Ang linyang dumadaan sa puntong K(x 0; y 0) at kahanay ng linyang y = kx + a ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Kung saan ang k ay ang slope ng tuwid na linya.

Alternatibong formula:
Ang linyang dumadaan sa puntong M 1 (x 1 ; y 1) at kahanay ng linyang Ax+By+C=0 ay kinakatawan ng equation

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong K( ;) parallel sa linyang y = x + .

Halimbawa #1. Buuin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 0 (-2.1) at sa parehong oras:
a) parallel sa tuwid na linya 2x+3y -7 = 0;
b) patayo sa linya 2x+3y -7 = 0.
Solusyon . Katawanin natin ang slope equation bilang y = kx + a . Upang gawin ito, inililipat namin ang lahat ng mga halaga maliban sa y sa kanang bahagi: 3y = -2x + 7 . Pagkatapos ay hatiin natin ang kanang bahagi ng koepisyent 3 . Nakukuha namin ang: y = -2/3x + 7/3
Hanapin ang equation na NK na dumadaan sa puntong K(-2;1) parallel sa tuwid na linya y = -2 / 3 x + 7 / 3
Ang pagpapalit ng x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 ay nakukuha namin:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
o
y = -2 / 3 x - 1 / 3 o 3y + 2x +1 = 0

Halimbawa #2. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na kahanay sa tuwid na linya 2x + 5y = 0 at bumubuo, kasama ang mga coordinate axes, isang tatsulok na ang lugar ay 5.
Solusyon . Dahil ang mga linya ay parallel, ang equation ng kinakailangang linya ay 2x + 5y + C = 0. Lugar kanang tatsulok, kung saan ang a at b ang mga binti nito. Hanapin ang mga punto ng intersection ng nais na linya na may mga coordinate axes:
;
.
Kaya, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Palitan sa formula para sa lugar: . Kumuha kami ng dalawang solusyon: 2x + 5y + 10 = 0 at 2x + 5y - 10 = 0 .

Halimbawa #3. Isulat ang equation ng linyang dumadaan sa punto (-2; 5) at ang parallel na linya 5x-7y-4=0 .
Solusyon. Ang tuwid na linyang ito ay maaaring katawanin ng equation na y = 5/7 x – 4/7 (dito a = 5/7). Ang equation ng gustong linya ay y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), i.e. 7(y-5)=5(x+2) o 5x-7y+45=0 .

Halimbawa #4. Ang paglutas ng halimbawa 3 (A=5, B=-7) gamit ang formula (2), makikita natin ang 5(x+2)-7(y-5)=0.

Halimbawa numero 5. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto (-2;5) at isang parallel na tuwid na linya 7x+10=0.
Solusyon. Dito A=7, B=0. Ang formula (2) ay nagbibigay ng 7(x+2)=0, i.e. x+2=0. Ang pormula (1) ay hindi naaangkop, dahil ang equation na ito ay hindi malulutas nang may kinalaman sa y (ang tuwid na linyang ito ay parallel sa y-axis).

Hayaang magbigay ng dalawang puntos M 1 (x 1, y 1) At M 2 (x 2, y 2). Isinulat namin ang equation ng isang tuwid na linya sa anyo (5), kung saan k hindi pa kilalang koepisyent:

Since the point M 2 nabibilang sa isang naibigay na linya, kung gayon ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation (5): . Ang pagpapahayag mula dito at pinapalitan ito sa equation (5), nakukuha natin ang nais na equation:

Kung Ang equation na ito ay maaaring muling isulat sa isang form na mas madaling matandaan:

(6)

Halimbawa. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na M 1 (1.2) at M 2 (-2.3)

Solusyon. . Gamit ang pag-aari ng proporsyon, at pagsasagawa ng mga kinakailangang pagbabago, nakukuha namin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya:

Anggulo sa pagitan ng dalawang linya

Isaalang-alang ang dalawang linya l 1 At l 2:

l 1: , , At

l 2: , ,

φ ay ang anggulo sa pagitan ng mga ito (). Ipinapakita ng Figure 4: .

Mula rito , o

Gamit ang formula (7), matutukoy ang isa sa mga anggulo sa pagitan ng mga linya. Ang pangalawang anggulo ay .

Halimbawa. Dalawang tuwid na linya ang ibinibigay ng mga equation na y=2x+3 at y=-3x+2. hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang ito.

Solusyon. Ito ay makikita mula sa mga equation na k 1 \u003d 2, at k 2 \u003d-3. pagpapalit ng mga halagang ito sa formula (7), nakita namin

. Kaya ang anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay .

Mga kondisyon para sa parallelism at perpendicularity ng dalawang linya

Kung diretso l 1 At l 2 ay parallel, kung gayon φ=0 At tgφ=0. mula sa formula (7) ito ay sumusunod na , kung saan k 2 \u003d k 1. Kaya, ang kondisyon para sa parallelism ng dalawang linya ay ang pagkakapantay-pantay ng kanilang mga slope.

Kung diretso l 1 At l 2 patayo, kung gayon φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Kaya, ang kondisyon para sa dalawang tuwid na linya upang maging patayo ay ang kanilang mga slope ay magkabalikan sa magnitude at magkasalungat sa sign.

