Ang derivative ng function na x ay pantay. Power function derivative (mga kapangyarihan at ugat)

Kahulugan. Hayaang tukuyin ang function na \(y = f(x) \) sa ilang pagitan na naglalaman ng puntong \(x_0 \) sa loob. Dagdagan natin ang \(\Delta x \) sa argumento upang hindi umalis sa agwat na ito. Hanapin ang katumbas na pagtaas ng function na \(\Delta y \) (kapag dumadaan mula sa puntong \(x_0 \) patungo sa puntong \(x_0 + \Delta x \)) at buuin ang kaugnayan \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Kung may limitasyon ang kaugnayang ito sa \(\Delta x \rightarrow 0 \), kung gayon ang ipinahiwatig na limitasyon ay tinatawag derivative function\(y=f(x) \) sa puntong \(x_0 \) at tukuyin ang \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Ang simbolo na y ay kadalasang ginagamit upang tukuyin ang derivative. Tandaan na ang y" = f(x) ay isang bagong function, ngunit natural na nauugnay sa function na y = f(x), na tinukoy sa lahat ng mga puntong x kung saan umiiral ang limitasyon sa itaas . Ang function na ito ay tinatawag na ganito: derivative ng function na y \u003d f (x).

Ang geometric na kahulugan ng derivative binubuo ng mga sumusunod. Kung ang isang tangent na hindi parallel sa y axis ay maaaring iguhit sa graph ng function na y \u003d f (x) sa isang punto na may abscissa x \u003d a, kung gayon ang f (a) ay nagpapahayag ng slope ng tangent:
\(k = f"(a)\)

Dahil \(k = tg(a) \), ang pagkakapantay-pantay \(f"(a) = tg(a) \) ay totoo.

At ngayon binibigyang-kahulugan natin ang kahulugan ng derivative sa mga tuntunin ng tinatayang pagkakapantay-pantay. Hayaang magkaroon ng derivative ang function na \(y = f(x) \) sa isang partikular na punto \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Nangangahulugan ito na malapit sa puntong x, ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), ibig sabihin, \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Ang makabuluhang kahulugan ng nakuhang tinatayang pagkakapantay-pantay ay ang mga sumusunod: ang pagtaas ng function ay "halos proporsyonal" sa pagtaas ng argumento, at ang koepisyent ng proporsyonalidad ay ang halaga ng derivative sa ibinigay na punto X. Halimbawa, para sa function na \(y = x^2 \) ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) ay wasto. Kung maingat nating susuriin ang kahulugan ng derivative, makikita natin na naglalaman ito ng algorithm para sa paghahanap nito.

Buuin natin ito.

Paano mahahanap ang derivative ng function y \u003d f (x) ?

1. Ayusin ang halaga \(x \), hanapin \(f(x) \)
2. Palakihin ang \(x \) argument \(\Delta x \), lumipat sa isang bagong punto \(x+ \Delta x \), hanapin ang \(f(x+ \Delta x) \)
3. Hanapin ang pagtaas ng function: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Buuin ang kaugnayan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kalkulahin ang $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ang limitasyong ito ay ang derivative ng function sa x.

Kung ang function na y = f(x) ay may derivative sa puntong x, kung gayon ito ay tinatawag na differentiable sa puntong x. Ang pamamaraan para sa paghahanap ng derivative ng function na y \u003d f (x) ay tinatawag pagkakaiba-iba mga function y = f(x).

Talakayin natin ang sumusunod na tanong: paano nauugnay ang continuity at differentiability ng isang function sa isang punto?

Hayaan ang function na y = f(x) na maging differentiable sa puntong x. Pagkatapos ay maaaring iguhit ang isang tangent sa graph ng function sa puntong M (x; f (x)) at, alalahanin, ang slope ng tangent ay katumbas ng f "(x). Ang ganitong graph ay hindi maaaring "masira" sa ang punto M, ibig sabihin, ang function ay dapat na tuloy-tuloy sa x.

Ito ay pangangatwiran "sa mga daliri". Magharap tayo ng mas mahigpit na argumento. Kung ang function na y = f(x) ay naiba-iba sa puntong x, ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) ay magkakaroon. zero, pagkatapos ay \(\Delta y \ ) ay magkakaroon din ng zero, at ito ang kundisyon para sa pagpapatuloy ng function sa isang punto.

Kaya, kung ang isang function ay naiba-iba sa isang puntong x, kung gayon ito ay tuloy-tuloy din sa puntong iyon.

Ang kabaligtaran ay hindi totoo. Halimbawa: function y = |x| ay tuloy-tuloy sa lahat ng dako, lalo na sa puntong x = 0, ngunit ang padaplis sa graph ng function sa “joint point” (0; 0) ay hindi umiiral. Kung sa isang punto imposibleng gumuhit ng tangent sa function graph, kung gayon walang derivative sa puntong ito.

