Aralin mula sa seryeng "Geometric Algorithms"

Kamusta mahal na mambabasa!

Ngayon ay magsisimula tayong mag-aral ng mga algorithm na may kaugnayan sa geometry. Ang katotohanan ay mayroong maraming mga problema sa Olympiad sa computer science na may kaugnayan sa computational geometry, at ang solusyon sa naturang mga problema ay kadalasang nagdudulot ng mga kahirapan.

Sa ilang mga aralin, isasaalang-alang namin ang isang bilang ng mga elementarya na subproblema kung saan nakabatay ang solusyon sa karamihan ng mga problema ng computational geometry.

Sa araling ito, susulat tayo ng isang programa para sa paghahanap ng equation ng isang tuwid na linya pagdaan sa ibinigay dalawang tuldok. Upang malutas ang mga problemang geometriko, kailangan namin ng ilang kaalaman sa computational geometry. Ilalaan natin ang bahagi ng aralin upang makilala sila.

Impormasyon mula sa computational geometry

Ang computational geometry ay isang sangay ng computer science na nag-aaral ng mga algorithm para sa paglutas ng mga geometric na problema.

Ang paunang data para sa mga naturang problema ay maaaring isang hanay ng mga punto sa eroplano, isang hanay ng mga segment, isang polygon (ibinigay, halimbawa, ng isang listahan ng mga vertices nito sa clockwise order), atbp.

Ang resulta ay maaaring alinman sa isang sagot sa ilang tanong (gaya ng isang punto ay nabibilang sa isang segment, nagsa-intersect ang dalawang segment, ...), o ilang geometric na bagay (halimbawa, ang pinakamaliit na convex polygon na nagkokonekta sa mga ibinigay na punto, ang lugar ng isang polygon, atbp.).

Isasaalang-alang namin ang mga problema ng computational geometry lamang sa eroplano at sa Cartesian coordinate system lamang.

Mga vector at coordinate

Upang mailapat ang mga pamamaraan ng computational geometry, kinakailangan na isalin ang mga geometric na imahe sa wika ng mga numero. Ipagpalagay namin na ang isang Cartesian coordinate system ay ibinibigay sa eroplano, kung saan ang direksyon ng pag-ikot pakaliwa ay tinatawag na positibo.

Ngayon ang mga geometric na bagay ay tumatanggap ng analytical expression. Kaya, upang magtakda ng isang punto, sapat na upang tukuyin ang mga coordinate nito: isang pares ng mga numero (x; y). Maaaring tukuyin ang isang segment sa pamamagitan ng pagtukoy sa mga coordinate ng mga dulo nito, maaaring tukuyin ang isang tuwid na linya sa pamamagitan ng pagtukoy ng mga coordinate ng isang pares ng mga punto nito.

Ngunit ang pangunahing tool para sa paglutas ng mga problema ay mga vectors. Hayaan akong ipaalala sa iyo, samakatuwid, ng ilang impormasyon tungkol sa kanila.

Segment ng linya AB, na may punto PERO isinasaalang-alang ang simula (punto ng aplikasyon), at ang punto AT- ang dulo ay tinatawag na vector AB at tinutukoy ng alinman sa , o isang naka-bold na maliit na titik, halimbawa a .

Upang tukuyin ang haba ng isang vector (iyon ay, ang haba ng kaukulang segment), gagamitin namin ang simbolo ng module (halimbawa, ).

Ang isang di-makatwirang vector ay magkakaroon ng mga coordinate na katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng kaukulang mga coordinate ng pagtatapos at simula nito:

,

tuldok dito A at B may mga coordinate ayon sa pagkakabanggit.

Para sa mga kalkulasyon, gagamitin namin ang konsepto oriented na anggulo, iyon ay, isang anggulo na isinasaalang-alang ang kamag-anak na posisyon ng mga vectors.

Naka-orient na anggulo sa pagitan ng mga vector a at b positibo kung ang pag-ikot ay malayo sa vector a sa vector b ay ginagawa sa positibong direksyon (counterclockwise) at negatibo sa kabilang kaso. Tingnan ang fig.1a, fig.1b. Ito rin ay sinabi na ang isang pares ng mga vectors a at b positively (negatively) oriented.

Kaya, ang halaga ng oriented na anggulo ay nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng enumeration ng mga vectors at maaaring kumuha ng mga halaga sa pagitan.

Maraming mga problema sa computational geometry ang gumagamit ng konsepto ng vector (skew o pseudoscalar) na mga produkto ng mga vector.