Distansya mula sa punto hanggang linya

Teorama. Kung ang isang punto M(x 0, y 0) ay ibinigay, kung gayon ang distansya sa linya Ax + Vy + C \u003d 0 ay tinukoy bilang

Patunay. Hayaang ang puntong M 1 (x 1, y 1) ang maging base ng patayo na bumaba mula sa puntong M hanggang sa ibinigay na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:

Ang x 1 at y 1 coordinate ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan ibinigay na punto Ang M 0 ay patayo sa isang ibinigay na linya.

Kung babaguhin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, makuha namin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Ang teorama ay napatunayan.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.

Halimbawa. Ipakita na ang mga linyang 3x - 5y + 7 = 0 at 10x + 6y - 3 = 0 ay patayo.

Nahanap namin: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, samakatuwid, ang mga linya ay patayo.

Halimbawa. Ang mga vertices ng tatsulok na A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) ay ibinibigay. Hanapin ang equation para sa taas na nakuha mula sa vertex C.

Nahanap namin ang equation ng side AB: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Ang nais na equation ng taas ay: Ax + By + C = 0 o y = kx + b.

k= . Pagkatapos y = . kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ang mga coordinate nito ay natutugunan ang equation na ito: kung saan b \u003d 17. Kabuuan: .

Sagot: 3x + 2y - 34 = 0.

Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya ay tinutukoy ng haba ng patayo na bumaba mula sa punto hanggang sa linya.

Kung ang linya ay parallel sa projection plane (h | | P 1), pagkatapos ay upang matukoy ang distansya mula sa punto A sa tuwid h ito ay kinakailangan upang i-drop ang isang patayo mula sa punto A sa pahalang h.

Isaalang-alang ang higit pa kumplikadong halimbawa kapag ang linya ay sumasakop pangkalahatang posisyon. Hayaan itong kinakailangan upang matukoy ang distansya mula sa punto M sa tuwid A pangkalahatang posisyon.

Kahulugan ng gawain mga distansya sa pagitan ng mga parallel na linya nalutas katulad ng nauna. Ang isang punto ay kinuha sa isang linya, at isang patayo ay iguguhit mula dito patungo sa isa pang linya. Ang haba ng patayo ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga parallel na linya.

Curve ng pangalawang order ay isang linya na tinukoy ng isang equation ng pangalawang degree na may paggalang sa kasalukuyang mga coordinate ng Cartesian. SA pangkalahatang kaso Ax 2 + 2Vxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

kung saan ang A, B, C, D, E, F ay mga tunay na numero at hindi bababa sa isa sa mga numerong A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Bilog

Circle center- ito ang locus ng mga punto sa eroplano na katumbas ng layo mula sa punto ng eroplano C (a, b).

Ang bilog ay ibinibigay ng sumusunod na equation:

Kung saan ang x, y ay ang mga coordinate ng isang arbitrary na punto sa bilog, ang R ay ang radius ng bilog.

Sign ng circle equation

1. Walang term na may x, y

2. Ang mga coefficient sa x 2 at y 2 ay pantay

Ellipse

Ellipse ang locus ng mga punto sa isang eroplano ay tinatawag, ang kabuuan ng mga distansya ng bawat isa kung saan mula sa dalawang ibinigay na mga punto ng eroplanong ito ay tinatawag na foci (constant value).

Canonical equation ng isang ellipse:

Ang X at y ay nabibilang sa isang ellipse.

a ay ang pangunahing semiaxis ng ellipse

b ay ang minor semiaxis ng ellipse

Ang ellipse ay may 2 axes ng symmetry OX at OY. Ang mga palakol ng simetrya ng ellipse ay ang mga axes nito, ang punto ng kanilang intersection ay ang sentro ng ellipse. Ang axis kung saan matatagpuan ang foci ay tinatawag focal axis. Ang punto ng intersection ng ellipse na may mga axes ay ang vertex ng ellipse.

Compression (stretching) ratio: ε = c/a- eccentricity (nailalarawan ang hugis ng ellipse), mas maliit ito, mas mababa ang ellipse ay pinalawak kasama ang focal axis.

Kung ang mga sentro ng ellipse ay wala sa gitna С(α, β)

Hyperbola

Hyperbole tinatawag na locus ng mga punto sa isang eroplano, ang ganap na halaga ng pagkakaiba sa mga distansya, ang bawat isa ay mula sa dalawang ibinigay na mga punto ng eroplanong ito, na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga na naiiba sa zero.

Canonical equation ng hyperbola

Ang hyperbola ay may 2 axes ng symmetry:

a - tunay na semiaxis ng simetrya

b - haka-haka na semiaxis ng simetrya

Asymptotes ng hyperbola:

Parabola

parabola ay ang locus ng mga punto sa isang eroplano na katumbas ng layo mula sa isang ibinigay na punto F, na tinatawag na focus, at isang ibinigay na linya, na tinatawag na directrix.