Isa pang halimbawa. Ang function na \(y=\sqrt(x) \) ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero, kabilang ang sa puntong x = 0. At ang tangent sa graph ng function ay umiiral sa anumang punto, kabilang ang sa puntong x = 0 Ngunit sa puntong ito ang tangent ay tumutugma sa y-axis, iyon ay, ito ay patayo sa abscissa axis, ang equation nito ay may anyo x \u003d 0. Slope walang ganoong linya, na nangangahulugan na ang \(f"(0) \) ay wala rin

Kaya, nakilala namin ang isang bagong pag-aari ng isang function - ang pagkakaiba-iba. Paano mo malalaman kung ang isang function ay naiba sa graph ng isang function?

Ang sagot ay talagang ibinigay sa itaas. Kung sa isang punto ang isang tangent ay maaaring iguguhit sa graph ng isang function na hindi patayo sa x-axis, kung gayon sa puntong ito ang function ay differentiable. Kung sa ilang mga punto ang tangent sa graph ng function ay hindi umiiral o ito ay patayo sa x-axis, pagkatapos ay sa puntong ito ang function ay hindi naiiba.

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag pagkakaiba-iba. Kapag nagsasagawa ng operasyong ito, madalas kang kailangang magtrabaho sa mga quotient, sums, mga produkto ng mga function, pati na rin sa "mga function ng mga function", iyon ay, kumplikadong mga function. Batay sa kahulugan ng derivative, maaari tayong makakuha ng mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan na nagpapadali sa gawaing ito. Kung ang C ay isang pare-parehong numero at f=f(x), g=g(x) ay ilang mga naiba-iba na function, kung gayon ang mga sumusunod ay totoo mga panuntunan sa pagkakaiba-iba:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Compound function derivative:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Talaan ng mga derivatives ng ilang function

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \kaliwa(e^x \kanan) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Kung susundin natin ang kahulugan, kung gayon ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng increment ratio ng function Δ y sa pagtaas ng argumentong Δ x:

Tila malinaw na ang lahat. Ngunit subukang kalkulahin sa pamamagitan ng formula na ito, sabihin, ang hinango ng function f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x kasalanan x. Kung gagawin mo ang lahat sa pamamagitan ng kahulugan, pagkatapos pagkatapos ng ilang mga pahina ng mga kalkulasyon ay matutulog ka lang. Samakatuwid, may mga mas simple at mas epektibong paraan.

Upang magsimula, tandaan namin na ang tinatawag na elementarya na mga pag-andar ay maaaring makilala mula sa buong iba't ibang mga pag-andar. Ang mga ito ay medyo simpleng mga expression, ang mga derivatives na matagal nang kinakalkula at ipinasok sa talahanayan. Ang mga naturang function ay sapat na madaling matandaan, kasama ang kanilang mga derivatives.

Mga derivatives ng elementary functions

Ang mga elementary function ay lahat ng nakalista sa ibaba. Ang mga derivatives ng mga function na ito ay dapat na kilala sa puso. At saka, hindi mahirap kabisaduhin ang mga ito - kaya naman elementary sila.

Kaya, ang mga derivatives ng elementarya na pag-andar:

Pangalan	Function	Derivative
pare-pareho	f(x) = C, C ∈ R	0 (oo, oo, zero!)
Degree na may rational exponent	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = kasalanan x	cos x
Cosine	f(x) = cos x	− kasalanan x(minus sine)
Padaplis	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangent	f(x) = ctg x	− 1/kasalanan2 x
natural na logarithm	f(x) = log x	1/x
Arbitrary logarithm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Exponential function	f(x) = e x	e x(walang nagbago)

Kung ang isang elementary function ay pinarami ng isang arbitrary na pare-pareho, kung gayon ang derivative ng bagong function ay madaling kalkulahin:

(C · f)’ = C · f ’.

Sa pangkalahatan, ang mga constant ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Halimbawa:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Malinaw, ang mga elementary function ay maaaring idagdag sa isa't isa, multiply, hinati, at marami pang iba. Ito ay kung paano lilitaw ang mga bagong function, hindi na masyadong elementarya, ngunit din naiba-iba ayon sa ilang mga patakaran. Ang mga patakarang ito ay tinalakay sa ibaba.