Ang produkto ng vector ng mga vectors a at b ay ang produkto ng mga haba ng mga vector na ito at ang sine ng anggulo sa pagitan ng mga ito:

.

Vector na produkto ng mga vector sa mga coordinate:

Ang expression sa kanan ay isang second-order determinant:

Hindi tulad ng kahulugan na ibinigay sa analytic geometry, ito ay isang scalar.

Tinutukoy ng tanda ng cross product ang posisyon ng mga vector na nauugnay sa bawat isa:

a at b positibong nakatuon.

Kung ang halaga ay , kung gayon ang pares ng mga vector a at b negatibong nakatuon.

Ang cross product ng nonzero vectors ay zero kung at kung sila ay collinear ( ). Nangangahulugan ito na nakahiga sila sa parehong linya o sa parallel na linya.

Isaalang-alang natin ang ilang mga simpleng gawain na kailangan para sa paglutas ng mga mas kumplikado.

Tukuyin natin ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga coordinate ng dalawang puntos.

Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang magkaibang puntos na ibinigay ng kanilang mga coordinate.

Hayaang magbigay ng dalawang di-nagtutugmang puntos sa linya: na may mga coordinate (x1;y1) at may mga coordinate (x2; y2). Alinsunod dito, ang vector na may simula sa punto at dulo sa punto ay may mga coordinate (x2-x1, y2-y1). Kung ang P(x, y) ay isang arbitrary na punto sa aming linya, kung gayon ang mga coordinate ng vector ay (x-x1, y - y1).

Sa tulong ng cross product, ang kondisyon para sa collinearity ng mga vectors at maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Yung. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Muli naming isinusulat ang huling equation tulad ng sumusunod:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Kaya, ang tuwid na linya ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng isang equation ng form (1).

Gawain 1. Naibibigay ang mga coordinate ng dalawang puntos. Hanapin ang representasyon nito sa anyong ax + by + c = 0.

Sa araling ito, nakilala namin ang ilang impormasyon mula sa computational geometry. Nalutas namin ang problema ng paghahanap ng equation ng linya sa pamamagitan ng mga coordinate ng dalawang puntos.

Sa susunod na aralin, susulat tayo ng isang programa upang mahanap ang intersection point ng dalawang linya na ibinigay ng ating mga equation.

Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano. Magbigay tayo ng mga halimbawa ng pagbuo ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya kung ang dalawang punto ng tuwid na linya na ito ay kilala o kung ang isang punto at ang normal na vector ng tuwid na linya na ito ay kilala. Ipakita natin ang mga pamamaraan para sa pagbabago ng isang equation sa pangkalahatang anyo sa mga canonical at parametric na anyo.

Hayaang magbigay ng arbitrary na Cartesian rectangular coordinate system Oxy. Isaalang-alang ang isang first degree equation o isang linear equation:

Ax+By+C=0,

(1)

saan A, B, C ay ilang mga pare-pareho, at hindi bababa sa isa sa mga elemento A at B iba sa zero.

Ipapakita namin na ang isang linear equation sa eroplano ay tumutukoy sa isang tuwid na linya. Patunayan natin ang sumusunod na teorama.

Theorem 1. Sa isang arbitrary na Cartesian rectangular coordinate system sa isang eroplano, ang bawat tuwid na linya ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng isang linear equation. Sa kabaligtaran, ang bawat linear equation (1) sa isang arbitrary na Cartesian rectangular coordinate system sa eroplano ay tumutukoy sa isang tuwid na linya.

Patunay. Ito ay sapat na upang patunayan na ang linya L ay tinutukoy ng isang linear equation para sa alinmang Cartesian rectangular coordinate system, mula noon ito ay matutukoy sa pamamagitan ng isang linear equation at para sa anumang pagpipilian ng Cartesian rectangular coordinate system.

Hayaang magbigay ng tuwid na linya sa eroplano L. Pumili kami ng isang coordinate system upang ang axis baka nakahanay sa linya L, at ang axis Oy ay patayo dito. Pagkatapos ay ang equation ng linya L kukuha ng sumusunod na anyo:

y=0.

(2)

Lahat ng mga punto sa isang linya L ay makakatugon sa linear equation (2), at lahat ng puntos sa labas ng tuwid na linyang ito ay hindi makakasagot sa equation (2). Ang unang bahagi ng teorama ay napatunayan.