Canonical parabola equation:

Y 2 \u003d 2px, kung saan ang p ay ang distansya mula sa focus hanggang sa directrix (parabola parameter)

Kung ang vertex ng parabola ay C (α, β), kung gayon ang equation ng parabola (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Kung ang focal axis ay kinuha bilang y-axis, ang parabola equation ay kukuha ng form: x 2 \u003d 2qy

Kahulugan. Anumang linya sa eroplano ay maaaring ibigay ng isang first order equation

Ah + Wu + C = 0,

at ang mga constants A, B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Tinatawag itong first order equation ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Depende sa mga halaga pare-pareho ang A, B at C, posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Ni + C \u003d 0) - ang linya ay parallel sa Ox axis

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - ang linya ay parallel sa Oy axis

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - ang tuwid na linya ay tumutugma sa Oy axis

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - ang tuwid na linya ay tumutugma sa axis ng Ox

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring katawanin sa iba't ibang anyo depende sa anumang naibigay na paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang normal na vector

Kahulugan. Sa isang Cartesian rectangular coordinate system, ang isang vector na may mga bahagi (A, B) ay patayo sa isang linya, ibinigay ng equation Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong A(1, 2) patayo sa (3, -1).

Solusyon. Sa A = 3 at B = -1, binubuo namin ang equation ng isang tuwid na linya: 3x - y + C = 0. Upang mahanap ang coefficient C, pinapalitan namin ang mga coordinate ng ibinigay na point A sa resultang expression. Nakukuha namin ang: 3 - 2 + C = 0, samakatuwid, C = -1 . Kabuuan: ang nais na equation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos

Hayaang ibigay sa espasyo ang dalawang puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), pagkatapos ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito:

Kung ang alinman sa mga denominator ay katumbas ng zero, ang katumbas na numerator ay dapat itakda na katumbas ng zero. Sa eroplano, ang straight line equation na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

kung x 1 ≠ x 2 at x = x 1 kung x 1 = x 2.

Fraction = k ay tinatawag salik ng slope tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na A(1, 2) at B(3, 4).

Solusyon. Ang paglalapat ng formula sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya mula sa isang punto at isang slope

Kung ang kabuuang Ax + Wu + C = 0 ay humahantong sa form:

at italaga , pagkatapos ay tinatawag ang nagresultang equation equation ng isang tuwid na linya na may slopek.

Equation ng isang tuwid na linya na may vector ng punto at direksyon

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa punto na isinasaalang-alang ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng normal na vector, maaari mong ipasok ang pagtatalaga ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang direktang vector ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Ang bawat non-zero vector (α 1, α 2), ang mga bahagi nito ay nakakatugon sa kondisyon A α 1 + B α 2 = 0 ay tinatawag na directing vector ng linya

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa punto A(1, 2).

Solusyon. Hahanapin natin ang equation ng nais na tuwid na linya sa anyo: Ax + By + C = 0. Alinsunod sa kahulugan, ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga kondisyon:

1 * A + (-1) * B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0. para sa x = 1, y = 2 makuha namin ang C / A = -3, i.e. gustong equation:

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 C≠0, kung gayon, paghahati sa –C, nakukuha natin: o

Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient ay ang coefficient A ay ang coordinate ng punto ng intersection ng linya na may x-axis, at b- ang coordinate ng punto ng intersection ng tuwid na linya kasama ang Oy axis.

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng linyang x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng linyang ito sa mga segment.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal na equation ng isang tuwid na linya

Kung ang magkabilang panig ng equation na Ax + Vy + C = 0 ay i-multiply sa numero , na tinatawag na normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normal na equation ng isang tuwid na linya. Dapat piliin ang sign ± ng normalizing factor upang ang μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Halimbawa. Dahil sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya 12x - 5y - 65 \u003d 0. Kinakailangang isulat Iba't ibang uri mga equation ng linyang ito.

ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment:

ang equation ng linyang ito na may slope: (hatiin sa 5)

; cos φ = 12/13; kasalanan φ= -5/13; p=5.

Dapat pansinin na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya na kahanay sa mga axes o dumadaan sa pinagmulan.

Halimbawa. Pinutol ng tuwid na linya ang pantay na positibong mga segment sa mga coordinate axes. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya kung ang lugar ng tatsulok na nabuo ng mga segment na ito ay 8 cm 2.

Solusyon. Ang equation ng tuwid na linya ay may anyo: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Halimbawa. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto A (-2, -3) at ang pinagmulan.

Solusyon. Ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: , kung saan x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano

Kahulugan. Kung ang dalawang linya ay ibinigay y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , kung gayon matalim na sulok sa pagitan ng mga linyang ito ay tutukuyin bilang

.

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2 . Dalawang linya ay patayo kung k 1 = -1/ k 2 .

Teorama. Ang mga tuwid na linya na Ax + Vy + C \u003d 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay magkatulad kapag ang mga coefficient A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ay proporsyonal. Kung din С 1 = λС, kung gayon ang mga linya ay nag-tutugma. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto na patayo sa isang ibinigay na linya

Kahulugan. Ang linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y \u003d kx + b ay kinakatawan ng equation:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Teorama. Kung ang isang punto M(x 0, y 0) ay ibinigay, kung gayon ang distansya sa linya Ax + Vy + C \u003d 0 ay tinukoy bilang

.

Patunay. Hayaang ang puntong M 1 (x 1, y 1) ang maging base ng patayo na bumaba mula sa puntong M hanggang sa ibinigay na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:

(1)

Ang x 1 at y 1 coordinate ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo sa isang ibinigay na tuwid na linya. Kung babaguhin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, makuha namin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Ang teorama ay napatunayan.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Halimbawa. Ipakita na ang mga linyang 3x - 5y + 7 = 0 at 10x + 6y - 3 = 0 ay patayo.

