järgi astmelisele kujule viia. Selline süsteem võib olla ebajärjekindel, sellel võib olla lõpmatult palju lahendusi ja kummalisel kombel võib sellel olla ainulaadne lahendus.

LINEAARVÕRRANDITE SÜSTEEMID

I. Probleemi avaldus.

II. Homogeensete ja mittehomogeensete süsteemide ühilduvus.

III. Süsteem T võrrandid T teadmata. Crameri reegel.

IV. Maatriksmeetod võrrandisüsteemide lahendamiseks.

V. Gaussi meetod.

I. Probleemi avaldus.

Vormi võrrandisüsteem

nimetatakse süsteemiks m lineaarvõrrandid n teadmata
. Selle süsteemi võrrandite koefitsiendid on kirjutatud maatriksi kujul

helistas süsteemi maatriks (1).

Võrrandite paremal küljel olevad numbrid moodustavad tasuta liikmete veerg {B}:

.

Kui veerg ( B}={0 ), siis nimetatakse võrrandisüsteemi homogeenne. Vastasel juhul, kui ( B}≠{0 ) – süsteem heterogeenne.

Lineaarvõrrandisüsteemi (1) saab kirjutada maatrikskujul

[A]{x}={B}. (2)

Siin - tundmatute veerg.

Võrrandisüsteemi (1) lahendamine tähendab hulga leidmist n numbrid
selline, et asendamisel süsteemi (1) asemel tundmatu
iga süsteemi võrrand muutub identiteediks. Numbrid
nimetatakse võrrandisüsteemi lahendusteks.

Lineaarvõrrandisüsteemil võib olla üks lahendus

,

lahendusi võib olla lõpmatu arv

või pole üldse lahendusi

.

Nimetatakse võrrandisüsteeme, millel pole lahendeid Sobimatu. Kui võrrandisüsteemil on vähemalt üks lahend, siis seda nimetatakse liigend. Võrrandisüsteemi nimetatakse teatud kui sellel on ainulaadne lahendus ja ebakindel kui sellel on lõpmatu arv lahendusi.

II. Homogeensete ja mittehomogeensete süsteemide ühilduvus.

Lineaarvõrrandisüsteemi (1) ühilduvustingimus on sõnastatud aastal Kroneckeri-Capelli teoreem: lineaarvõrrandisüsteemil on vähemalt üks lahendus siis ja ainult siis, kui süsteemi maatriksi aste on võrdne laiendatud maatriksi astmega:
.

Süsteemi laiendatud maatriks on maatriks, mis saadakse süsteemi maatriksist, määrates sellele paremal vabade liikmete veeru:

.

Kui Rg AA* , siis on võrrandisüsteem ebajärjekindel.

Kroneckeri-Capelli teoreemi kohased homogeensed lineaarvõrrandisüsteemid on alati ühilduvad. Vaatleme homogeense süsteemi juhtumit, kus võrrandite arv on võrdne tundmatute arvuga, s.t. m = n. Kui sellise süsteemi maatriksi determinant ei ole võrdne nulliga, s.o.
, on homogeensel süsteemil unikaalne lahendus, mis on triviaalne (null). Homogeensetel süsteemidel on lõpmatu arv lahendeid, kui süsteemi võrrandite hulgas on lineaarselt sõltuvad võrrandid, s.t.
.

Näide. Vaatleme kolme tundmatuga kolme lineaarse võrrandi homogeenset süsteemi:

ja uurida selle lahenduste arvu küsimust. Igat võrrandit võib pidada lähtepunkti läbiva tasapinna võrrandiks ( D=0 ). Võrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus, kui kõik kolm tasandit ristuvad ühes punktis. Veelgi enam, nende normaalsed vektorid on mittetasapinnalised ja seega ka tingimus

.

Süsteemi lahendus antud juhul x=0, y=0, z=0 .

Kui kolmest tasapinnast vähemalt kaks, näiteks esimene ja teine, on paralleelsed, s.t. , siis on süsteemi maatriksi determinant võrdne nulliga ja süsteemil on lõpmatu arv lahendeid. Pealegi on lahendusteks koordinaadid x, y, z kõik punktid joonel

Kui kõik kolm tasandit langevad kokku, taandub võrrandisüsteem üheks võrrandiks

,

ja lahenduseks on kõigi sellel tasapinnal asuvate punktide koordinaadid.