Hayaang magbigay ng Cartesian rectangular coordinate system at hayaang maibigay ang linear equation (1), kung saan kahit isa sa mga elemento A at B iba sa zero. Hanapin ang locus ng mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation (1). Dahil hindi bababa sa isa sa mga coefficient A at B ay iba sa zero, pagkatapos ang equation (1) ay may kahit isang solusyon M(x 0 ,y 0). (Halimbawa, kapag A≠0, tuldok M 0 (−C/A, 0) ay kabilang sa ibinigay na locus ng mga puntos). Ang pagpapalit sa mga coordinate na ito sa (1) makuha namin ang pagkakakilanlan

Ax 0 +Sa pamamagitan ng 0 +C=0.

(3)

Ibawas natin ang pagkakakilanlan (3) sa (1):

A(x−x 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Malinaw, ang equation (4) ay katumbas ng equation (1). Samakatuwid, sapat na upang patunayan na ang (4) ay tumutukoy sa ilang linya.

Dahil isinasaalang-alang namin ang isang Cartesian rectangular coordinate system, sumusunod ito mula sa pagkakapantay-pantay (4) na ang vector na may mga bahagi ( x−x 0 , y−y 0 ) ay orthogonal sa vector n may mga coordinate ( A,B}.

Isaalang-alang ang ilang linya L dumadaan sa punto M 0 (x 0 , y 0) at patayo sa vector n(Larawan 1). Hayaan ang punto M(x,y) ay kabilang sa linya L. Pagkatapos ay ang vector na may mga coordinate x−x 0 , y−y 0 patayo n at ang equation (4) ay nasiyahan (scalar product of vectors n at katumbas ng zero). Sa kabaligtaran, kung ang punto M(x,y) ay hindi nagsisinungaling sa isang linya L, pagkatapos ay ang vector na may mga coordinate x−x 0 , y−y 0 ay hindi orthogonal sa vector n at ang equation (4) ay hindi nasiyahan. Ang teorama ay napatunayan.

Patunay. Dahil ang mga linya (5) at (6) ay tumutukoy sa parehong linya, ang mga normal na vectors n 1 ={A 1 ,B 1) at n 2 ={A 2 ,B 2) ay collinear. Dahil ang mga vectors n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, pagkatapos ay mayroong isang numero λ , Ano n 2 =n 1 λ . Kaya mayroon kaming: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Patunayan natin yan C 2 =C 1 λ . Ito ay malinaw na ang magkasabay na mga linya ay may isang karaniwang punto M 0 (x 0 , y 0). Pagpaparami ng equation (5) sa λ at pagbabawas ng equation (6) mula dito ay makukuha natin:

Dahil ang unang dalawang pagkakapantay-pantay mula sa mga expression (7) ay nasiyahan, kung gayon C 1 λ −C 2=0. Yung. C 2 =C 1 λ . Napatunayan na ang pangungusap.

Tandaan na ang equation (4) ay tumutukoy sa equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 0 (x 0 , y 0) at pagkakaroon ng isang normal na vector n={A,B). Samakatuwid, kung ang normal na vector ng linya at ang puntong kabilang sa linyang ito ay kilala, kung gayon ang pangkalahatang equation ng linya ay maaaring mabuo gamit ang equation (4).

Halimbawa 1. Isang linya ang dumadaan sa isang punto M=(4,−1) at may normal na vector n=(3, 5). Buuin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Solusyon. Meron kami: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Upang bumuo ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya, pinapalitan namin ang mga halagang ito sa equation (4):

Sagot:

Vector parallel sa linya L at samakatuwid ay patayo sa normal na vector ng linya L. Bumuo tayo ng isang normal na line vector L, ibinigay na ang scalar product ng mga vectors n at katumbas ng zero. Maaari tayong sumulat, halimbawa, n={1,−3}.

Upang bumuo ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya, ginagamit namin ang formula (4). Ipalit natin sa (4) ang mga coordinate ng punto M 1 (maaari rin nating kunin ang mga coordinate ng punto M 2) at ang normal na vector n:

Pagpapalit ng mga coordinate ng punto M 1 at M 2 sa (9) maaari nating tiyakin na ang tuwid na linya na ibinigay ng equation (9) ay dumadaan sa mga puntong ito.

Sagot:

Ibawas ang (10) sa (1):

Nakuha namin ang canonical equation ng isang tuwid na linya. Vector q={−B, A) ay ang vector ng direksyon ng tuwid na linya (12).

Tingnan ang reverse transformation.