Solusyon. Nahanap namin: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, samakatuwid, ang mga linya ay patayo.

Halimbawa. Ang mga vertices ng tatsulok na A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ay ibinibigay. Hanapin ang equation para sa taas na nakuha mula sa vertex C.

Solusyon. Nahanap namin ang equation ng side AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ang nais na equation ng taas ay: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Pagkatapos y = . kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ang mga coordinate nito ay natutugunan ang equation na ito: saan b = 17. Kabuuan: .

Sagot: 3x + 2y - 34 = 0.

Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.
Ang vector ng direksyon ay tuwid. Normal na vector

Ang isang tuwid na linya sa isang eroplano ay isa sa pinakasimpleng mga geometric na hugis, pamilyar sa iyo mula noong elementarya, at ngayon ay matututunan natin kung paano ito haharapin gamit ang mga pamamaraan ng analytical geometry. Upang makabisado ang materyal, kinakailangan upang makabuo ng isang tuwid na linya; alamin kung aling equation ang tumutukoy sa isang tuwid na linya, sa partikular, isang tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan at mga tuwid na linya na kahanay sa mga coordinate axes. Ang impormasyong ito ay makikita sa manwal Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar, nilikha ko ito para sa matan, ngunit ang seksyon tungkol sa linear function naging napaka-matagumpay at detalyado. Samakatuwid, mahal na mga teapot, magpainit muna doon. Bilang karagdagan, kailangan mong magkaroon pangunahing kaalaman O mga vector kung hindi ay hindi kumpleto ang pag-unawa sa materyal.

Sa araling ito, titingnan natin ang mga paraan kung paano mo maisusulat ang equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano. Inirerekomenda ko na huwag mong pabayaan ang mga praktikal na halimbawa (kahit na tila napakasimple), dahil ibibigay ko sa kanila ang elementarya at mahahalagang katotohanan, mga teknikal na pamamaraan na kakailanganin sa hinaharap, kabilang ang sa iba pang mga seksyon ng mas mataas na matematika.

• Paano isulat ang equation ng isang tuwid na linya na may slope?
• paano ?
• Paano mahahanap ang vector ng direksyon sa pamamagitan ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya?
• Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector?

at simulan natin:

Line Equation na may Slope

Ang kilalang "paaralan" na anyo ng equation ng isang tuwid na linya ay tinatawag equation ng isang tuwid na linya na may slope. Halimbawa, kung ang isang tuwid na linya ay ibinigay ng equation, kung gayon ang slope nito: . Isaalang-alang ang geometric na kahulugan ng koepisyent na ito at kung paano nakakaapekto ang halaga nito sa lokasyon ng linya:

Sa kurso ng geometry ito ay pinatunayan na ang slope ng tuwid na linya ay padaplis ng isang anggulo sa pagitan ng positibong direksyon ng axisat binigay na linya: , at ang sulok ay “unscrewed” pakaliwa.

Upang hindi makalat ang pagguhit, gumuhit ako ng mga anggulo para lamang sa dalawang tuwid na linya. Isaalang-alang ang "pula" na tuwid na linya at ang slope nito. Ayon sa itaas: (anggulong "alpha" ay ipinahiwatig ng isang berdeng arko). Para sa "asul" na tuwid na linya na may slope, ang pagkakapantay-pantay ay totoo (ang anggulo na "beta" ay ipinahiwatig ng brown arc). At kung ang tangent ng anggulo ay kilala, kung kinakailangan ay madaling mahanap at ang sulok gamit ang inverse function - arc tangent. Tulad ng sinasabi nila, isang trigonometric table o isang calculator sa kamay. kaya, ang slope ay nagpapakilala sa antas ng pagkahilig ng tuwid na linya sa x-axis.

Kasabay nito, posible mga sumusunod na kaso:

1) Kung ang slope ay negatibo: , pagkatapos ay ang linya, sa halos pagsasalita, ay mula sa itaas hanggang sa ibaba. Ang mga halimbawa ay "asul" at "pulang-pula" na mga tuwid na linya sa pagguhit.

2) Kung ang slope ay positibo: , pagkatapos ay ang linya ay mula sa ibaba hanggang sa itaas. Ang mga halimbawa ay "itim" at "pula" na mga tuwid na linya sa pagguhit.

3) Kung ang slope ay katumbas ng zero: , kung gayon ang equation ay kukuha ng anyo , at ang kaukulang linya ay parallel sa axis. Ang isang halimbawa ay ang "dilaw" na linya.

4) Para sa isang pamilya ng mga tuwid na linya na kahanay sa axis (walang halimbawa sa pagguhit, maliban sa axis mismo), ang slope ay wala (hindi tinukoy ang tangent ng 90 degrees).

Kung mas malaki ang slope modulo, mas matarik ang line graph.

Halimbawa, isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya. Dito , kaya ang tuwid na linya ay may mas matarik na slope. Ipinaaalala ko sa iyo na pinapayagan ka ng module na huwag pansinin ang sign, interesado lamang kami ganap na mga halaga angular coefficients.

Sa turn, ang isang tuwid na linya ay mas matarik kaysa sa mga tuwid na linya. .

Vice versa: mas maliit ang slope modulo, mas flat ang tuwid na linya.

Para sa mga tuwid na linya ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, kaya, ang tuwid na linya ay higit pa sa isang canopy. Pag-slide ng mga bata, upang hindi magtanim ng mga pasa at bukol.