Inhomogeensete lineaarvõrrandisüsteemide uurimisel lahendatakse ühilduvuse küsimus Kroneckeri-Capelli teoreemi abil. Kui sellises süsteemis on võrrandite arv võrdne tundmatute arvuga, siis on süsteemil unikaalne lahend, kui selle determinant ei ole võrdne nulliga. Vastasel juhul on süsteem kas ebaühtlane või sellel on lõpmatu arv lahendusi.

Näide. Uurime kahe tundmatuga kahe võrrandi ebahomogeenset süsteemi

.

Süsteemi võrrandeid võib käsitleda kahe tasapinnalise sirge võrranditena. Süsteem on ebaühtlane, kui sirged on paralleelsed, s.t.
,
. Sel juhul on süsteemimaatriksi järjestus 1:

Rg A=1 , sest
,

samas kui suurendatud maatriksi auaste
on võrdne kahega, kuna selle jaoks saab kolmandat veergu sisaldava teise järgu molli valida alusmolliks.

Vaadeldaval juhul Rg AA * .

Kui jooned langevad kokku, s.t. , siis on võrrandisüsteemil lõpmatu arv lahendeid: sirgel olevate punktide koordinaadid
. Sel juhul Rg A= Rg A * =1.

Süsteemil on unikaalne lahendus, kui jooned ei ole paralleelsed, s.t.
. Selle süsteemi lahenduseks on sirgete lõikepunkti koordinaadid

III. SüsteemT võrrandidT teadmata. Crameri reegel.

Vaatleme lihtsaimat juhust, kui süsteemivõrrandite arv on võrdne tundmatute arvuga, s.o. m= n. Kui süsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, saab süsteemile lahenduse leida Crameri reegli abil:

(3)

Siin
- süsteemimaatriksi determinant,

- maatriksi determinant, mis on saadud [ A] asendamine i veerust vabade liikmete veergu:

.

Näide. Lahenda võrrandisüsteem Crameri meetodil.

Lahendus :

1) leida süsteemi determinant

2) leida abideterminandid

3) leida süsteemile lahendus Crameri reegli järgi:

Lahenduse tulemust saab kontrollida võrrandisüsteemi asendades

Saadakse õiged identiteedid.

IV. Maatriksmeetod võrrandisüsteemide lahendamiseks.

Kirjutame lineaarvõrrandisüsteemi maatriksi kujul (2)

[A]{x}={B}

ja korruta seose (2) parem ja vasak osa vasakult maatriksiga [ A -1 ], süsteemimaatriksi pöördväärtus:

[A -1 ][A]{x}=[A -1 ]{B}. (2)

Pöördmaatriksi definitsiooni järgi korrutis [ A -1 ][A]=[E] ja identiteedimaatriksi omaduste järgi [ E]{x}={x). Seejärel saame seosest (2").

{x}=[A -1 ]{B}. (4)

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise maatriksmeetodi aluseks on seos (4): tuleb leida süsteemi maatriksiga pöördvõrdeline maatriks ja korrutada sellega süsteemi parempoolsete osade veeruvektor.

Näide. Eelmises näites vaadeldud võrrandisüsteemi lahendame maatriksmeetodil.

Süsteemi maatriks
selle määrav det A==183 .

Parempoolne veerg
.

Maatriksi leidmiseks [ A -1 ], leidke maatriks, mis on lisatud [ A]:

või

Pöördmaatriksi arvutamise valem sisaldab
, Siis

Nüüd leiame süsteemile lahenduse

Siis lõpuks saame .

V. Gaussi meetod.

Suure hulga tundmatute korral on võrrandisüsteemi lahendamine Crameri meetodil või maatriksmeetodil seotud kõrget järku determinantide arvutamisega või suurte maatriksite ümberpööramisega. Need protseduurid on isegi kaasaegsete arvutite jaoks väga töömahukad. Seetõttu kasutatakse suure hulga võrranditega süsteemide lahendamiseks sagedamini Gaussi meetodit.

Gaussi meetod seisneb tundmatute järjestikuses elimineerimises süsteemi laiendatud maatriksi elementaarsete teisenduste abil. Elementaarsete maatriksiteisenduste hulka kuuluvad ridade permutatsioon, ridade liitmine, ridade korrutamine muude numbritega kui null. Teisenduste tulemusena on võimalik süsteemi maatriks taandada ülemiseks kolmnurkseks, mille põhidiagonaalil on ühikud ja põhidiagonaali all - nullid. See on Gaussi meetodi otsene käik. Meetodi vastupidine kulg seisneb tundmatute otseses määramises, alustades viimasest.