Halimbawa 3. Ang isang tuwid na linya sa isang eroplano ay kinakatawan ng sumusunod na pangkalahatang equation:

Ilipat ang pangalawang termino sa kanan at hatiin ang magkabilang panig ng equation ng 2 5.

Mga katangian ng isang tuwid na linya sa Euclidean geometry.

Mayroong walang katapusang maraming mga linya na maaaring iguhit sa anumang punto.

Sa pamamagitan ng alinmang dalawang di-nagtutugmang punto, mayroon lamang isang tuwid na linya.

Dalawang di-nagkataon na linya sa eroplano ay maaaring mag-intersect sa isang punto, o ay

parallel (sumusunod mula sa nauna).

Sa three-dimensional na espasyo, mayroong tatlong opsyon para sa relatibong posisyon ng dalawang linya:

• nagsalubong ang mga linya;

• tuwid na mga linya ay parallel;

• nagsalubong ang mga tuwid na linya.

Diretso linya- algebraic curve ng unang order: sa Cartesian coordinate system, isang tuwid na linya

ay ibinigay sa eroplano sa pamamagitan ng isang equation ng unang degree (linear equation).

Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Anumang linya sa eroplano ay maaaring ibigay ng isang first order equation

Ah + Wu + C = 0,

at pare-pareho A, B hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Tinatawag itong first order equation pangkalahatan

straight line equation. Depende sa mga halaga ng mga constants A, B at MULA SA Posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ang linya ay dumadaan sa pinanggalingan

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Ni + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- tuwid na linya parallel sa axis OU

. B = C = 0, A ≠ 0- ang linya ay tumutugma sa axis OU

. A = C = 0, B ≠ 0- ang linya ay tumutugma sa axis Oh

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring kinakatawan sa iba't ibang anyo depende sa anumang ibinigay

paunang kondisyon.

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang normal na vector.

Kahulugan. Sa isang Cartesian rectangular coordinate system, isang vector na may mga bahagi (A, B)

patayo sa linya na ibinigay ng equation

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto A(1, 2) patayo sa vector (3, -1).

Solusyon. Buuin natin sa A \u003d 3 at B \u003d -1 ang equation ng tuwid na linya: 3x - y + C \u003d 0. Upang mahanap ang coefficient C

pinapalitan namin ang mga coordinate ng ibinigay na punto A sa resultang expression. Nakukuha namin ang: 3 - 2 + C = 0, samakatuwid

C = -1. Kabuuan: ang nais na equation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos.

Hayaang magbigay ng dalawang puntos sa espasyo M 1 (x 1 , y 1 , z 1) at M2 (x 2, y 2 , z 2), pagkatapos straight line equation,

dumaan sa mga puntong ito:

Kung ang alinman sa mga denominator ay katumbas ng zero, ang katumbas na numerator ay dapat itakda na katumbas ng zero. Sa

eroplano, ang equation ng isang tuwid na linya na nakasulat sa itaas ay pinasimple:

kung x 1 ≠ x 2 at x = x 1, kung x 1 = x 2 .

Maliit na bahagi = k tinawag salik ng slope tuwid.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos na A(1, 2) at B(3, 4).

Solusyon. Ang paglalapat ng formula sa itaas, nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang slope.

Kung ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 dalhin sa form:

at italaga , pagkatapos ay tinatawag ang nagresultang equation

equation ng isang tuwid na linya na may slope k.

Ang equation ng isang tuwid na linya sa isang punto at isang nakadirekta na vector.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa punto na isinasaalang-alang ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng normal na vector, maaari mong ipasok ang gawain

isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang vector ng direksyon ng isang tuwid na linya.

Kahulugan. Bawat di-zero na vector (α 1 , α 2), na ang mga bahagi ay nakakatugon sa kondisyon

Aα 1 + Bα 2 = 0 tinawag vector ng direksyon ng tuwid na linya.

Ah + Wu + C = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na may vector ng direksyon (1, -1) at dumadaan sa punto A(1, 2).

Solusyon. Hahanapin natin ang equation ng nais na tuwid na linya sa anyo: Ax + By + C = 0. Ayon sa kahulugan,

ang mga coefficient ay dapat matugunan ang mga kondisyon:

1 * A + (-1) * B = 0, ibig sabihin. A = B.

Pagkatapos ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.

sa x=1, y=2 nakukuha namin C/ A = -3, ibig sabihin. gustong equation:

x + y - 3 = 0

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment.

Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya Ah + Wu + C = 0 C≠0, kung gayon, ang paghahati ng -C, nakukuha natin:

o , saan

Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient ay ang coefficient a ay ang coordinate ng intersection point

tuwid na may ehe oh a b- ang coordinate ng punto ng intersection ng linya na may axis OU.

Halimbawa. Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay x - y + 1 = 0. Hanapin ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal na equation ng isang tuwid na linya.

Kung magkabilang panig ng equation Ah + Wu + C = 0 hatiin sa bilang , na tinatawag na

normalizing factor, pagkatapos makuha namin

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal na equation ng isang tuwid na linya.

Dapat piliin ang sign ± ng normalizing factor upang μ * C< 0.

R- ang haba ng patayo na bumaba mula sa pinagmulan hanggang sa linya,

a φ - ang anggulo na nabuo ng patayo na ito sa positibong direksyon ng axis Oh.

Halimbawa. Ibinigay ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya 12x - 5y - 65 = 0. Kinakailangang sumulat ng iba't ibang uri ng mga equation

itong tuwid na linya.

Ang equation ng tuwid na linyang ito sa mga segment:

Ang equation ng linyang ito na may slope: (hatiin sa 5)

Equation ng isang tuwid na linya:

cos φ = 12/13; kasalanan φ= -5/13; p=5.

Dapat tandaan na hindi lahat ng tuwid na linya ay maaaring katawanin ng isang equation sa mga segment, halimbawa, mga tuwid na linya,

parallel sa mga palakol o dumadaan sa pinanggalingan.

Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano.

Kahulugan. Kung dalawang linya ang ibinigay y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, pagkatapos ay ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito

ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2. Dalawang linya ay patayo

kung k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorama.

Direkta Ah + Wu + C = 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay parallel kapag ang mga coefficient ay proporsyonal

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Kung din С 1 \u003d λС, pagkatapos ay nagtutugma ang mga linya. Mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya

ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Ang equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto ay patayo sa isang ibinigay na linya.

Kahulugan. Isang linyang dumadaan sa isang punto M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y = kx + b

kinakatawan ng equation:

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.

Teorama. Kung bibigyan ng punto M(x 0, y 0), tapos ang layo ng pila Ah + Wu + C = 0 tinukoy bilang:

Patunay. Hayaan ang punto M 1 (x 1, y 1)- ang base ng patayo ay bumaba mula sa punto M para sa isang naibigay

direkta. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga puntos M at M 1:

(1)

Mga coordinate x 1 at 1 ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo

binigay na linya. Kung babaguhin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Ang teorama ay napatunayan.

Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya:

Mga partikular na kaso ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya:

Paano kung C= 0, ang equation (2) ay magkakaroon ng form

Ax + Sa pamamagitan ng = 0,

at ang tuwid na linya na tinukoy ng equation na ito ay dumadaan sa pinagmulan, dahil ang mga coordinate ng pinagmulan x = 0, y= 0 matugunan ang equation na ito.

b) Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya (2) B= 0, pagkatapos ay ang equation ay kinuha ang form

Ax + MULA SA= 0, o .

Ang equation ay hindi naglalaman ng variable y, at ang tuwid na linya na tinukoy ng equation na ito ay parallel sa axis Oy.

c) Kung sa pangkalahatang equation ng tuwid na linya (2) A= 0, pagkatapos ang equation na ito ay kumukuha ng anyo

Sa pamamagitan ng + MULA SA= 0, o ;

ang equation ay hindi naglalaman ng variable x, at ang tuwid na linya na tinukoy nito ay parallel sa axis baka.

Dapat itong tandaan: kung ang isang tuwid na linya ay parallel sa anumang coordinate axis, ang equation nito ay hindi naglalaman ng isang term na naglalaman ng isang coordinate ng parehong pangalan sa axis na ito.

d) Kailan C= 0 at A= 0 equation (2) ang nasa anyo Sa pamamagitan ng= 0, o y = 0.

Ito ang axis equation baka.

e) Kailan C= 0 at B= 0 equation (2) ay maaaring isulat sa form Ax= 0 o x = 0.

Ito ang axis equation Oy.

Mutual na pag-aayos ng mga tuwid na linya sa isang eroplano. Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano. Kondisyon ng mga parallel na linya. Ang kondisyon ng perpendicularity ng mga linya.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Ang mga vector S 1 at S 2 ay tinatawag na mga gabay para sa kanilang mga linya.