Bakit kailangan ito?

Patagalin ang iyong pagdurusa Ang pag-alam sa mga katotohanan sa itaas ay nagbibigay-daan sa iyo upang agad na makita ang iyong mga pagkakamali, lalo na, ang mga pagkakamali kapag nagpaplano ng mga graph - kung ang pagguhit ay "malinaw na may mali". Ito ay kanais-nais na ikaw kaagad malinaw na, halimbawa, ang isang tuwid na linya ay napakatarik at napupunta mula sa ibaba hanggang sa itaas, at isang tuwid na linya ay napaka-flat, malapit sa axis at mula sa itaas hanggang sa ibaba.

Sa mga problemang geometriko, maraming mga tuwid na linya ang madalas na lumilitaw, kaya't ito ay maginhawa upang tukuyin ang mga ito kahit papaano.

Notasyon: Ang mga tuwid na linya ay isinasaad ng maliliit na letrang Latin: . Ang isang popular na opsyon ay ang pagtatalaga ng parehong titik na may natural na mga subscript. Halimbawa, ang limang linya na ating napag-isipan ay maaaring tukuyin ng .

Dahil ang anumang tuwid na linya ay natatanging tinutukoy ng dalawang puntos, maaari itong tukuyin ng mga puntong ito: atbp. Ang notasyon ay medyo malinaw na nagpapahiwatig na ang mga punto ay kabilang sa linya.

Oras na para lumuwag ng kaunti:

Paano isulat ang equation ng isang tuwid na linya na may slope?

Kung ang isang punto ay kilala na kabilang sa isang tiyak na linya, at ang slope ng linyang ito, kung gayon ang equation ng linyang ito ay ipinahayag ng formula:

Halimbawa 1

Buuin ang equation ng isang tuwid na linya na may slope kung alam na ang punto ay kabilang sa tuwid na linyang ito.

Solusyon: Bubuo tayo ng equation ng isang tuwid na linya ayon sa formula . Sa kasong ito:

Sagot:

Pagsusulit ginanap sa elementarya. Una, tinitingnan namin ang nagresultang equation at siguraduhin na ang aming slope ay nasa lugar nito. Pangalawa, ang mga coordinate ng punto ay dapat masiyahan ang ibinigay na equation. Isaksak natin sila sa equation:

Ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugan na ang punto ay nakakatugon sa resultang equation.

Konklusyon: Tamang nakita ang equation.

Isang mas nakakalito na halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 2

Isulat ang equation ng isang tuwid na linya kung alam na ang anggulo ng pagkahilig nito sa positibong direksyon ng axis ay , at ang punto ay kabilang sa tuwid na linyang ito.

Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, muling basahin ang teoretikal na materyal. Mas tiyak, mas praktikal, nakakaligtaan ko ang maraming patunay.

tumunog huling tawag, namatay na ang graduation party, at sa likod ng gate ng aming katutubong paaralan, sa katunayan, naghihintay sa amin ang analytical geometry. Tapos na ang mga biro... Baka nagsisimula pa lang =)

Nostalgically iwagayway namin ang hawakan sa pamilyar at maging pamilyar sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Dahil sa analytic geometry ito mismo ang ginagamit:

Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: , nasaan ang ilang mga numero. Kasabay nito, ang mga coefficient sabay-sabay ay hindi katumbas ng zero, dahil nawawalan ng kahulugan ang equation.

Magsuot tayo ng suit at itali ang isang equation na may slope. Una, inilipat namin ang lahat ng mga tuntunin sa kaliwang bahagi:

Ang terminong may "x" ay dapat ilagay sa unang lugar:

Sa prinsipyo, ang equation ay mayroon nang anyo , ngunit ayon sa mga tuntunin ng mathematical etiquette, ang koepisyent ng unang termino (sa kasong ito ) ay dapat na positibo. Pagbabago ng mga palatandaan:

Tandaan ang teknikal na tampok na ito! Ginagawa naming positibo ang unang koepisyent (pinaka madalas )!

Sa analytic geometry, ang equation ng isang tuwid na linya ay halos palaging ibibigay sa isang pangkalahatang anyo. Well, kung kinakailangan, madaling dalhin ito sa isang form na "paaralan" na may slope (maliban sa mga tuwid na linya na kahanay sa y-axis).

Tanungin natin ang ating sarili kung ano tama na marunong gumawa ng tuwid na linya? Dalawang puntos. Ngunit tungkol sa kasong ito sa pagkabata mamaya, ngayon ay nananatili sa panuntunan ng mga arrow. Ang bawat tuwid na linya ay may isang mahusay na tinukoy na slope, kung saan ito ay madaling "iangkop" vector.

Ang isang vector na kahanay ng isang linya ay tinatawag na vector ng direksyon ng linyang iyon.. Malinaw, ang anumang tuwid na linya ay may walang katapusang maraming mga vector ng direksyon, at lahat ng mga ito ay magiging collinear (co-directed o hindi - hindi mahalaga).

Ipapahiwatig ko ang vector ng direksyon tulad ng sumusunod: .

Ngunit ang isang vector ay hindi sapat upang bumuo ng isang tuwid na linya, ang vector ay libre at hindi nakakabit sa anumang punto ng eroplano. Samakatuwid, kinakailangan din na malaman ang ilang punto na kabilang sa linya.

Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang vector ng direksyon?

Kung ang isang tiyak na punto na kabilang sa linya at ang nagdidirekta na vector ng linyang ito ay kilala, kung gayon ang equation ng linyang ito ay maaaring maipon ng formula:

Minsan ito ay tinatawag canonical equation ng linya .

Ano ang gagawin kapag isa sa mga coordinate ay zero, titingnan natin ang mga praktikal na halimbawa sa ibaba. Sa pamamagitan ng paraan, tandaan - sabay sabay Ang mga coordinate ay hindi maaaring maging zero, dahil ang zero vector ay hindi tumutukoy ng isang tiyak na direksyon.

Halimbawa 3

Sumulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang vector ng direksyon

Solusyon: Bubuo tayo ng equation ng isang tuwid na linya ayon sa formula. Sa kasong ito:

Gamit ang mga katangian ng proporsyon, inaalis namin ang mga praksiyon:

At dinadala namin ang equation sa pangkalahatang pananaw:

Sagot:

Ang pagguhit sa gayong mga halimbawa, bilang panuntunan, ay hindi kinakailangan, ngunit para sa kapakanan ng pag-unawa:

Sa pagguhit, nakikita natin ang panimulang punto, ang orihinal na vector ng direksyon (maaari itong ipagpaliban mula sa anumang punto sa eroplano) at ang itinayong linya. Sa pamamagitan ng paraan, sa maraming mga kaso, ang pagtatayo ng isang tuwid na linya ay pinaka-maginhawang isinasagawa gamit ang slope equation. Ang aming equation ay madaling i-convert sa form at nang walang anumang problema, kumuha ng isa pang punto upang bumuo ng isang tuwid na linya.

Tulad ng nabanggit sa simula ng seksyon, ang isang linya ay may walang katapusan na maraming mga vector ng direksyon, at lahat sila ay collinear. Halimbawa, gumuhit ako ng tatlong tulad ng mga vector: . Alinmang direksyon na vector ang pipiliin natin, ang resulta ay palaging magiging parehong straight line equation.

Buuin natin ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang nakadirekta na vector:

Paghiwa-hiwalayin ang proporsyon:

Hatiin ang magkabilang panig sa -2 at makuha ang pamilyar na equation:

Ang mga nais ay maaari ring subukan ang mga vectors o anumang iba pang collinear vector.

Ngayon lutasin natin ang kabaligtaran na problema:

Paano mahahanap ang vector ng direksyon sa pamamagitan ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya?

Napakasimple:

Kung ang isang tuwid na linya ay ibinibigay ng isang pangkalahatang equation sa isang hugis-parihaba na coordinate system, kung gayon ang vector ay ang vector ng direksyon ng tuwid na linya na ito.

Mga halimbawa ng paghahanap ng mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya:

Binibigyang-daan kami ng pahayag na makahanap lamang ng isang vector ng direksyon mula sa isang walang katapusang set, ngunit hindi na namin kailangan ng higit pa. Bagaman sa ilang mga kaso, ipinapayong bawasan ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon:

Kaya, ang equation ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na parallel sa axis at ang mga coordinate ng resultang steering vector ay maginhawang hinati ng -2, pagkuha ng eksakto ang batayang vector bilang ang steering vector. Logically.

Katulad nito, ang equation ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na kahanay sa axis, at hinahati ang mga coordinate ng vector sa pamamagitan ng 5, nakuha namin ang ort bilang vector ng direksyon.

Ngayon i-execute natin suriin ang halimbawa 3. Ang halimbawa ay tumaas, kaya ipinapaalala ko sa iyo na sa loob nito ginawa namin ang equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon.

Una, ayon sa equation ng isang tuwid na linya, ibinabalik namin ang nagdidirekta nitong vector: - lahat ay maayos, nakuha namin ang orihinal na vector (sa ilang mga kaso, maaari itong maging collinear sa orihinal na vector, at ito ay karaniwang madaling makita sa pamamagitan ng proporsyonalidad ng kaukulang mga coordinate).

Pangalawa, ang mga coordinate ng punto ay dapat matugunan ang equation. Pinapalitan namin ang mga ito sa equation:

Nakuha na ang tamang pagkakapantay-pantay, na labis naming ikinatutuwa.

Konklusyon: Nakumpleto nang tama ang trabaho.

Halimbawa 4

Sumulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang vector ng direksyon

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Ito ay lubos na kanais-nais na gumawa ng isang tseke ayon sa algorithm na isinasaalang-alang lamang. Subukang palaging (kung maaari) suriin ang isang draft. Ito ay hangal na gumawa ng mga pagkakamali kung saan sila ay maaaring 100% iwasan.

Kung ang isa sa mga coordinate ng vector ng direksyon ay zero, napakasimpleng gawin:

Halimbawa 5

Solusyon: Ang formula ay hindi wasto dahil ang denominator sa kanang bahagi ay zero. May labasan! Gamit ang mga katangian ng proporsyon, muling isinulat namin ang formula sa form , at ang natitira ay pinagsama sa isang malalim na rut:

Sagot:

Pagsusulit:

1) Ibalik ang vector ng direksyon ng tuwid na linya:
– ang resultang vector ay collinear sa orihinal na vector ng direksyon.