Derivative ng kabuuan at pagkakaiba

Hayaan ang mga function f(x) At g(x), na ang mga derivative ay alam natin. Halimbawa, maaari mong kunin ang mga elementary function na tinalakay sa itaas. Pagkatapos ay mahahanap mo ang derivative ng kabuuan at pagkakaiba ng mga function na ito:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Kaya, ang derivative ng kabuuan (difference) ng dalawang function ay katumbas ng sum (difference) ng mga derivatives. Baka marami pang terms. Halimbawa, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Sa mahigpit na pagsasalita, walang konsepto ng "pagbabawas" sa algebra. Mayroong isang konsepto ng "negatibong elemento". Samakatuwid, ang pagkakaiba f − g maaaring isulat muli bilang kabuuan f+ (−1) g, at pagkatapos ay isang formula na lang ang natitira - ang derivative ng kabuuan.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Function f(x) ay ang kabuuan ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya:

f ’(x) = (x 2+ kasalanan x)’ = (x 2)' + (kasalanan x)’ = 2x+ cosx;

Pareho kaming nagtatalo para sa function g(x). Tanging mayroon nang tatlong termino (mula sa punto ng view ng algebra):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Sagot:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivative ng isang produkto

Ang matematika ay isang lohikal na agham, kaya maraming tao ang naniniwala na kung ang derivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives, kung gayon ang derivative ng produkto strike"\u003e katumbas ng produkto ng mga derivatives. Ngunit figs para sa iyo! Ang derivative ng produkto ay kinakalkula gamit ang isang ganap na naiibang formula. Namely:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Ang formula ay simple, ngunit madalas na nakalimutan. At hindi lamang mga mag-aaral, kundi pati na rin ang mga mag-aaral. Ang resulta ay hindi wastong nalutas ang mga problema.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Function f(x) ay isang produkto ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya ang lahat ay simple:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) dahil x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−kasalanan x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x)

Function g(x) ang unang multiplier ay medyo mas kumplikado, ngunit pangkalahatang pamamaraan hindi ito nagbabago. Malinaw, ang unang multiplier ng function g(x) ay isang polynomial, at ang derivative nito ay ang derivative ng sum. Meron kami:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Sagot:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Tandaan na sa huling hakbang, ang derivative ay factorized. Pormal, hindi ito kinakailangan, ngunit karamihan sa mga derivative ay hindi kinakalkula sa kanilang sarili, ngunit upang galugarin ang function. Nangangahulugan ito na ang karagdagang derivative ay itutumbas sa zero, ang mga palatandaan nito ay malalaman, at iba pa. Para sa ganitong kaso, mas mainam na magkaroon ng expression na nabulok sa mga kadahilanan.

Kung may dalawang function f(x) At g(x), at g(x) ≠ 0 sa hanay ng interes sa amin, maaari naming tukuyin ang isang bagong function h(x) = f(x)/g(x). Para sa ganoong function, maaari mo ring mahanap ang derivative:

Hindi mahina, tama? Saan nagmula ang minus? Bakit g 2? At ganito! Ito ay isa sa mga pinaka-kumplikadong formula - hindi mo maiisip ito nang walang bote. Samakatuwid, ito ay mas mahusay na pag-aralan ito sa kongkretong mga halimbawa.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function:

May mga elementarya na function sa numerator at denominator ng bawat fraction, kaya ang kailangan lang natin ay ang formula para sa derivative ng quotient:

Sa pamamagitan ng tradisyon, isinaalang-alang namin ang numerator sa mga kadahilanan - ito ay lubos na magpapasimple sa sagot:

Ang isang kumplikadong function ay hindi kinakailangang isang formula na kalahating kilometro ang haba. Halimbawa, ito ay sapat na upang kunin ang function f(x) = kasalanan x at palitan ang variable x, sabihin, sa x 2+ln x. Iyon pala f(x) = kasalanan ( x 2+ln x) ay isang kumplikadong function. Mayroon din siyang derivative, ngunit hindi ito gagana upang mahanap ito ayon sa mga panuntunang tinalakay sa itaas.

Paano maging? Sa ganitong mga kaso, ang pagpapalit ng isang variable at ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function ay makakatulong:

f ’(x) = f ’(t) · t', Kung x ay pinalitan ng t(x).

Bilang isang tuntunin, ang sitwasyon na may pag-unawa sa formula na ito ay mas malungkot kaysa sa hinango ng quotient. Samakatuwid, mas mahusay din na ipaliwanag ito sa mga tiyak na halimbawa, na may Detalyadong Paglalarawan Bawat hakbang.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = kasalanan ( x 2+ln x)

Tandaan na kung sa function f(x) sa halip na expression 2 x+ 3 ay magiging madali x, pagkatapos ay gagana ito elementarya function f(x) = e x. Samakatuwid, gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Hinahanap namin ang derivative ng isang kumplikadong function sa pamamagitan ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

At ngayon - pansin! Pagsasagawa ng reverse substitution: t = 2x+ 3. Nakukuha namin ang:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Ngayon tingnan natin ang function g(x). Malinaw na kailangang palitan. x 2+ln x = t. Meron kami:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (kasalanan t)’ · t' = kasi t · t ’

Baliktad na kapalit: t = x 2+ln x. Pagkatapos:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Iyon lang! Tulad ng makikita mula sa huling expression, ang buong problema ay nabawasan sa pagkalkula ng derivative ng kabuuan.