Illustreerime Gaussi meetodit võrrandisüsteemi lahendamise näitel

Edasiliikumise esimesel sammul on tagatud, et koefitsient
teisendatud süsteemist sai võrdseks 1 ja koefitsiendid
Ja
keeras nulli. Selleks korrutage esimene võrrand arvuga 1/10 , korrutage teine ​​võrrand arvuga 10 ja lisage esimesele, korrutage kolmas võrrand arvuga -10/2 ja lisage see esimesele. Pärast neid muutusi saame

Teises etapis tagame, et pärast teisendusi koefitsient
sai võrdseks 1 , ja koefitsient
. Selleks jagame teise võrrandi arvuga 42 ja korrutage kolmas võrrand arvuga -42/27 ja lisage see teisele. Saame võrrandisüsteemi

Kolmas samm on koefitsiendi saamine
. Selleks jagame kolmanda võrrandi arvuga (37 - 84/27) ; saame

Siin lõpeb Gaussi meetodi otsene kulg, sest süsteemi maatriks taandatakse ülemiseks kolmnurkseks:

Tagurpidi liikudes leiame tundmatuid

Näide 1. Leidke süsteemi üldlahendus ja mõni konkreetne lahendus

Lahendus tee seda kalkulaatoriga. Kirjutame välja laiendatud ja põhimaatriksid:

Põhimaatriks A on eraldatud punktiirjoonega. Ülevalt kirjutame tundmatud süsteemid, pidades silmas süsteemi võrrandites olevate terminite võimalikku permutatsiooni. Laiendatud maatriksi auastme määramisel leiame samaaegselt põhimaatriksi auastme. Maatriksis B on esimene ja teine ​​veerg võrdelised. Kahest proportsionaalsest veerust võib põhimolli langeda ainult üks, nii et liigutame näiteks esimese veeru vastasmärgiga katkendjoonest kaugemale. Süsteemi jaoks tähendab see terminite ülekandmist x 1-st võrrandite paremale poolele.

Toome maatriksi kolmnurksesse vormi. Töötame ainult ridadega, kuna maatriksrea korrutamine nullist erineva arvuga ja süsteemi jaoks teisele reale liitmine tähendab võrrandi korrutamist sama arvuga ja liitmist teise võrrandiga, mis ei muuda süsteemi lahendust . Esimese reaga töötamine: korrutage maatriksi esimene rida (-3) ja lisage kordamööda teisele ja kolmandale reale. Seejärel korrutame esimese rea (-2)-ga ja lisame selle neljandale.

Teine ja kolmas rida on proportsionaalsed, seetõttu saab neist ühe, näiteks teise, läbi kriipsutada. See on samaväärne süsteemi teise võrrandi kustutamisega, kuna see on kolmanda võrrandi tagajärg.

Nüüd töötame teise reaga: korrutage see (-1)-ga ja lisage see kolmandale.

Katkendlik moll on kõrgeima järguga (kõikidest võimalikest minoorsetest) ja nullist erinev (see võrdub põhidiagonaali elementide korrutisega) ja see moll kuulub nii põhimaatriksisse kui ka laiendatud maatriksisse, seega rangA = helinB = 3 .
Alaealine on põhiline. See sisaldab tundmatute x 2, x 3, x 4 koefitsiente, mis tähendab, et tundmatud x 2, x 3, x 4 on sõltuvad ja x 1, x 5 on vabad.
Teisendame maatriksi, jättes vasakule ainult põhimolli (mis vastab ülaltoodud lahendusalgoritmi punktile 4).

Selle maatriksi koefitsientidega süsteem on samaväärne algse süsteemiga ja sellel on vorm

Tundmatute kõrvaldamise meetodil leiame:
, ,

Saime relatsioonid, mis väljendavad sõltuvaid muutujaid x 2, x 3, x 4 läbi vabade x 1 ja x 5, ehk siis leidsime üldlahenduse:

Andes vabadele tundmatutele suvalised väärtused, saame suvalise arvu konkreetseid lahendusi. Leiame kaks konkreetset lahendust:
1) olgu x 1 = x 5 = 0, siis x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) pane x 1 = 1, x 5 = -1, siis x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Seega leidsime kaks lahendust: (0,1, -3,3,0) - üks lahendus, (1,4, -7,7, -1) - teine ​​lahendus.