Ang anggulo sa pagitan ng mga linya l 1 at l 2 ay tinutukoy ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon.
Teorama 1: cos anggulo sa pagitan ng l 1 at l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d

Teorama 2: Upang maging pantay ang 2 linya, kinakailangan at sapat:

Teorama 3: upang ang 2 linya ay patayo ay kinakailangan at sapat:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Pangkalahatang equation ng eroplano at ang mga partikular na kaso nito. Equation ng isang eroplano sa mga segment.

Pangkalahatang equation ng eroplano:

Ax + By + Cz + D = 0

Mga espesyal na kaso:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - ang eroplano ay dumadaan sa pinanggalingan

2. С=0 Ax+By+D = 0 – eroplano || oz

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – eroplano || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – eroplano || OX

5. A=0 at D=0 By+Cz = 0 - ang eroplano ay dumadaan sa OX

6. B=0 at D=0 Ax+Cz = 0 - dadaan ang eroplano sa OY

7. C=0 at D=0 Ax+By = 0 - ang eroplano ay dumadaan sa OZ

Mutual na pag-aayos ng mga eroplano at tuwid na linya sa kalawakan:

1. Ang anggulo sa pagitan ng mga linya sa espasyo ay ang anggulo sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano ay tinutukoy sa pamamagitan ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga normal na vectors.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Ang cosine ng anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay matatagpuan sa pamamagitan ng kasalanan ng anggulo sa pagitan ng vector ng direksyon ng linya at ng normal na vector ng eroplano.

4. 2 linya || sa kalawakan nang ang kanilang || mga gabay sa vector

5. 2 eroplano || kapag || normal na mga vector

6. Parehong ipinakilala ang mga konsepto ng perpendicularity ng mga linya at eroplano.

Tanong #14

Iba't ibang uri ng equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano (ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment, na may slope, atbp.)

Equation ng isang tuwid na linya sa mga segment:
Ipagpalagay na sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya:

1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - ang tuwid na linya ay dumadaan sa pinanggalingan.

2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d

3. sa \u003d 0 Ax + C \u003d 0 x \u003d

4. v \u003d C \u003d 0 Ax \u003d 0 x \u003d 0

5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0

Ang equation ng isang tuwid na linya na may slope:

Anumang tuwid na linya na hindi katumbas ng y-axis (B hindi = 0) ay maaaring isulat sa sumusunod. anyo:

k = tgα α ay ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ang positibong direksyon na linya ОХ

b - punto ng intersection ng tuwid na linya kasama ang axis ng OS

Doc-in:

Ax+By+C = 0

Wu \u003d -Ax-C |: B

Equation ng isang tuwid na linya sa dalawang puntos:

Tanong #16

Ang finite limit ng isang function sa isang point at para sa x→∞

Tapusin ang limitasyon sa punto x 0:

Ang numero A ay tinatawag na limitasyon ng function na y \u003d f (x) para sa x → x 0, kung para sa alinmang E > 0 mayroong b > 0 na para sa x ≠ x 0, na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Ang limitasyon ay tinukoy: = A

Tapusin ang limitasyon sa puntong +∞:

Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function na y = f(x) para sa x → + ∞ , kung para sa alinmang E > 0 mayroong C > 0 na para sa x > C ang hindi pagkakapantay-pantay |f(x) - A|< Е

Ang limitasyon ay tinukoy: = A

Tapusin ang limitasyon sa punto -∞:

Ang bilang A ay tinatawag na limitasyon ng function na y = f(x) para sa x→-∞, kung para sa anumang E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto sa isang ibinigay na direksyon. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos. Anggulo sa pagitan ng dalawang linya. Kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng dalawang linya. Pagtukoy sa punto ng intersection ng dalawang linya

1. Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto A(x 1 , y 1) sa isang ibinigay na direksyon, na tinutukoy ng slope k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ang equation na ito ay tumutukoy sa isang lapis ng mga linyang dumadaan sa isang punto A(x 1 , y 1), na tinatawag na sentro ng sinag.

2. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos: A(x 1 , y 1) at B(x 2 , y 2) ay nakasulat tulad nito:

Ang slope ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto ay tinutukoy ng formula

3. Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya A at B ay ang anggulo kung saan dapat paikutin ang unang tuwid na linya A sa paligid ng punto ng intersection ng mga linyang ito pakaliwa hanggang sa ito ay tumutugma sa pangalawang linya B. Kung ang dalawang linya ay ibinigay ng mga equation ng slope

y = k 1 x + B 1 ,