Sagot:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) dahil( x 2+ln x).

Kadalasan sa aking mga aralin, sa halip na ang terminong "derivative", ginagamit ko ang salitang "stroke". Halimbawa, ang stroke ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga stroke. Mas malinaw ba iyon? Well, mabuti iyon.

Kaya, ang pagkalkula ng derivative ay bumaba sa pag-alis ng mga mismong stroke na ito ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas. Bilang huling halimbawa, bumalik tayo sa derivative power na may rational exponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Iilan lang ang nakakaalam niyan sa role n maaaring kumilos isang fractional number. Halimbawa, ang ugat ay x 0.5 . Ngunit paano kung mayroong isang bagay na nakakalito sa ilalim ng ugat? Muli, ang isang kumplikadong pag-andar ay lalabas - gusto nilang ibigay ang gayong mga konstruksyon kontrol sa trabaho at mga pagsusulit.

Gawain. Hanapin ang derivative ng isang function:

Una, muling isulat natin ang ugat bilang isang kapangyarihan na may makatwirang exponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Ngayon gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan x 2 + 8x − 7 = t. Nahanap namin ang derivative sa pamamagitan ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0.5 t ’.

Gumagawa kami ng reverse substitution: t = x 2 + 8x− 7. Mayroon kaming:

f ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Sa wakas, bumalik sa mga ugat:

Kapag hinango ang pinakaunang formula ng talahanayan, magpapatuloy tayo mula sa kahulugan ng derivative ng isang function sa isang punto. Dalhin natin kung saan x- anumang tunay na numero, iyon ay, x– anumang numero mula sa lugar ng kahulugan ng function . Isulat natin ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento sa :

Dapat pansinin na sa ilalim ng tanda ng limitasyon, ang isang expression ay nakuha, na hindi ang kawalan ng katiyakan ng zero na hinati ng zero, dahil ang numerator ay naglalaman ng hindi isang infinitesimal na halaga, ngunit tiyak na zero. Sa madaling salita, ang pagtaas ng isang pare-parehong pag-andar ay palaging zero.

kaya, derivative ng isang pare-parehong functionay katumbas ng zero sa buong domain ng kahulugan.

Derivative ng isang power function.

Derivative formula function ng kapangyarihan may porma , kung saan ang exponent p ay anumang tunay na numero.

Patunayan muna natin ang formula para sa natural na exponent, iyon ay, para sa p = 1, 2, 3, ...

Gagamitin namin ang kahulugan ng isang derivative. Isulat natin ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function ng kapangyarihan sa pagtaas ng argumento:

Upang gawing simple ang expression sa numerator, bumaling tayo sa binomial formula ng Newton:

Kaya naman,

Pinatutunayan nito ang formula para sa derivative ng isang power function para sa isang natural na exponent.

Derivative ng exponential function.

Nakukuha namin ang derivative formula batay sa kahulugan:

Dumating sa kawalan ng katiyakan. Upang palawakin ito, ipinakilala namin ang isang bagong variable , at para sa . Tapos . Sa huling paglipat, ginamit namin ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm.

Magsagawa tayo ng pagpapalit sa orihinal na limitasyon:

Kung naaalala natin ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon, pagkatapos ay dumating tayo sa formula para sa derivative ng exponential function:

Derivative ng isang logarithmic function.

Patunayan natin ang formula para sa derivative ng logarithmic function para sa lahat x mula sa saklaw at lahat ng wastong base value a logarithm. Sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative, mayroon kaming:

Tulad ng napansin mo, sa patunay, ang mga pagbabago ay isinagawa gamit ang mga katangian ng logarithm. Pagkakapantay-pantay ay may bisa dahil sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon.

Mga derivative ng trigonometriko function.

Upang makakuha ng mga formula para sa mga derivatives ng trigonometriko function, kailangan nating alalahanin ang ilang mga formula ng trigonometry, pati na rin ang unang kapansin-pansin na limitasyon.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative para sa sine function, mayroon kami .

Ginagamit namin ang formula para sa pagkakaiba ng mga sine:

Ito ay nananatiling lumiko sa unang kapansin-pansing limitasyon:

Kaya ang derivative ng function kasalanan x meron kasi x.

Ang formula para sa cosine derivative ay napatunayan sa eksaktong parehong paraan.

Samakatuwid, ang derivative ng function kasi x meron – kasalanan x.