2) Palitan ang mga coordinate ng punto sa equation:

Nakukuha ang tamang pagkakapantay-pantay

Konklusyon: natapos nang tama ang trabaho

Ang tanong ay lumitaw, bakit mag-abala sa formula kung mayroong isang unibersal na bersyon na gagana pa rin? May dalawang dahilan. Una, ang fractional formula mas mabuting tandaan. Pangalawa, ang dehado unibersal na pormula iyan ba kapansin-pansing tumaas na panganib ng pagkalito kapag pinapalitan ang mga coordinate.

Halimbawa 6

Bumuo ng equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang vector ng direksyon.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself.

Bumalik tayo sa nasa lahat ng dako ng dalawang punto:

Paano isulat ang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng dalawang puntos?

Kung ang dalawang puntos ay kilala, kung gayon ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito ay maaaring i-compile gamit ang formula:

Sa katunayan, ito ay isang uri ng formula, at narito kung bakit: kung ang dalawang puntos ay kilala, kung gayon ang vector ang magiging direksyon ng vector ng linyang ito. Sa aralin Mga vector para sa mga dummies isinasaalang-alang namin ang pinakasimpleng problema - kung paano hanapin ang mga coordinate ng isang vector mula sa dalawang puntos. Ayon sa problemang ito, ang mga coordinate ng vector ng direksyon:

Tandaan : ang mga puntos ay maaaring "mapalitan" at gamitin ang formula . Magiging pantay ang gayong desisyon.

Halimbawa 7

Isulat ang equation ng isang tuwid na linya mula sa dalawang puntos .

Solusyon: Gamitin ang formula:

Sinusuklay namin ang mga denominador:

At i-shuffle ang deck:

Ngayon na ang oras para mag-alis mga fractional na numero. Sa kasong ito, kailangan mong i-multiply ang parehong bahagi ng 6:

Buksan ang mga bracket at isaisip ang equation:

Sagot:

Pagsusulit ay halata - ang mga coordinate ng mga paunang punto ay dapat matugunan ang resultang equation:

1) Palitan ang mga coordinate ng punto:

Tunay na pagkakapantay-pantay.

2) Palitan ang mga coordinate ng punto:

Tunay na pagkakapantay-pantay.

Konklusyon: tama ang equation ng tuwid na linya.

Kung kahit isa ng mga puntos ay hindi nasiyahan ang equation, maghanap ng isang error.

Ito ay nagkakahalaga ng noting na ang graphical na pag-verify sa kasong ito ay mahirap, dahil upang bumuo ng isang linya at makita kung ang mga puntos ay nabibilang dito , hindi ganoon kadali.

Mapapansin ko ang ilang mga teknikal na punto ng solusyon. Marahil sa problemang ito ay mas kapaki-pakinabang na gamitin ang formula ng salamin at, para sa parehong mga puntos gumawa ng equation:

Mayroong mas kaunting mga fraction. Kung gusto mo, maaari mong kumpletuhin ang solusyon hanggang sa dulo, ang resulta ay dapat na ang parehong equation.

Ang pangalawang punto ay tingnan ang panghuling sagot at tingnan kung maaari pa itong gawing mas simple? Halimbawa, kung ang isang equation ay nakuha, pagkatapos ay ipinapayong bawasan ito ng dalawa: - ang equation ay magtatakda ng parehong tuwid na linya. Gayunpaman, ito ay isang paksa ng pag-uusap tungkol sa magkaparehong pag-aayos ng mga tuwid na linya.

Pagkatanggap ng sagot sa Halimbawa 7, kung sakali, sinuri ko kung ang LAHAT ng mga coefficient ng equation ay nahahati sa 2, 3 o 7. Bagaman, kadalasan ang mga naturang pagbawas ay ginagawa sa panahon ng solusyon.

Halimbawa 8

Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos .

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, na magbibigay-daan lamang sa iyo upang mas maunawaan at maisagawa ang pamamaraan ng pagkalkula.

Katulad ng naunang talata: kung nasa formula ang isa sa mga denominator (direction vector coordinate) ay naglalaho, pagkatapos ay isusulat namin itong muli bilang . At muli, pansinin kung gaano awkward at nalilito ang kanyang hitsura. hindi ko nakikita espesyal na kahulugan magmaneho praktikal na mga halimbawa, dahil nalutas na natin ang gayong problema (tingnan ang Blg. 5, 6).

Tuwid na linyang normal na vector (normal na vector)

Ano ang normal? Sa simpleng salita, ang normal ay ang patayo. Iyon ay, ang normal na vector ng isang linya ay patayo sa ibinigay na linya. Ito ay malinaw na ang anumang tuwid na linya ay may isang walang katapusang bilang ng mga ito (pati na rin ang pagdidirekta ng mga vectors), at ang lahat ng mga normal na vector ng tuwid na linya ay magiging collinear (codirectional o hindi - hindi mahalaga).

Ang pakikitungo sa kanila ay magiging mas madali kaysa sa mga vector ng direksyon:

Kung ang isang tuwid na linya ay ibinibigay ng isang pangkalahatang equation sa isang hugis-parihaba na coordinate system, kung gayon ang vector ay ang normal na vector ng tuwid na linya na ito.

Kung ang mga coordinate ng vector ng direksyon ay kailangang maingat na "hugot" mula sa equation, kung gayon ang mga coordinate ng normal na vector ay maaaring "matanggal".