Näide 2. Uurige ühilduvust, leidke süsteemi üldine ja üks konkreetne lahendus

Lahendus. Korraldame esimese ja teise võrrandi ümber nii, et esimeses võrrandis oleks ühik, ja kirjutame maatriksi B.

Neljandas veerus saame nullid, töötades esimeses reas:

Nüüd saate teise rea abil kolmanda veeru nullid:

Kolmas ja neljas rida on proportsionaalsed, nii et ühe neist saab auastet muutmata läbi kriipsutada:
Korrutage kolmas rida (-2) ja lisage neljandale:

Näeme, et põhi- ja laiendatud maatriksite auastmed on 4 ja järjestus langeb kokku tundmatute arvuga, seetõttu on süsteemil ainulaadne lahendus:
;
x 4 = 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

Näide 3. Kontrollige süsteemi ühilduvust ja leidke lahendus, kui see on olemas.

Lahendus. Koostame süsteemi laiendatud maatriksi.

Korraldage kaks esimest võrrandit ümber nii, et vasakus ülanurgas oleks 1:
Korrutades esimese rea (-1), lisame selle kolmandale:

Korrutage teine ​​rida (-2) ja lisage kolmandale:

Süsteem on ebajärjekindel, kuna põhimaatriks sai nullidest koosneva rea, mis auastme leidmisel läbi kriipsutatakse ja viimane rida jääb laiendatud maatriksisse ehk r B > r A .

Harjutus. Uurige selle võrrandisüsteemi ühilduvust ja lahendage see maatriksarvutuse abil.
Lahendus

Näide. Tõesta lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvus ja lahenda see kahel viisil: 1) Gaussi meetodil; 2) Crameri meetod. (sisesta vastus kujul: x1,x2,x3)
Lahendus :doc :doc :xls
Vastus: 2,-1,3.

Näide. Antud on lineaarvõrrandi süsteem. Tõesta selle ühilduvust. Leidke süsteemi üldlahendus ja üks konkreetne lahendus.
Lahendus
Vastus: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Harjutus. Leidke iga süsteemi jaoks üldised ja konkreetsed lahendused.
Lahendus. Uurime seda süsteemi Kroneckeri-Capelli teoreemi abil.
Kirjutame välja laiendatud ja põhimaatriksid:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x2	x 3	x4	x5

Siin on maatriks A paksus kirjas.
Toome maatriksi kolmnurksesse vormi. Töötame ainult ridadega, kuna maatriksrea korrutamine nullist erineva arvuga ja süsteemi jaoks teisele reale liitmine tähendab võrrandi korrutamist sama arvuga ja liitmist teise võrrandiga, mis ei muuda süsteemi lahendust .
Korrutage esimene rida (3-ga). Korrutage 2. rida arvuga (-1). Lisame 2. rea esimesele:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Korrutage 2. rida arvuga (2). Korrutage 3. rida arvuga (-3). Liidame 3. rea teisele:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Korrutage 2. rida arvuga (-1). Lisame 2. rea esimesele:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Valitud moll on kõrgeima järguga (võimalike mollide seas) ja erineb nullist (see võrdub vastastikuse diagonaali elementide korrutisega) ja see moll kuulub nii põhimaatriksisse kui ka laiendatud maatriksisse, seetõttu helin( A) = helin(B) = 3 Kuna põhimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi auastmega, siis süsteem on koostööpõhine.
See alaealine on elementaarne. See sisaldab tundmatute x 1, x 2, x 3 koefitsiente, mis tähendab, et tundmatud x 1, x 2, x 3 on sõltuvad (põhilised) ja x 4, x 5 on vabad.
Teisendame maatriksi, jättes vasakule ainult põhimolli.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x2	x 3		x4	x5

Selle maatriksi koefitsientidega süsteem on samaväärne algse süsteemiga ja sellel on vorm:
27x3=
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Tundmatute kõrvaldamise meetodil leiame:
Saime seosed, mis väljendavad sõltuvaid muutujaid x 1, x 2, x 3 kuni vaba x 4, x 5, st leidsime ühine otsus:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
ebakindel, sest on rohkem kui üks lahendus.

Harjutus. Lahenda võrrandisüsteem.
Vastus:x 2 = 2 – 1,67 x 3 + 0,67 x 4
x 1 = 5 – 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Andes vabadele tundmatutele suvalised väärtused, saame suvalise arvu konkreetseid lahendusi. Süsteem on ebakindel