Ang derivation ng mga formula para sa table ng derivatives para sa tangent at cotangent ay isasagawa gamit ang mga napatunayang tuntunin ng pagkita ng kaibhan (derivative ng isang fraction).

Mga derivative ng hyperbolic function.

Ang mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan at ang pormula para sa derivative ng exponential function mula sa talahanayan ng mga derivatives ay nagpapahintulot sa amin na makakuha ng mga formula para sa mga derivatives ng hyperbolic sine, cosine, tangent at cotangent.

Derivative ng inverse function.

Upang walang kalituhan sa pagtatanghal, tukuyin natin sa mas mababang index ang argumento ng function kung saan ginaganap ang pagkita ng kaibhan, iyon ay, ito ay ang derivative ng function. f(x) Sa pamamagitan ng x.

Ngayon nag-formulate kami panuntunan para sa paghahanap ng derivative ng inverse function.

Hayaan ang mga function y = f(x) At x = g(y) magkabaligtaran, tinukoy sa pagitan at ayon sa pagkakabanggit. Kung sa isang punto ay mayroong isang finite non-zero derivative ng function f(x), pagkatapos ay sa puntong mayroong isang finite derivative ng inverse function g(y), at . Sa ibang entry .

Maaaring baguhin ang panuntunang ito para sa alinman x mula sa pagitan , pagkatapos ay makuha namin .

Suriin natin ang bisa ng mga formula na ito.

Hanapin natin ang inverse function para sa natural logarithm (Dito y ay isang function, at x- argumento). Paglutas ng equation na ito para sa x, nakukuha natin (dito x ay isang function, at y kanyang argumento). Yan ay, at magkabaligtaran na mga pag-andar.

Mula sa talahanayan ng mga derivatives, makikita natin iyon At .

Siguraduhin natin na ang mga formula para sa paghahanap ng mga derivatives ng inverse function ay magdadala sa atin sa parehong mga resulta:

Aplikasyon

Ang solusyon ng derivative sa site upang pagsama-samahin ang materyal na sakop ng mga mag-aaral at mga mag-aaral. Ang pagkalkula ng derivative ng isang function sa loob ng ilang segundo ay hindi mahirap kung gagamitin mo ang aming online na serbisyo sa paglutas ng problema. Magbigay ng detalyadong pagsusuri sa isang masusing pag-aaral sa praktikal na aralin bawat ikatlong mag-aaral ay maaari. Kadalasan ay nilalapitan tayo ng departamento ng nauugnay na departamento para sa pagsulong ng matematika sa mga institusyong pang-edukasyon ng bansa. Sa kasong ito, paano hindi banggitin ang solusyon ng derivative online para sa isang saradong espasyo pagkakasunud-sunod ng mga numero. Maraming mayayamang indibidwal ang pinapayagang ipahayag ang kanilang pagkalito. Ngunit sa pansamantala, ang mga mathematician ay hindi nakaupo pa rin at nagtatrabaho nang husto. Ang pagbabago sa mga parameter ng input ayon sa mga linear na katangian ay tatanggapin ng derivatives calculator pangunahin dahil sa suprema ng mga pababang posisyon ng mga cube. Ang resulta ay hindi maiiwasan bilang isang ibabaw. Bilang paunang data, inalis ng online derivative ang pangangailangang gumawa ng mga hindi kinakailangang hakbang. Maliban sa kathang-isip na takdang-aralin. Bilang karagdagan sa katotohanan na ang solusyon ng mga derivatives online ay kinakailangan at mahalagang aspeto pag-aaral ng matematika, madalas na hindi naaalala ng mga mag-aaral ang mga gawain sa nakaraan. Naiintindihan ito ng estudyante, tulad ng isang tamad na nilalang. Ngunit ang mga mag-aaral Nakakatawang tao! Alinman sa gawin ito ayon sa mga patakaran, o ang derivative ng function sa isang hilig na eroplano ay maaaring magbigay ng acceleration sa isang materyal na punto. Idirekta natin ang vector ng pababang spatial beam sa isang lugar. Sa nais na sagot, ang paghahanap ng derivative ay tila abstract teoretikal na direksyon dahil sa kawalang-tatag sistema ng matematika. Isipin ang ratio ng mga numero bilang pagkakasunud-sunod ng mga hindi nagamit na opsyon. Ang channel ng komunikasyon ay napunan ng ikalimang linya kasama ang pababang vector mula sa punto ng closed bifurcation ng cube. Sa eroplano ng mga curved space, ang paglutas ng derivative online ay humahantong sa amin sa isang konklusyon na nagpaisip sa pinakamahuhusay na isipan ng planeta noong nakaraang siglo. Sa kurso ng mga kaganapan mula sa larangan ng matematika, limang pangunahing mahahalagang salik na nag-aambag sa pagpapabuti ng posisyon ng pagpili ng isang variable ay dinala sa pampublikong talakayan. Kaya't ang batas para sa mga puntos ay nagsasabi na ang online derivative ay hindi kinakalkula nang detalyado sa bawat kaso, tanging isang tapat na pag-unlad na sandali lamang ang maaaring maging eksepsiyon. Ang forecast ay nagdala sa amin sa isang bagong yugto ng pag-unlad. Kailangan natin ng resulta. Sa linya ng mathematical slope na dumaan sa ilalim ng ibabaw, ang calculator ng mga derivatives ng mode ay nasa lugar ng intersection ng mga produkto sa baluktot na hanay. Ito ay nananatiling pag-aralan ang pagkita ng kaibahan ng function sa independiyenteng punto nito malapit sa kapitbahayan ng epsilon. Ito ay makikita ng lahat sa pagsasanay. Bilang resulta, magkakaroon ng isang bagay na mapagpasyahan sa susunod na yugto ng programming. Kailangan ng mag-aaral ang online derivative gaya ng dati, anuman ang mga haka-haka na pag-aaral na ginagawa. Lumalabas na ang online na solusyon ng derivative function na pinarami ng isang pare-pareho ay hindi nagbabago sa pangkalahatang direksyon ng paggalaw ng materyal na punto, ngunit nailalarawan ang pagtaas ng bilis sa isang tuwid na linya. Sa ganitong kahulugan, magiging kapaki-pakinabang na ilapat ang aming derivative calculator at kalkulahin ang lahat ng mga halaga ng isang function sa buong hanay ng kahulugan nito. Hindi na kailangang pag-aralan ang mga puwersang alon ng gravitational field. Sa anumang kaso ay hindi ipapakita ng solusyon ng mga derivatives online ang slope ng papalabas na sinag, ngunit sa mga bihirang kaso kapag kailangan talaga, maiisip ito ng mga estudyante sa unibersidad. Iniimbestigahan namin ang principal. Ang halaga ng pinakamaliit na rotor ay predictable. Ilapat sa resulta ang mga linyang nakaharap sa kanan na naglalarawan sa bola, ngunit online na calculator derivatives, ito ang batayan para sa mga figure ng espesyal na lakas at non-linear na pag-asa. Ang ulat ng proyekto sa matematika ay handa na. Mga personal na katangian ang pagkakaiba ng pinakamaliit na numero at ang derivative ng function sa kahabaan ng y-axis ay magdadala ng concavity ng parehong function sa taas. May direksyon - may konklusyon. Mas madaling isabuhay ang teorya. May mungkahi mula sa mga mag-aaral sa oras ng pagsisimula ng pag-aaral. Kailangan ng sagot ng guro. Muli, tulad ng sa nakaraang posisyon, ang sistema ng matematika ay hindi kinokontrol batay sa isang aksyon na makakatulong sa paghahanap ng derivative. Tulad ng mas mababang semi-linear na bersyon, ang online derivative ay ipahiwatig nang detalyado ang pagkakakilanlan ng solusyon ayon sa lumalalang kondisyonal na batas. Ilagay lamang ang ideya ng pagkalkula ng mga formula. Ang linear na pagkita ng kaibhan ng isang function ay tinatanggihan ang katotohanan ng solusyon sa pamamagitan lamang ng paglalagay ng mga hindi nauugnay na positibong pagkakaiba-iba. Ang kahalagahan ng mga palatandaan ng paghahambing ay ituturing bilang isang tuluy-tuloy na pahinga ng function sa kahabaan ng axis. Ito ang kahalagahan ng pinaka-nakakamalay na konklusyon, ayon sa mag-aaral, kung saan ang online derivative ay isang bagay maliban sa isang tapat na halimbawa ng mathematical analysis. Ang radius ng isang hubog na bilog sa Euclidean space, sa kabaligtaran, ay nagbigay sa calculator ng mga derivatives ng natural na representasyon ng pagpapalitan ng mga mapagpasyang problema para sa katatagan. pinakamahusay na paraan natagpuan. Mas madaling i-level up ang gawain. Hayaang ang applicability ng independent difference na proporsyon ay humantong sa solusyon ng mga derivatives online. Ang solusyon ay umiikot sa paligid ng x-axis, na naglalarawan sa pigura ng isang bilog. Mayroong isang paraan, at ito ay batay sa pananaliksik na theoretically suportado ng mga mag-aaral sa unibersidad, kung saan ang lahat ay natututo mula sa, at kahit na sa mga sandaling iyon sa oras ay may isang derivative ng function. Nakahanap kami ng paraan para sa pag-unlad at kinumpirma ito ng mga estudyante. Kayang-kaya nating hanapin ang derivative nang hindi lalampas sa isang hindi natural na diskarte sa pagbabago ng sistema ng matematika. Ang kaliwang proporsyonal na sign ay lumalaki nang husto bilang ang mathematical na representasyon ng online derivative calculator dahil sa hindi alam na