Ang normal na vector ay palaging orthogonal sa vector ng direksyon ng linya. Ive-verify namin ang orthogonality ng mga vectors na ito gamit produkto ng tuldok:

Magbibigay ako ng mga halimbawa na may parehong mga equation tulad ng para sa vector ng direksyon:

Posible bang magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya, alam ang isang punto at isang normal na vector? Parang posible. Kung ang normal na vector ay kilala, kung gayon ang direksyon ng tuwid na linya ay katangi-tanging tinutukoy - ito ay isang "matibay na istraktura" na may anggulo na 90 degrees.

Paano magsulat ng isang equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector?

Kung ang ilang punto na kabilang sa linya at ang normal na vector ng linyang ito ay kilala, kung gayon ang equation ng linyang ito ay ipinahayag ng formula:

Dito napunta ang lahat nang walang mga fraction at iba pang mga sorpresa. Ganyan ang ating normal na vector. Mahal ito. At respeto =)

Halimbawa 9

Bumuo ng equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector. Hanapin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya.

Solusyon: Gamitin ang formula:

Ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya ay nakuha, suriin natin:

1) "Alisin" ang mga coordinate ng normal na vector mula sa equation: - oo, sa katunayan, ang orihinal na vector ay nakuha mula sa kundisyon (o ang vector ay dapat na collinear sa orihinal na vector).

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa equation:

Tunay na pagkakapantay-pantay.

Pagkatapos nating kumbinsihin na tama ang equation, kukumpletuhin natin ang pangalawa, mas madaling bahagi ng gawain. Hinugot namin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya:

Sagot:

Sa pagguhit, ang sitwasyon ay ang mga sumusunod:

Para sa mga layunin ng pagsasanay, isang katulad na gawain para sa isang malayang solusyon:

Halimbawa 10

Bumuo ng equation ng isang tuwid na linya na binigyan ng isang punto at isang normal na vector. Hanapin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya.

Ang huling seksyon ng aralin ay ilalaan sa hindi gaanong karaniwan, ngunit gayundin mahalagang species mga equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.
Equation ng isang tuwid na linya sa parametric form

Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment ay may anyo , kung saan ang mga nonzero constants. Ang ilang uri ng mga equation ay hindi maaaring katawanin sa form na ito, halimbawa, direktang proporsyonalidad (dahil ang libreng termino ay zero at walang paraan upang makuha ang isa sa kanang bahagi).

Ito ay, sa matalinghagang pagsasalita, isang "teknikal" na uri ng equation. Ang karaniwang gawain ay upang kumatawan sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya bilang isang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment. Bakit ito maginhawa? Ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment ay nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis na mahanap ang mga punto ng intersection ng isang tuwid na linya na may mga coordinate axes, na napakahalaga sa ilang mga problema ng mas mataas na matematika.

Hanapin ang punto ng intersection ng linya na may axis. Ni-reset namin ang "y", at ang equation ay nasa anyo . Ang nais na punto ay awtomatikong nakuha: .

Pareho sa axis ay ang punto kung saan ang linya ay nag-intersect sa y-axis.

Ang equation mga parabola ay quadratic function. Mayroong ilang mga pagpipilian para sa pag-compile ng equation na ito. Ang lahat ay nakasalalay sa kung anong mga parameter ang ipinakita sa kondisyon ng problema.

Pagtuturo

Ang parabola ay isang kurba na kahawig ng isang arko sa hugis at isang graph function ng kapangyarihan. Hindi alintana kung ang parabola ay may mga katangian, ang isang ito ay pantay. Ang ganitong function ay tinatawag na even, y para sa lahat ng value ng argument mula sa definition, kapag nagbago ang sign ng argument, hindi nagbabago ang value: f (-x) = f (x) Magsimula sa pinakasimpleng function: y = x ^ 2. Mula sa anyo nito, maaari nating tapusin na ito ay kapwa para sa positibo at negatibong mga halaga ng argumento x. Ang punto kung saan ang x=0, at sa parehong oras, y =0 ay itinuturing na isang punto.

Nasa ibaba ang lahat ng mga pangunahing opsyon para sa pagbuo ng function na ito at ang . Bilang unang halimbawa, nasa ibaba ang isang function ng form: f(x)=x^2+a, kung saan ang a ay isang integer Upang mai-graph ang function na ito, kinakailangang ilipat ang graph ng function na f(x) ng isang unit. Ang isang halimbawa ay ang function na y=x^2+3, kung saan ang function ay inililipat sa kahabaan ng y-axis ng dalawang unit. Kung ang isang function na may kabaligtaran na tanda ay ibinigay, halimbawa y=x^2-3, pagkatapos ay ang graph nito ay inilipat pababa sa kahabaan ng y-axis.

Ang isa pang uri ng function na maaaring bigyan ng parabola ay f(x)=(x + a)^2. Sa ganitong mga kaso, ang graph, sa kabaligtaran, ay inililipat sa kahabaan ng x-axis ng isang unit. Halimbawa, isaalang-alang ang mga function: y=(x +4)^2 at y=(x-4)^2. Sa unang kaso, kung saan mayroong isang function na may plus sign, inililipat ang graph kasama ang x-axis sa kaliwa, at sa pangalawang kaso, sa kanan. Ang lahat ng mga kasong ito ay ipinapakita sa figure.