pangyayari ng mga linear na salik sa walang katapusang y-axis. Pinatunayan ng mga mathematician sa buong mundo ang pagiging eksklusibo ng proseso ng produksyon. Kumain hindi bababa sa parisukat sa loob ng bilog ayon sa paglalarawan ng teorya. Muli, ang online na derivative ay magdedetalye sa aming hula kung ano ang maaaring nakaimpluwensya sa teoretikal na pinong opinyon sa unang lugar. May mga opinyon na kakaiba kaysa sa ulat na aming sinuri. Maaaring hindi mangyari ang hiwalay na atensyon sa mga mag-aaral ng ating mga faculty, ngunit hindi lamang sa matatalino at advanced na mathematician kung saan ang pagkakaiba ng isang function ay isang dahilan lamang. Ang mekanikal na kahulugan ng derivative ay napaka-simple. Ang lakas ng pag-angat ay kinakalkula bilang isang online na derivative para sa pababang-sloping steady na mga puwang sa oras. Malinaw, ang derivatives calculator ay isang mahigpit na proseso ng paglalarawan ng problema ng pagkabulok ng isang artipisyal na pagbabago bilang isang amorphous na katawan. Ang unang derivative ay nagsasalita ng pagbabago sa paggalaw ng isang materyal na punto. Ang tatlong-dimensional na espasyo ay malinaw na sinusunod sa konteksto ng mga espesyal na sinanay na teknolohiya para sa paglutas ng mga derivatives online, sa katunayan ito ay nasa bawat colloquium sa paksa ng matematikal na disiplina. Ang pangalawang derivative ay nagpapakilala sa pagbabago sa bilis ng isang materyal na punto at tinutukoy ang acceleration. Ang meridian approach batay sa paggamit ng affine transformation ay humahantong sa bagong antas ang derivative ng isang function sa isang punto mula sa domain ng function na ito. Ang isang online na calculator ng mga derivatives ay hindi maaaring walang mga numero at simbolikong notasyon sa ilang mga kaso sa pamamagitan ng tamang executable na sandali, maliban sa nababagong pag-aayos ng mga bagay ng gawain. Nakakagulat, mayroong pangalawang acceleration ng isang materyal na punto, ito ay nagpapakilala sa pagbabago sa acceleration. Sa maikling panahon, magsisimula kaming pag-aralan ang solusyon ng derivative online, ngunit sa sandaling maabot ang isang tiyak na milestone sa kaalaman, ititigil ng aming mag-aaral ang prosesong ito. Ang pinakamahusay na lunas Ang networking ay live na komunikasyon paksa sa matematika. May mga prinsipyo na hindi dapat labagin sa anumang pagkakataon, gaano man kahirap ang gawain. Ito ay kapaki-pakinabang upang mahanap ang derivative online sa oras at walang mga error. Ito ay hahantong sa isang bagong posisyon ng mathematical expression. Ang sistema ay matatag. Ang pisikal na kahulugan ng derivative ay hindi kasing tanyag ng mekanikal. Ito ay malamang na hindi naaalala ng sinuman kung paano ang online na derivative ay nagdetalye nang detalyado sa eroplano ang balangkas ng mga linya ng function sa normal mula sa tatsulok na katabi ng x-axis. Ang tao ay nararapat sa isang malaking papel sa pananaliksik ng huling siglo. Isagawa natin sa tatlong elementaryang yugto ang pagkita ng kaibahan ng function sa mga punto, parehong mula sa domain ng kahulugan at sa infinity. Magsusulat lamang sa larangan ng pag-aaral, ngunit maaaring pumalit sa pangunahing vector sa matematika at teorya ng numero, sa sandaling ang mangyayari ay mag-uugnay sa online na derivative calculator sa problema. Magkakaroon ng dahilan, ngunit magkakaroon ng dahilan para gumawa ng equation. Napakahalaga na isaisip ang lahat ng mga parameter ng pag-input. Ang pinakamahusay ay hindi palaging kinuha sa noo, sa likod nito ay isang napakalaking dami ng paggawa ang pinakamahusay na mga isip na nakakaalam kung paano kinakalkula ang online derivative sa espasyo. Simula noon, ang convexity ay itinuturing na isang ari-arian tuluy-tuloy na pag-andar. Gayunpaman, mas mabuting itakda muna ang problema sa paglutas ng mga derivatives online sa sa madaling panahon. Kaya ang solusyon ay magiging kumpleto. Bilang karagdagan sa mga hindi natutupad na pamantayan, hindi ito itinuturing na sapat. Sa una, halos bawat mag-aaral ay nagmumungkahi na maglagay ng isang simpleng paraan tungkol sa kung paano ang derivative ng isang function ay nagdudulot ng isang kontrobersyal na algorithm ng paglago. Sa direksyon ng pataas na sinag. Ito ay may katuturan bilang pangkalahatang posisyon. Noong nakaraan, minarkahan nila ang simula ng pagkumpleto ng isang partikular na aksyong matematika, ngunit ngayon ito ay magiging kabaligtaran. Marahil ang solusyon ng derivative online ay muling magtaas ng isyu at tatanggapin natin ang isang karaniwang opinyon sa pangangalaga nito sa talakayan ng pulong ng mga guro. Inaasahan namin ang pag-unawa mula sa lahat ng panig ng mga kalahok sa pulong. Ang lohikal na kahulugan ay nakapaloob sa paglalarawan ng calculator ng mga derivatives sa resonance ng mga numero tungkol sa pagkakasunud-sunod ng pagtatanghal ng pag-iisip ng problema, na sinagot noong huling siglo ng mga dakilang siyentipiko ng mundo. Makakatulong ito upang kunin ang isang kumplikadong variable mula sa na-convert na expression at hanapin ang derivative online upang magsagawa ng napakalaking aksyon ng parehong uri. Ang katotohanan ay mas mahusay kaysa sa hula. Pinakamababang halaga nasa uso. Hindi magtatagal ang resulta kapag gumagamit ng natatanging serbisyo para sa ang pinakatumpak na paghahanap, kung saan mayroong online na derivative sa detalye. Sa hindi direkta, ngunit sa punto, tulad ng sinabi ng isang matalinong tao, isang online derivatives calculator ay nilikha sa kahilingan ng maraming mga mag-aaral mula sa iba't ibang mga lungsod ng unyon. Kung may pagkakaiba, kung gayon bakit magdesisyon nang dalawang beses. Ang ibinigay na vector ay namamalagi sa parehong panig ng normal. Sa kalagitnaan ng huling siglo, ang pagkita ng kaibhan ng isang function ay hindi na napapansin tulad ng ngayon. Salamat sa kasalukuyang pag-unlad, lumitaw ang online na matematika. Sa paglipas ng panahon, nakakalimutan ng mga mag-aaral na bigyan ng kredito ang mga disiplina sa matematika. Ang solusyon ng derivative online ay hahamon sa aming thesis, na nararapat na batay sa aplikasyon ng teorya, na sinusuportahan ng praktikal na kaalaman. Lalampas sa umiiral na halaga ng presentation factor at isusulat ang formula sa isang tahasang anyo para sa function. Nangyayari na kailangan mong hanapin ang derivative online ngayon nang hindi gumagamit ng anumang calculator, gayunpaman, maaari mong palaging gamitin ang panlilinlang ng mag-aaral at gumamit pa rin ng ganoong serbisyo bilang isang website. Kaya, ang mag-aaral ay makakatipid ng maraming oras sa pagkopya ng mga halimbawa mula sa isang draft na kuwaderno sa isang pangwakas na anyo. Kung walang mga kontradiksyon, pagkatapos ay gamitin ang sunud-sunod na serbisyo ng solusyon para sa mga kumplikadong halimbawa.

Ang pagkalkula ng derivative ay madalas na matatagpuan sa GAMITIN ang mga takdang-aralin. Ang pahinang ito ay naglalaman ng isang listahan ng mga formula para sa paghahanap ng mga derivatives.

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivative ng isang kumplikadong function. Kung y=F(u) at u=u(x), kung gayon ang function na y=f(x)=F(u(x)) ay tinatawag na complex function ng x. Ay katumbas ng y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivative ng isang implicit function. Ang function na y=f(x) ay tinatawag na implicit function na ibinigay ng kaugnayan F(x,y)=0 kung F(x,f(x))≡0.
6. Derivative ng inverse function. Kung g(f(x))=x, kung gayon ang function na g(x) ay tinatawag na inverse function para sa function na y=f(x).
7. Derivative ng isang parametrically given function. Hayaang ibigay ang x at y bilang mga function ng variable t: x=x(t), y=y(t). Sinasabi nila na y=y(x) parametrically ibinigay na function sa interval x∈ (a;b), kung sa interval na ito ang equation na x=x(t) ay maaaring ipahayag bilang t=t(x) at ang function na y=y(t(x))=y(x) maaaring tukuyin.
8. Hinango ng kapangyarihan- exponential function. Ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkuha ng logarithm sa base ng natural na logarithm.

Pinapayuhan ka naming i-save ang link, dahil maaaring kailanganin ang talahanayang ito nang maraming beses.